Myslím, že si zaslúžiš viac. Tu je môj kľúč k trigonometrii:

• Nakreslite kupolu, stenu a strop
• Goniometrické funkcie nie sú nič iné ako percentá týchto troch foriem.

Metafora pre sínus a kosínus: kupola

Namiesto toho, aby ste sa pozerali na samotné trojuholníky, predstavte si ich v akcii nájdením konkrétneho príkladu zo skutočného života.

Predstavte si, že ste uprostred kupoly a chcete zavesiť plátno filmového projektora. Ukážete prstom na kupolu v nejakom uhle "x" a z tohto bodu by mala byť zavesená obrazovka.

Uhol, na ktorý ukážete, určuje:

• sinus(x) = sin(x) = výška obrazovky (montážny bod od podlahy k kupole)
• cosine(x) = cos(x) = vzdialenosť od vás k obrazovke (podľa poschodia)
• prepona, vzdialenosť od vás k hornej časti obrazovky, vždy rovnaká, rovná sa polomeru kupoly

Chcete, aby bola obrazovka čo najväčšia? Zaveste to priamo nad seba.

Chcete, aby obrazovka visela čo najďalej od vás? Zaveste ho rovno kolmo. Obrazovka bude mať v tejto polohe nulovú výšku a bude visieť tak ďaleko, ako ste požadovali.

Výška a vzdialenosť od obrazovky sú nepriamo úmerné: čím bližšie bude obrazovka visieť, tým vyššia bude jej výška.

Sínus a kosínus sú percentá

Žiaľ, nikto počas môjho štúdia mi nevysvetlil, že goniometrické funkcie sínus a kosínus nie sú nič iné ako percentá. Ich hodnoty sa pohybujú od +100% do 0 až -100% alebo od kladného maxima po nulu po záporné maximum.

Povedzme, že som zaplatil daň 14 rubľov. Nevieš koľko to je. Ak si ale poviete, že som zaplatil 95 % na dani, pochopíte, že som bol jednoducho olúpaný ako lepkavý.

Absolútna výška nič neznamená. Ale ak je sínusová hodnota 0,95, potom chápem, že televízor visí takmer na vrchu vašej kupoly. Veľmi skoro dosiahne svoju maximálnu výšku v strede kupoly a potom začne opäť klesať.

Ako môžeme vypočítať toto percento? Veľmi jednoduché: vydeľte aktuálnu výšku obrazovky maximálnou možnou hodnotou (polomer kupoly, nazývaný aj prepona).

Preto hovorí sa nám, že „kosínus = opačná noha / prepona“. To všetko preto, aby ste získali percentá! Najlepší spôsob, ako definovať sínus, je „percento aktuálnej výšky z maximálnej možnej“. (Sínus sa stáva záporným, ak váš uhol smeruje „pod zem“. Kosínus sa stáva záporným, ak uhol ukazuje na kopulovitý bod za vami.)

Zjednodušme výpočty za predpokladu, že sme v strede jednotkovej kružnice (polomer = 1). Delenie môžeme preskočiť a vezmeme si sínus rovný výške.

Každý kruh je v podstate jeden kruh, zmenšený nahor alebo nadol správna veľkosť. Takže určite vzťahy na jednotkovej kružnici a aplikujte výsledky na vašu konkrétnu veľkosť kruhu.

Experiment: vezmite ľubovoľný roh a zistite, aké percento výšky k šírke sa zobrazuje:

Graf rastu hodnoty sínusu nie je len priamka. Prvých 45 stupňov pokrýva 70% výšky a posledných 10 stupňov (od 80° do 90°) pokrýva len 2%.

To vám bude jasnejšie: ak idete v kruhu, pri 0 ° stúpate takmer kolmo, ale ako sa blížite k vrcholu kupoly, výška sa mení čoraz menej.

Tangenta a sečna. Stena

Jedného dňa sused postavil múr presne chrbtom k sebe do tvojej kupole. Preplakal si výhľad z okna a dobrú predajnú cenu!

Je však možné v tejto situácii nejako vyhrať?

Samozrejme áno. Čo ak zavesíme filmové plátno priamo na susedovu stenu? Zamierite na roh (x) a získate:

• tan(x) = tan(x) = výška obrazovky na stene
• vzdialenosť od vás k stene: 1 (toto je polomer vašej kupoly, stena sa od vás nikam neposúva, však?)
• secant(x) = sec(x) = „dĺžka rebríka“ od vás stojaceho v strede kupoly po vrch zavesenej zásteny

Vyjasnime si pár vecí o dotyčnici alebo výške obrazovky.

• začína na 0 a môže ísť nekonečne vysoko. Obrazovku môžete na stenu natiahnuť stále vyššie a získate tak len nekonečné plátno na sledovanie vášho obľúbeného filmu! (Na taký obrovský, samozrejme, budete musieť minúť veľa peňazí).
• dotyčnica je len zväčšená verzia sínusu! A zatiaľ čo rast sínusu sa spomaľuje, keď sa pohybujete smerom k vrcholu kupoly, dotyčnica naďalej rastie!

Sekansu sa má tiež čím pochváliť:

• sečna začína na 1 (rebrík je na podlahe, od vás smerom k stene) a odtiaľ začína stúpať
• Sečna je vždy dlhšia ako dotyčnica. Šikmý rebrík, na ktorý zavesíte obrazovku, musí byť dlhší ako samotná obrazovka, však? (V nereálnych veľkostiach, keď je zástena táááák dlhá a rebrík treba umiestniť takmer zvislo, sú ich veľkosti takmer rovnaké. Ale aj tak bude sečnica trochu dlhšia).

Pamätajte, že hodnoty sú percent. Ak sa rozhodnete zavesiť obrazovku pod uhlom 50 stupňov, tan(50)=1,19. Vaša obrazovka je o 19 % väčšia ako vzdialenosť od steny (polomer kupoly).

(Zadajte x=0 a otestujte svoju intuíciu - tan(0) = 0 a sek(0) = 1.)

Kotangens a kosekans. Strop

Je neuveriteľné, že váš sused sa teraz rozhodol postaviť strop nad vašou kupolou. (Čo je s ním? Zrejme nechce, aby ste naňho nakukovali, keď sa bude prechádzať po dvore nahý...)

No je čas postaviť východ na strechu a porozprávať sa so susedom. Vyberiete si uhol sklonu a začnete stavať:

• vertikálna vzdialenosť medzi strešným výstupom a podlahou je vždy 1 (polomer kupoly)
• kotangens(x) = cot(x) = vzdialenosť medzi vrcholom kupoly a výstupným bodom
• cosecant(x) = csc(x) = dĺžka vašej cesty na strechu

Tangenta a sečna opisujú stenu, zatiaľ čo kotangensa a kosekans opisujú podlahu.

Naše intuitívne závery sú tentokrát podobné tým predchádzajúcim:

• Ak zoberiete uhol 0°, váš výstup na strechu bude trvať večnosť, pretože nikdy nedosiahne strop. Problém.
• Najkratšie „schodisko“ na strechu získate, ak ho postavíte pod uhlom 90 stupňov k podlahe. Kotangens sa bude rovnať 0 (po streche sa vôbec nepohybujeme, vychádzame striktne kolmo) a kosekant sa bude rovnať 1 („dĺžka rebríka“ bude minimálna).

Vizualizujte spojenia

Ak sú všetky tri prípady nakreslené v kombinácii kupola-stena-podlaha, získate nasledovné:

No, wow, je to všetko rovnaký trojuholník, zväčšený tak, aby dosiahol na stenu a strop. Máme vertikálne strany (sínus, tangens), horizontálne strany (kosínus, kotangens) a „hypotenusy“ (sekant, kosekans). (Podľa šípok môžete vidieť, ako ďaleko každý prvok dosahuje. Kosekant je celková vzdialenosť od vás k streche).

Trochu mágie. Všetky trojuholníky majú rovnakú rovnosť:

Z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, ako sú strany každého trojuholníka spojené. Okrem toho musia byť pomery výšky a šírky rovnaké pre všetky trojuholníky. (Stačí odstúpiť od najväčšieho trojuholníka k menšiemu. Áno, veľkosť sa zmenila, ale proporcie strán zostanú rovnaké).

Keď vieme, ktorá strana v každom trojuholníku je 1 (polomer kupoly), môžeme ľahko vypočítať, že "sin/cos = tan/1".

Vždy som sa snažil zapamätať si tieto skutočnosti prostredníctvom jednoduchej vizualizácie. Na obrázku môžete jasne vidieť tieto závislosti a pochopiť, odkiaľ pochádzajú. Táto technika je oveľa lepšia ako zapamätanie si suchých vzorcov.

Nezabudnite na iné uhly

Pst... Netreba sa zavesiť na jeden graf, mysliac si, že dotyčnica je vždy menšia ako 1. Ak zväčšíte uhol, môžete dosiahnuť strop bez toho, aby ste sa dostali na stenu:

Pythagorejské spojenia vždy fungujú, ale relatívne veľkosti sa môžu líšiť.

(Pravdepodobne ste si všimli, že pomer sínusu a kosínusu je vždy najmenší, pretože sú uzavreté v kupole.)

Aby som to zhrnul: čo si musíme zapamätať?

Pre väčšinu z nás by som povedal, že toto bude stačiť:

• trigonometria vysvetľuje anatómiu matematických objektov, ako sú kruhy a opakujúce sa intervaly
• analógia kupola/stena/strecha ukazuje spojenie medzi rôznymi goniometrické funkcie
• výsledkom goniometrických funkcií sú percentá, ktoré aplikujeme na náš scenár.

Nemusíte si pamätať vzorce ako 1 2 + detská postieľka 2 = csc 2 . Hodia sa len na hlúpe testy, v ktorých sa znalosť skutočnosti prezentuje ako jej pochopenie. Venujte chvíľu tomu, aby ste nakreslili polkruh v podobe kupoly, steny a strechy, podpíšte prvky a všetky vzorce budú od vás žiadané na papieri.

Aplikácia: Inverzné funkcie

Akákoľvek goniometrická funkcia berie ako vstup uhol a vracia výsledok v percentách. sin(30) = 0,5. To znamená, že uhol 30 stupňov zaberá 50 % maximálnej výšky.

Inverzná goniometrická funkcia sa zapisuje ako sin -1 alebo arcsin („arxín“). Často je tiež napísaný v rôznych programovacích jazykoch.

Ak je naša výška 25% výšky kupoly, aký je náš uhol?

V našej tabuľke proporcií nájdete pomer, v ktorom je sečna delená 1. Napríklad sečna o 1 (prepona k horizontále) sa bude rovnať 1 delenej kosínusom:

Povedzme, že náš sekant je 3,5, t.j. 350 % polomeru jednotkovej kružnice. Akému uhlu sklonu k stene zodpovedá táto hodnota?

Dodatok: Niekoľko príkladov

Príklad: Nájdite sínus uhla x.

Nudná úloha. Skomplikujme banálne „nájdi sínus“ na „Aká je výška ako percento maxima (hypotenza)?“.

Najprv si všimnite, že trojuholník je otočený. Na tom nie je nič zlé. Trojuholník má aj výšku, na obrázku je znázornený zelenou farbou.

Čomu sa rovná prepona? Podľa Pytagorovej vety vieme, že:

3 2 + 4 2 = prepona 2 25 = prepona 2 5 = prepona

Dobre! Sínus je percento výšky z najdlhšej strany trojuholníka alebo prepony. V našom príklade je sínus 3/5 alebo 0,60.

Samozrejme, môžeme ísť niekoľkými spôsobmi. Teraz vieme, že sínus je 0,60 a môžeme jednoducho nájsť arcsínus:

Asín (0,6) = 36,9

A tu je ďalší prístup. Všimnite si, že trojuholník je "tvárou v tvár k stene", takže namiesto sínusu môžeme použiť tangens. Výška je 3, vzdialenosť od steny je 4, takže dotyčnica je ¾ alebo 75%. Arkustangens môžeme použiť na prechod z percent späť na uhol:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Príklad: Budete plávať na breh?

Ste na lodi a máte dostatok paliva na preplávanie 2 km. Teraz ste 0,25 km od pobrežia. V akom maximálnom uhle k brehu k nemu môžete doplávať, aby ste mali dostatok paliva? Dodatok k podmienke problému: máme len tabuľku hodnôt oblúkového kosínusu.

čo máme? Pobrežie môže byť znázornené ako „stena“ v našom slávnom trojuholníku a „dĺžka schodov“ pripevnených k stene môže byť reprezentovaná ako maximálna možná vzdialenosť loďou od pobrežia (2 km). Objaví sa sekant.

Najprv musíte prejsť na percentá. Máme 2 / 0,25 = 8, čo znamená, že môžeme plávať 8-násobok priamej vzdialenosti k brehu (alebo k stene).

Vynára sa otázka „Čo je to sekant 8?“. Ale na to nemôžeme dať odpoveď, pretože máme iba oblúkové kosínusy.

Používame naše predtým odvodené závislosti na mapovanie sekantu na kosínus: „sec/1 = 1/cos“

Sekans 8 rovná kosínusu⅛. Uhol, ktorého kosínus je ⅛, je acos(1/8) = 82,8. A to je najväčší uhol, ktorý si na lodi s uvedeným množstvom paliva môžeme dovoliť.

Nie je to zlé, však? Bez analógie kupola-stena-strop by som bol zmätený v množstve vzorcov a výpočtov. Vizualizácia problému výrazne zjednodušuje hľadanie riešenia, okrem toho je zaujímavé sledovať, ktorá goniometrická funkcia nakoniec pomôže.

Pri každej úlohe premýšľajte takto: zaujíma ma kupola (sin/cos), stena (tan/sec) alebo strop (cot/csc)?

A trigonometria bude oveľa príjemnejšia. Jednoduché výpočty pre vás!

Spočiatku sínus a kosínus vznikli kvôli potrebe vypočítať množstvá v pravouhlých trojuholníkoch. Zistilo sa, že ak sa hodnota mierky uhlov v pravouhlom trojuholníku nezmení, potom pomer strán, bez ohľadu na to, ako veľmi sa tieto strany menia na dĺžku, zostáva vždy rovnaký.

Takto boli zavedené pojmy sínus a kosínus. Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je to pomer protiľahlej vetvy k prepone a kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone.

Kosínusové a sínusové vety

Ale kosínus a sínus možno použiť nielen v pravouhlých trojuholníkoch. Ak chcete nájsť hodnotu tupého alebo ostrého uhla, strany akéhokoľvek trojuholníka, stačí použiť kosínusovú a sínusovú vetu.

Kosínusová veta je celkom jednoduchá: „Štvorec strany trojuholníka sa rovná súčtuštvorce ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi.

Existujú dve interpretácie sínusovej vety: malá a rozšírená. Podľa malého: "V trojuholníku sú uhly úmerné opačným stranám." Táto veta sa často rozširuje kvôli vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku: "V trojuholníku sú uhly úmerné opačným stranám a ich pomer sa rovná priemeru kružnice opísanej."

Deriváty

Derivácia je matematický nástroj, ktorý ukazuje, ako rýchlo sa funkcia mení vzhľadom na zmenu jej argumentu. Deriváty sa používajú v geometrii av mnohých technických disciplínach.

Pri riešení problémov musíte poznať tabuľkové hodnoty derivátov goniometrických funkcií: sínus a kosínus. Deriváciou sínusu je kosínus a derivátom kosínusu je sínus, ale so znamienkom mínus.

Aplikácia v matematike

Obzvlášť často sa sínusy a kosínusy používajú pri riešení pravouhlých trojuholníkov a problémov s nimi súvisiacich.

Pohodlie sínusov a kosínusov sa odráža aj v technológii. Uhly a strany sa dali ľahko vyhodnotiť pomocou kosínusovej a sínusovej vety, zlom zložité postavy a predmety do „jednoduchých“ trojuholníkov. Inžinieri, ktorí sa často zaoberajú výpočtami pomerov strán a mier, strávili veľa času a úsilia výpočtom kosínusov a sínusov netabuľkových uhlov.

Potom prišli na pomoc tabuľky Bradis, ktoré obsahovali tisíce hodnôt sínusov, kosínusov, tangentov a kotangens. rôzne uhly. IN Sovietsky čas niektorí učitelia nútili svojich zverencov naučiť sa naspamäť stránky tabuliek Bradys.

Radián - uhlová hodnota oblúka pozdĺž dĺžky rovnajúcej sa polomeru alebo 57,295779513 ° stupňov.

Stupeň (v geometrii) - 1/360 časť kruhu alebo 1/90 časť pravý uhol.

π = 3,141592653589793238462… (približná hodnota pi).

Kosínusový stôl pre uhly: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Uhol x (v stupňoch)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135 °C	150°	180°	210 °C	225 °C	240°	270 °C	300°	315 °C	330°	360°
Uhol x (v radiánoch)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Tento článok zhromaždil tabuľky sínusov, kosínusov, tangens a kotangens. Najprv uvedieme tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií, teda tabuľku sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens uhlov 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupňov ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radián). Potom dáme tabuľku sínusov a kosínusov, ako aj tabuľku dotyčníc a kotangens od V. M. Bradisa a ukážeme, ako tieto tabuľky použiť pri hľadaní hodnôt goniometrických funkcií.

Navigácia na stránke.

Tabuľka sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens pre uhly 0, 30, 45, 60, 90, ... stupňov

Bibliografia.

• Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
• Bradis V.M.Štvormiestne matematické tabuľky: Pre všeobecné vzdelávanie. učebnica prevádzkarní. - 2. vyd. - M.: Drop, 1999.- 96 s.: chor. ISBN 5-7107-2667-2

Jednou z oblastí matematiky, s ktorou sa školáci vyrovnávajú s najväčšími ťažkosťami, je trigonometria. Niet divu: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínusy, kosínusy, tangenty, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť pri výpočtoch číslo pí. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť aplikovať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodzovať zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte zistiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.

Historicky je hlavným predmetom štúdia tejto časti matematická veda boli pravouhlé trojuholníky. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, čo umožňuje určiť hodnoty všetkých parametrov uvažovaného obrázku dvoma stranami a jedným rohom alebo dvoma rohmi a jednou stranou. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.

Prvé štádium

Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v Každodenný život toto odvetvie matematiky.

Štúdium trigonometrie v škole dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých získané poznatky využívajú študenti vo fyzike a riešení abstraktných úloh. goniometrické rovnice, práca s ktorou sa začína už na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď sa veda dostala na ďalší stupeň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou, kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto sekcia sa na škole neštuduje, no o jej existencii je potrebné vedieť prinajmenšom preto zemského povrchu a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že akékoľvek označenie povrchu bude mať v trojrozmernom priestore „oblúkový tvar“.

Vezmite zemeguľu a nite. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - získal tvar oblúka. Práve takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.

Správny trojuholník

Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty je možné s ich pomocou vykonať a aké vzorce použiť.

Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety je jeho číselná hodnota rovná odmocnine súčtu druhých mocnín ostatných dvoch strán.

Napríklad, ak sú dve strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme je 180 stupňov.

Definícia

Nakoniec, so solídnym pochopením geometrickej základne, môžeme prejsť k definícii sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlého ramena k prepone.

Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na dĺžku nohy bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na úlohu dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo uvažovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.

Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Rovnaký výsledok poskytne delenie sínusu kosínusom. Pozrite sa: podľa vzorca delíme dĺžku strany preponou, potom delíme dĺžkou druhej strany a násobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký pomer ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednotky dotyčnicou.

Takže sme zvážili definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme sa zaoberať vzorcami.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa bez vzorcov nezaobídeme – ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? A to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak chcete poznať hodnotu uhla, nie strany.

Mnoho študentov si nevie spomenúť na druhý vzorec, tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: ide predsa o rovnaký výrok ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia áno trigonometrický vzorecúplne na nerozoznanie. Pamätajte si: keď viete, čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens, aké sú pravidlá prevodu a niekoľko základných vzorcov, môžete si kedykoľvek sami odvodiť potrebné ďalšie zložité vzorce na kúsku papiera.

Vzorce dvojitého uhla a pridanie argumentov

Dva ďalšie vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú znázornené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.

Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - ako prax sa ich snažte získať sami tým, že vezmete uhol alfa rovný uhlu beta.

Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno previesť na zníženie stupňa sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda aj plochu obrázku a veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta hovorí, že ako výsledok delenia dĺžky každej zo strán trojuholníka hodnotou opačného uhla dostaneme rovnaké číslo. Navyše sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odpočítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínusom uhla, ktorý k nim prilieha - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.

Chyby v dôsledku nepozornosti

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangenta, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, zoznámime sa s najpopulárnejšími z nich.

Po prvé, nemali by ste prevádzať bežné zlomky na desatinné miesta, kým sa nedosiahne konečný výsledok - odpoveď môžete ponechať vo forme spoločný zlomok pokiaľ nie je v podmienkach uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba mať na pamäti, že v každej fáze problému sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa autorovho nápadu mali obmedziť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. To platí najmä pre hodnoty, ako je koreň troch alebo dvoch, pretože sa vyskytujú v úlohách na každom kroku. To isté platí aj o zaokrúhľovaní „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínusová veta sa vzťahuje na akýkoľvek trojuholník, ale nie na Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie témy. Toto je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty uhlov 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, tangens, kotangens. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zamiešať, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnohí študenti sa neponáhľajú začať študovať trigonometriu, pretože nerozumejú jej aplikovanému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.

Konečne

Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské úlohy.

Celá podstata trigonometrie sa scvrkáva na skutočnosť, že neznáme parametre sa musia vypočítať zo známych parametrov trojuholníka. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžky troch strán a veľkosti troch uhlov. Celý rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú dané rôzne vstupné údaje.

Ako nájsť sínus, kosínus, tangens na základe známych dĺžok nôh alebo prepony, teraz viete. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom trigonometrickej úlohy je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže obyčajná školská matematika.

Príklady:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument a hodnota

Kosínus ostrého uhla

Kosínus ostrého uhla možno určiť pomocou pravouhlého trojuholníka - rovná sa pomeru priľahlej nohy k prepone.

Príklad :

1) Nech je daný uhol a musíte určiť kosínus tohto uhla.

2) Na tomto rohu dotvorme ľubovoľný pravouhlý trojuholník.

3) Po zmeraní potrebných strán môžeme vypočítať kosínus.

Kosínus čísla

Číselný kruh vám umožňuje určiť kosínus ľubovoľného čísla, ale zvyčajne nájdete kosínus čísel, ktoré sú nejako spojené s : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\).

Napríklad pre číslo \(\frac(π)(6)\) - kosínus sa bude rovnať \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . A pre číslo \(-\)\(\frac(3π)(4)\) sa bude rovnať \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (približne \ (-0,71\)).

Kosínus pre iné čísla často sa vyskytujúce v praxi, viď.

Hodnota kosínusu vždy leží medzi \(-1\) a \(1\). V tomto prípade je možné vypočítať kosínus pre absolútne akýkoľvek uhol a číslo.

Kosínus ľubovoľného uhla

Vďaka číselný kruh je možné určiť kosínus nielen ostrého uhla, ale aj tupého, záporného a dokonca väčšieho ako \ (360 ° \) (úplné otočenie). Ako na to – je ľahšie raz vidieť ako \(100\)-krát počuť, preto sa pozrite na obrázok.

Teraz vysvetlenie: nech je potrebné určiť kosínus uhla KOA s mierou stupňov v \(150°\). Bod spojíme O so stredom kruhu a stranou OK- s osou \(x\). Potom odložte \ (150 ° \) proti smeru hodinových ručičiek. Potom ordináta bodu A nám ukáže kosínus tohto uhla.

Ak nás zaujíma uhol s mierou stupňov, napríklad v \ (-60 ° \) (uhol KOV), urobíme to isté, ale \(60°\) odložíme v smere hodinových ručičiek.

A nakoniec, uhol je väčší ako \(360°\) (uhol KOS) - všetko je podobné tupému, iba po prejdení celej otáčky v smere hodinových ručičiek prejdeme do druhého kola a „získame nedostatok stupňov“. Konkrétne v našom prípade je uhol \(405°\) vynesený ako \(360° + 45°\).

Je ľahké uhádnuť, že ak chcete odložiť uhol, napríklad v \ (960 ° \\), musíte urobiť dve otáčky (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) a pre uhol v \ (2640 ° \) - celá sedem.

Ako by ste mohli nahradiť, kosínus čísla aj kosínus ľubovoľného uhla sú definované takmer rovnakým spôsobom. Mení sa len spôsob hľadania bodu na kružnici.

Kosínusové znaky v štvrtinách

Pomocou kosínusovej osi (tj osi x, zvýraznenej na obrázku červenou farbou) je ľahké určiť znamienka kosínusov pozdĺž číselného (trigonometrického) kruhu:

Ak sú hodnoty na osi od \(0\) do \(1\), kosínus bude mať znamienko plus (štvrtiny I a IV sú zelená plocha),
- kde sú hodnoty na osi od \(0\) do \(-1\), bude mať kosínus znamienko mínus (štvrtiny II a III - fialová oblasť).

Vzťah k iným goniometrickým funkciám:

- rovnaký uhol (alebo číslo): základný trigonometrická identita\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- rovnaký uhol (alebo číslo): podľa vzorca \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- a sínus rovnakého uhla (alebo čísla): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Pozrite si ďalšie najčastejšie používané vzorce.

Riešenie rovnice \(\cos⁡x=a\)

Riešenie rovnice \(\cos⁡x=a\), kde \(a\) je číslo nie väčšie ako \(1\) a nie menšie ako \(-1\) t.j. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Ak \(a>1\) alebo \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Príklad . Vyriešte goniometrickú rovnicu \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Riešenie:

Vyriešte rovnicu pomocou číselného kruhu. Pre to:
1) Poďme postaviť osi.
2) Postavme kruh.
3) Na kosínusovej osi (os \(y\)) označte bod \(\frac(1)(2)\) .
4) Cez tento bod nakreslite kolmicu na kosínusovú os.
5) Označte priesečníky kolmice a kružnice.
6)Podpíšme hodnoty týchto bodov: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Zapíšte si všetky hodnoty zodpovedajúce týmto bodom pomocou vzorca \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

odpoveď: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\)\(k∈Z\)

Funkcia \(y=\cos(x)\)

Ak vykreslíme uhly v radiánoch pozdĺž osi \(x\) a hodnoty kosínusu zodpovedajúce týmto uhlom pozdĺž osi \(y\), dostaneme nasledujúci graf:

Tento graf sa nazýva a má nasledujúce vlastnosti:

Oblasť definície je ľubovoľná hodnota x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- rozsah hodnôt - od \(-1\) do \(1\) vrátane: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- párne: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodické s bodkou \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- priesečníky so súradnicovými osami:
os x: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kde \(n ϵ Z\)
os y: \((0;1)\)
- intervaly znakov:
funkcia je kladná na intervaloch: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kde \(n ϵ Z\)
funkcia je záporná na intervaloch: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kde \(n ϵ Z\)
- intervaly nárastu a poklesu:
funkcia rastie v intervaloch: \((π+2πn;2π+2πn)\), kde \(n ϵ Z\)
funkcia klesá v intervaloch: \((2πn;π+2πn)\), kde \(n ϵ Z\)
- maximá a minimá funkcie:
funkcia má maximálnu hodnotu \(y=1\) v bodoch \(x=2πn\), kde \(n ϵ Z\)
funkcia má minimálnu hodnotu \(y=-1\) v bodoch \(x=π+2πn\), kde \(n ϵ Z\).