Jednoducho povedané, ide o rovnice, v ktorých je v menovateli aspoň jedna premenná.

Napríklad:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Príklad nie zlomkové racionálne rovnice:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ako sa riešia zlomkové racionálne rovnice?

Hlavná vec, ktorú si treba pamätať na zlomkové racionálne rovnice, je, že do nich musíte písať. A po nájdení koreňov nezabudnite skontrolovať ich prípustnosť. V opačnom prípade sa môžu objaviť cudzie korene a celé rozhodnutie sa bude považovať za nesprávne.

Algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice:

Zapíšte si a „vyriešte“ ODZ.

Vynásobte každý člen v rovnici spoločným menovateľom a zrušte výsledné zlomky. Menovatelia zmiznú.

Napíšte rovnicu bez otvárania zátvoriek.

Vyriešte výslednú rovnicu.

Nájdené korene skontrolujte pomocou ODZ.

Vo svojej odpovedi zapíšte korene, ktoré prešli testom v kroku 7.

Nezapamätajte si algoritmus, 3-5 vyriešených rovníc a bude si to pamätať sám.

Príklad . Rozhodnite sa zlomková racionálna rovnica \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Riešenie:

odpoveď: \(3\).

Príklad . Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice \(=0\)

Riešenie:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cbodka 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		ODZ zapíšeme a „vyriešime“. \(x^2+7x+10\) rozvinieme na podľa vzorca: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Našťastie sme už našli \(x_1\) a \(x_2\).
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Je zrejmé, že spoločným menovateľom zlomkov je \((x+2)(x+5)\). Vynásobíme ním celú rovnicu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Znižovanie frakcií
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otváranie zátvoriek
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Uvádzame podobné pojmy
\(2x^2+9x-5=0\)		Hľadanie koreňov rovnice
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jeden z koreňov nevyhovuje ODZ, preto do odpovede napíšeme len druhý koreň.

odpoveď: \(\frac(1)(2)\).

§ 1 Celočíselné a zlomkové racionálne rovnice

V tejto lekcii sa pozrieme na pojmy ako racionálna rovnica, racionálne vyjadrenie, celé vyjadrenie, zlomkové vyjadrenie. Uvažujme o riešení racionálnych rovníc.

Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.

Racionálne výrazy sú:

Zlomkový.

Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.

Napríklad:

Zlomkové výrazy zahŕňajú delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:

Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz

pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.

To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná alebo zlomková.

Celá racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú celé výrazy.

Napríklad:

Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.

Napríklad:

§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice

Uvažujme o riešení celej racionálnej rovnice.

Napríklad:

Vynásobme obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov v nej zahrnutých.

Pre to:

1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;

2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom

dodatočný faktor pre zlomok

dodatočný faktor pre zlomok

3. vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu

čo je ekvivalentné danej rovnici

Vľavo otvoríme zátvorky, pravá strana Presuňme ho doľava, pričom zmeníme znamienko výrazu, keď ho presunieme na opačný.

Uveďme podobné členy polynómu a získajme

Vidíme, že rovnica je lineárna.

Po vyriešení zistíme, že x = 0,5.

§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice

Uvažujme o riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad:

1.Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.

Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).

2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.

Ak to chcete urobiť, vydeľte spoločného menovateľa (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný faktor pre zlomky

rovná sa x - 1,

dodatočný faktor pre zlomok

rovná sa x+7.

3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Získame rovnicu (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici

4. Vynásobte dvojčlen binomom vľavo a vpravo a získajte nasledujúcu rovnicu

5. Pravú stranu posunieme doľava, pričom pri prevode na opačný zmeníme znamienko každého pojmu:

6. Uveďme podobné členy polynómu:

7. Obe strany možno deliť -1. Dostaneme kvadratická rovnica:

8. Po vyriešení nájdeme korene

Keďže v rov.

ľavá a pravá strana sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch sa pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ stať nulou, potom je potrebné skontrolovať, či spoločný menovateľ neklesne na nulu, keď sa nájdu x1 a x2 .

Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) nezaniká, pri x = -1 spoločný menovateľ tiež nie je nula.

Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.

Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite označiť oblasť prijateľné hodnoty. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.

Uvažujme o ďalšom príklade riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad vyriešme rovnicu

Faktorizujeme menovateľ zlomku na pravej strane rovnice

Dostaneme rovnicu

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).

Bude to výraz x(x - 5).

Teraz nájdime rozsah prijateľných hodnôt rovnice

Aby sme to dosiahli, vyrovnáme spoločného menovateľa nule x(x - 5) = 0.

Získame rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x = 0 alebo pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu.

To znamená, že x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.

Teraz je možné nájsť ďalšie multiplikátory.

Prídavný faktor pre racionálne zlomky

dodatočný faktor pre zlomok

bude (x - 5),

a dodatočný faktor zlomku

Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Presuňme výrazy sprava doľava a zmeňme znamienko prenesených výrazov:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

A po privedení podobných členov dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 = 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 = -2; x2 = 5.

Ale už sme zistili, že pri x = 5 je spoločný menovateľ x(x - 5) nulový. Preto koreň našej rovnice

bude x = -2.

§ 4 Stručné zhrnutie lekcie

Dôležité mať na pamäti:

Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc postupujte takto:

1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné rozdeliť menovateľov zlomkov, potom ich vynásobte a potom nájdite spoločného menovateľa.

2.Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľa ďalšími faktormi.

3.Vyriešte výslednú celú rovnicu.

4. Odstráňte z koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká.

Zoznam použitej literatúry:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editoval Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník. - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra 8. ročník: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Učiteľ, 2005.

Rovnicu sme zaviedli vyššie v § 7. Najprv si pripomeňme, čo je racionálny výraz. toto - algebraický výraz, zložený z čísel a premennej x pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania s prirodzeným exponentom.

Ak je r(x) racionálny výraz, potom rovnica r(x) = 0 sa nazýva racionálna rovnica.

V praxi je však vhodnejšie použiť trochu širší výklad pojmu „racionálna rovnica“: ide o rovnicu v tvare h(x) = q(x), kde h(x) a q(x) sú racionálne prejavy.

Doteraz sme nevedeli vyriešiť žiadnu racionálnu rovnicu, ale iba jednu, ktorá sa v dôsledku rôznych transformácií a uvažovania zredukovala na lineárna rovnica. Teraz sú naše schopnosti oveľa väčšie: budeme schopní vyriešiť racionálnu rovnicu, ktorá sa redukuje nielen na lineárnu
mu, ale aj ku kvadratickej rovnici.

Pripomeňme si, ako sme predtým riešili racionálne rovnice a pokúsme sa sformulovať algoritmus riešenia.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu

Riešenie. Prepíšme rovnicu do tvaru

V tomto prípade, ako obvykle, využívame skutočnosť, že rovnosti A = B a A - B = 0 vyjadrujú rovnaký vzťah medzi A a B. To nám umožnilo preniesť pojem na ľavá strana rovnice s opačným znamienkom.

Transformujme ľavú stranu rovnice. Máme

Pripomeňme si podmienky rovnosti zlomky nula: vtedy a len vtedy, ak sú súčasne splnené dva vzťahy:

1) čitateľ zlomku je nula (a = 0); 2) menovateľ zlomku je iný ako nula).
Získame rovnítko medzi čitateľom zlomku na ľavej strane rovnice (1) a nulou

Zostáva skontrolovať splnenie druhej vyššie uvedenej podmienky. Vzťah znamená pre rovnicu (1), že . Hodnoty x 1 = 2 a x 2 = 0,6 vyhovujú uvedeným vzťahom, a preto slúžia ako korene rovnice (1) a zároveň korene danej rovnice.

1) Transformujme rovnicu do tvaru

2) Transformujme ľavú stranu tejto rovnice:

(súčasne zmenil znamienka v čitateli a
zlomky).
Daná rovnica teda nadobúda tvar

3) Riešte rovnicu x 2 - 6x + 8 = 0. Nájdite

4) Pri zistených hodnotách skontrolujte splnenie podmienky . Číslo 4 túto podmienku spĺňa, ale číslo 2 nie. To znamená, že 4 je koreň danej rovnice a 2 je cudzí koreň.
ODPOVEĎ: 4.

2. Riešenie racionálnych rovníc zavedením novej premennej

Spôsob zavedenia novej premennej je vám známy, použili sme ho viackrát. Ukážme si na príkladoch, ako sa používa pri riešení racionálnych rovníc.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu x 4 + x 2 - 20 = 0.

Riešenie. Zavedieme novú premennú y = x 2 . Keďže x 4 = (x 2) 2 = y 2, potom možno danú rovnicu prepísať ako

y2 + y - 20 = 0.

Ide o kvadratickú rovnicu, ktorej korene možno nájsť pomocou známeho vzorce; dostaneme y 1 = 4, y 2 = - 5.
Ale y = x 2, čo znamená, že problém bol zredukovaný na riešenie dvoch rovníc:
x2=4; x 2 = -5.

Z prvej rovnice zistíme, že druhá rovnica nemá korene.
Odpoveď: .
Rovnica v tvare ax 4 + bx 2 + c = 0 sa nazýva bikvadratická rovnica („bi“ je dva, t. j. druh „dvojitej kvadratickej“ rovnice). Práve vyriešená rovnica bola presne bikvadratická. Akákoľvek bikvadratická rovnica sa rieši rovnakým spôsobom ako rovnica z príkladu 3: zaveďte novú premennú y = x 2, vyriešte výslednú kvadratickú rovnicu vzhľadom na premennú y a potom sa vráťte k premennej x.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Všimnite si, že rovnaký výraz x 2 + 3x sa tu vyskytuje dvakrát. To znamená, že má zmysel zaviesť novú premennú y = x 2 + 3x. To nám umožní prepísať rovnicu do jednoduchšej a príjemnejšej formy (čo je v skutočnosti účelom zavedenia nového premenlivý- a zjednodušenie nahrávania
sa stáva jasnejšou a štruktúra rovnice sa stáva jasnejšou):

Teraz použijeme algoritmus na riešenie racionálnej rovnice.

1) Presuňme všetky členy rovnice do jednej časti:

= 0
2) Transformujte ľavú stranu rovnice

Danú rovnicu sme teda pretransformovali do tvaru

3) Z rovnice - 7y 2 + 29y -4 = 0 nájdeme (vy a ja sme už vyriešili pomerne veľa kvadratických rovníc, takže sa asi neoplatí vždy uvádzať podrobné výpočty v učebnici).

4) Skontrolujme nájdené korene pomocou podmienky 5 (y - 3) (y + 1). Obidva korene spĺňajú túto podmienku.
Takže kvadratická rovnica pre novú premennú y je vyriešená:
Pretože y = x 2 + 3x a y, ako sme zistili, nadobúdajú dve hodnoty: 4 a , musíme ešte vyriešiť dve rovnice: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx =. Korene prvej rovnice sú čísla 1 a - 4, korene druhej rovnice sú čísla

V uvažovaných príkladoch bol spôsob zavedenia novej premennej, ako radi hovoria matematici, adekvátny situácii, teda jej dobre zodpovedal. prečo? Áno, pretože rovnaký výraz sa v rovnici jasne objavil niekoľkokrát a bol dôvod označiť tento výraz novým písmenom. Ale nie vždy sa to stane, niekedy sa nová premenná „objaví“ až počas procesu transformácie. Presne to sa stane v nasledujúcom príklade.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Riešenie. Máme
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 - Зx+2.

To znamená, že danú rovnicu je možné prepísať do tvaru

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Teraz sa „objavila“ nová premenná: y = x 2 - 3x.

S jeho pomocou sa dá rovnica prepísať do tvaru y (y + 2) = 24 a následne y 2 + 2y - 24 = 0. Koreňmi tejto rovnice sú čísla 4 a -6.

Ak sa vrátime k pôvodnej premennej x, dostaneme dve rovnice x 2 - 3x = 4 a x 2 - 3x = - 6. Z prvej rovnice zistíme x 1 = 4, x 2 = - 1; druhá rovnica nemá korene.

ODPOVEĎ: 4, - 1.

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Celý výraz je matematický výraz, zložený z čísel a abecedných premenných pomocou operácií sčítania, odčítania a násobenia. Celé čísla zahŕňajú aj výrazy, ktoré zahŕňajú delenie ľubovoľným číslom iným ako nula.

Koncept zlomkového racionálneho výrazu

Zlomkový výraz je matematický výraz, ktorý okrem operácií sčítania, odčítania a násobenia vykonávaných s číslami a písmenovými premennými, ako aj delenia číslom, ktoré sa nerovná nule, obsahuje aj delenie na výrazy s písmenovými premennými.

Racionálne výrazy sú celé a zlomkové výrazy. Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia. Ak v racionálnej rovnici sú ľavá a pravá strana celočíselnými výrazmi, potom sa takáto racionálna rovnica nazýva celé číslo.

Ak v racionálnej rovnici sú ľavá alebo pravá strana zlomkové výrazy, potom sa takáto racionálna rovnica nazýva zlomková.

Príklady zlomkových racionálnych výrazov

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Schéma riešenia zlomkovej racionálnej rovnice

1. Nájdite spoločného menovateľa všetkých zlomkov, ktoré sú zahrnuté v rovnici.

2. Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom.

3. Vyriešte výslednú celú rovnicu.

4. Skontrolujte korene a vylúčte tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zmizne.

Keďže riešime zlomkové racionálne rovnice, v menovateľoch zlomkov budú premenné. To znamená, že budú spoločným menovateľom. A v druhom bode algoritmu vynásobíme spoločným menovateľom, potom sa môžu objaviť cudzie korene. Pri ktorom sa spoločný menovateľ bude rovnať nule, čo znamená, že násobenie ním bude bezvýznamné. Preto je na konci potrebné skontrolovať získané korene.

Pozrime sa na príklad:

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Budeme sa držať všeobecná schéma: Najprv nájdime spoločného menovateľa všetkých zlomkov. Dostaneme x* (x-5).

Vynásobte každý zlomok spoločným menovateľom a napíšte výslednú celú rovnicu.

(x-3)/(x-5)* (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x* (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5))* (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Zjednodušme výslednú rovnicu. Dostaneme:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 = 0;
x^2+3*x-10=0;

Dostaneme jednoduchú redukovanú kvadratickú rovnicu. Riešime to niektorou zo známych metód, dostaneme korene x=-2 a x=5.

Teraz skontrolujeme získané riešenia:

Do spoločného menovateľa dosaďte čísla -2 a 5. Pri x=-2 spoločný menovateľ x*(x-5) nezmizne, -2*(-2-5)=14. To znamená, že číslo -2 bude koreňom pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Pri x=5 sa spoločný menovateľ x*(x-5) stane nulou. Preto toto číslo nie je koreňom pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice, pretože dôjde k deleniu nulou.

„Racionálne rovnice s polynómami“ sú jednou z najčastejšie sa vyskytujúcich tém v testovacie úlohy Jednotná štátna skúška z matematiky. Z tohto dôvodu sa oplatí ich zopakovať Osobitná pozornosť. Mnohí študenti sa stretávajú s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a priviesť rovnicu k spoločnému menovateľovi, a preto splnenie takýchto úloh spôsobuje ťažkosti. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť problémy akejkoľvek zložitosti a úspešne prejsť testom.

Vyberte si vzdelávací portál Shkolkovo a úspešne sa pripravte na Jednotnú skúšku z matematiky!

Ak chcete poznať pravidlá výpočtu neznámych a ľahko získať správne výsledky, použite našu online službu. Portál Shkolkovo je jedinečná platforma, ktorá obsahuje všetko potrebné, na čo sa treba pripraviť Materiály jednotnej štátnej skúšky. Naši učitelia systematizovali a zrozumiteľnou formou prezentovali všetky matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie štandardných racionálnych rovníc, ktorých základ sa neustále aktualizuje a rozširuje.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať zopakovaním pravidiel a riešení jednoduché úlohy, postupne prechádza na zložitejšie. Absolvent tak bude vedieť identifikovať pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečný test so Shkolkovo už dnes a výsledky na seba nenechajú dlho čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z uvedených. Ak si rýchlo osvojíte výraz, prejdite na ťažšiu úlohu. Takto si môžete zdokonaliť svoje znalosti až po riešenie USE úloh z matematiky na špecializovanej úrovni.

Školenie je dostupné nielen pre absolventov z Moskvy, ale aj pre školákov z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!