Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Logaritmické výrazy, riešenie príkladov. V tomto článku sa budeme zaoberať problémami súvisiacimi s riešením logaritmov. Úlohy nastoľujú otázku hľadania hodnoty výrazu. Treba poznamenať, že koncept logaritmu sa používa v mnohých úlohách a je mimoriadne dôležité pochopiť jeho význam. Pokiaľ ide o USE, logaritmus sa používa pri riešení rovníc, v aplikovaných problémoch a tiež v úlohách súvisiacich so štúdiom funkcií.

Tu sú príklady na pochopenie samotného významu logaritmu:

Hlavná logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmov, ktoré si musíte vždy zapamätať:

*Logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmy faktorov.

* * *

*Logaritmus kvocientu (zlomky) sa rovná rozdielu logaritmy faktorov.

* * *

* Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu.

* * *

*Prechod na novú základňu

* * *

Ďalšie vlastnosti:

* * *

Výpočet logaritmov úzko súvisí s využitím vlastností exponentov.

Uvádzame niektoré z nich:

Podstatou tejto vlastnosti je, že pri prenose čitateľa do menovateľa a naopak sa znamienko exponentu zmení na opačné. Napríklad:

Dôsledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia.

* * *

Ako vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavná vec je, že je potrebná dobrá prax, ktorá dáva určitú zručnosť. Znalosť vzorcov je určite povinná. Ak nie je vytvorená zručnosť v prevode elementárnych logaritmov, potom sa pri riešení jednoduchých úloh môžete ľahko pomýliť.

Cvičte, najskôr vyriešte najjednoduchšie príklady z kurzu matematiky, potom prejdite na zložitejšie. V budúcnosti určite ukážem, ako sa riešia „škaredé“ logaritmy, na skúške také nebudú, ale sú zaujímavé, nenechajte si to ujsť!

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimnite si, že logaritmus nezáporného čísla nie je definovaný. Základom logaritmu musí byť tiež kladné číslo, nie rovné 1. Ak napríklad odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základný logaritmus -2 čísla 4 je 2.

Základná logaritmická identita

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Je dôležité, aby sa domény definície pravej a ľavej časti tohto vzorca líšili. Ľavá strana je definovaný len pre b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá časť je definovaný pre akékoľvek b, ale vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovníc teda môže viesť k zmene DPV.

Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Skutočne, keď zvýšime číslo a na prvú mocninu, dostaneme rovnaké číslo a keď ho zvýšime na nulu, dostaneme jednotku.

Logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovým uplatňovaním týchto vzorcov pri riešení logaritmické rovnice a nerovnosti. Keď sa používajú „zľava doprava“, ODZ sa zužuje a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu súčinu alebo kvocientu sa ODZ rozširuje.

V skutočnosti je výraz log a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne kladné alebo keď sú f(x) a g(x) obe menšie ako nula.

Transformáciou tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa len na prípad, keď f(x)>0 a g(x)>0. Dochádza k zúženiu plochy povolené hodnoty, a to je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje pre vzorec (6).

Stupeň možno odobrať zo znamienka logaritmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

A opäť by som chcel požiadať o presnosť. Zvážte nasledujúci príklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ľavá strana rovnosti je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f(x) okrem nuly. Pravá strana je len pre f(x)>0! Vybratím sily z logaritmu opäť zúžime ODZ. Opačný postup vedie k rozšíreniu rozsahu prípustných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre mocninu 2, ale aj pre akúkoľvek párnu mocninu.

Vzorec na presťahovanie sa na novú základňu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

To ojedinelý prípad, keď sa pri transformácii ODZ nemení. Ak ste múdro zvolili základ c (kladný a nerovná sa 1), vzorec na prechod na nový základ je úplne bezpečný.

Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležité špeciálny prípad vzorce (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami

Príklad 1 Vypočítajte: lg2 + lg50.
Riešenie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Použili sme vzorec pre súčet logaritmov (5) a definíciu desiatkového logaritmu.

Príklad 2 Vypočítajte: lg125/lg5.
Riešenie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Použili sme nový základný prechodový vzorec (8).

Tabuľka vzorcov súvisiacich s logaritmami

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritmus čísla N podľa rozumu A sa nazýva exponent X , na ktorú potrebujete zvýšiť A získať číslo N

Za predpokladu, že
,
,

Z definície logaritmu vyplýva, že
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.

Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto
písať
.

základné logaritmy e sa nazývajú prirodzené a označované
.

Základné vlastnosti logaritmov.

Logaritmus jednoty pre akúkoľvek základňu je nula

Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.

3) Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov

Faktor
sa nazýva modul prechodu z logaritmov na báze a na logaritmy na základni b .

Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.

Napríklad,

Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie recipročné voči logaritmom sa nazývajú potenciácia.

Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.

1. Limity

limit funkcie
je konečné číslo A, ak pri snažení xx 0 pre každú vopred určenú
, je tam číslo
že hneď ako
, To
.

Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo:
, kde - b.m.w., t.j.
.

Príklad. Zvážte funkciu
.

Pri snažení
, funkcia r ide na nulu:

1.1. Základné teorémy o limitách.

Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote

.

Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.

Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limity týchto funkcií.

Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limity týchto funkcií, ak limita menovateľa nie je rovná nule.

Pozoruhodné limity

,
, Kde

1.2. Príklady výpočtu limitov

Nie všetky limity sú však vypočítané tak jednoducho. Častejšie sa výpočet limitu redukuje na zverejnenie typovej neistoty: alebo .

.

2. Derivácia funkcie

Nech máme funkciu
, kontinuálne na segmente
.

Argumentovať dostal nejakú podporu
. Potom sa funkcia zvýši
.

Hodnota argumentu zodpovedá hodnote funkcie
.

Hodnota argumentu
zodpovedá hodnote funkcie .

Preto, .

Nájdite hranicu tohto vzťahu na
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.

Definícia 3derivácie danej funkcie
argumentom nazývaná hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.

Derivácia funkcie
možno označiť takto:

; ; ; .

Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa volá diferenciácia.

2.1. Mechanický význam derivátu.

Zvážte priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.

Nech v určitom okamihu pohyblivý bod
bol na diaľku z východiskovej pozície
.

Po určitom čase
posunula sa na diaľku
. Postoj =- priemerná rýchlosť hmotný bod
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy
.

V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.

2.2. Geometrická hodnota derivátu

Predpokladajme, že máme graficky definovanú nejakú funkciu
.

Ryža. 1. Geometrický význam derivácie

Ak
, potom bod
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu
.

Preto
, t.j. hodnota derivátu daná hodnotou argumentu číselne sa rovná dotyčnici uhla vytvoreného dotyčnicou v danom bode s kladným smerom osi
.

2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.

Funkcia napájania

Exponenciálna funkcia

logaritmická funkcia

goniometrická funkcia

Inverzná goniometrická funkcia

2.4. Pravidlá diferenciácie.

Derivát z

Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií

Derivácia súčinu dvoch funkcií

Derivácia podielu dvoch funkcií

2.5. Derivát z komplexná funkcia.

Nechajte funkciu
tak, aby mohol byť reprezentovaný ako

A
, kde premenná je teda prechodný argument

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na x.

Príklad 1.

Príklad2.

3. Funkčný diferenciál.

Nech je tam
, diferencovateľné na nejakom intervale
nechaj to tak pri táto funkcia má deriváciu

,

potom môžeš písať

(1),

Kde - nekonečne malé množstvo,

pretože pri

Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o
máme:

Kde
- b.m.v. vyššia moc.

Hodnota
sa nazýva diferenciál funkcie
a označené

.

3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.

Nechajte funkciu
.

Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.

.

Je zrejmé, že diferenciál funkcie
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.

3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.

Ak tu
, Potom
sa nazýva prvý derivát.

Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a zapisuje sa
.

Derivácia n-tého rádu funkcie
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:

.

Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu.

.

.

3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.

Úloha1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom
, Kde N - počet mikroorganizmov (v tisícoch), t – čas (dni).

b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?

Odpoveď. Kolónia bude rásť vo veľkosti.

Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na kontrolu obsahu patogénnych baktérií. Cez t dní po testovaní je koncentrácia baktérií určená pomerom

.

Kedy bude v jazere minimálna koncentrácia baktérií a bude sa v ňom dať plávať?

Riešenie Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nulová.

,

Stanovme si, že maximum alebo minimum bude za 6 dní. Aby sme to dosiahli, vezmeme druhú deriváciu.

Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.

základné vlastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

rovnaké dôvody

log6 4 + log6 9.

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme.

Príklady riešenia logaritmov

Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Samozrejme, všetky tieto pravidlá dávajú zmysel, ak je dodržaný logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Prechod na nový základ

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Pozri tiež:

Základné vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého.

Základné vlastnosti logaritmov

Keď poznáte toto pravidlo, budete vedieť a presná hodnota vystavovateľov a dátum narodenia Leva Tolstého.

Príklady pre logaritmy

Vezmite logaritmus výrazov

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podľa vlastností 3,5 vypočítame

2.

3.

4. Kde .

Príklad 2 Nájdite x ak

Príklad 3. Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musíte poznať – bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je to logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Na základe tejto skutočnosti mnohí testovacie papiere. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom.

Vzorce logaritmov. Logaritmy sú príklady riešení.

Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka vyskytujú v bežných číselné výrazy. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá pre násobenie právomocí s rovnaký základ, dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.

Pozri tiež:

Logaritmus čísla b so základom a označuje výraz. Vypočítať logaritmus znamená nájsť takú mocninu x (), pri ktorej platí rovnosť

Základné vlastnosti logaritmu

Vyššie uvedené vlastnosti je potrebné poznať, pretože na ich základe sa takmer všetky problémy a príklady riešia na základe logaritmov. Zostávajúce exotické vlastnosti možno odvodiť matematickými manipuláciami s týmito vzorcami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri výpočte vzorcov pre súčet a rozdiel logaritmov (3.4) sa stretávame pomerne často. Ostatné sú trochu zložité, ale v mnohých úlohách sú nevyhnutné na zjednodušenie zložitých výrazov a výpočet ich hodnôt.

Bežné prípady logaritmov

Niektoré z bežných logaritmov sú tie, v ktorých je základ dokonca desať, exponenciálny alebo dvojkový.
Logaritmus základnej desiatky sa zvyčajne nazýva logaritmus základnej desiatky a jednoducho sa označuje lg(x).

Zo záznamu je vidieť, že základy nie sú v zázname zapísané. Napríklad

Prirodzený logaritmus je logaritmus, ktorého základom je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Aby ste si zapamätali exponent, môžete si preštudovať pravidlo: exponent je 2,7 a dvojnásobok roku narodenia Leva Tolstého. Keď poznáte toto pravidlo, budete poznať presnú hodnotu exponenta aj dátum narodenia Leva Tolstého.

A ďalší dôležitý logaritmus základne dva je

Derivácia logaritmu funkcie sa rovná jednej delenej premennou

Integrálny alebo primitívny logaritmus je určený závislosťou

Vyššie uvedený materiál je dostatočný na to, aby ste vyriešili širokú triedu problémov súvisiacich s logaritmami a logaritmami. Pre pochopenie materiálu uvediem len niekoľko bežných príkladov z školské osnovy a univerzity.

Príklady pre logaritmy

Vezmite logaritmus výrazov

Príklad 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Podľa vlastností 3,5 vypočítame

2.
Podľa rozdielovej vlastnosti logaritmov máme

3.
Pomocou vlastností 3.5 nájdeme

4. Kde .

Podľa výzoru komplexný prejav pomocou série pravidiel sa zjednoduší formulár

Nájdenie hodnôt logaritmu

Príklad 2 Nájdite x ak

Riešenie. Pre výpočet používame vlastnosti 5 a 13 až do posledného termínu

Náhradník v zázname a smútiť

Keďže základy sú rovnaké, dávame rovnítko medzi výrazy

Logaritmy. Prvá úroveň.

Nech je uvedená hodnota logaritmov

Vypočítajte log(x), ak

Riešenie: Zoberte logaritmus premennej na zápis logaritmu cez súčet členov

Toto je len začiatok oboznámenia sa s logaritmami a ich vlastnosťami. Precvičte si výpočty, obohaťte svoje praktické zručnosti – nadobudnuté vedomosti budete čoskoro potrebovať na riešenie logaritmických rovníc. Po preštudovaní základných metód riešenia takýchto rovníc rozšírime vaše vedomosti o ďalšiu rovnako dôležitú tému - logaritmické nerovnosti ...

Základné vlastnosti logaritmov

Logaritmy, ako každé číslo, možno sčítať, odčítať a previesť všetkými možnými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú celkom bežné čísla, existujú tu pravidlá, ktoré sa nazývajú základné vlastnosti.

Tieto pravidlá musíte poznať – bez nich nemožno vyriešiť žiadny vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.

Sčítanie a odčítanie logaritmov

Zvážte dva logaritmy s rovnakým základom: logax a logay. Potom ich možno sčítať a odčítať a:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel je logaritmus kvocientu. Poznámka: kľúčovým bodom je tu - rovnaké dôvody. Ak sú základy odlišné, tieto pravidlá nefungujú!

Tieto vzorce pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Keďže základy logaritmov sú rovnaké, použijeme súčtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Opäť platí, že základy sú rovnaké, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré sa neuvažujú samostatne. Ale po transformáciách sa ukážu celkom normálne čísla. Mnohé testy sú založené na tejto skutočnosti. Áno, kontrola – na skúške sú ponúkané podobné výrazy úplne vážne (niekedy – prakticky bez zmien).

Odstránenie exponentu z logaritmu

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak existuje stupeň v základe alebo argumente logaritmu? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:

Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje ich prvé dve. Ale je lepšie si to aj tak zapamätať – v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.

Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží logaritmus ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. môžete zadať čísla pred znamienkom logaritmu do samotného logaritmu.

Ako riešiť logaritmy

To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme sa stupňa v argumente podľa prvého vzorca:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že menovateľ je logaritmus, ktorého základ a argument sú presné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že posledný príklad potrebuje objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Do poslednej chvíle pracujeme len s menovateľom. Predložili základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme stupňov a vybrali ukazovatele - dostali „trojposchodový“ zlomok.

Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ majú rovnaké číslo: log2 7. Keďže log2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa stalo. Výsledkom je odpoveď: 2.

Prechod na nový základ

Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú základy odlišné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?

Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na novú základňu. Formulujeme ich vo forme vety:

Nech je daný logaritmus logax. Potom pre akékoľvek číslo c také, že c > 0 a c ≠ 1, platí rovnosť:

Konkrétne, ak dáme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorca vyplýva, že je možné zameniť základ a argument logaritmu, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus je v menovateli.

Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.

Sú však úlohy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do nového základu. Uvažujme o niekoľkých z nich:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov sú presné exponenty. Vyberme ukazovatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz otočme druhý logaritmus:

Keďže súčin sa nemení permutáciou faktorov, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme prišli na logaritmy.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:

Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:

Základná logaritmická identita

V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danej báze. V tomto prípade nám pomôžu vzorce:

V prvom prípade sa číslo n stane exponentom v argumente. Číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len hodnota logaritmu.

Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. Volá sa to takto:

Čo sa stane, ak sa číslo b zvýši do takej miery, že číslo b v tomto stupni dáva číslo a? Správne: toto je rovnaké číslo a. Pozorne si prečítajte tento odsek ešte raz - veľa ľudí na ňom „visí“.

Rovnako ako nové základné konverzné vzorce, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všimnite si, že log25 64 = log5 8 - práve vytiahol štvorec zo základne a argument logaritmu. Vzhľadom na pravidlá násobenia právomocí s rovnakým základom dostaneme:

Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky 🙂

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na záver uvediem dve identity, ktoré je ťažké nazvať vlastnosťami – skôr ide o dôsledky z definície logaritmu. Neustále sa nachádzajú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.

1. logaa = 1 je. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus k ľubovoľnej základni a z tejto samotnej základne sa rovná jednej.
2. loga 1 = 0 je. Základom a môže byť čokoľvek, ale ak je argument jedna, logaritmus je nula! Pretože a0 = 1 je priamym dôsledkom definície.

To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.