Týmto videom začínam dlhú sériu lekcií o logaritmických rovniciach. Teraz máte tri príklady naraz, na základe ktorých sa naučíme riešiť najviac jednoduché úlohy, ktoré sú tzv prvoky.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Dovoľte mi pripomenúť, že najjednoduchšia logaritmická rovnica je nasledujúca:
log a f(x) = b
Dôležité je, že premenná x je prítomná iba vo vnútri argumentu, teda iba vo funkcii f(x). A čísla a a b sú len čísla a v žiadnom prípade to nie sú funkcie obsahujúce premennú x.
Základné metódy riešenia
Existuje mnoho spôsobov riešenia takýchto štruktúr. Napríklad väčšina učiteľov v škole navrhuje tento spôsob: Okamžite vyjadrite funkciu f ( x ) pomocou vzorca f( x) = a b . To znamená, že keď sa stretnete s najjednoduchšou konštrukciou, môžete okamžite pristúpiť k riešeniu bez dodatočných akcií a konštrukcií.
Áno, samozrejme, rozhodnutie sa ukáže ako správne. Problémom tohto vzorca je však väčšina študentov nerozumiem, odkiaľ pochádza a prečo práve zdvíhame písmeno a na písmeno b.
V dôsledku toho často pozorujem veľmi urážlivé chyby, keď sa napríklad tieto písmená zamieňajú. Tento vzorec je potrebné buď pochopiť, alebo si ho zapamätať a druhá metóda vedie k chybám v tých najnevhodnejších a najdôležitejších momentoch: pri skúškach, testoch atď.
Preto všetkým svojim študentom navrhujem, aby opustili štandardný školský vzorec a použili druhý prístup na riešenie logaritmických rovníc, ktorý, ako ste už pravdepodobne uhádli z názvu, sa nazýva kanonická forma.
Myšlienka kanonickej formy je jednoduchá. Pozrime sa ešte raz na náš problém: vľavo máme log a , pričom písmeno a znamená presne to číslo a v žiadnom prípade funkciu obsahujúcu premennú x. Preto tento list podlieha všetkým obmedzeniam, ktoré sú uložené na základe logaritmu. menovite:
1 ≠ a > 0
Na druhej strane z tej istej rovnice vidíme, že logaritmus musí byť sa rovná číslu b , a na tento list sa nevzťahujú žiadne obmedzenia, pretože môže mať akúkoľvek hodnotu - pozitívnu aj negatívnu. Všetko závisí od toho, aké hodnoty má funkcia f(x).
A tu si pamätáme naše úžasné pravidlo, že akékoľvek číslo b môže byť reprezentované ako logaritmus v základe a od a po mocninu b:
b = log a a b
Ako si zapamätať tento vzorec? Áno, veľmi jednoduché. Napíšme nasledujúcu konštrukciu:
b = b 1 = b log a a
Samozrejme, v tomto prípade vznikajú všetky obmedzenia, ktoré sme si spísali na začiatku. A teraz použijeme základnú vlastnosť logaritmu a zadáme faktor b ako mocninu a. Dostaneme:
b = b 1 = b log a a = log a a b
V dôsledku toho sa pôvodná rovnica prepíše do nasledujúceho tvaru:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To je všetko. Nová funkcia už neobsahuje logaritmus a je riešená štandardnými algebraickými technikami.
Samozrejme, teraz niekto namietne: prečo bolo vôbec potrebné vymýšľať nejaký druh kanonického vzorca, prečo robiť dva zbytočné kroky navyše, ak bolo možné okamžite prejsť od pôvodnej konštrukcie ku konečnému vzorcu? Áno, len preto, že väčšina študentov nerozumie, odkiaľ tento vzorec pochádza, a v dôsledku toho pravidelne robia chyby pri jeho aplikácii.
Takáto postupnosť akcií pozostávajúca z troch krokov vám však umožňuje vyriešiť pôvodnú logaritmickú rovnicu, aj keď nerozumiete, odkiaľ tento konečný vzorec pochádza. Mimochodom, tento záznam sa nazýva kanonický vzorec:
log a f(x) = log a a b
Pohodlie kanonickej formy spočíva aj v tom, že ju možno použiť na riešenie veľmi širokej triedy logaritmických rovníc, a nie len tých najjednoduchších, o ktorých dnes uvažujeme.
Príklady riešení
A teraz uvažujme skutočné príklady. Tak sa rozhodnime:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Prepíšme to takto:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Mnohí študenti sa ponáhľajú a snažia sa okamžite zvýšiť číslo 0,5 na moc, ktorá nám prišla z pôvodného problému. A skutočne, keď ste už dobre vyškolení v riešení takýchto problémov, môžete tento krok okamžite vykonať.
Ak však práve začínate študovať túto tému, je lepšie sa nikam neponáhľať, aby ste neurobili útočné chyby. Máme teda kánonickú formu. Máme:
3x - 1 = 0,5 -3
Toto už nie je logaritmická rovnica, ale lineárna vzhľadom na premennú x. Aby sme to vyriešili, poďme sa najprv zaoberať číslom 0,5 s mocninou −3. Všimnite si, že 0,5 je 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Všetky desatinné miesta previesť do normálu, keď riešite logaritmickú rovnicu.
Prepíšeme a dostaneme:
3x − 1 = 8
3x = 9
x=3
Všetko, čo sme dostali, odpoveď. Prvá úloha je vyriešená.
Druhá úloha
Prejdime k druhej úlohe:
Ako vidíte, táto rovnica už nie je najjednoduchšia. Už len preto, že rozdiel je vľavo a nie jeden logaritmus v jednej základni.
Preto sa musíte nejako zbaviť tohto rozdielu. V tomto prípade je všetko veľmi jednoduché. Pozrime sa bližšie na základy: vľavo je číslo pod koreňom:
Všeobecné odporúčanie: vo všetkých logaritmických rovniciach sa snažte zbaviť radikálov, t.j. položiek s koreňmi, a prejdite na mocenské funkcie, jednoducho preto, že exponenty týchto mocnín sú ľahko vyňaté zo znamienka logaritmu a v konečnom dôsledku takýto zápis značne zjednodušuje a urýchľuje výpočty. Napíšme to takto:
Teraz si pripomíname pozoruhodnú vlastnosť logaritmu: z argumentu, ako aj zo základne, môžete odobrať stupne. V prípade základov sa stane toto:
log a k b = 1/k loga b
Inými slovami, číslo, ktoré stálo v stupni základne, sa posunie dopredu a zároveň sa prevráti, to znamená, že sa stane prevráteným číslom. V našom prípade existoval stupeň základne s ukazovateľom 1/2. Preto to môžeme vziať ako 2/1. Dostaneme:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Poznámka: v žiadnom prípade by ste sa v tomto kroku nemali zbaviť logaritmov. Spomeňte si na matematiku 4. – 5. ročníka a poradie operácií: najskôr sa vykoná násobenie a až potom sčítanie a odčítanie. V tomto prípade odčítame jeden z tých istých prvkov od 10 prvkov:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Teraz naša rovnica vyzerá tak, ako by mala. Toto je najjednoduchšia konštrukcia a riešime ju pomocou kanonickej formy:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
To je všetko. Druhý problém je vyriešený.
Tretí príklad
Prejdime k tretej úlohe:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Spomeňte si na nasledujúci vzorec:
log b = log 10 b
Ak ste z nejakého dôvodu zmätení písaním lg b , potom pri vykonávaní všetkých výpočtov môžete jednoducho napísať log 10 b . S desiatkovými logaritmami môžete pracovať rovnakým spôsobom ako s ostatnými: odoberte mocniny, sčítajte a reprezentujte ľubovoľné číslo ako lg 10.
Práve tieto vlastnosti teraz použijeme pri riešení úlohy, keďže to nie je tá najjednoduchšia, ktorú sme si zapísali na samom začiatku našej hodiny.
Na začiatok si všimnite, že faktor 2 pred lg 5 môže byť vložený a stane sa mocninou základu 5. Okrem toho, voľný člen 3 môže byť tiež reprezentovaný ako logaritmus - to je veľmi ľahké zistiť z nášho zápisu.
Posúďte sami: akékoľvek číslo môže byť reprezentované ako log k základni 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Prepíšme pôvodný problém s prihliadnutím na prijaté zmeny:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg
Pred nami je opäť kanonický tvar a ten sme získali obídením štádia transformácií, t.j. najjednoduchšia logaritmická rovnica u nás nikde neprišla.
To je to, o čom som hovoril na samom začiatku hodiny. Kanonická forma umožňuje riešiť širšiu triedu problémov ako štandardný školský vzorec, ktorý uvádza väčšina učiteľov školy.
To je všetko, zbavte sa znamenia desiatkový logaritmus a dostaneme jednoduchú lineárnu konštrukciu:
x + 3 = 25 000
x = 24997
Všetky! Problém je vyriešený.
Poznámka o rozsahu
Tu by som rád urobil dôležitú poznámku o doméne definície. Určite sa teraz nájdu študenti a učitelia, ktorí povedia: „Keď riešime výrazy pomocou logaritmov, je nevyhnutné mať na pamäti, že argument f (x) musí byť väčší ako nula! V tejto súvislosti vyvstáva logická otázka: prečo sme v žiadnom z uvažovaných problémov nepožadovali, aby bola táto nerovnosť uspokojená?
Neboj sa. V týchto prípadoch sa neobjavia žiadne extra korene. A to je ďalší skvelý trik, ktorý vám umožní urýchliť riešenie. Len vedzte, že ak sa v úlohe premenná x vyskytuje iba na jednom mieste (presnejšie v jednom a jedinom argumente jediného logaritmu) a nikde inde v našom prípade premenná x, potom napíšte definičný obor netreba pretože sa spustí automaticky.
Posúďte sami: v prvej rovnici sme dostali, že 3x - 1, teda argument by sa mal rovnať 8. To automaticky znamená, že 3x - 1 bude väčšie ako nula.
S rovnakým úspechom môžeme napísať, že v druhom prípade sa x musí rovnať 5 2, t.j. určite je väčšie ako nula. A v treťom prípade, kde x + 3 = 25 000, teda opäť zjavne väčšie ako nula. Inými slovami, rozsah je automatický, ale iba ak sa x vyskytuje iba v argumente iba jedného logaritmu.
To je všetko, čo potrebujete vedieť na riešenie jednoduchých problémov. Samotné toto pravidlo spolu s pravidlami transformácie vám umožní vyriešiť veľmi širokú triedu problémov.
Ale povedzme si úprimne: na to, aby sme konečne pochopili túto techniku, aby sme sa naučili aplikovať kanonickú formu logaritmickej rovnice, nestačí si len pozrieť jednu video lekciu. Preto si práve teraz stiahnite možnosti nezávislého riešenia, ktoré sú priložené k tomuto videonávodu a začnite riešiť aspoň jedno z týchto dvoch nezávislých diel.
Zaberie vám to len pár minút. Ale efekt takéhoto tréningu bude oveľa vyšší v porovnaní s tým, keby ste si práve pozreli tento videonávod.
Dúfam, že vám táto lekcia pomôže pochopiť logaritmické rovnice. Použite kanonickú formu, zjednodušte výrazy pomocou pravidiel pre prácu s logaritmami - a nebudete sa báť žiadnych úloh. A to je na dnes všetko, čo mám.
Zváženie rozsahu
Teraz si povedzme o doméne logaritmickej funkcie, ako aj o tom, ako to ovplyvňuje riešenie logaritmických rovníc. Zvážte konštrukciu formulára
log a f(x) = b
Takýto výraz sa nazýva najjednoduchší - má iba jednu funkciu a čísla a a b sú len čísla a v žiadnom prípade nie sú funkciou, ktorá závisí od premennej x. Je to riešené veľmi jednoducho. Stačí použiť vzorec:
b = log a a b
Tento vzorec je jednou z kľúčových vlastností logaritmu a pri dosadení do nášho pôvodného výrazu dostaneme nasledovné:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Toto je už známy vzorec zo školských učebníc. Mnohí študenti budú mať pravdepodobne otázku: keďže funkcia f ( x ) v pôvodnom výraze je pod znakom log, platia pre ňu nasledujúce obmedzenia:
f(x) > 0
Toto obmedzenie platí, pretože logaritmus záporné čísla neexistuje. Takže možno kvôli tomuto obmedzeniu by ste mali zaviesť kontrolu odpovedí? Možno ich treba nahradiť v zdroji?
Nie, v najjednoduchších logaritmických rovniciach nie je potrebná dodatočná kontrola. A preto. Pozrite sa na náš konečný vzorec:
f(x) = a b
Faktom je, že číslo a je v každom prípade väčšie ako 0 - táto požiadavka je tiež uložená logaritmom. Číslo a je základ. V tomto prípade sa na počet b nevzťahujú žiadne obmedzenia. Ale to nevadí, pretože bez ohľadu na to, o aký stupeň zdvihneme kladné číslo, na výstupe stále dostaneme kladné číslo. Požiadavka f (x) > 0 je teda splnená automaticky.
Čo sa naozaj oplatí skontrolovať, je rozsah funkcie pod znakom log. Môžu existovať pomerne zložité návrhy a v procese ich riešenia ich musíte určite dodržiavať. Poďme sa pozrieť.
Prvá úloha:
Prvý krok: preveďte zlomok vpravo. Dostaneme:
Zbavíme sa znamienka logaritmu a dostaneme obvyklú iracionálnu rovnicu:
Zo získaných koreňov nám vyhovuje iba prvý, keďže druhý koreň menej ako nula. Jedinou odpoveďou bude číslo 9. To je všetko, problém je vyriešený. Nevyžadujú sa žiadne dodatočné kontroly, či výraz pod logaritmickým znamienkom je väčší ako 0, pretože nie je len väčší ako 0, ale podľa podmienky rovnice je rovný 2. Preto je požiadavka „väčší ako nula“ automaticky splnené.
Prejdime k druhej úlohe:
Tu je všetko po starom. Prepíšeme konštrukciu a nahradíme trojicu:
Zbavíme sa znakov logaritmu a dostaneme iracionálnu rovnicu:
Utvoríme obe časti, berúc do úvahy obmedzenia, a dostaneme:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Výslednú rovnicu riešime cez diskriminant:
D \u003d 49 – 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Ale x = −6 nám nevyhovuje, pretože ak toto číslo dosadíme do našej nerovnosti, dostaneme:
−6 + 4 = −2 < 0
V našom prípade sa vyžaduje, aby bol väčší ako 0 alebo v extrémnych prípadoch rovný. Ale x = −1 nám vyhovuje:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedinou odpoveďou v našom prípade je x = −1. To je celé riešenie. Vráťme sa na úplný začiatok našich výpočtov.
Hlavným záverom tejto lekcie je, že nie je potrebné kontrolovať limity funkcie v najjednoduchších logaritmických rovniciach. Pretože v procese riešenia sa všetky obmedzenia vykonávajú automaticky.
To však v žiadnom prípade neznamená, že na overenie môžete úplne zabudnúť. V procese práce na logaritmickej rovnici sa môže dobre zmeniť na iracionálnu, ktorá bude mať svoje vlastné obmedzenia a požiadavky na pravú stranu, čo sme dnes videli na dvoch rôznych príkladoch.
Pokojne riešte takéto problémy a buďte obzvlášť opatrní, ak je v hádke koreň.
Logaritmické rovnice s rôznymi základmi
Pokračujeme v štúdiu logaritmických rovníc a analyzujeme ďalšie dva zaujímavé triky, s ktorými je módne riešiť zložitejšie štruktúry. Najprv si však pripomeňme, ako sa riešia najjednoduchšie úlohy:
log a f(x) = b
V tomto zápise sú a a b len čísla a vo funkcii f (x) musí byť prítomná premenná x a iba tam, teda x musí byť iba v argumente. Takéto logaritmické rovnice transformujeme pomocou kanonického tvaru. Za týmto účelom poznamenávame
b = log a a b
A b je len argument. Prepíšme tento výraz takto:
log a f(x) = log a a b
To je presne to, čo sa snažíme dosiahnuť, aby vľavo aj vpravo bol logaritmus k základu a. V tomto prípade môžeme, obrazne povedané, prečiarknuť znamienka loga a z pohľadu matematiky môžeme povedať, že argumenty jednoducho zrovnáme:
f(x) = a b
V dôsledku toho dostaneme nový výraz, ktorý sa bude riešiť oveľa jednoduchšie. Aplikujme toto pravidlo na naše dnešné úlohy.
Takže prvý dizajn:
V prvom rade podotýkam, že vpravo je zlomok, ktorého menovateľom je log. Keď uvidíte takýto výraz, stojí za to si spomenúť na úžasnú vlastnosť logaritmov:
V preklade do ruštiny to znamená, že každý logaritmus môže byť reprezentovaný ako podiel dvoch logaritmov s ľubovoľným základom c. Samozrejme, 0< с ≠ 1.
Takže: tento vzorec má jeden úžasný špeciálny prípad keď sa premenná c rovná premennej b. V tomto prípade dostaneme konštrukciu formulára:
Práve túto konštrukciu pozorujeme zo znamienka vpravo v našej rovnici. Nahradíme túto konštrukciu log a b , dostaneme:
Inými slovami, v porovnaní s počiatočná úloha, zamenili sme argument a základ logaritmu. Namiesto toho sme museli zlomok obrátiť.
Pripomíname, že akýkoľvek stupeň možno odobrať zo základne podľa nasledujúceho pravidla:
Inými slovami, koeficient k, ktorý je stupňom bázy, sa vyberie ako prevrátený zlomok. Zoberme si to ako prevrátený zlomok:
Zlomkový faktor nemôže byť ponechaný vpredu, pretože v tomto prípade nebudeme môcť reprezentovať tento záznam ako kanonickú formu (napokon, v kanonickej forme nie je pred druhým logaritmom žiadny ďalší faktor). Preto dajme zlomok 1/4 v argumente ako mocninu:
Teraz dáme rovnítko medzi argumenty, ktorých základy sú rovnaké (a naozaj máme rovnaké základy) a napíšeme:
x + 5 = 1
x = -4
To je všetko. Dostali sme odpoveď na prvú logaritmickú rovnicu. Pozor: v pôvodnom probléme sa premenná x vyskytuje iba v jednom logu a je v jeho argumente. Preto nie je potrebné kontrolovať doménu a naše číslo x = −4 je skutočne odpoveďou.
Teraz prejdime k druhému výrazu:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Tu budeme musieť okrem bežných logaritmov pracovať s lg f (x). Ako vyriešiť takúto rovnicu? Nepripravenému študentovi sa môže zdať, že ide o nejaký plecháč, no v skutočnosti je všetko vyriešené elementárne.
Pozrite sa pozorne na výraz lg 2 log 2 7. Čo o ňom môžeme povedať? Základy a argumenty log a lg sú rovnaké, a to by malo poskytnúť určité vodítko. Pripomeňme si ešte raz, ako sa stupne odoberajú pod znakom logaritmu:
log a b n = n log a b
Inými slovami, aká bola mocnosť čísla b v argumente sa stáva faktorom pred samotným log. Aplikujme tento vzorec na výraz lg 2 log 2 7. Nebojte sa lg 2 – toto je najbežnejší výraz. Môžete to prepísať takto:
Pre neho platia všetky pravidlá, ktoré platia pre akýkoľvek iný logaritmus. Najmä faktor vpredu môže byť vložený do sily argumentu. Píšme:
Študenti veľmi často túto akciu nevidia, pretože nie je dobré zadávať jeden denník pod znakom druhého. V skutočnosti v tom nie je nič trestné. Okrem toho získame vzorec, ktorý sa dá ľahko vypočítať, ak si pamätáte dôležité pravidlo:
Tento vzorec možno považovať za definíciu aj za jednu z jeho vlastností. V každom prípade, ak konvertujete logaritmickú rovnicu, mali by ste tento vzorec poznať rovnakým spôsobom ako reprezentáciu ľubovoľného čísla vo forme log.
Vraciame sa k našej úlohe. Prepíšeme ho s ohľadom na skutočnosť, že prvý člen napravo od znamienka rovnosti sa bude jednoducho rovnať lg 7. Máme:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
Posuňme lg 7 doľava, dostaneme:
lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)
Odčítame výrazy vľavo, pretože majú rovnaký základ:
lg (56/7) = -3 lg (x + 4)
Teraz sa pozrime bližšie na rovnicu, ktorú máme. Je to prakticky kanonická forma, ale vpravo je faktor -3. Dajme to do správneho argumentu lg:
lg8 = lg (x + 4) -3
Pred nami je kanonický tvar logaritmickej rovnice, takže prečiarkneme znamienka lg a zrovnáme argumenty:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
To je všetko! Vyriešili sme druhú logaritmickú rovnicu. V tomto prípade nie sú potrebné žiadne ďalšie kontroly, pretože v pôvodnom probléme bolo x prítomné iba v jednom argumente.
uvediem znova Kľúčové body túto lekciu.
Hlavným vzorcom, ktorý sa študuje vo všetkých lekciách na tejto stránke venovaných riešeniu logaritmických rovníc, je kanonická forma. A nenechajte sa odradiť tým, že väčšina školských učebníc vás naučí riešiť takéto problémy iným spôsobom. Tento nástroj funguje veľmi efektívne a umožňuje vám vyriešiť oveľa širšiu triedu problémov ako tie najjednoduchšie, ktoré sme študovali na samom začiatku našej lekcie.
Okrem toho na riešenie logaritmických rovníc bude užitočné poznať základné vlastnosti. menovite:
- Vzorec na prechod na jednu základňu a špeciálny prípad, keď preklopíme denník (toto sa nám veľmi hodilo v prvej úlohe);
- Vzorec na privádzanie a odoberanie síl pod znakom logaritmu. Tu sa veľa študentov zasekne a nevidia prázdna, že odobratá a privedená energia môže sama o sebe obsahovať log f (x). Nie je na tom nič zlé. Môžeme zaviesť jeden log podľa znamenia druhého a zároveň výrazne zjednodušiť riešenie úlohy, čo pozorujeme v druhom prípade.
Na záver by som rád dodal, že nie je potrebné kontrolovať rozsah v každom z týchto prípadov, pretože všade je premenná x prítomná len v jednom znaku log a zároveň je vo svojom argumente. V dôsledku toho sú všetky požiadavky na doménu splnené automaticky.
Problémy s variabilnou základňou
Dnes sa budeme zaoberať logaritmickými rovnicami, ktoré sa mnohým študentom zdajú neštandardné, ak nie úplne neriešiteľné. Je to o o výrazoch založených nie na číslach, ale na premenných a dokonca funkciách. Takéto konštrukcie budeme riešiť našou štandardnou technikou, a to cez kanonickú formu.
Na začiatok si pripomeňme, ako sa riešia najjednoduchšie problémy, ktoré sú založené na obyčajných číslach. Takže najjednoduchšia konštrukcia je tzv
log a f(x) = b
Na vyriešenie takýchto problémov môžeme použiť nasledujúci vzorec:
b = log a a b
Prepíšeme náš pôvodný výraz a dostaneme:
log a f(x) = log a a b
Potom zrovnáme argumenty, t.j. napíšeme:
f(x) = a b
Tým sa zbavíme loga a vyriešime obvyklý problém. V tomto prípade budú korene získané v riešení koreňmi pôvodnej logaritmickej rovnice. Okrem toho záznam, keď sú ľavá aj pravá strana na rovnakom logaritme s rovnakým základom, sa nazýva kanonická forma. Práve na takýto zápis sa pokúsime zredukovať dnešné konštrukcie. Tak, poďme.
Prvá úloha:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Nahraďte 1 logom x − 2 (x − 2) 1 . Stupeň, ktorý pozorujeme v argumente, je v skutočnosti číslo b , ktoré bolo napravo od znamienka rovnosti. Prepíšme teda náš výraz. Dostaneme:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
čo vidíme? Pred nami je kanonická forma logaritmickej rovnice, takže môžeme bezpečne porovnávať argumenty. Dostaneme:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Tým sa ale riešenie nekončí, pretože táto rovnica nie je ekvivalentná tej pôvodnej. Výsledná konštrukcia sa totiž skladá z funkcií, ktoré sú definované na celej číselnej osi a naše pôvodné logaritmy nie sú definované všade a nie vždy.
Preto musíme doménu definície zapísať oddelene. Nebuďme múdrejší a najprv si napíšme všetky požiadavky:
Po prvé, argument každého z logaritmov musí byť väčší ako 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
Po druhé, základňa musí byť nielen väčšia ako 0, ale aj odlišná od 1:
x − 2 ≠ 1
V dôsledku toho dostaneme systém:
Ale nezľaknite sa: pri spracovaní logaritmických rovníc sa takýto systém môže výrazne zjednodušiť.
Posúďte sami: na jednej strane sa od nás vyžaduje, aby bola kvadratická funkcia väčšia ako nula, a na druhej strane je táto kvadratická funkcia prirovnaná k nejakému lineárnemu výrazu, od ktorého sa tiež vyžaduje, aby bola väčšia ako nula.
V tomto prípade, ak požadujeme, aby x − 2 > 0, tak sa automaticky splní požiadavka 2x 2 − 13x + 18 > 0. Preto môžeme pokojne preškrtnúť nerovnosť obsahujúcu kvadratickej funkcie. Počet výrazov obsiahnutých v našom systéme sa tak zníži na tri.
Samozrejme, môžeme aj prečiarknuť lineárna nerovnosť, teda prečiarknite x − 2 > 0 a požadujte, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Musíte však súhlasiť s tým, že riešenie najjednoduchšej lineárnej nerovnosti je oveľa rýchlejšie a jednoduchšie ako tento systém dostaneme rovnaké korene.
Vo všeobecnosti sa snažte optimalizovať výpočty vždy, keď je to možné. A v prípade logaritmických rovníc prečiarknite najťažšie nerovnosti.
Prepíšme náš systém:
Tu je taký systém troch výrazov, z ktorých dva sme už v skutočnosti zistili. Píšme oddelene kvadratická rovnica a vyriešiť to:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Pred nami je zmenšená štvorcová trojčlenka, a preto môžeme použiť vzorce Vieta. Dostaneme:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Teraz, späť k nášmu systému, zistíme, že x = 2 nám nevyhovuje, pretože sa od nás vyžaduje, aby bolo x striktne väčšie ako 2.
Ale x \u003d 5 nám celkom vyhovuje: číslo 5 je väčšie ako 2 a zároveň 5 sa nerovná 3. Preto jediným riešením tohto systému bude x \u003d 5.
Všetko, úloha je vyriešená, vrátane zohľadnenia ODZ. Prejdime k druhej rovnici. Tu čakáme na zaujímavejšie a zmysluplnejšie výpočty:
Prvý krok: rovnako ako naposledy, prinášame celý tento obchod do kanonickej podoby. Aby sme to dosiahli, môžeme zapísať číslo 9 takto:
Základňa s koreňom sa nedá dotknúť, ale je lepšie transformovať argument. Prejdime od koreňa k mocnine s racionálnym exponentom. Píšme:
Dovoľte mi, aby som neprepísal celú našu veľkú logaritmickú rovnicu, ale rovno prirovnal argumenty:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4 x + 3 = 0
Pred nami je opäť zmenšená štvorcová trojčlenka, použijeme vzorce Vieta a napíšeme:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Takže máme korene, ale nikto nám nezaručil, že budú zodpovedať pôvodnej logaritmickej rovnici. Logové značky totiž ukladajú ďalšie obmedzenia (tu by sme si systém museli zapísať, ale pre ťažkopádnosť celej konštrukcie som sa rozhodol doménu definície vypočítať samostatne).
Najprv nezabudnite, že argumenty musia byť väčšie ako 0, konkrétne:
Toto sú požiadavky stanovené doménou definície.
Hneď si všimneme, že keďže dávame na roveň prvé dva výrazy sústavy, môžeme ktorýkoľvek z nich prečiarknuť. Prvú prečiarkneme, pretože vyzerá hrozivejšie ako tá druhá.
Okrem toho si všimnite, že riešenia druhej a tretej nerovnice budú rovnaké množiny (kocka nejakého čísla je väčšia ako nula, ak je toto číslo samo väčšie ako nula; podobne ako v prípade odmocniny tretieho stupňa - tieto nerovnosti sú úplne podobné, takže jeden z nich môžeme prečiarknuť).
Ale s treťou nerovnosťou to nepôjde. Zbavme sa znaku radikála vľavo, pre ktorý obe časti zdvihneme na kocku. Dostaneme:
Takže dostaneme nasledujúce požiadavky:
−2 ≠ x > −3
Ktorý z našich koreňov: x 1 = -3 alebo x 2 = -1 spĺňa tieto požiadavky? Je zrejmé, že iba x = −1, pretože x = −3 nespĺňa prvú nerovnosť (pretože naša nerovnosť je prísna). Celkovo, keď sa vrátime k nášmu problému, dostaneme jeden koreň: x = −1. To je všetko, problém vyriešený.
Ešte raz, kľúčové body tejto úlohy:
- Neváhajte použiť a riešiť logaritmické rovnice pomocou kanonickej formy. Študenti, ktorí urobia takýto záznam a neprejdú priamo od pôvodného problému ku konštrukcii typu log a f ( x ) = b , robia oveľa menej chýb ako tí, ktorí sa niekam ponáhľajú a preskakujú medzikroky výpočtov;
- Akonáhle sa v logaritme objaví variabilný základ, problém prestáva byť najjednoduchší. Preto je potrebné pri jeho riešení brať do úvahy oblasť definície: argumenty musia byť väčšie ako nula a základy musia byť nielen väčšie ako 0, ale nesmú sa rovnať ani 1.
Posledné požiadavky na konečné odpovede môžete klásť rôznymi spôsobmi. Napríklad je možné riešiť celý systém obsahujúci všetky doménové požiadavky. Na druhej strane môžete najskôr vyriešiť samotný problém a potom si spomenúť na oblasť definície, vypracovať ju samostatne vo forme systému a aplikovať ju na získané korene.
Je len na vás, aký spôsob riešenia konkrétnej logaritmickej rovnice si vyberiete. V každom prípade bude odpoveď rovnaká.
Dnes sa naučíme, ako vyriešiť najjednoduchšie logaritmické rovnice, ktoré nevyžadujú predbežné transformácie a výber koreňov. Ale ak sa naučíte riešiť takéto rovnice, potom to bude oveľa jednoduchšie.
Najjednoduchšia logaritmická rovnica je rovnica v tvare log a f (x) \u003d b, kde a, b sú čísla (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) je nejaká funkcia.
Charakteristickým znakom všetkých logaritmických rovníc je prítomnosť premennej x pod znamienkom logaritmu. Ak je takáto rovnica na začiatku uvedená v úlohe, nazýva sa najjednoduchšia. Všetky ostatné logaritmické rovnice sú redukované na najjednoduchšie špeciálnymi transformáciami (pozri "Základné vlastnosti logaritmov"). Je však potrebné vziať do úvahy mnohé jemnosti: môžu sa objaviť ďalšie korene, takže zložité logaritmické rovnice sa budú posudzovať samostatne.
Ako riešiť takéto rovnice? Číslo napravo od znamienka rovnosti stačí nahradiť logaritmom v rovnakom základe ako vľavo. Potom sa môžete zbaviť znamienka logaritmu. Dostaneme:
log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b
Dostali sme obvyklú rovnicu. Jeho korene sú koreňmi pôvodnej rovnice.
Vyhlásenie titulov
Logaritmické rovnice, ktoré navonok vyzerajú komplikovane a hrozivo, sa často riešia len v niekoľkých riadkoch bez toho, aby zložité vzorce. Dnes sa budeme zaoberať práve takýmito problémami, kde sa od vás vyžaduje len starostlivo zredukovať vzorec na kanonickú formu a nenechať sa zmiasť pri hľadaní domény definície logaritmov.
Dnes, ako ste pravdepodobne uhádli z názvu, budeme riešiť logaritmické rovnice pomocou vzorcov na prechod do kanonického tvaru. Hlavným „trikom“ tejto video lekcie bude práca s titulmi, alebo skôr preberanie stupňa zo základu a argumentu. Pozrime sa na pravidlo:
Podobne môžete odobrať stupeň zo základne:
Ako vidíte, ak pri vyberaní stupňa z logaritmického argumentu máme jednoducho vpredu ďalší faktor, potom pri vyberaní stupňa zo základne nejde len o faktor, ale o prevrátený faktor. Toto treba mať na pamäti.
Nakoniec to najzaujímavejšie. Tieto vzorce je možné kombinovať, potom dostaneme:
Samozrejme, pri vykonávaní týchto prechodov existujú určité úskalia spojené s možným rozšírením definičnej domény alebo naopak zúžením definičnej domény. Veď posúďte sami:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Ak by v prvom prípade x mohlo byť akékoľvek iné číslo ako 0, teda požiadavka x ≠ 0, tak v druhom prípade sa uspokojíme iba s x, ktoré sa nielen nerovná, ale je striktne väčšie ako 0, pretože doménou logaritmu je, aby argument bol striktne väčší ako 0. Preto vám pripomeniem nádherný vzorec z kurzu algebry v ročníkoch 8-9:
To znamená, že musíme napísať náš vzorec takto:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Potom nedôjde k zúženiu domény definície.
V dnešnom videonávode však nebudú žiadne štvorce. Ak sa pozriete na naše úlohy, uvidíte len korene. Preto podajte žiadosť toto pravidlo nebudeme, ale stále to treba mať na pamäti, aby ste si v správnom čase, keď uvidíte kvadratickú funkciu v argumente alebo báze logaritmu, zapamätali toto pravidlo a správne vykonali všetky transformácie.
Takže prvá rovnica je:
Na vyriešenie tohto problému navrhujem dôkladne sa pozrieť na každý z výrazov prítomných vo vzorci.
Prepíšme prvý člen ako mocninu s racionálnym exponentom:
Pozrime sa na druhý člen: log 3 (1 − x ). Tu nemusíte nič robiť, všetko sa už premieňa.
Nakoniec 0, 5. Ako som povedal v predchádzajúcich lekciách, pri riešení logaritmických rovníc a vzorcov vrelo odporúčam prejsť od desatinných zlomkov k obyčajným. Poďme to spraviť:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepíšme náš pôvodný vzorec berúc do úvahy získané výrazy:
log 3 (1 − x ) = 1
Teraz prejdime ku kanonickej forme:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Zbavte sa znamienka logaritmu porovnaním argumentov:
1 – x = 3
-x = 2
x = -2
To je všetko, vyriešili sme rovnicu. Stále však hrajme na istotu a nájdime doménu definície. Ak to chcete urobiť, vráťte sa k pôvodnému vzorcu a pozrite sa:
1 - x > 0
-x > -1
X< 1
Náš koreň x = −2 spĺňa túto požiadavku, takže x = −2 je riešením pôvodnej rovnice. Teraz máme prísne jasné odôvodnenie. Všetko, úloha je vyriešená.
Prejdime k druhej úlohe:
Venujme sa každému pojmu osobitne.
Píšeme prvé:
Upravili sme prvý termín. Pracujeme s druhým termínom:
Nakoniec posledný výraz, ktorý je napravo od znamienka rovnosti:
Výsledné výrazy nahradíme výrazmi vo výslednom vzorci:
log 3 x = 1
Prejdeme na kanonickú formu:
log 3 x = log 3 3
Zbavíme sa znamienka logaritmu porovnaním argumentov a dostaneme:
x=3
Opäť, pre každý prípad, hrajme na istotu, vráťte sa k pôvodnej rovnici a uvidíte. V pôvodnom vzorci je premenná x prítomná iba v argumente, preto
x > 0
V druhom logaritme je x pod koreňom, ale opäť v argumente, preto musí byť koreň väčší ako 0, to znamená, že koreňový výraz musí byť väčší ako 0. Pozrime sa na náš koreň x = 3. Je zrejmé, že túto požiadavku spĺňa. Preto x = 3 je riešením pôvodnej logaritmickej rovnice. Všetko, úloha je vyriešená.
V dnešnom videonávode sú dva kľúčové body:
1) nebojte sa previesť logaritmy a najmä sa nebojte odobrať stupne zo znamienka logaritmu, pričom si zapamätajte náš základný vzorec: pri vyberaní stupňa z argumentu sa jednoducho odoberie bez sa mení ako faktor a pri vyberaní stupňa zo základne sa tento stupeň obráti.
2) druhý bod súvisí so samokánonickou formou. Prechod na kanonickú formu sme vykonali na samom konci transformácie vzorca logaritmickej rovnice. Spomeňte si na nasledujúci vzorec:
a = log b b a
Samozrejme, výrazom "ľubovoľné číslo b" myslím tie čísla, ktoré spĺňajú požiadavky kladené na logaritmickú bázu, t.j.
1 ≠ b > 0
Pre takéto b , a keďže už poznáme základ, bude táto požiadavka splnená automaticky. Ale pre také b - akékoľvek, ktoré spĺňajú túto požiadavku - tento prechod môže byť vykonaný a dostaneme kanonickú formu, v ktorej sa môžeme zbaviť znamienka logaritmu.
Rozšírenie domény definície a extra koreňov
V procese transformácie logaritmických rovníc môže dôjsť k implicitnému rozšíreniu domény definície. Často si to žiaci ani nevšimnú, čo vedie k chybám a nesprávnym odpovediam.
Začnime s najjednoduchšími návrhmi. Najjednoduchšia logaritmická rovnica je nasledovná:
log a f(x) = b
Všimnite si, že x je prítomné iba v jednom argumente jedného logaritmu. Ako riešime takéto rovnice? Používame kanonickú formu. Za týmto účelom predstavujeme číslo b \u003d log a a b a naša rovnica bude prepísaná v nasledujúcom tvare:
log a f(x) = log a a b
Tento zápis sa nazýva kanonická forma. Práve na to by sa mala zredukovať každá logaritmická rovnica, s ktorou sa stretnete nielen na dnešnej hodine, ale aj pri akejkoľvek samostatnej a kontrolnej práci.
Ako prísť ku kanonickej forme, aké techniky použiť - to je už vec praxe. Hlavná vec, ktorú treba pochopiť: akonáhle dostanete takýto záznam, môžeme predpokladať, že problém je vyriešený. Pretože ďalším krokom je napísať:
f(x) = a b
Inými slovami, zbavíme sa znamienka logaritmu a jednoducho zrovnáme argumenty.
Prečo všetky tieto reči? Faktom je, že kanonická forma je použiteľná nielen pre najjednoduchšie problémy, ale aj pre akékoľvek iné. Najmä tým, ktorým sa dnes budeme venovať. Poďme sa pozrieť.
Prvá úloha:
Aký je problém s touto rovnicou? Skutočnosť, že funkcia je v dvoch logaritmoch naraz. Problém možno zredukovať na najjednoduchší jednoduchým odčítaním jedného logaritmu od druhého. Existujú však problémy s doménou definície: môžu sa objaviť ďalšie korene. Takže posuňme jeden z logaritmov doprava:
Tu sa takýto záznam už oveľa viac podobá kanonickej forme. Ale je tu ešte jedna nuansa: v kánonickej forme musia byť argumenty rovnaké. A máme logaritmus so základom 3 vľavo a logaritmus so základom 1/3 vpravo. Viete, musíte tieto základne priviesť na rovnaký počet. Napríklad si spomeňme, čo sú záporné exponenty:
A potom použijeme exponent "-1" mimo denníka ako násobiteľ:
Vezmite prosím na vedomie: stupeň, ktorý stál na základni, sa otočí a zmení sa na zlomok. Získali sme takmer kanonický záznam tým, že sme sa zbavili rôzne dôvody, ale namiesto toho dostal násobiteľ "−1" vpravo. Dajme tento faktor do argumentu tak, že ho zmeníme na silu:
Samozrejme, keď sme dostali kánonickú formu, odvážne prečiarkneme znamienko logaritmu a zrovnáme argumenty. Zároveň mi dovoľte pripomenúť, že keď sa zvýši na „-1“, zlomok sa jednoducho prevráti - získa sa podiel.
Využime hlavnú vlastnosť proporcie a vynásobme ju krížovo:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20
2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20
x2 − 10x + 16 = 0
Pred nami je daná kvadratická rovnica, takže ju riešime pomocou Vieta vzorcov:
(x − 8) (x − 2) = 0
x 1 = 8; x2 = 2
To je všetko. Myslíte si, že rovnica je vyriešená? Nie! Za takéto riešenie dostaneme 0 bodov, pretože v pôvodnej rovnici sú dva logaritmy s premennou x naraz. Preto je potrebné vziať do úvahy oblasť definície.
A tu začína zábava. Väčšina študentov je zmätená: čo je doménou logaritmu? Samozrejme, všetky argumenty (máme dva) musia byť väčšie ako nula:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Každú z týchto nerovností treba vyriešiť, vyznačiť na priamke, prekrížiť – a až potom vidieť, aké korene ležia na križovatke.
Budem úprimný: táto technika má právo na existenciu, je spoľahlivá a dostanete správnu odpoveď, ale je v nej príliš veľa krokov navyše. Poďme si teda znova prejsť naše riešenie a uvidíme: kde presne chcete použiť rozsah? Inými slovami, musíte presne pochopiť, kedy sa objavia ďalšie korene.
- Spočiatku sme mali dva logaritmy. Potom sme jeden z nich posunuli doprava, ale to neovplyvnilo oblasť definície.
- Potom odoberieme mocninu zo základne, ale stále existujú dva logaritmy a každý z nich obsahuje premennú x .
- Nakoniec prečiarkneme znaky polena a dostaneme klasiku zlomková racionálna rovnica.
Presne na posledný krok dochádza k rozšíreniu domény definície! Hneď ako sme prešli na zlomkovú racionálnu rovnicu a zbavili sme sa znakov log, požiadavky na premennú x sa dramaticky zmenili!
Preto o doméne definície možno uvažovať nie na samom začiatku riešenia, ale až v spomínanom kroku – predtým, ako priamo srovnáme argumenty.
Tu je príležitosť na optimalizáciu. Na jednej strane sa od nás vyžaduje, aby oba argumenty boli väčšie ako nula. Na druhej strane tieto argumenty ešte viac stotožňujeme. Preto, ak je aspoň jeden z nich pozitívny, potom bude pozitívny aj druhý!
Ukazuje sa teda, že vyžadovať splnenie dvoch nerovností naraz je prehnané. Stačí zvážiť iba jeden z týchto zlomkov. Ktorý? Ten, ktorý je ľahší. Pozrime sa napríklad na správny zlomok:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Toto je typická zlomková racionálna nerovnosť, riešime ju pomocou intervalovej metódy:
Ako umiestniť značky? Vezmite číslo, ktoré je zjavne väčšie ako všetky naše korene. Napríklad 1 miliardu a dosadíme jej zlomok. Dostaneme kladné číslo, t.j. napravo od koreňa x = 5 bude znamienko plus.
Potom sa znamenia striedajú, pretože nikde nie sú korene párnej mnohosti. Zaujímajú nás intervaly, kde je funkcia kladná. Preto x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Teraz si spomeňme na odpovede: x = 8 a x = 2. Presne povedané, toto ešte nie sú odpovede, ale iba kandidáti na odpoveď. Ktorý z nich patrí do špecifikovanej sady? Samozrejme, x = 8. Ale x = 2 nám nevyhovuje z hľadiska oblasti definície.
Celkovo bude odpoveď na prvú logaritmickú rovnicu x = 8. Teraz máme kompetentné, rozumné riešenie, berúc do úvahy oblasť definície.
Prejdime k druhej rovnici:
log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3
Pripomínam, že ak je v rovnici desatinný zlomok, mali by ste sa ho zbaviť. Inými slovami, prepíšeme 0,5 ako obyčajný zlomok. Okamžite si všimneme, že logaritmus obsahujúci túto bázu sa dá ľahko zvážiť:
Toto je veľmi dôležitý moment! Keď máme stupne v základe aj v argumente, môžeme vybrať ukazovatele týchto stupňov pomocou vzorca:
Vrátime sa k našej pôvodnej logaritmickej rovnici a prepíšeme ju:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Dostali sme konštrukciu, ktorá je celkom blízka kanonickej forme. Zmätili nás však pojmy a znamienko mínus napravo od znamienka rovnosti. Predstavme si jednotu ako logaritmus so základňou 5:
log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)
Odčítajte logaritmy vpravo (zatiaľ čo sú ich argumenty rozdelené):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
úžasné. Takže sme dostali kánonickú formu! Prečiarkneme logá a prirovnáme argumenty:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Toto je pomer, ktorý sa dá ľahko vyriešiť krížovým násobením:
(x − 9) (x − 5) = 5 1
x 2 - 9x - 5x + 45 = 5
x2 − 14x + 40 = 0
Je zrejmé, že máme danú kvadratickú rovnicu. Dá sa ľahko vyriešiť pomocou vzorcov Vieta:
(x − 10) (x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Máme dva korene. Ale toto nie sú konečné odpovede, ale iba kandidáti, pretože logaritmická rovnica tiež vyžaduje kontrolu domény.
Pripomínam: nepozeraj kedy každý z argumentov bude väčší ako nula. Stačí vyžadovať, aby jeden argument, buď x − 9 alebo 5/(x − 5) bol väčší ako nula. Zvážte prvý argument:
x - 9 > 0
x > 9
Je zrejmé, že túto požiadavku spĺňa iba x = 10. Toto je konečná odpoveď. Všetok problém vyriešený.
Ešte raz, hlavné myšlienky dnešnej lekcie:
- Len čo sa premenná x objaví v niekoľkých logaritmoch, rovnica prestáva byť elementárna a je pre ňu potrebné vypočítať definičný obor. V opačnom prípade môžete v odpovedi ľahko napísať ďalšie korene.
- Práca so samotnou doménou definície sa dá výrazne zjednodušiť, ak sa nerovnosť nezapíše hneď, ale presne v momente, keď sa zbavíme znakov log. Koniec koncov, keď sú argumenty zrovnoprávnené, stačí požadovať, aby iba jeden z nich bol väčší ako nula.
Samozrejme, sami si vyberáme, z ktorého argumentu urobíme nerovnosť, preto je logické vybrať si ten najjednoduchší. Napríklad v druhej rovnici sme zvolili argument (x − 9) − lineárna funkcia, na rozdiel od čiastočne racionálneho druhého argumentu. Súhlaste, riešenie nerovnosti x − 9 > 0 je oveľa jednoduchšie ako 5/(x − 5) > 0. Hoci výsledok je rovnaký.
Táto poznámka výrazne zjednodušuje vyhľadávanie ODZ, ale buďte opatrní: jednu nerovnosť namiesto dvoch môžete použiť iba vtedy, keď sú argumenty presné rovnať jeden druhému!
Samozrejme, niekto sa teraz opýta: čo sa stane inak? Áno, niekedy. Napríklad v samotnom kroku, keď násobíme dva argumenty obsahujúce premennú, existuje nebezpečenstvo extra koreňov.
Posúďte sami: najprv sa vyžaduje, aby každý z argumentov bol väčší ako nula, ale po vynásobení stačí, aby bol ich súčin väčší ako nula. V dôsledku toho sa prehliadne prípad, keď je každý z týchto zlomkov záporný.
Preto, ak sa práve začínate zaoberať zložitými logaritmickými rovnicami, v žiadnom prípade nenásobte logaritmy obsahujúce premennú x - príliš často to povedie k extra odmocninám. Radšej urobte jeden krok navyše, preneste jeden výraz na druhú stranu, vytvorte kánonickú formu.
Čo robiť, ak sa bez vynásobenia takýchto logaritmov nezaobídete, si rozoberieme v ďalšom videonávode. :)
Ešte raz o mocninách v rovnici
Dnes budeme analyzovať dosť klzkú tému týkajúcu sa logaritmických rovníc, alebo skôr odstránenia mocnín z argumentov a základov logaritmov.
Dokonca by som povedal, že budeme hovoriť o vyňatí párnych mocnín, pretože práve s párnymi mocninami vzniká väčšina ťažkostí pri riešení reálnych logaritmických rovníc.
Začnime s kanonickou formou. Povedzme, že máme rovnicu ako log a f (x) = b. V tomto prípade prepíšeme číslo b podľa vzorca b = log a a b . Ukazuje sa nasledovné:
log a f(x) = log a a b
Potom prirovnáme argumenty:
f(x) = a b
Predposledná formula sa nazýva kanonická forma. Práve pre ňu sa snažia zredukovať akúkoľvek logaritmickú rovnicu, bez ohľadu na to, aká komplikovaná a hrozná sa na prvý pohľad môže zdať.
Tu, skúsme. Začnime prvou úlohou:
Úvodná poznámka: ako som povedal, je lepšie previesť všetky desatinné zlomky v logaritmickej rovnici na obyčajné:
0,5 = 5/10 = 1/2
Prepíšme našu rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť. Všimnite si, že 1/1000 aj 100 sú mocniny 10 a potom mocniny odoberieme kdekoľvek: z argumentov a dokonca aj zo základu logaritmov:
A tu vyvstáva pre mnohých študentov otázka: „Odkiaľ prišiel modul sprava?“ Naozaj, prečo jednoducho nenapísať (x − 1)? Samozrejme, teraz budeme písať (x − 1), ale právo na takýto záznam nám dáva účet domény definície. Koniec koncov, druhý logaritmus už obsahuje (x − 1) a tento výraz musí byť väčší ako nula.
Ale keď vyberieme štvorec zo základne logaritmu, musíme modul nechať na základni. Vysvetlím prečo.
Faktom je, že z hľadiska matematiky sa získanie titulu rovná zakoreneniu. Najmä, keď je výraz (x − 1) 2 odmocnený, v podstate extrahujeme odmocninu druhého stupňa. Ale druhá odmocnina nie je nič iné ako modul. presne tak modul, pretože aj keď je výraz x - 1 záporný, pri kvadratúre "mínus" bude stále horieť. Ďalšia extrakcia koreňa nám dá kladné číslo - už bez mínusov.
Vo všeobecnosti, aby ste sa vyhli urážlivým chybám, pamätajte raz a navždy:
Odmocnina párneho stupňa z akejkoľvek funkcie, ktorá je zvýšená na rovnakú mocninu, sa nerovná samotnej funkcii, ale jej modulu:
Vráťme sa k našej logaritmickej rovnici. Keď už hovoríme o module, tvrdil som, že ho môžeme bezbolestne odstrániť. Toto je pravda. Teraz vysvetlím prečo. Presne povedané, museli sme zvážiť dve možnosti:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Každú z týchto možností by bolo potrebné riešiť. Má to však jeden háčik: pôvodný vzorec už obsahuje funkciu (x − 1) bez akéhokoľvek modulu. A podľa domény definície logaritmov môžeme okamžite zapísať, že x − 1 > 0.
Táto požiadavka musí byť splnená bez ohľadu na akékoľvek moduly a iné transformácie, ktoré vykonávame v procese riešenia. Preto je zbytočné uvažovať o druhej možnosti - nikdy nevznikne. Aj keď pri riešení tejto vetvy nerovnice dostaneme nejaké čísla, stále nebudú zahrnuté do konečnej odpovede.
Teraz sme doslova jeden krok od kanonickej formy logaritmickej rovnice. Predstavme si jednotku takto:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Okrem toho do argumentu zavedieme faktor −4, ktorý je vpravo:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Pred nami je kanonický tvar logaritmickej rovnice. Zbavte sa znamienka logaritmu:
10 −4 = x − 1
Ale keďže základom bola funkcia (a nie prvočíslo), navyše požadujeme, aby táto funkcia bola väčšia ako nula a nie rovná jednej. Získajte systém:
Keďže požiadavka x − 1 > 0 je automaticky splnená (pretože x − 1 = 10 −4), jedna z nerovností môže byť z nášho systému vymazaná. Druhá podmienka môže byť tiež prečiarknutá, pretože x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Toto je jediný koreň, ktorý automaticky spĺňa všetky požiadavky na doménu definície logaritmu (avšak všetky požiadavky boli v podmienkach nášho problému eliminované ako vedome splnené).
Takže druhá rovnica je:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
V čom sa táto rovnica zásadne líši od predchádzajúcej? Už aspoň to, že základy logaritmov - 3x a 9x - nie sú prirodzené stupne navzájom. Preto prechod, ktorý sme použili v predchádzajúcom riešení, nie je možný.
Zbavme sa aspoň stupňov. V našom prípade je jediná sila v druhom argumente:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Znamienko modulu sa však dá odstrániť, pretože premenná x je aj v základe, t.j. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepíšme našu logaritmickú rovnicu:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Máme logaritmy, v ktorých sú rovnaké argumenty, ale rôzne základy. Ako postupovať? Existuje veľa možností, ale zvážime iba dve z nich, ktoré sú najlogickejšie, a čo je najdôležitejšie, sú to rýchle a zrozumiteľné triky pre väčšinu študentov.
Už sme zvážili prvú možnosť: v akejkoľvek nepochopiteľnej situácii preložte logaritmy s premenlivou základňou na nejakú konštantnú základňu. Napríklad k dvojke. Konverzný vzorec je jednoduchý:
Samozrejme, normálne číslo by malo pôsobiť ako premenná c: 1 ≠ c > 0. Nech v našom prípade c = 2. Teraz máme obyčajnú zlomkovú racionálnu rovnicu. Zhromažďujeme všetky prvky vľavo:
Je zrejmé, že faktor log 2 x je lepšie odobrať, pretože je prítomný v prvej aj druhej frakcii.
log2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Každý denník rozdelíme na dva pojmy:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Prepíšme obe strany rovnosti berúc do úvahy tieto skutočnosti:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Teraz zostáva pridať dvojku pod znak logaritmu (zmení sa na silu: 3 2 \u003d 9):
log 2 9 = log 2 x
Pred nami je klasická kanonická forma, zbavíme sa znamienka logaritmu a získame:
Ako sa dalo očakávať, tento koreň sa ukázal byť väčší ako nula. Zostáva skontrolovať doménu definície. Pozrime sa na základy:
Odmocnina x = 9 však tieto požiadavky spĺňa. Preto je to konečné rozhodnutie.
Záver z tohto riešenia je jednoduchý: nebojte sa dlhých výpočtov! Ide len o to, že hneď na začiatku sme si náhodne vybrali nový základ – a to výrazne skomplikovalo proces.
Potom však vyvstáva otázka: aký je základ optimálne? Budem o tom hovoriť druhým spôsobom.
Vráťme sa k našej pôvodnej rovnici:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Teraz sa trochu zamyslime: aké číslo alebo funkcia bude optimálnym základom? To je zrejmé najlepšia možnosť bude c = x - čo je už v argumentoch. V tomto prípade bude mať vzorec log a b = log c b / log c a tvar:
Inými slovami, výraz je jednoducho obrátený. V tomto prípade sa argument a základ obrátia.
Tento vzorec je veľmi užitočný a veľmi často používaný pri riešení zložitých logaritmických rovníc. Pri použití tohto vzorca však existuje jedno veľmi vážne úskalie. Ak namiesto základne nahradíme premennú x, sú na ňu uvalené obmedzenia, ktoré predtým neboli dodržané:
V pôvodnej rovnici takéto obmedzenie nebolo. Preto by sme mali samostatne skontrolovať prípad, keď x = 1. Túto hodnotu dosaďte do našej rovnice:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Dostaneme správnu číselnú rovnosť. Preto x = 1 je koreň. Presne ten istý koreň sme našli v predchádzajúcej metóde na samom začiatku riešenia.
Ale teraz, keď sme osobitne zvážili tento konkrétny prípad, smelo veríme, že x ≠ 1. Potom bude naša logaritmická rovnica prepísaná do nasledujúceho tvaru:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Rozšírime oba logaritmy podľa rovnakého vzorca ako predtým. Všimnite si, že log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Tu sa dostávame ku kanonickej forme:
log x 9 = log x x 1
x=9
Dostali sme druhý koreň. Spĺňa požiadavku x ≠ 1. Preto x = 9 spolu s x = 1 je konečná odpoveď.
Ako vidíte, objem výpočtov sa mierne znížil. Ale pri riešení skutočnej logaritmickej rovnice bude počet krokov oveľa menší aj preto, že nie ste povinní popisovať každý krok tak podrobne.
Kľúčové pravidlo dnešnej lekcie je nasledovné: ak je v úlohe párny stupeň, z ktorého sa extrahuje koreň toho istého stupňa, potom na výstupe dostaneme modul. Tento modul však možno odstrániť, ak venujete pozornosť oblasti definície logaritmov.
Ale buďte opatrní: väčšina študentov si po tejto hodine myslí, že všetkému rozumejú. Ale pri riešení skutočných problémov nedokážu reprodukovať celý logický reťazec. Výsledkom je, že rovnica získava ďalšie korene a odpoveď je nesprávna.
Riešenie logaritmických rovníc. Časť 1.
Logaritmická rovnica nazývaná rovnica, v ktorej je neznáma obsiahnutá pod znamienkom logaritmu (najmä v základe logaritmu).
Protozoa logaritmická rovnica vyzerá ako:
Riešenie ľubovoľnej logaritmickej rovnice zahŕňa prechod od logaritmov k výrazom pod znakom logaritmov. Táto akcia však rozširuje rozsah pôsobnosti povolené hodnoty rovníc a môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Aby sa predišlo výskytu cudzích koreňov môžete to urobiť jedným z troch spôsobov:
1. Urobte ekvivalentný prechod z pôvodnej rovnice na systém zahŕňajúci
podľa toho, ktorá nerovnosť alebo ľahšie.
Ak rovnica obsahuje na báze logaritmu neznámu:
potom prejdeme do systému:
2. Samostatne nájdite rozsah prípustných hodnôt rovnice, potom vyriešte rovnicu a skontrolujte, či nájdené riešenia vyhovujú rovnici.
3. Vyriešte rovnicu a potom urobiť kontrolu: dosaďte nájdené riešenia do pôvodnej rovnice a skontrolujte, či dostaneme správnu rovnosť.
Logaritmická rovnica akejkoľvek úrovne zložitosti sa nakoniec vždy zredukuje na najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu.
Všetky logaritmické rovnice možno rozdeliť do štyroch typov:
1 . Rovnice, ktoré obsahujú iba logaritmy s prvou mocninou. Pomocou premien a využitia sa redukujú do podoby
Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu:
Prirovnajte výrazy pod znamienkom logaritmu:
Pozrime sa, či náš koreň rovnice vyhovuje:
Áno, uspokojuje.
Odpoveď: x=5
2 . Rovnice, ktoré obsahujú logaritmy na mocninu inú ako 1 (najmä v menovateli zlomku). Tieto rovnice sa riešia pomocou zavedenie zmeny premennej.
Príklad. Poďme vyriešiť rovnicu:
Poďme nájsť rovnicu ODZ:
Rovnica obsahuje logaritmy na druhú, takže sa rieši pomocou zmeny premennej.
Dôležité! Pred zavedením náhrady musíte logaritmy, ktoré sú súčasťou rovnice, „vytiahnuť“ do „kočiek“ pomocou vlastností logaritmov.
Pri „ťahaní“ logaritmov je dôležité veľmi opatrne aplikovať vlastnosti logaritmov:
Okrem toho je tu ešte jedno jemné miesto a aby sme sa vyhli bežnej chybe, použijeme strednú rovnosť: stupeň logaritmu zapíšeme v tomto tvare:
podobne,
Získané výrazy dosadíme do pôvodnej rovnice. Dostaneme:
Teraz vidíme, že neznáma je obsiahnutá v rovnici ako súčasť . Predstavujeme náhradu: . Keďže môže nadobudnúť akúkoľvek skutočnú hodnotu, nekladieme na premennú žiadne obmedzenia.
V tejto lekcii si zopakujeme základné teoretické fakty o logaritmoch a zvážime riešenie najjednoduchších logaritmických rovníc.
Odvolanie centrálna definícia- definícia logaritmu. Súvisí to s rozhodnutím exponenciálna rovnica. Táto rovnica má jeden koreň, nazýva sa logaritmus b na základ a:
Definícia:
Logaritmus čísla b k základu a je exponent, na ktorý sa musí základ a zvýšiť, aby sme dostali číslo b.
Odvolanie základná logaritmická identita.
Výraz (výraz 1) je koreňom rovnice (výraz 2). Dosadíme hodnotu x z výrazu 1 namiesto x vo výraze 2 a dostaneme základnú logaritmickú identitu:
Vidíme teda, že každej hodnote je priradená hodnota. Označíme b pre x (), c pre y, a tak dostaneme logaritmickú funkciu:
Napríklad: 
Pripomeňme si základné vlastnosti logaritmickej funkcie.
Venujme pozornosť ešte raz, pretože pod logaritmom môže byť striktne kladný výraz ako základ logaritmu.
Ryža. 1. Graf logaritmickej funkcie pre rôzne bázy
Graf funkcie at je znázornený čiernou farbou. Ryža. 1. Ak sa argument zväčší z nuly do nekonečna, funkcia sa zvýši z mínus do plus nekonečna.
Graf funkcie at je znázornený červenou farbou. Ryža. 1.
Vlastnosti tejto funkcie:
Doména: ;
Rozsah hodnôt: ;
Funkcia je monotónna v celej svojej doméne definície. Pre monotónne (prísne) zvýšenie, väčšiu hodnotu argument zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Keď monotónne (striktne) klesá, väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Vlastnosti logaritmickej funkcie sú kľúčom k riešeniu rôznych logaritmických rovníc.
Zoberme si najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu; všetky ostatné logaritmické rovnice sú spravidla redukované na túto formu.
Keďže základy logaritmov a samotné logaritmy sú rovnaké, funkcie pod logaritmom sú tiež rovnaké, ale nesmieme stratiť doménu definície. Pod logaritmom môže stáť iba kladné číslo, máme:
Zistili sme, že funkcie f a g sa rovnajú, takže na dodržanie ODZ stačí zvoliť ľubovoľnú nerovnosť.
Tak sme dostali zmiešaný systém, v ktorom je rovnica a nerovnica:
Nerovnosť spravidla nie je potrebné riešiť, stačí vyriešiť rovnicu a dosadiť nájdené korene do nerovnosti, čím sa vykoná kontrola.
Sformulujme metódu riešenia najjednoduchších logaritmických rovníc:
Vyrovnajte základy logaritmov;
Rovnocenné sublogaritmické funkcie;
Spustite kontrolu.
Uvažujme o konkrétnych príkladoch.
Príklad 1 - vyriešte rovnicu:
Základy logaritmov sú na začiatku rovnaké;
Príklad 2 - vyriešte rovnicu:
Táto rovnica sa líši od predchádzajúcej v tom, že základy logaritmov sú menšie ako jedna, ale to žiadnym spôsobom neovplyvňuje riešenie:
Nájdite koreň a dosaďte ho do nerovnosti:
Dostali sme nesprávnu nerovnosť, čo znamená, že nájdený koreň nevyhovuje ODZ.
Príklad 3 - vyriešte rovnicu:
Základy logaritmov sú na začiatku rovnaké;
Nájdite koreň a dosaďte ho do nerovnosti:
Je zrejmé, že iba prvý koreň spĺňa ODZ.
Všetci poznáme rovnice. Základná škola. Aj tam sme sa naučili riešiť najjednoduchšie príklady a treba priznať, že svoje uplatnenie nachádzajú aj v vyššia matematika. Všetko je jednoduché s rovnicami, vrátane štvorcových. Ak máte s touto témou problémy, dôrazne vám odporúčame, aby ste to vyskúšali znova.
Logaritmy ste už pravdepodobne prešli. Napriek tomu považujeme za dôležité povedať, čo to je pre tých, ktorí ešte nevedia. Logaritmus sa rovná mocnine, na ktorú musí byť základňa zvýšená, aby sa číslo dostalo napravo od znamienka logaritmu. Uveďme si príklad, na základe ktorého vám bude všetko jasné.
Ak zvýšite 3 na štvrtú mocninu, dostanete 81. Teraz nahraďte čísla analógiou a konečne pochopíte, ako sa riešia logaritmy. Teraz zostáva len spojiť dva uvažované koncepty. Spočiatku sa situácia zdá byť mimoriadne zložitá, no pri bližšom skúmaní váha zapadne. Sme si istí, že po tomto krátkom článku nebudete mať v tejto časti skúšky žiadne problémy.
Dnes existuje veľa spôsobov riešenia takýchto štruktúr. Povieme si o najjednoduchších, najefektívnejších a najpoužiteľnejších v prípade úloh USE. Riešenie logaritmických rovníc musí začať úplne od začiatku. jednoduchý príklad. Najjednoduchšie logaritmické rovnice pozostávajú z funkcie a jednej premennej v nej.
Je dôležité poznamenať, že x je vnútri argumentu. A a b musia byť čísla. V tomto prípade môžete funkciu jednoducho vyjadriť ako číslo v mocnine. Vyzerá to takto.
Samozrejme, vyriešenie logaritmickej rovnice týmto spôsobom vás privedie k správnej odpovedi. Problémom drvivej väčšiny študentov je ale v tomto prípade to, že nerozumejú tomu, čo a odkiaľ pochádza. Výsledkom je, že musíte znášať chyby a nezískať požadované body. Najurážlivejšou chybou bude, ak si miestami pomiešate písmená. Ak chcete vyriešiť rovnicu týmto spôsobom, musíte si túto normu zapamätať školská formula lebo je to tazke pochopit.
Aby ste to uľahčili, môžete sa uchýliť k inej metóde - kanonickej forme. Myšlienka je mimoriadne jednoduchá. Opäť venujte pozornosť úlohe. Pamätajte, že písmeno a je číslo, nie funkcia alebo premenná. A sa nerovná jednej a je väčšie ako nula. Neexistujú žiadne obmedzenia na b. Teraz si zo všetkých vzorcov pripomenieme jeden. B možno vyjadriť nasledovne.
Z toho vyplýva, že všetky pôvodné rovnice s logaritmami môžu byť reprezentované ako:
Teraz môžeme logaritmy zahodiť. Výsledkom je jednoduchá konštrukcia, o ktorej sme sa už mohli presvedčiť skôr.
Pohodlie tohto vzorca spočíva v tom, že sa dá použiť v rôznych prípadoch, a to nielen pre najjednoduchšie návrhy.
Nebojte sa OOF!
Mnohí skúsení matematici si všimnú, že sme nevenovali pozornosť oblasti definície. Pravidlo sa scvrkáva na skutočnosť, že F(x) je nevyhnutne väčšie ako 0. Nie, tento bod sme neprehliadli. Teraz hovoríme o ďalšej vážnej výhode kánonickej formy.
Nebudú tu žiadne extra korene. Ak sa premenná bude vyskytovať iba na jednom mieste, rozsah nie je potrebný. Beží automaticky. Na overenie tohto úsudku zvážte riešenie niekoľkých jednoduchých príkladov.
Ako riešiť logaritmické rovnice s rôznymi základmi
Sú to už zložité logaritmické rovnice a prístup k ich riešeniu by mal byť špeciálny. Tu je zriedka možné obmedziť sa na notoricky známu kánonickú formu. Začnime náš podrobný príbeh. Máme nasledujúcu konštrukciu.
Všimnite si zlomok. Obsahuje logaritmus. Ak to vidíte v úlohe, stojí za to pripomenúť si jeden zaujímavý trik.
Čo to znamená? Každý logaritmus možno vyjadriť ako podiel dvoch logaritmov s vhodnou základňou. A tento vzorec má špeciálny prípad, ktorý je použiteľný pre tento príklad (myslíme, ak c=b).
To je presne to, čo vidíme v našom príklade. Teda.
V skutočnosti zlomok otočili a dostali pohodlnejší výraz. Zapamätajte si tento algoritmus!
Teraz potrebujeme, aby logaritmická rovnica neobsahovala rôzne základy. Predstavme si základ ako zlomok.
V matematike existuje pravidlo, na základe ktorého môžete odobrať titul zo základu. Ukazuje sa nasledujúca konštrukcia.
Zdalo by sa, že čo nám teraz bráni premeniť svoj prejav do kánonickej podoby a elementárne ho vyriešiť? Nie také jednoduché. Pred logaritmom by nemali byť žiadne zlomky. Napravme túto situáciu! Zlomok sa môže vybrať ako stupeň.
Respektíve.
Ak sú základy rovnaké, môžeme odstrániť logaritmy a prirovnať k samotným výrazom. Takže situácia bude mnohokrát jednoduchšia, ako bola. Bude tam elementárna rovnica, ktorú vedel vyriešiť každý z nás už v 8. či dokonca 7. ročníku. Výpočty môžete urobiť sami.
Máme jediný skutočný koreň tejto logaritmickej rovnice. Príklady riešenia logaritmickej rovnice sú celkom jednoduché, však? Teraz budete môcť samostatne riešiť aj tie najťažšie úlohy na prípravu a zloženie skúšky.
aký je výsledok?
V prípade akýchkoľvek logaritmických rovníc vychádzame z jednej veľmi dôležité pravidlo. Je potrebné konať tak, aby sa výraz dostal do najjednoduchšej formy. V tomto prípade budete mať viac šancí nielen správne vyriešiť problém, ale aj urobiť to najjednoduchším a najlogickejším spôsobom. Takto matematici vždy pracujú.
Dôrazne neodporúčame hľadať ťažké cesty, najmä v tomto prípade. Zapamätajte si niekoľko jednoduché pravidlá, ktorá vám umožní transformovať akýkoľvek výraz. Napríklad prineste dva alebo tri logaritmy na rovnakú základňu alebo zoberte silu zo základne a vyhrajte na nej.
Je tiež potrebné pripomenúť, že pri riešení logaritmických rovníc musíte neustále trénovať. Postupne prejdete na ďalšie a ďalšie zložité štruktúry, a to vás privedie k sebavedomému riešeniu všetkých variantov problémov na skúške. Pripravte sa na skúšky v dostatočnom predstihu a veľa šťastia!
