Ktoré ležia v rovnakej rovine a buď sa zhodujú, alebo sa nepretínajú. V niektorých školských definíciách sa zhodné čiary nepovažujú za paralelné; takáto definícia sa tu neuvažuje.

Vlastnosti

1. Paralelnosť je vzťah binárnej ekvivalencie, preto rozdeľuje celú množinu čiar do tried navzájom rovnobežných čiar.
2. Cez ktorýkoľvek bod môžete nakresliť presne jednu priamku rovnobežnú s daným bodom. Toto je charakteristická vlastnosť euklidovskej geometrie; v iných geometriách je číslo 1 nahradené inými (v Lobačevského geometrii sú aspoň dve takéto čiary)
3. 2 rovnobežné čiary v priestore ležia v rovnakej rovine.
4. Keď sa pretnú 2 rovnobežné čiary, tretia, tzv sekanta:
   1. Sečna nevyhnutne pretína obe čiary.
   2. Pri pretínaní sa vytvorí 8 uhlov, z ktorých niektoré charakteristické páry majú špeciálne názvy a vlastnosti:
      1. Ležať krížom krážom uhly sú rovnaké.
      2. Relevantné uhly sú rovnaké.
      3. Jednostranné súčet uhlov je 180°.

V Lobačevského geometrii

V Lobačevského geometrii v rovine cez bod Nedá sa analyzovať výraz (lexikálna chyba): Cmimo tejto línie $AB$

Existuje nekonečné množstvo priamych čiar, ktoré sa nepretínajú AB. Z nich paralelne s AB menovaní sú len dvaja.

Rovno CE nazývaná rovnostranná (paralelná) čiara AB v smere od A Komu B, Ak:

1. bodov B A E ležať na jednej strane priamky AC ;
2. rovno CE nepretína čiaru AB, ale každý lúč prechádzajúci vnútri uhla ACE, prekračuje lúč AB .

Rovná čiara je definovaná podobne AB v smere od B Komu A .

Všetky ostatné čiary, ktoré nepretínajú túto, sa nazývajú ultraparalelné alebo divergentný.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Prekračovanie čiar
• Nesterichin, Jurij Efremovič

Pozrite sa, čo sú „paralelné čiary“ v iných slovníkoch:

PARALELNÉ PRIAMY- PARALELNÉ ČIARY, nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine... Moderná encyklopédia

PARALELNÉ PRIAMY Veľký encyklopedický slovník

Paralelné čiary- PARALELNÉ ČIARY, nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine. ... Ilustrovaný encyklopedický slovník

Paralelné čiary- v euklidovskej geometrii priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. V absolútnej geometrii (Pozri Absolútna geometria) bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza aspoň jedna priamka bodom, ktorý danú priamku nepretína. V…… Veľká sovietska encyklopédia

rovnobežné čiary- nepretínajúce sa priamky ležiace v rovnakej rovine. * * * PARALELNÉ ČIARY PARALELNÉ ČIARY, nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine... encyklopedický slovník

PARALELNÉ PRIAMY- v euklidovskej geometrii priamky ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. V absolútnej geometrii bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza aspoň jedna priamka, ktorá danú priamku nepretína. V euklidovskej geometrii je len jedna... ... Matematická encyklopédia

PARALELNÉ PRIAMY- nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Paralelné svety vo fikcii- Tento článok môže obsahovať pôvodný výskum. Pridajte odkazy na zdroje, inak môže byť nastavený na odstránenie. Viac informácií môže byť na diskusnej stránke. Toto... Wikipedia

Paralelné svety - Paralelný svet(vo fikcii) realita, ktorá akosi existuje súčasne s našou, no nezávisle od nej. Táto autonómna realita môže mať rôzne veľkosti: od malej geografickej oblasti až po celý vesmír. Paralelne... Wikipedia

Paralelné- priamky Priamky sa nazývajú P. ak sa navzájom nepretínajú ani ich predĺženia. Správy z jednej z týchto liniek sú v rovnakej vzdialenosti od druhej. Zvykne sa však povedať: dve priamky P. sa pretínajú v nekonečne. Takéto…… Encyklopédia Brockhausa a Efrona

knihy

• Sada stolov. Matematika. 6. trieda. 12 tabuliek + metodika, . Tabuľky sú vytlačené na hrubú potlačenú lepenku s rozmermi 680 x 980 mm. Súprava obsahuje brožúru s metodické odporúčania pre učiteľa. Vzdelávací album 12 listov. Deliteľnosť…

Inštrukcie

Pred spustením dôkazu sa uistite, že čiary ležia v rovnakej rovine a dajú sa na ňu kresliť. Väčšina jednoduchým spôsobom Dôkazom je metóda merania pravítka. Na to použite pravítko na meranie vzdialenosti medzi rovnými čiarami na niekoľkých miestach čo najďalej od seba. Ak vzdialenosť zostane nezmenená, dané čiary sú rovnobežné. Ale táto metóda nie je dostatočne presná, preto je lepšie použiť iné metódy.

Nakreslite tretiu čiaru tak, aby pretínala obe rovnobežné čiary. Tvorí s nimi štyri vonkajšie a štyri vnútorné rohy. Zvážte vnútorné rohy. Tie, ktoré ležia cez sečnú čiaru, sa nazývajú krížovo ležiace. Tie, ktoré ležia na jednej strane, sa nazývajú jednostranné. Pomocou uhlomeru zmerajte dva vnútorné pretínajúce sa uhly. Ak sú si navzájom rovné, potom budú čiary rovnobežné. Ak máte pochybnosti, zmerajte jednostranné vnútorné uhly a pridajte výsledné hodnoty. Čiary budú rovnobežné, ak sa súčet jednostranných vnútorných uhlov rovná 180°.

Ak nemáte uhlomer, použite 90º štvorec. Použite ho na vytvorenie kolmice na jednu z čiar. Potom pokračujte v tejto kolmici tak, aby pretínala ďalšiu čiaru. Pomocou toho istého štvorca skontrolujte, pod akým uhlom ho táto kolmica pretína. Ak je tento uhol tiež 90º, potom sú čiary navzájom rovnobežné.

Ak sú čiary zadané v karteziánskom súradnicovom systéme, nájdite ich smer alebo normálové vektory. Ak sú tieto vektory navzájom kolineárne, potom sú čiary rovnobežné. Znížte rovnicu čiar na všeobecný tvar a nájdite súradnice normálového vektora každej čiary. Jeho súradnice sa rovnajú koeficientom A a B. Ak je pomer zodpovedajúcich súradníc normálových vektorov rovnaký, sú kolineárne a priamky sú rovnobežné.

Napríklad priame čiary sú dané rovnicami 4x-2y+1=0 a x/1=(y-4)/2. Prvá rovnica je všeobecný pohľad, druhý – kanonický. Uveďte druhú rovnicu do jej všeobecného tvaru. Použite na to pravidlo pomerného prevodu, výsledok bude 2x=y-4. Po zmenšení do všeobecného tvaru dostanete 2x-y+4=0. Keďže všeobecná rovnica pre ľubovoľný riadok je napísaná Ax+By+C=0, potom pre prvý riadok: A=4, B=2 a pre druhý riadok A=2, B=1. Pre prvú priamu súradnicu normálového vektora (4;2) a pre druhú – (2;1). Nájdite pomer zodpovedajúcich súradníc normálových vektorov 4/2=2 a 2/1=2. Tieto čísla sú rovnaké, čo znamená, že vektory sú kolineárne. Keďže vektory sú kolineárne, čiary sú rovnobežné.

KAPITOLA III.
PARALELNÉ PRIAMY

§ 35. ZNAKY ROVNOBEŽNÝCH DVOCH RIADKOV.

Veta, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné (§ 33), dáva znamenie, že dve priamky sú rovnobežné. Môžete vybrať viac všeobecné znaky rovnobežnosť dvoch čiar.

1. Prvý znak paralelizmu.

Ak keď sa dve priame čiary pretínajú s treťou, vnútorné uhly ležiace naprieč sú rovnaké, potom sú tieto čiary rovnobežné.

Nech priamky AB a CD pretína priamka EF a / 1 = / 2. Vezmite bod O - stred segmentu KL sečnice EF (obr. 189).

Spustíme kolmicu OM z bodu O na priamku AB a pokračujeme v nej, až kým sa nepretne s priamkou CD, AB_|_MN. Dokážme, že CD_|_MN.
Za týmto účelom zvážte dva trojuholníky: MOE a NOK. Tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Naozaj: / 1 = / 2 podľa podmienok vety; ОK = ОL - podľa konštrukcie;
/ MOL = / Dobre, páči sa mi vertikálne uhly. Teda strana a dva susedné uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a dva susedné uhly iného trojuholníka; teda, /\ MOL = /\ NOK, a teda
/ LMO = / KNO, ale / LMO je priame, čo znamená / KNO je tiež rovný. Čiary AB a CD sú teda kolmé na tú istú čiaru MN, teda sú rovnobežné (§ 33), čo bolo potrebné dokázať.

Poznámka. Priesečník priamok MO a CD možno určiť otočením trojuholníka MOL okolo bodu O o 180°.

2. Druhý znak paralelizmu.

Pozrime sa, či sú priamky AB a CD rovnobežné, ak keď pretínajú tretiu priamku EF, príslušné uhly sú rovnaké.

Nech sú niektoré zodpovedajúce uhly rovnaké, napr / 3 = / 2 (nákres 190);
/ 3 = / 1, pretože uhly sú vertikálne; znamená, / 2 budú rovnaké / 1. Ale uhly 2 a 1 pretínajú vnútorné uhly a už vieme, že ak dve priamky pretínajú tretiu, vnútorné uhly sú rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné. Preto AB || CD.

Ak keď dve priamky pretínajú tretiu, zodpovedajúce uhly sú rovnaké, potom sú tieto dve priamky rovnobežné.

Na tejto vlastnosti je založená konštrukcia rovnobežných čiar pomocou pravítka a rysovacieho trojuholníka. Toto sa robí nasledovne.

Pripevníme trojuholník k pravítku tak, ako je to znázornené na obrázku 191. Trojuholník posunieme tak, aby sa jedna z jeho strán posúvala pozdĺž pravítka, a nakreslíme niekoľko priamych čiar pozdĺž inej strany trojuholníka. Tieto čiary budú rovnobežné.

3. Tretí znak rovnobežnosti.

Uvedomme si, že keď sa dve priamky AB a CD pretínajú s treťou priamkou, súčet všetkých vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2 d(alebo 180°). Budú v tomto prípade priamky AB a CD rovnobežné (obr. 192).

Nechaj / 1 a / 2 sú vnútorné jednostranné uhly a súčet sú 2 d.
ale / 3 + / 2 = 2d ako susedné uhly. teda / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odtiaľ / 1 = / 3 a tieto vnútorné uhly ležia priečne. Preto AB || CD.

Ak sa dve priamky pretínajú s treťou, súčet vnútorných jednostranných uhlov je rovný 2 d, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Cvičenie.

Dokážte, že čiary sú rovnobežné:
a) ak sú vonkajšie priečne uhly rovnaké (obr. 193);
b) ak sa súčet vonkajších jednostranných uhlov rovná 2 d(kresba 194).

Rovnobežnosť dvoch priamok možno dokázať na základe vety, podľa ktorej dve kolmice nakreslené vo vzťahu k jednej priamke budú rovnobežné. Existujú určité znaky rovnobežnosti čiar - sú tri a všetky zvážime konkrétnejšie.

Prvý znak paralelizmu

Čiary sú rovnobežné, ak keď pretínajú tretiu čiaru, vnútorné uhly, ktoré sa tvoria krížom, budú rovnaké.

Povedzme, že keď sa priamky AB a CD pretínajú s priamkou EF, vznikli uhly /1 a /2. Sú rovnaké, pretože priamka EF prebieha v jednom sklone vzhľadom na ďalšie dve priamky. Tam, kde sa priamky pretínajú, dáme body Ki L - máme sečnicu EF. Nájdeme jej stred a položíme bod O (obr. 189).

Na priamku AB pustíme kolmicu z bodu O. Nazvime ju OM. Pokračujeme kolmicou, až kým nepretne priamku CD. Výsledkom je, že pôvodná priamka AB je striktne kolmá na MN, čo znamená, že CD_|_MN je tiež, ale toto tvrdenie vyžaduje dôkaz. V dôsledku nakreslenia kolmice a priesečníka sme vytvorili dva trojuholníky. Jeden z nich je MOJ, druhý NOK. Pozrime sa na ne podrobnejšie. znaky rovnobežných čiar stupeň 7

Tieto trojuholníky sú rovnaké, pretože v súlade s podmienkami vety /1 =/2 a v súlade s konštrukciou trojuholníkov je strana OK = strana OL. Uhol MOL =/NOK, keďže ide o vertikálne uhly. Z toho vyplýva, že strana a dva k nej priľahlé uhly jedného z trojuholníkov sa rovnajú strane a dvom priľahlým uhlom druhého trojuholníka. Teda trojuholník MOL = trojuholník NOK, a teda uhol LMO = uhol KNO, ale vieme, že /LMO je rovný, čo znamená, že zodpovedajúci uhol KNO je tiež pravý. To znamená, že sme dokázali, že na priamku MN sú priamka AB aj priamka CD kolmé. To znamená, že AB a CD sú navzájom paralelné. Toto sme potrebovali dokázať. Uvažujme o zostávajúcich znakoch rovnobežnosti čiar (stupeň 7), ktoré sa líšia od prvého znaku v metóde dôkazu.

Druhý znak paralelizmu

Podľa druhého kritéria pre rovnobežnosť priamok musíme dokázať, že uhly získané v procese priesečníka rovnobežiek AB a CD priamky EF budú rovnaké. Znaky rovnobežnosti dvoch čiar, prvej aj druhej, sú teda založené na rovnosti uhlov získaných, keď ich pretína tretia čiara. Predpokladajme, že /3 = /2 a uhol 1 = /3, pretože je k nemu kolmý. Takže a /2 sa bude rovnať uhlu 1, avšak treba vziať do úvahy, že uhol 1 aj uhol 2 sú vnútorné, priečne ležiace uhly. V dôsledku toho všetko, čo musíme urobiť, je použiť naše poznatky, konkrétne, že dva segmenty budú rovnobežné, ak keď pretínajú tretiu priamku, vytvorené priečne uhly sú rovnaké. Zistili sme teda, že AB || CD.

Podarilo sa nám dokázať, že za predpokladu, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné, podľa príslušnej vety je znamienko rovnobežiek zrejmé.

Tretí znak paralelizmu

Existuje aj tretí znak rovnobežnosti, ktorý dokazuje súčet jednostranných vnútorných uhlov. Tento dôkaz znamienka rovnobežnosti priamok nám umožňuje dospieť k záveru, že dve priamky budú rovnobežné, ak pri pretínaní tretej priamky bude súčet výsledných jednostranných vnútorných uhlov rovný 2d. Pozri obrázok 192.

V tomto článku budeme hovoriť o paralelných čiarach, poskytneme definície a načrtneme znaky a podmienky paralelizmu. Na sprehľadnenie teoretického materiálu použijeme ilustrácie a riešenia typických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Rovnobežné čiary v rovine– dve priame čiary v rovine, ktoré nemajú spoločné body.

Definícia 2

Paralelné čiary v trojrozmernom priestore– dve priame čiary v trojrozmernom priestore, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú žiadne spoločné body.

Je potrebné poznamenať, že na určenie rovnobežných čiar v priestore je mimoriadne dôležité objasnenie „ležiace v rovnakej rovine“: dve čiary v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné. , ale pretínajúce sa.

Na označenie rovnobežných čiar sa bežne používa symbol ∥. To znamená, že ak sú dané čiary a a b rovnobežné, táto podmienka by mala byť stručne napísaná takto: a ‖ b. Slovne sa rovnobežnosť priamok označuje takto: priamky aab sú rovnobežné, alebo priamka a je rovnobežná s priamkou b, alebo priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Formulujme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu v skúmanej téme.

axióma

Bodom nepatriacim do danej priamky prechádza jediná priamka rovnobežná s danou. Toto tvrdenie nie je možné dokázať na základe známych axióm planimetrie.

V prípade hovoríme o o vesmíre platí veta:

Veta 1

Cez akýkoľvek bod v priestore, ktorý nepatrí do danej priamky, bude s danou priamkou rovnobežná jedna priamka.

Táto veta sa dá ľahko dokázať na základe vyššie uvedenej axiómy (program geometrie pre ročníky 10 - 11).

Kritérium rovnobežnosti je postačujúca podmienka, ktorej splnenie zaručuje rovnobežnosť čiar. Inými slovami, splnenie tejto podmienky postačuje na potvrdenie skutočnosti paralelizmu.

Predovšetkým sú potrebné a dostatočné podmienky pre rovnobežnosť priamok v rovine a v priestore. Vysvetlime si: nevyhnutný znamená podmienku, ktorej splnenie je nevyhnutné pre rovnobežné čiary; ak nie je splnená, čiary nie sú rovnobežné.

Aby sme to zhrnuli, nutnou a postačujúcou podmienkou rovnobežnosti úsečiek je podmienka, ktorej dodržanie je nevyhnutné a postačujúce na to, aby boli úsečky navzájom rovnobežné. Na jednej strane je to znak paralelizmu, na druhej strane je to vlastnosť vlastná paralelným líniám.

Predtým, ako uvedieme presnú formuláciu nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, pripomeňme si niekoľko ďalších pojmov.

Definícia 3

Sekantová čiara– priamka pretínajúca každú z dvoch daných nezhodujúcich sa priamok.

Priečna, ktorá pretína dve priame čiary, vytvára osem nerozvinutých uhlov. Na sformulovanie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky použijeme také typy uhlov ako krížové, zodpovedajúce a jednostranné. Ukážeme si ich na ilustrácii:

Veta 2

Ak dve priamky v rovine pretína priečka, potom na to, aby boli dané priamky rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby uhly pretínania boli rovnaké, alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké, alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňov.

Znázornime graficky nevyhnutnú a postačujúcu podmienku rovnobežnosti priamok v rovine:

Dôkaz o týchto podmienkach je prítomný v programe geometrie pre ročníky 7 - 9.

Vo všeobecnosti tieto podmienky platia aj pre trojrozmerný priestor za predpokladu, že dve čiary a sečna patria do tej istej roviny.

Uveďme niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú na dôkaz skutočnosti, že priamky sú rovnobežné.

Veta 3

V rovine sú dve priamky rovnobežné s treťou navzájom rovnobežné. Táto vlastnosť je dokázaná na základe axiómy rovnobežnosti uvedenej vyššie.

Veta 4

V trojrozmernom priestore sú dve priamky rovnobežné s treťou navzájom rovnobežné.

Dôkaz znaku sa študuje v učebných osnovách geometrie 10. ročníka.

Uveďme ilustráciu týchto teorémov:

Naznačme ešte jednu dvojicu viet, ktoré dokazujú rovnobežnosť priamok.

Veta 5

V rovine sú dve priamky kolmé na tretiu navzájom rovnobežné.

Sformulujme podobnú vec pre trojrozmerný priestor.

Veta 6

V trojrozmernom priestore sú dve priamky kolmé na tretiu navzájom rovnobežné.

Poďme na ilustráciu:

Všetky vyššie uvedené vety, znamienka a podmienky umožňujú pohodlne dokázať rovnobežnosť priamok pomocou metód geometrie. To znamená, že na preukázanie rovnobežnosti čiar je možné ukázať, že zodpovedajúce uhly sú rovnaké, alebo preukázať skutočnosť, že dve dané čiary sú kolmé na tretiu atď. Všimnite si však, že na dôkaz rovnobežnosti čiar v rovine alebo v trojrozmernom priestore je často vhodnejšie použiť metódu súradníc.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme

V danom pravouhlom súradnicovom systéme je priamka určená rovnicou priamky v rovine jedného z možné typy. Podobne priamka definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme v trojrozmernom priestore zodpovedá niektorým rovniciam pre priamku v priestore.

Zapíšme si potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok v pravouhlom súradnicovom systéme v závislosti od typu rovnice popisujúcej dané priamky.

Začnime podmienkou rovnobežnosti priamok v rovine. Vychádza z definícií smerového vektora priamky a normálového vektora priamky v rovine.

Veta 7

Aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory daných priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory daných priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálový vektor druhej čiary.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti priamok v rovine je založená na podmienke kolinearity vektorov alebo podmienke kolmosti dvoch vektorov. To znamená, že ak a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory priamok a a b ;

a n b → = (n b x , n b y) sú normálové vektory priamok a a b, potom vyššie uvedenú nevyhnutnú a postačujúcu podmienku zapíšeme takto: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y alebo n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y alebo a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice vodiacich čiar alebo priamych vektorov sú určené danými rovnicami priamok. Pozrime sa na hlavné príklady.

1. Priama a v pravouhlom súradnicovom systéme je definovaná všeobecná rovnica priamka: Ai x + B1 y + C1 = 0; priamka b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom budú mať normálové vektory daných čiar súradnice (A 1, B 1) a (A 2, B 2). Podmienku paralelizmu zapíšeme takto:

Ai = tA2B1 = tB2

1. Priamka a je opísaná rovnicou priamky so sklonom v tvare y = k 1 x + b 1 . Priamka b - y = k 2 x + b 2. Potom normálové vektory daných čiar budú mať súradnice (k 1, - 1) a (k 2, - 1) a podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Ak sú teda rovnobežné čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme dané rovnicami s uhlovými koeficientmi, potom svahy dané riadky budú rovnaké. A platí aj opačné tvrdenie: ak sú nezhodné priamky v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme určené rovnicami priamky s identickými uhlovými koeficientmi, potom sú tieto dané priamky rovnobežné.

1. Priamky a a b v pravouhlom súradnicovom systéme sú špecifikované kanonickými rovnicami priamky v rovine: x - x 1 a x = y - y 1 a y a x - x 2 b x = y - y 2 b y alebo parametrickými rovnicami priamka v rovine: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y a x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Potom budú smerové vektory daných čiar: a x, a y a b x, b y a podmienku rovnobežnosti zapíšeme takto:

a x = t b x a y = t b y

Pozrime sa na príklady.

Príklad 1

Sú uvedené dve čiary: 2 x - 3 y + 1 = 0 a x 1 2 + y 5 = 1. Je potrebné určiť, či sú paralelné.

Riešenie

Napíšme rovnicu priamky v segmentoch vo forme všeobecnej rovnice:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidíme, že n a → = (2, - 3) je normálový vektor priamky 2 x - 3 y + 1 = 0 a n b → = 2, 1 5 je normálový vektor priamky x 1 2 + y 5 = 1.

Výsledné vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje taká hodnota tat, pri ktorej bude rovnosť pravdivá:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Nie je teda splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamok v rovine, čiže dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď: dané čiary nie sú rovnobežné.

Príklad 2

Sú dané priamky y = 2 x + 1 a x 1 = y - 4 2. Sú paralelné?

Riešenie

Transformujme kanonickú rovnicu priamky x 1 = y - 4 2 na rovnicu priamky so sklonom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidíme, že rovnice priamok y = 2 x + 1 a y = 2 x + 4 nie sú rovnaké (ak by to bolo inak, priamky by boli zhodné) a uhlové koeficienty priamok sú rovnaké, čo znamená, že dané čiary sú rovnobežné.

Skúsme problém vyriešiť inak. Najprv skontrolujeme, či sa dané čiary zhodujú. Použijeme ľubovoľný bod na priamke y = 2 x + 1, napríklad (0, 1), súradnice tohto bodu nezodpovedajú rovnici priamky x 1 = y - 4 2, čiže priamky áno nezhoduje sa.

Ďalším krokom je zistenie, či je splnená podmienka rovnobežnosti daných čiar.

Normálový vektor priamky y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) a smerový vektor druhej danej priamky je b → = (1 , 2) . Skalárny súčin týchto vektorov sa rovná nule:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Vektory sú teda kolmé: to nám demonštruje splnenie nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre rovnobežnosť pôvodných čiar. Tie. dané čiary sú rovnobežné.

odpoveď: tieto čiary sú rovnobežné.

Na preukázanie rovnobežnosti priamok v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru sa používa nasledujúca nevyhnutná a postačujúca podmienka.

Veta 8

Aby boli dve nezhodné priamky v trojrozmernom priestore rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne.

Tie. vzhľadom na rovnice priamok v trojrozmernom priestore sa odpoveď na otázku, či sú rovnobežné alebo nie, nachádza určením súradníc smerových vektorov daných priamok, ako aj kontrolou podmienky ich kolinearity. Inými slovami, ak a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) sú smerové vektory priamok a a b, potom, aby boli rovnobežné, existencia takého reálneho počtu je potrebné t, aby platila rovnosť:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Príklad 3

Sú dané priamky x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 a x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Je potrebné dokázať rovnobežnosť týchto čiar.

Riešenie

Podmienky úlohy sú dané kanonickými rovnicami jednej priamky v priestore a parametrickými rovnicami inej priamky v priestore. Vodiace vektory a → a b → dané čiary majú súradnice: (1, 0, - 3) a (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, potom a → = 1 2 · b → .

Tým je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť čiar v priestore.

odpoveď: je dokázaná rovnobežnosť daných čiar.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter