Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde ich budete potrebovať? Prečo by ste si mali nájsť čas na ich štúdium?

Naučiť sa všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje vedomosti Každodenný život prečítajte si tento článok.

A samozrejme znalosť titulov vás priblíži úspešné ukončenie OGE alebo Unified State Exam a prijatie na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak sa vám namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je matematická operácia rovnako ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím v ľudskom jazyku jednoduché príklady. Buď opatrný. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Tu nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko je tam koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký príklad s kolou môže byť napísaný inak: . Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlejšie „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet kolových fliaš a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku. Samozrejme, všetko sa dá robiť pomalšie, náročnejšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jeden, krajší:

Aké ďalšie šikovné počítacie triky vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dve až piata mocnina je... A takéto problémy riešia v hlave – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

Všetko, čo musíte urobiť, je zapamätajte si, čo je farebne zvýraznené v tabuľke mocnin čísel. Verte mi, toto vám výrazne uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa tomu hovorí druhý stupeň? námestiečísla a tretie - kocka? Čo to znamená? Veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Príklad z reálneho života číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si štvorcový bazén s rozmermi jeden meter krát jeden meter. Bazén je na vašej chate. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale... bazén nemá dno! Dno bazéna musíte obložiť dlaždicami. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať spodnú časť bazéna.

Ukázaním prsta si jednoducho vypočítate, že dno bazéna pozostáva z kociek meter po meter. Ak máte dlaždice meter krát meter, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste už také obklady videli? Dlaždica bude s najväčšou pravdepodobnosťou cm krát cm. A potom vás bude mučiť „počítanie prstom“. Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobte a dostanete dlaždice ().

Všimli ste si, že na určenie plochy dna bazéna sme rovnaké číslo vynásobili sami? Čo to znamená? Keďže násobíme rovnaké číslo, môžeme použiť techniku ​​„umocňovania“. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, musíte ich ešte vynásobiť alebo umocniť na mocninu. Ak ich však máte veľa, potom je umocnenie oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb Pre jednotnú štátnu skúšku je to veľmi dôležité).
Takže tridsať na druhú mocninu bude (). Alebo môžeme povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. A naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina nejakého čísla. Štvorec je obrazom druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás: spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej a druhej strane buniek. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi alebo... ak si to všimnete Šachovnica- toto je štvorec so stranou, potom môžete štvorec osem. Získate bunky. () Takže?

Príklad zo života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v Metre kubické. Nečakané, však?) Nakreslite bazén: dno s rozmermi meter a hĺbkou meter a skúste spočítať, koľko kociek s rozmermi meter krát meter sa zmestí do vášho bazéna.

Stačí ukázať prstom a počítať! Jeden, dva, tri, štyri...dvadsaťdva, dvadsaťtri...Koľko ste dostali? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak zjednodušia aj toto. Všetko sme zredukovali na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že rovnaké číslo sa samo násobí... Čo to znamená? To znamená, že môžete využiť titul. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia pri jednej akcii: tri kocky sa rovnajú. Píše sa takto: .

Zostáva len pamätajte na tabuľku stupňov. Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby som vás konečne presvedčil, že tituly vymysleli tí, čo sa vzdávajú, a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo skutočného života #4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka za každý zarobený milión zarobíte ďalší milión. To znamená, že každý milión, ktorý máte, sa na začiatku každého roka zdvojnásobuje. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a... hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva vynásobené dvoma... v druhom roku - čo sa stalo, o dva viac, v treťom roku... Stop! Všimli ste si, že číslo sa násobí krát. Takže dve ku piatej mocnine je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a ten, kto vie počítať najrýchlejšie, získa tieto milióny... Stojí za to pripomenúť si silu čísel, nemyslíte?

Príklad zo skutočného života číslo 5

Máte milión. Na začiatku každého roka za každý zarobený milión zarobíte dva ďalšie. Skvelé nie? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za rok? Poďme počítať. Prvý rok - vynásobte, potom výsledok ďalším... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: tri sa násobí krát. Takže na štvrtú mocninu sa to rovná miliónu. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa ďalej pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy... aby ste sa neplietli

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – je to číslo, ktoré je „na vrchole“ mocniny čísla. Nie vedecké, ale jasné a ľahko zapamätateľné...

No zároveň čo takýto diplomový základ? Ešte jednoduchšie - toto je číslo, ktoré sa nachádza nižšie, na základni.

Tu je nákres pre dobrú mieru.

No v všeobecný pohľad, aby sme zovšeobecnili a lepšie si zapamätali... Titul so základom „ “ a exponentom „ “ sa číta ako „do stupňa“ a píše sa takto:

Mocnina čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo to je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie čísla, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní predmetov: jeden, dva, tri... Keď počítame predmety, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Tiež nehovoríme: „jedna tretina“ alebo „nula päť“. Nie je celé čísla. Čo myslíte, aké čísla sú to?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nula je ľahko pochopiteľná - je to vtedy, keď nič nie je. Čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte na telefóne zostatok v rubľoch, znamená to, že dlhujete operátorovi v rubľoch.

Všetky zlomky sú racionálne čísla. Ako vznikli, čo myslíte? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že im chýbajú prirodzené čísla na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, nie?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečné desiatkový. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme pojem stupňa, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

1. Akékoľvek číslo s prvou mocninou sa rovná samému sebe:
2. Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
3. Kockovať číslo znamená vynásobiť ho trikrát:

Definícia. Zvýšenie čísla na prirodzenú mocnosť znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:
.

Vlastnosti stupňov

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz vám to ukážem.

Pozrime sa: čo to je A ?

A-priorita:

Koľko násobiteľov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k faktorom sme pridali multiplikátory a výsledkom sú multiplikátory.

Ale podľa definície ide o mocninu čísla s exponentom, teda: , čo je potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody!
Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

len pre súčin síl!

To v žiadnom prípade nemôžete napísať.

2. to je všetko mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne:

Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to predsa nie je pravda.

Výkon so zápornou bázou

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V právomociach prirodzený indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo. V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda, resp. Ale ak vynásobíme, funguje to.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov na precvičenie

Rozbor riešenia 6 príkladov

Ak ignorujeme ôsmu mocnosť, čo tu vidíme? Pripomeňme si program pre 7. ročník. Tak čo, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozrime sa pozorne na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Poradie výrazov je nesprávne. Ak by boli obrátené, mohlo by platiť pravidlo.

Ale ako na to? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Pojmy zázračne zmenili miesto. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v rovnomernej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľahko zmeniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Celý nazývame prirodzené čísla, ich protiklady (t. j. brané so znamienkom " ") a číslo.

kladné celé číslo, a nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej:

Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?

Uvažujme nejaký stupeň so základňou. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme to isté, čo bolo - . Akým číslom vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane sa musí rovnať akýmkoľvek stupňom – akokoľvek vynásobíte nulu samým sebou, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo s nulovou mocninou, musí sa rovnať. Koľko z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezasahovať a odmietli zvýšiť nulu na nulovú mocninu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel zahŕňajú celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporná mocnina, urobme ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakým číslom na zápornú mocninu:

Odtiaľto je ľahké vyjadriť, čo hľadáte:

Teraz rozšírme výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo so zápornou mocninou je prevrátená hodnota rovnakého čísla s kladnou mocninou. Ale v rovnakom čase Základ nemôže byť nulový:(pretože nemôžete deliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná jednej: .

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule k zápornej mocnine, je prevrátená hodnota rovnakého čísla ku kladnej mocnine: .

Úlohy na samostatné riešenie:

Ako obvykle, príklady nezávislých riešení:

Analýza problémov pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú desivé, ale na Jednotnej štátnej skúške musíte byť pripravení na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenia, ak ste ich nedokázali vyriešiť, a na skúške sa s nimi ľahko naučíte!

Pokračujme v rozširovaní rozsahu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz uvažujme racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla a.

Aby ste pochopili, čo to je "zlomkový stupeň", zvážte zlomok:

Uveďme obe strany rovnice na mocninu:

Teraz si pripomeňme pravidlo o "od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou koreňa t. stupňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tej mocniny je inverzná operácia zvýšenia na mocninu: .

Ukazuje sa, že. Očividne toto špeciálny prípad možno rozšíriť: .

Teraz pridáme čitateľa: čo to je? Odpoveď je ľahké získať pomocou pravidla výkonu na výkon:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajme na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že nie je možné extrahovať párne korene zo záporných čísel!

To znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo výraz?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované vo forme iných, redukovateľných zlomkov, napr.

A ukáže sa, že existuje, ale neexistuje, ale sú to len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom si to môžete zapísať. Ak si ale ukazovateľ zapíšeme inak, opäť sa dostaneme do problémov: (teda dostali sme úplne iný výsledok!).

Aby sme sa vyhli takýmto paradoxom, uvažujeme iba kladný základný exponent so zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Racionálne exponenty sú veľmi užitočné pri transformácii výrazov s koreňmi, napríklad:

5 príkladov na precvičenie

Rozbor 5 príkladov na tréning

No a teraz prichádza tá najťažšia časť. Teraz na to prídeme stupňa s iracionálnym exponentom.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou

Koniec koncov, iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...číslo na nulovú mocninu- toto je akoby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba určité „prázdne číslo“ , menovite číslo;

...záporné celé číslo- je to ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo sebou, ale rozdelené.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, na inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naučíš riešiť takéto príklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s obvyklým pravidlom pre zvýšenie moci na moc:

Teraz sa pozrite na indikátor. Nepripomína ti nič? Pripomeňme si vzorec pre skrátené násobenie rozdielu štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch zredukujeme na rovnaký tvar: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určenie stupňa

Titul je vyjadrením tvaru: , kde:

• — základ stupňa;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným ukazovateľom (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Stupeň s celočíselným exponentom (0, ±1, ±2,...)

Ak je exponent kladné celé čísločíslo:

Stavebníctvo na nulový stupeň:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane je do akéhokoľvek stupňa toto a na druhej strane akékoľvek číslo do tého stupňa je toto.

Ak je exponent záporné celé čísločíslo:

(pretože nemôžete deliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade. Ak potom.

Príklady:

Mocnina s racionálnym exponentom

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Vlastnosti stupňov

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorita:

Takže na pravej strane tohto výrazu dostaneme nasledujúci produkt:

Ale podľa definície je to mocnina čísla s exponentom, to znamená:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle Nevyhnutne musia byť rovnaké dôvody. Preto kombinujeme sily so základňou, ale zostáva to samostatný faktor:

Ďalšia dôležitá poznámka: toto pravidlo - len pre súčin síl!

To v žiadnom prípade nemôžete napísať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, vráťme sa k definícii stupňa:

Zostavme túto prácu takto:

Ukazuje sa, že výraz sa násobí sám o sebe krát, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „vytiahnutím indikátora zo zátvoriek“. Ale nikdy to nemôžete urobiť úplne: !

Spomeňme si na skrátené vzorce na násobenie: koľkokrát sme chceli písať? Ale to predsa nie je pravda.

Moc s negatívnou bázou.

Doteraz sme len diskutovali o tom, ako by to malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V právomociach prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať stupne kladných a záporných čísel?

Napríklad, je číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Ale tie negatívne sú o niečo zaujímavejšie. Pamätáme si jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme - .

A tak ďalej do nekonečna: s každým ďalším násobením sa znamienko zmení. Môžeme sformulovať nasledovné jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo, vstavaný zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Určite si sami, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Jednoducho sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: napokon nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je rovnomerný, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda okrem prípadov, keď je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to zapamätáme, je jasné, že a teda aj základ menej ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich navzájom, rozdelíme ich do dvojíc a dostaneme:

Predtým, ako sa pozrieme na posledné pravidlo, vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte výrazy:

Riešenia :

Ak ignorujeme ôsmu mocnosť, čo tu vidíme? Pripomeňme si program pre 7. ročník. Tak čo, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozrime sa pozorne na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z faktorov čitateľa, ale čo je zlé? Poradie výrazov je nesprávne. Ak by boli obrátené, mohlo by platiť pravidlo 3. Ale ako? Ukazuje sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Ale teraz to dopadá takto:

Pojmy zázračne zmenili miesto. Tento „fenomén“ platí pre akýkoľvek výraz v rovnomernej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľahko zmeniť. Ale je dôležité mať na pamäti: Všetky znaky sa menia súčasne! Nemôžete to nahradiť zmenou iba jednej nevýhody, ktorá sa nám nepáči!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to dokážeme? Samozrejme, ako obvykle: rozvinieme pojem titul a zjednodušíme ho:

No, teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen je celkovo? krát podľa násobiteľov - čo vám to pripomína? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: Boli tam len násobilky. To znamená, že toto je podľa definície mocnina čísla s exponentom:

Príklad:

Stupeň s iracionálnym exponentom

Okrem informácií o stupňoch pre priemernú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym exponentom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon, podľa definície, iracionálne čísla sú čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (tj. , iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzenými, celočíselnými a racionálnymi exponentmi sme zakaždým vytvorili určitý „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad stupeň s prirodzeným exponentom je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo s nulovou mocninou je ako keby číslo, ktoré sa raz vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ešte nezačali násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda len určitý „prázdne číslo“, konkrétne číslo; stupeň s celočíselným záporným exponentom - je to, ako keby nastal nejaký „obrátený proces“, to znamená, že číslo nebolo vynásobené samo o sebe, ale rozdelené.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Je to skôr čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným exponentom, to znamená, že exponent nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, na inštitúte budete mať príležitosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda urobíme, ak uvidíme iracionálny exponent? Snažíme sa ho zo všetkých síl zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

Odpovede:

1. Spomeňme si na rozdiel vo vzorci štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky zredukujeme na rovnaký tvar: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad: .
3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ VZORCE

Titul nazývaný výraz vo forme: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentom

stupeň, ktorého exponent je prirodzené číslo (t. j. celé číslo a kladné číslo).

Mocnina s racionálnym exponentom

stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.

Stupeň s iracionálnym exponentom

stupeň, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Vlastnosti stupňov

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná.

TERAZ MÁTE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Napíšte dole do komentárov, či sa vám to páčilo alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s používaním vlastností stupňov.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia na skúškach!

Uvažujme o téme transformácie výrazov pomocou mocnin, ale najprv sa pozastavme nad množstvom transformácií, ktoré je možné vykonať s akýmikoľvek výrazmi, vrátane mocninových. Naučíme sa otvárať zátvorky, pridávať podobné pojmy, pracovať so základmi a exponentmi a využívať vlastnosti mocnín.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo sú to mocenské prejavy?

V školských kurzoch málokto používa frázu „ mocenské výrazy“, ale tento termín sa neustále nachádza v zbierkach na prípravu na jednotnú štátnu skúšku. Vo väčšine prípadov fráza označuje výrazy, ktoré vo svojich záznamoch obsahujú stupne. To je to, čo budeme odrážať v našej definícii.

Definícia 1

Silový prejav je výraz, ktorý obsahuje mocniny.

Uveďme niekoľko príkladov mocninných vyjadrení, počnúc mocninou s prirodzeným exponentom a končiac mocninou so skutočným exponentom.

Za najjednoduchšie mocniny možno považovať mocniny čísla s prirodzeným exponentom: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. A tiež mocniny s nulovým exponentom: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. A stupne s celými číslami negatívne sily: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochu ťažšie je pracovať s titulom, ktorý má racionálne a iracionálne exponenty: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikátorom môže byť premenná 3 x - 54 - 7 3 x - 58 alebo logaritmus x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Zaoberali sme sa otázkou, čo sú to mocenské výrazy. Teraz ich začneme konvertovať.

Hlavné typy transformácií mocninných výrazov

Najprv sa pozrieme na základné transformácie identity výrazov, ktoré je možné vykonať pomocou mocenských výrazov.

Príklad 1

Vypočítajte hodnotu mocninného výrazu 2 3 (4 2 − 12).

Riešenie

Všetky transformácie vykonáme v súlade s poradím úkonov. V tomto prípade začneme vykonaním akcií v zátvorkách: stupeň nahradíme digitálnou hodnotou a vypočítame rozdiel dvoch čísel. Máme 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Jediné, čo musíme urobiť, je nahradiť stupeň 2 3 jeho význam 8 a vypočítajte súčin 84 = 32. Tu je naša odpoveď.

odpoveď: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Príklad 2

Zjednodušte výraz pomocou právomocí 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Riešenie

Výraz, ktorý sme dostali v probléme, obsahuje podobné výrazy, ktoré môžeme dať: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odpoveď: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Príklad 3

Vyjadrite výraz s mocninami 9 - b 3 · π - 1 2 ako súčin.

Riešenie

Predstavme si číslo 9 ako mocninu 3 2 a použite skrátený vzorec násobenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odpoveď: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Teraz prejdime k analýze transformácií identity, ktoré možno aplikovať konkrétne na mocenské výrazy.

Práca so základom a exponentom

Stupeň v základe alebo exponent môže mať čísla, premenné a niektoré výrazy. Napríklad, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 A . Práca s takýmito záznamami je náročná. Oveľa jednoduchšie je nahradiť výraz v základe stupňa alebo výraz v exponente identicky rovnakým výrazom.

Transformácie stupňa a exponentu sa vykonávajú podľa nám známych pravidiel oddelene od seba. Najdôležitejšie je, aby výsledkom transformácie bol výraz identický s pôvodným.

Účelom transformácií je zjednodušiť pôvodný výraz alebo získať riešenie problému. Napríklad v príklade, ktorý sme uviedli vyššie, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 môžete postupovať podľa krokov a prejsť na stupeň 4 , 1 1 , 3 . Otvorením zátvoriek môžeme uviesť podobné pojmy ako základ mocniny (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) a získať mocenské vyjadrenie jednoduchšej formy a 2 (x + 1).

Používanie vlastností stupňa

Vlastnosti mocnin, zapísané vo forme rovnosti, sú jedným z hlavných nástrojov na transformáciu výrazov s mocninami. Uvádzame tu hlavné, berúc do úvahy to a A b sú nejaké kladné čísla a r A s- ľubovoľné reálne čísla:

Definícia 2

• a r · a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = ar · br;
• (a: b) r = a r: br;
• (a r) s = a r · s .

V prípadoch, keď máme čo do činenia s prirodzenými, celými, kladnými exponentmi, môžu byť obmedzenia pre čísla a a b oveľa menej prísne. Ak teda vezmeme do úvahy napríklad rovnosť a m · a n = a m + n, Kde m A n sú prirodzené čísla, potom to bude platiť pre všetky hodnoty a, kladné aj záporné, ako aj pre a = 0.

Vlastnosti mocnin môžete aplikovať bez obmedzení v prípadoch, keď sú mocniny kladné alebo obsahujú premenné, oblasť prijateľné hodnoty ktorá je taká, že základy na nej nadobúdajú len kladné hodnoty. V skutočnosti vo vnútri školské osnovy v matematike je úlohou žiaka vybrať vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať.

Pri príprave na vstup na vysoké školy sa môžete stretnúť s problémami, pri ktorých nepresná aplikácia vlastností povedie k zúženiu DL a iným ťažkostiam pri riešení. V tejto časti preskúmame iba dva takéto prípady. Viac informácií k téme nájdete v téme „Prevod výrazov pomocou vlastností mocnin“.

Príklad 4

Predstavte si ten výraz a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 vo forme moci so základom a.

Riešenie

Najprv použijeme vlastnosť umocňovania a pomocou nej transformujeme druhý faktor (a 2) − 3. Vtedy využijeme vlastnosti násobenia a delenia mocnin s rovnaký základ:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a2.

odpoveď: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformáciu mocenských prejavov podľa vlastnosti mocnin je možné robiť tak zľava doprava, ako aj v opačnom smere.

Príklad 5

Nájdite hodnotu mocninného výrazu 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Riešenie

Ak uplatníme rovnosť (a · b) r = a r · b r, sprava doľava, dostaneme súčin tvaru 3 · 7 1 3 · 21 2 3 a potom 21 1 3 · 21 2 3 . Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sčítajme exponenty: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Existuje ďalší spôsob, ako vykonať transformáciu:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odpoveď: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Príklad 6

Daný mocenský výraz a 1, 5 − a 0, 5 − 6, zadajte novú premennú t = a 0,5.

Riešenie

Predstavme si stupeň a 1, 5 Ako a 0,5 3. Použitie vlastnosti stupňov na stupne (a r) s = a r · s sprava doľava a dostaneme (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Do výsledného výrazu môžete jednoducho vložiť novú premennú t = a 0,5: dostaneme t 3 − t − 6.

odpoveď: t 3 − t − 6 .

Prevod zlomkov obsahujúcich mocniny

Väčšinou sa zaoberáme dvoma verziami mocninných výrazov so zlomkami: výraz predstavuje zlomok s mocninou alebo takýto zlomok obsahuje. Všetky základné transformácie zlomkov sú na takéto výrazy použiteľné bez obmedzení. Možno ich zmenšiť, preniesť na nového menovateľa alebo pracovať oddelene s čitateľom a menovateľom. Ilustrujme si to na príkladoch.

Príklad 7

Zjednodušte vyjadrenie moci 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Riešenie

Máme čo do činenia so zlomkom, preto vykonáme transformácie v čitateli aj v menovateli:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ak chcete zmeniť znamienko menovateľa, umiestnite pred zlomok znamienko mínus: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odpoveď: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Zlomky obsahujúce mocniny sa redukujú na nového menovateľa rovnakým spôsobom ako racionálne zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší faktor a vynásobiť ním čitateľa a menovateľa zlomku. Je potrebné vybrať dodatočný faktor tak, aby neklesol na nulu pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad 8

Zlomky zredukujte na nového menovateľa: a) a + 1 a 0, 7 na menovateľa a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 na menovateľ x + 8 · y 1 2 .

Riešenie

a) Vyberme faktor, ktorý nám umožní zredukovať na nového menovateľa. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, preto budeme brať ako dodatočný faktor a 0, 3. Rozsah prípustných hodnôt premennej a zahŕňa množinu všetkých kladných reálnych čísel. Titul v tomto odbore a 0, 3 nejde na nulu.

Vynásobme čitateľa a menovateľa zlomku číslom a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Venujme pozornosť menovateľovi:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Vynásobme tento výraz x 1 3 + 2 · y 1 6, dostaneme súčet kociek x 1 3 a 2 · y 1 6, t.j. x + 8 · y 1 2 . Toto je náš nový menovateľ, na ktorý musíme zredukovať pôvodný zlomok.

Takto sme našli dodatočný faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . O rozsahu prípustných hodnôt premenných X A r výraz x 1 3 + 2 y 1 6 nezaniká, preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odpoveď: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Príklad 9

Zmenšenie zlomku: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Riešenie

a) Používame najväčšieho spoločného menovateľa (GCD), o ktorý môžeme čitateľa a menovateľa zmenšiť. Pre čísla 30 a 45 je to 15. Môžeme urobiť aj zníženie o x0,5+1 a na x + 2 x 113-53.

Dostaneme:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Prítomnosť rovnakých faktorov tu nie je zrejmá. Budete musieť vykonať nejaké transformácie, aby ste získali rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Aby sme to dosiahli, rozšírime menovateľa pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odpoveď: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Medzi základné operácie so zlomkami patrí prevod zlomkov na nový menovateľ a redukcia zlomkov. Obe akcie sa vykonávajú v súlade s množstvom pravidiel. Pri sčítaní a odčítaní zlomkov sa najprv zlomky zredukujú na spoločného menovateľa, potom sa vykonajú operácie (sčítanie alebo odčítanie) s čitateľmi. Menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom nášho konania je nový zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov.

Príklad 10

Vykonajte kroky x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Riešenie

Začnime odčítaním zlomkov, ktoré sú v zátvorkách. Priveďme ich k spoločnému menovateľovi:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odčítajme čitateľa:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz vynásobíme zlomky:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Znížime o mocninu x 12, dostaneme 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Okrem toho môžete výraz mocniny v menovateli zjednodušiť pomocou vzorca rozdielu štvorcov: štvorce: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

odpoveď: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Príklad 11

Zjednodušte mocninné vyjadrenie x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Riešenie

Zlomok môžeme znížiť o (x 2, 7 + 1) 2. Dostaneme zlomok x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Pokračujme v transformácii mocnín x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Teraz môžete použiť vlastnosť delenia mocnín s rovnakými základmi: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Prejdeme od posledného produktu k zlomku x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odpoveď: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vo väčšine prípadov je vhodnejšie preniesť faktory so zápornými exponentmi z čitateľa do menovateľa a späť, pričom sa zmení znamienko exponentu. Táto akcia vám umožní zjednodušiť ďalšie rozhodovanie. Uveďme príklad: mocninný výraz (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 možno nahradiť x 3 · (x + 1) 0, 2.

Konverzia výrazov s koreňmi a mocninami

V úlohách sa vyskytujú mocniny, ktoré obsahujú nielen mocniny so zlomkovými exponentmi, ale aj odmocniny. Takéto výrazy je vhodné zredukovať len na odmocniny alebo len na mocniny. Ísť na tituly je vhodnejšie, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Tento prechod je obzvlášť výhodný, keď vám ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť odmocniny bez potreby prístupu k modulu alebo rozdelenia ODZ do niekoľkých intervalov.

Príklad 12

Vyjadrite výraz x 1 9 · x · x 3 6 ako mocninu.

Riešenie

Rozsah prípustných premenných hodnôt X je definovaná dvomi nerovnosťami x ≥ 0 a x x 3 ≥ 0, ktoré definujú množinu [ 0 , + ∞) .

V tomto súbore máme právo prejsť od koreňov k mocnostiam:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Pomocou vlastností mocnin výsledné mocninné vyjadrenie zjednodušíme.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odpoveď: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Prevod mocnin s premennými v exponente

Tieto transformácie sa dajú celkom ľahko urobiť, ak správne použijete vlastnosti stupňa. Napríklad, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Môžeme nahradiť súčinom mocnín, ktorých exponenty sú súčtom nejakej premennej a čísla. Na ľavej strane to možno urobiť s prvým a posledným výrazom ľavej strany výrazu:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teraz vydeľme obe strany rovnice 7 2 x. Tento výraz pre premennú x nadobúda iba kladné hodnoty:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zredukujeme zlomky s mocninami, dostaneme: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Nakoniec sa pomer mocnin s rovnakými exponentmi nahradí mocninami pomerov, výsledkom čoho je rovnica 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, čo je ekvivalentné 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x -2 = 0.

Zaveďme novú premennú t = 5 7 x, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0.

Prevod výrazov s mocninami a logaritmami

V problémoch sa nachádzajú aj výrazy obsahujúce mocniny a logaritmy. Príkladom takýchto výrazov je: 1 4 1 - 5 · log 2 3 alebo log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformácia takýchto výrazov sa vykonáva pomocou vyššie uvedených prístupov a vlastností logaritmov, ktoré sme podrobne rozobrali v téme „Transformácia logaritmických výrazov“.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prejdite na youtube kanál našej webovej stránky, aby ste mali prehľad o všetkých nových video lekciách.

Najprv si pripomeňme základné vzorce mocnin a ich vlastnosti.

Súčin čísla a vyskytuje sa na sebe n-krát, môžeme tento výraz zapísať ako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Napájanie resp exponenciálne rovnice – sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.

Príklady exponenciálnych rovníc:

V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo ukazovateľa.

Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?

Zoberme si jednoduchú rovnicu:

2 x = 2 3

Tento príklad sa dá vyriešiť aj v hlave. Je možné vidieť, že x=3. Predsa tak, že ľavá a pravá časť boli rovnaké, musíte x nahradiť číslom 3.
Teraz sa pozrime, ako formalizovať toto rozhodnutie:

2 x = 2 3
x = 3

Aby sme takúto rovnicu vyriešili, odstránili sme rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.

Teraz si zhrňme naše rozhodnutie.

Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči má rovnica základy vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sa základy stanú rovnakými, prirovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov:

Začnime niečím jednoduchým.

Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že základňu môžeme zahodiť a prirovnať ich sily.

x+2=4 Získame najjednoduchšiu rovnicu.
x = 4 – 2
x=2
Odpoveď: x=2

V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne: 3 a 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Najprv presuňte deviatku na pravú stranu a získame:

Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2. Použime mocninový vzorec (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dostaneme 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 teraz môžete vidieť, že v ľavej a pravá strana základy sú rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a prirovnať stupne.

3x=2x+16 dostaneme najjednoduchšiu rovnicu
3x - 2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.

Pozrime sa na nasledujúci príklad:

2 2x+4 - 104 x = 2 4

Najprv sa pozrieme na základy, základy dva a štyri. A potrebujeme, aby boli rovnaké. Štvoricu transformujeme pomocou vzorca (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridajte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Trápia nás však iné čísla 10 a 24. Čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane sa opakuje 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítajme výraz v zátvorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celú rovnicu vydelíme 6:

Predstavme si 4=2 2:

2 2x = 2 2 základy sú rovnaké, zahodíme ich a zrovnáme stupne.
2x = 2 je najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2 a dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.

Poďme vyriešiť rovnicu:

9 x – 12 x 3 x +27 = 0

Poďme previesť:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Naše základy sú rovnaké, rovné 3. V tomto príklade môžete vidieť, že prvé tri majú stupeň dvakrát (2x) ako druhé (len x). V tomto prípade môžete vyriešiť náhradná metóda. Číslo s najmenší stupeň nahradiť:

Potom 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Všetky x mocniny v rovnici nahradíme t:

t2 - 12t+27 = 0
Dostaneme kvadratická rovnica. Riešením cez diskriminant dostaneme:
D = 144-108 = 36
ti = 9
t2 = 3

Návrat k premennej X.

Vezmite t 1:
ti = 9 = 3 x

teda

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ opýtať na akékoľvek otázky, určite vám odpovieme.

Pridajte sa do skupiny

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Ciele:

• vzdelávacie– zopakovať si definíciu titulu, pravidlá násobenia a delenia titulov, povýšenie titulu na mocnosť, upevniť zručnosti riešenia príkladov obsahujúcich tituly,
• rozvíjanie- vývoj logické myslenie záujem študentov o preberaný materiál,
• zvyšovanie– pestovanie zodpovedného prístupu k učeniu, kultúry komunikácie a zmyslu pre kolektivizmus.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, interaktívna tabuľa, prezentácia „stupňov“ pre mentálne výpočty, kartičky s úlohami, letáky.

Plán lekcie:

1. Organizovanie času.
2. Opakovanie pravidiel
3. Slovné počítanie.
4. Historický odkaz.
5. Pracujte na tabuli.
6. Minúta telesnej výchovy.
7. Práca na interaktívnej tabuli.
8. Samostatná práca.
9. Domáca úloha.
10. Zhrnutie lekcie.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment

Komunikujte tému a ciele lekcie.

V predchádzajúcich lekciách ste zistili úžasný svet stupňov, naučili sa násobiť a deliť stupne a zvyšovať ich na mocnosť. Dnes si musíme upevniť získané poznatky riešením príkladov.

II. Opakovanie pravidiel(ústne)

1. Uveďte definíciu stupňa s prirodzeným exponentom? (Sila čísla A s prirodzeným exponentom väčším ako 1 sa nazýva súčin n faktory, z ktorých každý je rovnaký A.)
2. Ako vynásobiť dve mocniny? (Ak chcete znásobiť mocniny s rovnakými základmi, musíte základ nechať rovnaký a pridať exponenty.)
3. Ako rozdeliť stupeň podľa stupňa? (Ak chcete rozdeliť mocniny s rovnakými základmi, musíte nechať základ rovnaký a odpočítať exponenty.)
4. Ako povýšiť produkt na moc? (Ak chcete zvýšiť výkon produktu, musíte zvýšiť každý faktor na túto silu)
5. Ako zvýšiť titul na moc? (Ak chcete zvýšiť mocninu na mocninu, musíte nechať základňu rovnakú a vynásobiť exponenty)

III. Slovné počítanie(pomocou multimédií)

IV. Historický odkaz

Všetky problémy sú z Ahmesovho papyrusu, ktorý bol napísaný okolo roku 1650 pred Kristom. e. súvisiace so stavebnou praxou, vytyčovanie hraníc pozemkov a pod. Úlohy sú zoskupené podľa tém. Ide najmä o úlohy na hľadanie obsahov trojuholníka, štvoruholníka a kružnice, rôzne operácie s celými číslami a zlomkami, proporcionálne delenie, hľadanie pomerov a je tu aj zvyšovanie v rôzne stupne, riešenie rovníc prvého a druhého stupňa s jednou neznámou.

Absolútne chýba akékoľvek vysvetlenie alebo dôkaz. Požadovaný výsledok je uvedený buď priamo, alebo je uvedený krátky algoritmus na jeho výpočet. Tento spôsob prezentácie, typický pre vedu v krajinách staroveký východ, naznačuje, že matematika sa tam vyvinula prostredníctvom zovšeobecnení a dohadov, ktoré netvorili žiadnu všeobecnú teóriu. Papyrus však obsahuje množstvo dôkazov, že egyptskí matematici vedeli extrahovať korene a pozdvihnúť mocniny, riešiť rovnice a dokonca ovládali základy algebry.

V. Práca v rade

Nájdite význam výrazu racionálnym spôsobom:

Vypočítajte hodnotu výrazu:

VI. Minúta telesnej výchovy

1. pre oči
2. pre krk
3. pre ruky
4. pre trup
5. pre nohy

VII. Riešenie problémov(so zobrazením na interaktívnej tabuli)

Je koreňom rovnice kladné číslo?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Samostatná práca

IX. Domáca úloha

X. Zhrnutie lekcie

Rozbor výsledkov, vyhlásenie známok.

Získané vedomosti o tituloch využijeme pri riešení rovníc a úloh na strednej škole, často sa nachádzajú aj na Jednotnej štátnej skúške.

Vzorce stupňov v procese znižovania a zjednodušovania zložité výrazy, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:

3. Výkon súčinu 2 resp viac faktorov sa rovná súčinu mocnín týchto faktorov:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(a m) n = a m n.

Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:

4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.

Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.