Tento článok je zbierkou podrobných informácií, ktoré sa týkajú témy vlastností koreňov. Vzhľadom na tému začneme vlastnosťami, preštudujeme všetky formulácie a poskytneme dôkazy. Na upevnenie témy zvážime vlastnosti n-tého stupňa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vlastnosti koreňov

Budeme hovoriť o vlastnostiach.

1. Nehnuteľnosť násobené čísla a A b, ktorá je reprezentovaná ako rovnosť a · b = a · b. Môže byť vyjadrená vo forme faktorov, kladných alebo rovných nule a 1 , a 2 , ... , k ako a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · ... · ak;
2. z podielu a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 možno v tomto tvare zapísať aj a b = a b;
3. Vlastnosť zo sily čísla a s párnym exponentom a 2 m = a m pre ľubovoľné číslo a, napríklad vlastnosť z druhej mocniny čísla a 2 = a.

V ktorejkoľvek z uvedených rovníc môžete zameniť časti pred a za pomlčkou, napríklad rovnosť a · b = a · b sa transformuje ako a · b = a · b. Vlastnosti rovnosti sa často používajú na zjednodušenie zložitých rovníc.

Dôkaz prvých vlastností je založený na definícii druhej odmocniny a vlastnostiach mocnín s prirodzený indikátor. Na odôvodnenie tretej vlastnosti je potrebné odkázať na definíciu modulu čísla.

V prvom rade je potrebné dokázať vlastnosti druhej odmocniny a · b = a · b. Podľa definície je potrebné uvažovať, že a b je číslo, kladné alebo rovné nule, ktoré sa bude rovnať a b počas výstavby do štvorca. Hodnota výrazu a · b je kladná alebo rovná nule ako súčin nezáporných čísel. Vlastnosť mocnín násobených čísel nám umožňuje znázorniť rovnosť v tvare (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Podľa definície druhej odmocniny a 2 = a a b 2 = b, potom a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Podobným spôsobom sa to dá dokázať z produktu k multiplikátory a 1 , a 2 , ... , k bude sa rovnať produktu odmocniny z týchto faktorov. Skutočne, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · ... · ak 2 = a 1 · a 2 · ... · ak.

Z tejto rovnosti vyplýva, že a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Pozrime sa na niekoľko príkladov na posilnenie témy.

Príklad 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 a 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .

Je potrebné dokázať vlastnosť aritmetickej druhej odmocniny kvocientu: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Vlastnosť nám umožňuje zapísať rovnosť a: b 2 = a 2: b 2, a a 2: b 2 = a: b, pričom a: b je kladné číslo alebo rovné nule. Tento výraz sa stane dôkazom.

Napríklad 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 a 30,121 = 30,121.

Uvažujme o vlastnosti druhej odmocniny druhej mocniny čísla. Dá sa zapísať ako rovnosť ako a 2 = a Na preukázanie tejto vlastnosti je potrebné podrobne zvážiť niekoľko rovnosti pre a ≥ 0 a pri a< 0 .

Je zrejmé, že pre a ≥ 0 platí rovnosť a 2 = a. O a< 0 rovnosť a 2 = - a bude pravdivá. V skutočnosti v tomto prípade - a > 0 a (-a)2 = a2. Môžeme dospieť k záveru, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 2

52 = 5 = 5 a - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Preukázaná vlastnosť pomôže zdôvodniť a 2 m = a m, kde a– skutočné a m –prirodzené číslo. Vlastnosť zvýšenia moci nám skutočne umožňuje nahradiť silu 2 m výraz (a m) 2, potom a 2 m = (a m) 2 = a m.

Príklad 3

38 = 3 4 = 3 4 a (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Vlastnosti n-tého koreňa

Najprv musíme zvážiť základné vlastnosti n-tých koreňov:

1. Vlastnosť zo súčinu čísel a A b, ktoré sú kladné alebo rovné nule, možno vyjadriť ako rovnosť a · b n = a n · b n , táto vlastnosť platí pre súčin kčísla a 1 , a 2 , ... , k ako a 1 · a 2 · ... · a k n = a 1 n · a 2 n · ... · ak n;
2. od zlomkové číslo má vlastnosť a b n = a n b n , kde a je akékoľvek reálne číslo, ktoré je kladné alebo rovné nule a b– kladné reálne číslo;
3. Pre akékoľvek a a dokonca aj ukazovatele n = 2 m a 2 · m 2 · m = a je pravdivé a pre nepárne n = 2 m − 1 platí rovnosť a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Vlastnosť extrakcie z a m n = a n m , kde a– akékoľvek číslo, kladné alebo rovné nule, n A m sú prirodzené čísla, môže byť táto vlastnosť vyjadrená aj v tvare. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2. . . · n k ;
5. Pre akékoľvek nezáporné a a ľubovoľné n A m, ktoré sú prirodzené, môžeme definovať aj spravodlivú rovnosť a m n · m = a n ;
6. Vlastnosť stupňa n zo sily čísla a, ktorá je kladná alebo rovná nule, k prirodzenému výkonu m, definovaného rovnosťou a m n = a n m ;
7. Porovnávacia vlastnosť, ktorá má rovnaké exponenty: pre akékoľvek kladné čísla a A b také že a< b , nerovnosť a n< b n ;
8. Porovnanie vlastnosti, ktoré majú rovnaké čísla pod koreňom: ak m A n – prirodzené čísla, ktoré m > n, potom o 0 < a < 1 nerovnosť a m > a n je pravdivá a kedy a > 1 vykonal m< a n .

Vyššie uvedené rovnosti sú platné, ak sú časti pred a za znakom rovnosti zamenené. Môžu sa použiť aj v tejto forme. Toto sa často používa pri zjednodušovaní alebo transformácii výrazov.

Dôkaz vyššie uvedených vlastností koreňa je založený na definícii, vlastnostiach stupňa a definícii modulu čísla. Tieto vlastnosti musia byť preukázané. Ale všetko je v poriadku.

1. Najprv dokážme vlastnosti n-tej odmocniny súčinu a · b n = a n · b n . Pre a A b , ktorý sú kladné alebo rovné nule , hodnota a n · b n je tiež kladná alebo rovná nule, pretože je dôsledkom násobenia nezáporných čísel. Vlastnosť súčinu k prírodnej mocnine nám umožňuje zapísať rovnosť a n · b n n = a n n · b n n . Podľa definície koreňa n-tý stupeň a n n = a a b n n = b , teda a n · b n n = a · b . Výsledná rovnosť je presne to, čo bolo potrebné dokázať.

Túto vlastnosť možno podobne preukázať aj pre produkt k multiplikátory: pre nezáporné čísla a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Tu sú príklady použitia vlastnosti root n-tá mocnina zo súčinu: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 a 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Dokážme vlastnosť koreňa kvocientu a b n = a n b n . O a ≥ 0 A b > 0 podmienka a n b n ≥ 0 je splnená a a n b n n = a n n b n n = a b .

Ukážme si príklady:

Príklad 4

8 27 3 = 8 3 27 3 a 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Pre ďalší postup je potrebné dokázať vlastnosti n-tého stupňa od čísla po stupeň n. Predstavme si to ako rovnosť a 2 m 2 m = a a a 2 m - 1 2 m - 1 = a pre akýkoľvek skutočný a a prirodzené m. O a ≥ 0 dostaneme a = a a a 2 m = a 2 m, čo dokazuje rovnosť a 2 m 2 m = a, a rovnosť a 2 m - 1 2 m - 1 = a je zrejmá. O a< 0 získame a = - a a a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Posledná transformácia čísla je platná podľa vlastnosti mocniny. To je presne to, čo dokazuje, že rovnosť a 2 m 2 m = a a a 2 m - 1 2 m - 1 = a bude pravdivá, pretože sa uvažuje nepárny stupeň - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 pre ľubovoľné číslo c , kladné alebo rovné nule.

Aby sme skonsolidovali prijaté informácie, zvážme niekoľko príkladov použitia vlastnosti:

Príklad 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 a (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Dokážme nasledujúcu rovnosť a m n = a n m . Aby ste to dosiahli, musíte zameniť čísla pred a za znakom rovnosti a n · m = a m n . To znamená, že zadanie je správne. Pre a,čo je pozitívne alebo rovný nule , tvaru a m n je číslo kladné alebo rovné nule. Obráťme sa na vlastnosť povýšenia moci na moc a jej definíciu. S ich pomocou môžete transformovať rovnosti v tvare a m n n · m = a m n n m = a m m = a. To dokazuje vlastnosť koreňa uvažovaného koreňa.

Ostatné vlastnosti sú dokázané podobne. Naozaj,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Napríklad 7 3 5 = 7 5 3 a 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Dokážme nasledujúcu vlastnosť a m n · m = a n . Na to je potrebné ukázať, že a n je číslo, kladné alebo rovné nule. Pri umocnení sa n m rovná a m. Ak číslo a je kladné alebo rovné nule, potom n- stupeň spomedzi a je kladné číslo alebo sa rovná nule. V tomto prípade a n · m n = a n n m , čo je potrebné dokázať.

Aby sme si upevnili získané poznatky, pozrime sa na niekoľko príkladov.

1. Dokážme nasledujúcu vlastnosť – vlastnosť odmocniny v tvare a m n = a n m . Je zrejmé, že kedy a ≥ 0 stupeň a n m je nezáporné číslo. Navyše, ona n mocnina sa rovná a m skutočne, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . To dokazuje vlastnosť posudzovaného stupňa.

Napríklad 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. To je potrebné dokázať pre akékoľvek kladné čísla a a b podmienka je splnená a< b . Uvažujme nerovnosť a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Preto a n< b n при a< b .

Dajme napríklad 12 4< 15 2 3 4 .

1. Zvážte vlastnosť koreňa n- stupeň. Najprv je potrebné zvážiť prvú časť nerovnosti. O m > n A 0 < a < 1 pravda a m > a n . Predpokladajme, že a m ≤ a n. Vlastnosti vám umožnia zjednodušiť výraz na a n m · n ≤ a m m · n . Potom podľa vlastností stupňa s prirodzeným exponentom platí nerovnosť a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tzn. a n ≤ a m. Získaná hodnota pri m > n A 0 < a < 1 nezodpovedá vyššie uvedeným vlastnostiam.

Rovnakým spôsobom sa dá dokázať, že kedy m > n A a > 1 podmienka a m je pravdivá< a n .

S cieľom konsolidovať vyššie uvedené vlastnosti zvážte niekoľko konkrétne príklady. Pozrime sa na nerovnosti pomocou konkrétnych čísel.

Príklad 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Video tutoriál 2: Vlastnosti koreňov stupňa n > 1

Prednáška: Odmocnina stupňa n > 1 a jej vlastnosti

Root

Predpokladajme, že máte rovnicu v tvare:

Riešenie tejto rovnice je x 1 = 2 a x 2 = (-2). Obidve riešenia sú vhodné ako odpoveď, pretože čísla s rovnakými modulmi, keď sa zvýšia na párnu mocninu, dávajú rovnaký výsledok.

Toto bol jednoduchý príklad, čo však môžeme urobiť, ak napr.

Skúsme funkciu nakresliť do grafu y=x 2 . Jeho graf je parabola:

Na grafe musíte nájsť body, ktoré zodpovedajú hodnote y = 3. Tieto body sú:

To znamená, že túto hodnotu nemožno nazvať celým číslom, ale môže byť vyjadrená ako druhá odmocnina.

Akýkoľvek koreň je iracionálne číslo. Iracionálne čísla zahŕňajú odmocniny a neperiodické nekonečné zlomky.

Odmocnina- ide o nezáporné číslo „a“, ktorého radikálne vyjadrenie sa rovná danej štvorci „a“.

Napríklad,

To znamená, že vo výsledku dostaneme len kladnú hodnotu. Avšak ako riešenie kvadratická rovnica milý

Riešenie je x 1 = 4, x 2 = (-4).

Vlastnosti druhej odmocniny

1. Nech má x akúkoľvek hodnotu, tento výraz je v každom prípade pravdivý:

2. Porovnávanie čísel obsahujúcich odmocniny. Ak chcete porovnať tieto čísla, musíte zadať jedno aj druhé číslo pod znakom koreňa. Počet bude väčší, ktorých radikálne vyjadrenie je väčšie.

Zadajte číslo 2 pod znakom koreňa

Teraz dáme číslo 4 pod znamienko koreňa. V dôsledku toho dostaneme

A až teraz možno porovnať dva výsledné výrazy:

3. Odstránenie multiplikátora spod koreňa.

Ak je možné radikálny výraz rozložiť na dva faktory, z ktorých jeden sa dá vyňať spod koreňového znaku, potom je potrebné použiť toto pravidlo.

4. Existuje vlastnosť, ktorá je opakom tohto - zavedenie multiplikátora pod koreň. Túto nehnuteľnosť sme samozrejme použili v druhej nehnuteľnosti.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Sú uvedené základné vlastnosti mocninnej funkcie vrátane vzorcov a vlastností koreňov. Prezentuje sa derivácia, integrál, rozšírenie mocninového radu a reprezentácia komplexných čísel mocninnej funkcie.

Definícia

Definícia
Mocninná funkcia s exponentom p je funkcia f (x) = x p, ktorej hodnota v bode x sa rovná hodnote exponenciálnej funkcie so základňou x v bode p.
Okrem toho f (0) = 0 p = 0 pre p > 0 .

Pre prirodzené hodnoty exponentu je mocninová funkcia súčinom n čísel rovných x:
.
Je definovaný pre všetky platné .

Pre kladné racionálne hodnoty exponentu je mocninná funkcia súčinom n koreňov stupňa m čísla x:
.
Pre nepárne m je definované pre všetky reálne x. Pre párne m je funkcia mocniny definovaná pre nezáporné.

Pre zápornú hodnotu je výkonová funkcia určená vzorcom:
.
Preto nie je v bode definovaná.

Pre iracionálne hodnoty exponentu p je výkonová funkcia určená vzorcom:
,
kde a je ľubovoľné kladné číslo, ktoré sa nerovná jednej: .
Kedy je definovaný pre .
Keď je funkcia výkonu definovaná pre .

Kontinuita. Mocninná funkcia je vo svojej oblasti definície spojitá.

Vlastnosti a vzorce mocninných funkcií pre x ≥ 0

Tu zvážime vlastnosti mocninovej funkcie pre nezáporné hodnoty argumentu x. Ako je uvedené vyššie, pre určité hodnoty exponentu p je výkonová funkcia definovaná aj pre záporné hodnoty x. V tomto prípade možno jeho vlastnosti získať z vlastností , pomocou párneho alebo nepárneho. Tieto prípady sú podrobne diskutované a znázornené na stránke „“.

Mocninná funkcia y = x p s exponentom p má tieto vlastnosti:
(1.1) definované a nepretržité na súbore
o ,
v ;
(1.2) má veľa významov
o ,
v ;
(1.3) prísne sa zvyšuje s,
prísne klesá ako ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dôkaz vlastností je uvedený na stránke „Funkcia napájania (dôkaz kontinuity a vlastností)“

Korene - definícia, vzorce, vlastnosti

Definícia
Koreň čísla x stupňa n je číslo, ktoré po umocnení n dáva x:
.
Tu n = 2, 3, 4, ... - prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Môžete tiež povedať, že koreň čísla x stupňa n je koreňom (t. j. riešením) rovnice
.
Všimnite si, že funkcia je inverzná funkcia.

Druhá odmocnina z x je koreňom stupňa 2: .

Odmocnina z x je koreňom stupňa 3: .

Rovnomerný stupeň

Pre párne mocniny n = 2 m, koreň je definovaný pre x ≥ 0 . Vzorec, ktorý sa často používa, je platný pre kladné aj záporné x:
.
Pre druhú odmocninu:
.

Tu je dôležité poradie, v akom sa operácie vykonávajú - teda najprv sa vykoná druhá mocnina, výsledkom čoho je nezáporné číslo, a potom sa z neho prevezme odmocnina (druhá odmocnina sa môže vziať z nezáporného čísla ). Ak by sme zmenili poradie: , potom by pre záporné x bol koreň nedefinovaný a spolu s ním by bol nedefinovaný aj celý výraz.

Nepárny stupeň

Pre nepárne mocniny je koreň definovaný pre všetky x:
;
.

Vlastnosti a vzorce koreňov

Odmocnina x je mocninová funkcia:
.
Keď x ≥ 0 platia tieto vzorce:
;
;
, ;
.

Tieto vzorce možno použiť aj pre záporné hodnoty premenných. Musíte sa len uistiť, že radikálne vyjadrenie párnych právomocí nie je negatívne.

Súkromné ​​hodnoty

Odmocnina z 0 je 0: .
Koreň 1 sa rovná 1: .
Druhá odmocnina z 0 je 0: .
Druhá odmocnina z 1 je 1: .

Príklad. Koreň koreňov

Pozrime sa na príklad druhej odmocniny koreňov:
.
Transformujme vnútornú odmocninu pomocou vyššie uvedených vzorcov:
.
Teraz transformujme pôvodný koreň:
.
takže,
.

y = x p pre rôzne hodnoty exponentu p.

Tu sú grafy funkcie pre nezáporné hodnoty argumentu x. Grafy výkonovej funkcie definovanej pre záporné hodnoty x sú uvedené na stránke „Funkcia výkon, jej vlastnosti a grafy“

Inverzná funkcia

Inverzia mocninnej funkcie s exponentom p je mocninná funkcia s exponentom 1/p.

Ak potom.

Derivácia mocninovej funkcie

Derivát n-tého rádu:
;

Odvodenie vzorcov >> >

Integrál výkonovej funkcie

P ≠ - 1 ;
.

Rozšírenie výkonového radu

o - 1 < x < 1 dochádza k nasledujúcemu rozkladu:

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexnej premennej z:
f (z) = zt.
Vyjadrime komplexnú premennú z pomocou modulu r a argumentu φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Komplexné číslo t predstavujeme vo forme reálnych a imaginárnych častí:
t = p + iq.
Máme:

Ďalej berieme do úvahy, že argument φ nie je jednoznačne definovaný:
,

Uvažujme prípad, keď q = 0 , to znamená, že exponent je reálne číslo, t = p. Potom
.

Ak p je celé číslo, potom kp je celé číslo. Potom v dôsledku periodicity goniometrických funkcií:
.
Teda exponenciálna funkcia pre celočíselný exponent má pre dané z iba jednu hodnotu, a preto je jednoznačný.

Ak je p iracionálne, potom súčin kp pre ľubovoľné k nevytvorí celé číslo. Pretože k prechádza nekonečným radom hodnôt k = 0, 1, 2, 3, ..., potom funkcia z p má nekonečne veľa hodnôt. Vždy, keď sa argument z zvýši 2π(jedno otočenie), prejdeme do novej vetvy funkcie.

Ak je p racionálne, môže byť reprezentované ako:
, Kde m, n- celý, neobsahujúci spoločných deliteľov. Potom
.
Prvých n hodnôt, pričom k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dať n rôzne významy kp:
.
Nasledujúce hodnoty však dávajú hodnoty, ktoré sa líšia od predchádzajúcich o celé číslo. Napríklad, keď k = k 0+n máme:
.
Goniometrické funkcie, ktorého argumenty sa líšia hodnotami, ktoré sú násobkami 2π, mať rovnaké hodnoty. Preto s ďalším zvýšením k získame rovnaké hodnoty z p ako pre k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Exponenciálna funkcia s racionálnym exponentom je teda viachodnotová a má n hodnôt (vetví). Vždy, keď sa argument z zvýši 2π(jedno otočenie), prejdeme do novej vetvy funkcie. Po n takýchto otáčkach sa vrátime k prvej vetve, od ktorej začalo odpočítavanie.

Najmä koreň stupňa n má n hodnôt. Ako príklad uvažujme n-tú odmocninu reálneho kladného čísla z = x. V tomto prípade φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Takže pre druhú odmocninu je n = 2 ,
.
Pre párne k, (-1) k = 1. Pre nepárne k, (-1) k = -1.
To znamená, že druhá odmocnina má dva významy: + a -.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti n-tej odmocniny. Vety"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 11. ročník
Interaktívna príručka pre ročníky 9–11 „Trigonometria“
Interaktívna príručka pre ročníky 10 – 11 "Logaritmy"

Vlastnosti n-tého koreňa. Vety

Chlapci, pokračujeme v štúdiu n-tých koreňov skutočného čísla. Ako takmer všetky matematické objekty, aj korene n-tého stupňa majú určité vlastnosti, dnes ich budeme študovať.
Všetky vlastnosti, ktoré budeme uvažovať, sú formulované a overené iba pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých pod koreňovým znakom.
V prípade nepárneho koreňového exponentu sa vykonávajú aj pre záporné premenné.

Veta 1. N-tá odmocnina súčinu dvoch nezáporných čísel sa rovná súčinu n-tej odmocniny týchto čísel: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$ .

Dokážme vetu.
Dôkaz. Chlapci, na dôkaz vety predstavme nové premenné, označme ich:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Musíme dokázať, že $x=y*z$.
Všimnite si, že platia aj nasledujúce identity:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Potom platí nasledujúca identita: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Mocniny dvoch nezáporných čísel a ich exponenty sú rovnaké, potom sú rovnaké aj základy mocnin. To znamená $x=y*z$, čo je potrebné dokázať.

Veta 2. Ak $a≥0$, $b>0$ a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom platí nasledujúca rovnosť: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

To znamená, že n-tý koreň kvocientu sa rovná podielu n-tých koreňov.

Dôkaz.
Aby sme to dokázali, použijeme zjednodušený diagram vo forme tabuľky:

Príklady výpočtu n-tej odmocniny

Príklad.
Vypočítajte: $\sqrt(16*81*256)$.
Riešenie. Použime vetu 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Príklad.
Vypočítajte: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Riešenie. Predstavme si radikálny výraz ako nevlastný zlomok: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Použime vetu 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2) $.

Príklad.
Vypočítať:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Riešenie:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Veta 3. Ak $a≥0$, k a n sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom platí rovnosť: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Aby sme pozdvihli koreň k prirodzenej sile, stačí povýšiť radikálny výraz na túto silu.

Dôkaz.
uvažujme špeciálny prípad za $k=3$. Využime vetu 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
To isté sa dá dokázať v akomkoľvek inom prípade. Chlapci, dokážte to sami pre prípad, keď $k=4$ a $k=6$.

Veta 4. Ak $a≥0$ b n,k sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom platí rovnosť: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Na extrakciu koreňa z koreňa stačí vynásobiť ukazovatele koreňov.

Dôkaz.
Dokážme to opäť stručne pomocou tabuľky. Aby sme to dokázali, použijeme zjednodušený diagram vo forme tabuľky:

Príklad.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Veta 5. Ak sú exponenty koreňového a radikálového výrazu vynásobené tým istým prirodzeným číslom, potom sa hodnota koreňa nezmení: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Dôkaz.
Princíp dokazovania našej vety je rovnaký ako v iných príkladoch. Predstavme si nové premenné:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (podľa definície).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (podľa definície).
Zvyšme poslednú rovnosť na mocninu p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Mám:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
To znamená $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, čo bolo potrebné dokázať.

Príklady:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (vydelené indikátory 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (vydelené indikátory 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ukazovatele vynásobené 3).

Príklad.
Vykonajte akcie: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Riešenie.
Koreňové indikátory sú rôzne čísla, takže nemôžeme použiť vetu 1, ale použitím vety 5 môžeme získať rovnaké ukazovatele.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ukazovatele vynásobené 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ukazovatele vynásobené 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Problémy riešiť samostatne

1. Vypočítajte: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Vypočítajte: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Vypočítajte:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Zjednodušte:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Vykonajte akcie: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.