V matematike existuje nekonečné množstvo funkcií. A každý má svoj vlastný charakter.) Na prácu so širokou škálou funkcií, ktoré potrebujete slobodný prístup. Inak, čo je toto za matematiku?!) A existuje taký prístup!

Pri práci s akoukoľvek funkciou ju prezentujeme s štandardná sada otázky. A prvý, najviac dôležitá otázka- Toto doména definície funkcie. Niekedy sa táto oblasť nazýva množina platných hodnôt argumentov, oblasť, kde je špecifikovaná funkcia atď.

Čo je doménou funkcie? Ako to nájsť? Tieto otázky sa často zdajú zložité a nezrozumiteľné... Aj keď v skutočnosti je všetko mimoriadne jednoduché. Môžete sa o tom presvedčiť prečítaním tejto stránky. ísť?)

No, čo môžem povedať... Len rešpekt.) Áno! Prirodzená doména funkcie (o ktorej sa tu diskutuje) zápasy s ODZ výrazov zahrnutých vo funkcii. Podľa toho sa vyhľadávajú podľa rovnakých pravidiel.

Teraz sa pozrime na nie celkom prirodzenú doménu definície.)

Ďalšie obmedzenia rozsahu funkcie.

Tu budeme hovoriť o obmedzeniach, ktoré sú dané úlohou. Tie. Úloha obsahuje niektoré dodatočné podmienky, s ktorými prišiel kompilátor. Alebo obmedzenia vyplývajú zo samotnej metódy definovania funkcie.

Pokiaľ ide o obmedzenia v úlohe, všetko je jednoduché. Väčšinou netreba nič hľadať, všetko je už povedané v úlohe. Pripomínam, že obmedzenia napísané autorom úlohy nerušia základné obmedzenia matematiky. Musíte len pamätať na to, aby ste vzali do úvahy podmienky úlohy.

Napríklad táto úloha:

Nájdite doménu funkcie:

na množine kladných čísel.

Prirodzenú doménu definície tejto funkcie sme našli vyššie. Tento priestor:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Pri slovnom spôsobe zadávania funkcie si treba pozorne prečítať podmienku a nájsť tam obmedzenia na X. Niekedy oči hľadajú vzorce, ale slová pískajú popri vedomí áno...) Príklad z predchádzajúcej lekcie:

Funkcia je určená podmienkou: každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x.

Tu treba poznamenať, že hovoríme iba o prírodných hodnotách X. Potom a D(f) okamžite zaznamenané:

D(f): x ∈ N

Ako vidíte, rozsah funkcie nie je taký komplexný koncept. Nájdenie tejto oblasti spočíva v preskúmaní funkcie, napísaní systému nerovností a vyriešení tohto systému. Samozrejme, existujú všetky druhy systémov, jednoduché aj zložité. Ale...

otvorím to malé tajomstvo. Niekedy funkcia, pre ktorú potrebujete nájsť doménu definície, vyzerá jednoducho odstrašujúco. Chce sa mi zblednúť a plakať.) Ale len čo napíšem systém nerovností... A zrazu sa ukáže, že systém je elementárny! Navyše často platí, že čím hroznejšia funkcia, tým jednoduchší systém...

Morálka: oči sa boja, hlava rozhoduje!)

Zistili sme, že existuje X- množina, na ktorej dáva zmysel vzorec, ktorý definuje funkciu. V matematickej analýze sa táto množina často označuje ako D (doména funkcie ). Na druhej strane mnohí Y označené ako E (funkčný rozsah ) a kde D A E nazývané podmnožiny R(množina reálnych čísel).

Ak je funkcia definovaná vzorcom, potom, ak neexistujú špeciálne výhrady, doména jej definície sa považuje za najväčšiu množinu, na ktorej má tento vzorec zmysel, to znamená za najväčšiu množinu hodnôt argumentov, ktorá vedie. na skutočné hodnoty funkcie . Inými slovami, množina hodnôt argumentov, na ktorých „funkcia funguje“.

Pre všeobecné pochopenie príklad ešte nemá vzorec. Funkcia je špecifikovaná ako páry vzťahov:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Nájdite doménu definície týchto funkcií.

Odpoveď. Prvým prvkom páru je premenná X. Keďže špecifikácia funkcie obsahuje aj druhé prvky párov - hodnoty premennej r, potom má funkcia zmysel len pre tie hodnoty X, ktoré zodpovedajú určitej hodnote Y. To znamená, že vezmeme všetky X týchto párov vo vzostupnom poradí a získame z nich doménu definície funkcie:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Rovnaká logika funguje, ak je funkcia daná vzorcom. Iba druhé prvky v pároch (to znamená hodnoty i) sa získajú nahradením určitých hodnôt x do vzorca. Aby sme však našli definičný obor funkcie, nepotrebujeme prejsť všetky dvojice X a Y.

Príklad 0. Ako nájsť definičný obor funkcie i sa rovná druhej odmocnine x mínus päť (radikálny výraz x mínus päť) ()? Musíte len vyriešiť nerovnosť

X - 5 ≥ 0 ,

keďže na to, aby sme dostali skutočnú hodnotu hry, musí byť radikálny výraz väčší alebo rovný nule. Dostávame riešenie: doménou definície funkcie sú všetky hodnoty x väčšie alebo rovné päť (alebo x patrí do intervalu od päť vrátane do plus nekonečna).

Na obrázku vyššie je fragment číselnej osi. Na ňom je zatienená oblasť definície uvažovanej funkcie, zatiaľ čo v smere „plus“ šrafovanie pokračuje donekonečna spolu so samotnou osou.

Ak používate počítačové programy, ktoré na základe zadaných údajov vytvárajú nejakú odpoveď, môžete si všimnúť, že pri niektorých hodnotách zadaných údajov program zobrazí chybové hlásenie, teda že s takýmito údajmi nie je možné odpoveď vypočítať. Takúto správu poskytnú autori programu, ak je výraz na výpočet odpovede pomerne zložitý alebo sa týka nejakej úzkej tematickej oblasti, alebo ju poskytnú autori programovacieho jazyka, ak ide o všeobecne uznávané normy, napr. nulou sa deliť nedá.

Ale v oboch prípadoch sa odpoveď (hodnota nejakého výrazu) nedá vypočítať z toho dôvodu, že výraz pre niektoré hodnoty údajov nedáva zmysel.

Príklad (zatiaľ nie celkom matematický): ak program zobrazí názov mesiaca na základe čísla mesiaca v roku, potom zadaním „15“ dostanete chybové hlásenie.

Najčastejšie je vypočítaný výraz len funkciou. Preto takéto neplatné hodnoty údajov nie sú zahrnuté doména funkcie . A pri ručných výpočtoch je rovnako dôležité reprezentovať doménu funkcie. Napríklad vypočítate určitý parameter určitého produktu pomocou vzorca, ktorý je funkciou. Pre niektoré hodnoty vstupného argumentu nedostanete na výstupe nič.

Oblasť definície konštanty

Konštantný (konštantný) definovaný pre akékoľvek skutočné hodnoty X R reálne čísla. Dá sa to napísať aj takto: definičný obor tejto funkcie je celý číselný rad ]- ∞; + ∞[ .

Príklad 1. Nájdite definičný obor funkcie r = 2 .

Riešenie. Definičná oblasť funkcie nie je uvedená, čo znamená, že na základe vyššie uvedenej definície sa myslí prirodzená oblasť definície. Výraz f(X) = 2 definované pre akékoľvek reálne hodnoty X, preto je táto funkcia definovaná na celej množine R reálne čísla.

Preto je na obrázku vyššie číselná os zatienená od mínus nekonečna po plus nekonečno.

Oblasť definície koreňa n stupeň

V prípade, keď je funkcia daná vzorcom a n- prirodzené číslo:

Príklad 2. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Ako vyplýva z definície, odmocnina párneho stupňa má zmysel, ak je radikálový výraz nezáporný, teda ak - 1 ≤ X≤ 1. Preto je definičný obor tejto funkcie [- 1; 1].

Stínovaná oblasť číselnej osi na obrázku vyššie je doménou definície tejto funkcie.

Doména mocenskej funkcie

Doména mocninnej funkcie s celočíselným exponentom

Ak a- kladné, potom definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel, teda ]- ∞; + ∞[ ;

Ak a- zápor, potom definičný obor funkcie je množina ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , teda celý číselný rad okrem nuly.

Na príslušnom obrázku vyššie je celá číselná os vytieňovaná a bod zodpovedajúci nule je vyrazený (nie je zahrnutý v oblasti definície funkcie).

Príklad 3. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Prvý člen je celočíselná mocnina x rovná 3 a mocnina x v druhom člene môže byť reprezentovaná ako jedna – tiež celé číslo. V dôsledku toho je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad, teda ]- ∞; + ∞[ .

Doména mocninnej funkcie so zlomkovým exponentom

V prípade, že je funkcia daná vzorcom:

ak je kladné, potom definičný obor funkcie je množina 0; + ∞[ .

Príklad 4. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Oba pojmy vo výraze funkcie sú mocenské funkcie s kladnými zlomkovými exponentmi. V dôsledku toho je doménou definície tejto funkcie množina - ∞; + ∞[ .

Oblasť exponenciálnych a logaritmických funkcií

Oblasť exponenciálnej funkcie

V prípade, že je funkcia daná vzorcom, definičným oborom funkcie je celý číselný rad, teda ] - ∞; + ∞[ .

Oblasť logaritmickej funkcie

Logaritmická funkcia je definovaná za predpokladu, že jej argument je kladný, to znamená, že jej doménou definície je množina ]0; + ∞[ .

Nájdite doménu funkcie sami a potom sa pozrite na riešenie

Oblasť goniometrických funkcií

Funkčná doména r= cos( X) - tiež veľa R reálne čísla.

Funkčná doména r= tg( X) - kopa R reálne čísla iné ako čísla .

Funkčná doména r= ctg( X) - kopa R reálne čísla okrem čísel.

Príklad 8. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Vonkajšia funkcia - desiatkový logaritmus a definičný obor logaritmickej funkcie vo všeobecnosti podlieha podmienkam definičného oboru logaritmickej funkcie. To znamená, že jej argument musí byť pozitívny. Argumentom je sínus "x". Otočením pomyselného kompasu okolo kruhu vidíme, že podmienka hreší X> 0 je porušené, keď sa „x“ rovná nule, „pi“, dvom, vynásobeným „pi“ a vo všeobecnosti sa rovná súčinu „pi“ a akéhokoľvek párneho alebo nepárneho celého čísla.

Definičný obor tejto funkcie je teda daný výrazom

,

Kde k- celé číslo.

Oblasť definície inverzných goniometrických funkcií

Funkčná doména r= arcsin( X) - sada [-1; 1].

Funkčná doména r= arccos( X) - aj množina [-1; 1].

Funkčná doména r= arctan( X) - kopa R reálne čísla.

Funkčná doména r= arcctg( X) - tiež veľa R reálne čísla.

Príklad 9. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Poďme vyriešiť nerovnosť:

Tak získame definičný obor tejto funkcie - segment [- 4; 4].

Príklad 10. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Poďme vyriešiť dve nerovnosti:

Riešenie prvej nerovnosti:

Riešenie druhej nerovnosti:

Tak získame doménu definície tejto funkcie - segment.

Rozsah zlomkov

Ak je funkcia daná zlomkovým výrazom, v ktorom je premenná v menovateli zlomku, potom doménou definície funkcie je množina R reálne čísla, okrem týchto X, pri ktorej sa menovateľ zlomku stane nulou.

Príklad 11. Nájdite definičný obor funkcie .

Riešenie. Vyriešením rovnosti menovateľa zlomku na nulu nájdeme definičný obor tejto funkcie - množinu ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Ako nájsť doménu funkcie? S touto úlohou sa často musia vyrovnať študenti stredných škôl.

Rodičia by mali svojim deťom pomôcť pochopiť túto problematiku.

Určenie funkcie.

Pripomeňme si základné pojmy algebry. V matematike je funkcia závislosť jednej premennej od druhej. Môžeme povedať, že ide o prísny matematický zákon, ktorý spája dve čísla určitým spôsobom.

V matematike sa pri analýze vzorcov numerické premenné nahrádzajú abecednými symbolmi. Najčastejšie používané sú x („x“) a y („y“). Premenná x sa nazýva argument a premenná y sa nazýva závislá premenná alebo funkcia x.

Existovať rôznymi spôsobmi nastavenie premenných závislostí.

Poďme si ich vymenovať:

1. Analytický typ.
2. Tabuľkový pohľad.
3. Grafický displej.

Analytická metóda je reprezentovaná vzorcom. Pozrime sa na príklady: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Vzorec y=2x+3 je typický pre lineárna funkcia. Dosadením číselnej hodnoty argumentu do daného vzorca dostaneme hodnotu y.

Tabuľková metóda je tabuľka pozostávajúca z dvoch stĺpcov. Prvý stĺpec je priradený hodnotám X a v ďalšom stĺpci sú zaznamenané údaje hráča.

Grafická metóda sa považuje za najviac vizuálnu. Graf je zobrazenie množiny všetkých bodov v rovine.

Na zostavenie grafu sa používa kartézsky súradnicový systém. Systém pozostáva z dvoch na seba kolmých čiar. Na osiach sú položené identické jednotkové segmenty. Odpočítavanie je vyrobené z stredový bod priesečník rovných čiar.

Nezávislá premenná je vyznačená na vodorovnej čiare. Nazýva sa abscisová os. Vertikálna čiara (os y) zobrazuje číselnú hodnotu závislej premennej. Body sú vyznačené na priesečníkoch kolmíc na tieto osi. Spojením bodov medzi sebou dostaneme plnú čiaru. Je základom rozvrhu.

Typy premenných závislostí

Definícia.

IN všeobecný pohľad závislosť je prezentovaná ako rovnica: y=f(x). Zo vzorca vyplýva, že pre každú hodnotu čísla x existuje určitý počet u. Hodnota hry, ktorá zodpovedá číslu x, sa nazýva hodnota funkcie.

Všetky možné hodnoty, ktoré nezávislá premenná nadobúda, tvoria doménu definície funkcie. Celá množina čísel závislej premennej teda určuje rozsah hodnôt funkcie. Oblasť definície sú všetky hodnoty argumentu, pre ktoré má f(x) zmysel.

Prvotnou úlohou pri štúdiu matematických zákonov je nájsť doménu definície. Tento pojem musí byť správne definovaný. V opačnom prípade budú všetky ďalšie výpočty zbytočné. Koniec koncov, objem hodnôt sa tvorí na základe prvkov prvého súboru.

Rozsah funkcie je priamo závislý od obmedzení. Obmedzenia sú spôsobené nemožnosťou vykonávať určité operácie. Existujú tiež limity pre použitie číselných hodnôt.

Pri absencii obmedzení je doménou definície celý číselný priestor. Znak nekonečna má vodorovný symbol osmičky. Celá množina čísel je zapísaná takto: (-∞; ∞).

V určitých prípadoch súbor údajov pozostáva z niekoľkých podmnožín. Rozsah číselných intervalov alebo medzier závisí od typu zákona zmeny parametra.

Tu je zoznam faktorov, ktoré ovplyvňujú obmedzenia:

• inverzná úmernosť;
• aritmetický koreň;
• umocňovanie;
• logaritmická závislosť;
• trigonometrické formy.

Ak existuje niekoľko takýchto prvkov, potom je hľadanie obmedzení rozdelené pre každý z nich. Najväčším problémom je identifikácia kritických bodov a intervaloch. Riešením problému bude zjednotenie všetkých číselných podmnožín.

Množina a podmnožina čísel

O súpravách.

Definičný obor je vyjadrený ako D(f) a zjednocovací znak je reprezentovaný symbolom ∪. Všetky číselné intervaly sú uzavreté v zátvorkách. Ak hranica lokality nie je zahrnutá v súprave, umiestni sa polkruhová konzola. V opačnom prípade, keď je číslo zahrnuté v podmnožine, použijú sa hranaté zátvorky.

Inverznú úmernosť vyjadruje vzorec y=k/x. Funkčný graf je zakrivená čiara pozostávajúca z dvoch vetiev. Bežne sa nazýva hyperbola.

Keďže funkcia je vyjadrená ako zlomok, nájdenie definičného odboru spočíva v analýze menovateľa. Je dobre známe, že v matematike je delenie nulou zakázané. Riešenie problému spočíva v vyrovnaní menovateľa na nulu a nájdení koreňov.

Tu je príklad:

Dané: y=1/(x+4). Nájdite doménu definície.

1. Menovateľa prirovnáme k nule.
   x+4=0
2. Nájdenie koreňa rovnice.
   x = -4
3. Definujeme množinu všetkých možných hodnôt argumentu.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Odpoveď: Definičným oborom funkcie sú všetky reálne čísla okrem -4.

Význam čísla pod znakom odmocnina nemôže byť negatívny. V tomto prípade sa definovanie funkcie s odmocninou redukuje na riešenie nerovnosti. Radikálny výraz musí byť väčší ako nula.

Oblasť určenia koreňa súvisí s paritou koreňového indikátora. Ak je indikátor deliteľný 2, potom výraz dáva zmysel iba vtedy, ak je kladný. Nepárne číslo ukazovateľa označuje prípustnosť akejkoľvek hodnoty radikálneho výrazu: pozitívneho aj negatívneho.

Nerovnice sa riešia rovnakým spôsobom ako rovnice. Rozdiel je len v jednom. Po vynásobení oboch strán nerovnosti o záporné číslo znamenie by sa malo obrátiť.

Ak je druhá odmocnina v menovateli, musí byť uložená ďalšia podmienka. Hodnota čísla nesmie byť nula. Nerovnosť sa presúva do kategórie striktných nerovností.

Logaritmické a goniometrické funkcie

Logaritmický tvar má zmysel pre kladné čísla. Doména logaritmickej funkcie je teda podobná funkcii druhej odmocniny, s výnimkou nuly.

Uvažujme príklad logaritmickej závislosti: y=log(2x-6). Nájdite doménu definície.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Odpoveď: (3; +∞).

Definičný obor y=sin x a y=cos x je množina všetkých reálnych čísel. Pre tangens a kotangens existujú obmedzenia. Sú spojené s delením kosínusom alebo sínusom uhla.

Tangenta uhla je určená pomerom sínusu ku kosínusu. Označme hodnoty uhla, pri ktorých dotyčnica neexistuje. Funkcia y=tg x má zmysel pre všetky hodnoty argumentu okrem x=π/2+πn, n∈Z.

Definičný obor funkcie y=ctg x je celá množina reálnych čísel s výnimkou x=πn, n∈Z. Ak sa argument rovná číslu π alebo násobku π, sínus uhla je nula. V týchto bodoch (asymptoty) kotangens nemôže existovať.

Prvé úlohy na identifikáciu domény definície začínajú na vyučovacích hodinách v 7. ročníku. Pri prvom uvedení do tejto časti algebry by mal študent jasne porozumieť téme.

Treba si uvedomiť, že tento termín bude sprevádzať školáka, a potom aj študenta, počas celej doby štúdia.

\(\frac(x)(x-1)\) hodnota premennej bude rovná 1, pravidlo je porušené: Nulou sa deliť nedá. Preto tu \(x\) nemôže byť jednotkou a ODZ sa zapisuje takto: \(x\neq1\);

Ak je vo výraze \(\sqrt(x-2)\) hodnota premennej \(0\), je porušené pravidlo: radikálny výraz nesmie byť negatívny. To znamená, že tu \(x\) nemôže byť \(0\), rovnako ako \(1, -3, -52,7\) atď. To znamená, že x musí byť väčšie alebo rovné 2 a ODZ bude: \(x\geq2\);

Ale vo výraze \(4x+1\) môžeme namiesto X dosadiť ľubovoľné číslo a nebudú porušené žiadne pravidlá. Preto rozsah prijateľných hodnôt je tu celá číselná os. V takýchto prípadoch sa DZ nezaznamenáva, pretože neobsahuje užitočné informácie.

Všetky pravidlá, ktoré treba dodržiavať, nájdete.

ODZ v rovniciach

Pri rozhodovaní je dôležité pamätať na rozsah prijateľných hodnôt, pretože Tam len hľadáme hodnoty premenných a môžeme náhodne nájsť tie, ktoré porušujú pravidlá matematiky.

Aby sme pochopili dôležitosť ODZ, porovnajme dve riešenia rovnice: s ODZ a bez ODZ.

Príklad: Vyriešte rovnicu
Riešenie :

Bez ODZ:		S ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - nespĺňa podmienky na ODZ
Odpoveď : \(4; -3\)		Odpoveď : \(4\)

Vidíš ten rozdiel? V prvom riešení sme mali v odpovedi nesprávne, navyše !! Prečo nesprávne? Skúsme to dosadiť do pôvodnej rovnice.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Vidíte, dostali sme nevyčísliteľné, nezmyselné výrazy naľavo aj napravo (napokon nulou sa deliť nedá). A skutočnosť, že sú rovnaké, už nehrá žiadnu rolu, keďže tieto hodnoty neexistujú. „\(-3\)“ je teda nevhodný, cudzí koreň a rozsah prijateľných hodnôt nás chráni pred takýmito vážnymi chybami.

Preto dostanete D za prvé riešenie a A za druhé. A nie sú to žiadne nudné škriepky učiteľa, pretože nezohľadnenie ODS nie je maličkosť, ale veľmi špecifická chyba, rovnako ako stratený znak alebo aplikácia nesprávneho vzorca. Koniec koncov, konečná odpoveď je nesprávna!

Nájdenie rozsahu prijateľných hodnôt často vedie k potrebe riešiť rovnice, takže to musíte vedieť robiť dobre.

Príklad : Nájdite doménu výrazu \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Riešenie : Vo výraze sú dva korene, z ktorých jeden je v menovateli. Kto si nepamätá obmedzenia uložené v tomto prípade, je... Každý, kto si pamätá, zapíše, že výraz pod prvým koreňom je väčší alebo rovný nule a pod druhým koreňom je väčší ako nula. Chápete, prečo sú obmedzenia také, aké sú?

Odpoveď : \((-2;2,5]\)