Štúdium trigonometrie začneme pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeňme si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovičný natočený uhol.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je „tupý“ urážkou, ale matematickým výrazom :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Pravý uhol sa zvyčajne označuje ako . Upozorňujeme, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže strana protiľahlá uhol A je označený .

Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.

Hypotenzia pravouhlého trojuholníka je strana opačná k pravému uhlu.

Nohy- protiľahlé strany ostré rohy.

Noha ležiaca oproti uhlu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej zo strán uhla, sa nazýva priľahlé.

Sinus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej strany k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej strany k opačnej strane (alebo, ktorý je rovnaký, pomer kosínusu k sínusu):

Všimnite si základné vzťahy pre sínus, kosínus, tangens a kotangens nižšie. Budú sa nám hodiť pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a zapísali vzorce. Prečo však stále potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka sa rovná.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že ak poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany pravouhlého trojuholníka, môžete nájsť tretiu. To znamená, že uhly majú svoj vlastný pomer a strany majú svoj vlastný. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku poznáte jeden uhol (okrem pravého) a jednu stranu, no potrebujete nájsť ostatné strany?

S tým sa ľudia v minulosti stretávali pri tvorbe máp oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo merať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež funkcie trigonometrických uhlov- dať vzťahy medzi strany A rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si prosím dve červené čiarky v tabuľke. Pri vhodných hodnotách uhla tangens a kotangens neexistujú.

Pozrime sa na niekoľko problémov s trigonometriou z FIPI Task Bank.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pretože , .

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Poďme to nájsť pomocou Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a. Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Pozreli sme sa na problémy riešenia pravouhlých trojuholníkov – teda hľadanie neznámych strán či uhlov. Ale to nie je všetko! IN Možnosti jednotnej štátnej skúšky v matematike je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.

V tomto článku si ukážeme, ako dať definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla a čísla v trigonometrii. Tu budeme hovoriť o zápisoch, uvádzame príklady zápisov a uvádzame grafické ilustrácie. Na záver uveďme paralelu medzi definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu v trigonometrii a geometrii.

Navigácia na stránke.

Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu

Pozrime sa, ako sa v školskom kurze matematiky tvorí myšlienka sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Na hodinách geometrie je uvedená definícia sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. A neskôr sa študuje trigonometria, ktorá hovorí o sínusoch, kosíne, tangens a kotangens uhla natočenia a čísla. Uveďme všetky tieto definície, uveďme príklady a uveďme potrebné komentáre.

Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Z kurzu geometrie poznáme definície sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. Sú uvedené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Uveďme ich formulácie.

Definícia.

Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone.

Definícia.

Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone.

Definícia.

Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku– toto je pomer protiľahlej strany k priľahlej.

Definícia.

Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku- toto je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

Zavádzajú sa tam aj označenia sínus, kosínus, tangens a kotangens - sin, cos, tg a ctg.

Napríklad, ak ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, potom sa sínus ostrého uhla A rovná pomeru opačnej strany BC k prepone AB, teda sin∠A=BC/AB.

Tieto definície vám umožňujú vypočítať hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla zo známych dĺžok strán pravouhlého trojuholníka, ako aj zo známych hodnôt sínus, kosínus, tangens, kotangens a dĺžku jednej zo strán, aby ste našli dĺžky ostatných strán. Napríklad, ak by sme vedeli, že v pravouhlom trojuholníku sa rameno AC rovná 3 a prepona AB sa rovná 7, potom by sme mohli vypočítať hodnotu kosínusu ostrého uhla A podľa definície: cos∠A=AC/ AB = 3/7.

Uhol natočenia

V trigonometrii sa začínajú pozerať na uhol širšie – zavádzajú pojem uhla natočenia. Veľkosť uhla natočenia na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov, uhol natočenia v stupňoch (a v radiánoch) môže byť vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od −∞ do +∞.

V tomto svetle nie sú definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu dané ostrým uhlom, ale uhlom ľubovoľnej veľkosti – uhlom rotácie. Sú dané súradnicami x a y bodu A 1, do ktorého ide takzvaný počiatočný bod A(1, 0) po jeho otočení o uhol α okolo bodu O - začiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. a stred jednotkového kruhu.

Definícia.

Sínus uhla natočeniaα je ordináta bodu A 1, teda sinα=y.

Definícia.

Kosínus uhla natočeniaα sa nazýva úsečka bodu A 1, to znamená cosα=x.

Definícia.

Tangenta uhla natočeniaα je pomer zvislej osi bodu A 1 k jeho osi x, to znamená tanα=y/x.

Definícia.

Kotangens uhla natočeniaα je pomer úsečky bodu A 1 k jeho ordináte, to znamená ctgα=x/y.

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľný uhol α, pretože vždy môžeme určiť úsečku a ordinátu bodu, ktorý získame otočením začiatočného bodu o uhol α. Ale dotyčnica a kotangens nie sú definované pre žiadny uhol. Dotyčnica nie je definovaná pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) alebo (0, −1), a to sa vyskytuje pri uhloch 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Pri takýchto uhloch natočenia totiž výraz tgα=y/x nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Pokiaľ ide o kotangens, nie je definovaný pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou ordinátou (1, 0) alebo (−1, 0), a to nastáva pre uhly 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Takže sínus a kosínus sú definované pre všetky uhly rotácie, dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) a kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definície zahŕňajú nám už známe označenia sin, cos, tg a ctg, používajú sa aj na označenie sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla natočenia (niekedy sa môžete stretnúť s označením tan a cot zodpovedajúcim tangens a kotangens) . Takže sínus uhla rotácie 30 stupňov možno zapísať ako sin30°, vstupy tg(−24°17′) a ctgα zodpovedajú tangente uhla rotácie −24° 17 minút a kotangens uhla rotácie α . Pripomeňme, že pri písaní radiánovej miery uhla sa označenie „rad“ často vynecháva. Napríklad kosínus uhla natočenia tri pi rad sa zvyčajne označuje cos3·π.

Na záver tohto bodu stojí za zmienku, že keď sa hovorí o sínusovom, kosínusovom, tangente a kotangense uhla rotácie, často sa vynecháva fráza „uhol rotácie“ alebo slovo „rotácia“. To znamená, že namiesto frázy „sínus uhla natočenia alfa“ sa zvyčajne používa fráza „sínus uhla alfa“ alebo ešte kratšia „sínus alfa“. To isté platí pre kosínus, tangens a kotangens.

Povieme tiež, že definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sú v súlade s práve uvedenými definíciami pre sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla rotácie v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Toto zdôvodníme.

čísla

Definícia.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo rovné sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla rotácie v t radiánoch.

Napríklad kosínus čísla 8 π podľa definície je číslo rovná kosínusu uhol 8·π rad. A kosínus uhla 8·π rad sa rovná jednej, preto sa kosínus čísla 8·π rovná 1.

Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Spočíva v priradení bodky ku každému reálnemu číslu t jednotkový kruh so stredom v počiatku pravouhlého súradnicového systému a sínus, kosínus, tangens a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Ukážme, ako sa vytvorí korešpondencia medzi reálnymi číslami a bodmi na kruhu:

• číslu 0 je priradený počiatočný bod A(1, 0);
• kladné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu proti smeru hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky t;
• záporné číslo t je spojené s bodom jednotkovej kružnice, do ktorej sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu v smere hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky |t| .

Teraz prejdeme k definíciám sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla t. Predpokladajme, že číslo t zodpovedá bodu na kružnici A 1 (x, y) (napríklad číslu &pi/2; zodpovedá bod A 1 (0, 1) ).

Definícia.

Sínus čísla t je ordináta bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda sint=y.

Definícia.

Kosínus čísla t sa nazýva úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda náklady=x.

Definícia.

Tangenta čísla t je pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda tgt=y/x. V inej ekvivalentnej formulácii je tangens čísla t pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu, to znamená tgt=sint/cena.

Definícia.

Kotangens čísla t je pomer osi x osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda ctgt=x/y. Ďalšia formulácia je táto: dotyčnica čísla t je pomer kosínusu čísla t k sínusu čísla t: ctgt=cena/sint.

Tu poznamenávame, že práve uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku. Bod na jednotkovej kružnici zodpovedajúci číslu t sa totiž zhoduje s bodom získaným otočením začiatočného bodu o uhol t radiánov.

Stále stojí za to objasniť tento bod. Povedzme, že máme vstup sin3. Ako môžeme pochopiť, či hovoríme o sínuse čísla 3 alebo sínusu uhla natočenia 3 radiánov? To je zvyčajne jasné z kontextu, inak to pravdepodobne nemá zásadný význam.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Podľa definícií uvedených v predchádzajúcom odseku každý uhol natočenia α zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sinα, ako aj hodnote cosα. Okrem toho všetky uhly otáčania iné ako 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zodpovedajú hodnotám tgα a hodnoty iné ako 180°k, k∈Z (πk rad ) – hodnoty z ctgα. Preto sinα, cosα, tanα a ctgα sú funkciami uhla α. Inými slovami, toto sú funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o funkciách sínus, kosínus, tangens a kotangens číselného argumentu. Každé reálne číslo t skutočne zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sint, ako aj nákladom. Okrem toho všetky čísla iné ako π/2+π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám tgt a čísla π·k, k∈Z - hodnotám ctgt.

Volajú sa funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, či máme do činenia s goniometrickými funkciami uhlového argumentu alebo numerického argumentu. V opačnom prípade môžeme o nezávislej premennej uvažovať ako o mieri uhla (uhlový argument) aj ako o číselnom argumente.

V škole však študujeme najmä numerické funkcie, teda funkcie, ktorých argumenty, ako aj im zodpovedajúce funkčné hodnoty, sú čísla. Preto ak hovoríme o konkrétne o funkciách je vhodné považovať goniometrické funkcie za funkcie číselných argumentov.

Vzťah medzi definíciami z geometrie a trigonometrie

Ak vezmeme do úvahy uhol rotácie α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, potom definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens uhla rotácie v kontexte trigonometrie sú plne v súlade s definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu. ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku, ktoré sú uvedené v kurze geometrie. Zdôvodnime to.

Ukážme si jednotkovú kružnicu v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy. Označme začiatočný bod A(1, 0) . Otočme ho o uhol α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, dostaneme bod A 1 (x, y). Pustime kolmicu A 1 H z bodu A 1 na os Ox.

Je ľahké vidieť, že v pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 OH rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena OH susediaceho s týmto uhlom sa rovná osovej osi bodu A 1, teda |OH |=x, dĺžka ramena A 1 H oproti uhlu sa rovná ordináte bodu A 1, teda |A 1 H|=y, a dĺžka prepony OA 1 sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice. Potom sa podľa definície z geometrie sínus ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku A 1 OH rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, to znamená sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A podľa definície z trigonometrie sa sínus uhla natočenia α rovná ordináte bodu A 1, teda sinα=y. To ukazuje, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, keď α je od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať, že definície kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla α sú v súlade s definíciami kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia α.

Bibliografia.

1. Geometria. 7-9 ročníkov: učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev atď.]. - 20. vyd. M.: Školstvo, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. V. Pogorelov. - 2. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2001. - 224 s.: chor. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra a elementárne funkcie : Návod pre žiakov 9. ročníka stredná škola/ E. S. Kočetkov, E. S. Kochetková; Spracoval doktor fyzikálnych a matematických vied O. N. Golovin - 4. vydanie. M.: Školstvo, 1969.
4. Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovič A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník V 2 častiach.1.časť: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chor. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - I.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Ak zostrojíme jednotkový kruh so stredom v počiatku a argumentu nastavíme ľubovoľnú hodnotu x 0 a počítať od osi Vôl rohu X 0, potom tento uhol na jednotkovej kružnici zodpovedá určitému bodu A(obr. 1) a jeho priemet na os Oh bude tam pointa M. Dĺžka sekcie OM rovná absolútnej hodnote úsečky bodu A. Daná hodnota argumentu x 0 mapovaná hodnota funkcie r=cos X 0 ako bodky na vodorovnej osi A. V súlade s tým bod IN(X 0 ;pri 0) patrí do grafu funkcie pri=cos X(obr. 2). Ak bod A Nachádza napravo od osi OU, Aktuálny sínus bude kladný, ale ak je vľavo, bude záporný. Ale každopádne bodka A nemôže opustiť kruh. Preto kosínus leží v rozsahu od –1 do 1:

–1 = cos X = 1.

Dodatočné otočenie v akomkoľvek uhle, násobok 2 p, vráti bod A na to isté miesto. Preto funkcia y = cos Xp:

cos( X+ 2p) = cos X.

Ak vezmeme dve hodnoty argumentu, rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku, X a - X, nájdite zodpovedajúce body na kruhu A x A A -x. Ako je možné vidieť na obr. 3 ich priemet na os Oh je ten istý bod M. Preto

pretože (- X) = cos ( X),

tie. kosínus – dokonca funkciu, f(–X) = f(X).

To znamená, že môžeme preskúmať vlastnosti funkcie r=cos X na segmente , a potom vziať do úvahy jeho paritu a periodicitu.

O X= 0 bodov A leží na osi Oh, jeho os x je 1, a preto cos 0 = 1. S rastúcim X bodka A sa pohybuje okolo kruhu nahor a doľava, jeho priemet je, prirodzene, iba doľava a pri x = p/2 kosínus sa rovná 0. Bod A v tomto okamihu stúpa do maximálnej výšky a potom pokračuje v pohybe doľava, ale už klesá. Jeho úsečka sa neustále zmenšuje, kým nedosiahne najnižšia hodnota, rovná –1 at X= p. Na intervale teda funkcia pri=cos X monotónne klesá z 1 na –1 (obr. 4, 5).

Z parity kosínusu vyplýva, že na intervale [– p, 0] funkcia monotónne narastá z –1 na 1 s nulovou hodnotou pri x =–p/2. Ak si vezmete niekoľko periód, získate zvlnenú krivku (obr. 6).

Takže funkcia r=cos X má nulové hodnoty v bodoch X= p/2 + kp, Kde k – akékoľvek celé číslo. Maximálny počet bodov sa rovná 1 X= 2kp, t.j. v krokoch po 2 p a minimá rovné –1 v bodoch X= p + 2kp.

Funkcia y = sin x.

Na rohu kruhu jednotky X 0 zodpovedá bodke A(obr. 7), a jeho priemet na os OU bude tam pointa N.Z funkčná hodnota y 0 = hriech x 0 definovaná ako ordináta bodu A. Bodka IN(roh X 0 ,pri 0) patrí do grafu funkcie r= hriech X(obr. 8). Je jasné, že funkcia y = hriech X periodický, jeho perióda je 2 p:

hriech ( X+ 2p) = hriech ( X).

Pre dve hodnoty argumentov, X a -, projekcie ich zodpovedajúcich bodov A x A A -x na os OU umiestnené symetricky vzhľadom na bod O. Preto

hriech (- X) = – hriech ( X),

tie. sínus je nepárna funkcia, f(– X) = –f( X) (obr. 9).

Ak bod A otáčať vzhľadom k bodu O pod uhlom p/2 proti smeru hodinových ručičiek (inými slovami, ak je uhol X zvýšiť o p/2), potom sa jeho ordináta v novej polohe bude rovnať úsečke v starej. Čo znamená

hriech ( X+ p/2) = cos X.

V opačnom prípade je sínus kosínus „oneskorený“. p/2, pretože každá hodnota kosínusu sa „zopakuje“ v sínusu, keď sa argument zvýši o p/2. A na zostavenie sínusového grafu stačí posunúť kosínusový graf o p/2 doprava (obr. 10). Mimoriadne dôležitý majetok sínus je vyjadrený rovnosťou

Geometrický význam rovnosti je možné vidieť na obr. 11. Tu X - toto je pol oblúka AB, ako v X - polovice zodpovedajúceho akordu. Je zrejmé, že ako sa body približujú A A IN dĺžka tetivy sa čoraz viac približuje dĺžke oblúka. Z toho istého čísla je ľahké odvodiť nerovnosť

|hriech X| x|, platí pre všetky X.

Matematici nazývajú vzorec (*) pozoruhodnou hranicou. Z toho najmä vyplýva, že hriech X» X pri malom X.

Funkcie pri= tg x, y=ctg X. Ďalšie dve trigonometrické funkcie, tangens a kotangens, sú najjednoduchšie definované ako nám už známe pomery sínusu a kosínusu:

Rovnako ako sínus a kosínus, tangens a kotangens sú periodické funkcie, ale ich periódy sú rovnaké p, t.j. majú polovičnú veľkosť sínusu a kosínusu. Dôvod je jasný: ak sínus a kosínus zmenia znamienka, ich pomer sa nezmení.

Keďže menovateľ dotyčnice obsahuje kosínus, dotyčnica nie je definovaná v tých bodoch, kde je kosínus 0 - keď X= p/2 +kp. Vo všetkých ostatných bodoch sa zvyšuje monotónne. Priamy X= p/2 + kp pre dotyčnicu sú vertikálne asymptoty. V bodoch kp dotyčnica a sklon sú 0 a 1 (obr. 12).

Kotangens nie je definovaný tam, kde je sínus 0 (keď x = kp). V iných bodoch klesá monotónne a priamky x = kp – jeho vertikálne asymptoty. V bodoch x = p/2 +kp kotangens sa zmení na 0 a sklon v týchto bodoch sa rovná –1 (obr. 13).

Parita a periodicita.

Funkcia sa volá aj keď f(–X) = f(X). Funkcie kosínus a sekans sú párne a funkcie sínus, dotyčnica, kotangens a kosekans sú nepárne:

sin (–α) = – sin α	tan (–α) = – tan α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α
sek (–α) = sek α	cosec (–α) = – cosec α

Paritné vlastnosti vyplývajú zo symetrie bodov P a R-a (obr. 14) vzhľadom na os X. Pri takejto symetrii ordináta bodu zmení znamienko (( X;pri) ide ( X; –у)). Všetky funkcie - periodická, sínusová, kosínusová, sekans a kosekans majú periódu 2 p, a dotyčnica a kotangensa - p:

hriech (α + 2 kπ) = hriech α	cos(α+2 kπ) = cos α
tg(α+ kπ) = tan α	detská postieľka (α+ kπ) = detská postieľka α
sek (α + 2 kπ) = sek α	cosec(α+2 kπ) = cosec α

Periodicita sínus a kosínus vyplýva zo skutočnosti, že všetky body P a+2 kp, Kde k= 0, ±1, ±2,…, sa zhodujú a periodicita dotyčnice a kotangens je spôsobená tým, že body P a+ kp striedavo spadajú do dvoch diametrálne opačných bodov kružnice, čím vzniká rovnaký bod na osi dotyčnice.

Základné vlastnosti goniometrické funkcie možno zostaviť do tabuľky:

Funkcia	doména	Viac významov	Parita	Oblasti monotónnosti ( k= 0, ± 1, ± 2,...)
hriech X	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	zvláštny	zvyšuje s X O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), klesá pri X O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
cos X	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	dokonca	Zvyšuje sa s X O((2 k – 1) p, 2kp), klesá pri X O(2 kp, (2k + 1) p)
tg X	X № p/2 + p k	(–Ґ , +Ґ )	zvláštny	zvyšuje s X O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg X	X № p k	(–Ґ , +Ґ )	zvláštny	klesá pri X O ( kp, (k + 1) p)
sek X	X № p/2 + p k	(–Ґ , –1] A [+1, +Ґ )	dokonca	Zvyšuje sa s X O(2 kp, (2k + 1) p), klesá pri X O((2 k– 1) p , 2 kp)
cosec X	X № p k	(–Ґ , –1] A [+1, +Ґ )	zvláštny	zvyšuje s X O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), klesá pri X O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Redukčné vzorce.

Podľa týchto vzorcov je hodnota goniometrickej funkcie argumentu a, kde p/2 a p , možno redukovať na hodnotu argumentačnej funkcie a , kde 0 a p /2, buď rovnaké alebo komplementárne.

Argument b	-a	+ a	p-a	p+ a	+ a	+ a	2p-a
hriech b	cos a	cos a	hriech a	– hriech a	– čos a	– čos a	– hriech a
pretože b	hriech a	– hriech a	– čos a	– čos a	– hriech a	hriech a	cos a

Preto sú v tabuľkách goniometrických funkcií uvedené hodnoty iba pre ostré uhly a stačí sa obmedziť napríklad na sínus a tangentu. V tabuľke sú uvedené len najčastejšie používané vzorce pre sínus a kosínus. Z nich je ľahké získať vzorce pre tangens a kotangens. Pri pretypovaní funkcie z argumentu formulára kp/2 ± a, kde k– celé číslo k funkcii argumentu a:

1) názov funkcie sa uloží, ak k párne a zmení sa na „doplnkové“, ak k zvláštny;

2) znamienko na pravej strane sa zhoduje so znamienkom redukovateľnej funkcie v bode kp/2 ± a, ak je uhol a ostrý.

Napríklad pri odlievaní ctg (a – p/2) dbáme na to, aby – p/2 na 0 a p /2 leží vo štvrtom kvadrante, kde je kotangens záporný a podľa pravidla 1 zmeníme názov funkcie: ctg (a – p/2) = –tg a .

Sčítacie vzorce.

Vzorce pre viaceré uhly.

Tieto vzorce sú odvodené priamo z adičných vzorcov:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

Vzorec pre cos 3a použil François Viète pri riešení kubickej rovnice. Ako prvý našiel výrazy pre cos n a hriech n a, ktoré sa neskôr získali jednoduchším spôsobom z Moivreho vzorca.

Ak nahradíte a za /2 vo vzorcoch s dvojitým argumentom, možno ich previesť na vzorce polovičného uhla:

Univerzálne substitučné vzorce.

Pomocou týchto vzorcov možno výraz zahŕňajúci rôzne goniometrické funkcie toho istého argumentu prepísať ako racionálny výraz jednej funkcie tg (a /2), čo môže byť užitočné pri riešení niektorých rovníc:

Vzorce na prepočet súm na produkty a produkty na súčty.

Pred príchodom počítačov sa tieto vzorce používali na zjednodušenie výpočtov. Výpočty sa robili pomocou logaritmických tabuliek a neskôr pomocou logaritmického pravítka, pretože logaritmy sú najvhodnejšie na násobenie čísel, takže všetky pôvodné výrazy boli prevedené do formy vhodnej na logaritmizáciu, t.j. pracovať, napríklad:

2 hriech a hriech b = cos ( a–b) – pretože ( a+b);

2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 hriech a cos b= hriech ( a–b) + hriech ( a+b).

Vzorce pre funkcie tangens a kotangens možno získať z vyššie uvedeného.

Vzorce na zníženie stupňa.

Zo vzorcov s viacerými argumentmi sú odvodené nasledujúce vzorce:

sin 2 a = (1 – cos 2a)/2;	cos2a = (1 + cos2a)/2;
sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4;	cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a)/4.

Pomocou týchto vzorcov možno trigonometrické rovnice zredukovať na rovnice nižších stupňov. Rovnakým spôsobom môžeme odvodiť redukčné vzorce pre viac vysokých stupňov sínus a kosínus.

Derivácie a integrály goniometrických funkcií
(hriech X)` = cos X;	(kos X)` = – hriech X;
(tg X)` = ;	(ctg X)` = – ;
t hriech x dx= –cos X + C;	t cos x dx= hriech X + C;
t tg x dx= –ln|cos X| + C;	t ctg x dx = ln|sin X| + C;

Každá goniometrická funkcia v každom bode svojej definičnej oblasti je spojitá a nekonečne diferencovateľná. Navyše, deriváty goniometrických funkcií sú goniometrické funkcie a keď sú integrované, získajú sa aj goniometrické funkcie alebo ich logaritmy. Integrály racionálnych kombinácií goniometrických funkcií sú vždy elementárne funkcie.

Znázornenie goniometrických funkcií vo forme mocninných radov a nekonečných súčinov.

Všetky goniometrické funkcie je možné rozširovať v mocninových radoch. V tomto prípade hrešia funkcie X bcos X sú uvedené v riadkoch. konvergentné pre všetky hodnoty X:

Tieto série môžu byť použité na získanie približných vyjadrení pre hriech X a cos X pri malých hodnotách X:

v | x| p/2;

pri 0 x| p

(B n – Bernoulliho čísla).

funkcie hriechu X a cos X môžu byť reprezentované vo forme nekonečných produktov:

Trigonometrický systém 1, cos X,hriech X, pretože 2 X, hriech 2 X,¼,cos nx,hriech nx, ¼, formuláre na segmente [– p, p] ortogonálny systém funkcií, ktorý umožňuje reprezentovať funkcie vo forme goniometrických radov.

sú definované ako analytické pokračovania zodpovedajúcich goniometrických funkcií reálneho argumentu do komplexnej roviny. Áno, hriech z a cos z možno definovať pomocou série pre hriech X a cos X, ak namiesto toho X dať z:

Tieto série sa zbiehajú cez celú rovinu, takže hriech z a cos z- celé funkcie.

Tangenta a kotangens sú určené vzorcami:

tg funkcie z a ctg z– meromorfné funkcie. tg póly z a sek z– jednoduché (1. rád) a umiestnené na bodoch z = p/2 + pn, póly ctg z a cosec z– tiež jednoduché a umiestnené v bodoch z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Všetky vzorce, ktoré platia pre goniometrické funkcie reálneho argumentu, platia aj pre komplexný. najmä

hriech (- z) = – hriech z,

pretože (- z) = cos z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

tie. párna a nepárna parita sú zachované. Uložia sa aj vzorce

hriech ( z + 2p) = hriech z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

tie. periodicita je tiež zachovaná a periódy sú rovnaké ako pre funkcie skutočného argumentu.

Goniometrické funkcie možno vyjadriť ako exponenciálnu funkciu čisto imaginárneho argumentu:

Späť, e iz vyjadrené z hľadiska cos z a hriech z podľa vzorca:

e iz=cos z + i hriech z

Tieto vzorce sa nazývajú Eulerove vzorce. Leonhard Euler ich vyvinul v roku 1743.

Goniometrické funkcie možno vyjadriť aj ako hyperbolické funkcie:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

kde sh, ch a th sú hyperbolický sínus, kosínus a tangens.

Goniometrické funkcie komplexného argumentu z = x + iy, Kde X A r– reálne čísla, môžu byť vyjadrené pomocou goniometrických a hyperbolických funkcií reálnych argumentov, napríklad:

hriech ( x + iy) = hriech X ch r + i cos X sh r;

cos( x + iy) = cos X ch r + i hriech X sh r.

Sínus a kosínus zložitého argumentu môžu mať skutočné hodnoty väčšie ako 1 v absolútnej hodnote. Napríklad:

Ak neznámy uhol vstupuje do rovnice ako argument goniometrických funkcií, potom sa rovnica nazýva trigonometrická. Takéto rovnice sú také bežné, že ich metódy riešenia sú veľmi podrobné a starostlivo vyvinuté. S s pomocou rôzne techniky a vzorce redukujú goniometrické rovnice na rovnice tvaru f(X)=a, Kde f– ktorákoľvek z najjednoduchších goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens alebo kotangens. Potom vyjadrite argument X túto funkciu prostredníctvom svojej známej hodnoty A.

Keďže goniometrické funkcie sú periodické, to isté A z rozsahu hodnôt je nekonečne veľa hodnôt argumentu a riešenia rovnice nemožno zapísať ako jednu funkciu A. Preto sa v oblasti definície každej z hlavných goniometrických funkcií vyberie sekcia, v ktorej preberá všetky svoje hodnoty, každá len raz, a v tejto sekcii sa nachádza funkcia k nej inverzná. Takéto funkcie sa označujú pridaním predpony arc (oblúk) k názvu pôvodnej funkcie a nazývajú sa inverzné trigonometrické funkcie alebo jednoducho oblúkové funkcie.

Inverzné goniometrické funkcie.

Za hriech X, cos X, tg X a ctg X možno určiť inverzné funkcie. Označujú sa zodpovedajúcim spôsobom arcsin X(čítaj „arcsine“ X"), arcos X, arktan X a arcctg X. Podľa definície arcsin X existuje také číslo y,Čo

hriech pri = X.

Podobne pre ostatné inverzné goniometrické funkcie. Táto definícia však trpí určitou nepresnosťou.

Ak odrážaš hriech X, cos X, tg X a ctg X vzhľadom na bisektor prvého a tretieho kvadrantu súradnicovej roviny sa funkcie v dôsledku ich periodicity stanú nejednoznačnými: nekonečnému počtu uhlov zodpovedá rovnaký sínus (kosínus, dotyčnica, kotangens).

Aby sme sa zbavili nejednoznačnosti, úsek krivky so šírkou p, v tomto prípade je potrebné, aby medzi argumentom a hodnotou funkcie bola zachovaná zhoda jedna ku jednej. Vyberú sa oblasti blízko začiatku súradníc. Pre sínusový vstup Ako „interval jedna ku jednej“ berieme segment [– p/2, p/2], na ktorom sínus monotónne narastá z –1 na 1, pre kosínus – segment, pre dotyčnicu a kotangens intervaly (– p/2, p/2) a (0, p). Každá krivka na intervale sa odráža vzhľadom na osi a teraz je možné určiť inverzné goniometrické funkcie. Napríklad nech je uvedená hodnota argumentu x 0, tak, že 0 Ј X 0 Ј 1. Potom hodnota funkcie r 0 = arcsin X 0 bude mať len jeden význam pri 0 , taký, že - p/2 Ј pri 0 Ј p/2 a X 0 = hriech r 0 .

Arcsín je teda funkciou arcsínu A, definované na intervale [–1, 1] a rovnaké pre každého A na takú hodnotu, - p/2 a p /2 že hriech a = A. Veľmi vhodné je znázorniť ho pomocou jednotkového kruhu (obr. 15). Keď | a| 1 na kružnici sú dva body so súradnicou a, symetrické okolo osi u. Jeden z nich zodpovedá uhlu a= arcsin A, a druhý je roh p - a. S berúc do úvahy periodicitu sínusu, riešenie rovnice sin X= A sa píše takto:

x =(–1)n arcsin a + 2p n,

Kde n= 0, ±1, ±2,...

Ostatné jednoduché goniometrické rovnice je možné vyriešiť rovnakým spôsobom:

cos X = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

Kde P= 0, ±1, ±2,... (obr. 16);

tg X = a;

X= arktan a + p n,

Kde n = 0, ±1, ±2,... (obr. 17);

ctg X= A;

X= arcctg a + p n,

Kde n = 0, ±1, ±2,... (obr. 18).

Základné vlastnosti inverzných goniometrických funkcií:

arcsin X(obr. 19): doména definície – segment [–1, 1]; rozsah – [– p/2, p/2], monotónne rastúca funkcia;

arccos X(obr. 20): doména definície – segment [–1, 1]; rozsah – ; monotónne klesajúca funkcia;

arctg X(obr. 21): definičný obor – všetky reálne čísla; rozsah hodnôt – interval (– p/2, p/2); monotónne rastúca funkcia; rovno pri= –p/2 a y = p /2 – horizontálne asymptoty;

arcctg X(obr. 22): definičný obor – všetky reálne čísla; rozsah hodnôt – interval (0, p); monotónne klesajúca funkcia; rovno r= 0 a y = p– horizontálne asymptoty.

,

Pre hocikoho z = x + iy, Kde X A r sú reálne čísla, platia nerovnosti

½| e\e y–e-y| ≤|hriech z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

z toho pri r® Ґ nasledujú asymptotické vzorce (jednotne vzhľadom na X)

|hriech z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Trigonometrické funkcie sa prvýkrát objavili v súvislosti s výskumom astronómie a geometrie. Pomery úsečiek v trojuholníku a kruhu, ktoré sú v podstate goniometrickými funkciami, sa nachádzajú už v 3. storočí. BC e. v dielach matematikov starovekého Grécka – Euklides, Archimedes, Apollonius z Pergy a iní, tieto vzťahy však neboli samostatným predmetom skúmania, preto neštudovali goniometrické funkcie ako také. Spočiatku sa považovali za segmenty a v tejto podobe ich používali Aristarchos (koniec 4. - 2. polovica 3. storočia pred Kristom), Hipparchos (2. storočie pred Kristom), Menelaos (1. storočie po Kr.) a Ptolemaios (2. storočie po Kr.), keď riešenie sférických trojuholníkov. Ptolemaios zostavil prvú tabuľku akordov pre ostré uhly každých 30" s presnosťou 10 – 6. Bola to prvá tabuľka sínusov. Ako pomer sa funkcia sin a nachádza už v Aryabháte (koniec 5. storočia). Funkcie tg a a ctg a nachádzame v al- Battani (2. polovica 9. - začiatok 10. storočia) a Abul-Vefa (10. storočie), ktorý používa aj sec a a cosec a... Už Aryabhata poznal vzorec ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, ako aj vzorce pre sin a cos polovičného uhla, pomocou ktorých som zostavil tabuľky sínusov pre uhly cez 3°45"; založené známe hodnoty goniometrické funkcie pre najjednoduchšie argumenty. Bhaskara (12. storočie) dal metódu na zostavovanie tabuliek v zmysle 1 pomocou sčítacích vzorcov. Vzorce na prevod súčtu a rozdielu goniometrických funkcií rôznych argumentov na súčin odvodili Regiomontanus (15. storočie) a J. Napier v súvislosti s posledným vynálezom logaritmov (1614). Regiomontan dal tabuľku sínusových hodnôt v 1". Rozšírenie goniometrických funkcií do mocninových radov získal I. Newton (1669). V r. moderná forma teóriu goniometrických funkcií zaviedol L. Euler (18. storočie). Vlastní ich definíciu pre skutočné a zložité argumenty, v súčasnosti akceptovanú symboliku, nadväzovanie spojení s exponenciálna funkcia a ortogonalita systému sínusov a kosínusov.

Najjednoduchšie riešenie goniometrické rovnice.

Riešenie goniometrických rovníc akejkoľvek úrovne zložitosti nakoniec vedie k riešeniu najjednoduchších goniometrických rovníc. A v tomto sa opäť ukazuje ako najlepší asistent trigonometrický kruh.

Pripomeňme si definície kosínusu a sínusu.

Kosínus uhla je súradnica (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Sínus uhla je ordináta (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Kladný smer pohybu na trigonometrickom kruhu je proti smeru hodinových ručičiek. Otočenie o 0 stupňov (alebo 0 radiánov) zodpovedá bodu so súradnicami (1;0)

Tieto definície používame na riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.

1. Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je splnená všetkými hodnotami uhla natočenia, ktoré zodpovedajú bodom na kruhu, ktorých ordináta sa rovná .

Označme bod s ordinátom na osi y:

Nakreslite vodorovnú čiaru rovnobežnú s osou x, kým sa nepretína s kružnicou. Získame dva body ležiace na kruhu a majúce ordinátu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch:

Ak opustíme bod zodpovedajúci uhlu rotácie na radián, obídeme celý kruh, potom dospejeme k bodu zodpovedajúcemu uhlu rotácie na radián a s rovnakou ordinátou. To znamená, že tento uhol natočenia tiež spĺňa našu rovnicu. Môžeme urobiť toľko „nečinných“ otáčok, koľko chceme, vracajúc sa do rovnakého bodu a všetky tieto hodnoty uhla budú spĺňať našu rovnicu. Počet otáčok „naprázdno“ bude označený písmenom (alebo). Keďže tieto revolúcie môžeme robiť v pozitívnom aj negatívnom smere, (alebo) môžu nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty.

To znamená, že prvá séria riešení pôvodnej rovnice má tvar:

, , - množina celých čísel (1)

Podobne aj druhá séria riešení má tvar:

, Kde , . (2)

Ako ste možno uhádli, táto séria riešení je založená na bode na kruhu zodpovedajúcom uhlu otočenia o .

Tieto dve série riešení je možné spojiť do jedného záznamu:

Ak vezmeme (teda párne) v tomto vstupe, tak dostaneme prvú sériu riešení.

Ak vezmeme (teda nepárne) v tomto vstupe, dostaneme druhú sériu riešení.

2. Teraz vyriešme rovnicu

Pretože toto je úsečka bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou o uhol, označíme bod úsečkou na osi:

Nakreslite zvislú čiaru rovnobežnú s osou, kým sa nepretína s kruhom. Získame dva body ležiace na kruhu s úsečkou. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch. Pripomeňme, že pri pohybe v smere hodinových ručičiek dostaneme negatívny uhol natočenia:

Napíšme dve série riešení:

,

,

(Do požadovaného bodu sa dostaneme tak, že pôjdeme z hlavného úplného kruhu, tzn.

Spojme tieto dve série do jedného záznamu:

3. Vyriešte rovnicu

Dotyčnica prechádza bodom so súradnicami (1,0) jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou OY

Označme na ňom bod s ordinátou rovnou 1 (hľadáme dotyčnicu, ktorej uhly sú rovné 1):

Spojme tento bod s počiatkom súradníc priamkou a označme priesečníky priamky s jednotkovou kružnicou. Priesečníky priamky a kružnice zodpovedajú uhlom natočenia na a :

Keďže body zodpovedajúce uhlom rotácie, ktoré spĺňajú našu rovnicu, ležia od seba vo vzdialenosti radiánov, riešenie môžeme zapísať takto:

4. Vyriešte rovnicu

Čiara kotangens prechádza bodom so súradnicami jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou.

Označme bod s osou -1 na priamke kotangens:

Spojme tento bod s počiatkom priamky a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s kružnicou. Táto priamka bude pretínať kruh v bodoch zodpovedajúcich uhlom rotácie v a radiánoch:

Keďže tieto body sú od seba oddelené vzdialenosťou rovnajúcou sa , potom spoločné rozhodnutie Túto rovnicu môžeme napísať takto:

V uvedených príkladoch ilustrujúcich riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc boli použité tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií.

Ak však pravá strana rovnice obsahuje netabuľkovú hodnotu, dosadíme hodnotu do všeobecného riešenia rovnice:

ŠPECIÁLNE RIEŠENIA:

Označme body na kružnici, ktorej ordináta je 0:

Označme jeden bod na kružnici, ktorej ordináta je 1:

Označme jeden bod na kružnici, ktorého ordináta sa rovná -1:

Keďže je zvykom uvádzať hodnoty najbližšie k nule, napíšeme riešenie takto:

Označme body na kružnici, ktorých súradnica sa rovná 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná 1:

Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná -1:

A trochu zložitejšie príklady:

1.

Sínus sa rovná jednej, ak sa argument rovná

Argument nášho sínusu je rovnaký, takže dostaneme:

Vydeľme obe strany rovnosti 3:

odpoveď:

2.

Kosínus je nula, ak je argument kosínusu

Argument nášho kosínusu sa rovná , takže dostaneme:

Vyjadrime sa, aby sme to urobili, najprv sa presunieme doprava s opačným znamienkom:

Zjednodušme pravú stranu:

Vydeľte obe strany -2:

Všimnite si, že znamienko pred pojmom sa nemení, pretože k môže nadobudnúť akúkoľvek celočíselnú hodnotu.

odpoveď:

A nakoniec si pozrite video lekciu „Výber koreňov v trigonometrickej rovnici pomocou trigonometrického kruhu“

Týmto sa končí náš rozhovor o riešení jednoduchých goniometrických rovníc. Nabudúce si povieme, ako sa rozhodnúť.

Jednou z oblastí matematiky, s ktorou žiaci najviac zápasia, je trigonometria. Nie je prekvapujúce: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť číslo pi v výpočty. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť používať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodiť zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte pochopiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.

Historicky hlavným predmetom štúdia v tejto časti matematická veda boli pravouhlé trojuholníky. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, čo vám umožňuje určiť hodnoty všetkých parametrov príslušného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.

Prvé štádium

Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu medzi uhlami a stranami výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v Každodenný život toto odvetvie matematiky.

Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých študenti využívajú nadobudnuté vedomosti z fyziky a riešenia abstraktných goniometrických rovníc, ktoré začínajú už na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď sa veda dostala na ďalšiu úroveň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou a kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Tento oddiel sa na škole neštuduje, no o jeho existencii je potrebné vedieť minimálne preto zemského povrchu a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že akékoľvek označenie povrchu bude mať v trojrozmernom priestore „oblúkový tvar“.

Vezmite zemeguľu a niť. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Upozorňujeme - nadobudlo tvar oblúka. Takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.

Správny trojuholník

Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty možno s ich pomocou vykonávať a aké vzorce použiť.

Prvým krokom je pochopiť súvisiace pojmy správny trojuholník. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety je jeho číselná hodnota rovná odmocnine súčtu druhých mocnín ostatných dvoch strán.

Napríklad, ak sú obe strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme sa rovná 180 stupňom.

Definícia

Nakoniec, s pevným pochopením geometrického základu, sa môžeme obrátiť na definíciu sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlej strany k prepone.

Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na to, aká dlhá je prepona, bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na problém dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.

Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Delenie sínusu kosínusom poskytne rovnaký výsledok. Pozrite sa: podľa vzorca vydelíme dĺžku strany preponou, potom vydelíme dĺžkou druhej strany a vynásobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký vzťah ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je teda pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednej dotyčnicou.

Takže sme sa pozreli na definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme prejsť k vzorcom.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa nezaobídete bez vzorcov - ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? Ale to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak potrebujete poznať veľkosť uhla a nie strany.

Veľa žiakov si nevie zapamätať druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: toto je rovnaké tvrdenie ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia áno trigonometrický vzorecúplne na nerozoznanie. Pamätajte: s vedomím toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, transformačných pravidiel a niekoľkých základných vzorcov, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované ďalšie zložité vzorce na kúsku papiera.

Vzorce pre dvojité uhly a sčítanie argumentov

Ďalšie dva vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú uvedené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.

Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - ako tréning sa ich snažte získať sami zobratím alfa uhla rovný uhlu beta.

Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno preusporiadať, aby sa znížila mocnina sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda aj plochu postavy a veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta hovorí, že vydelenie dĺžky každej strany trojuholníka opačným uhlom vedie k rovnakému číslu. Okrem toho sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odpočítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínusom susedného uhla - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.

Neopatrné chyby

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangenta, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, poďme sa pozrieť na tie najpopulárnejšie.

Po prvé, nemali by ste prevádzať zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať ako spoločný zlomok, pokiaľ nie je v podmienkach uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba pamätať na to, že v každej fáze problému sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa myšlienky autora mali znížiť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty ako odmocnina z troch alebo odmocnina z dvoch, pretože sa vyskytujú v problémoch na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínusová veta sa vzťahuje na akýkoľvek trojuholník, ale nie na Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie predmetu. Toto je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty pre uhly 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, tangenty, kotangensy. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zameniť, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnohí študenti sa so začiatkom štúdia trigonometrie neponáhľajú, pretože nerozumejú jej praktickému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, pomocou ktorých môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu alebo poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.

Konečne

Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské úlohy.

Celý zmysel trigonometrie spočíva v tom, že pomocou známych parametrov trojuholníka musíte vypočítať neznáme. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžka troch strán a veľkosť troch uhlov. Jediný rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú uvedené rôzne vstupné údaje.

Teraz viete, ako nájsť sínus, kosínus, tangentu na základe známych dĺžok nôh alebo prepony. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom úlohy trigonometrie je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže bežná školská matematika.