Analyzujme dva typy riešení sústav rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučnou metódou musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Express. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Výslednú hodnotu dosadíme do inej rovnice namiesto vyjadrenej premennej.
3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém metódou sčítania (odčítania) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme identické koeficienty.
2. Sčítame alebo odčítame rovnice, čím vznikne rovnica s jednou premennou.
3. Vyriešte výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením systému sú priesečníky funkčných grafov.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, čo znamená, že premennú x je najjednoduchšie vyjadriť z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2.Po jej vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3+10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorte zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom bode, kde sme to vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Je zvykom písať body na prvom mieste píšeme premennú x a na druhom mieste premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime pomocou metódy sčítania (odčítania) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc metódou sčítania

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberieme premennú, povedzme, že zvolíme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odčítajte druhú od prvej rovnice, aby ste sa zbavili premennej x.Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Nerobím si srandu.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Materiál v tomto článku je určený na prvé zoznámenie sa so sústavami rovníc. Tu predstavíme definíciu sústavy rovníc a jej riešenia a tiež zvážime najbežnejšie typy sústav rovníc. Ako obvykle uvedieme vysvetľujúce príklady.

Navigácia na stránke.

Čo je to sústava rovníc?

K definícii sústavy rovníc budeme pristupovať postupne. Po prvé, povedzme, že je vhodné to dať, pričom uvedieme dva body: po prvé, typ nahrávky a po druhé, význam vložený do tejto nahrávky. Pozrime sa na ne postupne a potom zovšeobecníme úvahy do definície sústav rovníc.

Nech je ich pred nami niekoľko. Zoberme si napríklad dve rovnice 2 x+y=−3 a x=5. Napíšeme ich pod seba a spojíme vľavo s kučeravou zátvorkou:

Záznamy tohto typu, ktorými je niekoľko rovníc usporiadaných do stĺpca a spojených vľavo zloženou zátvorkou, sú záznamy sústav rovníc.

Čo znamenajú takéto zápisy? Definujú množinu všetkých takýchto riešení rovníc systému, ktoré sú riešením každej rovnice.

Nebolo by na škodu opísať to inými slovami. Povedzme, že niektoré riešenia prvej rovnice sú riešeniami všetkých ostatných rovníc systému. Takže systémový záznam znamená len ich.

Teraz sme pripravení primerane prijať definíciu sústavy rovníc.

Definícia.

Sústavy rovníc záznamy hovorov, ktoré sú rovnicami umiestnenými pod sebou, spojenými vľavo zloženou zátvorkou, ktoré označujú množinu všetkých riešení rovníc, ktoré sú zároveň riešeniami každej rovnice systému.

Podobná definícia je uvedená v učebnici, nie je tam však uvedená pre všeobecný prípad, ale pre dva racionálne rovnice s dvoma premennými.

Hlavné typy

Je jasné, že existuje nekonečné množstvo rôznych rovníc. Prirodzene existuje aj nekonečné množstvo sústav rovníc zostavených pomocou nich. Preto pre pohodlie pri štúdiu a práci so systémami rovníc má zmysel rozdeliť ich do skupín podľa podobných charakteristík a potom prejsť k zvažovaniu systémov rovníc jednotlivých typov.

Prvé delenie naznačuje počet rovníc zahrnutých v systéme. Ak existujú dve rovnice, potom môžeme povedať, že máme systém dvoch rovníc, ak sú tri, potom systém troch rovníc atď. Je jasné, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej rovnice, pretože v tomto prípade máme v podstate dočinenia so samotnou rovnicou, a nie so systémom.

Ďalšie delenie je založené na počte premenných podieľajúcich sa na písaní rovníc systému. Ak je jedna premenná, tak máme do činenia so sústavou rovníc s jednou premennou (hovoria aj s jednou neznámou), ak sú dve, tak so sústavou rovníc s dvoma premennými (s dvoma neznámymi) atď. Napríklad, je sústava rovníc s dvoma premennými x a y.

To sa týka počtu všetkých rôznych premenných zahrnutých do záznamu. V zázname každej rovnice nemusia byť zahrnuté všetky naraz, stačí ich prítomnosť aspoň v jednej rovnici. napr. je sústava rovníc s tromi premennými x, y a z. V prvej rovnici je premenná x prítomná explicitne a y a z sú implicitné (môžeme predpokladať, že tieto premenné majú nulu), a v druhej rovnici sú x a z, ale premenná y nie je explicitne uvedená. Inými slovami, prvú rovnicu možno považovať za a druhý – ako x+0·y−3·z=0.

Tretím bodom, v ktorom sa systémy rovníc líšia, je typ samotných rovníc.

V škole sa začína štúdium sústav rovníc systémy dvoch lineárne rovnice s dvoma premennými. To znamená, že takéto systémy tvoria dve lineárne rovnice. Tu je pár príkladov: A . Učia sa základy práce so sústavami rovníc.

Pri riešení zložitejších úloh sa môžete stretnúť aj so sústavami troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Ďalej v 9. ročníku sa do sústav dvoch rovníc s dvoma premennými pridávajú nelineárne rovnice, väčšinou celé rovnice druhého stupňa, menej často - viac vysoké stupne. Tieto sústavy sa nazývajú sústavy nelineárnych rovníc, v prípade potreby sa uvádza počet rovníc a neznámych. Ukážme príklady takýchto systémov nelineárnych rovníc: A .

A potom v systémoch sú napríklad aj . Zvyčajne sa nazývajú jednoducho sústavy rovníc bez toho, aby sa špecifikovalo, ktoré rovnice. Tu stojí za zmienku, že systém rovníc sa najčastejšie označuje jednoducho ako „systém rovníc“ a vysvetlenia sa pridávajú iba v prípade potreby.

Na strednej škole sa materiál študuje iracionálne, trigonometrické, logaritmické a exponenciálne rovnice : , , .

Ak sa pozrieme ešte ďalej do učiva prvého ročníka univerzity, hlavný dôraz sa kladie na štúdium a riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE), teda rovníc, v ktorých ľavá strana obsahuje polynómy prvého stupňa, a na pravej strane sú určité čísla. Ale tam sa už na rozdiel od školy neberú dve lineárne rovnice s dvoma premennými, ale ľubovoľný počet rovníc s ľubovoľným počtom premenných, ktorý sa často nezhoduje s počtom rovníc.

Aké je riešenie sústavy rovníc?

Pojem „riešenie sústavy rovníc“ priamo odkazuje na sústavy rovníc. V škole je uvedená definícia riešenia sústavy rovníc s dvoma premennými :

Definícia.

Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými sa nazýva dvojica hodnôt týchto premenných, ktorá mení každú rovnicu systému na správnu, inými slovami, je riešením každej rovnice systému.

Napríklad dvojica premenných hodnôt x=5, y=2 (môže byť napísaná ako (5, 2)) je podľa definície riešením systému rovníc, pretože rovnice systému, keď x= 5 sa do nich dosadí y=2, premenia sa na správne číselné rovnosti 5+2=7 a 5−2=3. Dvojica hodnôt x=3, y=0 však nie je riešením tohto systému, pretože pri dosadení týchto hodnôt do rovníc sa prvá z nich zmení na nesprávnu rovnosť 3+0=7.

Podobné definície možno formulovať pre systémy s jednou premennou, ako aj pre systémy s tromi, štyrmi atď. premenných.

Definícia.

Riešenie sústavy rovníc s jednou premennou bude existovať hodnota premennej, ktorá je koreňom všetkých rovníc systému, to znamená, že všetky rovnice premení na správne číselné rovnosti.

Uveďme si príklad. Uvažujme sústavu rovníc s jednou premennou t tvaru . Číslo −2 je jeho riešením, keďže obe (−2) 2 =4 a 5·(−2+2)=0 sú skutočné číselné rovnosti. A t=1 nie je riešením systému, pretože dosadením tejto hodnoty vzniknú dve nesprávne rovnosti 1 2 =4 a 5·(1+2)=0.

Definícia.

Riešenie systému s tromi, štyrmi atď. premenných nazývané tri, štyri atď. hodnoty premenných, v tomto poradí, čím sa všetky rovnice systému premenia na skutočné rovnosti.

Takže podľa definície je trojica hodnôt premenných x=1, y=2, z=0 riešením systému , keďže 2·1=2, 5·2=10 a 1+2+0=3 sú skutočné číselné rovnosti. A (1, 0, 5) nie je riešením tohto systému, pretože pri dosadení týchto hodnôt premenných do rovníc systému sa druhá z nich zmení na nesprávnu rovnosť 5 · 0 = 10 a tretia tiež 1+0+5=3.

Všimnite si, že sústavy rovníc nemusia mať riešenia, môžu mať konečný počet riešení, napríklad jedno, dve, ..., alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Uvidíte to, keď sa hlbšie ponoríte do témy.

Ak vezmeme do úvahy definície sústavy rovníc a ich riešenia, môžeme dospieť k záveru, že riešenie sústavy rovníc je priesečníkom množín riešení všetkých jej rovníc.

Na záver uvádzame niekoľko súvisiacich definícií:

Definícia.

nekĺbový, ak nemá žiadne riešenia, inak sa systém volá kĺb.

Definícia.

Sústava rovníc je tzv neistý, ak má nekonečne veľa riešení, a istý, ak má konečný počet riešení alebo ich nemá vôbec.

Tieto pojmy sú zavedené napríklad v učebnici, ale v škole sa používajú pomerne zriedka, častejšie ich počuť na vysokých školách.

Bibliografia.

1. Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník Za 2 hod.časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Kurz vyššej algebry.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometria: Učebnica: Pre vysoké školy. – 5. vyd. – M.: Veda. Fizmatlit, 1999. – 224 s. - (No vyššia matematika a mat. fyzika). – ISBN 5-02-015234 – X (vydanie 3)

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma variabilná metóda om substitúcia a metóda sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl stredné školy v príprave na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný tréning a/alebo tréning váš. mladší bratiači sestry, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených problémov.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa rovnice najskôr zjednodušia. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných miest a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinné miesta môžu byť oddelené bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri vstupe číselný zlomokČitateľ je oddelený od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Riešiť sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc pomocou substitučnej metódy:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz do inej rovnice systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime y pomocou x z prvej rovnice: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x do druhej rovnice namiesto y dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnosti y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Uvažujme o ďalšom spôsobe riešenia sústav lineárnych rovníc - metóde sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitúciou prechádzame z tejto sústavy do inej, ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc pomocou metódy sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty jednej z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte ľavú a pravú stranu systémových rovníc po členoch;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním ľavej a pravej strany rovníc člen po člene dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38\) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38\). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Tak sme našli riešenie sústavy rovníc sčítaním: \(x=11; y=-9\) alebo \((11;-9)\)

Využijúc fakt, že v rovniciach sústavy sú koeficienty pre y opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch strán každej z rovníc pôvodnej sústavy), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky testy online Hry, hádanky Kreslenie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh Obsah lekcie

Lineárne rovnice v dvoch premenných

Školák má na obed v škole 200 rubľov. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčov a šálok kávy si môžete kúpiť za 200 rubľov?

Označme počet koláčov podľa X a počet prepitých šálok kávy r. Potom budú náklady na koláče označené výrazom 25 X a náklady na šálky kávy za 10 r .

25X- cena X koláče
10y — cena ršálky kávy

Celková suma by mala byť 200 rubľov. Potom dostaneme rovnicu s dvoma premennými X A r

25X+ 10r= 200

Koľko koreňov má táto rovnica?

Všetko závisí od chuti študenta. Ak si kúpi 6 koláčov a 5 šálok kávy, koreňmi rovnice budú čísla 6 a 5.

Dvojica hodnôt 6 a 5 sa považuje za korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zapísané ako (6; 5), pričom prvé číslo je hodnota premennej X a druhá - hodnota premennej r .

6 a 5 nie sú jediné korene, ktoré obracajú rovnicu 25 X+ 10r= 200 k identite. Ak je to potrebné, za rovnakých 200 rubľov si študent môže kúpiť 4 koláče a 10 šálok kávy:

V tomto prípade korene rovnice 25 X+ 10r= 200 je pár hodnôt (4; 10).

Okrem toho si školák nemôže kúpiť kávu, ale kúpiť koláče za celých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200 budú hodnoty 8 a 0

Alebo naopak, nekupujte koláče, ale kúpte si kávu za celých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200, hodnoty budú 0 a 20

Skúsme uviesť všetky možné korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zhodnime sa, že hodnoty X A r patria do množiny celých čísel. A nech sú tieto hodnoty väčšie alebo rovné nule:

X∈Z, r∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

To bude výhodné pre samotného študenta. Je výhodnejšie kúpiť celé koláče ako napríklad niekoľko celých koláčov a pol koláča. Je tiež pohodlnejšie brať kávu v celých šálkach ako napríklad niekoľko celých šálok a pol šálky.

Všimnite si, že za nepárny X za žiadnych okolností nie je možné dosiahnuť rovnosť r. Potom hodnoty X nasledujúce čísla budú 0, 2, 4, 6, 8. A vedieť X možno ľahko určiť r

Takto sme dostali nasledujúce páry hodnôt (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Tieto dvojice sú riešeniami alebo koreňmi rovnice 25 X+ 10r= 200. Zmenia túto rovnicu na identitu.

Rovnica formulára ax + by = c volal lineárna rovnica s dvoma premennými. Riešením alebo koreňmi tejto rovnice je dvojica hodnôt ( X; r), čím sa zmení na identitu.

Všimnite si tiež, že ak je lineárna rovnica s dvoma premennými napísaná vo forme ax + b y = c , potom hovoria, že je to napísané v kanonický(normálna) forma.

Niektoré lineárne rovnice v dvoch premenných možno redukovať na kanonickú formu.

Napríklad rovnica 2(16X+ 3y − 4) = 2(12 + 8X − r) možno spomenúť ax + by = c. Otvorme zátvorky na oboch stranách tejto rovnice a získajme 32X + 6r − 8 = 24 + 16X − 2r . Zoskupujeme členy obsahujúce neznáme na ľavej strane rovnice a členy bez neznámych - na pravej strane. Potom dostaneme 32x− 16X+ 6r+ 2r = 24 + 8 . Na oboch stranách uvádzame podobné pojmy, dostaneme rovnicu 16 X+ 8r= 32. Táto rovnica je zredukovaná do tvaru ax + by = c a je kanonický.

Rovnica 25 diskutovaná vyššie X+ 10r= 200 je tiež lineárna rovnica s dvoma premennými v kanonickom tvare. V tejto rovnici parametre a , b A c sa rovnajú hodnotám 25, 10 a 200.

Vlastne rovnica ax + by = c má nespočetné množstvo riešení. Riešenie rovnice 25X+ 10r= 200, jeho korene sme hľadali len na množine celých čísel. V dôsledku toho sme získali niekoľko párov hodnôt, ktoré zmenili túto rovnicu na identitu. Ale na mnohých racionálne čísla rovnica 25 X+ 10r= 200 bude mať nekonečne veľa riešení.

Ak chcete získať nové páry hodnôt, musíte použiť ľubovoľnú hodnotu X, potom vyjadrite r. Vezmime si napríklad premennú X hodnota 7. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 25×7 + 10r= 200 v ktorom sa dá vyjadriť r

Nechaj X= 15. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 sa zmení na 25 × 15 + 10r= 200. Odtiaľ to nájdeme r = −17,5

Nechaj X= -3. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 sa zmení na 25 × (-3) + 10r= 200. Odtiaľ to nájdeme r = −27,5

Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými

Pre rovnicu ax + by = c môžete použiť ľubovoľné hodnoty toľkokrát, koľkokrát chcete X a nájsť hodnoty pre r. Ak sa to vezme samostatne, takáto rovnica bude mať nespočetné množstvo riešení.

Ale tiež sa stáva, že premenné X A r spojené nie jednou, ale dvoma rovnicami. V tomto prípade tvoria tzv sústava lineárnych rovníc v dvoch premenných. Takýto systém rovníc môže mať jeden pár hodnôt (alebo inými slovami: „jedno riešenie“).

Môže sa tiež stať, že systém nemá žiadne riešenia. Systém lineárnych rovníc môže mať v ojedinelých a výnimočných prípadoch nespočetné množstvo riešení.

Dve lineárne rovnice tvoria systém, keď hodnoty X A r zadajte do každej z týchto rovníc.

Vráťme sa k úplne prvej rovnici 25 X+ 10r= 200. Jedným z párov hodnôt pre túto rovnicu bol pár (6; 5) . To je prípad, keď za 200 rubľov ste si mohli kúpiť 6 koláčov a 5 šálok kávy.

Sformulujme úlohu tak, aby sa dvojica (6; 5) stala jediným riešením rovnice 25 X+ 10r= 200. Aby sme to urobili, vytvorte ďalšiu rovnicu, ktorá by spájala to isté X koláče a ršálky kávy.

Uveďme text problému takto:

„Študent si kúpil niekoľko koláčov a niekoľko šálok kávy za 200 rubľov. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčikov a šálok kávy si študent kúpil, ak je známe, že počet koláčikov je o jednotku väčší ako počet šálok kávy?

Prvú rovnicu už máme. Toto je rovnica 25 X+ 10r= 200. Teraz vytvoríme rovnicu pre podmienku „počet koláčikov je o jednotku väčší ako počet šálok kávy“ .

Počet koláčikov je X, a počet šálok kávy je r. Túto frázu môžete napísať pomocou rovnice x-y= 1. Táto rovnica bude znamenať, že rozdiel medzi koláčmi a kávou je 1.

x = y+ 1. Táto rovnica znamená, že počet koláčikov je o jeden väčší ako počet šálok kávy. Preto, aby sa dosiahla rovnosť, k počtu šálok kávy sa pridá jedna. To sa dá ľahko pochopiť, ak použijeme model mierok, ktoré sme zvažovali pri štúdiu najjednoduchších problémov:

Máme dve rovnice: 25 X+ 10r= 200 a x = y+ 1. Keďže hodnoty X A r, konkrétne 6 a 5 sú zahrnuté v každej z týchto rovníc, potom spolu tvoria systém. Napíšme si tento systém. Ak rovnice tvoria systém, potom sú orámované znakom systému. Symbol systému je zložená zátvorka:

Poďme vyriešiť tento systém. To nám umožní vidieť, ako sa dostaneme k hodnotám 6 a 5. Existuje mnoho metód na riešenie takýchto systémov. Pozrime sa na najobľúbenejšie z nich.

Substitučná metóda

Názov tejto metódy hovorí sám za seba. Jeho podstatou je dosadenie jednej rovnice do inej, ktorá predtým vyjadrila jednu z premenných.

V našom systéme nie je potrebné nič vyjadrovať. V druhej rovnici X = r+ 1 premenná X už vyjadrené. Táto premenná sa rovná výrazu r+ 1. Potom môžete tento výraz nahradiť do prvej rovnice namiesto premennej X

Po nahradení výrazu r+ 1 do prvej rovnice X, dostaneme rovnicu 25(r+ 1) + 10r= 200 . Toto je lineárna rovnica s jednou premennou. Táto rovnica sa dá pomerne ľahko vyriešiť:

Zistili sme hodnotu premennej r. Teraz dosadíme túto hodnotu do jednej z rovníc a nájdeme hodnotu X. Na tento účel je vhodné použiť druhú rovnicu X = r+ 1. Dosadíme do nej hodnotu r

To znamená, že dvojica (6; 5) je riešením sústavy rovníc, ako sme zamýšľali. Skontrolujeme a ubezpečíme sa, že pár (6; 5) vyhovuje systému:

Príklad 2

Dosadíme prvú rovnicu X= 2 + r do druhej rovnice 3 x− 2r= 9. V prvej rovnici premenná X rovná sa výrazu 2 + r. Namiesto toho dosadíme tento výraz do druhej rovnice X

Teraz poďme nájsť hodnotu X. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu r do prvej rovnice X= 2 + r

To znamená, že riešením systému je hodnota páru (5; 3)

Príklad 3. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Tu, na rozdiel od predchádzajúcich príkladov, jedna z premenných nie je explicitne vyjadrená.

Ak chcete nahradiť jednu rovnicu inou, musíte najskôr .

Je vhodné vyjadriť premennú, ktorá má koeficient jedna. Premenná má koeficient jedna X, ktorý je obsiahnutý v prvej rovnici X+ 2r= 11. Vyjadrime túto premennú.

Po variabilnom výraze X, náš systém bude mať nasledujúcu formu:

Teraz dosadíme prvú rovnicu do druhej a nájdeme hodnotu r

Poďme nahradiť r X

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (3; 4)

Samozrejme, môžete vyjadriť aj premennú r. Tým sa nezmenia korene. Ale ak sa vyjadríš y, Výsledkom nie je veľmi jednoduchá rovnica, ktorej riešenie zaberie viac času. Bude to vyzerať takto:

Vidíme, že v tomto príklade vyjadrujeme X oveľa pohodlnejšie ako vyjadrovanie r .

Príklad 4. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Vyjadrime sa v prvej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

r

Poďme nahradiť r do prvej rovnice a nájdite X. Môžete použiť pôvodnú rovnicu 7 X+ 9r= 8, alebo použite rovnicu, v ktorej je premenná vyjadrená X. Použijeme túto rovnicu, pretože je vhodná:

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (5; −3)

Spôsob pridávania

Metóda sčítania pozostáva zo sčítania rovníc zahrnutých v systéme po členoch. Výsledkom tohto pridania je nová rovnica s jednou premennou. A riešenie takejto rovnice je celkom jednoduché.

Poďme vyriešiť nasledujúcu sústavu rovníc:

Pridajme ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvá rovnica s pravá strana druhá rovnica. Dostaneme nasledujúcu rovnosť:

Pozrime sa na podobné pojmy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 3 X= 27, ktorého koreň je 9. Poznanie hodnoty X môžete nájsť hodnotu r. Dosadíme hodnotu X do druhej rovnice x-y= 3. Dostaneme 9 - r= 3. Odtiaľ r= 6 .

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (9; 6)

Príklad 2

Pridajme ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Vo výslednej rovnosti uvádzame podobné pojmy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 5 X= 20, ktorého koreň je 4. Poznanie hodnoty X môžete nájsť hodnotu r. Dosadíme hodnotu X do prvej rovnice 2 x+y= 11. Dajme 8+ r= 11. Odtiaľ r= 3 .

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (4;3)

Proces pridávania nie je podrobne opísaný. Musí sa to robiť psychicky. Pri sčítaní treba obe rovnice zredukovať na kanonickú formu. Teda mimochodom ac + by = c .

Z uvažovaných príkladov je zrejmé, že hlavným účelom pridávania rovníc je zbaviť sa jednej z premenných. Ale nie vždy je možné okamžite vyriešiť sústavu rovníc pomocou metódy sčítania. Najčastejšie sa systém najprv uvedie do formy, v ktorej je možné pridať rovnice zahrnuté v tomto systéme.

Napríklad systém je možné okamžite vyriešiť pridaním. Pri sčítaní oboch rovníc sú členy r A −y zmizne, pretože ich súčet je nula. V dôsledku toho sa vytvorí najjednoduchšia rovnica 11 X= 22, ktorého koreň je 2. Potom bude možné určiť r rovný 5.

A systém rovníc Metódu sčítania nemožno vyriešiť okamžite, pretože to nepovedie k vymiznutiu jednej z premenných. Výsledkom sčítania bude rovnica 8 X+ r= 28, ktorý má nekonečný počet riešení.

Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej jednotke. Toto pravidlo platí aj pre sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými. Jedna z rovníc (alebo obe rovnice) môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Výsledkom bude ekvivalentný systém, ktorého korene sa budú zhodovať s predchádzajúcim.

Vráťme sa k úplne prvému systému, ktorý popisoval, koľko koláčikov a šálok kávy si školák kúpil. Riešením tohto systému bola dvojica hodnôt (6; 5).

Vynásobme obe rovnice zahrnuté v tejto sústave nejakými číslami. Povedzme, že vynásobíme prvú rovnicu 2 a druhú 3

V dôsledku toho sme dostali systém
Riešením tohto systému je stále dvojica hodnôt (6; 5)

To znamená, že rovnice zahrnuté v systéme môžu byť zredukované na formu vhodnú na aplikáciu metódy sčítania.

Vráťme sa k systému , ktoré sa nám nepodarilo vyriešiť metódou sčítania.

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú −2

Potom dostaneme nasledujúci systém:

Sčítajme rovnice zahrnuté v tomto systéme. Pridávanie komponentov 12 X a -12 X výsledkom bude 0, sčítanie 18 r a 4 r dá 22 r a sčítaním 108 a −20 dostaneme 88. Potom dostaneme rovnicu 22 r= 88, odtiaľto r = 4 .

Ak je spočiatku ťažké pridať rovnice v hlave, potom si môžete napísať, ako sa to sčítava ľavá strana prvej rovnice s ľavou stranou druhej rovnice a pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice:

S vedomím, že hodnota premennej r rovná sa 4, môžete nájsť hodnotu X. Poďme nahradiť r do jednej z rovníc, napríklad do prvej rovnice 2 X+ 3r= 18. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 2 X+ 12 = 18. Presuňme 12 na pravú stranu, pričom zmeníme znamienko, dostaneme 2 X= 6, odtiaľto X = 3 .

Príklad 4. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Vynásobme druhú rovnicu −1. Potom bude mať systém nasledujúcu formu:

Pridajme obe rovnice. Pridávanie komponentov X A −x výsledkom bude 0, sčítanie 5 r a 3 r dá 8 r a sčítaním 7 a 1 dostaneme 8. Výsledkom je rovnica 8 r= 8, ktorého koreň je 1. S vedomím, že hodnota r rovná sa 1, môžete nájsť hodnotu X .

Poďme nahradiť r do prvej rovnice dostaneme X+ 5 = 7, teda X= 2

Príklad 5. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Je žiaduce, aby výrazy obsahujúce rovnaké premenné boli umiestnené pod sebou. Preto v druhej rovnici výrazy 5 r a -2 X Vymeňme si miesta. V dôsledku toho bude mať systém podobu:

Vynásobme druhú rovnicu číslom 3. Potom bude systém mať tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. Výsledkom sčítania dostaneme rovnicu 8 r= 16, ktorého koreň je 2.

Poďme nahradiť r do prvej rovnice dostaneme 6 X− 14 = 40. Presuňme výraz −14 na pravú stranu, zmeníme znamienko a dostaneme 6 X= 54. Odtiaľ X= 9.

Príklad 6. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Zbavme sa zlomkov. Vynásobte prvú rovnicu 36 a druhú 12

Vo výslednom systéme prvú rovnicu možno vynásobiť -5 a druhú 8

Sčítajme rovnice vo výslednej sústave. Potom dostaneme najjednoduchšiu rovnicu −13 r= -156 . Odtiaľ r= 12. Poďme nahradiť r do prvej rovnice a nájdite X

Príklad 7. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Uveďme obe rovnice do normálneho tvaru. Tu je vhodné použiť pravidlo proporcie v oboch rovniciach. Ak je v prvej rovnici pravá strana reprezentovaná ako a pravá strana druhej rovnice ako , potom bude mať systém tvar:

Máme pomer. Vynásobme jeho extrémne a stredné pojmy. Potom bude mať systém tvar:

Vynásobme prvú rovnicu −3 a otvorme zátvorky v druhej:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania týchto rovníc dostaneme rovnosť s nulou na oboch stranách:

Ukazuje sa, že systém má nespočetné množstvo riešení.

Ale nemôžeme si len tak zobrať ľubovoľné hodnoty z neba X A r. Môžeme určiť jednu z hodnôt a druhá bude určená v závislosti od hodnoty, ktorú určíme. Napríklad nech X= 2. Dosadíme túto hodnotu do systému:

Výsledkom riešenia jednej z rovníc je hodnota pre r, ktorý bude spĺňať obe rovnice:

Výsledná dvojica hodnôt (2; −2) uspokojí systém:

Poďme nájsť ďalší pár hodnôt. Nechaj X= 4. Dosadíme túto hodnotu do systému:

Hodnotu spoznáte od oka r rovná sa nule. Potom dostaneme pár hodnôt (4; 0), ktorý vyhovuje nášmu systému:

Príklad 8. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú 12

Prepíšme, čo zostalo:

Vynásobme prvú rovnicu −1. Potom bude mať systém tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania sa vytvorí rovnica 6 b= 48, ktorého koreň je 8. Nahrad b do prvej rovnice a nájdite a

Systém lineárnych rovníc s tromi premennými

Lineárna rovnica s tromi premennými obsahuje tri premenné s koeficientmi, ako aj priesečník. V kánonickej forme to môže byť napísané takto:

ax + by + cz = d

Táto rovnica má nespočetné množstvo riešení. Uvedenie dvoch premenných rôzne významy, možno nájsť tretiu hodnotu. Riešením je v tomto prípade trojica hodnôt ( X; y; z), čo mení rovnicu na identitu.

Ak premenné x, y, z sú vzájomne prepojené tromi rovnicami, potom vzniká sústava troch lineárnych rovníc s tromi premennými. Na vyriešenie takéhoto systému môžete použiť rovnaké metódy, ktoré platia pre lineárne rovnice s dvoma premennými: substitučnú metódu a metódu sčítania.

Príklad 1. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Vyjadrime sa v tretej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

Teraz urobme náhradu. Variabilné X sa rovná výrazu 3 − 2r − 2z . Dosaďte tento výraz do prvej a druhej rovnice:

Otvorme zátvorky v oboch rovniciach a predstavme podobné pojmy:

Dospeli sme k systému lineárnych rovníc s dvoma premennými. V tomto prípade je vhodné použiť metódu pridávania. V dôsledku toho premenná r zmizne a môžeme nájsť hodnotu premennej z

Teraz poďme nájsť hodnotu r. Na tento účel je vhodné použiť rovnicu − r+ z= 4. Dosaďte do neho hodnotu z

Teraz poďme nájsť hodnotu X. Na tento účel je vhodné použiť rovnicu X= 3 − 2r − 2z . Dosadíme do nej hodnoty r A z

Trojica hodnôt (3; −2; 2) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Príklad 2. Vyriešte systém pomocou metódy sčítania

Sčítajme prvú rovnicu s druhou, vynásobíme −2.

Ak sa druhá rovnica vynásobí -2, dostane tvar −6X+ 6y − 4z = −4 . Teraz to pridajme k prvej rovnici:

Vidíme, že v dôsledku elementárnych transformácií bola určená hodnota premennej X. Rovná sa jednej.

Vráťme sa k hlavnému systému. Pridajme druhú rovnicu k tretej, vynásobíme −1. Ak sa tretia rovnica vynásobí −1, dostane tvar −4X + 5r − 2z = −1 . Teraz to pridajme k druhej rovnici:

Dostali sme rovnicu x− 2r= -1. Dosadíme do nej hodnotu X ktoré sme našli skôr. Potom môžeme určiť hodnotu r

Teraz poznáme významy X A r. To vám umožní určiť hodnotu z. Použime jednu z rovníc zahrnutých v systéme:

Trojica hodnôt (1; 1; 1) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Problémy skladania sústav lineárnych rovníc

Úloha skladania sústav rovníc sa rieši zadaním viacerých premenných. Ďalej sa zostavujú rovnice na základe podmienok úlohy. Zo zostavených rovníc tvoria sústavu a riešia ju. Po vyriešení systému je potrebné skontrolovať, či jeho riešenie spĺňa podmienky problému.

Problém 1. Auto Volga odišlo z mesta do kolchozu. Späť sa vrátila po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá. Celkovo auto prešlo 35 km tam a späť. Koľko kilometrov má každá cesta?

Riešenie

Nechaj X- dĺžka prvej cesty, r- dĺžka druhého. Ak auto prešlo 35 km tam a späť, potom prvú rovnicu možno zapísať ako X+ r= 35. Táto rovnica popisuje súčet dĺžok oboch ciest.

Auto sa vraj vrátilo po ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako tá prvá. Potom môže byť druhá rovnica napísaná ako X− r= 5. Táto rovnica ukazuje, že rozdiel medzi dĺžkami ciest je 5 km.

Alebo druhá rovnica môže byť napísaná ako X= r+ 5. Použijeme túto rovnicu.

Pretože premenné X A r v oboch rovniciach označujú rovnaké číslo, potom z nich môžeme zostaviť systém:

Vyriešme tento systém pomocou niektorej zo skôr študovaných metód. V tomto prípade je vhodné použiť substitučnú metódu, keďže v druhej rovnici premenná X už vyjadrené.

Dosaďte druhú rovnicu do prvej a nájdite r

Nájdenú hodnotu dosadíme r v druhej rovnici X= r+ 5 a nájdeme X

Dĺžka prvej cesty bola určená cez premennú X. Teraz sme našli jeho význam. Variabilné X sa rovná 20. To znamená, že dĺžka prvej cesty je 20 km.

A dĺžka druhej cesty bola označená r. Hodnota tejto premennej je 15. To znamená, že dĺžka druhej cesty je 15 km.

Skontrolujme to. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Teraz skontrolujme, či riešenie (20; 15) spĺňa podmienky problému.

Hovorilo sa, že auto prešlo spolu 35 km tam a späť. Sčítame dĺžky oboch ciest a dbáme na to, aby riešenie (20; 15) vyhovovalo tento stav: 20 km + 15 km = 35 km

Nasledujúca podmienka: auto sa vrátilo späť po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá . Vidíme, že riešenie (20; 15) tiež spĺňa túto podmienku, pretože 15 km je kratších ako 20 km o 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Pri zostavovaní systému je dôležité, aby premenné predstavovali rovnaké čísla vo všetkých rovniciach zahrnutých v tomto systéme.

Náš systém teda obsahuje dve rovnice. Tieto rovnice zase obsahujú premenné X A r, ktoré predstavujú rovnaké čísla v oboch rovniciach, a to dĺžky ciest 20 km a 15 km.

Problém 2. Na plošinu boli naložené dubové a borovicové podvaly, celkovo 300 podvalov. Je známe, že všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly. Určte, koľko dubových a borovicových podvalov bolo oddelene, ak každý dubový podval vážil 46 kg a každý borovicový podval 28 kg.

Riešenie

Nechaj X dub a r na plošinu boli naložené borovicové podvaly. Ak by bolo celkovo 300 podvalov, tak prvú rovnicu možno napísať ako x+y = 300 .

Všetky dubové podvaly vážili 46 X kg a tie borovicové vážili 28 r kg. Keďže dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako borovicové podvaly, druhú rovnicu možno zapísať ako 28y − 46X= 1000 . Táto rovnica ukazuje, že rozdiel v hmotnosti medzi dubovými a borovicovými podvalmi je 1000 kg.

Tony boli prevedené na kilogramy, pretože hmotnosť dubových a borovicových podvalov sa merala v kilogramoch.

V dôsledku toho získame dve rovnice, ktoré tvoria systém

Poďme vyriešiť tento systém. Vyjadrime sa v prvej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

Nahraďte prvú rovnicu druhou a nájdite r

Poďme nahradiť r do rovnice X= 300 − r a zistiť, čo to je X

To znamená, že na plošinu bolo naložených 100 dubových a 200 borovicových podvalov.

Skontrolujme, či riešenie (100; 200) spĺňa podmienky úlohy. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Celkovo bolo vraj 300 spáčov. Spočítame počet dubových a borovicových podvalov a uistíme sa, že riešenie (100; 200) spĺňa túto podmienku: 100 + 200 = 300.

Nasledujúca podmienka: všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly . Vidíme, že riešenie (100; 200) tiež spĺňa túto podmienku, keďže 46 × 100 kg dubových podvalov je ľahších ako 28 × 200 kg borovicových podvalov: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problém 3. Vzali sme tri kusy zliatiny medi a niklu v hmotnostných pomeroch 2: 1, 3: 1 a 5: 1. Vytavil sa z nich kus s hmotnosťou 12 kg s pomerom medi a niklu 4: 1. Nájdite hmotnosť každého pôvodného kusu, ak je hmotnosť prvého kusu dvojnásobná viac hmoty druhý.