Logaritmus čísla N založené na A nazývaný exponent X , ku ktorému je potrebné postaviť A získať číslo N

Za predpokladu, že
,
,

Z definície logaritmu to vyplýva
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.

Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto
písať
.

Logaritmy na základňu e sa nazývajú prirodzené a sú určené
.

Základné vlastnosti logaritmov.

Logaritmus jedna sa rovná nule pre akúkoľvek základňu.

Logaritmus produktu rovná súčtu logaritmy faktorov.

3) Logaritmus podielu rovná rozdielu logaritmy

Faktor
nazývaný modul prechodu z logaritmu na základ a na logaritmy na základni b .

Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.

Napríklad,

Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie inverzné k logaritmom sa nazývajú potenciácia.

Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.

1. Limity

Limit funkcie
je konečné číslo A, ak, as xx 0 pre každú vopred určenú
, existuje také číslo
že hneď ako
, To
.

Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo:
, kde- b.m.v., t.j.
.

Príklad. Zvážte funkciu
.

Pri snažení
, funkcia r má tendenciu k nule:

1.1. Základné teorémy o limitách.

Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote

.

Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.

Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limitov týchto funkcií.

Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limitov týchto funkcií, ak limita menovateľa nie je nula.

Úžasné limity

,
, Kde

1.2. Príklady výpočtu limitov

Nie všetky limity sa však vypočítajú tak jednoducho. Výpočet limitu častejšie vedie k odhaleniu neistoty typu: alebo .

.

2. Derivácia funkcie

Dajme si funkciu
, kontinuálne na segmente
.

Argumentovať dostal nejaký nárast
. Potom funkcia dostane prírastok
.

Hodnota argumentu zodpovedá hodnote funkcie
.

Hodnota argumentu
zodpovedá hodnote funkcie.

Preto, .

Nájdite hranicu tohto pomeru na
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.

Definícia 3 Derivácia danej funkcie
argumentom sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.

Derivácia funkcie
možno označiť takto:

; ; ; .

Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa volá diferenciácie.

2.1. Mechanický význam derivátu.

Uvažujme priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.

Nech v určitom okamihu pohyblivý bod
bol na diaľku z východiskovej pozície
.

Po určitom čase
posunula sa na diaľku
. Postoj =- priemerná rýchlosť hmotný bod
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy
.

V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti pohybu hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.

2.2. Geometrická hodnota derivátu

Majme graficky definovanú funkciu
.

Ryža. 1. Geometrický význam derivácie

Ak
, potom bod
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu
.

Preto
, t.j. hodnota derivácie pre danú hodnotu argumentu číselne sa rovná dotyčnici uhla, ktorý zviera dotyčnica v danom bode s kladným smerom osi
.

2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.

Funkcia napájania

Exponenciálna funkcia

Logaritmická funkcia

Goniometrická funkcia

Inverzná goniometrická funkcia

2.4. Pravidlá diferenciácie.

Derivát z

Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií

Derivácia súčinu dvoch funkcií

Derivácia podielu dvoch funkcií

2.5. Derivát z komplexná funkcia.

Nech je funkcia daná
tak, aby mohol byť zastúpený vo forme

A
, kde premenná je teda prechodný argument

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na x.

Príklad 1

Príklad 2

3. Diferenciálna funkcia.

Nech je tam
, diferencovateľné na nejakom intervale
nechaj to tak pri táto funkcia má deriváciu

,

potom môžeme písať

(1),

Kde - nekonečne malé množstvo,

odkedy

Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o
máme:

Kde
- b.m.v. vyššia moc.

Rozsah
nazývaný diferenciál funkcie
a je určený

.

3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.

Nech je funkcia daná
.

Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.

.

Je zrejmé, že diferenciál funkcie
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.

3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.

Ak tu
, Potom
sa nazýva prvý derivát.

Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a píše sa
.

Derivácia n-tého rádu funkcie
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:

.

Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva diferenciál druhého alebo druhého rádu.

.

.

3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.

Úloha 1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom
, Kde N - počet mikroorganizmov (v tisícoch), t – čas (dni).

b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?

Odpoveď. Veľkosť kolónie sa zvýši.

Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na sledovanie obsahu patogénnych baktérií. Cez t dní po testovaní je koncentrácia baktérií určená pomerom

.

Kedy bude mať jazero minimálnu koncentráciu baktérií a bude sa v ňom dať kúpať?

Riešenie: Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nula.

,

Stanovme si maximum alebo minimum za 6 dní. Aby sme to dosiahli, zoberme si druhú deriváciu.

Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.

hlavné vlastnosti.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

rovnaké dôvody

Log6 4 + Log6 9.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.

Príklady riešenia logaritmov

Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Prechod na nový základ

Nech je to dané logaritmus logaritmu sekera. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Pozri tiež:

Základné vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého.

Základné vlastnosti logaritmov

Keď poznáte toto pravidlo, budete vedieť a presná hodnota vystavovateľov a dátum narodenia Leva Tolstého.

Príklady pre logaritmy

Logaritmické výrazy

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocou vlastností 3.5 vypočítame

2.

3.

4. Kde .

Príklad 2. Nájdite x ak

Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.

Logaritmické vzorce. Logaritmické riešenia príkladov.

Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v konvenčných číselné výrazy. To, aké pohodlné sú, je možné vyhodnotiť iba rozhodnutím logaritmické rovnice a nerovnosti.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce pre prechod na novú základňu, hlavné logaritmická identita niekedy je to jediné možné riešenie.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Vzhľadom na pravidlá pre násobenie právomocí s rovnaký základ, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pozri tiež:

Logaritmus b na základ a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť mocninu x (), pri ktorej je splnená rovnosť

Základné vlastnosti logaritmu

Je potrebné poznať vyššie uvedené vlastnosti, pretože takmer všetky problémy a príklady súvisiace s logaritmami sú riešené na ich základe. Zvyšok exotických vlastností možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri výpočte vzorca pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) narazíte pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.

Bežné prípady logaritmov

Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dva.
Logaritmus na základ desať sa zvyčajne nazýva desiatkový logaritmus a jednoducho sa označuje lg(x).

Z nahrávky je zrejmé, že základy nie sú napísané v nahrávke. Napríklad

Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent sa rovná 2,7 a dvojnásobku roku narodenia Leva Nikolajeviča Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

A ďalší dôležitý logaritmus k základu dva je označený

Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou

Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený vzťahom

Daný materiál vám postačí na riešenie širokej triedy problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Aby som vám pomohol pochopiť materiál, uvediem len niekoľko bežných príkladov z školské osnovy a univerzity.

Príklady pre logaritmy

Logaritmické výrazy

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocou vlastností 3.5 vypočítame

2.
Vlastnosťou rozdielu logaritmov máme

3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme

4. Kde .

Podľa výzoru komplexný prejav pomocou množstva pravidiel je zjednodušená forma

Nájdenie hodnôt logaritmu

Príklad 2. Nájdite x ak

Riešenie. Pre výpočet použijeme na posledný termín 5 a 13 nehnuteľností

Dáme to na záznam a smútime

Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy

Logaritmy. Prvá úroveň.

Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Riešenie: Zoberme si logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet jej členov

Toto je len začiatok nášho oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – vedomosti, ktoré získate, budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti...

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový bod je tu rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ aj menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Logaritmus čísla b (b > 0) na základ a (a > 0, a ≠ 1)– exponent, na ktorý treba zvýšiť číslo a, aby sme získali b.

Logaritmus základu 10 z b možno zapísať ako log(b) a logaritmus k základu e (prirodzený logaritmus) je ln(b).

Často sa používa pri riešení problémov s logaritmami:

Vlastnosti logaritmov

Existujú štyri hlavné vlastnosti logaritmov.

Nech a > 0, a ≠ 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnosť 1. Logaritmus súčinu

Logaritmus produktu rovná sa súčtu logaritmov:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnosť 2. Logaritmus kvocientu

Logaritmus kvocientu rovná sa rozdielu logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnosť 3. Logaritmus sily

Logaritmus stupňov rovná súčinu mocniny a logaritmu:

Ak je základ logaritmu v stupňoch, potom platí iný vzorec:

Vlastnosť 4. Logaritmus koreňa

Túto vlastnosť možno získať z vlastnosti logaritmu mocniny, pretože n-tá odmocnina sa rovná mocnine 1/n:

Vzorec na prevod z logaritmu v jednom základe na logaritmus v inom základe

Tento vzorec sa tiež často používa pri riešení rôznych úloh na logaritmoch:

Špeciálny prípad:

Porovnanie logaritmov (nerovnosti)

Majme 2 funkcie f(x) a g(x) pod logaritmami s rovnakými základňami a medzi nimi je znamienko nerovnosti:

Ak ich chcete porovnať, musíte sa najprv pozrieť na základ logaritmov a:

• Ak a > 0, potom f(x) > g(x) > 0
• Ak 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Ako riešiť problémy s logaritmami: príklady

Problémy s logaritmami zaradenej do Jednotnej štátnej skúšky z matematiky pre 11. ročník v úlohe 5 a úlohe 7, úlohy s riešením nájdete na našej stránke v príslušných sekciách. V banke matematických úloh sa nachádzajú aj úlohy s logaritmami. Všetky príklady nájdete na stránke.

Čo je logaritmus

Logaritmy boli vždy považované za zložitú tému v školských kurzoch matematiky. Je ich veľa rôzne definície logaritmus, ale z nejakého dôvodu väčšina učebníc používa najkomplexnejšie a neúspešné z nich.

Logaritmus definujeme jednoducho a jasne. Ak to chcete urobiť, vytvorte tabuľku:

Takže máme mocniny dvoch.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, ako riešiť

Ak vezmete číslo zo spodného riadku, ľahko nájdete moc, na ktorú budete musieť zvýšiť dvojku, aby ste toto číslo získali. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz vlastne definícia logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na ktorú sa číslo a musí zvýšiť, aby sa získalo číslo x.

Označenie: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čomu sa v skutočnosti rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). S rovnakým úspechom log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Zavolá sa operácia hľadania logaritmu čísla k danému základu. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa počítajú tak ľahko. Skúste napríklad nájsť log 2 5. Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na intervale. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať do nekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mätie, kde je základ a kde argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, pozrite sa na obrázok:

Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, do ktorého musí byť základňa zabudovaná, aby sa získal argument. Je to podstavec, ktorý je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Hneď na prvej hodine poviem svojim študentom toto úžasné pravidlo – a nevznikne zmätok.

Ako počítať logaritmy

Definíciu sme si vymysleli – ostáva už len naučiť sa počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

1. Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je redukovaná definícia logaritmu.
2. Základ musí byť odlišný od jedného, ​​pretože jeden v akomkoľvek stupni stále zostáva jedným. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv regiónu prijateľné hodnoty (ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu). Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať VA logaritmu. Všetky obmedzenia už autori problémov zohľadnili. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DL sa stanú povinnými. Koniec koncov, základ a argument môže obsahovať veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz uvažujme všeobecná schéma počítanie logaritmov. Pozostáva z troch krokov:

1. Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s minimálnym možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných miest;
2. Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to viditeľné už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. To isté s desatinné miesta: ak ich okamžite prevediete na bežné, bude oveľa menej chýb.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dostali sme odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dostali sme odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dostali sme odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nemôže byť vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa nepočíta;
3. Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako si môžete byť istý, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Je to veľmi jednoduché – stačí to započítať do hlavných faktorov. Ak má expanzia aspoň dva rôzne faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Úloha. Zistite, či sú čísla presné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 · 5 - opäť nie presná mocnina;
14 = 7 · 2 - opäť nie presný stupeň;

Všimnime si tiež, že my sami základné čísla sú vždy presné stupne samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a symbol.

argumentu x je logaritmus so základom 10, t.j. Mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo 10, aby sme získali číslo x. Označenie: lg x.

Napríklad log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však tento zápis nepoznáte, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desiatkové logaritmy.

Prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoje vlastné označenie. V niektorých ohľadoch je to ešte dôležitejšie ako desatinné číslo. Je to o o prirodzenom logaritme.

argumentu x je logaritmus so základom e, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x.

Mnoho ľudí sa bude pýtať: aké je číslo e? Toto je iracionálne číslo, jeho presnú hodnotu nemožno nájsť a zapísať. Uvediem len prvé čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, čo je toto číslo a prečo je potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jedného: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Pozri tiež:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnosť logaritmu).

Ako znázorniť číslo ako logaritmus?

Používame definíciu logaritmu.

Logaritmus je exponent, na ktorý sa musí základ zvýšiť, aby sa získalo číslo pod znamienkom logaritmu.

Ak teda chcete reprezentovať určité číslo c ako logaritmus k základu a, musíte pod znamienko logaritmu vložiť mocninu s rovnakým základom ako základ logaritmu a zapísať toto číslo c ako exponent:

Absolútne akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako logaritmus - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionálne, iracionálne:

Aby ste si nezamieňali a a c v stresujúcich podmienkach testu alebo skúšky, môžete použiť nasledujúce pravidlo zapamätania:

čo je dole, ide dole, čo je hore, ide hore.

Napríklad musíte reprezentovať číslo 2 ako logaritmus k základu 3.

Máme dve čísla - 2 a 3. Tieto čísla sú základ a exponent, ktoré zapíšeme pod znamienko logaritmu. Zostáva určiť, ktoré z týchto čísel sa má zapísať do základu stupňa a ktoré – až do exponentu.

Základ 3 v zápise logaritmu je dole, čo znamená, že keď zadáme dvojku ako logaritmus k základu 3, zapíšeme aj 3 k základu.

2 je vyšší ako tri. A v zápise stupňa dva píšeme nad tri, teda ako exponent:

Logaritmy. Prvá úroveň.

Logaritmy

Logaritmus kladné číslo b založené na a, Kde a > 0, a ≠ 1, sa nazýva exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a, Získať b.

Definícia logaritmu dá sa to stručne napísať takto:

Táto rovnosť platí pre b > 0, a > 0, a ≠ 1. Zvyčajne sa to nazýva logaritmická identita.
Volá sa akcia nájdenia logaritmu čísla pomocou logaritmu.

Vlastnosti logaritmov:

Logaritmus produktu:

Logaritmus kvocientu:

Výmena logaritmickej základne:

Logaritmus stupňov:

Logaritmus koreňa:

Logaritmus s výkonovou základňou:

Desatinné a prirodzené logaritmy.

Desatinný logaritmusčísla volajú logaritmus tohto čísla so základom 10 a píšu   lg b
Prirodzený logaritmusčísla sa nazývajú logaritmus tohto čísla so základom e, Kde e- iracionálne číslo približne rovné 2,7. Zároveň píšu ln b.

Ďalšie poznámky o algebre a geometrii

Základné vlastnosti logaritmov

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.

Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Uvažujme dva logaritmy s rovnakými základňami: log a x a log a y. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový bod je tu rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Denník 6 4 + denník 6 9.

Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.

Extrahovanie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaná ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak , t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:

Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus log a x. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz „otočme“ druhý logaritmus:

Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu.

V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Tak sa to volá: .

Čo sa vlastne stane, ak sa číslo b zvýši na takú mocninu, že číslo b s touto mocninou dáva číslo a? Správne: výsledkom je rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.

Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite význam výrazu:

Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. log a a = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. log a 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Logaritmus so základňou a je funkciou y (x) = log a x, inverzná k exponenciálnej funkcii so základom a: x (y) = a y.

Desatinný logaritmus je logaritmus k základu čísla 10 : log x ≡ log 10 x.

Prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritmu sa získa z grafu exponenciálnej funkcie Zrkadlový obraz vzhľadom na priamku y = x. Vľavo sú grafy funkcie y (x) = log a x pre štyri hodnoty logaritmické základy: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Graf ukazuje, že keď a > 1 logaritmus sa zvyšuje monotónne. Keď sa x zvyšuje, rast sa výrazne spomalí. O 0 < a < 1 logaritmus monotónne klesá.

Vlastnosti logaritmu

Doména, množina hodnôt, rastúca, klesajúca

Logaritmus je monotónna funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti logaritmu sú uvedené v tabuľke.

doména	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rozsah hodnôt	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotónne	monotónne zvyšuje	monotónne klesá
Nuly, y = 0	x = 1	x = 1
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	Nie	Nie
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Súkromné ​​hodnoty

Volá sa logaritmus so základom 10 desiatkový logaritmus a označuje sa takto:

Logaritmus na základňu e volal prirodzený logaritmus:

Základné vzorce pre logaritmy

Vlastnosti logaritmu vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmoch sa súčin faktorov konvertuje na súčty členov.

Potencovanie je inverzná matematická operácia logaritmu. Počas potenciácie sa daná báza zvýši na stupeň expresie, pri ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov transformujú na produkty faktorov.

Dôkaz základných vzorcov pre logaritmy

Vzorce súvisiace s logaritmami vyplývajú zo vzorcov pre exponenciálne funkcie az definície inverznej funkcie.

Zvážte vlastnosť exponenciálnej funkcie
.
Potom
.
Aplikujme vlastnosť exponenciálnej funkcie
:
.

Dokážme základný náhradný vzorec.
;
.
Za predpokladu, že c = b, máme:

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota logaritmu k základu a je exponenciálna funkcia s exponentom a.

Ak potom

Ak potom

Derivácia logaritmu

Derivácia logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov >> >

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu, musíte ho zredukovať na základňu e.
;
.

Integrálne

Integrál logaritmu sa vypočíta integráciou po častiach: .
takže,

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
.
Vyjadrime komplexné číslo z cez modul r a argument φ :
.
Potom pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo

Avšak, argument φ nie sú jednoznačne definované. Ak dáte
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Keď dôjde k expanzii:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných exponentov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady využitia tejto funkcie nájdete takmer všade tam, kde si potrebujete zjednodušiť ťažkopádne násobenie jednoduchým sčítaním. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchým a prístupným jazykom.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (teda akéhokoľvek kladného) „b“ k základu „a“ sa považuje za mocninu „c“. “, na ktorú musí byť základ „a“ zvýšený, aby sa nakoniec získala hodnota „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť výkon tak, aby od 2 po požadovaný výkon dostal 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov v hlave dostaneme číslo 3! A to je pravda, pretože 2 ku 3 dáva odpoveď ako 8.

Typy logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri jednotlivé druhy logaritmické výrazy:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich riešení.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a tiež nie je možné z nich extrahovať párny koreň záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• Základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a nie rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že „c“ musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Úlohou je napríklad nájsť odpoveď na rovnicu 10 x = 100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť mocninu zvýšením čísla desať, na ktoré sa dostaneme 100. To je samozrejme 10 2 = 100.

Teraz si predstavme tento výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov sa všetky akcie prakticky zbiehajú, aby našli mocninu, do ktorej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak pre veľké hodnoty budete potrebovať tabuľku stupňov. Využiť ho môžu aj tí, ktorí o zložitých matematických témach nevedia vôbec nič. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný riadok čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky obsahujú číselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najpravdivejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnosť. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako základný 3 logaritmus 81 rovný štyrom (log 3 81 = 4). Pre negatívne sily pravidlá sú rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Na príklady a riešenia rovníc sa pozrieme nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnosť, pretože neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla so základom dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti je rozsah prijateľných hodnoty a body sú určené porušovaním tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi na rovnicu, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh hľadania hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. Na príklady rovníc sa pozrieme neskôr, najprv sa pozrime na každú vlastnosť podrobnejšie.

1. Hlavná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, keď a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je povinná podmienka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec môžete dokázať príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupne ), a potom podľa definície: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo bolo potrebné dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva „vlastnosť stupňa logaritmu“. Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika je založená na prirodzených postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nech log a b = t, ukáže sa a t =b. Ak obe časti zdvihneme na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n, preto log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi problémov na logaritmoch sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež povinnou súčasťou skúšok z matematiky. Ak chcete vstúpiť na univerzitu alebo zložiť prijímacie skúšky z matematiky, musíte vedieť, ako správne riešiť takéto úlohy.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, dá sa však použiť na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu. určité pravidlá. V prvom rade by ste si mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo naviesť celkový vzhľad. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme sa s nimi rýchlo zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc musíme určiť, aký typ logaritmu máme: vzorový výraz môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že potrebujú určiť výkon, s ktorým bude základňa 10 rovná 100 a 1026. Ak chcete vyriešiť prirodzené logaritmy, musíte použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia základných teorémov o logaritmoch.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu môže byť použitá v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti logaritmickej mocniny sa nám podarilo vyriešiť zdanlivo zložitý a neriešiteľný výraz. Stačí vypočítať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy z jednotnej štátnej skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Zvyčajne sú tieto úlohy prítomné nielen v časti A (najľahšie testovacia časť skúška), ale aj v časti C (najzložitejšie a najobjemnejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy „Prirodzené logaritmy“.

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych Možnosti jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, podľa definície logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, teda 2x = 17; x = 8,5.

• Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, preto keď exponent výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a jeho základ sa vyberie ako násobiteľ, výraz zostávajúci pod logaritmom musí byť kladný.