Logaritmus produktu rovná súčtu logaritmy:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnosť 2. Logaritmus kvocientu

Logaritmus kvocientu rovná sa rozdielu logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnosť 3. Logaritmus sily

Logaritmus stupňov rovná súčinu mocniny a logaritmu:

Ak je základ logaritmu v stupňoch, potom platí iný vzorec:

Vlastnosť 4. Logaritmus koreňa

Túto vlastnosť možno získať z vlastnosti logaritmu mocniny, pretože n-tá odmocnina sa rovná mocnine 1/n:

Vzorec na prevod z logaritmu v jednom základe na logaritmus v inom základe

Tento vzorec sa tiež často používa pri riešení rôznych úloh na logaritmoch:

Špeciálny prípad:

Porovnanie logaritmov (nerovnosti)

Majme 2 funkcie f(x) a g(x) pod logaritmami s z rovnakých dôvodov a medzi nimi je znak nerovnosti:

Ak ich chcete porovnať, musíte sa najprv pozrieť na základ logaritmov a:

• Ak a > 0, potom f(x) > g(x) > 0
• Ak 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Ako riešiť problémy s logaritmami: príklady

Problémy s logaritmami zaradenej do Jednotnej štátnej skúšky z matematiky pre 11. ročník v úlohe 5 a úlohe 7, úlohy s riešením nájdete na našej stránke v príslušných sekciách. V banke matematických úloh sa nachádzajú aj úlohy s logaritmami. Všetky príklady nájdete na stránke.

Čo je logaritmus

Logaritmy boli vždy považované za zložitú tému v školských kurzoch matematiky. Je ich veľa rôzne definície logaritmus, ale z nejakého dôvodu väčšina učebníc používa najkomplexnejšie a neúspešné z nich.

Logaritmus definujeme jednoducho a jasne. Ak to chcete urobiť, vytvorte tabuľku:

Takže máme mocniny dvoch.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, ako riešiť

Ak vezmete číslo zo spodného riadku, ľahko nájdete moc, na ktorú budete musieť zvýšiť dvojku, aby ste toto číslo získali. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz vlastne definícia logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na ktorú sa číslo a musí zvýšiť, aby sa získalo číslo x.

Označenie: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čomu sa v skutočnosti rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). S rovnakým úspechom log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Zavolá sa operácia hľadania logaritmu čísla k danému základu. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa počítajú tak ľahko. Skúste napríklad nájsť log 2 5. Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na intervale. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať do nekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mätie, kde je základ a kde argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, pozrite sa na obrázok:

Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, do ktorého musí byť základňa zabudovaná, aby sa získal argument. Je to podstavec, ktorý je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Hneď na prvej hodine poviem svojim študentom toto úžasné pravidlo – a nevznikne zmätok.

Ako počítať logaritmy

Definíciu sme si vymysleli – ostáva už len naučiť sa počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

1. Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je redukovaná definícia logaritmu.
2. Základ musí byť odlišný od jedného, ​​pretože jeden v akomkoľvek stupni stále zostáva jedným. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv rozsah prijateľných hodnôt(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu). Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať VA logaritmu. Všetky obmedzenia už autori problémov zohľadnili. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DL sa stanú povinnými. Koniec koncov, základ a argument môže obsahovať veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz uvažujme všeobecná schéma počítanie logaritmov. Pozostáva z troch krokov:

1. Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s minimálnym možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných miest;
2. Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to viditeľné už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. To isté s desatinné miesta: ak ich okamžite prevediete na bežné, bude oveľa menej chýb.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dostali sme odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dostali sme odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dostali sme odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nemôže byť vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa nepočíta;
3. Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako si môžete byť istý, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Je to veľmi jednoduché – stačí to započítať do hlavných faktorov. Ak má expanzia aspoň dva rôzne faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Úloha. Zistite, či sú čísla presné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 · 5 - opäť nie presná mocnina;
14 = 7 · 2 - opäť nie presný stupeň;

Všimnime si tiež, že my sami základné čísla sú vždy presné stupne samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a symbol.

argumentu x je logaritmus so základom 10, t.j. Mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo 10, aby sme získali číslo x. Označenie: lg x.

Napríklad log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však tento zápis nepoznáte, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desiatkové logaritmy.

Prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoje vlastné označenie. V niektorých ohľadoch je to ešte dôležitejšie ako desatinné číslo. Je to o o prirodzenom logaritme.

argumentu x je logaritmus so základom e, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x.

Mnoho ľudí sa bude pýtať: aké je číslo e? Toto je iracionálne číslo presná hodnota nemožno nájsť a zaznamenať. Uvediem len prvé čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, čo je toto číslo a prečo je potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jedného: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Pozri tiež:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnosť logaritmu).

Ako znázorniť číslo ako logaritmus?

Používame definíciu logaritmu.

Logaritmus je exponent, na ktorý sa musí základ zvýšiť, aby sa získalo číslo pod znamienkom logaritmu.

Ak teda chcete reprezentovať určité číslo c ako logaritmus k základu a, musíte pod znamienko logaritmu vložiť mocninu s rovnakým základom ako základ logaritmu a zapísať toto číslo c ako exponent:

Absolútne akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako logaritmus - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionálne, iracionálne:

Aby ste si nezamieňali a a c v stresujúcich podmienkach testu alebo skúšky, môžete použiť nasledujúce pravidlo zapamätania:

čo je dole, ide dole, čo je hore, ide hore.

Napríklad musíte reprezentovať číslo 2 ako logaritmus k základu 3.

Máme dve čísla - 2 a 3. Tieto čísla sú základ a exponent, ktoré zapíšeme pod znamienko logaritmu. Zostáva určiť, ktoré z týchto čísel sa má zapísať do základu stupňa a ktoré – až do exponentu.

Základ 3 v zápise logaritmu je naspodku, čo znamená, že keď zadáme dvojku ako logaritmus k základu 3, zapíšeme aj 3 k základu.

2 je vyšší ako tri. A v zápise stupňa dva píšeme nad tri, teda ako exponent:

Logaritmy. Prvá úroveň.

Logaritmy

Logaritmus kladné číslo b založené na a, Kde a > 0, a ≠ 1, sa nazýva exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a, Získať b.

Definícia logaritmu dá sa to stručne napísať takto:

Táto rovnosť platí pre b > 0, a > 0, a ≠ 1. Zvyčajne sa to nazýva logaritmická identita.
Volá sa akcia nájdenia logaritmu čísla pomocou logaritmu.

Vlastnosti logaritmov:

Logaritmus produktu:

Logaritmus kvocientu:

Výmena logaritmickej základne:

Logaritmus stupňov:

Logaritmus koreňa:

Logaritmus s výkonovou základňou:

Desatinné a prirodzené logaritmy.

Desatinný logaritmusčísla volajú logaritmus tohto čísla so základom 10 a píšu   lg b
Prirodzený logaritmusčísla sa nazývajú logaritmus tohto čísla so základom e, Kde e- iracionálne číslo približne rovné 2,7. Zároveň píšu ln b.

Ďalšie poznámky o algebre a geometrii

Základné vlastnosti logaritmov

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Uvažujme dva logaritmy s rovnakými základňami: log a x a log a y. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa jeho jednotlivé časti nepočítajú (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Denník 6 4 + denník 6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Základ a argument tam stojaceho logaritmu sme prezentovali vo forme mocnin a vyňali exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je to dané logaritmus logaritmu sekera. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v konvenčných číselné výrazy. To, aké pohodlné sú, je možné vyhodnotiť iba rozhodnutím logaritmické rovnice a nerovnosti.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu.

V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. log a a = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. log a 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pojem logaritmu a základná logaritmická identita

Pojem logaritmus a základná logaritmická identita spolu úzko súvisia, pretože definícia logaritmu v matematickom zápise je .

Základná logaritmická identita vyplýva z definície logaritmu:

Definícia 1

Logaritmus volajú exponent $n$, po umocnení ktorého čísla $a$ dostanú číslo $b$.

Poznámka 1

Exponenciálna rovnica$a^n=b$ pre $a > 0$, $a \ne 1$ nemá žiadne riešenia pre nekladné $b$ a má jeden koreň pre kladné $b$. Tento koreň sa nazýva logaritmus čísla $b$ na základ $a$ a napíšte:

$a^(\log_(a) b)=b$.

Definícia 2

Výraz

$a^(\log_(a) b)=b$

volal základná logaritmická identita za predpokladu, že $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Príklad 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

10 $^(\lg23)=23 $.

Základná logaritmická identita

Hlavná logaritmická identita sa nazýva preto používa sa takmer vždy pri práci s logaritmami. Okrem toho sú s jeho pomocou podložené základné vlastnosti logaritmov.

Príklad 2

$7^5=16,807$, teda $\log_(7)16,807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, teda $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, teda $\log_(11)⁡1=0$.

Uvažujme dôsledok základnej logaritmickej identity:

Definícia 3

Ak sú dva logaritmy s rovnakými základmi rovnaké, potom sú logaritmické výrazy rovnaké:

ak $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, potom $b=c$.

Uvažujme obmedzenia, ktoré sa používajú na logaritmickú identitu:

Pretože pri zvyšovaní jednoty na akúkoľvek mocnosť vždy dostaneme jednotku a rovnosť $x=\log_(a)⁡b$ existuje len pre $b=1$, potom $\log_(1)⁡1$ bude ľubovoľná Reálne číslo. Aby ste sa vyhli tejto nejednoznačnosti, vezmite $a \ne 1$.

Logaritmus pre $a=0$ môže podľa definície existovať iba pre $b=0$. Pretože Keď zvýšime nulu na ľubovoľnú mocninu, vždy dostaneme nulu, potom $\log_(0)⁡0$ môže byť akékoľvek reálne číslo. Aby ste sa vyhli tejto nejednoznačnosti, vezmite $a \ne 0$. Za $ racionálne a iracionálne logaritmické hodnoty, pretože stupeň s racionálnym a iracionálnym exponentom možno vypočítať len pre kladné základy. Aby ste predišli tejto situácii, vezmite $a > 0$.

$b > 0$ vyplýva z podmienky $a > 0$, keďže $x=\log_(a)⁡b$ a mocnina kladného čísla a bude vždy kladná.

Základná logaritmická identita sa často používa na zjednodušenie logaritmických výrazov.

Príklad 3

Vypočítajte $81^(\log_(9) 7)$.

Riešenie.

Aby bolo možné použiť základnú logaritmickú identitu, je potrebné, aby základ logaritmu a mocniny boli rovnaké. Zapíšme si základ titulu v tvare:

Teraz môžeme napísať:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

Použime vlastnosť sily:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

základnú logaritmickú identitu možno teraz použiť na každý faktor:

$=7 \cdot 7=49$.

Poznámka 2

Ak chcete použiť základnú logaritmickú identitu, môžete sa tiež uchýliť k nahradeniu základne logaritmu výrazom, ktorý sa objaví pod znakom logaritmu a naopak.

Príklad 4

Vypočítajte $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

Riešenie.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

Odpoveď: $11$.

Príklad 5

Vypočítajte $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.