A. Uveďme dve čiary, ktoré, ako bolo naznačené v kapitole 1, tvoria rôzne kladné a záporné uhly, ktoré v tomto prípade môžu byť ostré aj tupé. Keď poznáme jeden z týchto uhlov, môžeme ľahko nájsť ktorýkoľvek iný.

Mimochodom, pre všetky tieto uhly je číselná hodnota dotyčnice rovnaká, rozdiel môže byť iba v znamienku

Rovnice čiar. Čísla sú priemetmi smerových vektorov prvej a druhej priamky.Uhol medzi týmito vektormi sa rovná jednému z uhlov tvorených priamkami. Preto sa problém redukuje na určenie uhla medzi vektormi, dostaneme

Pre jednoduchosť sa môžeme dohodnúť na uhle medzi dvoma priamkami, aby sme pochopili ostrý kladný uhol (ako napríklad na obr. 53).

Potom bude dotyčnica tohto uhla vždy kladná. Ak teda dostaneme znamienko mínus na pravej strane vzorca (1), musíme ho zahodiť, t.j. ponechať len absolútnu hodnotu.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami

Podľa vzorca (1) máme

s. Ak je uvedené, ktorá zo strán uhla je jeho začiatkom a ktorá je jeho koncom, potom, počítajúc vždy smer uhla proti smeru hodinových ručičiek, môžeme zo vzorcov (1) extrahovať niečo viac. Ako je ľahko vidieť z obr. 53 znamienko získané na pravej strane vzorca (1) udáva, ktorý uhol – ostrý alebo tupý – tvorí druhú čiaru s prvým.

(Z obr. 53 vidíme, že uhol medzi prvým a druhým smerovým vektorom sa buď rovná požadovanému uhlu medzi čiarami, alebo sa od neho líši o ±180°.)

d. Ak sú priamky rovnobežné, tak aj ich smerové vektory sú rovnobežné.Aplikovaním podmienky rovnobežnosti dvoch vektorov dostaneme!

Toto je nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby dve čiary boli rovnobežné.

Príklad. Priamy

sú paralelné, pretože

e. Ak sú čiary kolmé, ich smerové vektory sú tiež kolmé. Aplikovaním podmienky kolmosti dvoch vektorov získame podmienku kolmosti dvoch priamok, a to

Príklad. Priamy

kolmá, pretože

V súvislosti s podmienkami rovnobežnosti a kolmosti budeme riešiť nasledujúce dva problémy.

f. Nakreslite čiaru rovnobežnú s danou čiarou cez bod

Rozhodnutie sa robí takto. Keďže požadovaná priamka je rovnobežná s danou, potom za jej smerovací vektor môžeme brať ten istý, ako má daná priamka, t.j. vektor s priemetmi A a B. Potom sa napíše rovnica požadovanej priamky. vo forme (§ 1)

Príklad. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom (1; 3) rovnobežným s priamkou

bude ďalší!

g. Nakreslite čiaru cez bod kolmý na danú čiaru

Tu už nie je vhodné brať vektor s projekciami A a ako smerovací vektor, ale je potrebné vyhrať vektor kolmý naň. Priemetne tohto vektora je preto potrebné voliť podľa podmienky, že oba vektory sú kolmé, t.j.

Táto podmienka môže byť splnená nekonečným množstvom spôsobov, keďže tu existuje jedna rovnica s dvoma neznámymi. Najjednoduchšie je však zobrať ju. Potom sa rovnica požadovaného riadku zapíše v tvare

Príklad. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom (-7; 2) v kolmej priamke

bude nasledujúci (podľa druhého vzorca)!

h. V prípade, keď sú čiary dané rovnicami tvaru

Pre každého študenta, ktorý sa pripravuje na skúšku z matematiky, bude užitočné zopakovať si tému „Hľadanie uhla medzi čiarami“. Ako ukazujú štatistiky, pri absolvovaní certifikačného testu spôsobujú úlohy v tejto časti stereometrie ťažkosti Vysoké čísloštudentov. Úlohy vyžadujúce zistenie uhla medzi priamkami sa zároveň nachádzajú v USE na základnej aj profilovej úrovni. To znamená, že by ich mal vedieť vyriešiť každý.

Základné momenty

Existujú 4 typy vzájomného usporiadania čiar v priestore. Môžu sa zhodovať, pretínať, byť rovnobežné alebo pretínajúce sa. Uhol medzi nimi môže byť ostrý alebo rovný.

Na nájdenie uhla medzi čiarami v Jednotnej štátnej skúške alebo napríklad v riešení môžu školáci v Moskve a iných mestách použiť niekoľko metód na riešenie problémov v tejto časti stereometrie. Úlohu môžete dokončiť klasickými konštrukciami. Aby ste to dosiahli, stojí za to naučiť sa základné axiómy a teorémy stereometrie. Študent musí byť schopný logicky budovať úvahy a vytvárať kresby, aby priviedol úlohu k planimetrickému problému.

Môžete tiež použiť metódu vektorových súradníc pomocou jednoduchých vzorcov, pravidiel a algoritmov. Hlavná vec v tomto prípade je správne vykonať všetky výpočty. Vzdelávací projekt Shkolkovo vám pomôže zdokonaliť vaše zručnosti pri riešení problémov v stereometrii a iných častiach školského kurzu.

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že som si dnes kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : prosím zapamätaj si matematický znak križovatke, bude sa vyskytovať veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , Ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že az druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

IN praktické úlohy možno použiť práve diskutovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, tak je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Väčšina skratka- na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa čiar je málo zaujímavý, preto zvážte problém, ktorý je vám dobre známy školské osnovy:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam dva lineárne rovnice s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Niektoré čiary sa navyše nedajú tak ľahko zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo hárku zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytická metóda. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary dané rovnicami v všeobecný pohľad:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Používaním inverzná funkciaľahké nájsť samotný roh. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uveďte presná hodnota, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch) vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , potom ostrý roh medzi týmito riadkami budú definované ako

Dve priamky sú rovnobežné, ak k 1 = k 2 . Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2 .

Veta. Priamky Ax + Vy + C \u003d 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB úmerné. Ak aj С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica prechádzajúcej priamky daný bod

Kolmo na túto čiaru

Definícia.Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y \u003d kx + b je reprezentovaná rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C \u003d 0 definovaná ako

.

Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej cez daný bod M 0 je kolmá na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.

Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3r + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Uhol medzi dvoma čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) píše sa takto:

Sklon priamky prechádzajúcej cez dva dané body je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve čiary dané rovnicami sklonu

r = k 1 X + B 1 ,

r = k 2 X + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvej priamky odpočítava od sklonu druhej priamky.

Ak sú rovnice priamky uvedené vo všeobecnom tvare

A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) so ​​sklonom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich sklonov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch čiar:

a) V prípade, že sú priamky dané rovnicami (4) so ​​sklonom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby boli faktory sklonu sú recipročné vo veľkosti a opačné v znamienku, t.j.

Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), tak podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy

1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.

Inštrukcia

Poznámka

Obdobie goniometrická funkcia dotyčnica sa rovná 180 stupňom, čo znamená, že uhly sklonu priamych čiar nemôžu modulo prekročiť túto hodnotu.

Užitočné rady

Ak sú koeficienty sklonu navzájom rovnaké, potom je uhol medzi týmito čiarami 0, pretože tieto čiary sa buď zhodujú, alebo sú rovnobežné.

Na určenie uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je potrebné preniesť obe čiary (alebo jednu z nich) do novej polohy metódou paralelného prenosu do priesečníka. Potom by ste mali nájsť uhol medzi výslednými pretínajúcimi sa čiarami.

Budete potrebovať

• pravítko, správny trojuholník, ceruzka, uhlomer.

Inštrukcia

Nech je teda daný vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C sú súradnice normály N. Potom kosínus uhla α medzi vektormi V a N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Na výpočet hodnoty uhla v stupňoch alebo radiánoch je potrebné z výsledného výrazu vypočítať funkciu inverznú ku kosínusu, t.j. arkkozín: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Príklad: nájsť rohu medzi vektor(5, -3, 8) a lietadlo, daný všeobecná rovnica 2 x – 5 y + 3 z = 0. Riešenie: zapíšte súradnice normálového vektora roviny N = (2, -5, 3). Nahradiť všetko známe hodnoty vo vyššie uvedenom vzorci: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Podobné videá

Rovná čiara, ktorá má jednu s kruhom spoločný bod, je dotyčnicou ku kružnici. Ďalšou vlastnosťou dotyčnice je, že je vždy kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku, to znamená, že dotyčnica a polomer tvoria priamku. rohu. Ak sú dve dotyčnice ku kružnici AB a AC nakreslené z jedného bodu A, potom sú si vždy rovné. Definícia uhla medzi dotyčnicami ( rohu ABC) sa vytvára pomocou Pytagorovej vety.

Inštrukcia

Na určenie uhla potrebujete poznať polomer kružnice OB a OS a vzdialenosť začiatočného bodu dotyčnice od stredu kružnice - O. Takže uhly ABO a ACO sú rovnaké, polomer OB, napríklad 10 cm a vzdialenosť od stredu kružnice AO je 15 cm Dĺžku dotyčnice určte podľa vzorca podľa Pytagorovej vety: AB = Odmocnina od AO2 - OB2 alebo 152 - 102 = 225 - 100 = 125;