Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, potom môžete ľahko nájsť silu, na ktorú musíte zdvihnúť dvojku, aby ste získali toto číslo. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.
A teraz - v skutočnosti definícia logaritmu:
Logaritmus k základu a argumentu x je mocnina, na ktorú musí byť číslo a umocnené, aby sme dostali číslo x .
Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je v skutočnosti to, čomu sa rovná logaritmus.
Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). Môže tiež log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.
Operácia nájdenia logaritmu čísla k danému základu sa nazýva logaritmus. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa dajú tak ľahko zvážiť. Skúste napríklad nájsť log 2 5 . Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na segmente. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať donekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať takto: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mýli, kde je základ a kde je argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, stačí sa pozrieť na obrázok:
Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, ku ktorej potrebujete zvýšiť základ, aby ste dostali argument. Práve základ je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Toto úžasné pravidlo hovorím svojim študentom na prvej hodine - a nie je tam žiadny zmätok.
Prišli sme na definíciu - zostáva sa naučiť počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:
- Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je zredukovaná definícia logaritmu.
- Základ sa musí líšiť od jednoty, pretože jednotka k akejkoľvek moci je stále jednotkou. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!
Takéto obmedzenia sú tzv platný rozsah(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu) nie je uložené. Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 \u003d -1, pretože 0,5 = 2 -1.
Zatiaľ však iba zvažujeme číselné výrazy, kde nie je potrebné poznať ODZ logaritmu. Všetky obmedzenia už spracovatelia problémov vzali do úvahy. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DHS sa stanú povinnými. V základe a argumente totiž môžu byť veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.
Teraz zvážte všeobecná schéma logaritmické výpočty. Pozostáva z troch krokov:
- Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s najmenším možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných zlomkov;
- Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
- Výsledné číslo b bude odpoveďou.
To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to vidieť už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. Podobný desatinné miesta: ak ich hneď preložíte do obyčajných, chýb bude mnohonásobne menej.
Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25
- Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Dostal odpoveď: 2.
Zostavme a vyriešime rovnicu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Úloha. Vypočítajte logaritmus:
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64
- Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Zostavme a vyriešime rovnicu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Dostal odpoveď: 3.
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1
- Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Zostavme a vyriešime rovnicu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Prijatá odpoveď: 0.
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14
- Predstavme základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nie je vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
- Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa neuvažuje;
- Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.
Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako sa uistiť, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Veľmi jednoduché – stačí to rozložiť na prvočiniteľa. Ak sú v expanzii aspoň dva odlišné faktory, číslo nie je presnou mocninou.
Úloha. Zistite, či sú presné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 5 - opäť nie presný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opäť nie presný stupeň;
Poznamenávame tiež, že my základné čísla sú vždy presné sily samých seba.
Desatinný logaritmus
Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a označenie.
Desatinný logaritmus argumentu x je základný 10 logaritmus, t.j. mocnina, na ktorú musíte zvýšiť číslo 10, aby ste dostali číslo x. Označenie: lg x .
Napríklad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.
Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však na takéto označenie nie ste zvyknutí, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x
Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desatinné miesta.
prirodzený logaritmus
Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoj vlastný zápis. V istom zmysle je ešte dôležitejšia ako desatinná. Je to o o prirodzenom logaritme.
prirodzený logaritmus argumentu x je log základ e , t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x .
Mnohí sa budú pýtať: čo iné je číslo e? Toto je iracionálne číslo presná hodnota nemožno nájsť a zaznamenať. Tu sú len prvé čísla:
e = 2,718281828459...
Nebudeme sa ponoriť do toho, čo je toto číslo a prečo je to potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x
Teda ln e = 1; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jednoty: ln 1 = 0.
Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.
Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných ukazovateľov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady použitia tejto funkcie nájdeme takmer všade tam, kde je potrebné zjednodušiť ťažkopádne násobenie na jednoduché sčítanie. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchý a prístupný jazyk.
Definícia v matematike
Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (to znamená akéhokoľvek kladného čísla) "b" podľa jeho základu "a" sa považuje za mocninu "c". “, na ktorý je potrebné zdvihnúť základ „a“, aby nakoniec dostal hodnotu „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť taký stupeň, aby ste od 2 do požadovaného stupňa dostali 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov vo vašej mysli dostaneme číslo 3! A je to tak správne, pretože 2 na mocninu 3 dáva v odpovedi číslo 8.
Odrody logaritmov
Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri určité typy logaritmické výrazy:
- Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
- Desatinné a, kde základ je 10.
- Logaritmus ľubovoľného čísla b so základom a>1.
Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si zapamätať ich vlastnosti a poradie akcií v ich rozhodnutiach.
Pravidlá a určité obmedzenia
V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Čísla napríklad nemôžete deliť nulou a nie je možné použiť ani párny koreň záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:
- základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a zároveň sa nesmie rovnať 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
- ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že "c" musí byť väčšie ako nula.
Ako vyriešiť logaritmy?
Napríklad bola zadaná úloha nájsť odpoveď na rovnicu 10 x \u003d 100. Je to veľmi jednoduché, musíte si vybrať takú silu, zvýšiť číslo desať, na ktoré dostaneme 100. Toto je, samozrejme, 10 2 \u003d 100.
Teraz si predstavme tento výraz ako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov všetky akcie prakticky konvergujú k zisteniu miery, do akej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.
Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:
Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak, pre veľké hodnoty potrebujete tabuľku stupňov. Využiť ho môžu aj tí, ktorí v zložitých matematických témach nerozumejú vôbec ničomu. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný rad čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku buniek sa určia hodnoty čísel, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najskutočnejší humanista!
Rovnice a nerovnice
Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnicu. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako logaritmus 81 k základu 3, čo je štyri (log 3 81 = 4). Pre negatívne sily pravidlá sú rovnaké: 2 -5 \u003d 1/32 píšeme vo forme logaritmu, dostaneme log 2 (1/32) \u003d -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Príklady a riešenia rovníc zvážime o niečo nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.
Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnosť, pretože neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základe dva je väčší ako číslo tri.
Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovnosti oba rozsahy prijateľné hodnoty a body porušujúce túto funkciu. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi rovnice, ale súvislý rad alebo množina čísel.
Základné vety o logaritmoch
Pri riešení primitívnych úloh pri hľadaní hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. S príkladmi rovníc sa zoznámime neskôr, najprv si každú vlastnosť podrobnejšie rozoberieme.
- Základná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, ak a je väčšie ako 0, nerovná sa 1 a B je väčšie ako nula.
- Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je predpokladom: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Môžete poskytnúť dôkaz pre tento vzorec logaritmov s príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňov ), a ďalej podľa definície: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo sa malo dokázať.
- Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.
Tento vzorec sa nazýva "vlastnosť stupňa logaritmu". Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika spočíva na pravidelných postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.
Nechaj log a b \u003d t, ukáže sa t \u003d b. Ak zdvihnete obe časti na mocninu m: a tn = b n ;
ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n , teda log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.
Príklady problémov a nerovností
Najbežnejšími typmi logaritmických problémov sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú zahrnuté aj v povinnej časti skúšok z matematiky. Na vstup na univerzitu alebo absolvovanie vstupných testov z matematiky musíte vedieť, ako takéto úlohy správne riešiť.
Bohužiaľ neexistuje jediný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, avšak každá matematická nerovnosť alebo logaritmická rovnica sa dá použiť. určité pravidlá. Najprv by ste mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo zredukovať všeobecný pohľad. Zjednodušte dlho logaritmické výrazy Môžete, ak správne používate ich vlastnosti. Poďme sa s nimi čoskoro zoznámiť.
Pri rozhodovaní logaritmické rovnice, je potrebné určiť, aký druh logaritmu máme pred sebou: príklad výrazu môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.
Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že musíte určiť, do akej miery sa základ 10 bude rovnať 100 a 1026. Pre riešenia prirodzených logaritmov je potrebné použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.
Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami
Pozrime sa teda na príklady použitia hlavných teorémov na logaritmy.
- Vlastnosť logaritmu súčinu sa dá využiť v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti stupňa logaritmu sa nám podarilo vyriešiť na prvý pohľad zložitý a neriešiteľný výraz. Je potrebné iba faktorizovať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.
Úlohy zo skúšky
Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Zvyčajne sú tieto úlohy prítomné nielen v časti A (najľahšie testovacia časť skúška), ale aj v časti C (najťažšie a najobjemnejšie úlohy). Skúška predpokladá presnú a dokonalú znalosť témy "Prirodzené logaritmy".
Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych stránok POUŽÍVAŤ možnosti. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.
Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definíciou logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , teda 2x = 17; x = 8,5.
- Všetky logaritmy je najlepšie zredukovať na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
- Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu sú označené ako kladné, preto pri vyberaní exponentu exponentu výrazu, ktorý je pod znamienkom logaritmu a ako jeho základu, musí byť výraz zostávajúci pod logaritmom kladný.
log a r b r =log a b alebo log a b= log a r b r
Hodnota logaritmu sa nemení, ak sa základ logaritmu a číslo pod znamienkom logaritmu zvýšia na rovnakú mocninu.
Pod znamienkom logaritmu môžu byť iba kladné čísla a základ logaritmu sa nerovná jednej.
Príklady.
1) Porovnajte log 3 9 a log 9 81.
log 3 9=2 pretože 3 2 =9;
log 9 81 = 2, pretože 9 2 = 81.
Takže log 3 9 = log 9 81.
Všimnite si, že základ druhého logaritmu sa rovná druhej mocnine základne prvého logaritmu: 9=3 2 a číslo pod znamienkom druhého logaritmu sa rovná druhej mocnine čísla pod znamienkom prvého logaritmu. logaritmus: 81=9 2 . Ukazuje sa, že číslo aj základ prvého logaritmus logaritmu 3 9 boli zvýšené na druhú mocninu a hodnota logaritmu sa od tejto hodnoty nezmenila:
Ďalej od extrakcie koreňa n stupňa spomedzi A je konštrukcia čísla A do istej miery ( 1/n), potom log 3 9 možno získať z log 9 81 zobratím druhej odmocniny čísla a základu logaritmu:
2) Skontrolujte rovnosť: log 4 25=log 0,5 0,2.
Zvážte prvý logaritmus. Extrakt Odmocnina zo základne 4 a medzi 25 ; dostaneme: log 4 25 = log 2 5.
Zvážte druhý logaritmus. Základ logaritmu: 0,5= 1/2. Číslo pod znamienkom tohto logaritmu: 0,2 = 1/5. Zvýšme každé z týchto čísel na mínus prvú mocninu:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Takže log 0,5 0,2 = log 2 5. Záver: táto rovnosť je pravdivá.
Vyriešte rovnicu:
log 4 x 4 + log 16 81 = log 2 (5x+2). Logaritmy prinášame zľava do základne 2 .
log 2 x 2 + log 2 3 = log 2 (5x+2). Vzali sme druhú odmocninu čísla a od základu prvého logaritmu. Zobrali sme štvrtý koreň čísla a základ druhého logaritmu.
log 2 (3x 2) = log 2 (5x+2). Preveďte súčet logaritmov na logaritmus súčinu.
3x2=5x+2. Prijaté po zosilnení.
3x2-5x-2=0. My rozhodujeme kvadratická rovnica podľa všeobecného vzorca pre úplnú kvadratickú rovnicu:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72 >0; 2 skutočné korene.
Vyšetrenie.
x=2.
log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 + log 2 3 = log 2 12;
log2(4*3)=log212;
log 2 12 = log 2 12;
log a n b=(1/
n)∙
log a b
Logaritmus čísla b podľa rozumu a n rovná súčinu zlomku 1/ n na logaritmus čísla b podľa rozumu a.
Nájsť:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 ak je to známe log 2 3=b,log 5 2=c.
Riešenie.
Riešiť rovnice:
1) log 2 x + log 4 x + log 16 x = 5,25.
Riešenie.
Tieto logaritmy prenesieme na základ 2. Použite vzorec: log a n b=(1/ n)∙ log a b
log2x+(1/2) log2x+(1/4) log2x=5,25;
log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Tu sú podobné výrazy:
(1+0,5+0,25) log2 x = 5,25;
1,75 log 2 x = 5,25 |: 1,75
log 2x=3. Podľa definície logaritmu:
2) 0,5 log4 (x-2) + log16 (x-3) = 0,25.
Riešenie. Vezmite základný 16 logaritmus na základňu 4.
0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5
log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Preveďte súčet logaritmov na logaritmus súčinu.
log4((x-2)(x-3))=0,5;
log4 (x2-2x-3x+6) = 0,5;
log4 (x2-5x+6) = 0,5. Podľa definície logaritmu:
x 2 - 5 x + 4 = 0. Podľa Vietovej vety:
x 1 = 1; x2=4. Prvá hodnota x nebude fungovať, pretože pre x \u003d 1 logaritmy tejto rovnosti neexistujú, pretože pod znamienkom logaritmu môžu byť iba kladné čísla.
Skontrolujme túto rovnicu pre x=4.
Vyšetrenie.
0,5 log4 (4-2) + log16 (4-3) = 0,25
0,5 log 4 2 + log 16 1 = 0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Logaritmus čísla b podľa rozumu A sa rovná logaritmučísla b na novom základe s delené logaritmom starej základne A na novom základe s.
Príklady:
1) log23=log3/log2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Vypočítať:
1) denník 5 7 ak je to známe lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.
c b / log c a.
log57=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
odpoveď: denník 5 7≈1,209 0≈1,209 .
2) denník 5 7 ak je to známe ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.
Riešenie. Použite vzorec: log a b = log c b / log c a.
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
odpoveď: denník 5 7≈1,209 1≈1,209 .
Nájsť x:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Používame vzorec: log c b / log c a = log a b . Dostaneme:
log 3 x = log 3 4 + log 3 6 + log 3 8;
log3 x = log3 (4-6*8);
log 3 x = log 3 192;
x = 192.
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.
Používame vzorec: log c b / log c a = log a b . Dostaneme:
log7 x = lg143-lgll-lg13;
log7x=lg143- (lgll+lg13);
log7x=lg143-lg (11-13);
log7 x=lg143-lg143;
x=1.
Strana 1 z 1 1
Čo je to logaritmus?
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä - rovnice s logaritmami.
Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš? Dobre. Teraz na 10 - 20 minút:
1. Pochopte čo je logaritmus.
2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálne rovnice. Aj keď ste o nich ešte nepočuli.
3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.
Okrem toho budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a ako sa číslo zvýši na mocninu ...
Cítim, že pochybuješ... No, nechaj si čas! Choď!
Najprv si v duchu vyriešte nasledujúcu rovnicu:
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Všimnite si, že logaritmus nezáporného čísla nie je definovaný. Základom logaritmu musí byť tiež kladné číslo, nie rovné 1. Ak napríklad odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základný logaritmus -2 čísla 4 je 2.
Základná logaritmická identita
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Je dôležité, aby sa domény definície pravej a ľavej časti tohto vzorca líšili. Ľavá strana je definovaný len pre b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá časť je definovaný pre akékoľvek b, ale vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovníc teda môže viesť k zmene DPV.
Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Skutočne, keď zvýšime číslo a na prvú mocninu, dostaneme rovnaké číslo a keď ho zvýšime na nulu, dostaneme jednotku.
Logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovitým používaním týchto vzorcov pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc. Keď sa používajú „zľava doprava“, ODZ sa zužuje a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu súčinu alebo kvocientu sa ODZ rozširuje.
V skutočnosti je výraz log a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne kladné alebo keď sú f(x) a g(x) obe menšie ako nula.
Transformáciou tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa len na prípad, keď f(x)>0 a g(x)>0. Dochádza k zúženiu rozsahu prípustných hodnôt, čo je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje pre vzorec (6).
Stupeň možno odobrať zo znamienka logaritmu
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)A opäť by som chcel požiadať o presnosť. Zvážte nasledujúci príklad:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ľavá strana rovnosti je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f(x) okrem nuly. Pravá strana je len pre f(x)>0! Vybratím sily z logaritmu opäť zúžime ODZ. Opačný postup vedie k rozšíreniu rozsahu prípustných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre mocninu 2, ale aj pre akúkoľvek párnu mocninu.
Vzorec na presťahovanie sa na novú základňu
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)To ojedinelý prípad, keď sa pri transformácii ODZ nemení. Ak ste múdro zvolili základ c (kladný a nerovná sa 1), vzorec na prechod na nový základ je úplne bezpečný.
Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležité špeciálny prípad vzorce (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami
Príklad 1 Vypočítajte: lg2 + lg50.
Riešenie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Použili sme vzorec pre súčet logaritmov (5) a definíciu desiatkového logaritmu.
Príklad 2 Vypočítajte: lg125/lg5.
Riešenie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Použili sme nový základný prechodový vzorec (8).
Tabuľka vzorcov súvisiacich s logaritmami
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
