Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi, ktorý vám poskytne najužitočnejší zdroj

Čo sú to "lineárne rovnice"

alebo verbálne - traja priatelia dostali jablká každý, na základe skutočnosti, že Vasya má všetky jablká.

A teraz ste sa rozhodli lineárna rovnica
Teraz dajme tomuto pojmu matematickú definíciu.

Lineárna rovnica - je algebraická rovnica, ktorej celkový stupeň polynómov, ktoré ju tvoria, je. Vyzerá to takto:

Kde a sú nejaké čísla a

Pre náš prípad s Vasyou a jablkami napíšeme:

- "ak Vasya dá všetkým trom priateľom rovnaký počet jabĺk, nezostanú mu žiadne jablká"

„Skryté“ lineárne rovnice, alebo dôležitosť identických transformácií

Napriek tomu, že na prvý pohľad je všetko veľmi jednoduché, pri riešení rovníc musíte byť opatrní, pretože lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tvaru, ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa transformáciou a zjednodušením redukujú na tento tvar. Napríklad:

Vidíme, že je vpravo, čo už teoreticky naznačuje, že rovnica nie je lineárna. Navyše, ak otvoríme zátvorky, dostaneme ďalšie dva výrazy, v ktorých bude, ale nerob unáhlené závery! Pred posudzovaním, či je rovnica lineárna, je potrebné vykonať všetky transformácie a tým zjednodušiť pôvodný príklad. V tomto prípade sa transformácie môžu zmeniť vzhľad, ale nie samotná podstata rovnice.

Inými slovami, tieto premeny musia byť identické alebo ekvivalent. Existujú len dve takéto transformácie, ale zohrávajú veľmi, VEĽMI dôležitú úlohu pri riešení problémov. Uvažujme obe transformácie na konkrétnych príkladoch.

Pohyb doľava - doprava.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu:

Tiež v Základná škola bolo nám povedané: "s X - doľava, bez X - doprava." Aký výraz s x je vpravo? Správne, nie ako nie. A to je dôležité, pretože ak je táto zdanlivo jednoduchá otázka nepochopená, prichádza nesprávna odpoveď. A aký je výraz s x vľavo? Správny, .

Teraz, keď sme sa tým zaoberali, presunieme všetky pojmy s neznámymi doľava a všetko, čo je známe, napravo, pamätajúc, že ​​ak napríklad pred číslom nie je žiadne znamienko, potom je číslo kladné, že je pred ním znak " ".

Presunutý? Čo si dostal?

Zostáva len priniesť podobné podmienky. Predstavujeme:

Prvú identickú transformáciu sme teda úspešne analyzovali, aj keď som si istý, že ste ju už poznali a aktívne ste ju používali aj bezo mňa. Hlavná vec - nezabudnite na znamienka čísel a pri prenose cez znamienko rovnosti ich zmeňte na opak!

Násobenie-delenie.

Začnime hneď príkladom

Pozeráme a rozmýšľame: čo sa nám na tomto príklade nepáči? Neznáme je všetko v jednej časti, známe je v druhej, ale niečo nám bráni ... A toto je niečo - štvorka, pretože keby tam nebola, všetko by bolo dokonalé - x sa rovná číslu - presne ako potrebujeme!

Ako sa ho môžete zbaviť? Nemôžeme preniesť doprava, pretože potom musíme preniesť celý multiplikátor (nemôžeme ho vziať a odtrhnúť od neho) a prenos celého multiplikátora tiež nemá zmysel ...

Je čas zapamätať si rozdelenie, v súvislosti s ktorým rozdelíme všetko len na! Všetko - to znamená ľavé aj pravá strana. Tak a len tak! čo získame?

Tu je odpoveď.

Pozrime sa teraz na ďalší príklad:

Hádajte, čo robiť v tomto prípade? Správne, vynásobte ľavú a pravú časť! Akú odpoveď ste dostali? Správny. .

O identických premenách ste už určite vedeli všetko. Zvážte, že sme si práve osviežili tieto poznatky v pamäti a je čas na niečo viac - Napríklad vyriešiť náš veľký príklad:

Ako sme už povedali, pri pohľade na to nemôžete povedať, že táto rovnica je lineárna, ale musíme otvoriť zátvorky a vykonať identické transformácie. Tak poďme na to!

Na začiatok si pripomenieme vzorce pre skrátené násobenie, najmä druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu. Ak si nepamätáte, čo to je a ako sa otvárajú zátvorky, dôrazne vám odporúčam prečítať si túto tému, pretože tieto zručnosti vám budú užitočné pri riešení takmer všetkých príkladov nájdených na skúške.
Odhalené? Porovnaj:

Teraz je čas priniesť podobné podmienky. Pamätáš si, ako sme na tom rovnako Základná škola povedali "nedávame muchy s rezňami"? Tu vám to pripomínam. Všetko pridávame samostatne – faktory, ktoré majú, faktory, ktoré majú, a ďalšie faktory, ktoré nemajú neznáme. Keď prinesiete podobné pojmy, presuňte všetky neznáme doľava a všetko, čo je známe, doprava. Čo si dostal?

Ako vidíte, x-štvorec zmizol a vidíme úplne obyčajný lineárna rovnica. Zostáva len nájsť!

A na záver poviem o identických transformáciách ešte jednu veľmi dôležitú vec – identické transformácie sú použiteľné nielen pre lineárne rovnice, ale aj pre štvorcové, zlomkové racionálne a iné. Treba si len pamätať, že pri prenose faktorov cez znamienko rovnosti zmeníme znamienko na opačné a pri delení alebo násobení nejakým číslom vynásobíme / delíme obe strany rovnice rovnakým číslom.

Čo ste si ešte z tohto príkladu odniesli? Že pri pohľade na rovnicu nie je vždy možné priamo a presne určiť, či je lineárna alebo nie. Najprv musíte výraz úplne zjednodušiť a až potom posúdiť, čo to je.

Lineárne rovnice. Príklady.

Tu je niekoľko ďalších príkladov, ktoré si môžete precvičiť sami - určite, či je rovnica lineárna, a ak áno, nájdite jej korene:

Odpovede:

1. Je.

2. Nie je.

Otvorme zátvorky a dajme podobné výrazy:

Urobme identickú transformáciu - ľavú a pravú časť rozdelíme na:

Vidíme, že rovnica nie je lineárna, takže netreba hľadať jej korene.

3. Je.

Urobme identickú transformáciu - vynásobte ľavú a pravú časť čím, aby ste sa zbavili menovateľa.

Premýšľajte, prečo je to také dôležité? Ak poznáte odpoveď na túto otázku, pristúpime k ďalšiemu riešeniu rovnice, ak nie, určite nahliadnite do témy, aby ste nerobili chyby vo viacerých ťažké príklady. Mimochodom, ako vidíte, situácia, keď je to nemožné. prečo?
Takže poďme ďalej a usporiadajme rovnicu:

Ak ste sa so všetkým vyrovnali bez problémov, povedzme si o lineárnych rovniciach s dvoma premennými.

Lineárne rovnice s dvoma premennými

Teraz prejdime k trochu zložitejšiemu – lineárnym rovniciam s dvoma premennými.

Lineárne rovnice s dvoma premennými vyzerajú takto:

Kde a sú nejaké čísla a.

Ako vidíte, jediný rozdiel je v tom, že do rovnice sa pridáva ešte jedna premenná. A tak je všetko po starom – neexistujú x na druhú, neexistuje delenie premennou atď. a tak ďalej.

Aký životný príklad vám dať ... Vezmime si to isté Vasya. Predpokladajme, že sa rozhodne, že každému zo svojich 3 priateľov dá rovnaký počet jabĺk a jablká si nechá pre seba. Koľko jabĺk potrebuje Vasya kúpiť, ak dá každému priateľovi jablko? Čo takto? Čo ak do?

Závislosť počtu jabĺk, ktoré každý dostane Celkom jablká na nákup budú vyjadrené rovnicou:

• - počet jabĺk, ktoré osoba dostane (, alebo, alebo);
• - počet jabĺk, ktoré si Vasya vezme pre seba;
• - koľko jabĺk potrebuje Vasya kúpiť, berúc do úvahy počet jabĺk na osobu.

Pri riešení tohto problému zistíme, že ak Vasya dá jednému priateľovi jablko, musí si kúpiť kúsky, ak dá jablká - a tak ďalej.

A všeobecne povedané. Máme dve premenné. Prečo nevykresliť túto závislosť do grafu? Hodnotu našich, teda bodov, staviame a označíme súradnicami a!

Ako vidíte, a závisí jeden na druhom lineárne, odtiaľ názov rovníc - “ lineárne».

Abstrahujeme od jabĺk a uvažujeme graficky odlišné rovnice. Pozorne si pozrite dva zostrojené grafy – priamku a parabolu, dané ľubovoľnými funkciami:

Nájdite a označte zodpovedajúce body na oboch obrázkoch.
Čo si dostal?

Môžete to vidieť na grafe prvej funkcie sám zodpovedá jeden, teda a lineárne na sebe závisia, čo sa o druhej funkcii povedať nedá. Samozrejme, môžete namietať, že na druhom grafe x zodpovedá aj - , ale to je len jeden bod, tzn. špeciálny prípad, pretože stále môžete nájsť ten, ktorý sa zhoduje s viac ako len jedným. A zostrojený graf v žiadnom prípade nepripomína priamku, ale je parabolou.

Opakujem, ešte raz: graf lineárnej rovnice musí byť ROVNÁ čiara.

S tým, že rovnica nebude lineárna, ak pôjdeme do akejkoľvek miery - to je pochopiteľné na príklade paraboly, aj keď pre seba si môžete zostaviť niekoľko jednoduchých grafov, napr. Ale ubezpečujem vás – žiadna z nich nebude PRIAMA RIADKA.

neveríte? Zostavte a potom porovnajte s tým, čo som dostal:

A čo sa stane, ak niečo vydelíme napríklad nejakým číslom? Bude existovať lineárna závislosť a? Nebudeme sa hádať, ale budeme stavať! Zostavme si napríklad funkčný graf.

Nejako to nevyzerá ako postavená priamka ... podľa toho rovnica nie je lineárna.
Poďme si to zhrnúť:

1. Lineárna rovnica - je algebraická rovnica, v ktorej je celkový stupeň jej tvoriacich polynómov rovnaký.
2. Lineárna rovnica s jednou premennou vyzerá takto:
   , kde a sú akékoľvek čísla;
   Lineárna rovnica s dvoma premennými:
   , kde a sú akékoľvek čísla.
3. Nie je vždy možné okamžite určiť, či je rovnica lineárna alebo nie. Niekedy, aby sme to pochopili, je potrebné vykonať identické transformácie, presunúť podobné výrazy doľava / doprava, nezabudnúť zmeniť znamienko alebo vynásobiť / vydeliť obe strany rovnice rovnakým číslom.

LINEÁRNE ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

1. Lineárna rovnica

Toto je algebraická rovnica, v ktorej je celkový stupeň jej tvoriacich polynómov rovnaký.

2. Lineárna rovnica s jednou premennou vyzerá ako:

Kde a sú nejaké čísla;

3. Lineárna rovnica s dvoma premennými vyzerá ako:

Kde a sú nejaké čísla.

4. Premeny identity

Na určenie, či je rovnica lineárna alebo nie, je potrebné vykonať identické transformácie:

• pohybovať sa doľava/doprava ako výrazy, pričom nezabudnite zmeniť znamienko;
• vynásobte/vydeľte obe strany rovnice rovnakým číslom.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné doručenie Jednotná štátna skúška na prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nevyhnutne s riešeniami podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete získať pomoc s našimi úlohami, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sa riešia pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Na začiatok definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá z nich by sa mala nazývať najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba v prvom stupni.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Otvorené zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Preneste podobné výrazy naľavo a napravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$ .

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy sa po všetkých týchto machináciách koeficient premennej $x$ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Napríklad, keď dostanete niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je nenulové číslo. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

A teraz sa pozrime, ako to celé funguje na príklade reálnych problémov.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte otvoriť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom prineste podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. všetko, čo je spojené s premennou – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – sa prenesie na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, sa prenesie na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobnú na každej strane výslednej rovnosti a potom zostáva len rozdeliť koeficientom v "x" a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Zvyčajne sa chyby robia buď pri otváraní zátvoriek, alebo pri počítaní „plusov“ a „mínusov“.

Navyše sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo tak, že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Tieto jemnosti budeme analyzovať v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s väčšinou jednoduché úlohy.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Na začiatok mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Ak existujú, rozbaľte zátvorky.
2. Samostatné premenné, t.j. všetko, čo obsahuje „x“, sa prenesie na jednu stranu a bez „x“ na druhú.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom pri „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, má určité jemnosti a triky a teraz sa s nimi zoznámime.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

V prvom kroku sme povinní otvoriť zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Poznámka: rozprávame sa len o jednotlivých komponentoch. Píšme:

Naľavo aj napravo uvádzame podobné výrazy, ale už to tu bolo urobené. Preto pristúpime k štvrtému kroku: rozdelenie faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tu sme dostali odpoveď.

Úloha č. 2

V tejto úlohe môžeme pozorovať zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnakú konštrukciu, ale konajme podľa algoritmu, t.j. sekvestračné premenné:

Tu sú niektoré ako:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č. 3

Tretia lineárna rovnica je už zaujímavejšia:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu viacero, ale nie sú ničím znásobené, len majú pred sebou rôzne znaky. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme počítať:

Vykonávame posledný krok- všetko vydeľte koeficientom v "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže sa medzi nich dostať nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste to nejako rozlišovať alebo predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia vlastnosť súvisí s rozširovaním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znaky na opak. A potom ho môžeme otvoriť podľa štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto konanie považuje za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz sa konštrukcie skomplikujú a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by ste sa toho však báť, pretože ak podľa zámeru autora vyriešime lineárnu rovnicu, v procese transformácie sa nevyhnutne zredukujú všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č. 1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré ako:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže v odpovedi píšeme takto:

\[\odroda \]

alebo bez koreňov.

Príklad č. 2

Vykonávame rovnaké kroky. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré ako:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo bez koreňov.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemôže byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, v oboch jednoducho nie sú žiadne korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich rozširovať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením je potrebné všetko vynásobiť „x“. Poznámka: násobte každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva pojmy - respektíve dva pojmy a je znásobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien možno zátvorku otvoriť z toho pohľadu, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie hotové, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie iba mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sledom elementárnych transformácií, kde nemožnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché kroky vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a učia sa opäť riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti zdokonalíte do automatizácie. Už nemusíte zakaždým vykonávať toľko premien, všetko napíšete do jedného riadku. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si ústup:

Tu sú niektoré ako:

Urobme posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica presne lineárna, nie štvorcová.

Úloha č. 2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Urobme prvý krok opatrne: vynásobte každý prvok v prvej zátvorke každým prvkom v druhej. Celkovo by sa po transformáciách mali získať štyri nové výrazy:

A teraz opatrne vykonajte násobenie v každom termíne:

Presuňme výrazy s "x" doľava a bez - doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Dostali sme definitívnu odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je táto: akonáhle začneme násobiť zátvorky, v ktorých je viac ako jeden člen, potom sa to robí podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhého; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. Výsledkom sú štyri termíny.

Na algebraickom súčte

V poslednom príklade by som chcel žiakom pripomenúť, čo je algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: od jednej odpočítame sedem. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Tento algebraický súčet sa líši od bežného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Na záver sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a aby sme ich vyriešili, budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc zlomkom

Na vyriešenie takýchto úloh bude potrebné do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv však pripomeniem náš algoritmus:

1. Otvorené zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste podobné.
4. Rozdeliť faktorom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus, napriek svojej účinnosti, nie je úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme v oboch rovniciach zlomok vľavo a vpravo.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred prvou akciou aj po nej, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus teda bude nasledovný:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorené zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste podobné.
5. Rozdeliť faktorom.

Čo znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo je to možné urobiť po aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky z hľadiska menovateľa číselné, t.j. všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe časti rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad č. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Píšme:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz to otvoríme:

Vykonávame vylúčenie premennej:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdeme k druhej rovnici.

Príklad č. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Hlavné zistenia sú nasledovné:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nebojte sa, ak niekde máte kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
• Korene v lineárnych rovniciach, dokonca aj tie najjednoduchšie, sú troch typov: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň, neexistujú žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!

A tak ďalej, je logické zoznámiť sa s rovnicami iných typov. Ďalšie v poradí sú lineárne rovnice, ktorej cieľavedomé štúdium začína na hodinách algebry v 7. ročníku.

Je jasné, že najprv musíte vysvetliť, čo je lineárna rovnica, uviesť definíciu lineárnej rovnice, jej koeficienty, ukázať ju všeobecná forma. Potom môžete zistiť, koľko riešení má lineárna rovnica v závislosti od hodnôt koeficientov a od toho, ako sa nachádzajú korene. To vám umožní prejsť k riešeniu príkladov, a tým upevniť študovanú teóriu. V tomto článku to urobíme: podrobne sa budeme zaoberať všetkými teoretickými a praktickými bodmi týkajúcimi sa lineárnych rovníc a ich riešenia.

Povedzme hneď, že tu budeme brať do úvahy iba lineárne rovnice s jednou premennou a v samostatnom článku budeme študovať princípy riešenia lineárne rovnice v dvoch premenných.

Navigácia na stránke.

Čo je lineárna rovnica?

Definícia lineárnej rovnice je daná formou jej zápisu. Navyše v rôznych učebniciach matematiky a algebry majú formulácie definícií lineárnych rovníc určité rozdiely, ktoré neovplyvňujú podstatu problému.

Napríklad v učebnici algebry pre 7. ročník od Yu. N. Makarycheva a ďalších je lineárna rovnica definovaná takto:

Definícia.

Zadajte rovnicu ax=b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Uveďme príklady lineárnych rovníc zodpovedajúcich znenej definícii. Napríklad 5 x=10 je lineárna rovnica s jednou premennou x , tu je koeficient a 5 a číslo b je 10. Ďalší príklad: −2,3 y=0 je tiež lineárna rovnica, ale s premennou y , kde a=−2,3 a b=0 . A v lineárnych rovniciach x=−2 a −x=3,33 a nie sú explicitne prítomné a sú rovné 1 a −1, zatiaľ čo v prvej rovnici b=−2 a v druhej - b=3,33.

O rok skôr sa v učebnici matematiky od N. Ya.Vilenkina považovali okrem rovníc tvaru a x = b aj lineárne rovnice s jednou neznámou za rovnice, ktoré možno do tohto tvaru zredukovať prenesením členov z jednej časti. rovnice na inú s opačným znamienkom, ako aj redukciou podobných členov. Podľa tejto definície rovnice tvaru 5 x=2 x+6 atď. sú tiež lineárne.

Nasledujúca definícia je uvedená v učebnici algebry pre 7 tried od A. G. Mordkovicha:

Definícia.

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica v tvare a x+b=0, kde a a b sú nejaké čísla, nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Napríklad lineárne rovnice tohto druhu sú 2 x - 12 = 0, tu sa koeficient a rovná 2 a b sa rovná -12 a 0,2 y + 4,6 = 0 s koeficientmi a = 0,2 a b = 4,6. Zároveň však existujú príklady lineárnych rovníc, ktoré nemajú tvar a x+b=0, ale ax=b, napríklad 3 x=12.

Aby sme v budúcnosti nemali nezrovnalosti, pod lineárnou rovnicou s jednou premennou x a koeficientmi a a b budeme chápať rovnicu v tvare a x+b=0 . Tento typ lineárnej rovnice sa zdá byť najoprávnenejší, pretože lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvý stupeň. A všetky ostatné vyššie uvedené rovnice, ako aj rovnice, ktoré sú pomocou ekvivalentných transformácií redukované do tvaru a x+b=0, sa budú nazývať rovnice redukujúce na lineárne rovnice. S týmto prístupom je rovnica 2 x + 6 = 0 lineárna rovnica a 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 atď. sú lineárne rovnice.

Ako riešiť lineárne rovnice?

Teraz je čas zistiť, ako sa riešia lineárne rovnice a x+b=0. Inými slovami, je čas zistiť, či lineárna rovnica má korene, a ak áno, koľko a ako ich nájsť.

Prítomnosť koreňov lineárnej rovnice závisí od hodnôt koeficientov a a b. V tomto prípade má lineárna rovnica a x+b=0

• jediný koreň na a≠0 ,
• nemá korene pre a=0 a b≠0 ,
• má nekonečne veľa koreňov pre a=0 a b=0 , v takom prípade je každé číslo koreňom lineárnej rovnice.

Vysvetlíme, ako sa tieto výsledky dosiahli.

Vieme, že na riešenie rovníc je možné prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentné rovnice, teda na rovnice s rovnakými koreňmi alebo, ako tá pôvodná, bez koreňov. Na tento účel môžete použiť nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom,
• a tiež násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takže v lineárnej rovnici s jednotkou typ premennej a x+b=0 môžeme výraz b presunúť z ľavej strany na pravú s opačným znamienkom. V tomto prípade bude mať rovnica tvar a x=−b.

A potom sa navrhne delenie oboch častí rovnice číslom a. Ale je tu jedna vec: číslo a sa môže rovnať nule, v takom prípade je takéto delenie nemožné. Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, najprv budeme predpokladať, že číslo a je iné ako nula, a prípad nuly a zvážime samostatne o niečo neskôr.

Takže, keď sa a nerovná nule, potom môžeme obe časti rovnice a x=−b vydeliť a , potom sa prevedie do tvaru x=(−b):a , tento výsledok možno zapísať pomocou a plná čiara ako .

Pre a≠0 je teda lineárna rovnica a·x+b=0 ekvivalentná rovnici , z ktorej je viditeľný jej koreň.

Je ľahké ukázať, že tento koreň je jedinečný, to znamená, že lineárna rovnica nemá žiadne iné korene. To vám umožní urobiť opačnú metódu.

Označme koreň ako x 1 . Predpokladajme, že existuje ďalší koreň lineárnej rovnice, ktorý označíme x 2, a x 2 ≠ x 1, ktorý v dôsledku definície rovnaké čísla cez rozdiel je ekvivalentná podmienke x 1 − x 2 ≠0 . Keďže x 1 a x 2 sú korene lineárnej rovnice a x+b=0, potom nastávajú číselné rovnosti a x 1 +b=0 a a x 2 +b=0. Zodpovedajúce časti týchto rovníc môžeme odčítať, čo nám vlastnosti číselných rovníc umožňujú, máme a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , odkiaľ a (x 1 −x 2)+( b-b)=0 a potom a(x1-x2)=0. A táto rovnosť nie je možná, keďže a≠0 aj x 1 − x 2 ≠0. Dostali sme sa teda k rozporu, ktorý dokazuje jedinečnosť koreňa lineárnej rovnice a·x+b=0 pre a≠0 .

Vyriešili sme teda lineárnu rovnicu a x+b=0 s a≠0 . Prvý výsledok uvedený na začiatku tohto pododdielu je opodstatnený. Sú ešte dve, ktoré spĺňajú podmienku a=0 .

Pre a=0 sa lineárna rovnica a·x+b=0 zmení na 0·x+b=0. Z tejto rovnice a vlastnosti násobenia čísel nulou vyplýva, že bez ohľadu na to, aké číslo berieme ako x, keď ho dosadíme do rovnice 0 x+b=0, dostaneme číselnú rovnosť b=0. Táto rovnosť je pravdivá, keď b=0, a v ostatných prípadoch, keď b≠0 je táto rovnosť nepravdivá.

Preto pre a=0 ab=0 je každé číslo koreňom lineárnej rovnice a x+b=0, keďže za týchto podmienok dosadenie ľubovoľného čísla namiesto x dáva správnu číselnú rovnosť 0=0. A pre a=0 a b≠0 lineárna rovnica a x+b=0 nemá korene, pretože za týchto podmienok dosadenie akéhokoľvek čísla namiesto x vedie k nesprávnej číselnej rovnosti b=0.

Vyššie uvedené zdôvodnenia umožňujú vytvoriť postupnosť akcií, ktorá umožňuje vyriešiť akúkoľvek lineárnu rovnicu. takže, Algoritmus na riešenie lineárnej rovnice je:

• Najprv napísaním lineárnej rovnice nájdeme hodnoty koeficientov a a b.
• Ak a=0 a b=0, potom táto rovnica má nekonečne veľa koreňov, konkrétne každé číslo je koreňom tejto lineárnej rovnice.
• Ak je a odlišné od nuly, potom
• koeficient b sa prenesie na pravú stranu s opačným znamienkom, pričom lineárna rovnica sa transformuje do tvaru a x=−b ,
• po ktorom sa obe časti výslednej rovnice vydelia nenulovým číslom a, čím sa získa požadovaný koreň pôvodnej lineárnej rovnice.

Napísaný algoritmus je vyčerpávajúcou odpoveďou na otázku, ako riešiť lineárne rovnice.

Na záver tohto odseku je vhodné povedať, že podobný algoritmus sa používa na riešenie rovníc v tvare a x=b. Jeho rozdiel spočíva v tom, že keď a≠0, obe časti rovnice sa okamžite delia týmto číslom, tu b je už v požadovanej časti rovnice a nie je potrebné ho prenášať.

Na riešenie rovníc tvaru a x=b sa používa nasledujúci algoritmus:

• Ak a=0 a b=0 , potom rovnica má nekonečne veľa koreňov, ktorými sú ľubovoľné čísla.
• Ak a=0 a b≠0 , potom pôvodná rovnica nemá korene.
• Ak a je nenulové, potom sa obe strany rovnice delia nenulovým číslom a, z ktorého sa nájde jediný koreň rovnice rovný b / a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Prejdime k praxi. Poďme analyzovať, ako sa používa algoritmus na riešenie lineárnych rovníc. Uveďme riešenia typických príkladov zodpovedajúcich rôzne významy koeficienty lineárnych rovníc.

Príklad.

Riešte lineárnu rovnicu 0 x−0=0 .

Riešenie.

V tejto lineárnej rovnici a=0 a b=−0 , čo je rovnaké ako b=0 . Preto má táto rovnica nekonečne veľa koreňov, každé číslo je koreňom tejto rovnice.

odpoveď:

x je ľubovoľné číslo.

Príklad.

Má lineárna rovnica 0 x+2,7=0 riešenia?

Riešenie.

V tomto prípade sa koeficient a rovná nule a koeficient b tejto lineárnej rovnice sa rovná 2,7, to znamená, že sa líši od nuly. Preto lineárna rovnica nemá korene.

Rovnice v matematike sú rovnako dôležité ako slovesá v ruštine. Bez schopnosti nájsť koreň rovnice je ťažké povedať, že študent zvládol kurz algebry. Každý z ich typov má navyše svoje špeciálne riešenia.

Čo to je?

Rovnica sú dva ľubovoľné výrazy obsahujúce premenné, medzi ktorými je umiestnené znamienko rovnosti. Navyše počet neznámych veličín môže byť ľubovoľný. Minimálne množstvo je jedna.

Vyriešiť to znamená zistiť, či existuje koreň rovnice. To je číslo, ktoré ho mení na skutočnú rovnosť. Ak neexistuje, odpoveďou je tvrdenie, že „nie sú korene“. Ale môže sa stať aj opak, keď je odpoveďou množina čísel.

Aké typy rovníc existujú?

Lineárne. Obsahuje premennú, ktorej stupeň sa rovná jednej.

• Námestie. Premenná stojí s mocninou 2 alebo transformácie vedú k objaveniu sa takejto sily.
• Rovnica najvyššieho stupňa.
• Čiastočne racionálne. Keď je premenná v menovateli zlomku.
• s modulom.
• Iracionálne. Teda taký, ktorý obsahuje algebraický koreň.

Ako sa rieši lineárna rovnica?

Je to základné. Všetci ostatní sa snažia viesť k tejto forme. Pretože je celkom jednoduché nájsť koreň rovnice s ním.

• Najprv musíte vykonať možné transformácie, to znamená otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy.
• Preneste všetky monomály s premennou hodnotou do ľavá strana rovnosť, ponechanie voľných podmienok v práve.
• V každej časti rovnice, ktorú riešite, uveďte rovnaké výrazy.
• Vo výslednej rovnosti bude súčin koeficientu a premennej v jej ľavej polovici a číslo v pravej polovici.
• Zostáva nájsť koreň rovnice vydelením čísla vpravo koeficientom pred neznámou.

Ako nájsť korene kvadratickej rovnice?

Najprv sa musí dostať do štandardného tvaru, to znamená otvoriť všetky zátvorky, priniesť podobné výrazy a preniesť všetky monomály na ľavú stranu. Na pravej strane rovnosti by mala zostať iba nula.

• Použite vzorec pre diskriminant. Umocnite koeficient pred neznámou mocninou "1". Voľný jednočlen a číslo pred premennou v štvorci vynásobte číslom 4. Od výsledného štvorca odčítajte súčin.
• Odhadnite hodnotu diskriminantu. Je negatívny - riešenie je hotové, keďže nemá korene. Rovná sa nule – odpoveď bude jedno číslo. Kladné - dve hodnoty pre premennú.

Ako vyriešiť kubickú rovnicu?

Najprv nájdite koreň x rovnice. Určuje sa metódou výberu z čísel, ktoré sú deliteľmi voľného člena. Je vhodné zvážiť túto metódu v konkrétny príklad. Nech rovnica vyzerá takto: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Jeho priesečník je 12. Potom deliče, ktoré sa majú skontrolovať, budú kladné a záporné čísla: 1, 2, 3, 4, 6 a 12. Výpočet je možné doplniť už pri čísle 2. To dáva správnu rovnosť v rovnici. To znamená, že jeho ľavá strana sa rovná nule. Takže číslo 2 je prvým koreňom kubickej rovnice.

Teraz musíte vydeliť pôvodnú rovnicu rozdielom medzi premennou a prvým koreňom. V konkrétnom príklade je to (x - 2). Jednoduchá transformácia vedie čitateľa k takému rozkladu: (x - 2) (x + 2) (x - 3). Rovnaké faktory čitateľa a menovateľa sa zrušia a zvyšné dve zátvorky po rozbalení dávajú jednoduchý kvadratická rovnica: x 2 - x - 6 = 0.

Tu nájdite dva korene rovnice podľa princípu opísaného v predchádzajúcej časti. Sú to čísla: 3 a -2.

Celkovo má konkrétna kubická rovnica tri korene: 2, -2 a 3.

Ako sa riešia sústavy lineárnych rovníc?

Tu navrhujeme metódu na odstránenie neznámych. Spočíva vo vyjadrení jednej neznámej pomocou inej v jednej rovnici a dosadení tohto výrazu do iného. Navyše, riešením sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi je vždy dvojica premenných.

Ak sú v nich premenné označené písmenami x 1 a x 2, potom je možné z prvej rovnosti odvodiť napríklad x 2. Potom sa nahradí do druhého. Vykoná sa potrebná transformácia: otvorenie zátvoriek a redukcia podobných výrazov. Ukazuje sa jednoduchá lineárna rovnica, ktorej koreň sa dá ľahko vypočítať.

Teraz sa vráťte k prvej rovnici a pomocou výslednej rovnice nájdite koreň rovnice x 2. Tieto dve čísla sú odpoveďou.

Aby ste si boli istí prijatou odpoveďou, odporúča sa vždy skontrolovať. Nemusí sa to zapisovať.

Ak je jedna rovnica vyriešená, potom každý jej koreň musí byť dosadený do pôvodnej rovnice a dostať rovnaké čísla v oboch jej častiach. Všetko sa spojilo - správne rozhodnutie.

Pri práci so systémom musia byť do každého roztoku a všetkých nahradené korene možné akcie. Je to skutočná rovnosť? Takže rozhodnutie je správne.

Pri riešení lineárnych rovníc sa snažíme nájsť koreň, teda hodnotu premennej, ktorá prevedie rovnicu do správnej rovnosti.

Ak chcete nájsť koreň rovnice, potrebujete ekvivalentné transformácie prinesú nám danú rovnicu do tvaru

\(x=[číslo]\)

Toto číslo bude koreňom.

To znamená, že rovnicu transformujeme, čím ju zjednodušujeme každým krokom, až kým ju nezredukujeme na úplne primitívnu rovnicu „x = číslo“, kde je koreň zrejmý. Pri riešení lineárnych rovníc sa najčastejšie používajú tieto transformácie:

Napríklad: pridajte \(5\) na obe strany rovnice \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Upozorňujeme, že rovnaký výsledok by sme mohli získať rýchlejšie – jednoducho napísaním päťky na druhú stranu rovnice a zmenou jej znamienka v procese. V skutočnosti sa presne takto robí škola „prestup cez rovný so zmenou znamienka na opačný“.

2. Násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom alebo výrazom.

Napríklad: Vydeľte rovnicu \(-2x=8\) mínus dvoma

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Zvyčajne sa tento krok robí na samom konci, keď už bola rovnica zredukovaná na \(ax=b\), a delíme \(a\), aby sme ju odstránili zľava.

3. Používanie vlastností a zákonov matematiky: otváranie zátvoriek, zmenšovanie podobných pojmov, zmenšovanie zlomkov atď.

Pridajte \(2x\) doľava a doprava

Odčítajte \(24\) od oboch strán rovnice

Opäť uvádzame podobné pojmy

Teraz rovnicu vydelíme \ (-3 \), čím odstránime pred x na ľavej strane.

Odpoveď : \(7\)

Odpoveď sa našla. Poďme si to však overiť. Ak je sedmička skutočne koreň, potom jej dosadením namiesto x v pôvodnej rovnici by mala vzniknúť správna rovnosť – rovnaké čísla vľavo a vpravo. Skúsime.

Vyšetrenie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Dohodnuté. To znamená, že sedem je skutočne koreňom pôvodnej lineárnej rovnice.

Nebuďte leniví skontrolovať odpovede, ktoré ste našli pomocou suplovania, najmä ak riešite rovnicu na teste alebo skúške.

Otázkou zostáva - ako určiť, čo robiť s rovnicou v ďalšom kroku? Ako to presne previesť? Zdieľať niečo? Alebo odčítať? A čo presne odpočítať? Čo zdieľať?

Odpoveď je jednoduchá:

Vaším cieľom je dostať rovnicu do tvaru \(x=[číslo]\), to znamená vľavo x bez koeficientov a čísel a vpravo iba číslo bez premenných. Pozrite sa teda, čo vám bráni a robiť opak toho, čo robí rušivý komponent.

Aby sme to lepšie pochopili, poďme krok za krokom vyriešiť lineárnu rovnicu \(x+3=13-4x\).

Zamyslime sa: ako sa táto rovnica líši od \(x=[číslo]\)? Čo nám v tom bráni? Čo je zle?

No po prvé, trojka prekáža, keďže naľavo by malo byť len osamelé X bez čísel. A čo robí trojka? Pridané do xx. Takže, aby som to odstránil - odčítať rovnaké trio. Ale ak odpočítame trojku zľava, tak ju musíme odpočítať sprava, aby sa neporušila rovnosť.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Dobre. Čo ti v tom bráni? \(4x\) vpravo, pretože by mal obsahovať iba čísla. \(4x\) odpočítané- odstrániť pridávanie.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Teraz dávame rovnaké výrazy vľavo a vpravo.

Už je to skoro hotové. Zostáva odstrániť päťku vľavo. Čo ona robí"? znásobené na x. Tak to odstránime divízie.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Riešenie je hotové, koreň rovnice je dva. Môžete skontrolovať pomocou náhrady.

Všimni si najčastejšie je v lineárnych rovniciach len jeden koreň. Môžu však nastať dva špeciálne prípady.

Špeciálny prípad 1 - v lineárnej rovnici nie sú žiadne korene.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Riešenie :

Odpoveď : bez koreňov.

V skutočnosti to, že k takémuto výsledku dospejeme, bolo vidieť skôr, aj keď sme dostali \(3x-1=3x+6\). Zamyslite sa nad tým: ako sa môže rovnať \(3x\), od ktorého sa \(1\) odpočítalo a \(3x\), ku ktorému bolo pridané \(6\)? Samozrejme, v žiadnom prípade, pretože s tou istou vecou robili rôzne akcie! Je jasné, že výsledky sa budú líšiť.

Špeciálny prípad 2 - lineárna rovnica má nekonečný počet koreňov.

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Riešenie :

Odpoveď : ľubovoľné číslo.

Mimochodom, bolo to badateľné ešte skôr, v štádiu: \(8x+12=8x+12\). Skutočne, ľavá a pravá strana sú rovnaké výrazy. Akékoľvek x dosadíte, tam aj tam bude rovnaké číslo.

Zložitejšie lineárne rovnice.

Pôvodná rovnica nie vždy okamžite vyzerá ako lineárna, niekedy je „prezlečená“ za inú, viac zložité rovnice. V procese transformácie však maskovanie ustupuje.

Príklad . Nájdite koreň rovnice \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Riešenie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Zdá sa, že tu je x ​​na druhú - toto nie je lineárna rovnica! Ale neponáhľajte sa. Poďme sa prihlásiť
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Prečo je výsledok rozšírenia \((x-4)^(2)\) v zátvorke, ale výsledok \((3+x)^(2)\) nie je? Pretože pred prvým štvorcom je mínus, ktorý zmení všetky znamenia. A aby sme na to nezabudli, výsledok berieme do zátvoriek, ktoré teraz otvárame.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dávame podobné podmienky
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opäť sú tu podobné.
		Páči sa ti to. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je celkom lineárna a x na druhú nie je nič iné ako obrazovka, ktorá nás má zmiasť. :) Riešenie dokončíme vydelením rovnice \(2\), a dostaneme odpoveď.

Odpoveď : \(x=5\)

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6)\)

Riešenie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Rovnica nevyzerá ako lineárna, nejaké zlomky ... Zbavme sa však menovateľov tak, že obe časti rovnice vynásobíme spoločným menovateľom všetkých - šiestimi
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cbodka 6\)		Otvorte držiak vľavo
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Teraz zredukujeme menovateľov
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Teraz to vyzerá ako obyčajný lineárny! Poďme to vyriešiť.
		Prevodom cez rovná sa zbierame x vpravo a čísla vľavo
		Vydelením \ (-4 \) pravej a ľavej časti dostaneme odpoveď

Odpoveď : \(x=-1,25\)