komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivát moci - exponenciálna funkcia

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si skonsolidujeme preberaný materiál, zvážime zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými trikmi a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Pre tých čitateľov, ktorí nízky level príprava, pozri článok Ako nájsť derivát? Príklady riešeníčo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej musíte starostlivo preštudovať stránku Derivácia zloženej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite dosť zložité funkcie. Je nežiaduce držať sa pozície „Kde inde? A to je dosť!", pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočnosti kontrolné práce a v praxi sa s nimi často stretávame.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia zloženej funkcie zvážili sme niekoľko príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných častí matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie je vždy vhodné (a nie vždy potrebné) maľovať príklady veľmi podrobne. Preto sa precvičíme v ústnom zisťovaní derivátov. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších alebo komplexných funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexná funkcia :

Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent je schopný nájsť podobné deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o 3. hodine ráno bola a hovor, a príjemný hlas sa spýtal: "Aká je derivácia dotyčnice dvoch x?". Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na nezávislé riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednom kroku, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si už nespomenula). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia zloženej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci hodiny

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak budú pochopené (niekto trpí), potom takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočná technika: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus na kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je Odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexných funkcií aplikované v opačnom poradí od vonkajšia funkcia, do najvnútornejšieho vnútra. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že bez chyby...

(1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

(5) Zoberieme deriváciu logaritmu.

(6) Nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude ľahšie kontrolovať.

Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne rovnocenné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Zvážte podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom za celého čitateľa:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď? Vyjadrenie čitateľa prinášame do spoločného menovateľa a zbaviť sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu zlomkového stupňa a potom aj zlomku.

Preto predtým ako vziať derivát „fantastického“ logaritmu, bol predtým zjednodušený pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte zošit, nakreslite si ich na papier, pretože zvyšok príkladov z lekcií sa bude točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť formulované takto:

Transformujme funkciu:

Nájdeme derivát:

Predbežná transformácia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa navrhuje podobný logaritmus na diferenciáciu, vždy sa odporúča „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede na konci lekcie.

logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka, či je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Podobné príklady sme nedávno zvažovali. Čo robiť? Postupne možno aplikovať pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že získate obrovský trojposchodový zlomok, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame ťahom:

Derivácia pravej strany je celkom jednoduchá, nebudem sa k nej vyjadrovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste to s istotou zvládnuť.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „y“?

Faktom je, že toto „jedno písmeno y“ - JE FUNKCIOU SAMA SAMOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a "y" je vnútorná funkcia. A používame pravidlo diferenciácie zložených funkcií :

Na ľavej strane akoby vlnou Kúzelná palička máme derivát . Ďalej, podľa pravidla proporcie, hodíme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomenieme, o akej "hernej" funkcii sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad „urob si sám“. Vzorový návrh príkladu tohto typu na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Exponenciálna funkcia je funkcia, ktorá má a stupeň a základ závisia od "x". Klasický príklad, ktorý dostanete v ktorejkoľvek učebnici alebo na akejkoľvek prednáške:

Ako nájsť deriváciu exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve uvažovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Stupeň sa spravidla odoberá spod logaritmu na pravej strane:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme deriváciu, preto obe časti uzatvoríme pod ťahy:

Nasledujúce kroky sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorá transformácia nie je úplne jasná, pozorne si znovu prečítajte vysvetlenia príkladu #11.

V praktických úlohách bude exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov - "x" a "logaritmus logaritmu x" (ďalší logaritmus je vnorený pod logaritmus). Pri derivovaní konštanty, ako si pamätáme, je lepšie ju hneď vyňať zo znamienka derivácie, aby neprekážala; a samozrejme použiť známe pravidlo :

Ako vidíte, algoritmus na aplikáciu logaritmickej derivácie neobsahuje žiadne špeciálne triky alebo triky a nájdenie derivácie exponenciálnej funkcie zvyčajne nie je spojené s „trápením“.

Derivácia komplexnej funkcie. Príklady riešení

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácia komplexnej funkcie. Hodina je logickým pokračovaním lekcie Ako nájsť derivát?, na ktorej sme rozoberali najjednoduchšie derivácie a zoznámili sa aj s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými metódami hľadania derivácií. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body tohto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Prosím, nalaďte sa na vážnu náladu - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte s deriváciou komplexnej funkcie zaoberať veľmi často, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

V tabuľke sa pozrieme na pravidlo (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Rozumieme. Najprv sa pozrime na zápis. Tu máme dve funkcie - a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto druhu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – vnútorná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie látky.

Ak chcete objasniť situáciu, zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno "x", ale celý výraz, takže hľadanie derivátu okamžite z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že nie je možné „roztrhnúť“ sínus:

V tomto príklade, už z mojich vysvetlení, je intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krok, ktorý je potrebné vykonať pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

Kedy jednoduché príklady zdá sa jasné, že pod sínusom je vnorený polynóm. Ale čo ak to nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú možno vykonať mentálne alebo na návrh.

Predstavme si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu pomocou kalkulačky (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , takže polynóm bude internou funkciou:

Po druhé budete musieť nájsť, takže sínus - bude externá funkcia:

Po nás ROZUMIEŤ Pri vnútorných a vonkajších funkciách je čas použiť pravidlo diferenciácie zložených funkcií.

Začíname sa rozhodovať. Z lekcie Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdite deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrite si tabuľku derivácií elementárne funkcie a všimnite si to. Všetky tabuľkové vzorce sú použiteľné, aj keď je "x" nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Všimnite si, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Konečný výsledok použitia vzorca vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si rozhodnutie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Zisťujeme, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo na koncepte) vypočítať hodnotu výrazu pre . Čo je potrebné urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa základ rovná:, čo znamená, že polynóm je vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca musíte najskôr nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke:. Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre "x", ale aj pre komplexný výraz. Výsledkom aplikácie pravidla diferenciácie komplexnej funkcie je teda:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, vnútorná funkcia sa nemení:

Teraz zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a výsledok trochu „učesať“:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Pre upevnenie pochopenia derivácie komplexnej funkcie uvediem príklad bez komentárov, skúste si na to prísť sami, rozumujte, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sa úlohy riešia tak?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako stupeň. Najprv teda uvedieme funkciu do správnej formy na diferenciáciu:

Pri analýze funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocňovanie je vonkajšia funkcia. Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

Stupeň je opäť reprezentovaný ako radikál (odmocnina) a pre deriváciu vnútornej funkcie použijeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež uviesť výraz do spoločného menovateľa v zátvorkách a napísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď sa získajú ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie možno použiť pravidlo na derivovanie kvocientu , ale takéto riešenie by vyzeralo ako zvrátenosť vtipná. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - vyberieme znamienko mínus derivácie a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo:

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie, resetujeme kosínus späť nadol:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pravidlom , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme zvažovali prípady, keď sme mali len jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Rozumieme prílohám tejto funkcie. Výraz sa snažíme vyhodnotiť pomocou experimentálnej hodnoty . Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť, čo znamená, že arcsínus je najhlbšie hniezdenie:

Tento arcsínus jednoty by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem k moci:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vnorenia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začíname sa rozhodovať

Podľa pravidla musíte najprv vziať deriváciu externej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný prejav, čo neruší platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla diferenciácie komplexnej funkcie je nasledujúci:

Pod prístrojovou doskou máme opäť ošemetnú funkciu! Ale už je to jednoduchšie. Je ľahké vidieť, že vnútorná funkcia je arcsínus a vonkajšia funkcia je stupeň. Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie musíte najprv vziať deriváciu stupňa.

V „starých“ učebniciach sa tomu hovorí aj „reťazové“ pravidlo. Ak teda y \u003d f (u) a u \u003d φ (x), tj

y \u003d f (φ (x))

komplexná – zložená funkcia (zloženie funkcií) vtedy

Kde , po výpočte sa uvažuje pri u = φ(x).

Všimnite si, že tu sme prevzali „iné“ kompozície z rovnakých funkcií a výsledok diferenciácie sa prirodzene ukázal ako závislý od poradia „miešania“.

Reťazové pravidlo sa prirodzene rozširuje na zloženie troch alebo viacerých funkcií. V tomto prípade budú tri alebo viac „odkazov“ v „reťazci“, ktorý tvorí derivát, resp. Tu je analógia s násobením: „máme“ - tabuľku derivátov; "tam" - tabuľka násobenia; „s nami“ je reťazové pravidlo a „tam“ je pravidlo násobenia so „stĺpcom“. Pri výpočte takýchto „komplexných“ derivátov sa samozrejme nezavádzajú žiadne pomocné argumenty (u¸v atď.), Ale keď si všimnú počet a postupnosť funkcií zúčastňujúcich sa na kompozícii, „naviažu“ zodpovedajúce odkazy v uvedenom poradí.

. Tu sa vykoná päť operácií s „x“ na získanie hodnoty „y“, to znamená, že sa uskutoční zloženie piatich funkcií: „vonkajšia“ (posledná z nich) - exponenciálna - e ; potom v opačnom poradí je mocenský zákon. (♦) 2; trigonometrický hriech (); moc. () 3 a nakoniec logaritmický ln.(). Preto

Nasledujúce príklady „zabijú páry vtákov jednou ranou“: precvičíme si diferenciáciu zložitých funkcií a doplníme tabuľku derivácií elementárnych funkcií. Takže:

4. Pre funkciu napájania - y \u003d x α - ju prepíšte pomocou známeho „základného logaritmická identita» - b=e ln b - dostaneme v tvare x α = x α ln x

5. Pre ľubovoľnú exponenciálnu funkciu pomocou rovnakej techniky budeme mať

6. Pre ľubovoľnú logaritmickú funkciu pomocou známeho vzorca pre prechod na novú bázu postupne získame

.

7. Na diferenciáciu tangensu (kotangens) použijeme pravidlo pre diferenciáciu kvocientu:

Na získanie derivácií inverzných goniometrických funkcií použijeme vzťah, ktorý spĺňajú derivácie dvoch vzájomne inverzných funkcií, teda funkcie φ (x) a f (x), ktoré sú spojené vzťahmi:

Tu je pomer

Je to z tohto vzorca pre vzájomne inverzné funkcie

A
,

Na záver zhrnieme tieto a niektoré ďalšie, rovnako ľahko získané deriváty, v nasledujúcej tabuľke.

Prvá úroveň

Derivácia funkcie. Komplexný sprievodca (2019)

Predstavte si rovnú cestu vedúcu cez kopcovitú oblasť. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej súvislej funkcie:

Os je určitá úroveň nulovej výšky, v živote ako to používame hladinu mora.

Po takejto ceste vpred sa pohybujeme aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb pozdĺž osi x), zmení sa hodnota funkcie (pohyb pozdĺž osi y). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by mohla byť táto hodnota? Veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe dopredu o určitú vzdialenosť. Skutočne, na rôznych úsekoch cesty, keď sa posunieme vpred (pozdĺž úsečky) o jeden kilometer, budeme stúpať alebo klesať o iný počet metrov v porovnaní s hladinou mora (pozdĺž ordináty).

Označujeme postup vpred (čítaj "delta x").

Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena veľkosti, - zmena; čo je potom? Presne tak, zmena veľkosti.

Dôležité: výraz je jedna entita, jedna premenná. Nikdy by ste nemali odtrhávať "delta" od "x" alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .

Takže sme sa posunuli vpred, horizontálne, ďalej. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Určite,. To znamená, že keď sa pohybujeme vpred, stúpame vyššie.

Je ľahké vypočítať hodnotu: ak sme na začiatku boli vo výške a po presune sme boli vo výške, potom. Ak sa ukáže, že koncový bod je nižší ako počiatočný bod, bude záporný - to znamená, že nestúpame, ale klesáme.

Späť na "strmosť": toto je hodnota, ktorá udáva, o koľko (strmé) sa výška zväčší pri pohybe dopredu na jednotku vzdialenosti:

Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty pri postupovaní o km stúpa cesta o km. Potom je strmosť v tomto mieste rovnaká. A ak cesta pri postupe o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.

Teraz zvážte vrchol kopca. Ak vezmete začiatok úseku pol kilometra na vrchol a koniec - pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.

To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len pár kilometrov odtiaľto sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejší a presnejší odhad strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, môžeme sa cez neho jednoducho prešmyknúť. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!

IN skutočný život meranie vzdialenosti s presnosťou na milimeter je viac než dosť. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol koncept nekonečne malý, to znamená, že hodnota modulo je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že hodnota je nekonečne malá, napíšeme takto: (čítame „x inklinuje k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo sa nerovná nule! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že sa dá rozdeliť na.

Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je v module väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak vám vyjde čo najväčšie číslo, stačí ho vynásobiť dvomi a dostanete ešte viac. A nekonečno je ešte viac ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.

Teraz späť k našej ceste. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý úsek cesty, to znamená:

Podotýkam, že pri nekonečne malom posunutí bude aj zmena výšky nekonečne malá. Ale pripomínam, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak medzi sebou delíte nekonečne malé čísla, dostanete napríklad úplne obyčajné číslo. To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne dvakrát väčšia ako druhá.

Prečo toto všetko? Cesta, strmosť ... Nejdeme na rely, ale učíme sa matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.

Pojem derivát

Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pri infinitezimálnom prírastku argumentu.

Prírastok v matematike sa nazýva zmena. Ako veľmi sa zmenil argument () pri pohybe pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a označuje sa ako veľmi sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť tzv. prírastok funkcie a je označený.

Derivácia funkcie je teda vzťah k tomu, kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkciu, len ťahom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:

Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.

Ale rovná sa derivácia nule? určite. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. V skutočnosti sa výška vôbec nemení. Takže s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:

keďže prírastok takejto funkcie je nulový pre ľubovoľnú.

Vezmime si príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:

Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.

Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že výškový rozdiel na jej koncoch sa rovná nule (nemá tendenciu, ale je rovný). Takže derivát

Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.

Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrchu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (pretože cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.

To isté platí pre údolie (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo rastie):

Trochu viac o prírastkoch.

Takže zmeníme argument na hodnotu. Z akej hodnoty sa meníme? Čím sa stal (argument) teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.

Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zvýšime súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam ide argument, tam ide funkcia: . A čo prírastok funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:

Precvičte si nájdenie prírastkov:

1. Nájdite prírastok funkcie v bode s prírastkom argumentu rovným.
2. To isté pre funkciu v bode.

Riešenia:

V rôznych bodoch, s rovnakým prírastkom argumentu, bude prírastok funkcie odlišný. To znamená, že derivácia v každom bode má svoj vlastný (to sme rozoberali úplne na začiatku – strmosť cesty v rôznych bodoch je rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia sa nazýva funkcia, kde je argument do určitej miery (logický, však?).

A - v akomkoľvek rozsahu: .

Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:

Nájdite jeho derivát v bode. Pamätajte na definíciu derivátu:

Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?

Prírastok je. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:

Derivát je:

Derivát je:

b) Teraz zvážte kvadratickej funkcie (): .

Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto na pozadí iného výrazu nevýznamná:

Takže máme ďalšie pravidlo:

c) Pokračujeme v logickom rade: .

Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo celý výraz rozložte na faktory pomocou vzorca pre rozdiel kociek. Skúste to urobiť sami niektorým z navrhovaných spôsobov.

Takže som dostal nasledovné:

A pripomeňme si to ešte raz. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:

Dostaneme: .

d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:

e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť pre mocninnú funkciu s ľubovoľným exponentom, dokonca ani nie celým číslom:

(2)

Pravidlo môžete formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o“.

Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:

1. (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - počítaním prírastku funkcie);

1. . Verte či nie, toto je mocenská funkcia. Ak máte otázky typu „Ako sa máš? A kde je titul? “, Pamätajte na tému„ “!
   Áno, áno, koreň je tiež stupeň, len zlomkový:.
   Takže naša druhá odmocnina je len mocnina s exponentom:
   .
   Hľadáme derivát pomocou nedávno naučeného vzorca:

   Ak to v tomto bode bude opäť nejasné, zopakujte tému "" !!! (asi stupeň so záporným ukazovateľom)

2. . Teraz exponent:

   A teraz cez definíciu (ešte ste zabudli?):
   ;
   .
   Teraz, ako obvykle, zanedbávame výraz obsahujúci:
   .

3. . Kombinácia predchádzajúcich prípadov: .

goniometrické funkcie.

Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:

Keď výraz.

Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť skúšku). Teraz to ukážem graficky:

Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je prerazený. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia.

Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na skúške.

Tak skúsme: ;

Nezabudnite prepnúť kalkulačku do režimu Radians!

atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.

a) Uvažujme funkciu. Ako obvykle nájdeme jeho prírastok:

Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému ""):.

Teraz derivát:

Urobme náhradu: . Potom je pre nekonečne malý aj nekonečne malý: . Výraz pre má tvar:

A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak sa dá v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malá hodnota.

Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:

Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:

Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.

Cvičenie:

1. Nájdite deriváciu funkcie v bode;
2. Nájdite deriváciu funkcie.

Riešenia:

1. Najprv nájdeme derivát v všeobecný pohľad a potom zaň nahraďte jeho hodnotu:
   ;
   .
2. Tu máme niečo podobné výkonová funkcia. Skúsme ju priviesť
   normálny pohľad:
   .
   Dobre, teraz môžete použiť vzorec:
   .
   .
3. . Eeeeeee.... Čo to je????

Dobre, máte pravdu, stále nevieme, ako takéto deriváty nájsť. Tu máme kombináciu niekoľkých typov funkcií. Ak chcete s nimi pracovať, musíte sa naučiť niekoľko ďalších pravidiel:

Exponent a prirodzený logaritmus.

V matematike existuje taká funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú sa rovná hodnote samotnej funkcie pre to isté. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia

Základom tejto funkcie je konštanta – je nekonečná desiatkový, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, preto sa označuje písmenom.

Pravidlo teda znie:

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nechoďme ďaleko, hneď uvažujme inverzná funkcia. Čo je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

čo sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Vystavovateľ a prirodzený logaritmus- funkcie sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

aké pravidlá? Opäť nový termín?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

Len a všetko. Aké je iné slovo pre tento proces? Nie proizvodnovanie... Diferenciál matematiky sa nazýva samotný prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivát je vo všetkých bodoch rovnaký, pretože je lineárna funkcia, pamätáte?);

Derivát produktu

Všetko je tu podobné: predstavujeme novú funkciu a nájdeme jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite deriváty funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentu (zabudli ste už, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme preniesť našu funkciu na nový základ:

Na to používame jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, teda nedá sa napísať v jednoduchšej forme. Preto je v odpovedi ponechaná v tejto podobe.

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný z logaritmu s iným základom, napríklad:

Tento logaritmus musíme preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto napíšeme:

Ukázalo sa, že menovateľ je len konštanta (stále číslo, bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkus tangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko bude fungovať), ale z hľadiska matematiky slovo „zložitý“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete jesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže nám dajú číslo (čokoládu), ja nájdem jeho kosínus (obal) a potom zarovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď, aby sme našli jej hodnotu, vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s tým, čo sa stalo ako výsledok prvej.

Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Inými slovami, Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre prvý príklad, .

Druhý príklad: (rovnaký). .

Posledná akcia, ktorú vykonáme, bude tzv „vonkajšiu“ funkciu, a úkon vykonaný ako prvý – resp „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Aké kroky podnikneme ako prvé? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. Ide teda o vnútornú funkciu, nie vonkajšiu.
   A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
2. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládu - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Pre pôvodný príklad to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Všetko sa zdá byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nič nevyberá, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že tu existuje trojúrovňová komplexná funkcia: koniec koncov, toto je už sama o sebe komplexná funkcia a stále z nej extrahujeme koreň, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (vložiť čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie:

Derivát súčtu:

odvodený produkt:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 prílohami funkcií menej desivé. Možno sa niekomu budú zdať nasledujúce dva príklady komplikované, ale ak budú pochopené (niekto trpí), potom takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte bude pôsobiť ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny ROZUMIEŤ INVESTÍCIÁM. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočný trik: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu "x" a pokúsime sa (mentálne alebo na koncepte) nahradiť túto hodnotu do "strašného výrazu".

1) Najprv musíme vypočítať výraz, takže súčet je najhlbšie vnorenie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus na kocku:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexných funkcií sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že bez chýb:

1) Vezmeme deriváciu druhej odmocniny.

2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

3) Derivácia trojky sa rovná nule. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

4) Vezmeme deriváciu kosínusu.

6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho hniezdenia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetko čaro a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že podobnú vec radi dávajú na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Pomôcka: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie súčinu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo kompaktnejšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že v príklade je uvedený súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, ale je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v tomto príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že pre "y" označujeme súčin dvoch funkcií: a pre "ve" - ​​logaritmus:. Prečo sa to dá urobiť? je to? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Stále môžete prevrátiť a niečo vyňať zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie ponechať odpoveď v tejto forme - bude ľahšie kontrolovať.

Vyššie uvedený príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne rovnocenné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na nezávislé riešenie, v ukážke je to riešené prvým spôsobom.

Zvážte podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Riešenie však možno napísať kompaktnejšie, ak najskôr použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom za celého čitateľa:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá v tejto podobe, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, ale je možné zjednodušiť odpoveď?

Prinášame vyjadrenie čitateľa k spoločnému menovateľovi a zbavíme sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlime nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych transformáciách škôl. Na druhej strane učitelia často úlohu odmietajú a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní techník na nájdenie derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.