Hornerova schéma – spôsob delenia polynómu

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$

na dvojčlene $x-a$. Budete musieť pracovať s tabuľkou, ktorej prvý riadok obsahuje koeficienty daného polynómu. Prvým prvkom druhého riadku bude číslo $a$ prevzaté z dvojčlenu $x-a$:

Po vydelení polynómu n-tého stupňa binómom $x-a$ dostaneme polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako pôvodný, t.j. sa rovná $n-1$. Priamu aplikáciu Hornerovej schémy je najjednoduchšie ukázať na príkladoch.

Príklad č. 1

Vydeľte $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$ pomocou Hornerovej schémy.

Urobme si tabuľku dvoch riadkov: do prvého riadku napíšeme koeficienty polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ zoradené zostupne podľa mocnín premennej $x$. Všimnite si, že tento polynóm neobsahuje $x$ k prvej mocnine, t.j. koeficient pred $x$ sa rovná prvej mocnine 0. Keďže delíme $x-1$, napíšeme jednotku do druhého riadku:

Začnime vyplňovať prázdne bunky v druhom riadku. Do druhej bunky druhého riadku napíšeme číslo $5$, jednoducho ho prenesieme zo zodpovedajúcej bunky prvého riadku:

Vyplňte nasledujúcu bunku takto: $1\cdot 5+5=10$:

Podobne vyplňte štvrtú bunku druhého riadku: $1\cdot 10+1=11$:

Pre piatu bunku dostaneme: $1\cdot 11+0=11$:

A nakoniec, pre poslednú, šiestu bunku, máme: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problém je vyriešený, zostáva len napísať odpoveď:

Ako vidíte, čísla v druhom riadku (medzi jedným a nulou) sú koeficienty polynómu získané po vydelení $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$. Prirodzene, keďže stupeň pôvodného polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ bol rovný štyrom, stupeň výsledného polynómu $5x^3+10x^2+11x+11$ je jedna menej, t.j. sa rovná trom. Posledné číslo v druhom riadku (nula) znamená zvyšok po vydelení polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ $x-1$. V našom prípade je zvyšok nula, t.j. polynómy sú deliteľné. Tento výsledok možno charakterizovať aj takto: hodnota polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ pre $x=1$ sa rovná nule.

Záver možno formulovať aj v nasledujúcom tvare: keďže hodnota polynómu $5x^4+5x^3+x^2-11$ sa rovná nule pre $x=1$, potom jedna je koreňom polynóm $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Príklad č. 2

Rozdeľte polynóm $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$ podľa Hornerovej schémy.

Hneď stanovme, že výraz $x+3$ musí byť reprezentovaný v tvare $x-(-3)$. Sú to $ -3 $, ktoré sa zúčastnia Hornerovej schémy. Keďže stupeň pôvodného polynómu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ sa rovná štyrom, potom ako výsledok delenia dostaneme polynóm tretieho stupňa:

Získaný výsledok to znamená

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

V tejto situácii je zvyšok po vydelení $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ $x+3$ $4$. Alebo, čo je to isté, hodnota polynómu $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ pre $x=-3$ sa rovná $4$. Mimochodom, je ľahké to skontrolovať priamym dosadením $x=-3$ do daného polynómu:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4,$$

Tie. Hornerovu schému možno použiť, ak je potrebné nájsť hodnotu polynómu pre danú hodnotu premennej. Ak je naším cieľom nájsť všetky korene polynómu, tak Hornerovu schému možno aplikovať niekoľkokrát za sebou, kým nevyčerpáme všetky korene, ako je popísané v príklade č.3.

Príklad č. 3

Nájdite všetky celé korene polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pomocou Hornerovej schémy.

Koeficienty uvažovaného polynómu sú celé čísla a koeficient pred najvyššou mocninou premennej (teda pred $x^6$) sa rovná jednej. V tomto prípade treba celočíselné korene polynómu hľadať medzi deliteľmi voľného člena, t.j. medzi deliteľmi 45. Pre daný polynóm môžu byť takéto korene čísla 45 $; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; $ 1 a $ - 45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 dolár. Pozrime sa napríklad na číslo $1$:

Ako vidíte, hodnota polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ pre $x=1$ je $192$ (posledné číslo v druhý riadok), nie $0 $, takže jeden nie je koreňom tohto polynómu. Keďže kontrola jednoty zlyhala, skontrolujme hodnotu $x=-1$. Nebudeme na to zostavovať novú tabuľku, ale tabuľku budeme naďalej používať. č. 1, pridávajúc k nemu nový (tretí) riadok. Druhý riadok, v ktorom bola zaškrtnutá hodnota $1$, bude zvýraznený červenou farbou a nebude použitý v ďalšom zdôvodňovaní.

Tabuľku môžete samozrejme len znova prepísať, no pri ručnom vypĺňaní to zaberie veľa času. Okrem toho môže existovať niekoľko čísel, ktorých overenie zlyhá a je ťažké zakaždým napísať novú tabuľku. Pri výpočte „na papieri“ možno červené čiary jednoducho prečiarknuť.

Takže hodnota polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ sa rovná nule pre $x=-1$, t.j. číslo $-1$ je koreň tohto polynómu. Po vydelení polynómu $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ dvojčlenom $x-(-1)=x+1$ dostaneme polynóm $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, ktorých koeficienty sú prevzaté z tretieho riadku tabuľky. č. 2 (pozri príklad č. 1). Výsledok výpočtu možno prezentovať aj v tejto forme:

\začiatok(rovnica)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45) \end(rovnica)

Pokračujme v hľadaní koreňov celého čísla. Teraz musíme hľadať korene polynómu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Celočíselné korene tohto polynómu sa opäť hľadajú medzi deliteľmi jeho voľného termínu, čísla $45$. Skúsme ešte raz skontrolovať číslo $-1$. Nebudeme zostavovať novú tabuľku, ale budeme naďalej používať predchádzajúcu tabuľku. č.2, t.j. Pridajme k tomu ešte jeden riadok:

Takže číslo $-1$ je koreňom polynómu $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Tento výsledok možno zapísať takto:

\začiatok(rovnica)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(rovnica)

Berúc do úvahy rovnosť (2), rovnosť (1) možno prepísať do nasledujúcej podoby:

\začiatok(rovnica)\začiatok(zarovnané) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\koniec (zarovnané)\koniec (rovnica)

Teraz musíme hľadať korene polynómu $x^4-22x^2+24x+45$, prirodzene, medzi deliteľmi jeho voľného člena (číslo $45$). Pozrime sa znova na číslo $-1$:

Číslo $-1$ je koreňom polynómu $x^4-22x^2+24x+45$. Tento výsledok možno zapísať takto:

\začiatok(rovnica)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(rovnica)

Berúc do úvahy rovnosť (4), prepíšeme rovnosť (3) v nasledujúcom tvare:

\začiatok(rovnica)\začiatok(zarovnané) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\koniec (zarovnané)\koniec (rovnica)

Teraz hľadáme korene polynómu $x^3-x^2-21x+45$. Pozrime sa znova na číslo $-1$:

Kontrola skončila neúspešne. Zvýraznime šiesty riadok červenou farbou a skúsme skontrolovať iné číslo, napríklad číslo $3$:

Zvyšok je nula, takže číslo $3$ je koreňom uvažovaného polynómu. Takže $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Teraz možno rovnosť (5) prepísať nasledovne.

snímka 3

Gorner Williams George (1786-22. septembra 1837) bol anglický matematik. Narodený v Bristole. Študoval a pracoval tam, potom na školách v Bathe. Základné práce z algebry. V roku 1819 publikoval metódu na približný výpočet skutočných koreňov polynómu, ktorá sa dnes nazýva Ruffini-Hornerova metóda (túto metódu poznali Číňania už v 13. storočí) Schéma delenia polynómu dvojčlenkou x-a je pomenovaný po Hornerovi.

snímka 4

HORNEROVÁ SCHÉMA

metóda delenia polynóm n-tý stupňa na lineárnom dvojčlene - a, na základe skutočnosti, že koeficienty neúplného kvocientu a zvyšku r súvisia s koeficientmi deliteľného polynómu a s a podľa vzorcov:

snímka 5

Výpočty podľa Hornerovej schémy sú umiestnené v tabuľke:

Príklad 1 Delenie Neúplný podiel je x3-x2+3x - 13 a zvyšok je 42=f(-3).

snímka 6

Hlavnou výhodou tejto metódy je kompaktnosť zápisu a možnosť rýchlo rozdeliť polynóm na dvojčlen. V skutočnosti je Hornerova schéma ďalšou formou zaznamenávania metódy zoskupovania, hoci na rozdiel od druhej je úplne nepopisná. Odpoveď (faktorizácia) sa tu ukazuje sama od seba a nevidíme samotný proces jej získania. Nebudeme sa zaoberať rigoróznym zdôvodnením Hornerovej schémy, ale iba ukážeme, ako funguje.

Snímka 7

Príklad2.

Dokážeme, že polynóm P(x)=x4-6x3+7x-392 je deliteľný x-7, a nájdeme kvocient. Riešenie. Pomocou Hornerovej schémy nájdeme Р(7): Získame teda Р(7)=0, t.j. zvyšok pri delení polynómu x-7 je nula, a preto je polynóm P (x) násobkom (x-7).V tomto prípade sú čísla v druhom riadku tabuľky koeficienty delenie P (x) (x-7), teda P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Snímka 8

Vynásobte polynóm x3 - 5x2 - 2x + 16.

Tento polynóm má celočíselné koeficienty. Ak je celé číslo koreňom tohto polynómu, potom je to deliteľ čísla 16. Ak teda daný polynóm má celé korene, potom to môžu byť iba čísla ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Priamym overením sa presvedčíme, že číslo 2 je koreňom tohto polynómu, teda x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), kde Q(x) je polynóm druhého. stupňa

Snímka 9

Výsledné čísla 1, −3, −8 sú koeficienty polynómu, ktorý získame delením pôvodného polynómu x - 2. Výsledkom delenia je teda: 1 x2 + (-3)x + (-8 ) = x2 - 3x - 8. Stupeň polynómu získaný delením je vždy o 1 menší ako stupeň pôvodného. Takže: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) (x2 - 3x - 8).

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: Lekcia asimilácie a upevňovania základných vedomostí.

Účel lekcie:

• Oboznámiť žiakov s pojmom korene polynómu, naučiť ich ich nájsť. Zdokonaľte sa v aplikácii Hornerovej schémy na rozširovanie mocniny polynómu a delenie polynómu binómom.
• Naučte sa, ako nájsť korene rovnice pomocou Hornerovej schémy.
• Rozvíjajte abstraktné myslenie.
• Kultivujte počítačovú kultúru.
• Rozvoj interdisciplinárnych väzieb.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Informujte o téme hodiny, formulujte ciele.

2. Kontrola domácich úloh.

3. Učenie sa nového materiálu.

Nech F n (x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polynóm v x stupňa n, kde a 0 , a 1 ,...,a n sú dané čísla a a 0 sa nerovná 0. Ak polynóm F n (x) delíme so zvyškom číslom binomické x-a, potom kvocient (neúplný kvocient) je polynóm Q n-1 (x) stupňa n-1, zvyšok R je číslo a rovnosť Fn (x) = (x-a) Qn-1 (x) +R. Polynóm F n (x) je úplne deliteľný binómom (x-a) len v prípade R=0.

Bezoutova veta: Zvyšok R z delenia polynómu F n (x) binomom (x-a) sa rovná hodnote polynóm F n (x) pre x=a, t.j. R = Pn (a).

Trochu histórie. Bezoutova veta, napriek svojej vonkajšej jednoduchosti a samozrejmosti, je jednou zo základných teorém teórie polynómov. V tejto vete sú algebraické vlastnosti polynómov (ktoré umožňujú pracovať s polynómami ako s celými číslami) spojené s ich funkčnými vlastnosťami (ktoré umožňujú považovať polynómy za funkcie). Jedným zo spôsobov riešenia rovníc vyšších stupňov je metóda faktorizácie polynómu na ľavej strane rovnice. Výpočet koeficientov polynómu a zvyšku sa zapisuje vo forme tabuľky, ktorá sa nazýva Hornerova schéma.

Hornerova schéma je polynomický deliaci algoritmus napísaný pre špeciálny prípad, keď sa podiel rovná binomu x-a.

Horner William George (1786 - 1837), anglický matematik. Hlavný výskum sa týka teórie algebraické rovnice. Vyvinul metódu na približné riešenie rovníc ľubovoľného stupňa. V roku 1819 zaviedol pre algebru dôležitý spôsob delenia polynómu binomom x - a (Hornerova schéma).

Odvodenie všeobecného vzorca pre Hornerovu schému.

Delenie polynómu f(x) so zvyškom binómom (x-c) znamená nájsť polynóm q(x) a číslo r také, že f(x)=(x-c)q(x)+r

Napíšme túto rovnicu podrobne:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Vyrovnajte koeficienty pri rovnakých mocninách:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 \u003d q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 \u003d q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n \u003d f n + c q n-1.

Ukážka Hornerovej schémy na príklade.

Cvičenie 1. Pomocou Hornerovej schémy delíme polynóm f (x) \u003d x 3 - 5x 2 + 8 so zvyškom na binom x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) \u003d x 3 - 5x 2 + 8 \u003d (x-2) (x 2 -3x-6) -4, kde g (x) \u003d (x 2 -3x-6), r \u003d -4 zvyšok.

Rozšírenie mnohočlenu v mocninách dvojčlenu.

Pomocou Hornerovej schémy rozšírime polynóm f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 v mocninách binomu (x+2).

V dôsledku toho by sme mali dostať rozklad f (x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3-3( x+2)2-2(x+2)+12

Hornerova schéma sa často používa pri riešení rovníc tretieho, štvrtého a vyššieho stupňa, kedy je vhodné polynóm rozšíriť na binom x-a. číslo a volal polynómový koreň F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n ak x=a hodnota polynómu F n (x) sa rovná nule: F n (a)=0, t.j. ak je polynóm rovnomerne deliteľný dvojčlenom x-a.

Napríklad číslo 2 je koreňom polynómu F 3 (x)=3x 3 -2x-20, keďže F 3 (2)=0. to znamená. Že faktorizácia tohto polynómu obsahuje faktor x-2.

F3(x)=3x3-2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Ľubovoľný polynóm F n (x) stupňa n 1 nemôže mať viac n skutočné korene.

Akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného člena.

Ak je vedúci koeficient rovnice 1, potom všetky racionálne korene rovnice, ak existujú, sú celé čísla.

Konsolidácia študovaného materiálu.

Na upevnenie nového učiva sú žiaci vyzvaní, aby doplnili čísla z učebnice 2.41 a 2.42 (s. 65).

(2 študenti rozhodujú pri tabuli a ostatní, keď sa rozhodnú, skontrolujú úlohy v zošite s odpoveďami na tabuli).

Zhrnutie.

Po pochopení štruktúry a princípu fungovania Hornerovej schémy ju možno použiť aj na hodinách informatiky, keď sa uvažuje o problematike prekladu celých čísel z desiatkovej do dvojkovej sústavy a naopak. Preklad z jedného číselného systému do druhého je založený na nasledujúcej všeobecnej vete

Veta. Preložiť celé číslo Ap od p-árna číselná sústava na základnú číselnú sústavu d nevyhnutné Ap postupne deliť so zvyškom číslom d napísané v tom istom p-árny systém, kým sa výsledný kvocient nestane nulou. Potom bude zvyšok divízie d- digitálne číslice Ad počnúc od nízkeho poriadku po vysoký. Všetky akcie musia byť vykonané v p-árna číselná sústava. Pre človeka toto pravidlo pohodlné len vtedy p= 10, t.j. pri prekladaní od desiatková sústava. Pokiaľ ide o počítač, naopak, je preň „pohodlnejšie“ vykonávať výpočty binárny systém. Preto sa na preklad „2 až 10“ používa postupné delenie desiatimi v binárnom systéme a „10 až 2“ je sčítanie mocnín desiatich. Na optimalizáciu výpočtov postupu „10 v 2“ používa počítač Hornerovu ekonomickú výpočtovú schému.

Domáca úloha. Je potrebné splniť dve úlohy.

1. Pomocou Hornerovej schémy rozdeľte polynóm f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 na dvojčlen (x-3).

2. Nájdite celočíselné korene polynómu f (x) \u003d x 4 -2x 3 + 2x 2 -x-6. (Vzhľadom na to, že akýkoľvek celočíselný koreň rovnice s celočíselnými koeficientmi je deliteľom jej voľného členu)

Literatúra.

1. Kurosh A.G. "Kurz vyššej algebry".
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. atď. 10. ročník „Algebra a začiatky matematickej analýzy“.
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Pri riešení rovníc a nerovníc sa často stáva nevyhnutnosťou faktorizovať polynóm, ktorého stupeň je tri alebo vyšší. V tomto článku sa pozrieme na najjednoduchší spôsob, ako to urobiť.

Ako obvykle, obráťme sa na pomoc v teórii.

Bezoutova veta uvádza, že zvyšok delenia polynómu binómom je .

Pre nás však nie je dôležitá samotná veta, ale dôsledok z toho:

Ak je číslo koreňom polynómu, potom je polynóm bezo zvyšku deliteľný dvojčlenom.

Stojíme pred úlohou nájsť nejakým spôsobom aspoň jeden koreň polynómu a potom ho vydeliť číslom , kde je koreň polynómu. Výsledkom je polynóm, ktorého stupeň je o jeden menší ako stupeň pôvodného. A potom, ak je to potrebné, môžete proces zopakovať.

Táto úloha je rozdelená na dve časti: ako nájsť koreň polynómu a ako rozdeliť polynóm na dvojčlen.

Pozrime sa bližšie na tieto body.

1. Ako nájsť koreň polynómu.

Najprv skontrolujeme, či čísla 1 a -1 sú koreňmi polynómu.

Tu nám pomôžu nasledujúce fakty:

Ak je súčet všetkých koeficientov polynómu nula, potom číslo je koreňom polynómu.

Napríklad v polynóme sa súčet koeficientov rovná nule: . Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.

Ak sa súčet koeficientov polynómu v párnych stupňoch rovná súčtu koeficientov v nepárnych stupňoch, potom číslo je koreňom polynómu. Voľný člen sa považuje za koeficient v párnom stupni, pretože , a je párne číslo.

Napríklad v polynóme je súčet koeficientov pri párnych stupňoch : a súčet koeficientov pri nepárnych stupňoch je : . Je ľahké skontrolovať, čo je koreňom polynómu.

Ak ani 1, ani -1 nie sú koreňmi polynómu, ideme ďalej.

Pre polynóm so zníženým stupňom (t. j. pre polynóm, v ktorom sa vodiaci koeficient - koeficient - rovná jednej), platí vzorec Vieta:

Kde sú korene polynómu.

Existujú aj Vieta vzorce týkajúce sa zostávajúcich koeficientov polynómu, ale práve tento nás zaujíma.

Z tohto vzorca Vieta to vyplýva ak sú korene polynómu celé číslo, potom sú deliteľmi jeho voľného člena, ktorý je tiež celým číslom.

Na základe toho musíme rozložiť voľný člen polynómu na faktory a postupne, od menšieho k väčšiemu, skontrolovať, ktorý z faktorov je koreňom polynómu.

Zoberme si napríklad polynóm

Voľné deliče členov: ; ; ;

Súčet všetkých koeficientov polynómu je rovnaký, preto číslo 1 nie je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov pri párnych mocninách:

Súčet koeficientov pri nepárnych mocninách:

Preto ani číslo -1 nie je koreňom polynómu.

Skontrolujme, či je číslo 2 koreňom polynómu: teda číslo 2 je koreňom polynómu. Podľa Bezoutovej vety je teda polynóm bezo zvyšku deliteľný binomom.

2. Ako rozdeliť mnohočlen na dvojčlen.

Polynóm možno rozdeliť na binom podľa stĺpca.

Polynóm rozdelíme na binomický stĺpec:

Existuje aj iný spôsob, ako rozdeliť polynóm na binom – Hornerova schéma.

Pozrite si toto video, aby ste pochopili ako rozdeliť polynóm binomom stĺpcom a pomocou Hornerovej schémy.

Podotýkam, že ak pri delení stĺpcom chýba v pôvodnom mnohočlene nejaký stupeň neznámej, napíšeme na jeho miesto 0 – rovnako ako pri zostavovaní tabuľky pre Hornerovu schému.

Ak teda potrebujeme rozdeliť polynóm na binóm a ako výsledok delenia dostaneme polynóm, potom môžeme nájsť koeficienty polynómu pomocou Hornerovej schémy:

Môžeme použiť aj Hornerova schéma aby sme skontrolovali, či dané číslo je koreňom polynómu: ak je číslo koreňom polynómu, potom zvyšok delenia polynómu číslom je nula, to znamená v poslednom stĺpci druhého riadku Hornera. schémy, dostaneme 0.

Pomocou Hornerovej schémy „zabijeme dve muchy jednou ranou“: zároveň skontrolujeme, či je číslo koreňom polynómu a tento polynóm vydelíme binómom.

Príklad. Vyriešte rovnicu:

1. Vypíšeme deliteľov voľného člena a medzi deliteľmi voľného člena budeme hľadať korene polynómu.

Deliteľ 24:

2. Skontrolujte, či číslo 1 je koreňom polynómu.

Súčet koeficientov polynómu, teda číslo 1 je koreňom polynómu.

3. Rozdeľte pôvodný polynóm na binóm pomocou Hornerovej schémy.

A) Napíšte koeficienty pôvodného polynómu do prvého riadku tabuľky.

Keďže chýba člen, ktorý obsahuje, do stĺpca tabuľky, do ktorého treba zapísať koeficient at, napíšeme 0. Naľavo napíšeme nájdený koreň: číslo 1.

B) Vyplňte prvý riadok tabuľky.

V poslednom stĺpci sme podľa očakávania dostali nulu, pôvodný polynóm sme bezo zvyšku rozdelili na dvojčlen. Koeficienty polynómu vyplývajúce z delenia sú zobrazené modrou farbou v druhom riadku tabuľky:

Je ľahké skontrolovať, či čísla 1 a -1 nie sú koreňmi polynómu

C) Pokračujme v tabuľke. Pozrime sa, či číslo 2 je koreňom polynómu:

Takže stupeň polynómu, ktorý sa získa delením jedným menší stupeň pôvodného polynómu, preto je počet koeficientov a počet stĺpcov o jeden menší.

V poslednom stĺpci sme dostali -40 - číslo, ktoré sa nerovná nule, preto je polynóm deliteľný binómom so zvyškom a číslo 2 nie je koreňom polynómu.

C) Skontrolujeme, či číslo -2 je koreňom polynómu. Keďže predchádzajúci pokus bol neúspešný, aby nedošlo k zámene s koeficientmi, vymažem riadok zodpovedajúci tomuto pokusu:

Skvelé! Vo zvyšku sme dostali nulu, preto bol polynóm rozdelený na binóm bez zvyšku, preto číslo -2 je koreňom polynómu. Koeficienty polynómu, ktorý získame delením polynómu binomom, sú v tabuľke znázornené zelenou farbou.

V dôsledku delenia sme dostali štvorcový trojčlen , ktorého korene sa dajú ľahko nájsť podľa Vietovej vety:

Takže korene pôvodnej rovnice:

{}

odpoveď: ( }

Ciele lekcie:

• naučiť žiakov riešiť rovnice vyššie stupne pomocou Hornerovej schémy;
• rozvíjať schopnosť pracovať vo dvojiciach;
• vytvárať spolu s hlavnými časťami kurzu základ pre rozvoj schopností študentov;
• pomôcť študentovi posúdiť jeho potenciál, rozvíjať záujem o matematiku, schopnosť myslieť, hovoriť na danú tému.

Vybavenie: karty pre prácu v skupinách, plagát s Hornerovou schémou.

Vyučovacia metóda: prednáška, príbeh, výklad, prevedenie tréningových cvičení.

Forma kontroly: overenie problémov samostatného riešenia, samostatná práca.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

2. Aktualizácia vedomostí žiakov

Ktorá veta vám umožňuje určiť, či je číslo koreňom danej rovnice (na formuláciu vety)?

Bezoutova veta. Zvyšok delenia polynómu P(x) binómom x-c sa rovná P(c), číslo c sa nazýva koreň polynómu P(x), ak P(c)=0. Veta umožňuje bez vykonania operácie delenia určiť, či dané číslo je koreňom polynómu.

Aké výroky uľahčujú hľadanie koreňov?

a) Ak je vodiaci koeficient polynómu rovný jednej, potom korene polynómu treba hľadať medzi deliteľmi voľného člena.

b) Ak je súčet koeficientov polynómu 0, potom jeden z koreňov je 1.

c) Ak sa súčet koeficientov na párnych miestach rovná súčtu koeficientov na nepárnych miestach, potom sa jeden z koreňov rovná -1.

d) Ak sú všetky koeficienty kladné, potom korene polynómu sú záporné čísla.

e) Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden skutočný koreň.

3. Učenie sa nového materiálu

Pri riešení celých algebraických rovníc je potrebné nájsť hodnoty koreňov polynómov. Táto operácia môže byť značne zjednodušená, ak sa výpočty vykonávajú podľa špeciálneho algoritmu nazývaného Hornerova schéma. Táto schéma je pomenovaná po anglickom vedcovi Williamovi Georgeovi Hornerovi. Hornerova schéma je algoritmus na výpočet kvocientu a zvyšku delenia polynómu P(x) x-c. Stručne povedané, ako to funguje.

Nech je daný ľubovoľný polynóm P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Delenie tohto polynómu x-c je jeho znázornením v tvare P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Súkromné ​​g (x) \u003d pri 0 x n-1 + pri n x n-2 + ... + pri n-2 x + pri n-1, kde pri 0 \u003d a 0, pri n \u003d sv n- 1 + an, n=1,2,3,...n-1. Zvyšok r (x) \u003d St n-1 + a n. Táto metóda výpočtu sa nazýva Hornerova schéma. Slovo "schéma" v názve algoritmu je spôsobené tým, že jeho vykonávanie je zvyčajne formalizované nasledovne. Prvý žreb tabuľky 2 (n+2). Do ľavej dolnej bunky sa zapíše číslo c a do horného riadku sa zapíšu koeficienty polynómu P (x). V tomto prípade zostane ľavá horná bunka prázdna.

	pri 0 = a 0	v 1 \u003d sv 1 + a 1	v 2 \u003d sv 1 + A 2		v n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=svn-1 +a n

Číslo, ktoré sa po vykonaní algoritmu ukáže ako zapísané v pravej dolnej bunke, je zvyškom po delení polynómu P(x) x-c. Ostatné čísla 0 , 1 , 2 ,... spodného riadku sú koeficienty kvocientu.

Napríklad: Vydeľte polynóm P (x) \u003d x 3 -2x + 3 x-2.

Dostaneme, že x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Konsolidácia študovaného materiálu

Príklad 1: Rozlož polynóm P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 s celočíselnými koeficientmi.

Hľadáme celočíselné odmocniny medzi deliteľmi voľného člena -1: 1; -1. Urobme si tabuľku:

X \u003d -1 - koreň

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Skontrolujeme 1/2.

					X = 1/2 - koreň

Preto môže byť polynóm P(x) reprezentovaný ako

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Príklad 2: Vyriešte rovnicu 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Keďže súčet koeficientov polynómu zapísaného na ľavej strane rovnice je rovný nule, potom jeden z koreňov je 1. Použijeme Hornerovu schému:

						X = 1 - koreň

Dostaneme P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Budeme hľadať korene medzi deliteľmi voľného termínu 2.

Zistili sme, že už neexistujú celé korene. Skontrolujeme 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - koreň

Odpoveď: 1; -1/2.

Príklad 3: Vyriešte rovnicu 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Korene tejto rovnice budeme hľadať medzi deliteľmi voľného člena 5: 1; -1; 5; -5. x=1 je koreň rovnice, pretože súčet koeficientov je nula. Využime Hornerovu schému:

rovnicu reprezentujeme ako súčin troch faktorov: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Rozhodovanie kvadratická rovnica 5x 2 -7x+5=0, dostal D=49-100=-51, bez koreňov.

Karta 1

1. Faktor polynómu: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Vyriešte rovnicu: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

karta 2

1. Faktor polynómu: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Vyriešte rovnicu: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

karta 3

1. Faktorizácia: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Riešte rovnicu: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Karta 4

1. Faktorizácia: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Riešte rovnicu: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Zhrnutie

Testovanie vedomostí pri riešení vo dvojiciach prebieha na hodine rozpoznaním spôsobu akcie a názvu odpovede.

Domáca úloha:

Riešte rovnice:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2 x 3 -x-2 \u003d 0

Literatúra

1. N.Ya. Vilenkin a kol., Algebra a začiatky analýzy 10. stupeň ( hĺbkové štúdium matematika): Osvietenstvo, 2005.
2. U.I. Sacharčuk, L.S. Sagatelova, Riešenie rovníc vyšších stupňov: Volgograd, 2007.
3. S.B. GashkovČíselné systémy a ich aplikácia.