Komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia mocninno-exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si upevníme preberaný materiál, pozrieme sa na zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými technikami a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Pre tých čitateľov, ktorí majú nízky level príprava, mali by ste si prečítať článok Ako nájsť derivát? Príklady riešení, čo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej si musíte stránku dôkladne preštudovať Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky už tretia v poradí a po jej zvládnutí s istotou odlíšite dosť zložité funkcie. Je nežiaduce zastávať pozíciu „Kde inde? Áno, to stačí! “, pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté zo skutočnosti testy a v praxi sa s nimi často stretávame.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia komplexnej funkcie Pozreli sme sa na množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných odvetví matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie vždy je vhodné (a nie vždy potrebné) opisovať príklady veľmi podrobne. Preto si hľadanie derivátov precvičíme ústne. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších zložitých funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexná funkcia :

Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent vie takéto deriváty nájsť na autopilotovi. Predstavme si, že o 3. hodine ráno bola a hovor a príjemný hlas sa spýtal: "Aká je derivácia dotyčnice dvoch X?" Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na samostatné riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednej akcii, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si si to ešte nepamätal). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia komplexnej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci hodiny

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 hniezdeniami funkcií menej desivé. Nasledujúce dva príklady sa niekomu môžu zdať komplikované, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte vám bude pripadať ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správny POCHOPTE svoje investície. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam užitočný trik: vezmeme si napríklad experimentálny význam „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo v koncepte) nahradiť tento význam výrazom „strašný“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že súčet je najhlbšie vloženie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus:

5) V piatom kroku rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexnej funkcie sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že neexistujú žiadne chyby...

(1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmite deriváciu kosínusu.

(5) Vezmite deriváciu logaritmu.

(6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho vloženia.

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetku krásu a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že radi dávajú podobnú vec na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je na to, aby ste ho vyriešili sami.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo menšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad ukazuje súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v uvažovanom príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme súčin dvoch funkcií: a „ve“ označujeme logaritmus: . Prečo sa to dá urobiť? Je to možné – to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Môžete sa tiež skrútiť a dať niečo zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď presne v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad nezávislého riešenia, vo vzorke sa rieši pomocou prvej metódy.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Môžete sem ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, či sa dá odpoveď zjednodušiť? Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbavme sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlite nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych školských transformáciách. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu z zlomkovej mocniny a potom aj zo zlomku.

Preto predtým ako vziať deriváciu „sofistikovaného“ logaritmu, najprv sa zjednoduší pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte poznámkový blok, skopírujte si ich na kus papiera, pretože zvyšné príklady lekcie sa budú točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť napísané asi takto:

Transformujme funkciu:

Nájdenie derivátu:

Predkonverzia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa navrhuje podobný logaritmus na diferenciáciu, vždy sa odporúča „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede sú na konci lekcie.

Logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmu taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka: je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Nedávno sme sa pozreli na podobné príklady. Čo robiť? Postupne môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že skončíte s obrovským trojposchodovým zlomkom, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame pod prvočíslom:

Odvodenie pravej strany je celkom jednoduché, nebudem to komentovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste s ním sebavedomo narábať.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „Y“?

Faktom je, že táto „hra s jedným písmenom“ - JE SAMA FUNKCIOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus externou funkciou a „y“ je vnútorná funkcia. A používame pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Na ľavej strane akoby kúzlom Kúzelná palička máme derivát . Ďalej, podľa pravidla proporcie, prenesieme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomeňme, o akej funkcii „hráča“ sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Vzorový návrh príkladu tohto typu je na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia mocninno-exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Mocninno-exponenciálna funkcia je funkcia, pre ktorú stupeň aj základ závisia od „x“. Klasický príklad, ktorý vám bude uvedený v akejkoľvek učebnici alebo prednáške:

Ako nájsť deriváciu mocninno-exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve diskutovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Spravidla sa na pravej strane stupeň odoberá spod logaritmu:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme deriváciu, aby sme to urobili, uzatvoríme obe časti pod ťahy:

Ďalšie akcie sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorý prevod nie je úplne jasný, pozorne si prečítajte vysvetlenia príkladu č. 11.

V praktických úlohách bude mocninno-exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov – „x“ a „logaritmus logaritmu x“ (pod logaritmus je vnorený ďalší logaritmus). Pri diferencovaní, ako si pamätáme, je lepšie okamžite presunúť konštantu z derivačného znamienka, aby neprekážala; a samozrejme uplatňujeme známe pravidlo :

Ako vidíte, algoritmus na použitie logaritmickej derivácie neobsahuje žiadne špeciálne triky alebo triky a nájdenie derivácie mocninovej exponenciálnej funkcie zvyčajne nie je spojené s „mučením“.

Funkcie komplexný typ nie vždy zodpovedajú definícii komplexnej funkcie. Ak existuje funkcia tvaru y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, potom ju nemožno považovať za komplexnú, na rozdiel od y = sin 2 x.

Tento článok ukáže koncept komplexnej funkcie a jej identifikáciu. Pracujme so vzorcami na nájdenie derivácie s príkladmi riešení v závere. Použitie tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie výrazne skracuje čas na nájdenie derivátu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základné definície

Definícia 1

Komplexná funkcia je taká, ktorej argument je tiež funkciou.

Označuje sa takto: f (g (x)). Máme, že funkcia g (x) sa považuje za argument f (g (x)).

Definícia 2

Ak existuje funkcia f a je funkciou kotangens, potom g(x) = ln x je funkcia prirodzený logaritmus. Zistíme, že komplexnú funkciu f (g (x)) zapíšeme ako arctg (lnx). Alebo funkcia f, čo je funkcia umocnená na 4. mocninu, kde g (x) = x 2 + 2 x - 3 sa považuje za celú racionálnu funkciu, dostaneme, že f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4.

Je zrejmé, že g(x) môže byť komplexný. Z príkladu y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 je zrejmé, že hodnota g má odmocninu zlomku. Tento výraz možno označiť ako y = f (f 1 (f 2 (x))). Odkiaľ máme, že f je sínusová funkcia a f 1 je funkcia nachádzajúca sa pod odmocnina, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - zlomková racionálna funkcia.

Definícia 3

Stupeň hniezdenia je určený ľubovoľným prirodzené číslo a zapisuje sa ako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definícia 4

Koncept zloženia funkcie sa týka počtu vnorených funkcií podľa podmienok problému. Na riešenie použite vzorec na nájdenie derivácie komplexnej funkcie tvaru

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie v tvare y = (2 x + 1) 2.

Riešenie

Podmienka ukazuje, že f je kvadratická funkcia a g(x) = 2 x + 1 sa považuje za lineárnu funkciu.

Použime derivačný vzorec pre komplexnú funkciu a napíšme:

f" (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Je potrebné nájsť deriváciu so zjednodušeným pôvodným tvarom funkcie. Dostaneme:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Odtiaľ to máme

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky boli rovnaké.

Pri riešení problémov tohto typu je dôležité pochopiť, kde sa bude nachádzať funkcia tvaru f a g (x).

Príklad 2

Mali by ste nájsť deriváty komplexných funkcií v tvare y = sin 2 x a y = sin x 2.

Riešenie

Prvý zápis funkcie hovorí, že f je funkcia kvadratúry a g(x) je funkcia sínus. Potom to dostaneme

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sínusová funkcia a g(x) = x 2 je označené výkonová funkcia. Z toho vyplýva, že súčin komplexnej funkcie píšeme ako

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Vzorec pre deriváciu y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) sa zapíše ako y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. .. ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (... (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (... (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Riešenie

Tento príklad ukazuje náročnosť zápisu a určovania umiestnenia funkcií. Potom y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označuje, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkcia sínus, funkcia zvyšovania do 3 stupňov, funkcia s logaritmom a základom e, arkustangens a lineárna funkcia.

Zo vzorca na definovanie komplexnej funkcie to máme

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dostaneme to, čo potrebujeme nájsť

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ako derivácia sínusu podľa tabuľky derivácií, potom f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ako derivácia mocninovej funkcie, potom f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x).
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) ako logaritmická derivácia, potom f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) ako derivácia arkustangens, potom f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri hľadaní derivácie f 4 (x) = 2 x odstráňte 2 zo znamienka derivácie pomocou vzorca pre deriváciu mocninnej funkcie s exponentom rovným 1, potom f 4 " (x) = (2 x) "= 2 x" = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

Skombinujeme medzivýsledky a dostaneme to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takýchto funkcií pripomína hniezdiace bábiky. Diferenciačné pravidlá nemožno vždy použiť explicitne pomocou derivačnej tabuľky. Často je potrebné použiť vzorec na nájdenie derivátov komplexných funkcií.

Existujú určité rozdiely medzi zložitým vzhľadom a zložitými funkciami. S jasnou schopnosťou rozlíšiť to bude hľadanie derivátov obzvlášť jednoduché.

Príklad 4

Je potrebné zvážiť uvedenie takéhoto príkladu. Ak existuje funkcia tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1, potom ju možno považovať za komplexnú funkciu tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zrejmé, že pre komplexný derivát je potrebné použiť vzorec:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g2 - 1 (x) + 3 g" (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcia tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 sa nepovažuje za komplexnú, pretože má súčet t g x 2, 3 t g x a 1. Avšak t g x 2 sa považuje za komplexnú funkciu, potom získame mocninnú funkciu v tvare g (x) = x 2 a f, čo je tangensová funkcia. Ak to chcete urobiť, rozlišujte podľa množstva. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 čo 2 x

Prejdime k hľadaniu derivácie komplexnej funkcie (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcie komplexného typu môžu byť zahrnuté do komplexných funkcií a samotné komplexné funkcie môžu byť zložkami funkcií komplexného typu.

Príklad 5

Uvažujme napríklad komplexnú funkciu v tvare y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Táto funkcia môže byť reprezentovaná ako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkciou logaritmu so základom 3 a g (x) sa považuje za súčet dvoch funkcií tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Je zrejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Zvážte funkciu h(x). Toto je pomer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je súčet dvoch funkcií n (x) = x 2 + 7 a p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexná funkcia s číselným koeficientom 3 a p 1 je funkcia kocky, p 2 pomocou kosínusovej funkcie, p 3 (x) = 2 x + 1 pomocou lineárnej funkcie.

Zistili sme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je súčet dvoch funkcií q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexná funkcia, q 1 je funkcia s exponenciálou, q 2 (x) = x 2 je mocninová funkcia.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prechode na výraz v tvare k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) je zrejmé, že funkcia je prezentovaná v tvare komplexu s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) s racionálnym celým číslom t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkcia druhej mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmická s základ e.

Z toho vyplýva, že výraz bude mať tvar k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Potom to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na základe štruktúr funkcie sa ukázalo, ako a aké vzorce treba použiť na zjednodušenie výrazu pri jeho diferenciácii. Pre oboznámenie sa s takýmito problémami a pre koncepciu ich riešenia je potrebné obrátiť sa k bodu diferencovania funkcie, teda hľadania jej derivácie.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Keďže ste sem prišli, pravdepodobne ste už tento vzorec videli v učebnici

a urobte tvár takto:

Priateľ, neboj sa! V skutočnosti je všetko jednoducho poburujúce. Určite všetko pochopíte. Len jedna prosba - prečítajte si článok pomaly snažte sa pochopiť každý krok. Napísal som čo najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie, ale stále musíte pochopiť myšlienku. A nezabudnite vyriešiť úlohy z článku.

Čo je to komplexná funkcia?

Predstavte si, že sa sťahujete do iného bytu a preto balíte veci do veľkých krabíc. Predpokladajme, že potrebujete zbierať nejaké malé predmety, napríklad školské písacie potreby. Ak ich len hodíte do obrovskej krabice, okrem iného sa stratia. Aby ste tomu predišli, najskôr ich vložíte napríklad do vrecka, ktoré potom vložíte do veľkej škatule, ktorú následne zalepíte. Tento „komplexný“ proces je znázornený na obrázku nižšie:

Zdalo by sa, čo s tým má spoločné matematika? Áno, napriek tomu, že komplexná funkcia sa tvorí PRESNE ROVNAKÝM spôsobom! Len my „balíme“ nie zošity a perá, ale \(x\), pričom „balíky“ a „škatule“ sú odlišné.

Vezmime si napríklad x a „zabalíme“ ho do funkcie:

Výsledkom je, samozrejme, \(\cos⁡x\). Toto je naša „taška vecí“. Teraz to dáme do „škatule“ – zabalíme to napríklad do kubickej funkcie.

Čo sa nakoniec stane? Áno, je to tak, bude tam „taška vecí v škatuli“, to znamená „kosínus X na kocky“.

Výsledný dizajn je komplexná funkcia. V tom sa líši od jednoduchého NIEKOĽKO „vplyvov“ (balíčkov) sa aplikuje na jeden X v rade a ukáže sa, ako keby „funkcia z funkcie“ - „balenie v obale“.

V školskom kurze je veľmi málo typov týchto „balíčkov“, iba štyri:

Poďme teraz najprv „zabaliť“ X exponenciálna funkcia so základom 7 a potom do goniometrickej funkcie. Dostaneme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „zabalíme“ X dvakrát do goniometrické funkcie, najprv v a potom v:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednoduché, však?

Teraz napíšte funkcie sami, kde x:
- najprv sa „zabalí“ do kosínusu a potom do exponenciálnej funkcie so základom \(3\);
- najprv k piatej mocnine a potom k dotyčnici;
- najprv na logaritmus so základňou \(4\) , potom na mocninu \(-2\).

Odpovede na túto úlohu nájdete na konci článku.

Môžeme „zbaliť“ X nie dva, ale trikrát? Žiaden problém! A štyri, päť a dvadsaťpäťkrát. Tu je napríklad funkcia, v ktorej je x „zbalené“ \(4\)-krát:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takéto vzorce sa v školskej praxi nenájdu (študenti majú viac šťastia - tí môžu byť komplikovanejší☺).

"Rozbalenie" komplexnej funkcie

Pozrite sa znova na predchádzajúcu funkciu. Dokážete zistiť poradie „balenia“? Do čoho sa X napchalo ako prvé, do čoho potom a tak ďalej až do úplného konca. To znamená, ktorá funkcia je vnorená do ktorej? Vezmite si kus papiera a napíšte, čo si myslíte. Môžete to urobiť retiazkou so šípkami ako sme písali vyššie alebo iným spôsobom.

Teraz je správna odpoveď: najprv sa x „zabalilo“ do \(4\)-tej mocniny, potom sa výsledok zbalil do sínusu a ten sa zasa umiestnil do logaritmu na základ \(2\) , a nakoniec sa celá táto konštrukcia napchala do silových pätiek.

To znamená, že musíte rozvinúť sekvenciu V OPAČNOM PORADÍ. A tu je rada, ako to urobiť jednoduchšie: okamžite sa pozrite na X – mali by ste z neho tancovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Napríklad tu je nasledujúca funkcia: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pozeráme sa na X – čo sa s ním stane ako prvé? Prevzaté od neho. A potom? Zoberie sa tangens výsledku. Postupnosť bude rovnaká:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ďalší príklad: \(y=\cos⁡((x^3))\). Poďme analyzovať - ​​najprv sme X na kocky a potom vzali kosínus výsledku. To znamená, že postupnosť bude: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Venujte pozornosť, funkcia sa zdá byť podobná úplne prvej (kde má obrázky). Ale toto je úplne iná funkcia: tu v kocke je x (to znamená \(\cos⁡((x·x·x)))\) a tam v kocke je kosínus \(x\) ( tj \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tento rozdiel vyplýva z rôznych „baliacich“ sekvencií.

Posledný príklad (s dôležitá informácia v ňom): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Je jasné, že tu najprv robili aritmetické operácie s x, potom vzali sínus výsledku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). A to dôležitý bod: Napriek tomu, že aritmetické operácie nie sú samy osebe funkciami, tu fungujú aj ako spôsob „zbalenia“. Poďme sa ponoriť trochu hlbšie do tejto jemnosti.

Ako som povedal vyššie, v jednoduchých funkciách je x „zabalené“ raz a v zložitých funkciách - dva alebo viac. Navyše je to aj akákoľvek kombinácia jednoduchých funkcií (to znamená ich súčet, rozdiel, násobenie alebo delenie). jednoduchá funkcia. Napríklad \(x^7\) je jednoduchá funkcia a rovnako aj \(ctg x\). To znamená, že všetky ich kombinácie sú jednoduché funkcie:

\(x^7+ ctg x\) - jednoduché,
\(x^7· postieľka x\) – jednoduché,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednoduché atď.

Ak sa však na takúto kombináciu použije ešte jedna funkcia, stane sa z nej komplexná funkcia, pretože budú existovať dva „balíky“. Pozri diagram:

Dobre, pokračuj. Napíšte postupnosť „baliacich“ funkcií:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpovede sú opäť na konci článku.

Vnútorné a vonkajšie funkcie

Prečo musíme rozumieť vnoreniu funkcií? Čo nám to dáva? Faktom je, že bez takejto analýzy nebudeme schopní spoľahlivo nájsť deriváty vyššie uvedených funkcií.

A aby sme sa pohli ďalej, budeme potrebovať ešte dva pojmy: interné a externé funkcie. Je to veľmi jednoduchá vec, navyše sme ich už analyzovali vyššie: ak si spomenieme na našu analógiu na samom začiatku, potom je vnútorná funkcia „balíček“ a vonkajšia funkcia je „škatuľka“. Tie. to, v čom je X „zabalené“ ako prvé, je vnútorná funkcia a to, do čoho je „zabalená“ vnútorná funkcia, je už externé. No, je jasné prečo - je vonku, to znamená externe.

V tomto príklade: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcia \(\log_2⁡x\) je interná a
- vonkajší.

A v tomto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interné a
- vonkajší.

Dokončite posledný nácvik analýzy komplexných funkcií a prejdime konečne k tomu, s čím sme všetci začali – nájdeme deriváty komplexných funkcií:

Vyplňte prázdne miesta v tabuľke:

Derivácia komplexnej funkcie

Bravo, konečne sme sa dostali k „šéfovi“ tejto témy – vlastne k derivácii komplexnej funkcie a konkrétne k tej strašnej formulke z úvodu článku.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tento vzorec znie takto:

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu a deriváciu vnútornej funkcie.

A okamžite sa pozrite na diagram analýzy podľa slov, aby ste pochopili, čo robiť s čím:

Dúfam, že výrazy „derivát“ a „produkt“ nespôsobujú žiadne ťažkosti. „Komplexná funkcia“ - už sme to vyriešili. Háčik je v „deriváte vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu“. Čo to je?

Odpoveď: Toto je obvyklá derivácia vonkajšej funkcie, pri ktorej sa mení iba vonkajšia funkcia a vnútorná zostáva rovnaká. Stále nie je jasné? Dobre, použime príklad.

Majme funkciu \(y=\sin⁡(x^3)\). Je jasné, že vnútorná funkcia je tu \(x^3\) a vonkajšia
. Nájdime teraz derivát exteriéru vzhľadom na konštantný interiér.

Je uvedený dôkaz vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie. Podrobne sa zvažujú prípady, keď komplexná funkcia závisí od jednej alebo dvoch premenných. Zovšeobecnenie sa robí na prípad ľubovoľného počtu premenných.

Tu uvádzame odvodenie nasledujúcich vzorcov pre deriváciu komplexnej funkcie.
Ak potom
.
Ak potom
.
Ak potom
.

Derivácia komplexnej funkcie od jednej premennej

Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia v nasledujúcom tvare:
,
kde sú nejaké funkcie. Funkcia je diferencovateľná pre nejakú hodnotu premennej x. Funkcia je diferencovateľná pri hodnote premennej.
Potom je komplexná (zložená) funkcia diferencovateľná v bode x a jej derivácia je určená vzorcom:
(1) .

Vzorec (1) možno napísať aj takto:
;
.

Dôkaz

Uveďme si nasledujúci zápis.
;
.
Tu je funkcia premenných a , je funkcia premenných a . Ale vynecháme argumenty týchto funkcií, aby sme nezaťažili výpočty.

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bodoch x a , potom v týchto bodoch existujú derivácie týchto funkcií, čo sú nasledujúce limity:
;
.

Zvážte nasledujúcu funkciu:
.
Pre pevnú hodnotu premennej u je funkciou . To je zrejmé
.
Potom
.

Keďže funkcia je v bode diferencovateľná funkcia, v tomto bode je spojitá. Preto
.
Potom
.

Teraz nájdeme derivát.

.

Vzorec je osvedčený.

Dôsledok

Ak funkcia premennej x môže byť reprezentovaná ako komplexná funkcia komplexnej funkcie
,
potom je jeho derivácia určená vzorcom
.
Tu a tam sú niektoré diferencovateľné funkcie.

Aby sme dokázali tento vzorec, sekvenčne vypočítame deriváciu pomocou pravidla na derivovanie komplexnej funkcie.
Zvážte komplexnú funkciu
.
Jeho derivát
.
Zvážte pôvodnú funkciu
.
Jeho derivát
.

Derivácia komplexnej funkcie od dvoch premenných

Teraz nech komplexná funkcia závisí od niekoľkých premenných. Najprv sa pozrime na prípad komplexnej funkcie dvoch premenných.

Nech je funkcia závislá od premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia dvoch premenných v nasledujúcom tvare:
,
Kde
a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x;
- funkcia dvoch premenných, diferencovateľných v bode , . Potom je komplexná funkcia definovaná v určitom okolí bodu a má deriváciu, ktorá je určená vzorcom:
(2) .

Dôkaz

Keďže funkcie a sú v bode diferencovateľné, sú definované v určitom okolí tohto bodu, sú v bode spojité a v bode existujú ich derivácie, čo sú nasledujúce limity:
;
.
Tu
;
.
Vzhľadom na kontinuitu týchto funkcií v určitom bode máme:
;
.

Keďže funkcia je v bode diferencovateľná, je definovaná v určitom okolí tohto bodu, v tomto bode je spojitá a jej prírastok možno zapísať v nasledujúcom tvare:
(3) .
Tu

- prírastok funkcie, keď sú jej argumenty zvýšené o hodnoty a ;
;

- parciálne derivácie funkcie vzhľadom na premenné a .
Pre pevné hodnoty a a sú funkciami premenných a . Majú tendenciu k nule a:
;
.
Odvtedy a potom
;
.

Prírastok funkcie:

. :
.
Nahradíme (3):



.

Vzorec je osvedčený.

Derivácia komplexnej funkcie od viacerých premenných

Vyššie uvedený záver možno ľahko zovšeobecniť na prípad, keď počet premenných komplexnej funkcie je viac ako dve.

Napríklad, ak f je funkcia troch premenných, To
,
Kde
a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x;
- diferencovateľná funkcia troch premenných v bode , , .
Potom z definície diferencovateľnosti funkcie máme:
(4)
.
Pretože vďaka kontinuite,
; ; ,
To
;
;
.

Delením (4) a prekročením limitu dostaneme:
.

A na záver pouvažujme najvšeobecnejší prípad.
Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia n premenných v nasledujúcom tvare:
,
Kde
existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x;
- diferencovateľná funkcia n premenných v bode
, , ... , .
Potom
.

A veta o derivácii komplexnej funkcie, ktorej formulácia je nasledovná:

Nech 1) funkcia $u=\varphi (x)$ má v určitom bode $x_0$ deriváciu $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcia $y=f(u)$ mať v zodpovedajúcom bode $u_0=\varphi (x_0)$ deriváciu $y_(u)"=f"(u)$. Potom bude mať aj komplexná funkcia $y=f\left(\varphi (x) \right)$ v uvedenom bode deriváciu rovnú súčinu derivácií funkcií $f(u)$ a $\varphi ( x) $:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

alebo v kratšom zápise: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

V príkladoch v tejto časti majú všetky funkcie tvar $y=f(x)$ (t. j. uvažujeme len funkcie jednej premennej $x$). Preto sa vo všetkých príkladoch derivát $y"$ berie vzhľadom na premennú $x$. Aby sa zdôraznilo, že derivát sa berie vzhľadom na premennú $x$, namiesto $y sa často píše $y"_x$ "$.

Príklady č. 1, č. 2 a č. 3 načrtávajú podrobný postup hľadania derivácie komplexných funkcií. Príklad č.4 je určený pre úplnejšie pochopenie derivačnej tabuľky a má zmysel sa s ňou oboznámiť.

Je vhodné po preštudovaní látky v príkladoch č.1-3 prejsť na samostatné riešenie príkladov č.5, č.6 a č.7. Príklady #5, #6 a #7 obsahujú krátke riešenie, aby si čitateľ mohol skontrolovať správnosť svojho výsledku.

Príklad č.1

Nájdite deriváciu funkcie $y=e^(\cos x)$.

Potrebujeme nájsť deriváciu komplexnej funkcie $y"$. Keďže $y=e^(\cos x)$, potom $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Ak chcete nájdite deriváciu $ \left(e^(\cos x)\right)"$ použijeme vzorec č.6 z tabuľky derivácií. Aby sme mohli použiť vzorec č. 6, musíme vziať do úvahy, že v našom prípade $u=\cos x$. Ďalšie riešenie spočíva v jednoduchom dosadení výrazu $\cos x$ namiesto $u$ do vzorca č. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Teraz musíme nájsť hodnotu výrazu $(\cos x)"$. Opäť sa obrátime na tabuľku derivácií a vyberieme z nej vzorec č. 10. Dosadením $u=x$ do vzorca č. 10 máme : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Teraz pokračujme v rovnosti (1.1) a doplňte ju o nájdený výsledok:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Keďže $x"=1$, pokračujeme v rovnosti (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Takže z rovnosti (1.3) máme: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Prirodzene, vysvetlenia a medziľahlé rovnosti sa zvyčajne preskakujú, pričom sa nájdenie derivácie zapíše do jedného riadku, ako v rovnosti ( 1.3) Takže derivácia komplexnej funkcie bola nájdená, ostáva už len zapísať odpoveď.

Odpoveď: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Príklad č.2

Nájdite deriváciu funkcie $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Musíme vypočítať deriváciu $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Na začiatok si všimneme, že konštantu (t. j. číslo 9) možno vyňať z derivačného znamienka:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Teraz prejdime k výrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pre uľahčenie výberu požadovaného vzorca z tabuľky derivátov uvediem výraz dotyčný v tomto tvare: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Teraz je jasné, že je potrebné použiť vzorec č.2, t.j. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Nahraďte $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ a $\alpha=12$ do tohto vzorca:

Doplnením rovnosti (2.1) k získanému výsledku máme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))“ \tag (2.2) $$

V tejto situácii sa často stáva chyba, keď riešiteľ v prvom kroku vyberie namiesto vzorca vzorec $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ide o to, že derivácia vonkajšej funkcie musí byť na prvom mieste. Aby ste pochopili, ktorá funkcia bude externá voči výrazu $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, predstavte si, že počítate hodnotu výrazu $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ v nejakej hodnote $x$. Najprv vypočítate hodnotu $5^x$, potom výsledok vynásobíte 4, čím získate $4\cdot 5^x$. Teraz z tohto výsledku vezmeme arkustangens a získame $\arctg(4\cdot 5^x)$. Potom výsledné číslo zvýšime na dvanástu mocninu, čím dostaneme $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posledná akcia, t.j. zvýšenie na silu 12,- a bude vonkajšia funkcia. A práve od toho musíme začať hľadať deriváciu, čo sa urobilo v rovnosti (2.2).

Teraz musíme nájsť $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Použijeme vzorec č. 19 z tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Výsledný výraz trochu zjednodušíme, berúc do úvahy $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Rovnosť (2.2) sa teraz zmení na:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))“=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Zostáva nájsť $(4\cdot \ln x)"$. Vyberme konštantu (t.j. 4) z derivačného znamienka: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Pre Na nájdenie $(\ln x)"$ použijeme vzorec č. 8, do ktorého nahradíme $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Keďže $x"=1$, potom $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Nahradením získaného výsledku do vzorca (2.3) dostaneme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))“=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Pripomínam, že derivácia komplexnej funkcie sa najčastejšie nachádza v jednom riadku, ako je napísané v poslednej rovnosti. Preto pri príprave štandardných výpočtov alebo kontrolných prác nie je vôbec potrebné tak podrobne popisovať riešenie.

Odpoveď: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Príklad č.3

Nájdite $y"$ funkcie $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Najprv trochu transformujme funkciu $y$, vyjadrime radikál (odmocninu) ako mocninu: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \vpravo)^(\frac(3)(7))$. Teraz začnime hľadať derivát. Keďže $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, potom:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Použijeme vzorec č. 2 z tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme $u=\sin(5\cdot 9^x)$ a $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Pokračujme v rovnosti (3.1) s použitím získaného výsledku:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Teraz musíme nájsť $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Na to použijeme vzorec č. 9 z tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Po doplnení rovnosti (3.2) o získaný výsledok máme:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Zostáva nájsť $(5\cdot 9^x)"$. Najprv zoberme konštantu (číslo $5$) mimo derivačného znamienka, t.j. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Ak chcete nájsť derivát $(9^x)"$, použite vzorec č. 5 z tabuľky derivátov, pričom doň nahradíte $a=9$ a $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Keďže $x"=1$, potom $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Teraz môžeme pokračovať v rovnosti (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Z mocností sa môžeme opäť vrátiť k radikálom (t. j. ku koreňom), písaním $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ v tvare $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Potom bude derivát zapísaný v tomto tvare:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odpoveď: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Príklad č.4

Ukážte, že vzorce č. 3 a č. 4 tabuľky derivátov sú špeciálny prípad vzorca č. 2 tejto tabuľky.

Vzorec č.2 tabuľky derivácií obsahuje deriváciu funkcie $u^\alpha$. Dosadením $\alpha=-1$ do vzorca č. 2 dostaneme:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Keďže $u^(-1)=\frac(1)(u)$ a $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, možno rovnosť (4.1) prepísať takto: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Toto je vzorec č. 3 tabuľky derivátov.

Vráťme sa opäť k vzorcu č. 2 tabuľky derivátov. Dosaďte doň $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Pretože $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ a $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, potom možno rovnosť (4.2) prepísať takto:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Výsledná rovnosť $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je vzorec č. 4 tabuľky derivácií. Ako vidíte, vzorce č. 3 a č. 4 z tabuľky derivátov sa získajú zo vzorca č. 2 dosadením zodpovedajúcej hodnoty $\alpha$.