drobná a pekná jednoduchá úloha z kategórie tých, ktoré slúžia ako záchranné lano pre plávajúceho študenta. V prírode, ospalá ríša polovice júla, a tak je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno zahral slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku úlomky skla. V tejto súvislosti odporúčam svedomito zvážiť niekoľko príkladov tejto stránky. Na riešenie praktických úloh musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá na segmente, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

Druhý odsek pojednáva o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definícii, ale ja sa budem držať skôr začatej línie:

Funkcia je spojitá v bode napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavá hranica sa rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú nechty, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do svojich rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené- hore živý plot, dole živý plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na segmente je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a dôsledne dokázaný Prvá Weierstrassova veta.... Mnohým ľuďom vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol graf na oblohu za hranice viditeľnosti, toto bolo vložené. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ako viete, čo nás čaká za horizontom? Veď kedysi bola Zem považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa druhá Weierstrassova veta, kontinuálne na segmentefunkcia dosiahne svoje presný horný okraj a jeho presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a označené a číslom - minimálna hodnota funkcie na segmente označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú záznamy bežné .

Zhruba povedané, najvyššia hodnota sa nachádza tam, kde vysoký bod grafika, a najmenší - kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo uvedené v článku o extrémy funkcie, najväčšia hodnota funkcie A najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, Čo maximálna funkcia A funkčné minimum. Takže v tomto príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Áno, aj potopa, v kontexte zvažovaného problému nás toto vôbec nezaujíma. Úloha zahŕňa iba nájdenie dvoch čísel a je to!

Navyše, riešenie je čisto analytické, preto netreba kresliť!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcií v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Chyťte ešte jednu dobrotu: nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako sme práve ukázali, prítomnosť minima alebo maxima ešte nie je zaručené aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na intervale . Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda odohrá.

Takže v prvom kroku je rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či majú extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Spomedzi hodnôt funkcie nájdených v 1. a 2. odseku vyberieme najmenšiu a najviac veľké číslo, zapíšte si odpoveď.

Sadneme si na breh modré more a naraziť na päty v plytkej vode:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funkcie na segmente

Riešenie:
1) Vypočítajte hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponenciálami a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojíme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítame približné hodnoty, pričom nezabudneme, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente

Nech je funkcia $z=f(x,y)$ definovaná a spojitá v nejakom ohraničenom uzavretá oblasť$D$. Nech má daná funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie prvého rádu (možno s výnimkou konečného počtu bodov). Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie dvoch premenných v danej uzavretej oblasti sú potrebné tri kroky jednoduchého algoritmu.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie $z=f(x,y)$ v uzavretej doméne $D$.

1. Nájdite kritické body funkcie $z=f(x,y)$, ktoré patria do oblasti $D$. Vypočítajte funkčné hodnoty v kritických bodoch.
2. Preskúmajte správanie funkcie $z=f(x,y)$ na hranici oblasti $D$ nájdením bodov možných maximálnych a minimálnych hodnôt. Vypočítajte funkčné hodnoty v získaných bodoch.
3. Z funkčných hodnôt získaných v predchádzajúcich dvoch odsekoch vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Čo sú kritické body? ukázať skryť

Pod kritických bodov implikujú body, kde sa obe parciálne derivácie prvého rádu rovnajú nule (t. j. $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0$ a $\frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0 $) alebo aspoň jedna parciálna derivácia neexistuje.

Často sa nazývajú body, v ktorých sú parciálne derivácie prvého rádu rovné nule stacionárne body. Stacionárne body sú teda podmnožinou kritických bodov.

Príklad č. 1

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v uzavretej oblasti, ohraničené čiarami$x=3$, $y=0$ a $y=x+1$.

Budeme postupovať podľa vyššie uvedeného, ​​ale najskôr sa budeme zaoberať kresbou danej oblasti, ktorú označíme písmenom $D$. Je nám dané rovnice troch priamky, ktoré túto oblasť obmedzujú. Priamka $x=3$ prechádza bodom $(3;0)$ rovnobežne s osou y (os Oy). Priamka $y=0$ je rovnica osi x (os Ox). Aby sme zostrojili priamku $y=x+1$, nájdime dva body, cez ktoré túto priamku nakreslíme. Namiesto $ x $ môžete, samozrejme, nahradiť niekoľko ľubovoľných hodnôt. Napríklad dosadením $x=10$ dostaneme: $y=x+1=10+1=11$. Našli sme bod $(10;11)$ ležiaci na priamke $y=x+1$. Je však lepšie nájsť tie body, kde sa priamka $y=x+1$ pretína s priamkami $x=3$ a $y=0$. Prečo je to lepšie? Pretože jedným kameňom položíme pár vtákov: za zostrojenie priamky $y=x+1$ dostaneme dva body a zároveň zistíme, v ktorých bodoch táto priamka pretína ďalšie priamky, ktoré dané oblasť. Priamka $y=x+1$ pretína priamku $x=3$ v bode $(3;4)$ a priamka $y=0$ - v bode $(-1;0)$. Aby som priebeh riešenia nezahlcoval pomocnými vysvetlivkami, otázku získania týchto dvoch bodov uvediem do poznámky.

Ako boli získané body $(3;4)$ a $(-1;0)$? ukázať skryť

Začnime od priesečníka priamok $y=x+1$ a $x=3$. Súradnice požadovaného bodu patria do prvého aj druhého riadku, takže ak chcete nájsť neznáme súradnice, musíte vyriešiť systém rovníc:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & x=3. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$

Riešenie takéhoto systému je triviálne: dosadením $x=3$ do prvej rovnice dostaneme: $y=3+1=4$. Bod $(3;4)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $x=3$.

Teraz nájdime priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$. Opäť skladáme a riešime sústavu rovníc:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & y=x+1;\\ & y=0. \koniec(zarovnané) \vpravo. $$

Dosadením $y=0$ do prvej rovnice dostaneme: $0=x+1$, $x=-1$. Bod $(-1;0)$ je požadovaný priesečník priamok $y=x+1$ a $y=0$ (os x).

Všetko je pripravené na vytvorenie výkresu, ktorý bude vyzerať takto:

Otázka poznámky sa zdá byť zrejmá, pretože z obrázku je vidieť všetko. Je však potrebné pripomenúť, že kresba nemôže slúžiť ako dôkaz. Obrázok je len ilustráciou pre názornosť.

Naša oblasť bola stanovená pomocou rovníc priamok, ktoré ju obmedzujú. Je zrejmé, že tieto čiary definujú trojuholník, však? Alebo nie celkom zrejmé? Alebo možno máme inú oblasť ohraničenú rovnakými čiarami:

Samozrejme, podmienka hovorí, že oblasť je uzavretá, takže zobrazený obrázok je nesprávny. Aby sa však predišlo takýmto nejasnostiam, je lepšie definovať regióny podľa nerovností. Zaujíma nás časť roviny nachádzajúca sa pod čiarou $y=x+1$? Ok, takže $y ≤ x+1$. Naša oblasť by sa mala nachádzať nad čiarou $y=0$? Skvelé, takže $y ≥ 0 $. Mimochodom, posledné dve nerovnosti sa dajú ľahko spojiť do jednej: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Tieto nerovnosti definujú doménu $D$ a definujú ju jednoznačne, bez akýchkoľvek nejasností. Ako nám to však pomôže v otázke na začiatku poznámky pod čiarou? Aj to pomôže :) Musíme skontrolovať, či bod $M_1(1;1)$ patrí do oblasti $D$. Dosaďte $x=1$ a $y=1$ do systému nerovností, ktoré definujú túto oblasť. Ak sú obe nerovnosti splnené, potom bod leží vo vnútri regiónu. Ak nie je splnená aspoň jedna z nerovností, bod kraju nepatrí. Takže:

$$ \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right. \;\; \left \( \begin(zarovnané) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(zarovnané) \right.$$

Obe nerovnosti sú pravdivé. Bod $M_1(1;1)$ patrí do oblasti $D$.

Teraz je na rade skúmať správanie sa funkcie na hranici definičného oboru, t.j. ísť do. Začnime s priamkou $y=0$.

Priama čiara $y=0$ (os x) obmedzuje oblasť $D$ za podmienky $-1 ≤ x ≤ 3$. Dosaďte $y=0$ do danej funkcie $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Výsledná substitučná funkcia jednej premennej $x$ bude označená ako $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Teraz pre funkciu $f_1(x)$ potrebujeme nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $-1 ≤ x ≤ 3$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Hodnota $x=2$ patrí segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, preto do zoznamu bodov pridáme aj $M_2(2;0)$. Okrem toho vypočítame hodnoty funkcie $z$ na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. v bodoch $M_3(-1;0)$ a $M_4(3;0)$. Mimochodom, ak by bod $M_2$ nepatril do uvažovaného segmentu, potom by v ňom samozrejme nebolo potrebné počítať hodnotu funkcie $z$.

Vypočítajme teda hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_2$, $M_3$, $M_4$. Súradnice týchto bodov môžete samozrejme dosadiť do pôvodného výrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Napríklad pre bod $M_2$ dostaneme:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4,$$

Výpočty sa však dajú trochu zjednodušiť. Aby sme to urobili, je potrebné pripomenúť, že na segmente $M_3M_4$ máme $z(x,y)=f_1(x)$. Rozpíšem to podrobne:

\začiatok(zarovnané) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (zarovnané)

Samozrejme, zvyčajne nie sú potrebné takéto podrobné záznamy a v budúcnosti začneme všetky výpočty zapisovať kratšie:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3,$$

Teraz sa obráťme na priamku $x=3$. Táto čiara ohraničuje doménu $D$ pod podmienkou $0 ≤ y ≤ 4$. Do danej funkcie $z$ dosaďte $x=3$. V dôsledku takejto substitúcie dostaneme funkciu $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pre funkciu $f_2(y)$ musíte nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu na intervale $0 ≤ y ≤ 4$. Nájdite deriváciu tejto funkcie a prirovnajte ju k nule:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Hodnota $y=3$ patrí segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, takže k bodom zisteným skôr pripočítame $M_5(3;3)$. Okrem toho je potrebné vypočítať hodnotu funkcie $z$ v bodoch na koncoch segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, t.j. v bodoch $M_4(3;0)$ a $M_6(3;4)$. V bode $M_4(3;0)$ sme už vypočítali hodnotu $z$. Vypočítajme hodnotu funkcie $z$ v bodoch $M_5$ a $M_6$. Dovoľte mi pripomenúť, že na segmente $M_4M_6$ máme $z(x,y)=f_2(y)$, teda:

\začiatok(zarovnané) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (zarovnané)

A nakoniec zvážte poslednú hranicu $D$, t.j. riadok $y=x+1$. Táto čiara ohraničuje oblasť $D$ pod podmienkou $-1 ≤ x ≤ 3$. Nahradením $y=x+1$ do funkcie $z$ dostaneme:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Opäť tu máme funkciu jednej premennej $x$. A opäť musíte nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty tejto funkcie na segmente $-1 ≤ x ≤ 3 $. Nájdite deriváciu funkcie $f_(3)(x)$ a prirovnajte ju k nule:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Hodnota $x=1$ patrí do intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ak $x=1$, potom $y=x+1=2$. Pridajme $M_7(1;2)$ do zoznamu bodov a zistíme, aká je v tomto bode hodnota funkcie $z$. Body na koncoch segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, t.j. body $M_3(-1;0)$ a $M_6(3;4)$ sme uvažovali skôr, už sme v nich našli hodnotu funkcie.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3,$$

Druhý krok riešenia je dokončený. Máme sedem hodnôt:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3,$$

Obráťme sa na. Výberom najväčších a najmenších hodnôt z čísel získaných v treťom odseku budeme mať:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6,$$

Problém je vyriešený, zostáva len zapísať odpoveď.

Odpoveď: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Príklad č. 2

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie $z=x^2+y^2-12x+16y$ v oblasti $x^2+y^2 ≤ 25 $.

Najprv zostavíme výkres. Rovnica $x^2+y^2=25$ (toto je hraničná čiara danej oblasti) definuje kružnicu so stredom v počiatku (t.j. v bode $(0;0)$) a polomerom 5. Nerovnosť $x^2 +y^2 ≤ 25$ spĺňa všetky body vo vnútri a na uvedenom kruhu.

Budeme konať. Poďme nájsť parciálne derivácie a zistiť kritické body.

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=2x-12; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=2y+16. $$

Neexistujú žiadne body, v ktorých by neexistovali nájdené parciálne derivácie. Zistime, v ktorých bodoch sú obe parciálne derivácie súčasne rovné nule, t.j. nájsť stacionárne body.

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(zarovnané) \vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x =6;\\ & y=-8.\end(zarovnané) \vpravo.$$

Dostali sme stacionárny bod $(6;-8)$. Nájdený bod však nepatrí do oblasti $D$. To je ľahké ukázať bez toho, aby ste sa uchýlili k kresleniu. Skontrolujeme, či platí nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$, ktorá definuje našu doménu $D$. Ak $x=6$, $y=-8$, potom $x^2+y^2=36+64=100$, t.j. nerovnosť $x^2+y^2 ≤ 25$ nie je splnená. Záver: bod $(6;-8)$ nepatrí do oblasti $D$.

Vo vnútri $D$ teda nie sú žiadne kritické body. Poďme ďalej, do. Potrebujeme vyšetriť správanie sa funkcie na hranici danej oblasti, t.j. na kruhu $x^2+y^2=25$. Môžete, samozrejme, vyjadriť $y$ ako $x$ a výsledný výraz potom dosadiť do našej funkcie $z$. Z kruhovej rovnice dostaneme: $y=\sqrt(25-x^2)$ alebo $y=-\sqrt(25-x^2)$. Nahradením napríklad $y=\sqrt(25-x^2)$ do danej funkcie dostaneme:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Ďalšie riešenie bude úplne totožné so štúdiom správania sa funkcie na hranici regiónu v predchádzajúcom príklade č.1. Zdá sa mi však rozumnejšie v tejto situácii použiť Lagrangeovu metódu. Zaujíma nás iba prvá časť tejto metódy. Po aplikovaní prvej časti Lagrangeovej metódy získame body, pri ktorých preskúmame funkciu $z$ na minimálne a maximálne hodnoty.

Zostavíme Lagrangeovu funkciu:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Nájdeme parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie a zostavíme zodpovedajúci systém rovníc:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok (zarovnané) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(zarovnané) \ vpravo. \;\; \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( zarovnané)\vpravo.$$

Na vyriešenie tohto systému okamžite označme $\lambda\neq -1$. Prečo $\lambda\neq -1$? Skúsme nahradiť $\lambda=-1$ do prvej rovnice:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0 = 6. $$

Výsledný rozpor $0=6$ hovorí, že hodnota $\lambda=-1$ je neplatná. Výstup: $\lambda\neq -1$. Vyjadrime $x$ a $y$ v podmienkach $\lambda$:

\begin(zarovnané) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (zarovnané)

Verím, že tu je zrejmé, prečo sme konkrétne stanovili podmienku $\lambda\neq -1$. Toto bolo urobené, aby sa výraz $1+\lambda$ zmestil do menovateľov bez rušenia. To znamená, aby ste si boli istí, že menovateľ je $1+\lambda\neq 0$.

Získané výrazy pre $x$ a $y$ dosadíme do tretej rovnice sústavy, t.j. v $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Z výslednej rovnosti vyplýva, že $1+\lambda=2$ alebo $1+\lambda=-2$. Preto máme dve hodnoty parametra $\lambda$, a to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V súlade s tým dostaneme dva páry hodnôt $ x $ a $ y $:

\begin(zarovnané) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (zarovnané)

Získali sme teda dva body možného podmieneného extrému, t.j. $M_1(3;-4)$ a $M_2(-3;4)$. Nájdite hodnoty funkcie $z$ v bodoch $M_1$ a $M_2$:

\začiatok(zarovnané) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (zarovnané)

Mali by sme vybrať najväčšie a najmenšie hodnoty z tých, ktoré sme získali v prvom a druhom kroku. Ale v tomto prípade je výber malý :) Máme:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odpoveď: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života treba riešiť problém s optimalizáciou niektorých parametrov. A to je problém nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Treba si uvedomiť, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X , ktorý je buď celým definičným oborom funkcie alebo časťou definičného oboru. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval , nekonečný interval .

V tomto článku budeme hovoriť o tom, ako explicitne nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty. danú funkciu jedna premenná y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Zastavme sa krátko pri hlavných definíciách.

Najväčšia hodnota funkcie , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota , ktorý pre hociktorý nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) hodnota prijatá na uvažovanom intervale s osou x.

Stacionárne body sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, kde prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a je definovaná samotná funkcia.

Hneď si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvádzame grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky - a veľa bude jasné.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňte segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou zodpovedajúcou pravá hranica interval.

Na obrázku č. 3 sú hraničné body úsečky [-3; 2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Vo voľnom výbehu

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch v rámci otvoreného intervalu (-6;6).

O intervale nemožno vyvodiť žiadne závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade znázornenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y ) v stacionárnom bode s x=1 os a najmenšiu hodnotu (min y ) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

Na intervale funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keďže x=2 smeruje doprava, funkčné hodnoty majú sklon k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota), a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, hodnoty funkcie sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (spravidla sa takéto body vyskytujú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocenské funkcie so zlomkovým racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určujeme všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší krok.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde prvá derivácia neexistuje (ak existuje), a tiež v x=a a x=b .
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované maximálne a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na intervale [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem nuly, teda . Oba segmenty spadajú do oblasti definície.

Nájdeme deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1] .

Stacionárne body sa určia z rovnice . Jediný skutočný koreň je x=2 . Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote – pri x=2.

V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

Pozrime sa, ako preskúmať funkciu pomocou grafu. Ukazuje sa, že pri pohľade na graf môžete zistiť všetko, čo nás zaujíma, a to:

• rozsah funkcie
• funkčný rozsah
• funkčné nuly
• obdobia nárastu a poklesu
• vysoké a nízke body
• najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale.

Ujasnime si terminológiu:

Abscisa je horizontálna súradnica bodu.
Ordinovať- vertikálna súradnica.
úsečka- vodorovná os, najčastejšie nazývaná os.
Os Y- vertikálna os, alebo os.

Argumentovať je nezávislá premenná, od ktorej závisia hodnoty funkcie. Najčastejšie indikované.
Inými slovami, sami si vyberieme , dosadíme vo funkčnom vzorci a dostaneme .

doména funkcie - množina tých (a iba tých) hodnôt argumentu, pre ktoré funkcia existuje.
Označené: alebo .

Na našom obrázku je doménou funkcie segment. Práve na tomto segmente je nakreslený graf funkcie. Táto funkcia existuje iba tu.

Rozsah funkcií je množina hodnôt, ktoré premenná nadobúda. Na našom obrázku ide o segment – ​​od najnižšej po najvyššiu hodnotu.

Funkčné nuly- body, kde sa hodnota funkcie rovná nule, t.j. Na našom obrázku sú to body a .

Funkčné hodnoty sú kladné kde . Na našom obrázku sú to intervaly a .
Funkčné hodnoty sú záporné kde . Tento interval (alebo interval) máme od do.

Najdôležitejšie pojmy - zvyšovanie a znižovanie funkcií na nejakej zostave. Ako množinu môžete vziať segment, interval, spojenie intervalov alebo celú číselnú os.

Funkcia zvyšuje

Inými slovami, čím viac, tým viac, to znamená, že graf ide doprava a nahor.

Funkcia klesá na množine ak pre nejaké a patriace do množiny nerovnosť implikuje nerovnosť .

Pre klesajúcu funkciu väčšiu hodnotu zodpovedá nižšej hodnote. Graf ide doprava a dole.

Na našom obrázku funkcia rastie na intervale a klesá na intervaloch a .

Definujme, čo je maximálne a minimálne body funkcie.

Maximálny bod- toto je vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je väčšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
Inými slovami, maximálny bod je taký bod, hodnota funkcie, pri ktorej viac ako v susedných. Toto je miestny "kopec" na grafe.

Na našom obrázku - maximálny bod.

Nízky bod- vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je menšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
To znamená, že minimálny bod je taký, že hodnota funkcie v ňom je menšia ako v susedných. Na grafe ide o miestnu „dieru“.

Na našom obrázku - minimálny bod.

Pointa je hranica. Nie je to vnútorný bod domény definície, a preto nezodpovedá definícii maximálneho bodu. Veď ona nemá susedov vľavo. Rovnako tak na našom grafe nemôže byť žiadny minimálny bod.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazývajú spoločne extrémne body funkcie. V našom prípade je to a .

Čo ak však potrebujete nájsť napr. funkčné minimum na reze? V tomto prípade je odpoveď: Pretože funkčné minimum je jeho hodnota v minimálnom bode.

Podobne maximum našej funkcie je . Dosahuje sa v bode .

Môžeme povedať, že extrémy funkcie sa rovnajú a .

Niekedy v úlohách musíte nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v danom segmente. Nemusia sa nevyhnutne zhodovať s extrémami.

V našom prípade najmenšia funkčná hodnota na intervale sa rovná minimu funkcie a zhoduje sa s ním. Ale jeho najväčšia hodnota v tomto segmente sa rovná . Dosahuje sa na ľavom konci segmentu.

V každom prípade najväčšie a najmenšie hodnoty nepretržitá funkcia na segmente sú dosiahnuté buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.

Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém?

Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie.

Nevyhnutná podmienka maximum a minimum (extrémum) funkcie je nasledovné: ak má funkcia f (x) extrém v bode x = a, tak v tomto bode je derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo neexistuje.

Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivácia v bode x = a môže zmiznúť, ísť do nekonečna alebo nemôže existovať bez toho, aby funkcia mala v tomto bode extrém.

Aká je dostatočná podmienka pre extrém funkcie (maximum alebo minimum)?

Prvá podmienka:

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) kladná vľavo od a a záporná vpravo od a, potom v samotnom bode x = a má funkcia f(x) maximálne

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) záporná vľavo od a a kladná vpravo od a, potom v samotnom bode x = a má funkcia f(x) minimálne za predpokladu, že funkcia f(x) je tu spojitá.

Namiesto toho môžete použiť druhú dostatočnú podmienku pre extrém funkcie:

Nech v bode x = a prvá derivácia f?(x) zmizne; ak je druhá derivácia f??(а) záporná, tak funkcia f(x) má maximum v bode x = a, ak je kladná, tak minimum.

Aký je kritický bod funkcie a ako ho nájsť?

Toto je hodnota argumentu funkcie, pri ktorej má funkcia extrém (t. j. maximum alebo minimum). Aby ste to našli, potrebujete nájsť derivát funkcia f?(x) a prirovnať ju k nule, vyriešiť rovnicu f?(x) = 0. Korene tejto rovnice, ako aj tie body, v ktorých derivácia tejto funkcie neexistuje, sú kritické body, t. j. hodnoty argumentu, v ktorých môže byť extrém . Dajú sa ľahko identifikovať pohľadom derivačný graf: zaujímajú nás tie hodnoty argumentu, pri ktorých graf funkcie pretína os x (os Ox) a hodnoty, pri ktorých sa graf zlomí.

Napríklad nájdime extrém paraboly.

Funkcia y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivácia funkcie: y?(x) = 6x + 2

Riešime rovnicu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tomto prípade je kritický bod x0=-1/3. Funkcia má práve pre túto hodnotu argumentu extrém. Pochopiť to Nájsť, nájdené číslo vo výraze dosadíme za funkciu namiesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Ako určiť maximum a minimum funkcie, t.j. jeho najväčšie a najmenšie hodnoty?

Ak sa znamienko derivácie pri prechode cez kritický bod x0 zmení z „plus“ na „mínus“, potom x0 je maximálny bod; ak sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom x0 je minimálny bod; ak sa znamienko nemení, tak v bode x0 nie je ani maximum, ani minimum.

Pre uvažovaný príklad:

Berieme ľubovoľnú hodnotu argumentu vľavo od kritický bod: x = -1

Keď x = -1, hodnota derivácie bude y? ​​(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. j. znamienko mínus).

Teraz vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pre x = 1 bude hodnota derivácie y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. j. znamienko plus).

Ako vidíte, pri prechode cez kritický bod derivácia zmenila znamienko z mínus na plus. To znamená, že pri kritickej hodnote x0 máme minimálny bod.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale(na segmente) sa nachádzajú rovnakým postupom, len s prihliadnutím na skutočnosť, že možno nie všetky kritické body budú ležať v určenom intervale. Kritické body, ktoré sú mimo intervalu, musia byť vylúčené z úvahy. Ak je v intervale iba jeden kritický bod, bude mať buď maximum alebo minimum. V tomto prípade, aby sme určili najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, berieme do úvahy aj hodnoty funkcie na koncoch intervalu.

Napríklad nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

v intervaloch:

Takže derivácia funkcie je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Riešime rovnicu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body nájdeme na intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

Hodnoty funkcie nájdeme pri kritických hodnotách argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidieť, že na intervale [-9; 9] funkcia má najväčšiu hodnotu pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmenší - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervale [-6; -3] máme len jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkcie pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nájdeme hodnotu funkcie na koncoch intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervale [-6; -3] máme najväčšiu hodnotu funkcie

y = 5,398 pri x = -4,88

najmenšia hodnota je

y = 1,077 pri x = -3

Ako nájsť inflexné body funkčného grafu a určiť strany konvexnosti a konkávnosti?

Ak chcete nájsť všetky inflexné body čiary y \u003d f (x), musíte nájsť druhú deriváciu, prirovnať ju k nule (vyriešiť rovnicu) a otestovať všetky tie hodnoty x, pre ktoré je druhá derivácia nula. , nekonečný alebo neexistuje. Ak pri prechode cez jednu z týchto hodnôt druhá derivácia zmení znamienko, potom má graf funkcie v tomto bode inflexiu. Ak sa nezmení, potom nie je žiadne skloňovanie.

Korene rovnice f ? (x) = 0, ako aj možné body diskontinuity funkcie a druhej derivácie rozdeľujú definičný obor funkcie na niekoľko intervalov. Konvexnosť v každom z ich intervalov je určená znamienkom druhej derivácie. Ak je druhá derivácia v bode na skúmanom intervale kladná, potom je priamka y = f(x) konkávna smerom nahor a ak je záporná, potom smerom nadol.

Ako nájsť extrémy funkcie dvoch premenných?

Na nájdenie extrémov funkcie f(x, y), diferencovateľných v oblasti jej priradenia, potrebujete:

1) nájdite kritické body a vyriešte systém rovníc

fx? (x,y) = 0, fy? (x, y) = 0

2) pre každý kritický bod P0(a;b) skontrolujte, či znamienko rozdielu zostáva nezmenené

pre všetky body (x; y) dostatočne blízko k P0. Ak si rozdiel zachová kladné znamienko, tak v bode P0 máme minimum, ak záporné, tak maximum. Ak si rozdiel nezachová svoje znamienko, potom v bode Р0 neexistuje extrém.

Podobne sú určené extrémy funkcie pre viac argumenty.

O čom je Shrek Forever After?
Cartoon: Shrek Forever After Rok vydania: 2010 Premiéra (Rusko): 20. mája 2010 Krajina: USA Réžia: Michael Pitchel Scenár: Josh Klausner, Darren Lemke Žáner: rodinná komédia, fantasy, dobrodružný Oficiálna stránka: www.shrekforeverafter.com námet mulica

Môžem darovať krv počas menštruácie?
Lekári neodporúčajú darovať krv počas menštruácie, pretože. strata krvi, aj keď nie vo významnom množstve, je plná poklesu hladiny hemoglobínu a zhoršenia blahobytu ženy. Počas darovania krvi sa situácia s blahobytom môže zhoršiť až po objavenie krvácania. Preto by sa ženy mali zdržať darovania krvi počas menštruácie. A to už na 5. deň po ich skončení

Koľko kcal / hodinu sa spotrebuje pri umývaní podláh
Druhy fyzická aktivita Spotreba energie, kcal/h Varenie 80 Obliekanie 30 Šoférovanie 50 Utieranie prachu 80 Jedenie 30 Záhradníctvo 135 Žehlenie 45 Ustlanie postele 130 Nakupovanie 80 Sedavé práce 75 Sekanie dreva 300 Umývanie podláh 130 Sex 100-150 Nízkointenzívny aeróbny tanec

Čo znamená slovo „darebák“?
Podvodník je zlodej zapojený do drobných krádeží alebo nečestný človek náchylný na podvodné triky. Potvrdenie tejto definície obsahuje Krylovov etymologický slovník, podľa ktorého je slovo „podvodník“ utvorené zo slova „podvodník“ (zlodej, podvodník), podobne ako sloveso &la

Ako sa volá posledný publikovaný príbeh bratov Strugackých
Poviedka Arkadija a Borisa Strugackých "O otázke cyklácie" bola prvýkrát publikovaná v apríli 2008 v almanachu sci-fi "Poludnie. XXI. storočie" (príloha časopisu "Vokrug sveta", vychádzajúceho pod redakciou Borisa Strugackého) . Publikácia bola venovaná 75. výročiu Borisa Strugackého.

Kde si môžem prečítať príbehy účastníkov programu Work And Travel USA
Work and Travel USA (work and travel in the USA) je obľúbený študentský výmenný program, kde môžete stráviť leto v Amerike legálnou prácou v sektore služieb a cestovaním. Program History of the Work & Travel je súčasťou programu medzivládnych výmen Kultúrna výmena Pro

Ucho. Kulinársky a historický odkaz Už viac ako dva a pol storočia sa slovo „ukha“ používa na označenie polievok alebo odvarov z čerstvých rýb. Ale boli časy, keď sa toto slovo vykladalo širšie. Označovali polievku – nielen rybiu, ale aj mäsovú, hrachovú a dokonca aj sladkú. Takže v historickom dokumente - "

Informačné a náborové portály Superjob.ru - náborový portál Superjob.ru pôsobí na ruskom online náborovom trhu od roku 2000 a je lídrom medzi zdrojmi ponúkajúcimi prácu a hľadanie personálu. Denne sa do databázy stránok pridáva viac ako 80 000 životopisov špecialistov a viac ako 10 000 voľných pracovných miest.

Čo je motivácia
Definícia motivácie Motivácia (z lat. moveo – hýbem sa) – impulz k činom; dynamický proces fyziologického a psychologického plánu, ktorý riadi ľudské správanie, určuje jeho smer, organizáciu, činnosť a stabilitu; schopnosť človeka uspokojovať svoje potreby prácou. Motivac

Kto je Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, vlastným menom - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; narodený 24. mája 1941) je americký skladateľ, ktorý je podľa prieskumu magazínu Rolling Stone druhý (

Ako prepravovať izbové rastliny
Po zakúpení izbových rastlín stojí záhradník pred úlohou, ako doručiť zakúpené exotické kvety nepoškodené. Znalosť základných pravidiel pre balenie a prepravu izbových rastlín pomôže vyriešiť tento problém. Rastliny musia byť na prepravu alebo prepravu zabalené. Bez ohľadu na to, na akú krátku vzdialenosť sú rastliny prenášané, môžu sa poškodiť, môžu vyschnúť a v zime &m