Sinus ostrý uholα pravouhlého trojuholníka je pomer opak nohy do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.
Kosínus Ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.
Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlej strany k priľahlej strane.
Označuje sa takto: tg α.
Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
Označuje sa takto: ctg α.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.
pravidlá:
Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:
(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s – prepona. β – druhý ostrý uhol).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
hriech α |
Keď sa ostrý uhol zväčšujehriech α atan α zvýšenie, acos α klesá.
Pre akýkoľvek ostrý uhol α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Príklad-vysvetlenie:
Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.
Poďme zistiť sínus uhla A a kosínus uhla B.
Riešenie .
1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Vypočítajme sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru opačnej strany k prepone. Pre uhol A je opačná strana strana BC. Takže:
BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2
3) Teraz vypočítajme cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme vydeliť BC AB - to znamená, že vykonáme rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku je sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iný ostrý uhol - a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Presvedčíme sa o tom ešte raz:
1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
hriech (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.
(Viac informácií o trigonometrii nájdete v časti Algebra)
Tam, kde sa zvažovali problémy s riešením pravouhlého trojuholníka, sľúbil som, že predstavím techniku na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá strana patrí prepone (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa, že to nebudem dlho odkladať, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉
Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako žiaci 10. – 11. ročníka majú problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale na ktorú- zabúdajú a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratený bod.
Informácie, ktoré uvediem priamo, nemajú nič spoločné s matematikou. Je spojená s nápadité myslenie, a s metódami verbálno-logickej komunikácie. Presne tak si to pamätám, raz a navždydefiničné údaje. Ak ich zabudnete, pomocou prezentovaných techník si ich vždy ľahko zapamätáte.
Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusu a kosínusu v pravouhlom trojuholníku:
Kosínus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:
Sinus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone:
Takže, aké asociácie máte so slovom kosínus?
Asi každý má to svoje 😉Zapamätajte si odkaz:
Výraz sa teda okamžite objaví vo vašej pamäti -
«… pomer PRIEDNEJ nohy k prepone».
Problém s určovaním kosínusu bol vyriešený.
Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy; ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, zostáva iba opačná noha so sínusom.
A čo tangens a kotangens? Zmätok je rovnaký. Žiaci vedia, že ide o vzťah nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.
Definície:
Tangenta Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane:
Kotangens Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k opačnej strane:
Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden využíva aj slovesno-logické spojenie, druhý využíva matematické.
MATEMATICKÁ METÓDA
Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
*Keď si zapamätáte vzorec, môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane.
Podobne.Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:
Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:
- dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej
— kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
SLOVNO-LOGICKÁ METÓDA
O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:
To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je
"... pomer protiľahlej strany k susednej strane"
Ak hovoríme o kotangens, potom pri zapamätaní si definície tangentu môžete ľahko vysloviť definíciu kotangensu -
"... pomer susednej strany k opačnej strane"
Na webe je zaujímavý trik na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.
UNIVERZÁLNA METÓDA
Môžete si to len zapamätať.Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.
Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander Krutitskikh
P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Sínus je jednou zo základných goniometrických funkcií, ktorej použitie sa neobmedzuje len na geometriu. Tabuľky na výpočet goniometrických funkcií, ako napríklad inžinierske kalkulačky, nie sú vždy po ruke a výpočet sínusu je niekedy potrebný na riešenie rôznych problémov. Vo všeobecnosti výpočet sínusu pomôže upevniť zručnosti kreslenia a znalosti trigonometrických identít.
Hry s pravítkom a ceruzkou
Jednoduchá úloha: ako nájsť sínus uhla nakresleného na papieri? Na vyriešenie budete potrebovať bežné pravítko, trojuholník (alebo kompas) a ceruzku. Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať sínus uhla, je vydeliť vzdialenú časť trojuholníka s pravým uhlom dlhou stranou - preponou. Najprv teda musíte dokončiť ostrý uhol do tvaru pravouhlého trojuholníka nakreslením čiary kolmej na jeden z lúčov v ľubovoľnej vzdialenosti od vrcholu uhla. Budeme musieť zachovať uhol presne 90°, na čo potrebujeme klerikálny trojuholník.
Používanie kompasu je o niečo presnejšie, ale zaberie to viac času. Na jednom z lúčov musíte označiť 2 body v určitej vzdialenosti, nastaviť polomer na kompase približne rovnaký ako vzdialenosť medzi bodmi a nakresliť polkruhy so stredmi v týchto bodoch, kým sa nedosiahnu priesečníky týchto čiar. Vzájomným spojením priesečníkov našich kružníc dostaneme prísnu kolmicu na lúč nášho uhla, zostáva len predĺžiť čiaru, kým sa nepretne s iným lúčom.
Vo výslednom trojuholníku musíte pomocou pravítka zmerať stranu oproti rohu a dlhú stranu na jednom z lúčov. Pomer prvého rozmeru k druhému bude požadovaná hodnota sínusu ostrého uhla.
Nájdite sínus pre uhol väčší ako 90°
Pre tupý uhol nie je úloha oveľa ťažšia. Musíte nakresliť lúč z vrcholu do opačnej strane pomocou pravítka vytvoríme priamku s jedným z lúčov uhla, ktorý nás zaujíma. Výsledný ostrý uhol by sa mal liečiť tak, ako je opísané vyššie, sínus priľahlé rohy, ktoré spolu tvoria spätný uhol 180°, sú rovnaké.
Výpočet sínusu pomocou iných goniometrických funkcií
Výpočet sínusu je tiež možný, ak sú známe hodnoty iných goniometrických funkcií uhla alebo aspoň dĺžky strán trojuholníka. K tomu nám pomôžu trigonometrické identity. Pozrime sa na bežné príklady.
Ako nájsť sínus so známym kosínusom uhla? Prvá trigonometrická identita, založená na Pytagorovej vete, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu toho istého uhla sa rovná jednej.
Ako nájsť sínus so známou dotyčnicou uhla? Tangenta sa získa vydelením vzdialenej strany blízkou stranou alebo delením sínusu kosínusom. Sínus teda bude súčinom kosínusu a dotyčnice a druhá mocnina sínusu bude druhou mocninou tohto súčinu. Druhý mocninový kosínus nahradíme rozdielom medzi jednotkou a druhým sínusom podľa prvého trigonometrická identita a jednoduchými manipuláciami zredukujeme rovnicu na výpočet štvorcového sínusu cez tangens, preto na výpočet sínusu budete musieť extrahovať koreň získaného výsledku.
Ako nájsť sínus so známym kotangensom uhla? Hodnotu kotangensu možno vypočítať vydelením dĺžky nohy, ktorá je najbližšie k uhlu, dĺžkou vzdialenejšej časti, ako aj vydelením kosínusu sínusom, to znamená, že kotangens je funkcia inverzná k relatívnej dotyčnici. k číslu 1. Na výpočet sínusu môžete vypočítať dotyčnicu pomocou vzorca tg α = 1 / ctg α a použiť vzorec v druhej možnosti. Môžete tiež odvodiť priamy vzorec analogicky s tangensom, ktorý bude vyzerať takto.
Ako nájsť sínus troch strán trojuholníka
Existuje vzorec na zistenie dĺžky neznámej strany ľubovoľného trojuholníka, nielen pravouhlého trojuholníka, z dvoch známych strán pomocou trigonometrickej funkcie kosínusu opačného uhla. Vyzerá takto.
Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla vám pomôže pochopiť pravouhlý trojuholník.
Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana \(AC\)); nohy sú dve zostávajúce strany \(AB\) a \(BC\) (tie susediace s pravý uhol), a ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol \(BC\), potom noha \(AB\) je susedná noha a noha \(BC\) je opačný. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?
Sínus uhla– to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kosínus uhla– to je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangenta uhla– ide o pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).
V našom trojuholníku:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens uhla– to je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).
V našom trojuholníku:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:
Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;
Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.
V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:
Uvažujme napríklad kosínus uhla \(\beta \) . Podľa definície z trojuholníka \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale môžeme vypočítať kosínus uhla \(\beta \) z trojuholníka \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.
Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!
Pre trojuholník \(ABC \) zobrazený na obrázku nižšie nájdeme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(pole)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(pole) \)
Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol \(\beta \) .
Odpovede: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným \(1\) . Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi \(x\) (v našom príklade toto je polomer \(AB\)).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi \(x\) a súradnici pozdĺž osi \(y\). Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Uvažujme trojuholník \(ACG\) . Je obdĺžnikový, pretože \(CG\) je kolmý na os \(x\).
Čo je \(\cos \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \)? To je správne \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Okrem toho vieme, že \(AC\) je polomer jednotkovej kružnice, čo znamená \(AC=1\) . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Čomu sa rovná \(\sin \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \)? no, samozrejme, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Dosaďte hodnotu polomeru \(AC\) do tohto vzorca a získajte:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Viete teda povedať, aké súradnice má bod \(C\) patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si uvedomíte, že \(\cos \ \alpha \) a \(\sin \alpha \) sú len čísla? Akej súradnici zodpovedá \(\cos \alpha \)? No, samozrejme, súradnice \(x\)! A akej súradnici zodpovedá \(\sin \alpha \)? Správne, koordinujte \(y\)! Takže pointa \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Čomu sa potom \(tg \alpha \) a \(ctg \alpha \) rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : uhol (ako susediaci s uhlom \(\beta \) ). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
\(\začiatok(pole)(l)\sin \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\uhol ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(pole) \)
No ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici \(y\) ; hodnota kosínusu uhla - súradnice \(x\) ; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi \(x\). Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek – negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je \(360()^\circ \) alebo \(2\pi \) . Je možné otočiť vektor polomeru o \(390()^\circ \) alebo o \(-1140()^\circ \)? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa na pozícii \(30()^\circ \) alebo \(\dfrac(\pi )(6) \) .
V druhom prípade \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa na pozícii \(-60()^\circ \) alebo \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o \(360()^\circ \cdot m \) alebo \(2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo ), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol \(\beta =-60()^\circ \) . Rovnaký obrázok zodpovedá rohu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) alebo \(\beta +2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo)
\(\begin(pole)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(pole) \)
Teraz, keď poznáme definície základných goniometrických funkcií a ich používanie jednotkový kruh, skús odpovedať, aké sú hodnoty:
\(\begin(pole)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(pole) \)
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
\(\begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(pole)\)
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh dovnútra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) zodpovedá bodu so súradnicami \(\left(0;1 \right) \), preto:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 90()^\circ \)- neexistuje;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) zodpovedajú bodom so súradnicami \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \vpravo) \), resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ \pi \)- neexistuje
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 270()^\circ \)- neexistuje
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ 2\pi \)- neexistuje
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- neexistuje
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
\(\left. \begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(pole) \right\)\\text(Musíte si to zapamätať alebo vedieť zobraziť!! \) !}
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) v tabuľke nižšie si musíte pamätať:
Nebojte sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduchého zapamätania zodpovedajúcich hodnôt:
Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si sínusové hodnoty pre všetky tri miery uhla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ako aj hodnotu dotyčnice uhla v \(30()^\circ \) . Keď poznáme tieto \(4\) hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
\(\begin(pole)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \koniec (pole) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ak to viete, môžete obnoviť hodnoty pre \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Čitateľ "\(1 \)" bude zodpovedať \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) a menovateľ "\(\sqrt(\text(3)) \)" bude zodpovedať \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si iba \(4\) hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, ak poznáme súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia? No, samozrejme, že môžete! Odvoďme si všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu. Napríklad tu je kruh pred nami:
Je nám daný bod \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- stred kruhu. Polomer kruhu je \(1,5\) . Je potrebné nájsť súradnice bodu \(P\) získané otočením bodu \(O\) o \(\delta \) stupňov.
Ako vidno z obrázku, súradnica \(x\) bodu \(P\) zodpovedá dĺžke úsečky \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dĺžka segmentu \(UK\) zodpovedá súradnici \(x\) stredu kruhu, to znamená, že sa rovná \(3\) . Dĺžka segmentu \(KQ\) môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Potom máme pre bod \(P\) súradnicu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod \(P\) . teda
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:
\(\začiatok(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(pole) \), Kde
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - súradnice stredu kruhu,
\(r\) - polomer kruhu,
\(\delta \) - uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
\(\begin(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(pole) \)
Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!
Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby ste im dobre porozumeli, na prvý pohľad komplexné koncepty(ktoré u mnohých školákov vyvolávajú stav zdesenia) a aby sme sa uistili, že „diabol nie je taký strašidelný, ako ho namaľovali“, začnime od úplného začiatku a pochopme pojem uhol.
Pojem uhla: radián, stupeň
Pozrime sa na obrázok. Vektor sa „otočil“ vzhľadom k bodu o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude rohu.
Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, samozrejme, uhlové jednotky!
Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.
Nazýva sa uhol (jeden stupeň). stredový uhol v kruhu na základe kruhového oblúka rovnajúceho sa časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.
To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol rovný, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku veľkosti obvodu.
Uhol v radiánoch je stredový uhol v kruhu zovretom kruhovým oblúkom, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. No, prišli ste na to? Ak nie, poďme na to z výkresu.
Obrázok teda ukazuje uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžka oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:
Kde je stredový uhol v radiánoch.
Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov je obsiahnutých v uhle opísanom kružnicou? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod. Tu je:
Teraz porovnajme tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch to dostaneme. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je slovo „radián“ vynechané, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.
Koľko je tam radiánov? To je správne!
Mám to? Potom pokračujte a opravte to:
Máte ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:
Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla
Takže sme prišli na koncept uhla. Ale čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.
Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie susediace s pravým uhlom) a ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, potom noha je susedná noha a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?
Sínus uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).
V našom trojuholníku.
Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).
V našom trojuholníku.
Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:
Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;
Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.
V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:
Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.
Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!
Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.
Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol.
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici osi a súradnici osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čomu sa rovná trojuholník? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, čo znamená . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
Čomu sa rovná trojuholník? No, samozrejme,! Do tohto vzorca nahraďte hodnotu polomeru a získajte:
Viete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! A akej súradnici to zodpovedá? Presne tak, súradnice! Teda bodka.
Čo teda sú a čomu sa rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to, a.
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aké sú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru na alebo na? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa v polohe resp.
V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa v polohe resp.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)
Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: uhol v zodpovedá bodu so súradnicami, preto:
Neexistuje;
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:
Nezľaknite sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangens uhla. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?
No, samozrejme, že môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.
Napríklad tu je kruh pred nami:
Máme dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.
Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovnaká. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
Potom to máme pre súradnicu bodu.
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda
Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu,
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
Vyskúšame si tieto vzorce precvičovaním hľadania bodov na kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu ďalej.
2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
4. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo sa zdokonalte v ich riešení) a naučíte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pripomíname si ich význam a dostávame:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Znázornime príslušný príklad na obrázku:
Polomer vytvára uhly rovnaké s osou as osou. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus má kladnú hodnotu, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie diskutované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky)
Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:
Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:
Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienky)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky).
Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získame:
a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:
Požadovaný bod má teda súradnice.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.
Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej) strane.
Kotangens uhla je pomer priľahlej (blízkej) strany k opačnej (vzdialenej) strane.
