Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzoval princíp hľadania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami pomocou súradnicovej metódy a získal sa vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k určeniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú po priamke, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojme rovinu prechádzajúcu bodom M priamky c a kolmú na priamku c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a. Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, ako a a priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, ako b. Je zrejmé, že priamky a a b sa pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b nezávisí od polohy bodu M na priamke c, ktorou rovina prechádza.

Zostrojme rovinu kolmú na priamku c a odlišnú od roviny. Rovina je pretínaná rovinami a pozdĺž priamok, ktoré označujeme ako a 1 a b 1, resp.

Zo spôsobu konštrukcie rovín vyplýva, že priamky a a b sú kolmé na priamku c a priamky a 1 a b 1 sú kolmé na priamku c. Keďže priamky a a a 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, potom sú rovnobežné. Podobne priamky b a b 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú rovnobežné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej sa priamka a 1 zhoduje s priamkou a a priamka b s priamkou b 1. Preto je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami ai a b1 rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b ležiacimi v pretínajúcich sa rovinách nezávisí od výberu bodu M, ktorým rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a.

Definícia.

Uhol medzi dvoma rovinami pretínajúcimi sa v priamke a- je to uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b, pozdĺž ktorých sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke c, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, označte bod M a nakreslite ním priamky a a b, kolmé na priamku c a ležiace v rovinách, a potom uhol medzi priamkami a a b je uhol medzi rovinami a. Zvyčajne sa v praxi vykonávajú práve takéto konštrukcie, aby sa dosiahol uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami nepresahuje , z uvedenej definície vyplýva, že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu. V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý, ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežné roviny buď ho neurčia vôbec, alebo ho považujú za rovný nule.

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa priame čiary, uhol medzi ktorými sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojiť s pôvodnými údajmi pomocou testov rovnosti, podobnosti testy, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangens uhla. V kurze geometrie stredná škola vyskytujú podobné problémy.

Ako príklad uveďme riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na rok 2012 (podmienka bola zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom ste len museli nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Príklad.

Riešenie.

Najprv urobme kresbu.

Urobme ďalšie konštrukcie, aby sme „videli“ uhol medzi rovinami.

Najprv definujme priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1. Bod B je jedným z ich spoločných bodov. Nájdime druhý spoločný bod týchto rovín. Priamky DA a D 1 E ležia v rovnakej rovine ADD 1, nie sú rovnobežné, a preto sa pretínajú. Na druhej strane priamka DA leží v rovine ABC a priamka D 1 E - v rovine BED 1, preto priesečník priamok DA a D 1 E bude spoločný bod lietadlá ABC a BED 1. Pokračujme teda v čiarach DA a D 1 E k ich priesečníku, pričom bod ich priesečníka označme písmenom F. Potom BF je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC a BED 1, prechádzajúce jedným bodom na priamke BF a kolmé na priamku BF - uhol medzi týmito priamkami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi lietadlá ABC a BED 1. Poďme na to.

Bodka A je priemet bodu E do roviny ABC. Nakreslíme priamku pretínajúcu priamku BF v pravom uhle v bode M. Potom je priamka AM priemetom priamky EM do roviny ABC a podľa vety o troch kolmiciach.

Požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 je teda rovný .

Môžeme určiť sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla). správny trojuholník AEM, ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Z podmienky je ľahké zistiť dĺžku AE: keďže bod E rozdeľuje stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A, a dĺžka strany AA 1 je 7, potom AE = 4. Nájdeme dĺžku AM.

Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, kde AM je výška. Podľa podmienky AB = 2. Dĺžku strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F a AEF:

Pomocou Pytagorovej vety zistíme z trojuholníka ABF. Nájdeme dĺžku AM cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane sa plocha trojuholníka ABF rovná , na druhej strane , kde .

Z pravého trojuholníka teda máme AEM .

Potom je požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 rovnaký (všimnite si, že ).

odpoveď:

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné nastaviť Oxyz a použiť metódu súradníc. Zastavme sa tam.

Stanovme si úlohu: nájdite uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Budeme predpokladať, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo máme možnosť ich nájsť. Nechaj je normálový vektor roviny a je normálový vektor roviny. Ukážeme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, ako c. Cez bod M na priamke c nakreslíme rovinu kolmú na priamku c. Rovina pretína roviny a pozdĺž čiar a a b sa priamky a a b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

Nakreslite normálové vektory a roviny az bodu M v rovine. V tomto prípade vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a, a vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálovým vektorom priamky a, je normálovým vektorom priamky b.

V článku o hľadaní uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sme dostali vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Kosínus uhla medzi priamkami a a b, a teda, kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca, kde A sú normálové vektory rovín a, resp. Potom sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Príklad.

Je daný obdĺžnikový hranol ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 a bod E delí stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi rovinami ABC a BED 1.

Riešenie.

Keďže strany pravouhlého rovnobežnostenu v jednom vrchole sú kolmé v pároch, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz nasledovne: zarovnajte začiatok s vrcholom C a nasmerujte súradnicové osi Ox, Oy a Oz pozdĺž strán CD. CB a CC1.

Uhol medzi rovinami ABC a BED 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín pomocou vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC a BED 1, v tomto poradí. Určme súradnice normálových vektorov.

Použitie súradnicovej metódy pri výpočte uhla

medzi lietadlami

Väčšina všeobecná metóda nájdenie uhlamedzi rovinami - súradnicová metóda (niekedy pomocou vektorov). Dá sa použiť, keď už boli vyskúšané všetky ostatné. Ale sú situácie, v ktorých má zmysel použiť metódu súradníc okamžite, a to vtedy, keď súradnicový systém prirodzene súvisí s mnohostenom uvedeným v probléme, t.j. Sú zreteľne viditeľné tri párové kolmé čiary, na ktorých je možné určiť súradnicové osi. Takéto mnohosteny sú pravouhlé rovnobežnosteny a pravidelné štvorhranná pyramída. V prvom prípade môže byť súradnicový systém určený hranami siahajúcimi z jedného vrcholu (obr. 1), v druhom - výškou a uhlopriečkami základne (obr. 2)

Aplikácia súradnicovej metódy je nasledovná.

Zavádza sa pravouhlý súradnicový systém v priestore. Odporúča sa zaviesť ho „prirodzeným“ spôsobom – „prepojiť“ ho s trojicou párových kolmých čiar, ktoré majú spoločný bod.

Pre každú z rovín, medzi ktorými sa hľadá uhol, sa zostaví rovnica. Najjednoduchší spôsob vytvorenia takejto rovnice je poznať súradnice troch bodov v rovine, ktoré neležia na tej istej priamke.

Rovnica roviny v všeobecný pohľad vyzerá ako Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficienty A, B, Cs v tejto rovnici sú súradnice normálového vektora roviny (vektor kolmý na rovinu). Potom určíme dĺžky a skalárny súčin normálových vektorov k rovinám, medzi ktorými sa hľadá uhol. Ak sú súradnice týchto vektorov(A1, B1; C1) a (A2; B2; C2 ), potom požadovaný uholvypočítané podľa vzorca

Komentujte. Treba mať na pamäti, že uhol medzi vektormi (na rozdiel od uhla medzi rovinami) môže byť tupý a aby sa predišlo možnej neistote, čitateľ na pravej strane vzorca obsahuje modul.

Vyriešte tento problém pomocou súradnicovej metódy.

Úloha 1. Je daná kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Bod K je stred okraja AD, bod L je stred okraja CD. Prečo? rovný uhlu medzi rovinami A 1 KL a A 1 AD?

Riešenie . Nech je počiatok súradnicového systému v bode A, a súradnicové osi idú pozdĺž lúčov AD, AB, AA 1 (obr. 3). Predpokladajme, že hrana kocky sa rovná 2 (vhodné je rozdeliť ju na polovicu). Potom súradnice bodov Ai, K, L sú nasledovné: Ai (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Ryža. 3

Zapíšme si rovnicu roviny A 1 K L všeobecne. Potom do nej dosadíme súradnice vybraných bodov tejto roviny. Získame systém troch rovníc so štyrmi neznámymi:

Vyjadrime koeficienty A, B, C až D a dostávame sa k rovnici

Rozdelenie oboch častí na D (prečo D = 0?) a potom vynásobením -2 dostaneme rovnicu roviny A1KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Potom má normálový vektor k tejto rovine súradnice (2: -2; 1). Rovinná rovnica A 1 AD je: y=0, a súradnice normálneho vektora k nemu, napríklad (0; 2: 0). Podľa vyššie uvedeného vzorca pre kosínus uhla medzi rovinami získame:

Zvážte dve roviny R 1 a R 2 s normálnymi vektormi n 1 a n 2. Uhol φ medzi rovinami R 1 a R 2 je vyjadrená prostredníctvom uhla ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) takto: ak ψ < 90°, potom φ = ψ (obr. 202, a); ak ψ > 90°, potom ψ = 180° - ψ (obr. 202.6).

Je zrejmé, že v každom prípade platí rovnosť

cos φ = |cos ψ|

Keďže kosínus uhla medzi nenulovými vektormi sa rovná skalárnemu súčinu týchto vektorov delenému súčinom ich dĺžok, máme

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

a teda kosínus uhla φ medzi rovinami R 1 a R 2 možno vypočítať pomocou vzorca

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Ak sú roviny dané všeobecnými rovnicami

A 1 X+ B1 r+ C 1 z+ D1 = 0 a A2 X+ B 2 r+ C 2 z+ D2 = 0,

potom pre ich normálne vektory môžeme vziať vektory n 1 = (A1; B1; C1) a n 2 = (A2; B2; C2).

Po zapísaní pravá strana vzorec (1) cez súradnice dostaneme

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Úloha 1. Vypočítajte uhol medzi rovinami

X - √2 r + z- 2 = 0 a x+ √2 r - z + 13 = 0.

V tomto prípade Ai = 1, B1 = - √2, C1 = 1, A2 = 1, B2 = √2, C2 = -1.

Zo vzorca (2) dostaneme

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Preto je uhol medzi týmito rovinami 60°.

Roviny s normálovými vektormi n 1 a n 2:

a) sú rovnobežné práve vtedy, ak vektory n 1 a n 2 sú kolineárne;

b) kolmé práve vtedy, ak vektory n 1 a n 2 sú kolmé, t.j n 1 n 2 = 0.

Odtiaľto získame potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch rovín daných všeobecnými rovnicami.

Do lietadla

A 1 X+ B1 r+ C 1 z+ D1 = 0 a A2 X+ B 2 r+ C 2 z+ D2 = 0

boli paralelné, je potrebné a postačujúce, aby rovnosť platila

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3) $$

Ak sa niektorý z koeficientov A 2, B 2, C 2 rovná nule, predpokladá sa, že zodpovedajúci koeficient A 1, B 1, C 1 je tiež rovný nule.

Zlyhanie aspoň jednej z týchto dvoch rovností znamená, že roviny nie sú rovnobežné, to znamená, že sa pretínajú.

Pre kolmosť rovín

A 1 X+ B1 r+ C 1 z+ D1 = 0 a A2 X+ B 2 r+ C 2 z+ D2 = 0

je potrebné a postačujúce, aby rovnosť platila

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. (4)

Úloha 2. Medzi nasledujúcimi pármi lietadiel:

2X + 5pri + 7z- 1 = 0 a 3 X - 4pri + 2z = 0,

pri - 3z+ 1 = 0 a 2 pri - 6z + 5 = 0,

4X + 2pri - 4z+ 1 = 0 a 2 X + pri + 2z + 3 = 0

označujú rovnobežné alebo kolmé. Pre prvý pár lietadiel

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

t.j. podmienka kolmosti je splnená. Roviny sú kolmé.

Pre druhý pár lietadiel

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), keďže \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

a koeficienty Ai a A2 sa rovnajú nule. Preto sú roviny druhého páru rovnobežné. Pre tretí pár

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), pretože \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

a A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, t.j. roviny tretieho páru nie sú ani rovnobežné, ani kolmé.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.