S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s návrhom riešenia vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných . Môžete tiež nájsť intervaly nárastu a poklesu funkcie.
Pravidlá zadávania funkcií:
Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej
Rovnica f" 0 (x *) = 0 je nevyhnutná podmienka extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Vyberá stacionárne body x c, v ktorých sa funkcia nezväčšuje ani neznižuje.Postačujúca podmienka pre extrém funkcie jednej premennej
Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D . Ak je v bode x * splnená podmienka:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Potom bod x * je bodom lokálneho (globálneho) minima funkcie.
Ak je v bode x * splnená podmienka:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Ten bod x * je lokálne (globálne) maximum.
Príklad #1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente .
Riešenie. 
Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f'(x)=0). Tento bod patrí do segmentu . (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pre x = 2; f max = 9 pri x = 1
Príklad č. 2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y''=2sin(x), vypočítame, takže x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; 
, takže x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.
Príklad č. 3. Preskúmajte extrémnu funkciu v okolí bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0, zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nie sú možné situácie vyčerpané ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií do extrému.
Štandardný algoritmus na riešenie takýchto úloh zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v nájdených bodoch maxima (alebo minima) a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.
Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? Napísali o tom.
Navrhujem vyriešiť takéto úlohy nasledovne:
1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do daného intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov bodu 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedáme na položenú otázku).
V priebehu riešenia prezentovaných príkladov nebolo riešenie detailne uvažované. kvadratické rovnice, mali by ste to zvládnuť. Mali by tiež vedieť.
Zvážte príklady:
77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].
Nájdite nuly derivácie:
Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.
Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch –2, –1 a 0:
Najväčšia hodnota funkcie je 6.
odpoveď: 6
77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmente.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie:
Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.
Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch 1, 2 a 4:
Najmenšia hodnota funkcie je -2.
odpoveď: -2
77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 6x 2 na segmente [-3; 3].
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie:
Bod x = 0 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.
Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:
Najmenšia hodnota funkcie je 0.
odpoveď: 0
77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmente.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Dostaneme korene: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Iba x = 1 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.
Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 1 a 4:
Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.
odpoveď: 3
77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmente [- 4; -1].
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Poďme ku koreňom:
Koreň х = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.
Nájdite hodnoty funkcií v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:
Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.
odpoveď: 3
77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmente.
Nájdite deriváciu danej funkcie:
Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Poďme ku koreňom:
Koreň x = 4 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.
Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch 0 a 4:
Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je -109.
Odpoveď: -109
Zvážte metódu na určenie najväčších a najmenšia hodnota funkcie bez derivácie. Tento prístup možno použiť, ak máte definíciu derivátu veľké problémy. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).
77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmente [-2; 2].
Nahrádzame body od -2 do 2: Zobraziť riešenie
77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmente [-2; 0].
To je všetko. Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander Krutitskikh.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente?
Pre to postupujeme podľa známeho algoritmu:
1 . Nájdeme funkcie ODZ.
2 . Hľadanie derivácie funkcie
3 . Prirovnajte deriváciu k nule
4 . Nájdeme intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko, a z nich určíme intervaly nárastu a poklesu funkcie:
Ak je na intervale I derivácia funkcie 0" title="f^(prvočíslo)(x)>0">, то функция !} sa v tomto intervale zvyšuje.
Ak je na intervale I derivácia funkcie , potom funkcia v tomto intervale klesá.
5 . nachádzame maximálne a minimálne body funkcie.
IN maximálny bod funkcie, derivácia zmení znamienko z "+" na "-".
IN minimálny bod funkciederivácia zmení znamienko z „-“ na „+“.
6 . Nájdeme hodnotu funkcie na koncoch segmentu,
- potom porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v maximálnych bodoch a vyberte najväčšiu z nich, ak potrebujete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie
- alebo porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v minimálnych bodoch a vyberte najmenšiu z nich, ak potrebujete nájsť najmenšiu hodnotu funkcie
Avšak v závislosti od toho, ako sa funkcia správa na intervale, môže byť tento algoritmus výrazne zredukovaný.
Zvážte funkciu 
. Graf tejto funkcie vyzerá takto:
Zoberme si niekoľko príkladov riešenia problémov z Open Task Bank pre
1. Úloha B15 (#26695)
Na reze.
1. Funkcia je definovaná pre všetky reálne hodnoty x
Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia a derivácia je kladná pre všetky hodnoty x. Preto funkcia rastie a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, teda pri x=0.
odpoveď: 5.
2 . Úloha B15 (č. 26702)
Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie 
na segmente.
1.Funkcia ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivácia je nula v , avšak v týchto bodoch nemení znamienko:
Preto title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} sa zvyšuje a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, pri .
Aby bolo jasné, prečo derivácia nemení znamienko, transformujeme výraz pre deriváciu takto:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
odpoveď: 5.
3. Úloha B15 (#26708)
Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie na intervale .
1. Funkcie ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Umiestnime korene tejto rovnice na trigonometrický kruh.
Interval obsahuje dve čísla: a
Umiestnime znamenia. Aby sme to dosiahli, určíme znamienko derivácie v bode x=0: 
. Pri prechode bodmi a deriváciou sa zmení znamienko.
Znázornime zmenu znamienok derivácie funkcie na súradnicovej čiare:
Je zrejmé, že bod je minimálny bod (kde derivácia mení znamienko z „-“ na „+“), a aby ste našli najmenšiu hodnotu funkcie na intervale, musíte porovnať hodnoty funkcie. v minimálnom bode a na ľavom konci segmentu, .
V tomto článku budem hovoriť o algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie, minimálny a maximálny počet bodov.
Z teórie budeme určite potrebovať derivačná tabuľka A pravidlá diferenciácie. Všetko je na tejto doske:
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.
Ľahšie sa mi to vysvetľuje konkrétny príklad. Zvážte:
Príklad: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x^5+20x^3–65x na segmente [–4;0].
Krok 1. Berieme derivát.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Krok 2 Hľadanie extrémnych bodov.
extrémny bod pomenúvame také body, v ktorých funkcia dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu.
Na nájdenie extrémnych bodov je potrebné prirovnať deriváciu funkcie k nule (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Teraz riešime túto bikvadratickú rovnicu a nájdené korene sú našimi extrémnymi bodmi.
Takéto rovnice riešim nahradením t = x^2, potom 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Znížte rovnicu o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Urobíme opačnú substitúciu x^2 = t:
X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylúčime, pod koreň nemôže byť záporné čísla(pokiaľ, samozrejme, nehovoríme o komplexných číslach)
Celkom: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to sú naše extrémne body.
Krok 3 Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.
Substitučná metóda.
V podmienke sme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 nie je zahrnutý v tomto segmente. Takže to nezvažujeme. Ale okrem bodu x=-1 musíme zvážiť aj ľavú a pravá hranica nášho segmentu, teda body -4 a 0. Na to dosadíme všetky tieto tri body do pôvodnej funkcie. Všimnite si, že pôvodný je ten, ktorý je uvedený v podmienke (y=x^5+20x^3–65x), niektorí začnú dosadzovať do derivácie...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To znamená, že maximálna hodnota funkcie je [b]44 a dosahuje sa v bodoch [b]-1, čo sa nazýva maximálny bod funkcie na segmente [-4; 0].
Rozhodli sme sa a dostali odpoveď, sme skvelí, môžete si oddýchnuť. Ale prestaň! Nezdá sa vám, že počítanie y(-4) je nejako príliš komplikované? V podmienkach obmedzeného času je lepšie použiť inú metódu, nazývam to takto:
Cez intervaly stálosti.
Tieto medzery sa nachádzajú pre deriváciu funkcie, teda pre našu bikvadratickú rovnicu.
Robím to nasledovným spôsobom. Nakreslím smerovú čiaru. Nastavil som body: -4, -1, 0, 1. Napriek tomu, že 1 v danom segmente nie je zahrnutá, treba si to ešte všimnúť, aby sa správne určili intervaly stálosti. Zoberme si nejaké číslo mnohonásobne väčšie ako 1, povedzme 100, mentálne ho dosaďte do našej bikvadratickej rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Aj bez toho, aby sme čokoľvek spočítali, je zrejmé, že v bode 100 funkcia má znamienko plus. To znamená, že pre intervaly od 1 do 100 má znamienko plus. Pri prechode cez 1 (ideme sprava doľava) funkcia zmení znamienko na mínus. Pri prechode cez bod 0 si funkcia zachová svoje znamienko, pretože toto je len hranica segmentu a nie koreň rovnice. Pri prechode cez -1 funkcia opäť zmení znamienko na plus.
Z teórie vieme, že kde je derivácia funkcie (a nakreslili sme to pre ňu) zmení znamienko z plus na mínus (v našom prípade bod -1) funkcia dosiahne jeho lokálne maximum (y(-1)=44, ako bolo vypočítané skôr) na tomto segmente (to je logicky veľmi jasné, funkcia prestala rásť, keďže dosiahla maximum a začala klesať).
V súlade s tým, kde derivácia funkcie zmení znamienko z mínus na plus, dosiahnuté lokálne minimum funkcie. Áno, áno, našli sme aj bod lokálneho minima, ktorý je 1 a y(1) je minimálna hodnota funkcie na intervale, povedzme od -1 do +∞. Upozorňujeme, že toto je len MIESTNE MINIMUM, teda minimum na určitom segmente. Keďže skutočná (globálna) funkcia minima dosiahne niekde tam, v -∞.
Podľa môjho názoru je prvá metóda jednoduchšia teoreticky a druhá je jednoduchšia z hľadiska aritmetických operácií, ale oveľa náročnejšia z hľadiska teórie. Koniec koncov, niekedy existujú prípady, keď funkcia nezmení znamienko pri prechode cez koreň rovnice a skutočne sa môžete zmiasť s týmito lokálnymi, globálnymi maximami a minimami, aj keď to budete musieť dobre zvládnuť, ak plánujete vstúpiť na technickú univerzitu (a prečo inak absolvovať profilovú skúšku a vyriešiť túto úlohu). Ale prax a len prax vás naučí, ako takéto problémy raz a navždy vyriešiť. A cvičiť môžete na našej stránke. Tu .
Ak máte nejaké otázky, alebo vám niečo nie je jasné, určite sa pýtajte. Rád vám odpoviem, urobím zmeny, doplnenia článku. Pamätajte, že túto stránku tvoríme spoločne!
Vo fyzike a matematike je často potrebné nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. Ako to urobiť, teraz to povieme.
Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie: inštrukcia
- Na výpočet najmenšej hodnoty nepretržitá funkcia na danom segmente musíte postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:
- Nájdite deriváciu funkcie.
- Nájdite na danom segmente body, v ktorých sa derivácia rovná nule, ako aj všetky kritické body. Potom zistite hodnoty funkcie v týchto bodoch, to znamená vyriešte rovnicu, kde x sa rovná nule. Zistite, ktorá z hodnôt je najmenšia.
- Zistite, akú hodnotu má funkcia na koncových bodoch. Určte najmenšiu hodnotu funkcie v týchto bodoch.
- Porovnajte prijaté údaje s najmenšou hodnotou. Menšie z prijatých čísel bude najmenšou hodnotou funkcie.
Všimnite si, že ak funkcia na segmente nemá najmenšie body, čo znamená, že na tomto segmente sa zvyšuje alebo znižuje. Preto by mala byť najmenšia hodnota vypočítaná na konečných segmentoch funkcie.
Vo všetkých ostatných prípadoch sa hodnota funkcie vypočíta podľa daného algoritmu. V každom kroku algoritmu budete musieť vyriešiť jednoduché lineárna rovnica s jedným koreňom. Vyriešte rovnicu pomocou výkresu, aby ste sa vyhli chybám.
Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na polootvorenom segmente? Pri polootvorenej alebo otvorenej perióde funkcie by mala byť najmenšia hodnota nájdená nasledovne. Na koncových bodoch funkčnej hodnoty vypočítajte jednostrannú hranicu funkcie. Inými slovami, vyriešte rovnicu, v ktorej sú smerné body dané hodnotou a+0 a b+0, kde a a b sú mená kritických bodov.
Teraz viete, ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. Hlavná vec je robiť všetky výpočty správne, presne a bez chýb.
