Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v určitom intervale obsahujúcom bod \(x_0\) v sebe. Dajme argumentu prírastok \(\Delta x \) tak, aby neopustil tento interval. Nájdeme zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri pohybe z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavíme vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ak existuje limit pre tento pomer na \(\Delta x \rightarrow 0\), potom sa zadaný limit nazýva derivácia funkcie\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene súvisí s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y = f(x).

Geometrický význam derivácie je nasledujúca. Ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode s os x=a, ktorý nie je rovnobežný s osou y, potom f(a) vyjadruje sklon dotyčnice. :
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), potom platí rovnosť \(f"(a) = tan(a) \).

Teraz poďme interpretovať definíciu derivácie z pohľadu približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x)\) má deriváciu v konkrétnom bode \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot\ Delta x\). Zmysluplný význam výslednej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v daný bod X. Napríklad pre funkciu \(y = x^2\) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y = f(x)?

1. Opravte hodnotu \(x\), nájdite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) prírastok \(\Delta x\), prejdite do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Vytvorte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v bode x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa procedúra na nájdenie derivácie funkcie y = f(x). diferenciácia funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako spolu súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné ku grafu funkcie v bode M(x; f(x)) nakresliť dotyčnicu a pripomíname, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže „rozbiť“ v bode M, teda funkcia musí byť spojitá v bode x.

Boli to „praktické“ argumenty. Uveďme dôslednejšie zdôvodnenie. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Ak v tejto rovnosti \(\Delta x \) inklinuje k nule, potom \(\Delta y \) bude inklinovať k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode spojitá.

Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „bode spojenia“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nemožno nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom derivácia v tomto bode neexistuje.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x)\) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, t.j. je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x = 0. Koeficient sklonu takýto riadok nemá, čo znamená, že neexistuje ani \(f"(0) \).

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako možno z grafu funkcie vyvodiť záver, že je diferencovateľná?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak je v určitom bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom funkcia v tomto bode nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčia. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivát komplexná funkcia:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
Dátum: 05.10.2015

Ako nájsť derivát?

Pravidlá diferenciácie.

Ak chcete nájsť derivát akejkoľvek funkcie, musíte ovládať iba tri koncepty:

2. Pravidlá diferenciácie.

3. Derivácia komplexnej funkcie.

Presne v tomto poradí. Je to náznak.)

Samozrejme, bolo by pekné mať predstavu o derivátoch vo všeobecnosti). Čo je to derivácia a ako pracovať s tabuľkou derivácií je jasne vysvetlené v predchádzajúcej lekcii. Tu sa budeme zaoberať pravidlami diferenciácie.

Diferenciácia je operácia hľadania derivátu. Za týmto pojmom sa už nič viac neskrýva. Tie. výrazov "nájdi deriváciu funkcie" A "rozlíšiť funkciu"- To je to isté.

Výraz "pravidlá diferenciácie" sa týka nájdenia derivátu z aritmetických operácií. Toto pochopenie veľmi pomáha vyhnúť sa zmätku vo vašej hlave.

Sústreďme sa a zapamätajme si všetky, všetky, všetky aritmetické operácie. Sú štyri). Sčítanie (súčet), odčítanie (rozdiel), násobenie (súčin) a delenie (kvocient). Tu sú pravidlá diferenciácie:

Doska ukazuje päť pravidlá na štyri aritmetické operácie. Neprišiel som do skratky.) Ide len o to, že pravidlo 4 je elementárnym dôsledkom pravidla 3. Je však také populárne, že má zmysel písať ho (a pamätať si!) ako nezávislý vzorec.

Pod označeniami U A V niektoré (absolútne akékoľvek!) funkcie sú implikované U(x) A V(x).

Pozrime sa na niekoľko príkladov. Po prvé - tie najjednoduchšie.

Nájdite deriváciu funkcie y=sinx - x 2

Tu máme rozdiel dva elementárne funkcie. Aplikujeme pravidlo 2. Budeme predpokladať, že sinx je funkcia U a x 2 je funkcia V. Máme plné právo napísať:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

To je lepšie, však?) Zostáva len nájsť deriváty sínusu a druhej mocniny x. Na tento účel existuje tabuľka derivátov. Len hľadáme funkcie, ktoré potrebujeme v tabuľke ( sinx A x 2), pozrite sa, aké deriváty majú, a napíšte odpoveď:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

To je všetko. Pravidlo 1 súčtovej diferenciácie funguje úplne rovnako.

Čo ak máme viacero výrazov? Nič veľké.) Funkciu rozdelíme na členy a hľadáme deriváciu každého člena nezávisle od ostatných. Napríklad:

Nájdite deriváciu funkcie y=sinx - x 2 + cosx - x +3

Smelo píšeme:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Na konci lekcie dám tipy, ako si uľahčiť život pri rozlišovaní.)

Praktické rady:

1. Pred diferenciáciou skontrolujte, či je možné pôvodnú funkciu zjednodušiť.

2. V zložitých príkladoch podrobne popíšeme riešenie so všetkými zátvorkami a pomlčkami.

3. Pri delení zlomkov s konštantným číslom v menovateli zmeníme delenie na násobenie a použijeme pravidlo 4.

Derivačné výpočty sa často nachádzajú v Zadania jednotnej štátnej skúšky. Táto stránka obsahuje zoznam vzorcov na hľadanie derivátov.

Pravidlá diferenciácie

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Derivácia komplexnej funkcie. Ak y=F(u) a u=u(x), potom funkcia y=f(x)=F(u(x)) sa nazýva komplexná funkcia x. Rovná sa y′(x)=Fu′⋅ux′.
5. Derivácia implicitnej funkcie. Funkcia y=f(x) sa nazýva implicitná funkcia definovaná vzťahom F(x,y)=0, ak F(x,f(x))≡0.
6. Derivácia inverznej funkcie. Ak g(f(x))=x, potom sa volá funkcia g(x). inverzná funkcia pre funkciu y=f(x).
7. Derivácia parametricky definovanej funkcie. Nech x a y sú špecifikované ako funkcie premennej t: x=x(t), y=y(t). Hovorí sa, že y=y(x) parametricky danú funkciu na intervale x∈ (a;b), ak na tomto intervale možno rovnicu x=x(t) vyjadriť ako t=t(x) a funkciu y=y(t(x))=y(x) možno definovať.
8. Výkonová derivácia exponenciálna funkcia. Nájdené pomocou logaritmov na základňu prirodzeného logaritmu.

Odporúčame vám uložiť odkaz, pretože táto tabuľka môže byť potrebná mnohokrát.

Odvodenie derivačného vzorca výkonová funkcia(x na mocninu a). Uvažujú sa deriváty od koreňov x. Vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie vyššieho rádu. Príklady výpočtu derivátov.

Derivácia x na mocninu a sa rovná a krát x x mocnine mínus jedna:
(1) .

Derivácia n-tej odmocniny x na m-tú mocninu je:
(2) .

Odvodenie vzorca pre deriváciu mocninnej funkcie

Prípad x > 0

Uvažujme mocninnú funkciu premennej x s exponentom a:
(3) .
Tu a je ľubovoľné reálne číslo. Najprv zvážime prípad.

Na nájdenie derivácie funkcie (3) použijeme vlastnosti mocninnej funkcie a transformujeme ju do nasledujúceho tvaru:
.

Teraz nájdeme derivát pomocou:
;
.
Tu .

Vzorec (1) bol osvedčený.

Odvodenie vzorca pre deriváciu koreňa stupňa n zo x na stupeň m

Teraz zvážte funkciu, ktorá je koreňom nasledujúceho formulára:
(4) .

Aby sme našli deriváciu, transformujeme koreň na mocninovú funkciu:
.
Pri porovnaní so vzorcom (3) to vidíme
.
Potom
.

Pomocou vzorca (1) nájdeme deriváciu:
(1) ;
;
(2) .

V praxi nie je potrebné zapamätať si vzorec (2). Oveľa pohodlnejšie je najprv premeniť korene na mocninné funkcie a potom nájsť ich deriváty pomocou vzorca (1) (pozri príklady na konci stránky).

Prípad x = 0

Ak , potom je pre hodnotu premennej x = definovaná výkonová funkcia 0 . Nájdite deriváciu funkcie (3) v x = 0 . Na tento účel používame definíciu derivátu:
.

Nahradíme x = 0 :
.
V tomto prípade deriváciou rozumieme pravostrannú limitu, pre ktorú .

Tak sme našli:
.
Z toho je zrejmé, že pre , .
V , .
V , .
Tento výsledok je tiež získaný zo vzorca (1):
(1) .
Preto vzorec (1) platí aj pre x = 0 .

Prípad x< 0

Zvážte znova funkciu (3):
(3) .
Pre určité hodnoty konštanty a je definovaná aj pre záporné hodnoty premennej x. Totiž, nechaj byť racionálne číslo. Potom to môže byť reprezentované ako neredukovateľný zlomok:
,
kde m a n sú celé čísla bez spoločný deliteľ.

Ak je n nepárne, potom je výkonová funkcia definovaná aj pre záporné hodnoty premennej x. Napríklad, keď n = 3 a m = 1 máme odmocninu x:
.
Je definovaný aj pre záporné hodnoty premennej x.

Nájdite deriváciu mocninnej funkcie (3) pre a pre racionálne hodnoty konštanty a, pre ktorú je definovaná. Aby sme to dosiahli, predstavme x v nasledujúcom tvare:
.
potom ,
.
Deriváciu nájdeme umiestnením konštanty mimo znamienka derivácie a uplatnením pravidla na derivovanie komplexnej funkcie:

.
Tu . ale
.
Odvtedy
.
Potom
.
To znamená, že vzorec (1) platí aj pre:
(1) .

Deriváty vyššieho rádu

Teraz nájdime derivácie mocninovej funkcie vyššieho rádu
(3) .
Už sme našli deriváciu prvého rádu:
.

Ak vezmeme konštantu a mimo znamienka derivácie, nájdeme deriváciu druhého rádu:
.
Podobne nájdeme deriváty tretieho a štvrtého rádu:
;

.

Z toho je jasné, že derivát ľubovoľného n-tého rádu má nasledujúci tvar:
.

Všimni si ak a je prirodzené číslo , potom je n-tá derivácia konštantná:
.
Potom sa všetky nasledujúce derivácie rovnajú nule:
,
v .

Príklady výpočtu derivátov

Príklad

Nájdite deriváciu funkcie:
.

Riešenie

Prevedieme odmocniny na mocniny:
;
.
Potom má pôvodná funkcia tvar:
.

Hľadanie derivácií mocnín:
;
.
Derivácia konštanty je nula:
.

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu exponenciály (e na x) a exponenciálnej funkcie (a na x). Príklady výpočtu derivácií e^2x, e^3x a e^nx. Vzorce pre deriváty vyšších rádov.

Derivácia exponentu sa rovná samotnému exponentu (derivácia e mocniny x sa rovná e mocniny x):
(1) (e x)' = e x.

Derivácia exponenciálnej funkcie so základom stupňa a sa rovná samotnej funkcii vynásobenej prirodzený logaritmus od:
(2) .

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciály, e na x mocninu

Exponenciála je exponenciálna funkcia, ktorej základ sa rovná číslu e, čo je nasledujúca limita:
.
Tu to môže byť buď prirodzené číslo, alebo reálne číslo. Ďalej odvodíme vzorec (1) pre deriváciu exponenciály.

Odvodenie vzorca exponenciálnej derivácie

Uvažujme exponenciálnu mocninu e na x:
y = e x.
Táto funkcia je definovaná pre každého. Nájdime jej deriváciu vzhľadom na premennú x. Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Na to potrebujeme nasledujúce fakty:
A) Vlastnosť exponentu:
(4) ;
B) Vlastnosť logaritmu:
(5) ;
IN) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(6) .
Tu je funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
G) Význam druhej pozoruhodnej hranice:
(7) .

Aplikujme tieto fakty na náš limit (3). Používame majetok (4):
;
.

Urobme náhradu. Potom ; .
Vzhľadom na kontinuitu exponenciály,
.
Preto, keď ,. V dôsledku toho dostaneme:
.

Urobme náhradu. Potom . V , . A máme:
.

Použime vlastnosť logaritmu (5):
. Potom
.

Použime vlastnosť (6). Pretože existuje kladný limit a logaritmus je spojitý, potom:
.
Tu sme použili aj druhú pozoruhodnú hranicu (7). Potom
.

Takto sme dostali vzorec (1) pre deriváciu exponenciály.

Odvodenie vzorca pre deriváciu exponenciálnej funkcie

Teraz odvodíme vzorec (2) pre deriváciu exponenciálnej funkcie so základom stupňa a. Veríme, že a . Potom exponenciálna funkcia
(8)
Definované pre každého.

Transformujme vzorec (8). Na to použijeme vlastnosti exponenciálnej funkcie a logaritmus.
;
.
Takže sme transformovali vzorec (8) do nasledujúceho tvaru:
.

Deriváty e vyššieho rádu k mocnine x

Teraz nájdime deriváty vyšších rádov. Najprv sa pozrime na exponent:
(14) .
(1) .

Vidíme, že derivácia funkcie (14) sa rovná samotnej funkcii (14). Diferencovaním (1) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

To ukazuje, že derivácia n-tého rádu sa tiež rovná pôvodnej funkcii:
.

Derivácie vyššieho rádu exponenciálnej funkcie

Teraz zvážte exponenciálnu funkciu so základňou stupňa a:
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(15) .

Diferencovaním (15) získame deriváty druhého a tretieho rádu:
;
.

Vidíme, že každá diferenciácia vedie k vynásobeniu pôvodnej funkcie číslom . Preto má derivácia n-tého rádu nasledujúcu formu:
.