V tomto videu rozoberieme celú zostavu lineárne rovnice, ktoré sa riešia pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Najprv definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá sa nazýva najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba do prvého stupňa.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Rozbaľte zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Uveďte podobné výrazy vľavo a vpravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$.

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy po všetkých týchto machináciách sa koeficient premennej $ x $ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Keď napríklad vyjde niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je číslo iné ako nula. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

Teraz sa pozrime, ako to všetko funguje na príkladoch zo skutočného života.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte rozbaliť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom skombinujte podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. presunúť všetko, čo je spojené s premennou – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, presunúť na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobné na každú stranu výslednej rovnosti a potom už zostáva len deliť koeficientom „x“ a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Chyby sa zvyčajne robia buď pri otváraní zátvoriek alebo pri výpočte „plusov“ a „mínusov“.

Okrem toho sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Na tieto jemnosti sa pozrieme v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, od samotného jednoduché úlohy.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Najprv mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Rozbaľte zátvorky, ak existujú.
2. Izolujeme premenné, t.j. Všetko, čo obsahuje „X“ presunieme na jednu stranu a všetko bez „X“ na druhú stranu.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, sú v nej určité jemnosti a triky a teraz ich spoznáme.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

Prvý krok vyžaduje, aby sme otvorili zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Poznámka: hovoríme o len o jednotlivých termínoch. Poďme si to zapísať:

Podobné výrazy uvádzame vľavo a vpravo, ale to tu už bolo urobené. Preto prejdeme na štvrtý krok: delenie koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tak sme dostali odpoveď.

Úloha č.2

V tomto probléme vidíme zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnaký dizajn, ale konajme podľa algoritmu, t.j. oddelenie premenných:

Tu sú niektoré podobné:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č.3

Zaujímavejšia je tretia lineárna rovnica:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu niekoľko, ale nie sú ničím násobené, jednoducho sú pred nimi rôzne znamienka. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme si to spočítať:

Vykonávame posledný krok— vydeľte všetko koeficientom „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže byť medzi nimi nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné; nemali by ste ju nijako diskriminovať ani predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia funkcia súvisí s otváraním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znamienka na opak. A potom ho môžeme otvoriť pomocou štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto veci považujú za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Poďme na viac zložité rovnice. Teraz budú konštrukcie zložitejšie a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by sme sa toho však báť, pretože ak podľa plánu autora riešime lineárnu rovnicu, potom sa počas transformačného procesu určite zrušia všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č.1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže to napíšeme do odpovede:

\[\varnothing\]

alebo tam nie sú korene.

Príklad č.2

Vykonávame rovnaké akcie. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo tam nie sú korene.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemusí byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa koreňov. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, obe jednoducho nemajú korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením musíte všetko vynásobiť „X“. Poznámka: násobí sa každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva termíny – respektíve dva termíny a násobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien, môžete zátvorku otvárať z pohľadu toho, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie dokončené, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie jednoducho mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sledom elementárnych transformácií, kde je neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché kroky vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a opäť sa učia riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti vycibríte až do automatizácie. Už nebudete musieť zakaždým vykonávať toľko transformácií, všetko napíšete na jeden riadok. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si trochu súkromia:

Tu sú niektoré podobné:

Dokončime posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica lineárna a nie kvadratická.

Úloha č.2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Opatrne vykonajte prvý krok: vynásobte každý prvok z prvej zátvorky každým prvkom z druhej. Po transformáciách by mali byť celkom štyri nové termíny:

Teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:

Presuňme výrazy s „X“ doľava a výrazy bez – doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Opäť sme dostali konečnú odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je nasledujúca: akonáhle začneme násobiť zátvorky, ktoré obsahujú viac ako jeden člen, robíme to podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhy; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. V dôsledku toho budeme mať štyri volebné obdobia.

O algebraickom súčte

Týmto posledným príkladom by som chcel žiakom pripomenúť čo algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: odpočítajte sedem od jednej. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Týmto sa algebraický súčet líši od obyčajného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Nakoniec sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a na ich vyriešenie budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc so zlomkami

Na vyriešenie takýchto úloh budeme musieť do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv mi však dovoľte pripomenúť náš algoritmus:

1. Otvorte zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste si podobné.
4. Vydeliť pomerom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus sa pri všetkej svojej účinnosti ukazuje ako nie úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme zlomok vľavo aj vpravo v oboch rovniciach.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred aj po prvej akcii, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus bude teda nasledujúci:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorte zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste si podobné.
5. Vydeliť pomerom.

Čo to znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo sa to dá urobiť aj po, aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky vo svojom menovateli číselné, t.j. Všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe strany rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad č.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Zapíšme si:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz rozšírime:

Vylúčime premennú:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdime k druhej rovnici.

Príklad č.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Kľúčové zistenia sú:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nerobte si starosti, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
• V lineárnych rovniciach existujú tri typy koreňov, dokonca aj tie najjednoduchšie: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň a žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!

Táto časť rovnice je výraz v zátvorkách. Ak chcete otvoriť zátvorky, pozrite sa na znak pred zátvorkami. Ak je tam znamienko plus, otvorenie zátvoriek vo výraze nič nezmení: stačí zátvorky odstrániť. Ak je tam znamienko mínus, pri otváraní zátvoriek musíte zmeniť všetky znamienka, ktoré boli pôvodne v zátvorkách, na opačné. Napríklad -(2x-3)=-2x+3.

Násobenie dvoch zátvoriek.
Ak rovnica obsahuje súčin dvoch zátvoriek, rozbaľte zátvorky podľa štandardného pravidla. Každý výraz v prvej zátvorke sa vynásobí každým výrazom v druhej zátvorke. Výsledné čísla sa spočítajú. V tomto prípade súčin dvoch „plusov“ alebo dvoch „mínusov“ dáva výrazu znamienko „plus“, a ak majú faktory rôzne znamienka, dostane znamienko „mínus“.
Uvažujme.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Otvorením zátvoriek, niekedy zvýšením výrazu na . Vzorce na kvadratúru a kocky musia byť známe naspamäť a zapamätané.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Vzorce na zostavenie výrazu väčšieho ako tri sa dajú urobiť pomocou Pascalovho trojuholníka.

Zdroje:

• vzorec rozšírenia zátvoriek

V zátvorkách matematické operácie môže obsahovať premenné a výrazy rôznej miereťažkosti. Ak chcete znásobiť takéto výrazy, budete musieť hľadať riešenie v všeobecný pohľad, otvorenie zátvoriek a zjednodušenie výsledku. Ak zátvorky obsahujú operácie bez premenných, iba s číselné hodnoty, potom nie je potrebné otvárať zátvorky, pretože ak máte počítač, jeho používateľ má prístup k veľmi významným výpočtovým zdrojom - je jednoduchšie ich použiť ako zjednodušiť výraz.

Inštrukcie

Ak chcete získať výsledok vo všeobecnej forme, vynásobte postupne každú (alebo mínus ), ktorá sa nachádza v jednej zátvorke, obsahom všetkých ostatných zátvoriek. Napríklad nech je pôvodný výraz napísaný takto: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Potom sekvenčné násobenie (to znamená otvorenie zátvoriek) dá nasledujúci výsledok: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Zjednodušte výsledok skrátením výrazov. Napríklad výraz získaný v predchádzajúcom kroku možno zjednodušiť takto: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Použite kalkulačku, ak potrebujete vynásobiť x rovné 4,75, teda (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Ak chcete vypočítať túto hodnotu, prejdite na webovú stránku vyhľadávacieho nástroja Google alebo Nigma a do poľa dopytu zadajte výraz v pôvodnom tvare (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google zobrazí 82.265625 okamžite bez kliknutia na tlačidlo, ale Nigma potrebuje odoslať údaje na server kliknutím na tlačidlo.

Teraz prejdeme k otváraniu zátvoriek vo výrazoch, v ktorých je výraz v zátvorkách vynásobený číslom alebo výrazom. Sformulujme pravidlo pre otváranie zátvoriek, pred ktorými je znamienko mínus: zátvorky spolu so znamienkom mínus sa vynechávajú a znamienka všetkých pojmov v zátvorkách sa nahradia opačnými.

Jedným typom transformácie výrazu je rozšírenie zátvoriek. číselné, doslovné výrazy a výrazy s premennými možno skladať pomocou zátvoriek, ktoré môžu označovať poradie, v akom sa akcie vykonávajú, obsahovať záporné číslo atď. Predpokladajme, že vo výrazoch opísaných vyššie môžu byť namiesto čísel a premenných akékoľvek výrazy.

A venujme pozornosť ešte jednému bodu, ktorý sa týka zvláštností písania riešenia pri otváraní zátvoriek. V predchádzajúcom odseku sme sa zaoberali tým, čo sa nazýva otváracie zátvorky. Na tento účel existujú pravidlá otvárania zátvoriek, ktoré teraz preskúmame. Toto pravidlo je dané skutočnosťou, že kladné čísla sa zvyčajne píšu bez zátvoriek, v tomto prípade sú zátvorky zbytočné. Výraz (−3.7)−(−2)+4+(−9) možno zapísať bez zátvoriek ako −3.7+2+4−9.

Napokon, tretia časť pravidla je jednoducho spôsobená zvláštnosťami nahrávky záporné čísla naľavo od výrazu (ktorý sme spomenuli v časti o zátvorkách na písanie záporných čísel). Môžete sa stretnúť s výrazmi zloženými z čísla, znamienka mínus a niekoľkých párov zátvoriek. Ak otvoríte zátvorky a presuniete sa z interného na externé, riešenie bude nasledovné: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−(5)=−5.

Ako otvoriť zátvorky?

Tu je vysvetlenie: −(−2 x) je +2 x, a keďže tento výraz je na prvom mieste, +2 x možno zapísať ako 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /xa -(2 x y2:z) = -2 x y2:z. Prvá časť písaného pravidla pre otváranie zátvoriek vyplýva priamo z pravidla pre násobenie záporných čísel. Jeho druhá časť je dôsledkom pravidla pre násobenie čísel s rôzne znamenia. Prejdime na príklady otvárania zátvoriek v súčinoch a podiely dvoch čísel s rôznymi znamienkami.

Úvodné zátvorky: pravidlá, príklady, riešenia.

Vyššie uvedené pravidlo zohľadňuje celý reťazec týchto akcií a výrazne urýchľuje proces otvárania zátvoriek. Rovnaké pravidlo vám umožňuje otvárať zátvorky vo výrazoch, ktoré sú súčinmi a čiastkové výrazy so znamienkom mínus, ktoré nie sú súčty a rozdiely.

Pozrime sa na príklady aplikácie tohto pravidla. Uveďme zodpovedajúce pravidlo. Vyššie sme sa už stretli s výrazmi v tvare −(a) a −(−a), ktoré sa bez zátvoriek píšu ako −a a a. Napríklad −(3)=3 a. Ide o špeciálne prípady uvedeného pravidla. Teraz sa pozrime na príklady otvárania zátvoriek, keď obsahujú súčty alebo rozdiely. Ukážme si príklady použitia tohto pravidla. Výraz (b1+b2) označme ako b, po čom použijeme pravidlo o násobení zátvorky výrazom z predchádzajúceho odseku, máme (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(al·b+a2·b)=al·b+a2·b.

Indukciou možno toto tvrdenie rozšíriť na ľubovoľný počet výrazov v každej zátvorke. Zostáva otvoriť zátvorky vo výslednom výraze pomocou pravidiel z predchádzajúcich odsekov, nakoniec dostaneme 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Pravidlom v matematike je otváranie zátvoriek, ak sú pred zátvorkami (+) a (-).

Tento výraz je súčinom troch faktorov (2+4), 3 a (5+7·8). Zátvorky budete musieť otvárať postupne. Teraz použijeme pravidlo na násobenie zátvorky číslom, máme ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stupne, ktorých základom sú niektoré výrazy napísané v zátvorkách, s v naturáliách možno považovať za súčin niekoľkých zátvoriek.

Napríklad transformujme výraz (a+b+c)2. Najprv to napíšeme ako súčin dvoch zátvoriek (a+b+c)·(a+b+c), teraz zátvorku vynásobíme zátvorkou, dostaneme a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Povieme tiež, že na zvýšenie súčtov a rozdielov dvoch čísel na prirodzenú mocninu je vhodné použiť Newtonov binomický vzorec. Napríklad (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nemenej vhodné je najprv nahradiť delenie násobením a potom použiť príslušné pravidlo na otváranie zátvoriek v produkte.

Zostáva pochopiť poradie otvárania zátvoriek pomocou príkladov. Zoberme si výraz (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Tieto výsledky dosadíme do pôvodného výrazu: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Zostáva už len dokončiť otváranie zátvoriek, výsledkom je −5+3·2:4+6·7. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú došlo k otvoreniu zátvoriek.

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Najprv pridajte 445 k 889. Túto akciu je možné vykonať mentálne, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenený postup výrazne zjednoduší výpočty.

Ako rozšíriť zátvorky na iný stupeň

Ilustrujúci príklad a pravidlo. Pozrime sa na príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov. Komentujte. Značky sú obrátené iba pred pojmami. Aby sme otvorili zátvorky, v tomto prípade si musíme zapamätať distributívnu vlastnosť.

Pre jednotlivé čísla v zátvorkách

Vaša chyba nie je v znamienkach, ale v nesprávnom zaobchádzaní so zlomkami? V 6. ročníku sme sa učili o kladných a záporných číslach. Ako budeme riešiť príklady a rovnice?

Koľko je v zátvorkách? Čo poviete na tieto výrazy? Samozrejme, výsledok prvého a druhého príkladu je rovnaký, čo znamená, že medzi ne môžeme vložiť znamienko rovnosti: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Čo sme urobili so zátvorkami?

Ukážka snímky 6 s pravidlami otvárania zátvoriek. Pravidlá otvárania zátvoriek nám teda pomôžu vyriešiť príklady a zjednodušiť výrazy. Ďalej sú študenti požiadaní, aby pracovali vo dvojiciach: musia použiť šípky na spojenie výrazu obsahujúceho zátvorky so zodpovedajúcim výrazom bez zátvoriek.

Snímka 11 Raz v Slnečnom meste sa Znayka a Dunno hádali o tom, kto z nich vyriešil rovnicu správne. Ďalej študenti riešia rovnicu sami pomocou pravidiel otvárania zátvoriek. Riešenie rovníc“ Ciele hodiny: vzdelávacie (upevnenie vedomostí na tému: „Otváracie zátvorky.

Téma lekcie: „Otvorená zátvorka. V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz z prvých zátvoriek každým výrazom z druhých zátvoriek a potom pridať výsledky. Najprv sa vezmú prvé dva faktory uzavreté v jednej zátvorke a vo vnútri týchto zátvoriek sa otvoria zátvorky podľa jedného z už známych pravidiel.

rawalan.freezeet.ru

Úvodné zátvorky: pravidlá a príklady (7. ročník)

Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt číselné výrazy . Napríklad, v číselnom vyjadrení \(5·3+7\) sa najskôr vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Ak však máme do činenia s algebraický výraz obsahujúce premenlivý- napríklad takto: \(2(x-3)\) - potom nie je možné vypočítať hodnotu v zátvorke, premenná je v ceste. Preto sú v tomto prípade zátvorky „otvorené“ pomocou príslušných pravidiel.

Pravidlá otvárania zátvoriek

Ak je pred zátvorkou znamienko plus, zátvorka sa jednoducho odstráni, výraz v nej zostane nezmenený. Inými slovami:

Tu je potrebné objasniť, že v matematike je na skrátenie zápisov zvykom nepísať znamienko plus, ak je vo výraze prvé. Napríklad, ak sčítame dve kladné čísla, napríklad sedem a tri, napíšeme nie \(+7+3\), ale jednoducho \(7+3\), napriek tomu, že sedem je tiež kladné číslo. . Podobne, ak vidíte napríklad výraz \((5+x)\) - vedzte to pred zátvorkou je plus, ktoré sa nepíše.

Príklad . Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy: \((x-11)+(2+3x)\).
Riešenie : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Ak je pred zátvorkou znamienko mínus, potom keď sa zátvorka odstráni, každý výraz výrazu v nej zmení znamienko na opačné:

Tu je potrebné objasniť, že kým bolo a v zátvorke, bolo tam znamienko plus (len to nenapísali) a po odstránení zátvorky sa toto plus zmenilo na mínus.

Príklad : Zjednodušte výraz \(2x-(-7+x)\).
Riešenie : vo vnútri zátvorky sú dva výrazy: \(-7\) a \(x\) a pred zátvorkou je mínus. To znamená, že znamienka sa zmenia - a sedem bude teraz plus a x bude teraz mínus. Otvorte držiak a uvádzame podobné pojmy .

Príklad. Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riešenie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Ak je pred zátvorkou faktor, potom sa ním vynásobí každý člen zátvorky, to znamená:

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
Riešenie : V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou je päťka. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \(5\) - to vám pripomínam Znamienko násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť položiek.

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
Riešenie : Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).

Zostáva zvážiť poslednú situáciu.

Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhej zátvorky:

Príklad. Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
Riešenie : Máme produkt zátvoriek a možno ho okamžite rozšíriť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nemýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku a vynásobte každý člen druhou zátvorkou:

Krok 2. Rozbaľte súčin zátvoriek a faktor, ako je popísané vyššie:
- Najprv veci...

Krok 3. Teraz vynásobíme a predstavíme podobné výrazy:

Všetky premeny nie je potrebné tak podrobne popisovať, môžete ich hneď znásobiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky, píšte podrobne, bude menšia šanca robiť chyby.

Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíte jedno, dostanete pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Zátvorka v zátvorke

Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušte výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Na úspešné vyriešenie takýchto úloh potrebujete:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
— zátvorky otvárajte postupne, začnite napríklad najvnútornejším.

Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Pozrime sa ako príklad na vyššie napísanú úlohu.

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riešenie:

Začnime úlohu otvorením vnútornej konzoly (tej vnútri). Pri jej rozšírení sa zaoberáme len tým, čo sa jej priamo týka - je to samotná zátvorka a mínus pred ňou (zvýraznené zelenou farbou). Všetko ostatné (nezvýraznené) prepíšeme tak, ako to bolo.

Riešenie matematických úloh online

Online kalkulačka.
Zjednodušenie polynómu.
Násobenie polynómov.

Pomocou tohto matematického programu môžete zjednodušiť polynóm.
Počas spustenia programu:
- násobí polynómy
- zhrnie jednočleny (uvedie podobné)
- otvára zátvorky
- umocní mnohočlen na mocninu

Program na zjednodušenie polynómov dáva nielen odpoveď na problém, poskytuje podrobné riešenie s vysvetleniami, t.j. zobrazí proces riešenia, aby ste si mohli overiť svoje znalosti z matematiky a/alebo algebry.

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredné školy v príprave na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný tréning a/alebo tréning váš. mladší bratiači sestry, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených problémov.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Počkajte chvíľu.

Trochu teórie.

Súčin jednočlenu a mnohočlenu. Pojem polynóm

Medzi rôzne výrazy, ktoré sa berú do úvahy v algebre, patria dôležité miesto zaberajú súčty monomiálov. Tu sú príklady takýchto výrazov:

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:

Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlen má teda tretí stupeň a trojčlen má druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia môžete transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraických transformáciách sa musíte zaoberať častejšie ako s inými. Azda najbežnejšími výrazmi sú u, teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a rozdiel druhých mocnín. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad toto, samozrejme, nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b sa však nevyskytuje príliš často, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s takouto úlohou už stretli pri násobení polynómov:

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

- druhá mocnina súčtu rovná súčtuštvorčeky a zdvojnásobte súčin.

- druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez dvojitého súčinu.

- rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavé časti pravostrannými v transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotná štátna skúška a testy OGE Online hry, hlavolamy Konštrukcia grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh Hľadanie GCD a LCM Zjednodušenie polynómu (násobenie polynómov) Delenie polynómu podľa polynóm so stĺpcom Výpočet číselné zlomky Riešenie úloh s percentami Komplexné čísla: súčet, rozdiel, súčin a kvocient Sústavy 2 lineárnych rovníc s dvoma premennými Riešenie kvadratická rovnica Izolovanie druhej mocniny dvojčlenu a súčinenie štvorcového trojčlenu Riešenie nerovníc Riešenie sústav nerovníc Vykreslenie grafu kvadratickej funkcie Vykreslenie grafu lineárnej zlomkovej funkcie Riešenie aritmetických a geometrické postupnosti Riešenie goniometrických, exponenciálnych, logaritmické rovnice Výpočet limity, derivácia, dotyčnica Integrál, primitívna derivácia Riešenie trojuholníkov Výpočet pôsobenia s vektormi Výpočet pôsobenia s priamkami a rovinami Plocha geometrických útvarov Obvod geometrických útvarov Objem geometrických útvarov Plocha geometrických telies
Konštruktér dopravnej situácie
Počasie - novinky - horoskopy

www.mathsolution.ru

Rozširujúce zátvorky

Pokračujeme v štúdiu základov algebry. V tejto lekcii sa naučíme, ako rozšíriť zátvorky vo výrazoch. Rozšírenie zátvoriek znamená odstránenie zátvoriek z výrazu.

Ak chcete otvoriť zátvorky, musíte si zapamätať iba dve pravidlá. Pri pravidelnom cvičení môžete zátvorky otvárať pomocou oči zatvorené a tie pravidlá, ktoré sa museli naučiť naspamäť, môžete bezpečne zabudnúť.

Prvé pravidlo otvárania zátvoriek

Zvážte nasledujúci výraz:

Hodnota tohto výrazu je 2 . Otvorme zátvorky v tomto výraze. Rozšírenie zátvoriek znamená zbaviť sa ich bez ovplyvnenia významu výrazu. Teda po zbavení sa zátvoriek hodnotu výrazu 8+(−9+3) by sa mali stále rovnať dvom.

Prvé pravidlo otvárania zátvoriek je nasledovné:

Pri otváraní zátvoriek, ak je pred zátvorkami plus, potom sa toto plus vynecháva spolu so zátvorkami.

Takže to vidíme vo výraze 8+(−9+3) Pred zátvorkou je znamienko plus. Toto plus je potrebné vynechať spolu so zátvorkami. Inými slovami, zátvorky zmiznú spolu s plusom, ktoré stálo pred nimi. A to, čo bolo v zátvorkách, bude napísané bez zmien:

8−9+3 . Tento výraz sa rovná 2 , rovnako ako predchádzajúci výraz so zátvorkami, bol rovný 2 .

8+(−9+3) A 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Príklad 2 Rozbaliť zátvorky vo výraze 3 + (−1 − 4)

Pred zátvorkami je plus, čo znamená, že toto plus je vynechané spolu so zátvorkami. Čo bolo v zátvorkách, zostane nezmenené:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Príklad 3 Rozbaliť zátvorky vo výraze 2 + (−1)

V tomto príklade sa otváranie zátvoriek stalo druhom obrátenej operácie nahradenia odčítania sčítaním. Čo to znamená?

Vo výraze 2−1 dochádza k odčítaniu, ale možno ho nahradiť sčítaním. Potom dostaneme výraz 2+(−1) . Ale ak vo výraze 2+(−1) otvorte zátvorky, dostanete originál 2−1 .

Preto prvé pravidlo pre otváranie zátvoriek možno použiť na zjednodušenie výrazov po niektorých transformáciách. To znamená, že ho zbavte zátvoriek a zjednodušte ho.

Zjednodušme si napríklad výraz 2a+a-5b+b .

Na zjednodušenie tohto výrazu možno uviesť podobné výrazy. Pripomeňme, že na zmenšenie podobných výrazov je potrebné pridať koeficienty podobných výrazov a výsledok vynásobiť spoločnou časťou písmena:

Mám výraz 3a+(-4b). Odstránime zátvorky v tomto výraze. Pred zátvorkami je plus, takže používame prvé pravidlo na otváranie zátvoriek, to znamená, že vynechávame zátvorky spolu so plusom, ktoré je pred týmito zátvorkami:

Takže výraz 2a+a-5b+b zjednodušuje 3a-4b .

Po otvorení niektorých zátvoriek môžete po ceste stretnúť ďalšie. Aplikujeme na ne rovnaké pravidlá ako na tie prvé. Rozšírme napríklad zátvorky v nasledujúcom výraze:

Existujú dve miesta, kde musíte otvoriť zátvorky. V tomto prípade platí prvé pravidlo otvárania zátvoriek, a to vynechanie zátvoriek spolu so znamienkom plus, ktorý je pred týmito zátvorkami:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Príklad 3 Rozbaliť zátvorky vo výraze 6+(−3)+(−2)

Na oboch miestach, kde sú zátvorky, im predchádza znamienko plus. Aj tu platí prvé pravidlo otvárania zátvoriek:

Niekedy sa prvý výraz v zátvorke píše bez znamienka. Napríklad vo výraze 1+(2+3−4) prvý termín v zátvorkách 2 napísané bez znamienka. Vynára sa otázka, aké znamienko sa objaví pred dvojkou po vynechaní zátvoriek a plus pred zátvorkami? Odpoveď sa navrhuje sama – pred dvojkou bude plus.

V skutočnosti, dokonca aj v zátvorkách je pred nimi plus, ale nevidíme to, pretože to nie je napísané. Už sme povedali, že úplný zápis kladných čísel vyzerá +1, +2, +3. No podľa tradície sa plusy nezapisujú, preto vidíme tie kladné čísla, ktoré sú nám známe 1, 2, 3 .

Preto na rozšírenie zátvoriek vo výraze 1+(2+3−4) , ako obvykle, musíte vynechať zátvorky spolu so znamienkom plus pred týmito zátvorkami, ale napíšte prvý výraz, ktorý bol v zátvorkách, so znamienkom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Príklad 4. Rozbaliť zátvorky vo výraze −5 + (2 − 3)

Pred zátvorkami je plus, takže použijeme prvé pravidlo pre otváranie zátvoriek, a to vynecháme zátvorky spolu s plusom, ktoré je pred týmito zátvorkami. Ale prvý výraz, ktorý píšeme v zátvorkách so znamienkom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Príklad 5. Rozbaliť zátvorky vo výraze (−5)

Pred zátvorkou je plus, ale nie je zapísané, pretože pred ním neboli žiadne iné čísla alebo výrazy. Našou úlohou je odstrániť zátvorky použitím prvého pravidla otvárania zátvoriek, a to vynechať zátvorky spolu s týmto plusom (aj keď je neviditeľný)

Príklad 6. Rozbaliť zátvorky vo výraze 2a + (-6a + b)

Pred zátvorkami je plus, čo znamená, že toto plus je vynechané spolu so zátvorkami. To, čo bolo v zátvorkách, sa zapíše nezmenené:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

Príklad 7. Rozbaliť zátvorky vo výraze 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

V tomto výraze sú dve miesta, kde je potrebné rozšíriť zátvorky. V oboch sekciách je pred zátvorkami plus, čo znamená, že toto plus je vynechané spolu so zátvorkami. To, čo bolo v zátvorkách, sa zapíše nezmenené:

5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

Druhé pravidlo otvárania zátvoriek

Teraz sa pozrime na druhé pravidlo otvárania zátvoriek. Používa sa, keď je pred zátvorkou mínus.

Ak je pred zátvorkami mínus, potom sa toto mínus vynechá spolu so zátvorkami, ale výrazy, ktoré boli v zátvorkách, zmenia svoje znamienko na opačné.

Rozšírme napríklad zátvorky v nasledujúcom výraze

Vidíme, že pred zátvorkami je mínus. To znamená, že musíte použiť druhé pravidlo rozšírenia, a to vynechať zátvorky spolu so znamienkom mínus pred týmito zátvorkami. V tomto prípade výrazy v zátvorkách zmenia svoje znamienko na opačné:

Dostali sme výraz bez zátvoriek 5+2+3 . Tento výraz sa rovná 10, rovnako ako predchádzajúci výraz so zátvorkami bol rovný 10.

Teda medzi výrazmi 5−(−2−3) A 5+2+3 môžete dať znamienko rovnosti, pretože sa rovnajú rovnakej hodnote:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Príklad 2 Rozbaliť zátvorky vo výraze 6 − (−2 − 5)

Pred zátvorkami je mínus, preto použijeme druhé pravidlo pre otváranie zátvoriek, a to vynecháme zátvorky spolu s mínusom, ktoré je pred týmito zátvorkami. V tomto prípade napíšeme pojmy, ktoré boli v zátvorkách, s opačnými znamienkami:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Príklad 3 Rozbaliť zátvorky vo výraze 2 − (7 + 3)

Pred zátvorkami je mínus, takže na otváranie zátvoriek použijeme druhé pravidlo:

Príklad 4. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(−3 + 4)

Príklad 5. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Existujú dve miesta, kde musíte otvoriť zátvorky. V prvom prípade musíte použiť druhé pravidlo pre otváranie zátvoriek a pokiaľ ide o výraz +(−9−2) musíte použiť prvé pravidlo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Príklad 6. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(−a − 1)

Príklad 7. Rozbaliť zátvorky vo výraze −(4a + 3)

Príklad 8. Rozbaliť zátvorky vo výraze a − (4b + 3) + 15

Príklad 9. Rozbaliť zátvorky vo výraze 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Existujú dve miesta, kde musíte otvoriť zátvorky. V prvom prípade musíte použiť prvé pravidlo pre otváranie zátvoriek a pokiaľ ide o výraz −(3c+5) musíte použiť druhé pravidlo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Príklad 10. Rozbaliť zátvorky vo výraze −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Existujú tri miesta, kde musíte otvoriť držiaky. Najprv musíte použiť druhé pravidlo na otváranie zátvoriek, potom prvé a potom znova druhé:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mechanizmus otvárania držiaka

Pravidlá otvárania zátvoriek, ktoré sme teraz preskúmali, sú založené na distributívnom zákone násobenia:

v skutočnosti otváracie zátvorky je postup, pri ktorom sa spoločný činiteľ násobí každým výrazom v zátvorkách. V dôsledku tohto násobenia zátvorky zmiznú. Rozšírme napríklad zátvorky vo výraze 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Preto, ak potrebujete vynásobiť číslo výrazom v zátvorkách (alebo vynásobiť výraz v zátvorkách číslom), musíte povedať otvoríme zátvorky.

Ako však súvisí distributívny zákon násobenia s pravidlami otvárania zátvoriek, ktoré sme skúmali skôr?

Faktom je, že pred zátvorkami je spoločný faktor. V príklade 3×(4+5) spoločným faktorom je 3 . A v príklade a(b+c) spoločným faktorom je premenná a.

Ak pred zátvorkami nie sú žiadne čísla alebo premenné, potom spoločný faktor je 1 alebo −1 , podľa toho, aký znak je pred zátvorkami. Ak je pred zátvorkou plus, potom spoločný faktor je 1 . Ak je pred zátvorkou mínus, potom spoločný faktor je −1 .

Rozšírme napríklad zátvorky vo výraze −(3b−1). Pred zátvorkami je znamienko mínus, takže na otváranie zátvoriek musíte použiť druhé pravidlo, to znamená vynechať zátvorky spolu so znamienkom mínus pred zátvorkami. A napíšte výraz, ktorý bol v zátvorkách, s opačnými znamienkami:

Zátvorky sme rozšírili pomocou pravidla pre rozširovanie zátvoriek. Ale tie isté zátvorky možno otvoriť pomocou distributívneho zákona násobenia. Ak to chcete urobiť, najprv napíšte pred zátvorky spoločný faktor 1, ktorý nebol zapísaný:

Znamienko mínus, ktoré predtým stálo pred zátvorkami, sa týkalo tejto jednotky. Teraz môžete otvoriť zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Na tento účel je spoločný faktor −1 musíte vynásobiť každým výrazom v zátvorkách a pridať výsledky.

Pre pohodlie nahrádzame rozdiel v zátvorkách sumou:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Ako minule sme dostali výraz −3b+1. Každý bude súhlasiť, že tentoraz sa viac času venovalo vyriešeniu takéhoto jednoduchého príkladu. Preto je rozumnejšie použiť hotové pravidlá na otváranie zátvoriek, o ktorých sme hovorili v tejto lekcii:

Nie je však na škodu vedieť, ako tieto pravidlá fungujú.

V tejto lekcii sme sa naučili ďalšiu identickú transformáciu. Spolu s otvorením zátvoriek, odstránením generála zo zátvoriek a uvedením podobných výrazov môžete mierne rozšíriť okruh problémov, ktoré je potrebné vyriešiť. Napríklad:

Tu musíte vykonať dve akcie - najprv otvorte zátvorky a potom uveďte podobné podmienky. Takže v poradí:

1) Otvorte zátvorky:

2) Uvádzame podobné výrazy:

Vo výslednom výraze −10b+(−1) môžete rozšíriť zátvorky:

Príklad 2 Otvorte zátvorky a pridajte podobné výrazy do nasledujúceho výrazu:

1) Otvorme zátvorky:

2) Uveďme podobné pojmy. Tentoraz z dôvodu úspory času a miesta nebudeme zapisovať, ako sa koeficienty násobia spoločnou písmenovou časťou

Príklad 3 Zjednodušte výraz 8m + 3m a nájdite jeho hodnotu m = -4

1) Najprv si zjednodušíme výraz. Pre zjednodušenie výrazu 8m + 3m, môžete v ňom vyňať spoločný faktor m mimo zátvoriek:

2) Nájdite hodnotu výrazu m(8+3) pri m = -4. K tomu vo výraze m(8+3) namiesto premennej m nahradiť číslo −4

m (8 + 3) = -4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (-12) = -44

Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt. Napríklad, v číselnom vyjadrení \(5·3+7\) sa najskôr vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Príklad. Rozbaľte zátvorku: \(-(4m+3)\).
Riešenie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Príklad. Otvorte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Riešenie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
Riešenie : V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou je päťka. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \(5\) - to vám pripomínam Znamienko násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť položiek.

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
Riešenie : Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).

Príklad. Zjednodušte výraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Riešenie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Zostáva zvážiť poslednú situáciu.

Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhej zátvorky:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Príklad. Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
Riešenie : Máme produkt zátvoriek a možno ho okamžite rozšíriť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nemýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku - vynásobte každý jej výraz druhou zátvorkou:

Krok 2. Rozbaľte súčin zátvoriek a faktor, ako je popísané vyššie:
- Najprv veci...

Potom druhý.

Krok 3. Teraz vynásobíme a predstavíme podobné výrazy:

Všetky premeny nie je potrebné tak podrobne popisovať, môžete ich hneď znásobiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky, píšte podrobne, bude menšia šanca robiť chyby.

Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíte jedno, dostanete pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Zátvorka v zátvorke

Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušte výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Na úspešné vyriešenie takýchto úloh potrebujete:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
- zátvorky otvárajte postupne, začnite napríklad najvnútornejším.

Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Pozrime sa ako príklad na vyššie napísanú úlohu.

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Riešenie:

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Riešenie :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Je tu trojité vnorenie zátvoriek. Začnime tým najvnútornejším (zvýrazneným zelenou farbou). Pred držiakom je plus, takže sa jednoducho zíde.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Teraz musíte otvoriť druhú konzolu, strednú. Predtým však zjednodušíme vyjadrenie výrazov podobných duchom v tejto druhej zátvorke.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Teraz otvoríme druhú zátvorku (zvýraznenú modrou farbou). Pred zátvorkou je faktor - takže každý výraz v zátvorke sa ním vynásobí.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		A otvorte poslednú zátvorku. Pred zátvorkou je znamienko mínus, takže všetky znamienka sú obrátené.

Rozširovanie zátvoriek je základná zručnosť v matematike. Bez tejto zručnosti nie je možné mať známku nad C v 8. a 9. ročníku. Preto vám odporúčam, aby ste tejto téme dobre porozumeli.

A+(b + c) možno písať bez zátvoriek: a+(b + c)=a + b + c. Táto operácia sa nazýva otváranie zátvoriek.

Príklad 1 Otvorme zátvorky vo výraze a + (- b + c).

Riešenie. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Ak sa pred zátvorkami nachádza znamienko „+“, potom môžete zátvorky a toto znamienko „+“ vynechať, pričom znamienka výrazov v zátvorkách zachovajte. Ak je prvý výraz v zátvorke napísaný bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom „+“.

Príklad 2 Nájdeme hodnotu výrazu -2,87+ (2,87-7,639).

Riešenie. Otvorením zátvoriek dostaneme - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Ak chcete nájsť hodnotu výrazu - (- 9 + 5), musíte pridať čísla-9 a 5 a nájdite číslo opačné k výslednému súčtu: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Rovnakú hodnotu možno získať aj iným spôsobom: najprv zapíšte čísla opačné k týmto výrazom (t. j. zmeňte ich znamienka) a potom pridajte: 9 + (- 5) = 4. Teda -(- 9 + 5) = 9 -5 = 4.

Ak chcete napísať súčet opačný k súčtu niekoľkých výrazov, musíte zmeniť znamienka týchto výrazov.

To znamená - (a + b) = - a - b.

Príklad 3 Nájdeme hodnotu výrazu 16 - (10 -18 + 12).

Riešenie. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Ak chcete otvoriť zátvorky, pred ktorými je znak „-“, musíte tento znak nahradiť znakom „+“, pričom znamienka všetkých výrazov v zátvorkách zmeníte na opak a potom zátvorky otvoríte.

Príklad 4. Nájdeme hodnotu výrazu 9,36-(9,36 - 5,48).

Riešenie. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 - f 5,48 = 5,48.

Rozšírenie zátvoriek a aplikácia komutatívnych a asociatívnych vlastností prídavok vám umožní zjednodušiť výpočty.

Príklad 5. Nájdeme hodnotu výrazu (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Riešenie. Najprv otvorme zátvorky a potom nájdime oddelene súčet všetkých kladných a oddelene súčet všetkých záporných čísel a nakoniec spočítajme výsledky:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Príklad 6. Poďme zistiť hodnotu výrazu

Riešenie. Najprv si predstavme každý výraz ako súčet ich celých a zlomkových častí, potom otvorte zátvorky, potom pridajte celé čísla a oddelene zlomkovéčasti a nakoniec zrátajte výsledky:

Ako otvoríte zátvorky, pred ktorými je znak „+“? Ako môžete nájsť hodnotu výrazu, ktorý je opakom súčtu niekoľkých čísel? Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znak „-“?

1218. Otvorte zátvorky:

a) 3,4+ (2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+ (2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Nájdite význam výrazu:

1220. Otvorte zátvorky:

a) 85+ (7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 - 17) + 7,5; e) -a+ (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Otvorte zátvorky a nájdite význam výrazu:

1222. Zjednodušte výraz:

1223. Napíšte čiastka dva výrazy a zjednodušte to:

a) - 4 - ma m + 6,4; d) a+b a p - b
b) 1,1+a a -26-a; e) - m + n a -k - n;
c) a + 13 a -13 + b; e) m - n a n - m.

1224. Napíšte rozdiel dvoch výrazov a zjednodušte ho:

1226. Na vyriešenie úlohy použite rovnicu:

a) Na jednej poličke je 42 kníh a na druhej 34. Z druhej police bolo odstránených niekoľko kníh a z prvej police bolo odobraných toľko kníh, koľko zostalo na druhej. Potom ostalo na prvej poličke 12 kníh. Koľko kníh bolo odstránených z druhej police?

b) Na prvom stupni je 42 žiakov, na druhom o 3 žiakov menej ako na treťom. Koľko žiakov je v treťom ročníku, ak je v týchto troch ročníkoch 125 žiakov?

1227. Nájdite význam výrazu:

1228. Vypočítaj ústne:

1229. Nájdi najvyššia hodnota výrazy:

1230. Zadajte 4 po sebe idúce celé čísla, ak:

a) menší z nich je -12; c) menší z nich je n;
b) najväčší z nich je -18; d) väčší z nich sa rovná k.

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie