Drobná a pekná jednoduchá úloha z kategórie tých, ktoré slúžia ako životabudič pre plávajúceho študenta. V prírode je polovica júla, takže je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno začal hrať slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku črepiny skla. V tejto súvislosti vám odporúčam, aby ste svedomito zvážili niekoľko príkladov na tejto stránke. Na riešenie praktických problémov musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá v intervale, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

V druhom odseku sme hovorili o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definovaniu, ale ja sa budem držať riadku, ktorý som začal skôr:

Funkcia je v bode spojitá napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavostranná hranica rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú klince, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do svojich rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené– hore plot, dole plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na intervale je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a prísne dokázaný. Prvá Weierstrassova veta....Mnohým vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol na oblohu za hranicu viditeľnosti graf, tento bol vložený. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ozaj, ako vieš, čo nás čaká za horizontom? Veď Zem bola kedysi považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa Druhá Weierstrassova veta, súvislé v segmentefunkcia dosiahne svoje presná horná hranica a tvoj presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a sú označené , a číslo je minimálna hodnota funkcie na segmente označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú nahrávky bežné .

Zhruba povedané, najväčšia hodnota je tam, kde je najviac vysoký bod grafika a najmenší je tam, kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo zdôraznené v článku o extrémy funkcie, najväčšia funkčná hodnota A najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, Čo maximálna funkcia A minimálna funkcia. Takže v uvažovanom príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Áno, aj povodeň, v kontexte uvažovaného problému nás toto vôbec nezaujíma. Úloha zahŕňa iba nájdenie dvoch čísel a je to!

Navyše je riešenie čisto analytické nie je potrebné robiť výkres!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Zachyťte ďalší bonus: tu nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako sme práve ukázali, prítomnosť minima alebo maxima ešte nezaručuje, aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na segmente. Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda vyskytne.

V prvom kroku je teda rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či sú v nich extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Spomedzi funkčných hodnôt nájdených v 1. a 2. odseku vyberte najmenšiu a najväčšiu veľké číslo, zapíšte si odpoveď.

Sadneme si na breh modré more a udrieme do plytkej vody pätami:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funguje v intervale

Riešenie:
1) Vypočítajme hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponentmi a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítajme približné hodnoty, pričom nezabudnime, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente

Štandardný algoritmus na riešenie takýchto problémov zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v zistených maximálnych (alebo minimálnych) bodoch a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.

Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? O tomto som písal.

Navrhujem riešiť takéto problémy nasledovne:

1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do tohto intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov kroku 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedzte na položenú otázku).

Pri riešení uvedených príkladov nie je podrobne rozoberané riešenie kvadratických rovníc, to musíte zvládnuť. Mali by tiež vedieť.

Pozrime sa na príklady:

77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –2, –1 a 0:

Najväčšia hodnota funkcie je 6.

odpoveď: 6

77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 3x 2 + 2 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Vypočítame hodnoty funkcie v bodoch 1, 2 a 4:

Najmenšia hodnota funkcie je –2.

Odpoveď: -2

77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 6x 2 na úsečke [–3;3].

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Interval uvedený v podmienke obsahuje bod x = 0.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:

Najmenšia hodnota funkcie je 0.

odpoveď: 0

77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 2x 2 + x +3 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Dostaneme korene: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Interval uvedený v podmienke obsahuje iba x = 1.

Nájdite hodnoty funkcie v bodoch 1 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na úsečke [– 4; -1].

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdeme nuly derivácie, vyriešime kvadratická rovnica:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Poďme ku koreňom:

Interval špecifikovaný v podmienke obsahuje koreň x = –1.

Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:

Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – x 2 – 40x +3 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdime nuly derivácie a vyriešme kvadratickú rovnicu:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Poďme ku koreňom:

Interval uvedený v podmienke obsahuje koreň x = 4.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 0 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je –109.

Odpoveď: -109

Uvažujme o spôsobe, ako určiť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií bez derivácie. Tento prístup je možné použiť, ak máte veľké problémy. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).

77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=7+12x–x 3 na segmente [–2;2].

Náhradné body z –2 na 2: Zobraziť riešenie

77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na segmente [–2;0].

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Nechajte funkciu y =f(X) je spojitá na intervale [ a, b]. Ako je známe, takáto funkcia dosahuje v tomto segmente svoje maximálne a minimálne hodnoty. Funkcia môže nadobudnúť tieto hodnoty buď vo vnútornom bode segmentu [ a, b] alebo na hranici segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente [ a, b] potrebné:

1) nájsť kritických bodov funkcie v intervale ( a, b);

2) vypočítajte hodnoty funkcie v nájdených kritických bodoch;

3) vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu, to znamená, kedy X=A a x = b;

4) zo všetkých vypočítaných hodnôt funkcie vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

na segmente.

Nájdenie kritických bodov:

Tieto body ležia vo vnútri segmentu; r(1) = ‒ 3; r(2) = ‒ 4; r(0) = ‒ 8; r(3) = 1;

v bode X= 3 a v bode X= 0.

Štúdium funkcie pre konvexnosť a inflexný bod.

Funkcia r = f (X) volal konvexný medzi (a, b) , ak jeho graf leží pod dotyčnicou nakreslenou v ľubovoľnom bode tohto intervalu a je volaný konvexné nadol (konkávne), ak jeho graf leží nad dotyčnicou.

Bod, cez ktorý je konvexnosť nahradená konkávnosťou alebo naopak, sa nazýva inflexný bod.

Algoritmus na skúmanie konvexnosti a inflexného bodu:

1. Nájdite kritické body druhého druhu, teda body, v ktorých sa druhá derivácia rovná nule alebo neexistuje.

2. Nakreslite kritické body na číselnú os a rozdeľte ju do intervalov. Nájdite znamienko druhej derivácie na každom intervale; if , potom je funkcia konvexná smerom nahor, ak, potom je funkcia konvexná smerom nadol.

3. Ak sa pri prechode cez kritický bod druhého druhu zmení znamienko a v tomto bode sa druhá derivácia rovná nule, potom je tento bod úsečkou inflexného bodu. Nájdite jeho súradnicu.

Asymptoty grafu funkcie. Štúdium funkcie pre asymptoty.

Definícia. Asymptota grafu funkcie sa nazýva rovno, ktorý má tú vlastnosť, že vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu na grafe k tejto priamke má tendenciu k nule, keď sa bod na grafe pohybuje od začiatku neurčito.

Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne a šikmé.

Definícia. Priamka je tzv vertikálna asymptota funkčná grafika y = f(x), ak sa aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie v tomto bode rovná nekonečnu, tzn.

kde je bod nespojitosti funkcie, to znamená, že nepatrí do definičného oboru.

Príklad.

D ( r) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – bod zlomu.

Definícia. Rovno y =A volal horizontálna asymptota funkčná grafika y = f(x) v , ak

Príklad.

X
r

Definícia. Rovno y =kx +b (k≠ 0) sa nazýva šikmá asymptota funkčná grafika y = f(x) kde

Všeobecná schéma na štúdium funkcií a vytváranie grafov.

Algoritmus výskumu funkciíy = f(x) :

1. Nájdite doménu funkcie D (r).

2. Nájdite (ak je to možné) priesečníky grafu so súradnicovými osami (ak je to možné X= 0 a at r = 0).

3. Preskúmajte rovnomernosť a nepárnosť funkcie ( r (‒ X) = r (X) ‒ parita; r(‒ X) = ‒ r (X) ‒ zvláštny).

4. Nájdite asymptoty grafu funkcie.

5. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie.

6. Nájdite extrémy funkcie.

7. Nájdite intervaly konvexnosti (konkávnosti) a inflexné body grafu funkcie.

8. Na základe vykonaného výskumu zostrojte graf funkcie.

Príklad. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.

1) D (r) =

X= 4 – bod zlomu.

2) Kedy X = 0,

(0; ‒ 5) – priesečník s oh.

O r = 0,

3) r(‒ X)= funkciu všeobecný pohľad(ani párne, ani nepárne).

4) Vyšetrujeme asymptoty.

a) vertikálne

b) horizontálne

c) nájdite šikmé asymptoty kde

‒šikmá asymptotná rovnica

5) V tejto rovnici nie je potrebné hľadať intervaly monotónnosti funkcie.

6)

Tieto kritické body rozdeľujú celý definičný obor funkcie na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; +∞). Je vhodné prezentovať získané výsledky vo forme nasledujúcej tabuľky.

A na jeho vyriešenie budete potrebovať minimálne znalosti danej témy. Končí sa ďalší školský rok, každý chce ísť na prázdniny a aby som tento moment priblížil, hneď prejdem k veci:

Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v podmienke je obmedzené ZATVORENÉ množina bodov na rovine. Napríklad množina bodov ohraničená trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak od hranice„vypichnúť“ aspoň jeden bod, potom už región nebude uzavretý). V praxi sa vyskytujú aj plochy pravouhlých, okrúhlych a trochu zložitejších tvarov. Treba poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď., ale myslím si, že každý pozná tieto pojmy na intuitívnej úrovni a teraz už nič viac netreba.

Plochá oblasť sa štandardne označuje písmenom a spravidla je špecifikovaná analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typické sloveso: „uzavretá oblasť, ohraničené čiarami ».

Neoddeliteľnou súčasťou uvažovanej úlohy je konštrukcia plochy na výkrese. Ako to spraviť? Musíte nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Hľadaná oblasť je zvyčajne jemne zatienená a jej okraj je označený hrubou čiarou:


Rovnakú oblasť je možné nastaviť lineárne nerovnosti: , ktoré sa z nejakého dôvodu často píšu skôr ako vymenovaný zoznam systému.
Keďže hranica patrí regiónu, potom všetky nerovnosti, samozrejme, laxný.

A teraz podstata úlohy. Predstavte si, že os vychádza z počiatku priamo k vám. Zvážte funkciu, ktorá nepretržitý v každom plošný bod. Graf tejto funkcie predstavuje niektoré povrch a malým šťastím je, že na vyriešenie dnešného problému nepotrebujeme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený vyššie, nižšie, pretínať rovinu - na tom všetkom nezáleží. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, nepretržitý V obmedzené zatvorené oblasti funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu (najvyšší") a najmenej (najnižšie") hodnoty, ktoré treba nájsť. Takéto hodnoty sa dosahujú alebo V stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tejto oblasti. To vedie k jednoduchému a transparentnému algoritmu riešenia:

Príklad 1

V obmedzenom uzavretá oblasť

Riešenie: Najprv musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné vytvoriť interaktívny model problému, a preto hneď uvediem finálnu ilustráciu, na ktorej sú všetky „podozrivé“ body zistené počas výskumu. Zvyčajne sú uvedené jeden po druhom, keď sa objavia:

Na základe preambuly možno rozhodnutie pohodlne rozdeliť do dvoch bodov:

I) Nájdite stacionárne body. Ide o štandardnú akciu, ktorú sme na hodine vykonávali opakovane. o extrémoch viacerých premenných:

Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že by sme mali vypočítať hodnotu funkcie v danom bode:

- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, dôležité výsledky zvýrazním tučným písmom. Je vhodné ich obkresľovať do zošita ceruzkou.

Venujte pozornosť nášmu druhému šťastiu - nemá zmysel kontrolovať postačujúca podmienka pre extrém. prečo? Aj keď v určitom bode funkcia dosiahne napr. miestne minimum, potom to NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálne v celom regióne (pozri začiatok lekcie o bezpodmienečných extrémoch) .

Čo robiť, ak stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Treba si to uvedomiť a prejsť k ďalšiemu bodu.

II) Preskúmame hranicu regiónu.

Keďže hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné rozdeliť štúdiu na 3 podsekcie. Ale je lepšie to vôbec nerobiť. Z môjho pohľadu je v prvom rade výhodnejšie uvažovať o segmentoch rovnobežných so súradnicovými osami a v prvom rade o tých, ktoré ležia na osiach samotných. Aby ste pochopili celú postupnosť a logiku akcií, skúste si preštudovať koniec „jedným dychom“:

1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Ak to chcete urobiť, nahraďte priamo do funkcie:

Prípadne to môžete urobiť takto:

Geometricky to znamená, že súradnicová rovina (čo je dané aj rovnicou)"vyrezáva" z povrchy„priestorová“ parabola, ktorej vrchol okamžite prichádza do podozrenia. Poďme zistiť kde sa nachádza:

– výsledná hodnota „spadla“ do oblasti a dobre sa môže ukázať, že v bode (vyznačené na výkrese) funkcia dosahuje najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu v celom regióne. Tak či onak, urobme výpočty:

Ďalšími „kandidátmi“ sú, samozrejme, konce segmentu. Vypočítajme hodnoty funkcie v bodoch (vyznačené na výkrese):

Tu, mimochodom, môžete vykonať ústnu mini-kontrolu pomocou „odstránenej“ verzie:

2) Na výskum pravá strana dosadíme trojuholník do funkcie a „dáme veci do poriadku“:

Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu a „prezvoníme“ už spracovaný koniec segmentu:
, Skvelé.

Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:

– výsledná hodnota sa tiež „dostala do sféry našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa rovná funkcia v objavenom bode:

Pozrime sa na druhý koniec segmentu:

Pomocou funkcie , vykonajte kontrolnú kontrolu:

3) Asi každý tuší, ako preskúmať zvyšnú stranu. Nahradíme ho do funkcie a vykonáme zjednodušenia:

Konce segmentu už boli preskúmané, ale v koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne :
– zhoduje sa s výsledkom podľa prvého pododseku;
– sa zhoduje s výsledkom podľa druhého pododseku.

Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:

- Existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme ordinátu tejto „zaujímavosti“:

Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:

Skontrolujeme výpočty pomocou „rozpočtovej“ verzie :
, objednať.

A posledný krok: POZORNE si prezeráme všetky „tučné“ čísla, odporúčam, aby si aj začiatočníci vytvorili jeden zoznam:

z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď Zapíšme sa v štýle problému nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente:

Pre každý prípad sa ešte vyjadrím geometrický význam výsledok:
– tu je najvyšší bod povrchu v regióne;
– tu je najnižší bod povrchu v oblasti.

V analyzovanej úlohe sme identifikovali 7 „podozrivých“ bodov, no ich počet sa líši od úlohy k úlohe. Pre trojuholníkovú oblasť pozostáva minimálny "výskumný súbor" z tri body. Stáva sa to vtedy, keď funkcia špecifikuje napr lietadlo- je úplne jasné, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť svoje maximálne / najmenšie hodnoty iba vo vrcholoch trojuholníka. Ale existuje len jeden alebo dva podobné príklady - zvyčajne sa s niektorými musíte vyrovnať povrch 2. rádu.

Ak sa pokúsite takéto úlohy trochu vyriešiť, z trojuholníkov sa vám môže zakrútiť hlava, a preto som pre vás pripravil nezvyčajné príklady aby to bolo hranaté :))

Príklad 2

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v uzavretom priestore ohraničenom čiarami

Príklad 3

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v obmedzenej uzavretej oblasti.

Osobitná pozornosť Venujte pozornosť racionálnemu poradiu a technike štúdia hranice regiónu, ako aj reťazcu priebežných kontrol, ktoré takmer úplne zabránia výpočtovým chybám. Všeobecne povedané, môžete to vyriešiť akokoľvek chcete, ale v niektorých problémoch, napríklad v príklade 2, existuje veľká šanca, že vám život skomplikujú. Približná vzorka dokončovanie úloh na konci hodiny.

Systematizujme algoritmus riešenia, inak sa s mojou usilovnosťou ako pavúka akosi stratil v dlhej vlákne komentárov prvého príkladu:

– V prvom kroku vybudujeme plochu, je vhodné ju zatieniť a okraj zvýrazniť hrubou čiarou. Počas riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné označiť na výkrese.

- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých z nich ktoré patria do regiónu. Výsledné hodnoty zvýrazníme v texte (napríklad ich zakrúžkujeme ceruzkou). Ak stacionárny bod NEPATRÍ do regiónu, potom túto skutočnosť označíme ikonou alebo slovne. Ak neexistujú žiadne stacionárne body, vyvodíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade tento bod nemožno preskočiť!

– Skúmame hranicu regiónu. Po prvé, je užitočné pochopiť priame čiary, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami (ak vôbec nejaké sú). Zvýrazňujeme aj funkčné hodnoty vypočítané v „podozrivých“ bodoch. O technike riešenia už bolo povedané veľa a niečo iné bude povedané nižšie - čítajte, znova čítajte, ponorte sa do toho!

– Z vybraných čísel vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu a odpovedzte. Niekedy sa stane, že funkcia dosiahne takéto hodnoty v niekoľkých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali prejaviť v odpovedi. Nech napr. a ukázalo sa, že je to najmenšia hodnota. Potom si to zapíšeme

Posledné príklady pokrývajú ďalšie užitočné nápady, ktoré sa budú hodiť v praxi:

Príklad 4

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti .

Pripomínam, že s nelineárne narazili sme na nerovnosti a ak nerozumiete geometrickému významu zápisu, tak prosím neodkladajte a vyjasnite si situáciu hneď teraz ;-)

Riešenie, ako vždy, začína vytvorením oblasti, ktorá predstavuje akúsi „podrážku“:

Hmm, občas treba žuť nielen žulu vedy...

I) Nájdite stacionárne body:

Systém je sen idiota :)

Do regiónu patrí stacionárny bod, konkrétne leží na jeho hranici.

A tak je to v poriadku... lekcia dopadla dobre - to je to, čo znamená piť správny čaj =)

II) Preskúmame hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime s osou x:

1) Ak , tak

Poďme zistiť, kde je vrchol paraboly:
– vážte si takéto chvíle – „trafili“ ste sa presne do bodu, z ktorého je už všetko jasné. Ale stále nezabúdame na kontrolu:

Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

2) Poďme sa zaoberať spodnou časťou „podrážky“ „na jedno posedenie“ - bez komplexov ju dosadíme do funkcie a bude nás zaujímať iba segment:

ovládanie:

To už prináša isté vzrušenie do monotónnej jazdy po ryhovanej trati. Poďme nájsť kritické body:

Rozhodnime sa kvadratická rovnica, pamätáš si na to ešte niečo? ...Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak v dvoch predchádzajúcich príkladoch výpočty v desatinné miesta(čo je mimochodom zriedkavé), potom nás tu čakajú tie bežné bežné zlomky. Nájdeme korene „X“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice „kandidátskych“ bodov:


Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch:

Skontrolujte funkciu sami.

Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si ich odpoveď:

Toto sú „kandidáti“, toto sú „kandidáti“!

Aby ste to vyriešili sami:

Príklad 5

Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v uzavretom priestore

Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „súbor bodov, ktoré“.

Niekedy v takýchto príkladoch používajú Lagrangeova multiplikačná metóda, ale je nepravdepodobné, že bude skutočne potrebné ho použiť. Ak je teda napríklad daná funkcia s rovnakou oblasťou „de“, potom po dosadení do nej – s deriváciou bez ťažkostí; Okrem toho je všetko nakreslené v „jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné posudzovať horné a dolné polkruhy oddelene. Ale, samozrejme, existujú aj zložitejšie prípady, kedy bez funkcie Lagrange (kde je napríklad rovnaká rovnica kruhu) Je ťažké sa zaobísť – rovnako ako je ťažké zaobísť sa bez dobrého odpočinku!

Majte sa všetci dobre a vidíme sa čoskoro v ďalšej sezóne!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: Znázornime oblasť na výkrese:

Vyhlásenie problému 2:

Daná funkcia, ktorá je definovaná a spojitá na určitom intervale. Musíte nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na tomto intervale.

Teoretický základ.
Veta (druhá Weierstrassova veta):

Ak je funkcia definovaná a spojitá v uzavretom intervale, potom v tomto intervale dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty.

Funkcia môže dosiahnuť svoje najväčšie a najmenšie hodnoty buď vo vnútorných bodoch intervalu, alebo na jeho hraniciach. Poďme si ukázať všetky možné možnosti.

Vysvetlenie:
1) Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode pravá hranica medzera v bode .
2) Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode.
3) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
4) Funkcia je na intervale konštantná, t.j. dosiahne svoje minimálne a maximálne hodnoty v ktoromkoľvek bode intervalu a minimálne a maximálne hodnoty sa navzájom rovnajú.
5) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode a minimálnu hodnotu v bode (napriek tomu, že funkcia má na tomto intervale maximum aj minimum).
6) Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
komentár:

„Maximálna“ a „maximálna hodnota“ sú rôzne veci. Vyplýva to z definície maxima a intuitívneho chápania slovného spojenia „maximálna hodnota“.

Algoritmus riešenia problému 2.



4) Zo získaných hodnôt vyberte najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.

Príklad 4:

Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.
Riešenie:
1) Nájdite deriváciu funkcie.

2) Nájdite stacionárne body (a body podozrivé z extrému) riešením rovnice. Venujte pozornosť bodom, v ktorých neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia.

3) Vypočítajte hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch a na hraniciach intervalu.

4) Zo získaných hodnôt vyberte najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.

Funkcia na tomto segmente dosiahne najväčšiu hodnotu v bode so súradnicami.

Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju minimálnu hodnotu v bode so súradnicami.

Správnosť výpočtov si môžete overiť pohľadom na graf skúmanej funkcie.


komentár: Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu v maximálnom bode a minimum na hranici segmentu.

Špeciálny prípad.

Predpokladajme, že potrebujete nájsť maximálne a minimálne hodnoty nejakej funkcie v segmente. Po dokončení prvého bodu algoritmu, t.j. pri výpočte derivácie je zrejmé, že napríklad v celom posudzovanom intervale naberá iba záporné hodnoty. Pamätajte, že ak je derivácia záporná, funkcia klesá. Zistili sme, že funkcia klesá v celom segmente. Túto situáciu ukazuje graf č. 1 na začiatku článku.

Na segmente klesá funkcia, t.j. nemá žiadne extrémne body. Z obrázku môžete vidieť, že funkcia bude mať najmenšiu hodnotu na pravej hranici segmentu a najväčšiu hodnotu na ľavej strane. ak je derivácia na segmente všade kladná, funkcia sa zvyšuje. Najmenšia hodnota je na ľavom okraji segmentu, najväčšia je na pravej strane.

---