Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby ste im dobre porozumeli, na prvý pohľad komplexné koncepty(ktoré u mnohých školákov vyvolávajú hrôzu) a aby sme sa uistili, že „diabol nie je taký strašidelný, ako ho namaľovali“, začnime od úplného začiatku a pochopme pojem uhol.
Pojem uhla: radián, stupeň
Pozrime sa na obrázok. Vektor sa „otočil“ vzhľadom k bodu o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude rohu.
Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, samozrejme, uhlové jednotky!
Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.
Nazýva sa uhol (jeden stupeň). stredový uhol v kruhu na základe kruhového oblúka rovnajúceho sa časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.
To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol rovný, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku veľkosti obvodu.
Uhol v radiánoch je stredový uhol v kruhu zovretom kruhovým oblúkom, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. No, prišli ste na to? Ak nie, poďme na to z výkresu.
Na obrázku je teda uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžka oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:
Kde je stredový uhol v radiánoch.
Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov je obsiahnutých v uhle opísanom kružnicou? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod. Tu je:
Teraz porovnajme tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch to dostaneme. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je slovo „radián“ vynechané, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.
Koľko je tam radiánov? To je správne!
Mám to? Potom pokračujte a opravte to:
Máte ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:
Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla
Takže sme prišli na koncept uhla. Ale čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.
Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie susediace s pravý uhol), a ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, potom noha je susedná noha a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?
Sínus uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).
V našom trojuholníku.
Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).
V našom trojuholníku.
Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:
Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;
Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.
V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:
Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.
Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!
Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.
Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol.
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici osi a súradnici osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čomu sa rovná trojuholník? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, čo znamená . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
Čomu sa rovná trojuholník? No, samozrejme,! Do tohto vzorca nahraďte hodnotu polomeru a získajte:
Viete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? No, v žiadnom prípade? Čo ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! A akej súradnici to zodpovedá? Presne tak, súradnice! Teda bodka.
Čo teda sú a čomu sa rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to, a.
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aké sú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru na alebo na? No, samozrejme, môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa v polohe resp.
V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa v polohe resp.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)
Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: uhol v zodpovedá bodu so súradnicami, preto:
Neexistuje;
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:
Nezľaknite sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangens uhla. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?
No, samozrejme, môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.
Napríklad tu je kruh pred nami:
Máme dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.
Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovnaká. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
Potom to máme pre súradnicu bodu.
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda
Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu,
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
Vyskúšame si tieto vzorce precvičovaním hľadania bodov na kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu ďalej.
2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
4. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo sa zdokonalte v ich riešení) a naučíte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pripomíname si ich význam a dostávame:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Znázornime príslušný príklad na obrázku:
Polomer vytvára uhly rovnaké s osou as osou. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus má kladnú hodnotu, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie diskutované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky)
Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:
Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:
Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienky)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky).
Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získame:
a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:
Požadovaný bod má teda súradnice.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.
Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej) strane.
Kotangens uhla je pomer priľahlej (blízkej) strany k opačnej (vzdialenej) strane.
Jednotná štátna skúška pre 4? Nepraskneš šťastím?
Otázka, ako sa hovorí, je zaujímavá... Dá sa to, dá sa prejsť aj so 4-kou! A zároveň neprasknúť... Hlavnou podmienkou je pravidelne cvičiť. Tu je základná príprava na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky. So všetkými tajomstvami a záhadami Jednotnej štátnej skúšky, o ktorých sa v učebniciach nedočítate... Preštudujte si túto časť, riešte viac úloh z rôznych zdrojov – a všetko vyjde! Predpokladá sa, že základná sekcia "A C ti stačí!" nerobí ti to žiadne problémy. Ale ak zrazu... Sledujte odkazy, nebuďte leniví!
A začneme skvelou a hroznou témou.
Trigonometria
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Táto téma spôsobuje študentom veľa problémov. Považuje sa za jednu z najzávažnejších. Čo sú sínus a kosínus? Čo sú tangens a kotangens? Čo sa stalo číselný kruh? Len čo položíte tieto neškodné otázky, človek zbledne a snaží sa odviesť rozhovor... Ale márne. Sú to jednoduché pojmy. A táto téma nie je o nič ťažšia ako ostatné. Musíte len jasne pochopiť odpovede na tieto otázky od samého začiatku. Je to veľmi dôležité. Ak rozumiete, bude sa vám páčiť trigonometria. takže,
Čo sú sínus a kosínus? Čo sú tangens a kotangens?
Začnime v staroveku. Nebojte sa, všetkých 20 storočí trigonometrie prejdeme za približne 15 minút. A bez toho, aby sme si to všimli, zopakujeme si časť geometrie z 8. ročníka.
Nakreslíme pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c a uhol X. Tu to je.
Pripomínam, že strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. a a c– nohy. Sú dve. Zostávajúca strana sa nazýva prepona. s– prepona.
Trojuholník a trojuholník, len premýšľajte! Čo s ním robiť? Ale starí ľudia vedeli, čo majú robiť! Zopakujme ich činy. Zmeriame stranu V. Na obrázku sú bunky špeciálne nakreslené, ako v Zadania jednotnej štátnej skúšky To sa stáva. Side V rovná štyrom bunkám. OK. Zmeriame stranu A. Tri bunky.
Teraz rozdeľme dĺžku strany A na dĺžku strany V. Alebo, ako sa tiež hovorí, zaujmime postoj A Komu V. a/v= 3/4.
Naopak, môžete sa rozdeliť V na A. Dostaneme 4/3. Môcť V rozdeliť podľa s. Hypotenzia s Nie je možné počítať po bunkách, ale rovná sa 5. Dostávame vysoká kvalita= 4/5. Stručne povedané, môžete rozdeliť dĺžky strán navzájom a získať nejaké čísla.
No a čo? Aký je zmysel tejto zaujímavej aktivity? Zatiaľ žiadne. Zbytočné cvičenie, otvorene povedané.)
Teraz urobme toto. Zväčšíme trojuholník. Predĺžime strany v a s, ale tak, aby trojuholník zostal pravouhlý. Rohový X, samozrejme, nemení. Ak to chcete vidieť, umiestnite kurzor myši na obrázok alebo sa ho dotknite (ak máte tablet). strany a, b a c sa zmení na m, n, k, a samozrejme sa budú meniť aj dĺžky strán.
Ale ich vzťah nie je!
Postoj a/v bol: a/v= 3/4, stal sa m/n= 6/8 = 3/4. Vzťahy ostatných relevantných strán sú tiež sa nezmení . Dĺžky strán v pravouhlom trojuholníku môžete ľubovoľne meniť, zvyšovať, zmenšovať, bez zmeny uhla x – vzťah medzi príslušnými stranami sa nezmení . Môžete si to overiť, alebo to môžete považovať za slová starých ľudí.
Ale toto je už veľmi dôležité! Pomery strán v pravouhlom trojuholníku nijako nezávisia od dĺžok strán (pod rovnakým uhlom). To je také dôležité, že vzťah medzi stranami si vyslúžil svoj vlastný zvláštny názov. Vaše mená, takpovediac.) Zoznámte sa.
Aký je sínus uhla x ? Toto je pomer opačnej strany k prepone:
sinx = a/c
Aký je kosínus uhla x ? Toto je pomer priľahlej nohy k prepone:
sosx= vysoká kvalita
Čo je dotyčnica x ? Toto je pomer protiľahlej strany k susednej:
tgx =a/v
Aký je kotangens uhla x ? Toto je pomer susednej strany k opačnej strane:
ctgx = v/a
Všetko je veľmi jednoduché. Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú niektoré čísla. Bezrozmerný. Len čísla. Každý uhol má svoj vlastný.
Prečo všetko tak nudne opakujem? Čo je potom toto treba pamätať. Je dôležité pamätať si. Zapamätanie môže byť jednoduchšie. Je fráza „Začnime z diaľky...“ známa? Začnite teda z diaľky.
Sinus uhol je pomer vzdialený od uhla nohy po preponu. Kosínus– pomer suseda k prepone.
Tangenta uhol je pomer vzdialený od uhla nohy k blízkemu. Kotangens- naopak.
Je to jednoduchšie, však?
Ak si spomeniete, že v tangente a kotangente sú iba nohy a v sínusu a kosínusu sa objaví prepona, všetko bude celkom jednoduché.
Celá táto slávna rodina - sínus, kosínus, tangens a kotangens sa tiež nazýva goniometrické funkcie.
Teraz otázka na zváženie.
Prečo hovoríme sínus, kosínus, tangens a kotangens roh? Hovoríme o vzťahu medzi stranami, ako... Čo to s tým má spoločné? roh?
Pozrime sa na druhý obrázok. Presne taký istý ako ten prvý.
Ukážte myšou na obrázok. Zmenil som uhol X. Zvýšila sa z x až x. Všetky vzťahy sa zmenili! Postoj a/v bol 3/4 a zodpovedajúci pomer t/v stal sa 6.4.
A všetky ostatné vzťahy sa zmenili!
Preto pomery strán nijako nezávisia od ich dĺžok (v jednom uhle x), ale ostro závisia práve od tohto uhla! A len od neho. Preto sa výrazy sínus, kosínus, tangens a kotangens týkajú rohu. Uhol je tu hlavný.
Musí byť jasné, že uhol je neoddeliteľne spojený s jeho goniometrickými funkciami. Každý uhol má svoj vlastný sínus a kosínus. A takmer každý má svoju tangentu a kotangens. To je dôležité. Predpokladá sa, že ak dostaneme uhol, potom jeho sínus, kosínus, tangens a kotangens vieme ! A naopak. Daný sínus, alebo akýkoľvek iný goniometrická funkcia- to znamená, že poznáme uhol.
Existujú špeciálne tabuľky, kde sú pre každý uhol popísané jeho goniometrické funkcie. Nazývajú sa Bradisove stoly. Boli zostavené veľmi dávno. Keď ešte neboli kalkulačky ani počítače...
Samozrejme, nie je možné zapamätať si goniometrické funkcie všetkých uhlov. Musíte ich poznať len z niekoľkých uhlov pohľadu, viac o tom neskôr. Ale kúzlo Poznám uhol, čo znamená, že poznám jeho goniometrické funkcie“ - vždy funguje!
Tak sme si zopakovali kus geometrie z 8. ročníka. Potrebujeme to na jednotnú štátnu skúšku? Nevyhnutné. Tu je typický problém z Jednotnej štátnej skúšky. Na vyriešenie tohto problému stačí 8. ročník. Daný obrázok:
Všetky. Neexistujú žiadne ďalšie údaje. Musíme nájsť dĺžku strany lietadla.
Bunky veľmi nepomáhajú, trojuholník je akosi nesprávne umiestnený.... Naschvál, hádam... Z informácií je dĺžka prepony. 8 buniek. Z nejakého dôvodu bol daný uhol.
Tu si musíte okamžite zapamätať trigonometriu. Existuje uhol, čo znamená, že poznáme všetky jeho goniometrické funkcie. Ktorú zo štyroch funkcií by sme mali použiť? Pozrime sa, čo vieme? Poznáme preponu a uhol, ale musíme ju nájsť priľahlé katéter do tohto rohu! Je to jasné, kosínus treba uviesť do činnosti! Ideme na to. Jednoducho píšeme podľa definície kosínusu (pomer priľahlé noha do prepony):
cosC = BC/8
Náš uhol C je 60 stupňov, jeho kosínus je 1/2. Musíte to vedieť, bez tabuliek! To je:
1/2 = BC/8
Základné lineárna rovnica. Neznáme – slnko. Tí, ktorí zabudli, ako riešiť rovnice, pozrite sa na odkaz, zvyšok rieši:
BC = 4
Keď si starovekí ľudia uvedomili, že každý uhol má svoj vlastný súbor trigonometrických funkcií, mali rozumnú otázku. Sú sínus, kosínus, tangens a kotangens nejako vzájomne prepojené? Takže keď poznáte jednu funkciu uhla, môžete nájsť ostatné? Bez samotného výpočtu uhla?
Boli tak nepokojní...)
Vzťah medzi goniometrickými funkciami jedného uhla.
Samozrejme, sínus, kosínus, tangens a kotangens rovnakého uhla spolu súvisia. Akékoľvek spojenie medzi výrazmi je v matematike dané vzorcami. V trigonometrii existuje obrovské množstvo vzorcov. Tu sa však pozrieme na tie najzákladnejšie. Tieto vzorce sa nazývajú: základné trigonometrické identity. Tu sú:
Tieto vzorce musíte dôkladne poznať. Bez nich sa v trigonometrii vo všeobecnosti nedá nič robiť. Z týchto základných identít vyplývajú ďalšie tri pomocné identity:
Hneď vás varujem, že posledné tri vzorce vám rýchlo vypadnú z pamäti. Z nejakého dôvodu.) Tieto vzorce môžete, samozrejme, odvodiť z prvých troch. Ale v Tažké časy... Rozumieš.)
V štandardných problémoch, ako sú tie nižšie, existuje spôsob, ako sa vyhnúť týmto zabudnuteľným vzorcom. A dramaticky znížiť chyby kvôli zábudlivosti a tiež vo výpočtoch. Táto prax je v sekcii 555, lekcia "Vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého uhla."
V akých úlohách a ako sa používajú základné goniometrické identity? Najobľúbenejšou úlohou je nájsť nejakú funkciu uhla, ak je daná iná. V Jednotnej štátnej skúške je takáto úloha prítomná z roka na rok.) Napríklad:
Nájdite hodnotu sinx, ak x je ostrý uhol a cosx=0,8.
Úloha je takmer elementárna. Hľadáme vzorec, ktorý obsahuje sínus a kosínus. Tu je vzorec:
hriech 2 x + cos 2 x = 1
Tu dosadíme známu hodnotu, konkrétne 0,8 namiesto kosínusu:
hriech 2 x + 0,8 2 = 1
No počítame ako obvykle:
hriech 2 x + 0,64 = 1
sin 2 x = 1 - 0,64
To je prakticky všetko. Vypočítali sme druhú mocninu sínusu, zostáva len extrahovať druhú odmocninu a odpoveď je hotová! Odmocnina z 0,36 je 0,6.
Úloha je takmer elementárna. Ale slovo „takmer“ je tam z nejakého dôvodu... Faktom je, že odpoveď sinx= - 0,6 je tiež vhodná... (-0,6) 2 bude tiež 0,36.
Existujú dve rôzne odpovede. A potrebujete jeden. Tá druhá je chybná. Ako byť!? Áno, ako obvykle.) Pozorne si prečítajte zadanie. Z nejakého dôvodu sa tam píše:... ak x je ostrý uhol... A v úlohách má každé slovo svoj význam, áno... Toto slovné spojenie je doplnková informácia k riešeniu.
Ostrý uhol je uhol menší ako 90°. A v takýchto rohoch Všetky goniometrické funkcie - sínus, kosínus a tangens s kotangens - pozitívne. Tie. Tu jednoducho zahodíme negatívnu odpoveď. Máme právo.
V skutočnosti žiaci ôsmeho ročníka takéto jemnosti nepotrebujú. Pracujú len s pravouhlými trojuholníkmi, kde rohy môžu byť iba akútne. A nevedia, šťastlivci, že existujú negatívne uhly aj uhly 1000°... A všetky tieto hrozné uhly majú svoje vlastné trigonometrické funkcie, plusové aj mínusové...
Ale pre stredoškolákov, bez ohľadu na znamenie - v žiadnom prípade. Veľa vedomostí znásobuje smútok, áno...) A pre správne riešenie sú v úlohe nevyhnutne prítomné ďalšie informácie (ak sú potrebné). Môže to byť napríklad dané nasledujúcim záznamom:
Alebo nejakým iným spôsobom. Uvidíte v príkladoch nižšie.) Na vyriešenie takýchto príkladov musíte vedieť do ktorej štvrti spadá? špecifikovaný uhol x a aké je znamienko požadovanej goniometrickej funkcie v tomto kvadrante.
Tieto základy trigonometrie sú diskutované v lekciách o tom, čo je to trigonometrický kruh, o meraní uhlov na tomto kruhu, o radiánovej miere uhla. Niekedy potrebujete poznať tabuľku sínusov, kosínusov dotyčníc a kotangens.
Všimnime si teda to najdôležitejšie:
1. Pamätajte na definície sínus, kosínus, tangens a kotangens. Bude to veľmi užitočné.
2. Jasne rozumieme: sínus, kosínus, tangens a kotangens sú pevne spojené s uhlami. Vieme jednu vec, čo znamená, že vieme druhú.
3. Jasne rozumieme: sínus, kosínus, tangens a kotangens jedného uhla sú vo vzájomnom vzťahu zákl. trigonometrické identity. Poznáme jednu funkciu, čo znamená, že vieme (ak máme potrebné dodatočné informácie) vypočítať všetky ostatné.
Teraz sa rozhodneme, ako obvykle. Najprv úlohy v rozsahu 8. ročníka. Ale dokážu to aj stredoškoláci...)
1. Vypočítajte hodnotu tgA, ak ctgA = 0,4.
2. β je uhol v pravouhlom trojuholníku. Nájdite hodnotu tanβ, ak sinβ = 12/13.
3. Definujte sínus ostrý uhol x ak tgх = 4/3.
4. Nájdite význam výrazu:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. Nájdite význam výrazu:
(1-cosx)(1+cosx), ak sinx = 0,3
Odpovede (oddelené bodkočiarkami, neusporiadané):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
Stalo? Skvelé! Žiaci ôsmeho ročníka si už môžu ísť dať A.)
Nevyšlo všetko? Úlohy 2 a 3 akosi nie sú veľmi dobré...? Žiaden problém! Na takéto úlohy existuje jedna krásna technika. Všetko sa dá vyriešiť prakticky úplne bez vzorcov! A teda bez chýb. Táto technika je opísaná v lekcii: „Vzťahy medzi goniometrickými funkciami jedného uhla“ v časti 555. Tam sa riešia aj všetky ostatné úlohy.
Boli to problémy ako Jednotná štátna skúška, ale v oklieštenej verzii. Jednotná štátna skúška - svetlo). A teraz takmer rovnaké úlohy, ale v plnohodnotnom formáte. Pre vedomostne zaťažených stredoškolákov.)
6. Nájdite hodnotu tanβ, ak sinβ = 12/13, a
7. Určte sinх, ak tgх = 4/3 a x patrí do intervalu (- 540°; - 450°).
8. Nájdite hodnotu výrazu sinβ cosβ, ak ctgβ = 1.
Odpovede (v neporiadku):
0,8; 0,5; -2,4.
Tu v úlohe 6 nie je uhol špecifikovaný veľmi jasne... Ale v úlohe 8 nie je špecifikovaný vôbec! Toto je zámer). Ďalšie informácie nielen prevzaté z úlohy, ale aj z hlavy.) Ale ak sa rozhodnete, jedna správna úloha je zaručená!
Čo ak ste sa nerozhodli? Hmm... No, sekcia 555 tu pomôže. Tam sú riešenia všetkých týchto úloh podrobne popísané, je ťažké im nerozumeť.
Táto lekcia poskytuje veľmi obmedzené pochopenie goniometrických funkcií. Do 8. ročníka. A starší majú stále otázky...
Napríklad, ak uhol X(pozri druhý obrázok na tejto stránke) - urob to hlúposť!? Trojuholník sa úplne rozpadne! Čo by sme teda mali robiť? Nebude žiadna noha, žiadna prepona... Sínus zmizol...
Ak by starovekí ľudia nenašli východisko z tejto situácie, nemali by sme teraz mobilné telefóny, televíziu ani elektrinu. Áno áno! Teoretický základ všetky tieto veci bez goniometrických funkcií sú bez palice nulové. Ale starí ľudia nesklamali. Ako sa dostali von, je v ďalšej lekcii.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Referenčné údaje pre tangens (tg x) a kotangens (ctg x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka dotyčníc a kotangens, derivácie, integrály, radové expanzie. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.
Geometrická definícia
|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.
Tangenta ( opálenie α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .
Tangenta
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.
Graf funkcie dotyčnice, y = tan x
Kotangens
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Akceptované sú aj nasledujúce zápisy:
;
;
.
Graf funkcie kotangens, y = ctg x
Vlastnosti dotyčnice a kotangens
Periodicita
Funkcie y = tg x a y = ctg x sú periodické s periódou π.
Parita
Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.
Oblasti definície a hodnôt, rastúce, klesajúce
Dotykové a kotangens funkcie sú spojité vo svojej doméne definície (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangens a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnôt | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Zvyšovanie | - | |
| Zostupne | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y = 0 | ||
| Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0 | y = 0 | - |
Vzorce
Výrazy využívajúce sínus a kosínus
;
;
;
;
;
Vzorce pre tangens a kotangens zo súčtu a rozdielu
Zostávajúce vzorce sa dajú ľahko získať napr
Súčin dotyčníc
Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc
Táto tabuľka predstavuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre určité hodnoty argumentu. 
Výrazy využívajúce komplexné čísla
Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; .
.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >
Integrály
Rozšírenia série
Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x A cos x a rozdeliť tieto polynómy navzájom, . Takto sa získajú nasledujúce vzorce.
o .
v .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
Kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca: 
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie k dotyčnici a kotangensu sú arkustangens a arkustangens, v tomto poradí.
Arctangens, arctg
, Kde n- celý.
Arckotangens, arcctg
, Kde n- celý.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre vedcov a inžinierov, 2012.
Tam, kde sa zvažovali problémy s riešením pravouhlého trojuholníka, sľúbil som, že predstavím techniku na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá strana patrí prepone (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa, že to nebudem dlho odkladať, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉
Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako žiaci 10. – 11. ročníka majú problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale na ktorú- zabúdajú a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratený bod.
Informácie, ktoré uvediem priamo, nemajú nič spoločné s matematikou. Je spojená s nápadité myslenie, a s metódami verbálno-logickej komunikácie. Presne tak si to pamätám, raz a navždydefiničné údaje. Ak ich zabudnete, pomocou prezentovaných techník si ich vždy ľahko zapamätáte.
Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusu a kosínusu v pravouhlom trojuholníku:
Kosínus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:
Sinus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone:
Takže, aké asociácie máte so slovom kosínus?
Asi každý má to svoje 😉Zapamätajte si odkaz:
Výraz sa teda okamžite objaví vo vašej pamäti -
«… pomer PRIEDNEJ nohy k prepone».
Problém s určovaním kosínusu bol vyriešený.
Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy; ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, zostáva iba opačná noha so sínusom.
A čo tangens a kotangens? Zmätok je rovnaký. Žiaci vedia, že ide o vzťah nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.
Definície:
Tangenta Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane:
Kotangens Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k opačnej strane:
Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden využíva aj slovesno-logické spojenie, druhý využíva matematické.
MATEMATICKÁ METÓDA
Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:
*Keď si zapamätáte vzorec, môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane.
Podobne.Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:
Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:
- dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej
— kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
SLOVNO-LOGICKÁ METÓDA
O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:
To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je
"... pomer protiľahlej strany k susednej strane"
Ak hovoríme o kotangens, potom pri zapamätaní si definície tangentu môžete ľahko vysloviť definíciu kotangensu -
"... pomer susednej strany k opačnej strane"
Na webe je zaujímavý trik na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.
UNIVERZÁLNA METÓDA
Môžete si to len zapamätať.Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.
Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander Krutitskikh
P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Jednou z oblastí matematiky, s ktorou žiaci najviac zápasia, je trigonometria. Nie je prekvapujúce: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť číslo pi v výpočty. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť používať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodiť zložité logické reťazce.
Počiatky trigonometrie
Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte pochopiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.
Historicky hlavným predmetom štúdia v tejto časti matematická veda boli pravouhlé trojuholníky. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, čo vám umožňuje určiť hodnoty všetkých parametrov príslušného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.
Prvé štádium
Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu medzi uhlami a stranami výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v Každodenný život toto odvetvie matematiky.
Štúdium trigonometrie v škole dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých žiaci využívajú nadobudnuté vedomosti vo fyzike a riešení abstraktných úloh. goniometrické rovnice, práca s ktorou sa začína už na strednej škole.
Sférická trigonometria
Neskôr, keď sa veda dostala na ďalšiu úroveň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou a kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Tento oddiel sa na škole neštuduje, no o jeho existencii je potrebné vedieť minimálne preto zemského povrchu a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že akékoľvek označenie povrchu bude mať v trojrozmernom priestore „oblúkový tvar“.
Vezmite zemeguľu a niť. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Upozorňujeme - nadobudlo tvar oblúka. Takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.
Správny trojuholník
Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty je možné s ich pomocou vykonať a aké vzorce použiť.
Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety je jeho číselná hodnota rovná odmocnine súčtu druhých mocnín ostatných dvoch strán.
Napríklad, ak sú obe strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.
Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme sa rovná 180 stupňom.
Definícia
Nakoniec, s pevným pochopením geometrického základu, sa môžeme obrátiť na definíciu sínusu, kosínusu a tangensu uhla.
Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlej strany k prepone.
Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na to, aká dlhá je prepona, bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na problém dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.
Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Delenie sínusu kosínusom poskytne rovnaký výsledok. Pozrite sa: podľa vzorca vydelíme dĺžku strany preponou, potom vydelíme dĺžkou druhej strany a vynásobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký vzťah ako pri definícii dotyčnice.
Kotangens je teda pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednej dotyčnicou.
Takže sme sa pozreli na definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme prejsť k vzorcom.
Najjednoduchšie vzorce
V trigonometrii sa nezaobídete bez vzorcov - ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? Ale to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.
Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak potrebujete poznať veľkosť uhla a nie strany.
Veľa žiakov si nevie zapamätať druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: toto je rovnaké tvrdenie ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia áno trigonometrický vzorecúplne na nerozoznanie. Pamätajte: s vedomím toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, transformačných pravidiel a niekoľkých základných vzorcov, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované ďalšie zložité vzorce na kúsku papiera.
Vzorce pre dvojité uhly a sčítanie argumentov
Ďalšie dva vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú uvedené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.
Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - ako tréning sa ich snažte získať sami zobratím alfa uhla rovný uhlu beta.
Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno preusporiadať, aby sa znížila mocnina sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.
Vety
Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda aj plochu postavy a veľkosť každej strany atď.
Sínusová veta hovorí, že vydelenie dĺžky každej strany trojuholníka opačným uhlom vedie k rovnakému číslu. Okrem toho sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.
Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odpočítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínusom susedného uhla - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.
Neopatrné chyby
Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangenta, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, poďme sa pozrieť na tie najpopulárnejšie.
Po prvé, nemali by ste prevádzať zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať ako spoločný zlomok, pokiaľ nie je v podmienkach uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba mať na pamäti, že v každej fáze problému sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa autorovho nápadu mali znížiť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty ako odmocnina z troch alebo odmocnina z dvoch, pretože sa vyskytujú v problémoch na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie „škaredých“ čísel.
Ďalej si všimnite, že kosínusová veta sa vzťahuje na akýkoľvek trojuholník, ale nie na Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie predmetu. Toto je horšie ako neopatrná chyba.
Po tretie, nezamieňajte hodnoty pre uhly 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, tangenty, kotangensy. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus je 30 stupňov rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zameniť, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.
Aplikácia
Mnohí študenti sa so začiatkom štúdia trigonometrie neponáhľajú, pretože nerozumejú jej praktickému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, pomocou ktorých môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu alebo poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.
Konečne
Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské úlohy.
Celý zmysel trigonometrie spočíva v tom, že pomocou známych parametrov trojuholníka musíte vypočítať neznáme. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžka troch strán a veľkosť troch uhlov. Jediný rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú uvedené rôzne vstupné údaje.
Teraz viete, ako nájsť sínus, kosínus, tangentu na základe známych dĺžok nôh alebo prepony. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom úlohy trigonometrie je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže bežná školská matematika.
