Napísať racionálne číslo m/n v tvare desatinný zlomok, vydeľte čitateľa menovateľom. V tomto prípade sa podiel zapíše ako konečný alebo nekonečný desatinný zlomok.

Dané číslo zapíšte ako desatinné.

Riešenie. Vydeľte čitateľa každého zlomku jeho menovateľom: A) deliť 6 25; b) deliť 2 x 3; V) vydeľte 1 o 2 a potom pridajte výsledný zlomok do jednoty - celočíselnej časti tohto zmiešaného čísla.

Neredukovateľné bežné zlomky, ktorých menovatele neobsahujú iných prvočíselníkov, okrem 2 A 5 , sa zapisujú ako koncový desatinný zlomok.

IN príklad 1 kedy A) menovateľ 25=5 5; kedy V) menovateľ je 2, takže sme dostali konečné desatinné miesta 0,24 a 1,5. Kedy b) menovateľ je 3, takže výsledok nemožno zapísať ako koncové desatinné miesto.

Je možné bez delenia na stĺpec previesť takýto obyčajný zlomok na desatinný zlomok, ktorého menovateľ okrem 2 a 5 neobsahuje iných deliteľov? Poďme na to! Aký zlomok sa nazýva desatinné a píše sa bez zlomkovej čiary? Odpoveď: zlomok s menovateľom 10; 100; 1000 atď. A každé z týchto čísel je súčin rovný počet dvojiek a pätiek. V skutočnosti: 10=2 5 ; 100 = 2 5 2 5; 1000=2 5 2 5 2 5 atď.

Preto bude potrebné, aby bol menovateľ neredukovateľného obyčajného zlomku reprezentovaný ako súčin dvojíc a pätiek a potom vynásobený 2 a (alebo) 5, aby sa dvojky a päťky rovnali. Potom sa menovateľ zlomku bude rovnať 10 alebo 100 alebo 1 000 atď. Aby sa hodnota zlomku nezmenila, vynásobíme čitateľa zlomku rovnakým číslom, ktorým bol vynásobený menovateľ.

Vyjadrite nasledujúce zlomky ako desatinné číslo:

Riešenie. Každá z týchto frakcií je neredukovateľná. Rozložme menovateľa každého zlomku na prvočísla.

20 = 2 2 5. Záver: jedna „päťka“ chýba.

8 = 2 2 2. Záver: tri „päťky“ sú málo.

25=5 5. Záver: chýbajú dve „dvojky“.

Komentujte. V praxi často nevyužívajú faktorizáciu menovateľa, ale jednoducho si kladú otázku: o koľko treba menovateľa vynásobiť, aby výsledkom bola jednotka s nulami (10 alebo 100 alebo 1000 atď.). A potom sa čitateľ vynásobí rovnakým číslom.

Takže v prípade A)(príklad 2) z čísla 20 získate 100 vynásobením číslom 5, preto musíte čitateľa a menovateľa vynásobiť číslom 5.

Kedy b)(príklad 2) z čísla 8 nebude fungovať číslo 100, ale číslo 1000 získame vynásobením číslom 125. Čitateľ (3) aj menovateľ (8) zlomku sa vynásobia číslom 125.

Kedy V)(príklad 2) z 25 dostanete 100, keď vynásobíte 4. To znamená, že aj čitateľ 8 musí byť vynásobený 4.

Nazýva sa nekonečný desatinný zlomok, v ktorom sa jedna alebo viacero číslic opakuje v rovnakom poradí periodikum desatinný zlomok. Súbor opakujúcich sa číslic sa nazýva perióda tohto zlomku. Pre stručnosť sa perióda zlomku píše raz a uzatvára sa do zátvoriek.

Kedy b)(príklad 1 ) opakovaná číslica je jedna a rovná sa 6. Náš výsledok 0,66... ​​bude teda zapísaný takto: 0,(6) . Čítajú: nula celých čísel, šesť v období.

Ak je medzi čiarkou a prvou bodkou jedna alebo viac neopakujúcich sa číslic, potom sa takýto periodický zlomok nazýva zmiešaný periodický zlomok.

Neredukovateľný spoločný zlomok, ktorého menovateľ spolu s ostatnými multiplikátor obsahuje multiplikátor 2 alebo 5 , stáva sa zmiešané periodický zlomok.

Číslo zapíšte ako desatinné číslo:

Akékoľvek racionálne číslo možno zapísať ako nekonečný periodický desatinný zlomok.

Napíšte číslo ako nekonečný periodický zlomok.

Periodický zlomok

nekonečný desatinný zlomok, v ktorom od určitého miesta existuje iba periodicky sa opakujúca určitá skupina číslic. Napríklad 1,3181818...; v skratke sa tento zlomok píše takto: 1,3 (18), to znamená, že bodku vložia do zátvoriek (a povedia: „18 v perióde“). P.D. sa nazýva čisté, ak obdobie začína bezprostredne za desatinnou čiarkou, napríklad 2(71) = 2,7171..., a zmiešané, ak sú za desatinnou čiarkou pred bodkou číslice, napríklad 1,3(18). Úloha P. d. v aritmetike je spôsobená tým, že pri reprezentácii racionálnych čísel, teda obyčajných (jednoduchých) zlomkov, desatinnými zlomkami sa vždy získajú buď konečné alebo periodické zlomky. Presnejšie: konečný desatinný zlomok sa získa, keď menovateľ neredukovateľného jednoduchého zlomku neobsahuje iné prvočísla okrem 2 a 5; vo všetkých ostatných prípadoch sa získa P.D. a navyše čistý, ak menovateľ daného neredukovateľného zlomku vôbec neobsahuje faktory 2 a 5, a zmiešaný, ak je v menovateli obsiahnutý aspoň jeden z týchto faktorov. Akékoľvek P. d. sa dá zmeniť jednoduchý zlomok(to znamená, že sa rovná nejakému racionálnemu číslu). Čisté P. d. sa rovná jednoduchému zlomku, ktorého čitateľom je bodka a menovateľom je číslo 9, zapísané toľkokrát, koľko je číslic v perióde; pri prepočte na jednoduchý zlomok zmiešaného P. d. je čitateľ rozdielom medzi číslom reprezentovaným číslami predchádzajúcimi druhej perióde a číslom reprezentovaným číslami predchádzajúcimi prvej perióde; na zostavenie menovateľa je potrebné napísať číslo 9 toľkokrát, koľko je číslic v bodke, a priradiť doprava toľko núl, koľko je číslic pred bodkou. Tieto pravidlá predpokladajú, že dané P. d. je správne, to znamená, že neobsahuje celočíselné jednotky; inak sa celočíselná časť berie do úvahy samostatne.

Sú známe aj pravidlá na určenie dĺžky periódy P.D. zodpovedajúcej danému obyčajnému zlomku. Napríklad za zlomok a/p, Kde R - prvočíslo a 1 ≤ a ≤ p- 1, dĺžka periódy je deliteľ R - 1. Takže pre známe aproximácie k číslu (pozri Pi) 22/7 a 355/113 je lehota 6 a 112, resp.

Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Synonymá:

Pozrite sa, čo je „Periodický zlomok“ v iných slovníkoch:

Nekonečný desatinný zlomok, v ktorom sa od určitého miesta periodicky opakuje určitá skupina číslic (bodka), napr. 0,373737... čistá periodická frakcia alebo 0,253737... zmiešaná periodická frakcia... Veľký encyklopedický slovník

zlomok, nekonečný zlomok Slovník ruských synoným. periodický zlomok n., počet synoným: 2 nekonečný zlomok (2) ... Slovník synonym

Desatinné číslo, ktorého počet číslic sa opakuje v rovnakom poradí. Napríklad 0,135135135… je p.p., ktorého perióda je 135 a ktorá sa rovná jednoduchému zlomku 135/999 = 5/37. Slovník cudzie slová zahrnuté v ruskom jazyku. Pavlenkov F... Slovník cudzích slov ruského jazyka

Desatinný zlomok s menovateľom 10n, kde n prirodzené číslo. Má špeciálny zápis: celá časť v desiatková sústavačíslo, potom čiarka a potom zlomková časť v desiatkovej číselnej sústave a počet číslic zlomkovej časti ... Wikipedia

Nekonečný desatinný zlomok, v ktorom sa od určitého miesta periodicky opakuje určitá skupina číslic (bodka); napríklad 0,373737... čistá periodická frakcia alebo 0,253737... zmiešaná periodická frakcia. * * * PRAVIDELNE..... encyklopedický slovník

Nekonečný desatinný zlomok, v ktorom sa definícia od určitého miesta periodicky opakuje. skupina čísel (bodka); napríklad 0,373737 ... čisté P. d. alebo 0,253737 ... zmiešané P. d ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Pozri časť ... Slovník ruských synoným a výrazov podobných významom. pod. vyd. N. Abramova, M .: Ruské slovníky, 1999. zlomok, drobnosť, časť; prach, guľa, jedlo, buckshot; zlomkové číslo Slovník ruských synoným ... Slovník synonym

periodické desatinné číslo-- [L.G. Sumenko. Anglický ruský slovník informačných technológií. M.: GP TsNIIS, 2003.] Témy informačné technológie vo všeobecnosti SK obehové desatinné miesto opakujúce sa desatinné obdobie desiatkové periodické desiatkové periodické desatinné miesto… Technická príručka prekladateľa

Ak je nejaké celé číslo a deliteľné iným celým číslom b, teda hľadá sa číslo x, ktoré spĺňa podmienku bx = a, potom môžu nastať dva prípady: buď je v rade celých čísel číslo x, ktoré túto podmienku spĺňa, alebo ukazuje sa, že …… Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Zlomok, ktorého menovateľom je celé číslo s číslom 10. D.d., sa píše bez menovateľa, pričom sa v čitateli vpravo oddelí toľko číslic ako čiarka, koľko núl je v menovateli. Napríklad v takomto zázname je časť vľavo ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Pamätáte si, ako som v úplne prvej lekcii o desatinných zlomkoch povedal, že existujú číselné zlomky, ktoré nemožno reprezentovať ako desatinné miesta (pozri lekciu „Datinné zlomky“)? Tiež sme sa naučili, ako rozdeliť menovateľov na zlomky, aby sme zistili, či existujú aj iné čísla ako 2 a 5.

Takže: klamal som. A dnes sa naučíme, ako preložiť úplne akýkoľvek zlomok na desatinné číslo. Zároveň sa zoznámime s celou triedou zlomkov s nekonečnou významnou časťou.

Opakujúce sa desatinné miesto je každé desatinné miesto, ktoré má:

1. Významnú časť tvorí nekonečný počet číslic;
2. V určitých intervaloch sa čísla vo významnej časti opakujú.

Súbor opakujúcich sa číslic, ktoré tvoria významná časť, sa nazýva periodická časť zlomku a počet číslic v tejto množine je perióda zlomku. Zostávajúci segment významnej časti, ktorý sa neopakuje, sa nazýva neperiodická časť.

Pretože existuje veľa definícií, stojí za to podrobne zvážiť niektoré z týchto zlomkov:

Tento zlomok sa vyskytuje najčastejšie pri problémoch. Neperiodická časť: 0; periodická časť: 3; dĺžka obdobia: 1.

Neperiodická časť: 0,58; periodická časť: 3; dĺžka obdobia: opäť 1.

Neperiodická časť: 1; periodická časť: 54; dĺžka obdobia: 2.

Neperiodická časť: 0; periodická časť: 641025; dĺžka periódy: 6. Pre pohodlie sú opakujúce sa časti od seba oddelené medzerou - pri tomto riešení to nie je potrebné.

Neperiodická časť: 3066; periodická časť: 6; dĺžka obdobia: 1.

Ako vidíte, definícia periodického zlomku je založená na koncepte významná časť čísla. Preto, ak ste zabudli, čo to je, odporúčam to zopakovať - ​​pozri lekciu "".

Prechod na periodické desatinné číslo

Uvažujme obyčajný zlomok tvaru a/b. Rozložme si jeho menovateľa na jednoduché faktory. Sú dve možnosti:

1. V expanzii sú prítomné iba faktory 2 a 5. Tieto zlomky sa dajú ľahko zredukovať na desatinné miesta - pozri lekciu " Desatinné zlomky ". O takých nemáme záujem;
2. Okrem 2 a 5 je v expanzii ešte niečo. V tomto prípade zlomok nemôže byť reprezentovaný ako desatinné číslo, ale môže byť prevedený na periodické desatinné miesto.

Ak chcete nastaviť periodický desatinný zlomok, musíte nájsť jeho periodickú a neperiodickú časť. Ako? Preveďte zlomok na nesprávny a potom vydeľte čitateľa menovateľom "rohom".

Pritom sa stane nasledovné:

1. Najprv rozdeľte celú časť ak existuje;
2. Za desatinnou čiarkou môže byť niekoľko čísel;
3. Po chvíli začnú čísla opakovať.

To je všetko! Opakujúce sa číslice za desatinnou čiarkou sú označené periodickou časťou a to, čo je vpredu - neperiodické.

Úloha. Prevod obyčajných zlomkov na periodické desatinné miesta:

Všetky zlomky nemajú celú časť, takže čitateľa jednoducho vydelíme menovateľom „rohom“:

Ako vidíte, zvyšky sa opakujú. Zlomok napíšme v „správnom“ tvare: 1,733 ... = 1,7(3).

Výsledkom je zlomok: 0,5833 ... = 0,58(3).

Píšeme v normálnom tvare: 4,0909 ... = 4, (09).

Dostaneme zlomok: 0,4141 ... = 0, (41).

Prechod z periodickej desiatkovej na obyčajnú

Uvažujme periodické desatinné číslo X = abc (a 1 b 1 c 1). Vyžaduje sa prenesenie do klasickej „dvojposchodovej“. Ak to chcete urobiť, postupujte podľa štyroch jednoduchých krokov:

1. Nájdite periódu zlomku, t.j. spočítajte, koľko číslic je v periodickej časti. Nech je to číslo k;
2. Nájdite hodnotu výrazu X · 10 k . Je to ekvivalentné posunutiu desatinnej čiarky o celú bodku doprava – pozri lekciu „Násobenie a delenie desatinných zlomkov“;
3. Od výsledného čísla odčítajte pôvodný výraz. V tomto prípade je periodická časť „vyhorená“ a zostáva spoločný zlomok;
4. Nájdite X vo výslednej rovnici. Všetky desatinné zlomky sa prevedú na obyčajné.

Úloha. Previesť na obyčajný nesprávny zlomok čísla:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Práca s prvým zlomkom: X = 9,(6) = 9,666 ...

Zátvorky obsahujú iba jednu číslicu, takže bodka k = 1. Potom tento zlomok vynásobíme číslom 10 k = 10 1 = 10. Máme:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Odčítajte pôvodný zlomok a vyriešte rovnicu:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Teraz sa poďme zaoberať druhým zlomkom. Takže X = 32, (39) = 32,393939 ...

Obdobie k = 2, takže všetko vynásobíme 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Znova odčítajte pôvodný zlomok a vyriešte rovnicu:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Poďme k tretiemu zlomku: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Schéma je rovnaká, takže uvediem len výpočty:

Obdobie k = 1 ⇒ vynásobte všetko číslom 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Nakoniec posledný zlomok: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Opäť, kvôli prehľadnosti, sú periodické časti navzájom oddelené medzerami. Máme:

k = 4 ⇒ 10 k = 104 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Prevádzka divízie zahŕňa účasť niekoľkých hlavných zložiek. Prvým z nich je takzvaná dividenda, teda číslo, ktoré prechádza procesom delenia. Druhým je deliteľ, teda číslo, ktorým sa delí. Tretím je kvocient, teda výsledok operácie delenia dividendy deliteľom.

výsledok divízie

Najjednoduchší výsledok, ktorý možno získať pri použití dvoch kladných celých čísel ako deliteľa a deliteľa, je ďalšie kladné celé číslo. Napríklad pri delení 6 2 sa podiel bude rovnať 3. Táto situácia je možná, ak je dividenda deliteľ, to znamená, že sa ňou delí bezo zvyšku.

Existujú však aj iné možnosti, keď nie je možné vykonať operáciu delenia bezo zvyšku. V tomto prípade sa necelé číslo stane súkromným, čo možno zapísať ako kombináciu celého čísla a zlomkovej časti. Napríklad pri delení 5 2 je podiel 2,5.

Číslo v období

Jednou z možností, ktorá môže nastať, ak dividenda nie je násobkom deliteľa, je takzvané číslo v období. Môže vzniknúť v dôsledku delenia v prípade, že kvocient sa ukáže ako nekonečne sa opakujúca množina čísel. Napríklad číslo v bodke sa môže objaviť, keď je číslo 2 delené 3. V tejto situácii bude výsledok vo forme desatinného zlomku vyjadrený ako kombinácia nekonečného počtu 6 číslic za desatinnou čiarkou. bod.

Na označenie výsledku takéhoto delenia bol vynájdený špeciálny spôsob zapisovania čísel v období: takéto číslo je označené umiestnením opakujúcej sa číslice do zátvoriek. Napríklad výsledok delenia 2 tromi by sa pomocou tejto metódy zapísal ako 0, (6). Uvedený zápis je použiteľný aj vtedy, ak sa opakuje len časť čísla vyplývajúceho z delenia.

Napríklad pri delení 5 číslom 6 bude výsledkom periodické číslo, ktoré vyzerá ako 0,8(3). Použitie tejto metódy je po prvé najefektívnejšie v porovnaní s pokusom o zapísanie všetkých alebo časti číslic čísla v období a po druhé, má väčšiu presnosť v porovnaní s iným spôsobom prenosu takýchto čísel - zaokrúhľovanie a navyše umožňuje pri porovnaní veľkosti týchto čísel rozlíšiť čísla v perióde od presného desatinného zlomku so zodpovedajúcou hodnotou. Takže napríklad je zrejmé, že 0,(6) je výrazne väčšie ako 0,6.