Derivát komplexná funkcia. Príklady riešení

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácia komplexnej funkcie. Hodina je logickým pokračovaním lekcie Ako nájsť derivát?, na ktorej sme rozoberali najjednoduchšie derivácie a zoznámili sa aj s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými metódami hľadania derivácií. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body tohto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Prosím, nalaďte sa na vážnu náladu - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte s deriváciou komplexnej funkcie zaoberať veľmi často, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

V tabuľke sa pozrieme na pravidlo (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Rozumieme. Najprv sa pozrime na zápis. Tu máme dve funkcie - a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto druhu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – vnútorná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Používam neformálne výrazy" vonkajšia funkcia““, „interná“ funkcia len preto, aby vám uľahčila pochopenie materiálu.

Ak chcete objasniť situáciu, zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno "x", ale celý výraz, takže hľadanie derivátu okamžite z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že nie je možné „roztrhnúť“ sínus:

V tomto príklade, už z mojich vysvetlení, je intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krok, ktorý je potrebné vykonať pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

Kedy jednoduché príklady zdá sa jasné, že pod sínusom je vnorený polynóm. Ale čo ak to nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú možno vykonať mentálne alebo na návrh.

Predstavme si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu pomocou kalkulačky (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , takže polynóm bude internou funkciou:

Po druhé budete musieť nájsť, takže sínus - bude externá funkcia:

Po nás ROZUMIEŤ Pri vnútorných a vonkajších funkciách je čas použiť pravidlo diferenciácie zložených funkcií.

Začíname sa rozhodovať. Z lekcie Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdite deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrite si tabuľku derivácií elementárne funkcie a všimnite si to. Všetky tabuľkové vzorce sú použiteľné, aj keď je "x" nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

poznač si to vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Konečný výsledok použitia vzorca vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si rozhodnutie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Zisťujeme, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo na koncepte) vypočítať hodnotu výrazu pre . Čo je potrebné urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa základ rovná:, čo znamená, že polynóm je vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, teda výkonová funkcia je externá funkcia:

Podľa vzorca musíte najskôr nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke:. Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre "x", ale aj pre komplexný výraz. Výsledkom aplikácie pravidla diferenciácie komplexnej funkcie je teda:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, vnútorná funkcia sa nemení:

Teraz zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a výsledok trochu „učesať“:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Pre upevnenie pochopenia derivácie komplexnej funkcie uvediem príklad bez komentárov, skúste si na to prísť sami, rozumujte, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sa úlohy riešia tak?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako stupeň. Najprv teda uvedieme funkciu do správnej formy na diferenciáciu:

Pri analýze funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocňovanie je vonkajšia funkcia. Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

Stupeň je opäť reprezentovaný ako radikál (odmocnina) a pre deriváciu vnútornej funkcie použijeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež uviesť výraz do spoločného menovateľa v zátvorkách a napísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď sa získajú ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie možno použiť pravidlo na derivovanie kvocientu , ale takéto riešenie by vyzeralo ako zvrátenosť vtipná. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - vyberieme znamienko mínus derivácie a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo:

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie, resetujeme kosínus späť nadol:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pravidlom , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme zvažovali prípady, keď sme mali len jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Rozumieme prílohám tejto funkcie. Výraz sa snažíme vyhodnotiť pomocou experimentálnej hodnoty . Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť, čo znamená, že arcsínus je najhlbšie hniezdenie:

Tento arcsínus jednoty by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem k moci:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vnorenia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začíname sa rozhodovať

Podľa pravidla musíte najprv vziať deriváciu externej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný prejav, čo neruší platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla diferenciácie komplexnej funkcie je nasledujúci:

Pod prístrojovou doskou máme opäť ošemetnú funkciu! Ale už je to jednoduchšie. Je ľahké vidieť, že vnútorná funkcia je arcsínus a vonkajšia funkcia je stupeň. Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie musíte najprv vziať deriváciu stupňa.

Je uvedený dôkaz vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie. Podrobne sa zvažujú prípady, keď komplexná funkcia závisí od jednej alebo dvoch premenných. Zovšeobecnenie sa robí na prípad ľubovoľného počtu premenných.

Tu uvádzame odvodenie nasledujúcich vzorcov pre deriváciu komplexnej funkcie.
Ak potom
.
Ak potom
.
Ak potom
.

Derivácia komplexnej funkcie jednej premennej

Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia v nasledujúcom tvare:
,
kde a tam sú nejaké funkcie. Funkcia je diferencovateľná pre nejakú hodnotu premennej x . Funkcia je diferencovateľná pre hodnotu premennej .
Potom je komplexná (zložená) funkcia diferencovateľná v bode x a jej derivácia je určená vzorcom:
(1) .

Vzorec (1) možno napísať aj takto:
;
.

Dôkaz

Uveďme si nasledujúci zápis.
;
.
Tu je funkcia premenných a , je funkcia premenných a . Ale vynecháme argumenty týchto funkcií, aby sme nezaťažili výpočty.

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bodoch x a , potom v týchto bodoch existujú derivácie týchto funkcií, ktoré sú nasledujúcimi limitmi:
;
.

Zvážte nasledujúcu funkciu:
.
Pre pevnú hodnotu premennej u je funkciou . To je zrejmé
.
Potom
.

Pretože funkcia je diferencovateľná funkcia v bode , potom je v tomto bode spojitá. Preto
.
Potom
.

Teraz nájdeme derivát.

.

Vzorec bol osvedčený.

Dôsledok

Ak funkcia premennej x môže byť reprezentovaná ako komplexná funkcia komplexnej funkcie
,
potom je jeho derivácia určená vzorcom
.
Tu a tam sú niektoré diferencovateľné funkcie.

Aby sme dokázali tento vzorec, sekvenčne vypočítame deriváciu podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie.
Zvážte komplexnú funkciu
.
Jeho derivát
.
Zvážte pôvodnú funkciu
.
Jeho derivát
.

Derivácia komplexnej funkcie v dvoch premenných

Teraz nech komplexná funkcia závisí od niekoľkých premenných. Najprv zvážte prípad komplexnej funkcie dvoch premenných.

Nech je funkcia závislá od premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia dvoch premenných v nasledujúcom tvare:
,
Kde
a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
je funkciou dvoch premenných, diferencovateľných v bode , . Potom je komplexná funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a má deriváciu, ktorá je určená vzorcom:
(2) .

Dôkaz

Keďže funkcie a sú diferencovateľné v bode , sú definované v nejakom susedstve tohto bodu, sú v bode spojité a v bode existujú ich derivácie, čo sú nasledujúce limity:
;
.
Tu
;
.
Vzhľadom na kontinuitu týchto funkcií v určitom bode máme:
;
.

Keďže funkcia je diferencovateľná v bode , je definovaná v nejakom susedstve tohto bodu, v tomto bode je spojitá a jej prírastok možno zapísať v nasledujúcom tvare:
(3) .
Tu

- prírastok funkcie, keď sa jej argumenty zvýšia o hodnoty a ;
;

- parciálne derivácie funkcie vzhľadom na premenné a .
Pre pevné hodnoty a existujú funkcie premenných a . Majú tendenciu k nule pri a:
;
.
Odvtedy a potom
;
.

Prírastok funkcie:

. :
.
Náhradník (3):



.

Vzorec bol osvedčený.

Derivácia komplexnej funkcie viacerých premenných

Vyššie uvedená derivácia sa dá ľahko zovšeobecniť na prípad, keď je počet premenných komplexnej funkcie väčší ako dve.

Napríklad, ak f je funkcia troch premenných, To
,
Kde
, a existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
je diferencovateľná funkcia v troch premenných v bode , , .
Potom z definície diferencovateľnosti funkcie máme:
(4)
.
Keďže z dôvodu kontinuity,
; ; ,
To
;
;
.

Delením (4) a prekročením limitu dostaneme:
.

A nakoniec zvážte najvšeobecnejší prípad.
Nech je funkcia premennej x reprezentovaná ako komplexná funkcia n premenných v nasledujúcom tvare:
,
Kde
existujú diferencovateľné funkcie pre nejakú hodnotu premennej x ;
- diferencovateľná funkcia n premenných v bode
, , ... , .
Potom
.

V tomto článku budeme hovoriť o takom dôležitom matematickom koncepte, akým je komplexná funkcia, a naučíme sa, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie.

Predtým, ako sa naučíme, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, pochopme koncept komplexnej funkcie, čo to je, „s čím sa jedáva“ a „ako ju správne variť“.

Zvážte ľubovoľnú funkciu, ako je táto:

Všimnite si, že argument na pravej a ľavej strane rovnice funkcie je rovnaké číslo alebo výraz.

Namiesto premennej môžeme dať napríklad tento výraz: . A potom dostaneme funkciu

Nazvime výraz stredný argument a funkciu - vonkajšiu funkciu. Nejde o striktné matematické pojmy, ale pomáhajú objasniť význam pojmu komplexná funkcia.

Presná definícia pojmu komplexná funkcia je nasledovná:

Nech je funkcia definovaná na množine a je množinou hodnôt tejto funkcie. Nech je množina (alebo jej podmnožina) doménou funkcie . Priraďme každému z čísel . Funkcia sa teda nastaví na súprave. Nazýva sa to zloženie funkcie alebo komplexná funkcia.

V tejto definícii, ak použijeme našu terminológiu, - vonkajšia funkcia, - prostredný argument.

Derivácia komplexnej funkcie sa nachádza podľa nasledujúceho pravidla:

Aby bolo jasnejšie, rád napíšem toto pravidlo vo forme takejto schémy:

V tomto výraze s označuje medziľahlú funkciu.

Takže. Ak chcete nájsť deriváciu komplexnej funkcie, potrebujete

1. Určte, ktorá funkcia je vonkajšia a nájdite zodpovedajúcu deriváciu v tabuľke derivácií.

2. Definujte medziargument.

Pri tomto postupe spôsobuje najväčšie ťažkosti nájdenie vonkajšej funkcie. Na tento účel sa používa jednoduchý algoritmus:

A. Napíšte rovnicu funkcie.

b. Predstavte si, že potrebujete vypočítať hodnotu funkcie pre nejakú hodnotu x. Za týmto účelom dosadíte túto hodnotu x do rovnice funkcie a vykonáte aritmetiku. Posledná akcia, ktorú vykonáte, je vonkajšia funkcia.

Napríklad vo funkcii

Poslednou akciou je umocnenie.

Poďme nájsť deriváciu tejto funkcie. Aby sme to dosiahli, napíšeme medziargument

Je absolútne nemožné riešiť fyzikálne problémy alebo príklady v matematike bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších konceptov matematickej analýzy. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je derivát, aký je jeho fyzikálny a geometrický význam ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , uvedené v nejakom intervale (a,b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel jeho hodnôt x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? Ale ktorý:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

fyzický význam derivát: časová derivácia dráhy sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

Skutočne, už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x=f(t) a čas t . priemerná rýchlosť na určitú dobu:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo prvé: odstráňte konštantu

Konštantu možno vyňať zo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv zvážime deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: Derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie kvocientu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. vzadu krátkodobý pomôžeme vám vyriešiť najťažší test a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste sa výpočtom derivátov nikdy predtým nezaoberali.

Keďže ste sem prišli, pravdepodobne ste už tento vzorec stihli vidieť v učebnici

a urobte tvár takto:

Priateľ, neboj sa! V skutočnosti je všetko jednoduché zahanbiť. Určite všetko pochopíte. Iba jedna žiadosť - prečítajte si článok pomaly snažte sa pochopiť každý krok. Napísal som čo najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie, ale stále sa musíte ponoriť do myšlienky. A nezabudnite vyriešiť úlohy z článku.

Čo je to komplexná funkcia?

Predstavte si, že sa sťahujete do iného bytu a preto balíte veci do veľkých krabíc. Nech je potrebné zbierať nejaké drobnosti, napríklad školské písacie potreby. Ak ich len hodíte do obrovskej krabice, okrem iného sa stratia. Aby ste tomu predišli, najskôr ich vložíte napríklad do vrecka, ktoré potom vložíte do veľkej škatule, ktorú následne zalepíte. Tento „najťažší“ proces je znázornený na obrázku nižšie:

Zdalo by sa, kde je matematika? A okrem toho sa komplexná funkcia tvorí PRESNE ROVNAKÝM spôsobom! Len my „balíme“ nie zošity a perá, ale \ (x \), pričom slúžia rôzne „balíky“ a „škatule“.

Vezmime si napríklad x a „zabalíme“ ho do funkcie:

Výsledkom je, samozrejme, \(\cos⁡x\). Toto je naša „taška vecí“. A teraz to dáme do „škatule“ – balíme napríklad do kubickej funkcie.

Čo sa nakoniec stane? Áno, je to tak, bude tam "balík s vecami v krabici", teda "kosínus x kocka."

Výsledná konštrukcia má komplexnú funkciu. V tom sa líši od jednoduchého NIEKOĽKO „dopadov“ (balíčkov) sa aplikuje na jeden X v rade a ukázalo sa, ako to bolo, „funkcia z funkcie“ - „balík v balíku“.

V školskom kurze existuje len veľmi málo typov tých istých „balíčkov“, iba štyri:

Poďme teraz „zabaliť“ x najprv dovnútra exponenciálna funkcia so základom 7 a potom do goniometrickej funkcie. Dostaneme:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

A teraz sa „zbalíme“ x dvakrát goniometrické funkcie, najprv v , a potom v :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Jednoduché, však?

Teraz napíšte funkcie sami, kde x:
- najprv sa „zabalí“ do kosínusu a potom do exponenciálnej funkcie so základom \(3\);
- najprv k piatej mocnine a potom k dotyčnici;
- najprv k základnému logaritmu \(4\) , potom na mocninu \(-2\).

Pozrite si odpovede na túto otázku na konci článku.

Môžeme sa však „zbaliť“ x nie dva, ale trikrát? Žiaden problém! A štyri, päť a dvadsaťpäťkrát. Tu je napríklad funkcia, v ktorej je x "zbalené" \(4\)-krát:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takéto vzorce sa v školskej praxi nenájde (študenti majú viac šťastia - môžu byť náročnejší☺).

"Rozbalenie" komplexnej funkcie

Pozrite sa znova na predchádzajúcu funkciu. Dokážete zistiť postupnosť „balenia“? Do čoho sa X napchalo ako prvé, do čoho potom a tak ďalej až do úplného konca. To znamená, ktorá funkcia je vnorená do ktorej? Vezmite si kus papiera a napíšte, čo si myslíte. Môžete to urobiť reťazou šípok, ako sme písali vyššie, alebo akýmkoľvek iným spôsobom.

Teraz je správna odpoveď: najprv sa x „zabalilo“ do \(4\)-tej mocniny, potom sa výsledok zabalil do sínusu, ten sa zasa umiestnil do logaritmickej základne \(2\) a v koniec sa celá konštrukcia šupla do presilových pätiek.

To znamená, že je potrebné rozvinúť postupnosť V OPAČNOM PORADÍ. A tu je návod, ako to urobiť jednoduchšie: stačí sa pozrieť na X - musíte z neho tancovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Napríklad tu je funkcia: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pozeráme sa na X – čo sa mu stane ako prvé? Prevzaté od neho. A potom? Zoberie sa tangens výsledku. A postupnosť bude rovnaká:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ďalší príklad: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analyzujeme - najprv bolo x kubické a potom bol z výsledku prevzatý kosínus. Takže postupnosť bude: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Venujte pozornosť, funkcia sa zdá byť podobná úplne prvej (kde s obrázkami). Ale toto je úplne iná funkcia: tu v kocke x (teda \(\cos⁡((x x x)))\) a tam v kocke kosínus \(x\) (teda \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tento rozdiel vyplýva z rôznych „baliacich“ sekvencií.

Posledný príklad (s dôležitá informácia v ňom): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Je jasné, že tu sme najskôr vykonali aritmetické operácie s x, potom sa z výsledku zobral sínus: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). A to dôležitý bod: napriek tomu, že aritmetické operácie nie sú samy osebe funkciami, tu fungujú aj ako spôsob „zbalenia“. Poďme sa ponoriť trochu hlbšie do tejto jemnosti.

Ako som povedal vyššie, v jednoduchých funkciách je x "zabalené" raz a v zložitých funkciách - dva alebo viac. Navyše je to aj akákoľvek kombinácia jednoduchých funkcií (to znamená ich súčet, rozdiel, násobenie alebo delenie). jednoduchá funkcia. Napríklad \(x^7\) je jednoduchá funkcia, rovnako ako \(ctg x\). Všetky ich kombinácie sú teda jednoduché funkcie:

\(x^7+ ctg x\) - jednoduché,
\(x^7 ctg x\) je jednoduché,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) je jednoduché a tak ďalej.

Ak sa však na takúto kombináciu použije ešte jedna funkcia, bude to už komplexná funkcia, pretože budú existovať dva „balíky“. Pozri diagram:

Dobre, poďme na to. Napíšte postupnosť „baliacich“ funkcií:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpovede sú opäť na konci článku.

Vnútorné a vonkajšie funkcie

Prečo musíme rozumieť vnoreniu funkcií? Čo nám to dáva? Ide o to, že bez takejto analýzy nebudeme schopní spoľahlivo nájsť deriváty funkcií, o ktorých sme hovorili vyššie.

A aby sme sa pohli ďalej, budeme potrebovať ešte dva pojmy: interné a externé funkcie. Je to veľmi jednoduchá vec, navyše sme ich už analyzovali vyššie: ak si spomenieme na našu analógiu na úplnom začiatku, potom vnútorná funkcia je „balík“ a vonkajšia je „škatuľa“. Tie. to, v čom je X „zabalené“ ako prvé, je vnútorná funkcia a to, do čoho je „zabalené“ interné, je už externé. Je pochopiteľné, prečo - je to vonku, to znamená vonkajšie.

Tu v tomto príklade: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcia \(\log_2⁡x\) je interná a
- vonkajší.

A v tomto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interné a
- vonkajší.

Vykonajte poslednú prax analýzy komplexných funkcií a nakoniec prejdime k bodu, pre ktorý sa všetko začalo - nájdeme deriváty komplexných funkcií:

Doplňte medzery v tabuľke:

Derivácia komplexnej funkcie

Bravo, ešte sme sa dostali k "šéfovi" tejto témy - vlastne k derivácii komplexnej funkcie a konkrétne k tej strašnej formulke z úvodu článku.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tento vzorec znie takto:

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu a deriváciu vnútornej funkcie.

A okamžite sa pozrite na schému analýzy podľa slov, aby ste pochopili, s čím súvisí:

Dúfam, že výrazy „derivát“ a „produkt“ nespôsobujú ťažkosti. "Komplexná funkcia" - už sme demontovali. Háčik je v "derivácii vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu." Čo to je?

Odpoveď: toto je obvyklá derivácia vonkajšej funkcie, pri ktorej sa mení iba vonkajšia funkcia, zatiaľ čo vnútorná zostáva rovnaká. Stále nejasné? Dobre, zoberme si príklad.

Povedzme, že máme funkciu \(y=\sin⁡(x^3)\). Je jasné, že vnútorná funkcia je tu \(x^3\) a vonkajšia
. Nájdime teraz deriváciu vonkajšieho vzhľadom na konštantu vnútorné.