Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles prebehne túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.
Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú dodnes, vedecká obec zatiaľ nedokázala dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.
Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na používanie premenných meracích jednotiek buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.
Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.
Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaň v konštantné jednotky merania času a nechoďte do recipročné. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale nie je úplné riešenie Problémy. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.
Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.
V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov vo vesmíre v jednom časovom bode, ale z nich nemôžete určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria ). Na čo chcem upozorniť Osobitná pozornosť, je, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.
Streda 4. júla 2018
Rozdiely medzi setom a multisetom sú veľmi dobre popísané na Wikipédii. Pozrime sa.
Ako vidíte, „v množine nemôžu byť dva identické prvky“, ale ak sú v množine rovnaké prvky, takáto množina sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto absurdnú logiku. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, ktoré nemajú inteligenciu od slova „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.
Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, v člne pod mostom pri testovaní mosta. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.
Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „nezabudnite, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich neoddeliteľne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.
Matematiku sme sa učili výborne a teraz sedíme pri pokladni a rozdávame výplaty. Matematik si teda k nám príde po svoje peniaze. Odpočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický súbor platov“. Vysvetlime matematikovi, že zvyšné účty dostane až vtedy, keď dokáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.
V prvom rade bude fungovať logika poslancov: "To sa dá použiť na iných, ale nie na mňa!" Potom nás začnú ubezpečovať, že zmenky rovnakej nominálnej hodnoty majú rôzne čísla účtov, čo znamená, že ich nemožno považovať za rovnaké prvky. Dobre, počítajme platy v minciach - na minciach nie sú žiadne čísla. Matematik tu začne horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov je pre každú mincu jedinečné...
A teraz mám najviac záujem Spýtaj sa: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje – o všetkom rozhodujú šamani, veda tu ani zďaleka neklame.
Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plochy polí sú rovnaké – čo znamená, že máme multiset. Ale keď sa pozrieme na názvy tých istých štadiónov, dostaneme ich veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je množina aj multimnožina. Ktoré je správne? A tu matematik-šaman-sharpista vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.
Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.
Nedeľa 18. marca 2018
Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale preto sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.
Potrebujete dôkaz? Otvorte si Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, ktorý by sa dal použiť na nájdenie súčtu číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v jazyku matematiky znie úloha takto: „Nájdite súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém nedokážu vyriešiť, ale šamani to dokážu ľahko.
Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Majme teda číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.
1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na grafický číselný symbol. Toto nie je matematická operácia.
2. Jeden výsledný obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich jednotlivé čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.
3. Preveďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto nie je matematická operácia.
4. Pridajte výsledné čísla. Teraz je to matematika.
Súčet číslic čísla 12345 je 15. Toto sú „kurzy strihania a šitia“, ktoré vyučujú šamani, ktoré používajú matematici. To však nie je všetko.
Z matematického hľadiska je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov V kalkulácii sa súčet číslic toho istého čísla bude líšiť. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. S Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, pozrime sa na číslo 26 z článku o . Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme sa na každý krok pozerať pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.
Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla rôzny. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste určili plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, dostali by ste úplne iné výsledky.
Nula vyzerá rovnako vo všetkých číselných sústavách a nemá žiadny súčet číslic. To je ďalší argument v prospech skutočnosti, že. Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje niečo, čo nie je číslo? Čo, pre matematikov neexistuje nič okrem čísel? Šamanom to môžem dovoliť, ale vedcom nie. Realita nie je len o číslach.
Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.
Čo je skutočná matematika? Tu je výsledok matematická operácia nezávisí od veľkosti čísla, použitej mernej jednotky a toho, kto úkon vykonáva.
Oh! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium nečistej svätosti duší počas ich vzostupu do neba! Halo hore a šípka hore. Aký iný záchod?
Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole sú mužské.
Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,
Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:
Osobne sa snažím vidieť u kakajúceho človeka (jeden obrázok) mínus štyri stupne (kompozícia viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že toto dievča je hlupák, ktorý nepozná fyziku. Má len silný stereotyp vnímania grafických obrázkov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.
1A nie je „mínus štyri stupne“ alebo „jedno a“. Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“. hexadecimálna sústava Zúčtovanie. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.
Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom opakovaného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si to vzorcom: a1 * a2 * … * an = an.
Napríklad a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .
Vo všeobecnosti sa umocňovanie často používa v rôznych vzorcoch v matematike a fyzike. Táto funkcia má vedeckejší účel ako štyri hlavné: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.
Zvýšenie čísla na mocnosť
Zvýšenie čísla na mocninu nie je zložitá operácia. S násobením súvisí podobne ako vzťah medzi násobením a sčítaním. Zápis an je krátky zápis n-tého počtu čísel „a“ vynásobených navzájom.
Zvážte maximálne umocnenie jednoduché príklady, prejdite na zložité.
Napríklad 42, 42 = 4 * 4 = 16. Štyri na druhú (na druhú mocninu) sa rovná šestnástim. Ak nerozumiete násobeniu 4 * 4, prečítajte si náš článok o násobení.
Pozrime sa na ďalší príklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Päť kociek (na tretiu mocninu) sa rovná sto dvadsaťpäťke.
Ďalší príklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Deväť kociek sa rovná sedemstodvadsaťdeväť.
Vzorce umocňovania
Ak chcete správne zvýšiť výkon, musíte si zapamätať a poznať vzorce uvedené nižšie. Nie je v tom nič extra prirodzené, hlavné je pochopiť podstatu a potom si ich nielen zapamätajú, ale budú sa aj zdať ľahké.
Povýšenie monomiálu na moc
Čo je to monomial? Ide o súčin čísel a premenných v akomkoľvek množstve. Napríklad dvojka je jednočlenný. A tento článok je práve o pozdvihnutí takýchto monomálov na mocnosti.
Pomocou vzorcov na umocnenie nebude ťažké vypočítať umocnenie jednočlenu.
Napríklad, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ak zvýšite jednočlen na mocninu, potom sa každá zložka jednočlena zvýši na mocninu.
Zvýšením premennej, ktorá už má mocninu, sa mocniny znásobia. Napríklad (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
Povýšenie na negatívnu silu
Záporná mocnosť je prevrátená hodnota čísla. Aké je recipročné číslo? Prevrátená hodnota ľubovoľného čísla X je 1/X. To znamená, že X-1 = 1/X. Toto je podstata negatívneho stupňa.
Zvážte príklad (3Y)^-3:
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
prečo je to tak? Keďže v stupni je mínus, jednoducho tento výraz prenesieme do menovateľa a potom ho zvýšime na tretiu mocninu. Jednoduché nie?
Zvýšenie na zlomkovú silu
Začnime uvažovať o probléme na konkrétny príklad. 43/2. Čo znamená stupeň 3/2? 3 – čitateľ, znamená zvýšenie čísla (v tomto prípade 4) na kocku. Číslo 2 je menovateľ; je to extrakcia druhej odmocniny čísla (v tomto prípade 4).
Potom dostaneme druhú odmocninu z 43 = 2^3 = 8. odpoveď: 8.
Takže menovateľ zlomkového stupňa môže byť 3 alebo 4 alebo akékoľvek číslo do nekonečna a toto číslo určuje stupeň odmocnina, extrahované z daného čísla. Samozrejme, menovateľ nemôže byť nula.
Pozdvihnutie koreňa k moci
Ak je koreň zvýšený na stupeň rovný stupňu samotného koreňa, potom bude odpoveďou radikálny výraz. Napríklad (√x)2 = x. A tak v každom prípade, stupeň koreňa a stupeň zdvihnutia koreňa sú rovnaké.
Ak (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Pre kontrolu riešenia prevedieme výraz na výraz s desatinnou mocninou. Keďže odmocnina je štvorcová, menovateľ je 2. A ak sa odmocnina zvýši na štvrtú mocninu, potom je čitateľ 4. Dostaneme 4/2=2. Odpoveď: x = 2.
Každopádne najlepšia možnosť jednoducho konvertujte výraz na výraz so zlomkovou mocninou. Ak sa zlomok neruší, potom je to odpoveď za predpokladu, že koreň daného čísla nie je izolovaný.
Zvýšenie komplexného čísla na mocninu
Čo je to komplexné číslo? Komplexné číslo je výraz, ktorý má vzorec a + b * i; a, b sú reálne čísla. i je číslo, ktoré po druhej mocnine dáva číslo -1.
Pozrime sa na príklad. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálnu aritmetiku, NIE mentálnu aritmetiku“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca extrahovať odmocniny. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy.
Umocňovanie online
Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať zvýšenie čísla na mocninu:
Umocňovanie 7. ročník
Školáci sa začínajú zvyšovať až v siedmom ročníku.
Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom opakovaného násobenia čísla samým sebou. Predstavme si to vzorcom: a1 * a2 * … * an=an.
Napríklad, a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
Príklady riešenia:
Prezentácia umocňovania
Prezentácia o zvyšovaní síl, určená pre žiakov siedmeho ročníka. Prezentácia môže objasniť niektoré nejasné body, ale tieto body sa pravdepodobne vďaka nášmu článku nevyjasnia.
Spodná čiara
Pozreli sme sa len na špičku ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlenie mentálnej aritmetiky – NIE mentálnej aritmetiky.
Z kurzu sa naučíte nielen desiatky techník pre zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie, počítanie percent, ale precvičíte si ich aj v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálna aritmetika si tiež vyžaduje veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.
Jednou z hlavných charakteristík algebry a celej matematiky je stupeň. Samozrejme, v 21. storočí sa dajú všetky výpočty robiť na online kalkulačke, no pre rozvoj mozgu je lepšie, keď sa to naučíte sami.
V tomto článku sa pozrieme na najviac dôležité otázky súvisiace s touto definíciou. Konkrétne, poďme pochopiť, čo to je vo všeobecnosti a aké sú jeho hlavné funkcie, aké vlastnosti má matematika.
Pozrime sa na príklady, ako vyzerá výpočet a aké sú základné vzorce. Pozrime sa na hlavné typy veličín a ako sa líšia od iných funkcií.
Poďme pochopiť, ako vyriešiť rôzne problémy pomocou tohto množstva. Na príkladoch si ukážeme, ako zvýšiť na nulovú mocninu, iracionálne, negatívne atď.
Online kalkulačka umocňovania
Čo je to mocnina čísla
Čo znamená výraz „zvýšiť číslo na mocninu“?
Mocnina n čísla je súčinom faktorov veľkosti a n-krát za sebou.
Matematicky to vyzerá takto:
a n = a * a * a * …a n .
Napríklad:
- 2 3 = 2 v treťom stupni. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 do kroku. dva = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 do kroku. štyri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 v 5 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 = 10 v 4 krokoch. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Nižšie je tabuľka štvorcov a kociek od 1 do 10.
Tabuľka stupňov od 1 do 10
Nižšie sú uvedené výsledky výstavby prirodzené čísla na kladné mocniny – „od 1 do 100“.
| Ch-lo | 2. sv. | 3. etapa |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Vlastnosti stupňov
Čo je charakteristické pre takúto matematickú funkciu? Pozrime sa na základné vlastnosti.
Vedci zistili nasledovné znaky charakteristické pre všetky stupne:
- an* am = (a) (n+m);
- an: am = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b*m).
Pozrime sa na príklady:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Na druhej strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Podobne: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inak 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Čo ak je to inak? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Ako vidíte, pravidlá fungujú.
Ale čo už so sčítaním a odčítaním? Je to jednoduché. Najprv sa vykoná umocnenie a potom sčítanie a odčítanie.
Pozrime sa na príklady:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Upozornenie: pravidlo nebude platiť, ak najprv odčítate: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.
V tomto prípade však musíte najskôr vypočítať sčítanie, pretože v zátvorkách sú akcie: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Ako vyrábať výpočty v zložitejších prípadoch? Poradie je rovnaké:
- ak existujú zátvorky, musíte začať s nimi;
- potom umocnenie;
- potom vykonajte operácie násobenia a delenia;
- po sčítaní, odčítaní.
Existujú špecifické vlastnosti, ktoré nie sú charakteristické pre všetky stupne:
- N-tá odmocnina čísla a do stupňa m sa zapíše ako: a m / n.
- Pri umocňovaní zlomku na mocninu: tomuto postupu podlieha čitateľ aj jeho menovateľ.
- Pri konštrukcii diela rôzne čísla k mocnine, výraz bude zodpovedať súčinu týchto čísel k danej mocnine. To znamená: (a * b) n = a n * b n .
- Keď zvyšujete číslo na zápornú mocninu, musíte deliť 1 číslom v tom istom storočí, ale so znamienkom „+“.
- Ak je menovateľ zlomku v zápornej mocnine, potom sa tento výraz rovná súčinu čitateľa a menovateľa v kladnej mocnine.
- Akékoľvek číslo na mocninu 0 = 1 a na mocninu. 1 = pre seba.
Tieto pravidlá sú v niektorých prípadoch dôležité, podrobnejšie sa nimi budeme zaoberať nižšie.
Stupeň so záporným exponentom
Čo robiť, keď mínusový stupeň t.j. keď je ukazovateľ záporný?
Na základe vlastností 4 a 5(pozri bod vyššie), ukázalo sa:
A (- n) = 1/An, 5 (-2) = 1/52 = 1/25.
A naopak:
1/A (- n) = An, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.
Čo ak je to zlomok?
(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Stupeň s prirodzeným indikátorom
Chápe sa ako stupeň s exponentmi rovnými celým číslam.
Dôležité informácie:
Ao = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1... atď.
Ai = A,11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3... atď.
Okrem toho, ak (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...výsledok bude so znamienkom „+“. Ak sa záporné číslo zvýši na nepárnu mocninu, potom je to naopak.
Charakteristické sú pre ne aj všeobecné vlastnosti a všetky vyššie popísané špecifické črty.
Zlomkový stupeň
Tento typ možno napísať ako schému: A m / n. Čítajte ako: n-tá odmocnina čísla A na mocninu m.
Pomocou zlomkového ukazovateľa môžete robiť, čo chcete: zmenšiť ho, rozdeliť na časti, zvýšiť ho na inú silu atď.
Stupeň s iracionálnym exponentom
Nech α je iracionálne číslo a A ˃ 0.
Aby sme pochopili podstatu titulu s takýmto ukazovateľom, Pozrime sa na rôzne možné prípady:
- A = 1. Výsledok sa bude rovnať 1. Keďže existuje axióma - 1 vo všetkých mocninách sa rovná jednej;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 – racionálne čísla;
- 0˂А˂1.
V tomto prípade je to naopak: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 za rovnakých podmienok ako v druhom odseku.
Napríklad exponent je číslo π. Je to racionálne.
r 1 – v tomto prípade sa rovná 3;
r 2 – sa bude rovnať 4.
Potom pre A = 1, 1 π = 1.
A = 2, potom 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, potom (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Takéto stupne sú charakterizované všetkými matematickými operáciami a špecifickými vlastnosťami opísanými vyššie.
Záver
Zhrňme si – na čo sú tieto veličiny potrebné, aké sú výhody takýchto funkcií? Samozrejme, v prvom rade zjednodušujú život matematikom a programátorom pri riešení príkladov, keďže im umožňujú minimalizovať výpočty, skracovať algoritmy, systematizovať dáta a mnoho ďalšieho.
Kde inde môžu byť tieto znalosti užitočné? V akejkoľvek pracovnej špecializácii: medicína, farmakológia, stomatológia, stavebníctvo, technológia, strojárstvo, dizajn atď.
možno nájsť pomocou násobenia. Napríklad: 5+5+5+5+5+5=5x6. Hovorí sa, že takýto výraz je, že súčet rovnakých výrazov sa skladá do súčinu. A naopak, ak túto rovnosť prečítame sprava doľava, zistíme, že sme rozšírili súčet rovnakých pojmov. Podobne môžete zbaliť súčin niekoľkých rovnakých faktorov 5x5x5x5x5x5=5 6.
To znamená, že namiesto vynásobenia šiestich rovnakých faktorov 5x5x5x5x5x5 napíšu 5 6 a povedia „päť na šiestu mocninu“.
Výraz 5 6 je mocninou čísla, kde:
5 - základ stupňa;
6 - exponent.
Akcie, pri ktorých sa súčin rovnakých faktorov redukuje na mocninu, sa nazývajú pozdvihnutie k moci.
IN všeobecný pohľad stupňa so základom "a" a exponentom "n" sa píše takto
Zvýšenie čísla a na mocninu n znamená nájsť súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a
Ak sa základ stupňa „a“ rovná 1, potom sa hodnota stupňa pre ľubovoľné prirodzené číslo n bude rovnať 1. Napríklad 1 5 =1, 1 256 =1
Ak zvýšite číslo „a“ na prvý stupeň, potom dostaneme samotné číslo a: a 1 = a
Ak zvýšite akékoľvek číslo na nultý stupeň, potom ako výsledok výpočtov dostaneme jeden. a 0 = 1
Druhá a tretia mocnina čísla sa považujú za špeciálne. Vymysleli im mená: volá sa druhý stupeň odmocni číslo, tretí - kocka toto číslo.
Akékoľvek číslo môže byť umocnené - kladné, záporné alebo nulové. V tomto prípade neplatia nasledujúce pravidlá:
Pri hľadaní mocniny kladného čísla je výsledkom kladné číslo.
Pri výpočte nuly k prirodzenému výkonu dostaneme nulu.
x m · x n = x m + n
napríklad: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
Komu zdieľať tituly s z rovnakých dôvodov Nezmeníme základ, ale odčítame exponenty:
x m / x n = x m - n , Kde, m > n,
napríklad: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Pri výpočte pozdvihnutie moci na moc Nemeníme základ, ale násobíme exponenty navzájom.
(pri m ) n = y m n
napríklad: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) n = x n · y m ,
napríklad:(2 3) 3 = 2 n 3 m,
Pri vykonávaní výpočtov podľa pozdvihnutie zlomku na moc zvýšime čitateľa a menovateľa zlomku na danú mocninu
(x/y)n = x n / r n
napríklad: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.
Postupnosť výpočtov pri práci s výrazmi obsahujúcimi stupeň.
Pri výpočtoch výrazov bez zátvoriek, ale obsahujúcich mocniny, vykonávajú v prvom rade umocňovanie, potom násobenie a delenie a až potom operácie sčítania a odčítania.
Ak potrebujete vypočítať výraz obsahujúci zátvorky, najprv vykonajte výpočty v zátvorkách v poradí uvedenom vyššie a potom zvyšné akcie v rovnakom poradí zľava doprava.
Veľmi široko v praktických výpočtoch sa na zjednodušenie výpočtov používajú hotové tabuľky výkonov.
Ako viete, v matematike nie sú len kladné čísla, ale aj záporné čísla. Ak sa zoznámenie s pozitívnymi mocnosťami začína určením plochy štvorca, potom s negatívnymi mocnosťami je všetko o niečo komplikovanejšie.
Toto by ste mali vedieť:
- Zvýšením čísla na prirodzený stupeň sa nazýva násobenie čísla (v článku budeme uvažovať o pojmoch číslo a ciferný ekvivalent) samo osebe v takom množstve, ako je exponent (v budúcnosti budeme paralelne používať jednoducho slovo exponent). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 = 216. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: m^n = m*m*m*...*m (n-krát).
- Je potrebné vziať do úvahy, že keď sa záporné číslo zvýši na prirodzenú mocninu, stane sa kladným, ak je exponent párny.
- Zvýšením čísla na exponent 0 dostaneme jednotku za predpokladu, že sa nerovná nule. Mocnina od nuly k nule sa považuje za nedefinovanú. 17^0 = 1.
- Extrahovaním odmocniny určitej mocniny z čísla je nájdenie čísla, ktoré po zvýšení na príslušný exponent poskytne požadovanú hodnotu. Odmocnina čísla 125 je teda 5, pretože 5^3 = 125.
- Ak chcete zvýšiť číslo na kladnú zlomkovú mocninu, musíte číslo zvýšiť na exponent menovateľa a extrahovať z neho koreň exponentu čitateľa. 6^5/7 = siedma odmocnina súčinu 6*6*6*6*6.
- Ak chcete zvýšiť číslo na záporný exponent, musíte nájsť prevrátenú hodnotu daného čísla. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.
Zvýšenie čísla modulo nula na jeden na zápornú mocninu
Najprv by sme si mali pamätať čo je modul. Toto je vzdialenosť na súradnicovej čiare od hodnoty, ktorú sme zvolili, po začiatok (nula súradnicovej čiary). Podľa definície to nikdy nemôže byť negatívne.
Hodnota väčšia ako nula
Keď je hodnota číslice medzi nulou a jednotkou, záporný indikátor znamená zvýšenie samotnej číslice. Stáva sa to preto, že menovateľ klesá, pričom zostáva kladný.
Pozrime sa na príklady:
- 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
- 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.
Navyše, čím väčší je modul ukazovateľa, tým aktívnejšie číslo rastie. Keďže menovateľ má tendenciu k nule, samotný zlomok má tendenciu k plus nekonečnu.
Hodnota menšia ako nula
Teraz sa pozrime na to, ako ho zvýšiť na zápornú mocninu čísla menej ako nula. Princíp je rovnaký ako v predchádzajúcej časti, tu však záleží na znamienku ukazovateľa.
Pozrime sa ešte raz na príklady:
- -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
- -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.
V tomto prípade to vidíme modul stále rastie, ale znamienko závisí od toho, či je ukazovateľ párny alebo nepárny.
Treba si uvedomiť, že ak postavíme jednotku, vždy zostane sama sebou. Ak potrebujete zvýšiť číslo mínus jedna, potom sa pri párnom exponente zmení na jednotku a pri nepárnom exponente zostane mínus jedna.
Zvýšenie na zápornú mocninu celého čísla, ak je modul väčší ako jedna
Pre čísla, ktorých modul je väčší ako jedna, má svoje vlastné charakteristiky akcií. Najprv musíte previesť celú časť zlomku na čitateľa, to znamená previesť ho na nesprávny zlomok. Ak máme desiatkový, potom sa musí previesť na normálne. Toto sa robí nasledovne:
- 6 celých čísel 7/17 = 109/17;
- 2,54 = 254/100.
Teraz sa pozrime na to, ako za týchto podmienok zvýšiť číslo na zápornú mocninu. Už z vyššie uvedeného môžeme predpokladať, čo môžeme očakávať od výsledku výpočtov. Keďže pri zjednodušení sa dvojitý zlomok prevracia, modul obrázku sa bude zmenšovať tým rýchlejšie, čím väčší je modul exponentu.
Najprv zvážme situáciu, kedy číslo uvedené v úlohe je kladné.
V prvom rade je jasné, že konečný výsledok bude väčší ako nula, pretože delenie dvoch kladných vždy dáva kladné. Pozrime sa znova na príklady, ako sa to robí:
- 6 celých čísel 1/20 až mínus piata mocnina = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
- 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.
Ako vidíte, akcie nepredstavujú žiadne zvláštne ťažkosti a všetky naše počiatočné predpoklady sa ukázali ako pravdivé.
Teraz prejdime k prípadu zápornej číslice.
Na začiatok môžeme predpokladať, že ak je indikátor párny, potom bude výsledok pozitívny, ak je indikátor nepárny, potom bude výsledok negatívny. Všetky naše predchádzajúce výpočty v tejto časti budú teraz považované za platné. Pozrime sa znova na príklady:
- -3 celá 1/2 na mínus šiesta mocnina = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
- -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.
Všetky naše úvahy sa teda ukázali ako správne.
Konštrukcia v prípade záporného zlomkového exponentu
Tu si treba uvedomiť, že takáto konštrukcia existuje extrahovanie odmocniny menovateľa z čísla na mocninu čitateľa. Všetky naše predchádzajúce úvahy zostávajú tentoraz pravdivé. Vysvetlime naše konanie na príklade:
- 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.
V tomto prípade musíte mať na pamäti, že extrakcia koreňov vysoký stupeň je možné len v špeciálne vybranej forme a s najväčšou pravdepodobnosťou sa nebudete môcť zbaviť znamienka radikálu (druhá odmocnina, kubická odmocnina atď.) s presnými výpočtami.
Po podrobnom preštudovaní predchádzajúcich kapitol by ste však nemali očakávať ťažkosti so školskými výpočtami.
Je potrebné poznamenať, že popis tejto kapitoly zahŕňa aj konštrukcia so zámerne iracionálnym ukazovateľom, napríklad ak sa indikátor rovná mínus PI. Musíte konať podľa vyššie opísaných zásad. Výpočty sa však v takýchto prípadoch stávajú natoľko zložitými, že to dokážu len výkonné elektronické počítače.
Záver
Akcia, ktorú sme študovali je jedným z najťažších problémov v matematike(najmä v prípade zlomkovo-racionálneho alebo iracionálneho významu). Po podrobnom štúdiu a krok za krokom tieto pokyny, môžete sa to naučiť robiť úplne automaticky bez problémov.
