2.3. Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
2.3.1. Prevod celých čísel z jednej číselnej sústavy do druhej
Je možné sformulovať algoritmus na prevod celých čísel z radixového systému p do systému so základňou q :
1. Základňa nový systém vyjadrite čísla pomocou čísel z pôvodnej číselnej sústavy a všetky následné činnosti vykonajte v pôvodnej číselnej sústave.
2. Dané číslo a výsledné celočíselné podiely dôsledne delíme základom novej číselnej sústavy, kým nezískame podiel, ktorý je menší ako deliteľ.
3. Výsledné zvyšky, ktorými sú číslice čísla v novej číselnej sústave, sa upravia do súladu s abecedou novej číselnej sústavy.
4. Vytvorte číslo v novej číselnej sústave a zapíšte ho od posledného zvyšku.
Príklad 2.12. Preveďte desiatkové číslo 173 10 na osmičkovú číselnú sústavu:
Dostaneme: 173 10 = 255 8
Príklad 2.13. Preveďte desiatkové číslo 173 10 na hexadecimálnu číselnú sústavu:
Dostaneme: 173 10 = AD 16.
Príklad 2.14. Preveďte desiatkové číslo 11 10 do dvojkovej číselnej sústavy. Je vhodnejšie znázorniť postupnosť akcií diskutovaných vyššie (algoritmus prekladu) takto:
Dostaneme: 11 10 = 1011 2.
Príklad 2.15. Niekedy je vhodnejšie zapísať si prekladový algoritmus vo forme tabuľky. Premeňme desiatkové číslo 363 10 na binárne číslo.
|
Rozdeľovač |
|||||||||
Dostaneme: 363 10 = 101101011 2
2.3.2. Prevod zlomkových čísel z jedného číselného systému do druhého
Je možné sformulovať algoritmus na prevod vlastného zlomku so základom p na zlomok so základom q:
1. Vyjadrite základ novej číselnej sústavy číslami z pôvodnej číselnej sústavy a všetky následné úkony vykonajte v pôvodnej číselnej sústave.
2. Dôsledne násobte dané čísla a výsledné zlomkové časti súčinov základom nového systému, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť reprezentácie čísel.
3. Výsledné celočíselné časti súčinov, ktorými sú číslice čísla v novom číselnom systéme, by sa mali uviesť do súladu s abecedou nového číselného systému.
4. Zostavte zlomkovú časť čísla v novej číselnej sústave, počnúc od celočíselnej časti prvého súčinu.
Príklad 2.17. Preveďte číslo 0,65625 10 na osmičkovú číselnú sústavu.
Získame: 0,65625 10 = 0,52 8
Príklad 2.17. Preveďte číslo 0,65625 10 na hexadecimálnu číselnú sústavu.
|
X 16 |
|
Dostaneme: 0,65625 10 = 0,A8 1
Príklad 2.18. Preveďte desatinný zlomok 0,5625 10 na binárnu číselnú sústavu.
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
Získame: 0,5625 10 = 0,1001 2
Príklad 2.19. Preveďte desatinný zlomok 0,7 10 do dvojkovej číselnej sústavy.
Je zrejmé, že tento proces môže pokračovať donekonečna a dáva čoraz viac nových znakov v obraze binárneho ekvivalentu čísla 0,7 10. Takže v štyroch krokoch dostaneme číslo 0,1011 2 a v siedmich krokoch číslo 0,1011001 2, čo je presnejšia reprezentácia čísla 0,7 10 v binárnom číselný systém a atď. Takýto nekonečný proces je ukončený v určitom kroku, keď sa usúdi, že bola dosiahnutá požadovaná presnosť reprezentácie čísel.
2.3.3. Preklad ľubovoľných čísel
Preklad ľubovoľných čísel, t.j. čísla obsahujúce celé číslo a zlomkovú časť sa uskutočňujú v dvoch fázach. Celočíselná časť sa prekladá oddelene a zlomková časť oddelene. Pri konečnom zápise výsledného čísla je celočíselná časť oddelená od zlomkovej časti čiarkou (bodkou).
Príklad 2.20. Preveďte číslo 17,25 10 do dvojkovej číselnej sústavy.
Získame: 17,25 10 = 1001,01 2
Príklad 2.21. Preveďte číslo 124,25 10 na osmičkovú sústavu.
Dostaneme: 124,25 10 = 174,2 8
2.3.4. Prevod čísel zo základu 2 na základ 2 n a naopak
Preklad celých čísel. Ak je základom q-árnej číselnej sústavy mocnina 2, potom prevod čísel z q-árnej číselnej sústavy do 2-árnej číselnej sústavy a späť možno vykonať pomocou viacerých jednoduché pravidlá. Aby ste mohli zapísať celé binárne číslo v číselnej sústave so základom q=2 n, potrebujete:
1. Rozdeľte binárne číslo sprava doľava do skupín po n číslic.
2. Ak má posledná ľavá skupina menej ako n číslic, tak ju treba vľavo doplniť nulami na požadovaný počet číslic.
Príklad 2.22.Číslo 101100001000110010 2 sa prevedie do osmičkovej číselnej sústavy.
Číslo rozdelíme sprava doľava na triády a pod každú z nich napíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:
Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 541062 8.
Príklad 2.23.Číslo 1000000000111110000111 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy.
Číslo rozdelíme sprava doľava na tetrády a pod každú napíšeme príslušnú hexadecimálnu číslicu:
Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 200F87 16.
Preklad zlomkové čísla. Aby ste mohli zapísať zlomkové binárne číslo v číselnej sústave so základom q=2 n, potrebujete:
1. Rozdeľte binárne číslo zľava doprava do skupín po n číslic.
2. Ak má posledná pravá skupina menej ako n číslic, tak ju treba vpravo doplniť nulami na požadovaný počet číslic.
3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho so zodpovedajúcou číslicou v číselnej sústave so základom q=2 n.
Príklad 2.24.Číslo 0,10110001 2 sa prevedie do osmičkového číselného systému.
Číslo rozdelíme zľava doprava na triády a pod každú z nich napíšeme príslušnú osmičkovú číslicu:
Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 0,542 8 .
Príklad 2.25.Číslo 0,100000000011 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy. Číslo rozdelíme zľava doprava na tetrády a pod každú napíšeme príslušnú hexadecimálnu číslicu:
Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 0,803 16
Preklad ľubovoľných čísel. Aby ste mohli zapísať ľubovoľné binárne číslo v číselnej sústave so základom q=2 n, potrebujete:
1. Rozdeľte celú časť daného binárneho čísla sprava doľava a zlomkovú časť zľava doprava na skupiny po n číslic.
2. Ak má posledná ľavá a/alebo pravá skupina menej ako n číslic, musia byť doplnené vľavo a/alebo vpravo nulami na požadovaný počet číslic;
3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho príslušnou číslicou v číselnej sústave so základom q = 2 n
Príklad 2.26. Preveďme číslo 111100101.0111 2 do osmičkovej číselnej sústavy.
Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme na triády a pod každú z nich napíšeme zodpovedajúcu osmičkovú číslicu:
Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 745,34 8 .
Príklad 2.27.Číslo 11101001000,11010010 2 sa prevedie do hexadecimálnej číselnej sústavy.
Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme do zošitov a pod každý z nich napíšeme príslušnú šestnástkovú číslicu:
Dostaneme hexadecimálnu reprezentáciu pôvodného čísla: 748,D2 16.
Prevod čísel z číselných sústav so základom q=2n na binárne. Aby ste mohli ľubovoľné číslo zapísané v číselnej sústave so základom q=2 n previesť do dvojkovej číselnej sústavy, musíte každú číslicu tohto čísla nahradiť jej n-ciferným ekvivalentom v dvojkovej číselnej sústave.
Príklad 2.28.Preveďme hexadecimálne číslo 4AC35 16 do dvojkovej číselnej sústavy.
Podľa algoritmu:
Získame: 1001010110000110101 2 .
Úlohy na samostatné dokončenie (odpovede)
2.38. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké celé číslo v rôznych číselných sústavách.
|
Binárne |
Octal |
Desatinné |
Hexadecimálne |
2.39. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké zlomkové číslo v rôznych číselných sústavách.
|
Binárne |
Octal |
Desatinné |
Hexadecimálne |
2.40. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké ľubovoľné číslo (číslo môže obsahovať celé číslo aj zlomkovú časť) v rôznych číselných sústavách.
|
Binárne |
Octal |
Desatinné |
Hexadecimálne |
|
59.B |
1. Radové počítanie v rôznych číselných sústavách.
IN moderný život používame pozičné číselné sústavy, teda sústavy, v ktorých číslo označené číslicou závisí od polohy číslice v zápise čísla. Preto v budúcnosti budeme hovoriť iba o nich, pričom vynecháme pojem „pozičný“.
Aby sme sa naučili, ako previesť čísla z jedného systému do druhého, pochopíme, ako dochádza k sekvenčnému zaznamenávaniu čísel na príklade desiatkovej sústavy.
Keďže máme desiatkovú číselnú sústavu, na zostavenie čísel máme 10 symbolov (číslic). Začneme počítať: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Čísla skončili. Zväčšíme bitovú hĺbku čísla a vynulujeme číslicu nízkeho rádu: 10. Potom opäť zvýšime číslicu nižšieho rádu, kým nezmiznú všetky číslice: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Zväčšíme číslicu vyššieho rádu o 1 a vynulujeme číslicu nižšieho rádu: 20. Keď použijeme všetky číslice pre obe číslice (dostaneme číslo 99), opäť zvýšime kapacitu číslic čísla a vynulujeme. existujúce číslice: 100. A tak ďalej.
Skúsme urobiť to isté v 2., 3. a 5. systéme (zavádzame zápis pre 2. systém, pre 3. atď.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ak má číselný systém základ väčší ako 10, potom budeme musieť zadať ďalšie znaky; je obvyklé zadávať písmená latinská abeceda. Napríklad pre 12-miestny systém potrebujeme okrem desiatich číslic dve písmená ( a ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na akúkoľvek inú.
Ak chcete previesť kladné celé desiatkové číslo na číselnú sústavu s iným základom, musíte toto číslo vydeliť základom. Výsledný kvocient opäť vydeľte základom a ďalej, kým podiel nebude menší ako základ. V dôsledku toho zapíšte do jedného riadku posledný kvocient a všetky zvyšky, začínajúc od posledného.
Príklad 1 Preveďme desiatkové číslo 46 do dvojkovej číselnej sústavy.
Príklad 2 Preveďme desiatkové číslo 672 do osmičkovej číselnej sústavy.
Príklad 3 Skonvertujme desiatkové číslo 934 na šestnástkovú číselnú sústavu.
3. Konverzia z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú.
Aby sme sa naučili, ako previesť čísla z akéhokoľvek iného systému na desiatkové, analyzujme zvyčajný zápis desiatkového čísla.
Napríklad desatinné číslo 325 je 5 jednotiek, 2 desiatky a 3 stovky, t.j.
Úplne rovnaká situácia je aj v iných číselných sústavách, len budeme násobiť nie 10, 100 atď., ale mocninami základu číselnej sústavy. Zoberme si napríklad číslo 1201 v ternárnej číselnej sústave. Očíslujme číslice sprava doľava od nuly a predstavme si naše číslo ako súčet súčinov číslice a trojky k mocnine číslice čísla:
Tak to je desiatkový zápis naše číslo, t.j.
Príklad 4. Preveďme osmičkové číslo 511 do desiatkovej číselnej sústavy.
Príklad 5. Preveďme šestnástkové číslo 1151 do desiatkovej číselnej sústavy.
4. Prestup z binárny systém do systému so základnou „mocninou dvoch“ (4, 8, 16 atď.).
Ak chcete previesť binárne číslo na číslo s mocninou dvoch základov, je potrebné rozdeliť binárnu postupnosť do skupín podľa počtu číslic rovných mocnine sprava doľava a nahradiť každú skupinu zodpovedajúcou číslicou nového čísla. číselný systém.
Napríklad skonvertujme binárne číslo 1100001111010110 na osmičkovú sústavu. Za týmto účelom ju rozdelíme do skupín po 3 znakoch počnúc sprava (od ), a potom použijeme tabuľku zhody a každú skupinu nahradíme novým číslom:
Naučili sme sa, ako vytvoriť korešpondenčnú tabuľku v kroku 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Tie.
Príklad 6. Preveďme binárne číslo 1100001111010110 na hexadecimálne.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Konverzia zo systému so základnou „mocninou dvoch“ (4, 8, 16 atď.) na binárnu.
Tento preklad je podobný predchádzajúcemu, vyhotovený v r opačná strana: Každú číslicu nahradíme skupinou binárnych číslic z vyhľadávacej tabuľky.
Príklad 7. Preveďme hexadecimálne číslo C3A6 do dvojkovej číselnej sústavy.
Ak to chcete urobiť, nahraďte každú číslicu čísla skupinou 4 číslic (od ) z tabuľky korešpondencie a v prípade potreby doplňte skupinu nulami na začiatku:
Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého je dôležitou súčasťou strojovej aritmetiky. Pozrime sa na základné pravidlá prekladu.
1. Na prevod dvojkového čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu, pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny 2 a vypočítať podľa pravidiel zn. desiatková aritmetika:
Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocniny dvoch:
Tabuľka 4. Mocniny čísla 2
|
n (stupeň) |
|||||||||||
Príklad.
2. Na prevod osmičkového čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho ako polynóm pozostávajúci zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 8 a vypočítať ho podľa pravidiel desiatkovej sústavy. aritmetika:
Pri preklade je vhodné použiť tabuľku mocnin ôsmich:
Tabuľka 5. Mocniny čísla 8
|
n (stupeň) |
|||||||
Príklad. Preveďte číslo do desiatkovej číselnej sústavy.
3. Na prevod hexadecimálneho čísla na desiatkové je potrebné zapísať ho v tvare polynómu, pozostávajúceho zo súčinu číslic čísla a zodpovedajúcej mocniny čísla 16, a vypočítať podľa pravidlá desiatkovej aritmetiky:
Pri preklade je vhodné ho použiť blesk síl čísla 16:
Tabuľka 6. Mocniny čísla 16
|
n (stupeň) |
|||||||
Príklad. Preveďte číslo do desiatkovej číselnej sústavy.
4. Na prevod desiatkového čísla do dvojkovej sústavy je potrebné ho postupne deliť 2, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 1. Číslo v dvojkovej sústave sa zapíše ako postupnosť posledného výsledku delenia a zvyšky z rozdelenie v opačnom poradí.
Príklad. Preveďte číslo do binárnej číselnej sústavy.
5. Ak chcete previesť desatinné číslo do osmičkovej sústavy, treba ho postupne deliť 8, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 7. Číslo v osmičkovej sústave sa zapíše ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšok divízie v opačnom poradí.
Príklad. Preveďte číslo do osmičkovej číselnej sústavy.
6. Ak chcete previesť desiatkové číslo na šestnástkovú sústavu, treba ho postupne deliť 16, kým nezostane zvyšok menší alebo rovný 15. Číslo v šestnástkovej sústave sa zapíše ako postupnosť číslic posledného výsledku delenia a zvyšky z delenia v opačnom poradí.
Príklad. Preveďte číslo na hexadecimálnu číselnú sústavu.
Výsledok sa už dostavil!
Číselné sústavy
Existujú pozičné a nepozičné číselné sústavy. Arabský číselný systém, ktorý používame Každodenný život, je pozičný, ale Roman nie. V pozičných číselných systémoch pozícia čísla jednoznačne určuje veľkosť čísla. Zoberme si to na príklade čísla 6372 v desiatkovej číselnej sústave. Očíslujme toto číslo sprava doľava od nuly:
Potom môže byť číslo 6372 reprezentované takto:
6372=6000+300+70+2 =6·103 +3·102 +7·101 +2·100.
Číslo 10 určuje číselnú sústavu (v tomto prípade je to 10). Hodnoty pozície daného čísla sa berú ako mocniny.
Zoberme si skutočné desatinné číslo 1287,923. Očíslujme to od nulovej pozície čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:
Potom môže byť číslo 1287.923 reprezentované ako:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
Vo všeobecnosti môže byť vzorec reprezentovaný takto:
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
kde C n je celé číslo na pozícii n, D -k - zlomkové číslo na pozícii (-k), s- číselná sústava.
Niekoľko slov o číselných sústavách Číslo v desiatkovej číselnej sústave pozostáva z mnohých číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkovej sústave pozostáva z mnohých číslic (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binárnej číselnej sústave - z množiny číslic (0,1), v hexadecimálnej číselnej sústave - z množiny číslic (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kde A,B,C,D,E,F zodpovedajú číslam 10,11, 12,13,14,15.V tabuľke Tab.1 sú uvedené čísla v rôznych systémov Zúčtovanie.
| stôl 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notový zápis | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
Ak chcete previesť čísla z jednej číselnej sústavy do druhej, najjednoduchším spôsobom je najprv previesť číslo do desiatkovej číselnej sústavy a potom previesť z desiatkovej číselnej sústavy na požadovanú číselnú sústavu.
Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej číselnej sústavy
Pomocou vzorca (1) môžete previesť čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy na desiatkovú číselnú sústavu.
Príklad 1. Preveďte číslo 1011101.001 z binárnej číselnej sústavy (SS) na desiatkovú SS. Riešenie:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2-3 = 64+16+8+4+1+1/8=93,125
Príklad2. Preveďte číslo 1011101.001 z osmičkovej číselnej sústavy (SS) na desiatkovú SS. Riešenie:
Príklad 3 . Preveďte číslo AB572.CDF z hexadecimálnej číselnej sústavy na desiatkovú SS. Riešenie:
Tu A-nahradené 10, B- o 11, C- o 12, F- do 15.
Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, musíte previesť oddelene celočíselné časti čísla a zlomkové časti čísla.
Celá časť čísla sa prevedie z desiatkovej SS do inej číselnej sústavy postupným delením celej časti čísla základom číselnej sústavy (pre binárne SS - 2, pre 8-árne SS - 8, pre 16 -ary SS - o 16, atď.), kým sa nezíska celý zvyšok, menší ako základ CC.
Príklad 4 . Preveďme číslo 159 z desiatkovej SS na binárne SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Ako je možné vidieť z obr. 1, číslo 159 pri delení 2 dáva podiel 79 a zvyšok 1. Ďalej číslo 79 pri delení 2 dáva podiel 39 a zvyšok 1, atď. Výsledkom je, že zostavením čísla zo zvyškov delenia (sprava doľava) získame číslo v binárnom SS: 10011111 . Preto môžeme napísať:
159 10 =10011111 2 .
Príklad 5 . Preveďme číslo 615 z desiatkovej SS na osmičkovú SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Pri prevode čísla z desiatkovej SS na osmičkovú SS musíte číslo postupne deliť 8, kým nedostanete zvyšok celého čísla menší ako 8. Výsledkom je, že zostavením čísla zo zvyškov delenia (sprava doľava) dostaneme číslo v osmičkovej SS: 1147 (Pozri obr. 2). Preto môžeme napísať:
615 10 =1147 8 .
Príklad 6 . Preveďme číslo 19673 z desiatkovej číselnej sústavy na hexadecimálnu SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Ako vidno z obrázku 3, postupným delením čísla 19673 číslom 16 sú zvyšky 4, 12, 13, 9. V šestnástkovej sústave čísel zodpovedá číslu 12 C, číslu 13 D. Preto naše hexadecimálne číslo je 4CD9.
Na prevod pravidelných desatinných zlomkov (reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou) na číselnú sústavu so základom s je potrebné toto číslo postupne násobiť s, až kým zlomková časť nebude obsahovať čistú nulu, alebo nezískame požadovaný počet číslic. . Ak sa pri násobení získa číslo s inou celočíselnou časťou ako nula, potom sa táto celočíselná časť neberie do úvahy (sú postupne zahrnuté do výsledku).
Pozrime sa na vyššie uvedené s príkladmi.
Príklad 7 . Preveďme číslo 0,214 z desiatkovej číselnej sústavy na binárne SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Ako je zrejmé z obr.4, číslo 0,214 sa postupne násobí 2. Ak je výsledkom násobenia číslo s inou celočíselnou časťou ako nula, potom sa celá časť zapíše samostatne (naľavo od čísla), a číslo je zapísané s nulovou celočíselnou časťou. Ak výsledkom násobenia je číslo s nulovou celočíselnou časťou, potom sa naľavo od neho zapíše nula. Proces násobenia pokračuje, kým zlomková časť nedosiahne čistú nulu alebo kým nezískame požadovaný počet číslic. Zápisom tučných čísel (obr. 4) zhora nadol dostaneme požadované číslo v dvojkovej číselnej sústave: 0. 0011011 .
Preto môžeme napísať:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Príklad 8 . Preveďme číslo 0,125 z desiatkovej číselnej sústavy na binárne SS.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Ak chcete previesť číslo 0,125 z desiatkovej SS na binárne, toto číslo sa postupne vynásobí 2. V tretej fáze je výsledok 0. Následne sa získa nasledujúci výsledok:
0.125 10 =0.001 2 .
Príklad 9 . Preveďme číslo 0,214 z desiatkovej číselnej sústavy na hexadecimálnu SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Podľa príkladov 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v hexadecimálnej SS čísla 12 a 11 zodpovedajú číslam C a B. Preto máme:
0,21410 = 0,36C8B416.
Príklad 10 . Preveďme číslo 0,512 z desiatkovej číselnej sústavy na osmičkovú SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Mám:
0.512 10 =0.406111 8 .
Príklad 11 . Preveďme číslo 159,125 z desiatkovej číselnej sústavy na binárne SS. Aby sme to dosiahli, preložíme oddelene celočíselné časti čísla (príklad 4) a zlomkovú časť čísla (príklad 8). Ďalším spojením týchto výsledkov dostaneme:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Príklad 12 . Preveďme číslo 19673.214 z desiatkovej číselnej sústavy na hexadecimálnu SS. Aby sme to dosiahli, preložíme oddelene celú časť čísla (príklad 6) a zlomkovú časť čísla (príklad 9). Ďalej, spojením týchto výsledkov získame.
Kalkulačka vám umožňuje previesť celé a zlomkové čísla z jednej číselnej sústavy do druhej. Základ číselnej sústavy nemôže byť menší ako 2 a väčší ako 36 (10 číslic a 26 latinské písmená po všetkom). Dĺžka čísel nesmie presiahnuť 30 znakov. Ak chcete zadať zlomkové čísla, použite symbol . alebo, . Ak chcete previesť číslo z jednej sústavy do druhej, zadajte do prvého poľa pôvodné číslo, do druhého základ pôvodnej číselnej sústavy a do tretieho poľa základ číselnej sústavy, do ktorej chcete číslo previesť, potom kliknite na tlačidlo „Získať záznam“.
Pôvodné číslo napísané v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 35 -tá číselná sústava.
Chcem si dať zapísať číslo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -tá číselná sústava.
Získajte vstup
Dokončené preklady: 1237200
Číselné sústavy
Číselné sústavy sú rozdelené do dvoch typov: pozičné A nie pozičné. Používame arabský systém, je pozičný, ale existuje aj rímsky systém – nie je pozičný. V pozičných systémoch poloha číslice v čísle jednoznačne určuje hodnotu tohto čísla. To je ľahké pochopiť, keď sa pozriete na nejaké číslo ako príklad.
Príklad 1. Zoberme si číslo 5921 v desiatkovej číselnej sústave. Očíslujme číslo sprava doľava od nuly:
Číslo 5921 môžeme zapísať v nasledujúcom tvare: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Číslo 10 je charakteristika, ktorá definuje číselný systém. Hodnoty pozície daného čísla sa berú ako mocniny.
Príklad 2. Zoberme si skutočné desatinné číslo 1234,567. Očíslujme to od nulovej pozície čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:
Číslo 1234,567 je možné zapísať v nasledujúcom tvare: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10-2 +7·10-3.
Prevod čísel z jedného číselného systému do druhého
Väčšina jednoduchým spôsobom prevod čísla z jednej číselnej sústavy do druhej znamená najprv previesť číslo do desiatkovej číselnej sústavy a potom výsledný výsledok do požadovanej číselnej sústavy.
Prevod čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej číselnej sústavy
Na prevod čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy do desiatkovej stačí očíslovať jeho číslice, začínajúc nulou (číslica naľavo od desatinnej čiarky) podobne ako v príkladoch 1 alebo 2. Nájdite súčet súčinov číslic čísla podľa základu číselnej sústavy na mocninu pozície tejto číslice:
1.
Preveďte číslo 1001101.1101 2 do desiatkovej číselnej sústavy.
Riešenie: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
odpoveď: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Preveďte číslo E8F.2D 16 do desiatkovej číselnej sústavy.
Riešenie: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odpoveď: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10
Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Ak chcete previesť čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy, celé číslo a zlomkové časti čísla sa musia previesť oddelene.
Prevod celej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Časť celého čísla sa prevedie z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy postupným delením celej časti čísla základom číselnej sústavy, až kým sa nezíska celý zvyšok, ktorý je menší ako základ číselnej sústavy. Výsledkom prekladu bude záznam zvyšku, počnúc posledným.
3.
Preveďte číslo 273 10 do osmičkovej číselnej sústavy.
Riešenie: 273 / 8 = 34 a zvyšok 1. 34 / 8 = 4 a zvyšok 2. 4 je menší ako 8, takže výpočet je dokončený. Záznam zo zostatkov bude vyzerať takto: 421
Vyšetrenie: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, výsledok je rovnaký. To znamená, že preklad bol vykonaný správne.
odpoveď: 273 10 = 421 8
Zvážte preklad správnych desatinných zlomkov do rôzne systémy Zúčtovanie.
Prevod zlomkovej časti čísla z desiatkovej číselnej sústavy do inej číselnej sústavy
Pripomeňme, že správne desiatkový volal reálne číslo s nulovou celočíselnou časťou. Ak chcete previesť takéto číslo na číselný systém so základom N, musíte číslo postupne vynásobiť N, kým zlomková časť neklesne na nulu alebo kým sa nezíska požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s inou celočíselnou časťou ako nula, potom sa celá časť ďalej neberie do úvahy, pretože sa postupne zadáva do výsledku.
4.
Preveďte číslo 0,125 10 do binárnej číselnej sústavy.
Riešenie: 0,125·2 = 0,25 (0 je celá časť, ktorá sa stane prvou číslicou výsledku), 0,25·2 = 0,5 (0 je druhá číslica výsledku), 0,5·2 = 1,0 (1 je tretia číslica výsledku a keďže zlomková časť je nula, preklad je dokončený).
odpoveď: 0.125 10 = 0.001 2
