Maxwellove rovnice sú najviac všeobecné rovnice pre elektrické a magnetické polia v pokojových médiách. Z Maxwellových rovníc vyplýva, že striedavé magnetické pole je vždy spojené s ním generovaným elektrickým poľom a striedavé elektrické pole je vždy spojené s ním generovaným magnetickým poľom, t.j. Elektrické a magnetické polia sú navzájom neoddeliteľne spojené – tvoria jediné elektromagnetické pole.

Maxwellova prvá rovnica určuje zdroje elektrického poľa. Elektrické náboje vytvárajú okolo seba elektrické polia. Fyzikálny význam tejto rovnice je, že elektrické pole v nejakej oblasti priestoru je spojené s elektrickým nábojom vo vnútri tohto povrchu.

Východiskovým bodom pre túto rovnicu je Gaussova rovnica, ktorá hovorí, že prúdenie vektora cez uzavretý povrch S rovná sa poplatku q uzavretý v danom povrchu:

Kde ρ - objemová hustota náboja.

Aby sme získali diferenciálnu formu, používame Gaussovu-Ostrogradského vetu, ktorá stanovuje spojenie medzi objemovým a povrchovým integrálom:

Divergencia (divergencia) vektorového poľa je veľkosť výkonu zdroja poľa.

Divergencia je skalárna veličina:

Maxwellova druhá rovnica stanovuje pre akékoľvek magnetické polia neprítomnosť voľných magnetických nábojov a skutočnosť, že magnetické siločiary sú vždy uzavreté. IN integrálna forma táto skutočnosť je napísaná ako rovnica:

Tok vektora magnetickej indukcie cez uzavretý povrch je nulový, pretože magnetické náboje rovnakého znamienka sa v prírode nenašli.

Použitie Gaussovej-Ostrogradského vety:

Tretia Maxwellova rovnica je zovšeobecnením Faradayovho zákona indukcie pre dielektrické prostredie vo voľnom priestore

Kde F– tok magnetickej indukcie, ktorý preniká do vodivého obvodu a vytvára v ňom EMF.

EMF sa vytvára nielen vo vodivom obvode, ale aj v niektorom dielektrickom obvode vo forme elektrického posuvného prúdu.

Fyzikálny význam druhej Maxwellovej rovnice je, že elektrické pole v určitej oblasti priestoru je spojené so zmenou magnetické polečasom v tejto oblasti. Tie. striedavé magnetické pole vytvára vírivé elektrické pole.

Použime Stokesovu rovnicu, ktorá transformuje obrysový integrál na plošný integrál:

Táto rovnosť platí, ak sú integrandy rovnaké:

Maxwellova štvrtá rovnica je zovšeobecnením Amperovho a Biot-Savarrovho zákona pre posuvné prúdy: cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa pozdĺž uzavretého obvodu sa rovná celkovému prúdu prechádzajúcemu týmto obvodom.

Fyzikálny význam prvej Maxwellovej rovnice je, že magnetické pole v určitej oblasti priestoru je spojené nielen s vodivými prúdmi tečúcimi v tejto oblasti, ale aj so zmenou elektrického poľa v priebehu času v tejto oblasti (posunovacie prúdy).

Vektorová cirkulácia pozdĺž obrysu L rovná súčtu kondukčných a posuvných prúdov.

Získame diferenciálny tvar Maxwellovej rovnice. Na tento účel používame Stokesovu rovnicu, ktorá transformuje obrysový integrál na plošný integrál:

Táto rovnosť platí, ak sú integrandy rovnaké:

Veličiny zahrnuté v Maxwellových rovniciach nie sú nezávislé a existuje medzi nimi nasledujúci vzťah (izotropné neferoelektrické a neferomagnetické médiá):

kde a sú elektrické a magnetické konštanty, resp.

ε a μ – dielektrická a magnetická permeabilita, resp.

– špecifická vodivosť látky.

Rovnica rovinnej elektromagnetickej vlny (EMW). Priečny charakter elektromagnetických vĺn. Vzťahy amplitúdy a fázy. Rýchlosť šírenia elektromagnetických vĺn v médiách. Energia elektromagnetických vĺn. Poyntingov vektor.

Proces šírenia elektromagnetických kmitov v priestore je tzv elektromagnetická vlna. Na elektromagnetickej vlne oscilujú vektory napätia vo vzájomne kolmých rovinách v rovnakej fáze - súčasne sa otáčajú k nule a súčasne dosahujú maximálne hodnoty.

Existujú rovinné, sférické, valcové a iné vlny. Najjednoduchšie z nich sú rovinné vlny. Plochý nazývaná vlna, ktorej povrchy majú rovnaké fázy - rovnobežné roviny. Ak sa povrchy rovnakých amplitúd zhodujú s povrchmi rovnakých fáz, potom sa takáto vlna nazýva homogénne.

V homogénnej vlne sa vektory menia v priestore len pozdĺž jedného smeru, kolmo na fázovú frontu tejto vlny a zhodnej so smerom jej šírenia.

EMV je priečne vlny, t.j. vektory sú na seba kolmé a ležia v rovine kolmej na smer šírenia vlny.

Študujeme rovinnú elektromagnetickú vlnu šíriacu sa v homogénnom neutrálnom nevodivom prostredí s konštantnou permeabilitou.

Maxwellovo zavedenie konceptu posuvného prúdu viedlo k dokončeniu ním vytvorenej makroskopickej teórie elektromagnetického poľa, ktorá umožňuje z jednotného hľadiska vysvetliť nielen elektrické a magnetické javy, ale aj predpovedať nové, tzv. ktorého existencia bola následne potvrdená.

Maxwellova teória je založená na 4 rovniciach:

1. Elektrické pole môže byť potenciálne alebo vírové, takže sila výsledného poľa sa rovná:

Táto rovnica ukazuje že magnetické polia môžu byť excitované buď pohyblivými nábojmi (elektrickými prúdmi), alebo striedavými elektrickými poľami.

3. Gaussova veta pre pole:

Dostaneme

Kompletný systém Maxwellových rovníc v integrálnej forme:

	1),
	2),

Veličiny zahrnuté v Maxwellových rovniciach nie sú nezávislé a existuje medzi nimi súvislosť.

Pre izotropné, neferoelektrické a neferomagnetické médiá píšeme vzorce spojenia:

	b),
	V),

kde je elektrická konštanta, je magnetická konštanta,

Dielektrická konštanta média, m - magnetická permeabilita média,

r - špecifické elektrický odpor, - merná elektrická vodivosť.

Z Maxwellových rovníc to vyplýva Čo:

Zdrojom elektrického poľa môžu byť buď elektrické náboje, alebo časovo premenné magnetické polia, ktoré môžu byť vybudené buď pohyblivými elektrickými nábojmi (prúdmi) alebo striedavými elektrickými poľami.

Maxwellove rovnice nie sú symetrické vzhľadom na elektrické a magnetické polia. Je to spôsobené tým, že v prírode neexistujú magnetické náboje.

Ak a (stacionárne polia), potom majú Maxwellove rovnice nasledujúci tvar:

Zdrojom stacionárneho elektrického poľa sú len elektrické náboje, zdrojom stacionárneho magnetického poľa sú len vodivé prúdy .

Elektrické a magnetické polia sú v tomto prípade navzájom nezávislé, čo umožňuje študovať konštantné elektrické a magnetické polia oddelene.

Diferenciálna forma zápisu Maxwellových rovníc:

	3) ,

Integrálna forma zápisu Maxwellových rovníc je všeobecnejšia, ak existujú plochy diskontinuity. Diferenciálna forma zápisu Maxwellovej rovnice predpokladá, že všetky veličiny v priestore a čase sa plynule menia.

Maxwellove rovnice sú najvšeobecnejšími rovnicami pre elektrické a magnetické polia v prostredí v pokoji. V doktríne elektromagnetizmu zohrávajú rovnakú dôležitú úlohu ako Newtonove zákony v mechanike. Z Maxwellových rovníc vyplýva, že striedavé magnetické pole je vždy spojené so striedavým elektrickým poľom a striedavé elektrické pole je vždy spojené s ním generovaným magnetickým poľom, t.j. Elektrické a magnetické pole sú navzájom neoddeliteľne spojené - tvoria jediné elektromagnetické pole.

Vlastnosti Maxwellových rovníc

Maxwellove rovnice sú lineárne. Obsahujú len prvé derivácie polí E a B vzhľadom na časové a priestorové súradnice a prvé stupne hustoty elektrických nábojov a prúdov j. Vlastnosť linearity Maxwellových rovníc je spojená s princípom superpozície, ak akékoľvek dve polia vyhovujú Maxwellovým rovniciam, potom to platí aj pre súčet týchto polí.

Maxwellove rovnice obsahujú rovnice kontinuity vyjadrujúce zákon zachovania nabíjačka. Na získanie rovnice kontinuity je potrebné vziať divergenciu z oboch strán prvej z Maxwellových rovníc v diferenciálnom tvare:

Maxwellove rovnice sú splnené vo všetkých inerciálnych vzťažných sústavách. Sú relativisticky invariantné. Je to dôsledok princípu relativity, podľa ktorého sú všetky inerciálne vzťažné sústavy navzájom fyzikálne ekvivalentné. Tvar Maxwellových rovníc sa pri prechode z jednej inerciálnej vzťažnej sústavy do druhej nemení, ale veličiny v nich obsiahnuté sa transformujú podľa určité pravidlá. Tie. Maxwellove rovnice sú správne relativistické rovnice, na rozdiel napríklad od Newtonových rovníc mechaniky.

Maxwellove rovnice sú asymetrické vzhľadom na elektrické a magnetické polia. Je to spôsobené tým, že v prírode existujú elektrické náboje, ale magnetické náboje nie.

Z Maxwellových rovníc vyplýva dôležitý záver o existencii zásadne nového javu: elektromagnetické pole je schopné existovať samostatne – bez elektrických nábojov a prúdov. Navyše jej zmena má nevyhnutne vlnový charakter. Polia tohto druhu sa nazývajú elektromagnetické vlny. Vo vákuu sa vždy šíria rýchlosťou rovnakú rýchlosť Sveta. Maxwellova teória predpovedala existenciu elektromagnetických vĺn a umožnila zistiť všetky ich základné vlastnosti.

Maxwellov systém rovníc je zovšeobecnením základných zákonov o elektrických a elektromagnetických javoch. Ona opisuje všetko elektromagnetické javy. Tento systém rovníc, ktorý je základom teórie elektromagnetického poľa, umožňuje riešiť problémy spojené s hľadaním elektrických a magnetických polí vytvorených daným rozložením elektrických nábojov a prúdov. boli východiskovým bodom Einsteinovej všeobecnej teórie relativity. Maxwellova teória odhaľuje elektromagnetickú povahu svetla. Rovnice sformuloval J. Maxwell v šesťdesiatych rokoch 19. storočia na základe zovšeobecnenia empirických zákonitostí a rozvoja predstáv vedcov, ktorí pred ním skúmali elektromagnetické javy (Coulombove, Biotove-Savartove, Amperove zákony a v r. Faradayov výskum). Maxwell sám napísal 20 rovníc s 20 neznámymi v diferenciálnom tvare, ktoré boli neskôr transformované. Moderná forma Maxwella dali nemecký fyzik G. Hertz a anglický fyzik O. Heaviside. Napíšme rovnice pomocou Gaussovej sústavy jednotiek.

Maxwellov systém rovníc

Maxwellov systém rovníc obsahuje štyri rovnice.

Prvá rovnica:

Toto je Faradayov zákon (zákon elektromagnetickej indukcie).

kde je sila elektrického poľa, je vektor magnetickej indukcie, c je rýchlosť svetla vo vákuu.

Táto rovnica hovorí, že rotor intenzity elektrického poľa sa rovná toku (t.j. rýchlosti zmeny v čase) vektora magnetickej indukcie cez tento obvod.

Rovnica (1.1) je prvá Maxwellova rovnica v diferenciálnom tvare.

Rovnaká rovnica môže byť napísaná v integrálnom tvare, potom bude mať nasledujúci tvar:

kde je projekcia na normálu k ploche dS vektora magnetickej indukcie,

- magnetický tok.

Cirkulácia vektora intenzity elektrického poľa pozdĺž uzavretej slučky L (indukovaná emf) je určená rýchlosťou zmeny toku vektora magnetickej indukcie cez povrch obmedzený touto slučkou. Znamienko mínus podľa Lenzovho pravidla udáva smer indukčného prúdu.

Podľa Maxwella platí zákon elektromagnetickej indukcie (a presne taký je) pre akýkoľvek uzavretý okruh ľubovoľne zvolený v striedavom magnetickom poli.

Význam tejto rovnice: Striedavé magnetické pole v ktoromkoľvek bode priestoru vytvára vírivé elektrické pole.

Maxwellova druhá rovnica:

kde je vektor magnetickej intenzity, je hustota elektrického prúdu a je vektor elektrického posunutia.

Táto Maxwellova rovnica je zovšeobecnením empirického Biot-Savartovho zákona, že magnetické polia sú excitované elektrickými prúdmi. Význam druhej rovnice je, že zdrojom vírového magnetického poľa je aj striedavé elektrické pole, ktorého magnetický účinok je charakterizovaný posuvným prúdom. (-hustota predpätia prúdu).

V integrálnej forme je druhá Maxwellova rovnica (teorém cirkulácie magnetického poľa) prezentovaná takto:

Cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa pozdĺž ľubovoľného obrysu sa rovná algebraický súčet vodivé prúdy a posuvné prúdy spojené s obvodom.

Keď Maxwell zaviedol rovnice (pred viac ako sto rokmi!), povaha elektromagnetického poľa nebola jasná. V súčasnosti je povaha odboru objasnená a ukázalo sa, že „aktuálny“ ho možno nazvať len formálne. Pre množstvo dizajnových úvah je vhodné ponechať tento názov bez toho, aby sme mu dali priamy fyzikálny význam, čo sa robí v elektrotechnike. Z rovnakého dôvodu sa vektor D zahrnutý vo výraze pre posuvný prúd nazýva vektor elektrického posuvu.

Okrem prvých dvoch rovníc Maxwellov systém rovníc obsahuje Gaussovu-Ostrogradského vetu pre elektrické a magnetické polia:

kde je elektrický náboj.

Čo je v integrálnom tvare nasledovné:

kde - elektrický posuvný tok je magnetický indukčný tok cez uzavretý povrch obklopujúci voľný náboj q.

Význam rovnice 3.2. Elektrický náboj je zdrojom elektrickej indukcie.

Rovnica 4.2 vyjadruje skutočnosť neprítomnosti voľných magnetických nábojov.

Kompletný systém Maxwellových rovníc v diferenciálnu formu(charakterizuje pole v každom bode v priestore):

Kompletný systém Maxwellových rovníc v integrálnom tvare

Kompletný systém Maxwellových rovníc v integrálnej forme (integrálna forma zápisu rovníc uľahčuje ich fyzikálnu interpretáciu, pretože ich vizuálne približuje známym empirickým zákonom):

Maxwellov systém rovníc je doplnený o „materiálové rovnice“ spájajúce vektory s veličinami popisujúcimi elektrické a magnetické vlastnostiživotné prostredie.

kde je relatívna dielektrická konštanta, je relatívna magnetická permeabilita, je elektrická vodivosť, je elektrická konštanta, je magnetická konštanta. Predpokladá sa, že médium je izotropné, neferomagnetické a neferoelektrické.

Na rozhraní medzi dvoma médiami sú splnené nasledujúce okrajové podmienky:

kde je povrchová hustota voľných nábojov, n je jednotkový normálový vektor k rozhraniu z prostredia 2 ku 1, jednotkový vektor dotyčnica k hranici je projekcia vektora hustoty povrchových vodivých prúdov na jednotkový vektor.

Tieto rovnice vyjadrujú spojitosť normálnych zložiek vektora magnetickej indukcie a skok v normálových zložkách vektora posunutia. Spojitosť tangenciálnych zložiek vektora intenzity elektrického poľa na rozhraní a skok v týchto zložkách pre intenzitu magnetického poľa.

Príklady riešenia problémov

PRÍKLAD 1

Cvičenie	Zo sústavy Maxwellových rovníc získajte rovnice kontinuity prúdu a zákon zachovania náboja.
Riešenie	Používame rovnicu: Vykonajte preň operáciu divergencie ( alebo ). Dostaneme: z Maxwellovho systému rovníc vieme, že (c) Nahradením (c) za (b) dostaneme: to znamená alebo v integrálnej forme: V súlade s tým pre uzavreté izolované oblasti získame: Toto je rovnica kontinuity prúdu, ktorá obsahuje zákon zachovania náboja - jeden zo základných princípov, ktorý je potvrdený experimentom.

PRÍKLAD 2

Cvičenie	Dokážte, že súčet vodivých prúdov a posuvného prúdu spojeného s obvodom je skutočne nepretržitý, a preto celkový prúd spojený s akýmkoľvek obvodom nezávisí od výberu povrchu natiahnutého na tomto obvode.
Dôkaz	Predpokladajme, že v ľubovoľnom magnetickom poli sú dva ľubovoľné povrchy a natiahnuté cez určitý obrys. (obr. 3)

Podrobnosti Kategória: Elektrina a magnetizmus Zverejnené 6. 5. 2015 20:46 Zobrazenia: 12184

Za určitých podmienok sa môžu navzájom generovať striedavé elektrické a magnetické polia. Tvoria elektromagnetické pole, ktoré vôbec nie je ich totalitou. Toto je jeden celok, v ktorom tieto dve polia nemôžu existovať jedna bez druhej.

Z histórie

Experiment dánskeho vedca Hansa Christiana Oersteda uskutočnený v roku 1821 ukázal, že elektrický prúd vytvára magnetické pole. Meniace sa magnetické pole zase môže generovať elektrický prúd. Dokázal to anglický fyzik Michael Faraday, ktorý v roku 1831 objavil fenomén elektromagnetickej indukcie. Je tiež autorom pojmu „elektromagnetické pole“.

V tom čase bol vo fyzike prijatý Newtonov koncept akcie na veľké vzdialenosti. Verilo sa, že všetky telesá na seba pôsobia cez prázdnotu nekonečne vysokou rýchlosťou (takmer okamžite) a na akúkoľvek vzdialenosť. Predpokladalo sa, že elektrické náboje interagujú podobným spôsobom. Faraday veril, že prázdnota v prírode neexistuje a interakcia nastáva konečnou rýchlosťou prostredníctvom určitého materiálneho média. Toto médium pre elektrické náboje je elektromagnetického poľa. A pohybuje sa rýchlosťou rovnajúcou sa rýchlosti svetla.

Maxwellova teória

Spojením výsledkov predchádzajúcich štúdií, Anglický fyzik James Clerk Maxwell vytvorený v roku 1864 teória elektromagnetického poľa. Podľa nej meniace sa magnetické pole generuje meniace sa elektrické pole a striedavé elektrické pole generuje striedavé magnetické pole. Samozrejme, najprv jedno z polí je vytvorené zdrojom nábojov alebo prúdov. Ale v budúcnosti môžu tieto polia už existovať nezávisle od takýchto zdrojov, čo spôsobí, že sa budú navzájom objavovať. teda elektrické a magnetické polia sú súčasťou jedného elektromagnetického poľa. A každá zmena v jednom z nich spôsobuje vzhľad iného. Táto hypotéza tvorí základ Maxwellovej teórie. Elektrické pole generované magnetickým poľom je vír. Jeho siločiary sú uzavreté.

Táto teória je fenomenologická. To znamená, že je vytvorený na základe predpokladov a pozorovaní a nezohľadňuje príčinu elektrických a magnetických polí.

Vlastnosti elektromagnetického poľa

Elektromagnetické pole je kombináciou elektrického a magnetického poľa, preto ho v každom bode v jeho priestore popisujú dve hlavné veličiny: intenzita elektrického poľa E a indukcia magnetického poľa IN .

Keďže elektromagnetické pole je proces premeny elektrického poľa na magnetické pole a potom magnetického na elektrické, jeho stav sa neustále mení. Šíri sa v priestore a čase a vytvára elektromagnetické vlny. V závislosti od frekvencie a dĺžky sa tieto vlny delia na rádiové vlny, terahertzové žiarenie, infračervené žiarenie, viditeľné svetlo, ultrafialové žiarenie, röntgenové a gama žiarenie.

Vektory intenzity a indukcie elektromagnetického poľa sú navzájom kolmé a rovina, v ktorej ležia, je kolmá na smer šírenia vlny.

V teórii pôsobenia na veľké vzdialenosti bola rýchlosť šírenia elektromagnetických vĺn považovaná za nekonečne veľkú. Maxwell však dokázal, že to tak nebolo. V látke sa elektromagnetické vlny šíria konečnou rýchlosťou, ktorá závisí od dielektrickej a magnetickej permeability látky. Preto sa Maxwellova teória nazýva teóriou pôsobenia na krátku vzdialenosť.

Maxwellovu teóriu experimentálne potvrdil v roku 1888 nemecký fyzik Heinrich Rudolf Hertz. Dokázal, že elektromagnetické vlny existujú. Okrem toho zmeral rýchlosť šírenia elektromagnetických vĺn vo vákuu, ktorá sa ukázala byť rovná rýchlosti svetla.

V integrálnej forme tento zákon vyzerá takto:

Gaussov zákon pre magnetické pole

Tok magnetickej indukcie cez uzavretý povrch je nulový.

Fyzikálny význam tohto zákona je, že v prírode neexistujú magnetické náboje. Póly magnetu nemožno oddeliť. Magnetické siločiary sú uzavreté.

Faradayov zákon indukcie

Zmena magnetickej indukcie spôsobuje vznik vírivého elektrického poľa.

,

Veta o cirkulácii magnetického poľa

Táto veta popisuje zdroje magnetického poľa, ako aj samotné polia nimi vytvorené.

Elektrický prúd a zmeny elektrickej indukcie vytvárajú vírivé magnetické pole.

,

,

E– intenzita elektrického poľa;

N- intenzita magnetického poľa;

IN- magnetická indukcia. Ide o vektorovú veličinu, ktorá znázorňuje silu, ktorou magnetické pole pôsobí na náboj veľkosti q pohybujúci sa rýchlosťou v;

D– elektrická indukcia alebo elektrický posun. Predstavuje vektorovú veličinu, rovná sume vektor napätia a vektor polarizácie. Polarizácia je spôsobená premiestnením elektrických nábojov pod vplyvom vonkajšieho elektrického poľa vzhľadom na ich polohu, keď takéto pole neexistuje.

Δ - operátor Nabla. Pôsobenie tohto operátora na konkrétne pole sa nazýva rotor tohto poľa.

Δ x E = hniloba E

ρ - hustota vonkajšieho elektrického náboja;

j- prúdová hustota - hodnota znázorňujúca silu prúdu pretekajúceho jednotkovou plochou;

s- rýchlosť svetla vo vákuu.

Štúdium elektromagnetického poľa je veda tzv elektrodynamika. Uvažuje o jeho interakcii s telesami, ktoré majú elektrický náboj. Táto interakcia sa nazýva elektromagnetické. Klasická elektrodynamika popisuje iba spojité vlastnosti elektromagnetického poľa pomocou Maxwellových rovníc. Moderná kvantová elektrodynamika verí, že elektromagnetické pole má tiež diskrétne (nespojité) vlastnosti. A k takejto elektromagnetickej interakcii dochádza pomocou nedeliteľných častíc-kván, ktoré nemajú žiadnu hmotnosť a náboj. Kvantové elektromagnetické pole sa nazýva fotón .

Elektromagnetické pole okolo nás

Okolo akéhokoľvek vodiča prenášajúceho striedavý prúd sa vytvára elektromagnetické pole. Zdrojmi elektromagnetických polí sú elektrické vedenia, elektromotory, transformátory, mestská elektrická doprava, železničná doprava, elektrické a elektronické domáce spotrebiče - televízory, počítače, chladničky, žehličky, vysávače, rádiotelefóny, Mobilné telefóny, elektrické holiace strojčeky – jedným slovom všetko, čo súvisí so spotrebou či prenosom elektriny. Silnými zdrojmi elektromagnetických polí sú televízne vysielače, antény mobilných telefónnych staníc, radarové stanice, mikrovlnné rúry atď. A keďže takýchto zariadení je okolo nás pomerne veľa, elektromagnetické polia nás obklopujú všade. Tieto polia ovplyvňujú životné prostredie a človek. To neznamená, že tento vplyv je vždy negatívny. Elektrické a magnetické polia existujú okolo ľudí už dlho, ale sila ich žiarenia bola pred niekoľkými desaťročiami stokrát nižšia ako dnes.

Do určitej miery môže byť elektromagnetické žiarenie pre ľudí bezpečné. V medicíne sa teda elektromagnetické žiarenie nízkej intenzity využíva na hojenie tkanív, odstraňovanie zápalových procesov a pôsobí analgeticky. UHF prístroje uvoľňujú kŕče hladkého svalstva čriev a žalúdka, zlepšujú metabolické procesy v bunkách tela, znižujú kapilárny tonus a znižujú krvný tlak.

Ale silné elektromagnetické polia spôsobujú poruchy vo fungovaní kardiovaskulárneho, imunitného, ​​endokrinného a nervových systémov u ľudí môže spôsobiť nespavosť, bolesti hlavy a stres. Nebezpečenstvo spočíva v tom, že ich dopad je pre človeka takmer neviditeľný a k poruchám dochádza postupne.

Ako sa môžeme chrániť pred elektromagnetickým žiarením, ktoré nás obklopuje? Nie je možné to urobiť úplne, takže sa musíte pokúsiť minimalizovať jeho vplyv. V prvom rade je potrebné usporiadať domáce spotrebiče tak, aby boli umiestnené mimo miest, kde sa najčastejšie nachádzame. Neseďte napríklad príliš blízko k televízoru. Koniec koncov, čím väčšia je vzdialenosť od zdroja elektromagnetického poľa, tým je slabšie. Veľmi často nechávame zariadenie zapojené. Ale elektromagnetické pole zmizne až po odpojení zariadenia od elektrickej siete.

Na zdravie človeka vplývajú aj prirodzené elektromagnetické polia – kozmické žiarenie, magnetické pole Zeme.

Maxwellove rovnice— systém diferenciálnych rovníc popisujúcich elektromagnetické pole a jeho súvislosť s elektrickými nábojmi a prúdmi vo vákuu a v spojitom prostredí. Spolu s výrazom pre Lorentzovu silu tvoria ucelený systém klasických rovníc elektrodynamika. Rovnice formulované Jamesom Clerkom Maxwellom na základe experimentálnych výsledkov nahromadených do polovice 19. storočia zohrali kľúčovú úlohu vo vývoji koncepcií teoretickej fyziky a mali silný, často rozhodujúci vplyv nielen na všetky oblasti fyziky. priamo súvisí s elektromagnetizmu, ale aj o mnohých základných teóriách, ktoré následne vznikli a ktorých predmetom sa neobmedzoval len na elektromagnetizmus (jedna z najjasnejšie príklady Tu môže poslúžiť špeciálna teória relativity).

Obsah[odstrániť] 1. História 2. Písanie Maxwellových rovníc a sústav jednotiek 3. Diferenciálny tvar 4. Integrálny tvar 5. Lorentzova sila 6. Rozmerové konštanty v Maxwellových rovniciach 7. Maxwellove rovnice v prostredí 7.1 Viazané náboje a prúdy 7.2 Materiálové rovnice 7.3 Rovnice v izotropných a homogénnych prostrediach bez disperzie o 7.4 Okrajové podmienky 8. Zákony zachovania 8.1 Rovnica kontinuity o 8.2 Zákon zachovania energie 9. Potenciály 9.1 Skalárne a vektorové potenciály 9.2 Hertzove vektory 9.3 Debyeove potenciály 9.4 Riemannov-10Silbertov vektor formulácia o 10.1 Štvorrozmerný vektor s 10.2 Tenzor elektromagnetického poľa o 10.3 Lagrangián 10.4 Zápis pomocou diferenciálnych foriem 10.5 Všeobecný kovariantný zápis v komponentoch 11. Spektrálna reprezentácia 12. Rovnice bez voľných nábojov a prúdov 12.1 Vlnová rovnica 12.2 Helmholtzova rovnica 1 Presné riešenia pohyblivého bodového náboja 13.2 Rovinné elektromagnetické vlny 14 Súvislosti s inými teóriami 15. Axiomatický prístup 16. Jedinečnosť riešení Maxwellových rovníc 17. Numerické riešenie Maxwellových rovníc 18. Zdroje 19. Poznámky 20. Pozri tiež 21. Literatúra 21.1 Historické publikácie 21.1 História vývoja 21.3 Všeobecné kurzy fyzika 21.4 Kurzy teoretickej fyziky 21.5 Riešenie Maxwellových rovníc 22. Odkazy

Príbeh

Rovnice formulované Jamesom Clerkom Maxwellom vzišli z množstva dôležitých experimentálnych objavov, ktoré boli urobené na začiatku 19. storočia. V roku 1820 Hans Christian Oersted zistili, že galvanický prúd prechádzajúci drôtom spôsobuje odchýlku magnetickej strelky kompasu. Tento objav pritiahol širokú pozornosť vedcov tej doby. V tom istom roku 1820 Biot a Savard experimentálne našli výraz pre magnetickú indukciu generovanú prúdom ( Biot-Savartov zákon) a Andre Marie Ampere zistil, že k interakcii na diaľku dochádza aj medzi dvoma vodičmi, cez ktoré prechádza prúd. Ampere zaviedol pojem „elektrodynamický“ a predložil hypotézu, že prirodzený magnetizmus je spojený s existenciou kruhových prúdov v magnete.

Vplyv prúdu na magnet, ktorý objavil Oersted, priviedol Michaela Faradaya k myšlienke, že musí existovať inverzný vplyv magnetu na prúdy. Po dlhých experimentoch v roku 1831 Faraday zistil, že magnet pohybujúci sa v blízkosti vodiča generuje vo vodiči elektrický prúd. Tento jav bol tzv elektromagnetická indukcia. Faraday predstavil pojem „pole síl“ - určité médium umiestnené medzi nábojmi a prúdmi. Jeho úvahy boli kvalitatívneho charakteru, ale mali obrovský vplyv na Maxwellov výskum.

Po Faradayových objavoch sa ukázalo, že staré modely elektromagnetizmu (Ampere, Poisson atď.) sú neúplné. Čoskoro sa objavila Weberova teória, založená na pôsobení na veľké vzdialenosti. V tomto momente sa však celá fyzika, okrem teórie gravitácie, zaoberala iba silami krátkeho dosahu (optika, termodynamika, mechanika kontinua atď.). Gauss, Riemann a množstvo ďalších vedcov špekulovalo, že svetlo má elektromagnetickú povahu, takže teória elektromagnetických javov by mala byť tiež krátkeho dosahu. Tento princíp sa stal základnou črtou Maxwellovej teórie.

Vo svojom slávnom Pojednaní o elektrine a magnetizme (1873) Maxwell napísal:

„Keď som začal študovať Faradayovu prácu, zistil som, že jeho metóda chápania javov bola tiež matematická, aj keď nebola prezentovaná vo forme bežného matematické symboly. Zistil som tiež, že túto metódu možno vyjadriť v bežnej matematickej forme a tak ju porovnať s metódami profesionálnych matematikov.“

Nahradením Faradayovho pojmu „silové pole“ pojmom „sila poľa“ Maxwell z neho urobil kľúčový predmet svojej teórie:

Ak prijmeme toto médium ako hypotézu, myslím si, že by malo zaujať popredné miesto v našom skúmaní a že by sme sa mali snažiť vytvoriť racionálnu predstavu o všetkých detailoch jeho fungovania, čo bolo mojím stálym objektom v tomto pojednanie.

Takéto elektrodynamické médium bolo úplne novým pojmom pre newtonovskú fyziku. Ten študoval vzájomné pôsobenie hmotných telies. Maxwell napísal rovnice, ktorým sa médium musí podriadiť, určujúce interakciu nábojov a prúdov a existujúce aj v ich neprítomnosti.

Elektrický prúd vytvára magnetickú indukciu ( Amperov zákon)

Analýzou známych experimentov Maxwell získal systém rovníc pre elektrické a magnetické polia. V roku 1855 vo svojom úplne prvom článku „On Faraday's Lines of Force“ prvýkrát napísal systém elektrodynamických rovníc v diferenciálnej forme, ale bez zavedenia posuvného prúdu. Takýto systém rovníc popisoval všetky v tom čase známe experimentálne údaje, ale neumožňoval spájať náboje a prúdy a predpovedať elektromagnetické vlny. Výtlačný prúd prvýkrát predstavil Maxwell vo svojom štvordielnom diele „O fyzických líniách sily“, publikovanom v rokoch 1861–1862.

Zovšeobecňujúc Amperov zákon, Maxwell zavádza posuvný prúd, pravdepodobne preto, aby dal do súvisu prúdy a náboje pomocou rovnice kontinuity, ktorá už bola známa iným. fyzikálnych veličín. V dôsledku toho bola v tomto článku vlastne dokončená formulácia kompletného systému elektrodynamických rovníc. Článok z roku 1864 „Dynamická teória elektromagnetického poľa“ skúmal predtým formulovaný systém rovníc 20 skalárnych rovníc pre 20 skalárnych neznámych. V tomto článku Maxwell prvýkrát sformuloval koncept elektromagnetického poľa ako fyzikálnu realitu, ktorá má svoju vlastnú energiu a konečný čas šírenia, ktorý určuje retardovaný charakter elektromagnetickej interakcie.

Tok striedavého magnetického poľa vytvára elektrické pole ( Faradayov zákon)

Ukázalo sa, že nielen prúd, ale aj elektrické pole meniace sa v čase (výtlačný prúd) vytvára magnetické pole. Na druhej strane, na základe Faradayovho zákona, meniace sa magnetické pole opäť generuje elektrické pole. V dôsledku toho sa v prázdnom priestore môže šíriť elektromagnetická vlna. Z Maxwellových rovníc vyplynulo, že jeho rýchlosť sa rovnala rýchlosti svetla, takže Maxwell dospel k záveru o elektromagnetickej povahe svetla.

Niektorí fyzici sa postavili proti Maxwellovej teórii (obzvlášť veľa námietok vyvolal koncept posuvného prúdu). Helmholtz navrhol svoju teóriu, kompromis s ohľadom na modely Weber a Maxwell a poveril svojho študenta Heinricha Hertza, aby vykonal jeho experimentálne testovanie. Hertzove experimenty však jednoznačne potvrdili, že Maxwell mal pravdu.

Maxwell nepoužil vektorovú notáciu a svoje rovnice napísal v dosť ťažkopádnej komponentovej forme. Vo svojom pojednaní čiastočne použil aj formuláciu kvaternion. Moderná forma Maxwellových rovníc sa objavila okolo roku 1884 po práci Heavisidea, Hertza a Gibbsa. Maxwellov systém nielen prepísali do vektorovej formy, ale ho aj symetrizovali, preformulovali na pole, zbavili sa elektrických a magnetických potenciálov, ktoré zohrávali významnú úlohu v Maxwellovej teórii, pretože verili, že tieto funkcie sú len zbytočné. pomocné matematické abstrakcie. Je zaujímavé, že moderná fyzika podporuje Maxwella, ale nezdieľa negatívny postoj jeho prvých nasledovníkov k potenciálom. Elektromagnetický potenciál hrá dôležitú úlohu v kvantovej fyzike a v niektorých experimentoch sa objavuje ako fyzikálne merateľná veličina, napríklad pri Aharonov-Bohmovom efekte .

Systém rovníc formulovaný Hertzom a Heavisideom sa nejaký čas nazýval Hertz-Heavisideove rovnice. Einstein vo svojom klasickom článku „O elektrodynamike pohybujúcich sa telies“ ich nazval Maxwell-Hertzove rovnice. Niekedy sa v literatúre nachádza aj názov Maxwell-Heavisideova rovnica.

Maxwellove rovnice zohrali dôležitú úlohu pri vzniku špeciálnych teória relativity(STO). Joseph Larmore (1900) a nezávisle Henrik Lorenz (1904) našli transformácie súradníc, času a elektromagnetických polí, ktoré ponechávajú Maxwellove rovnice invariantné pri prechode z jednej inerciálnej referenčnej sústavy do druhej. Tieto transformácie sa líšili od galilejských transformácií klasickej mechaniky a podľa Henriho Poincarého sa začali nazývať Lorentzove transformácie. Stali sa matematickým základom špeciálna teória relativity.

Šírenie elektromagnetických vĺn rýchlosťou svetla sa spočiatku interpretovalo ako poruchy nejakého média, takzvaného éteru. Uskutočnilo sa množstvo pokusov (pozri historický prehľad) na zistenie pohybu Zeme vo vzťahu k éteru, ale vždy viedli k negatívnym výsledkom. Preto Henri Poincaré predložiť hypotézu o zásadnej nemožnosti detekovať takýto pohyb (princíp relativity). Vlastní aj postulát o nezávislosti rýchlosti svetla od rýchlosti jeho zdroja a záver (spolu s Lorentzom), založený na takto formulovanom princípe relativity, presného typu Lorentzových transformácií (súčasne, ukázali sa aj skupinové vlastnosti týchto transformácií).

Tieto dve hypotézy (postuláty) tvorili základ článku Albert Einstein(1905). S ich pomocou odvodil aj Lorentzove premeny a celkovo ich ustálil fyzický význam, pričom zdôraznil najmä možnosť ich využitia na prechod z ľubovoľného inerciálneho referenčného systému do akéhokoľvek iného inerciálneho. Táto práca vlastne znamenala konštrukciu špeciálnej teórie relativity. V STR Lorentzove transformácie odrážajú všeobecné vlastnosti priestoru a času a éterový model sa ukazuje ako zbytočný. Elektromagnetické polia sú nezávislé objekty, ktoré existujú na rovnakej úrovni ako materiálne častice.

Klasická elektrodynamika, založená na Maxwellových rovniciach, je základom mnohých aplikácií v elektrotechnike a rádiotechnike, mikrovlnnej rúre a optike. Doteraz nebol objavený žiadny efekt, ktorý by vyžadoval úpravu rovníc. Ukazuje sa, že sú použiteľné aj v kvantovej mechanike, keď sa uvažuje o pohybe napríklad nabitých častíc vo vonkajších elektromagnetických poliach. Preto sú Maxwellove rovnice základom pre mikroskopický popis elektromagnetických vlastností hmoty.

Maxwellove rovnice sú tiež žiadané v astrofyzike a kozmológii, pretože mnohé planéty a hviezdy majú magnetické pole. Magnetické pole určuje najmä vlastnosti objektov, akými sú pulzary a kvazary.

Na súčasnej úrovni chápania sú všetky základné častice kvantovými excitáciami („kvantami“) rôznych polí. Napríklad fotón je kvantom elektromagnetického poľa a elektrón je kvantom spinorového poľa. Preto je prístup poľa, navrhnutý Faradayom a výrazne vyvinutý Maxwellom, základom modernej fyziky základných častíc, vrátane jej štandardného modelu.

Historicky, o niečo skôr, zohral dôležitú úlohu pri vzniku kvantovej mechaniky vo formulácii Schrödinger a vo všeobecnosti otvorenie kvantové rovnice, popisujúci pohyb častíc, vrátane relativistických (Klein-Gordonova rovnica, Diracova rovnica), hoci spočiatku sa tu analógia s Maxwellovými rovnicami vnímala skôr len ako všeobecná predstava, až neskôr sa ukázalo, že ju možno chápať aj ako konkrétnejšiu. a podrobné (ako je popísané vyššie).

Tiež prístup poľa, ktorý sa vo všeobecnosti datuje od Faradaya a Maxwella, sa stal ústredným bodom teórie gravitácie (vrátane všeobecnej relativity).

Písanie Maxwellových rovníc a sústavy jednotiek

Písanie väčšiny rovníc vo fyzike nezávisí od výberu sústavy jednotiek. V elektrodynamike to však neplatí. V závislosti od výberu sústavy jednotiek vznikajú v Maxwellových rovniciach rôzne koeficienty (konštanty). Medzinárodný systém jednotiek (SI) je štandardom v technológii a výučbe, ale diskusia medzi fyzikmi o jeho výhodách a nevýhodách v porovnaní s konkurenčným symetrickým Gaussovým systémom jednotiek (SGS) pokračuje. Výhodou systému SGS v elektrodynamike je, že všetky polia v ňom majú rovnaký rozmer a rovnice sú podľa mnohých vedcov napísané jednoduchšie a prirodzenejšie.

Preto sa GHS naďalej uplatňuje v vedecké publikácie v elektrodynamike a vo vyučovaní teoretickej fyziky, napríklad v kurze teoretickej fyziky Landau A Lifshitz. Avšak pre praktické aplikácie Jednotky merania zavedené do GHS, z ktorých mnohé sú nepomenované a nejednoznačné, sú často nepohodlné. Systém SI je štandardizovaný a lepšie sebekonzistentný, na tomto systéme je postavená celá moderná metrológia. Okrem toho sa systém SI bežne používa v kurzoch všeobecnej fyziky. V tejto súvislosti sú všetky vzťahy, ak sú v systémoch SI a GHS napísané odlišne, uvedené nižšie v dvoch verziách.

Diferenciálna forma

Maxwellove rovnice sú vo vektorovej notácii systémom štyroch rovníc, ktorý redukuje reprezentáciu komponentov na osem (dve vektorové rovnice obsahujú tri komponenty, každá plus dve skalárne) lineárne parciálne diferenciálne rovnice 1. rádu pre 12 komponentov štyroch vektorových funkcií () :

názov	GHS	SI	Príklad verbálneho prejavu
Gaussov zákon			Elektrický náboj je zdrojom elektrickej indukcie.
Gaussov zákon pre magnetické pole			Neexistujú žiadne magnetické náboje. [~1]
Faradayov zákon indukcie			Zmena magnetickej indukcie vytvára vírivé elektrické pole. [~1]
Veta o cirkulácii magnetického poľa			Elektrický prúd a zmeny elektrickej indukcie vytvárajú vírivé magnetické pole

V nasledujúcom texte tučné písmo označuje vektorové veličiny a kurzíva označuje skalárne veličiny.

Zavedené označenia:

- hustota vonkajšieho elektrického náboja (v jednotkách SI - C/m³);

- hustota elektrického prúdu (hustota vodivého prúdu) (v jednotkách SI - A/m²); v najjednoduchšom prípade - v prípade prúdu generovaného jedným typom nosičov náboja, je vyjadrený jednoducho ako ; vo všeobecnom prípade musí byť tento výraz spriemerovaný odlišné typy nosiče;

— rýchlosť svetla vo vákuu (299 792 458 m/s);

— intenzita elektrického poľa (v jednotkách SI – V/m);

— intenzita magnetického poľa (v jednotkách SI - A/m);

- elektrická indukcia (v jednotkách SI - C/m²);

- magnetická indukcia (v jednotkách SI - T = Wb/m² = kg.s −2 .A −1);

je diferenciálny operátor, v takom prípade:

Znamená vektorový rotor,

Označuje divergenciu vektora.

Vyššie uvedené Maxwellove rovnice ešte netvoria úplný systém rovníc elektromagnetického poľa, pretože neobsahujú vlastnosti prostredia, v ktorom je elektromagnetické pole excitované. Vzťahy spájajúce veličiny , , , a zohľadňujúce jednotlivé vlastnosti média sa nazývajú materiálové rovnice.

Integrálna forma

Pri riešení Maxwellových rovníc sa rozdelenia nábojov a prúdov často považujú za dané. S prihliadnutím na okrajové podmienky a materiálové rovnice to umožňuje určiť intenzitu elektrického poľa a magnetickú indukciu, ktoré zase určujú silu pôsobiacu na testovaný náboj pohybujúci sa rýchlosťou.

Táto sila sa nazýva Lorentzova sila:

GHS	SI

Elektrická zložka sily smeruje pozdĺž elektrického poľa (if ) a magnetická zložka je kolmá na rýchlosť nabíjania a magnetickú indukciu. Prvý výraz pre silu pôsobiacu na náboj v magnetickom poli (bola známa elektrická zložka) získal v roku 1889 Heaviside, tri roky pred Hendrikom Lorentzom, ktorý odvodil výraz pre túto silu v roku 1892.

Vo viac ťažké situácie v klasickej a kvantovej fyzike v prípade, keď sa vplyvom elektromagnetických polí pohybujú voľné náboje a menia hodnoty poľa, je potrebné vyriešiť samokonzistentný systém Maxwellových rovníc a pohybových rovníc vrátane Lorentzových síl. Získanie presného analytického riešenia takéhoto kompletného systému je zvyčajne spojené s veľkými ťažkosťami.

Rozmerové konštanty v Maxwellových rovniciach

V Gaussovom systéme jednotiek CGS majú všetky polia rovnaký rozmer a v Maxwellových rovniciach existuje jedna základná konštanta, ktorá má rozmer rýchlosti, ktorý sa dnes nazýva rýchlosť svetla (išlo o rovnosť tejto konštanty rýchlosť svetla, ktorá dala Maxwellovi základ pre jeho hypotézu o elektromagnetickej povahe svetla).

V sústave jednotiek SI dať do súvisu elektrickú indukciu a intenzitu elektrického poľa v vákuum, zavádza sa elektrická konštanta ε 0 (). Magnetická konštanta je rovnaký koeficient úmernosti pre magnetické pole v vákuum(). Tituly elektrická konštanta A magnetická konštanta sú teraz štandardizované. Predtým sa pre tieto veličiny používali aj názvy dielektrická a magnetická permeabilita vákua, resp.

Rýchlosť elektromagnetického žiarenia vo vákuu (rýchlosť svetla) v SI sa objaví pri odvodení vlnovej rovnice:

V sústave jednotiek SI, as presné Rozmerové konštanty sú určené rýchlosťou svetla vo vákuu a magnetickou konštantou. Prostredníctvom nich je vyjadrená elektrická konštanta ε 0.

Akceptované hodnoty rýchlosti svetla, elektrických a magnetických konštánt sú uvedené v tabuľke:

Niekedy sa zavádza množstvo nazývané „charakteristický odpor“ alebo „impedancia“ vákua:

Ohm.

Približné hodnota pre sa získa, ak sa rýchlosť svetla považuje za m/s. V systéme GHS. Táto veličina má význam pomeru amplitúd elektrického a magnetického poľa rovinnej elektromagnetickej vlny vo vákuu.

Maxwellove rovnice v médiu

Na získanie úplného systému rovníc elektrodynamiky je potrebné do systému Maxwellových rovníc pridať materiálové rovnice týkajúce sa veličín , , , , , v ktorých sa berú do úvahy jednotlivé vlastnosti média. Metódu na získanie materiálových rovníc poskytujú molekulárne teórie polarizácie, magnetizácie a elektrickej vodivosti média s použitím idealizovaných modelov média. Aplikovaním rovníc klasickej alebo kvantovej mechaniky, ako aj metód štatistickej fyziky na ne je možné vytvoriť spojenie medzi vektormi , , na jednej strane a , na druhej strane.

Súvisiace náboje a prúdy

Vľavo: Súbor mikroskopických dipólov v prostredí tvorí jeden makroskopický dipólový moment a sú ekvivalentné dvom platniam nabitým opačným znamienkom na hranici. V tomto prípade sú všetky náboje vo vnútri média kompenzované;

Napravo: Súbor mikroskopických kruhových prúdov v médiu je ekvivalentný makroskopickému prúdu cirkulujúcemu pozdĺž hranice. V tomto prípade sú všetky prúdy vo vnútri média kompenzované.

Keď sa na dielektrický materiál aplikuje elektrické pole, každá z jeho molekúl sa zmení na mikroskopický dipól. V tomto prípade sú kladné jadrá atómov mierne posunuté v smere poľa a elektrónové obaly v opačnom smere. Navyše molekuly niektorých látok majú spočiatku dipólový moment. Dipólové molekuly majú tendenciu orientovať sa v smere poľa. Tento efekt sa nazýva polarizácia dielektrika. Toto premiestnenie viazaných nábojov molekúl v objeme je ekvivalentné objaveniu sa určitého rozloženia nábojov na povrchu, hoci všetky molekuly zapojené do procesu polarizácie zostávajú neutrálne (pozri obrázok).

Podobným spôsobom sa magnetická polarizácia (magnetizácia) vyskytuje v materiáloch, v ktorých ich atómy a molekuly majú magnetické momenty spojené so spinom a orbitálnou hybnosťou jadier a elektrónov. Uhlovú hybnosť atómov možno znázorniť ako kruhové prúdy. Na hranici materiálu je zber takýchto mikroskopických prúdov ekvivalentný makroskopickým prúdom cirkulujúcim po povrchu, napriek tomu, že k pohybu nábojov v jednotlivých magnetických dipóloch dochádza len v mikromeradle (spriahnuté prúdy).

Uvažované modely ukazujú, že aj keď vonkajšie elektromagnetické pole pôsobí na jednotlivé atómy a molekuly, jeho správanie možno v mnohých prípadoch uvažovať zjednodušeným spôsobom v makroskopickom meradle, ignorujúc detaily mikroskopického obrazu.

Vonkajšie elektrické a magnetické polia v médiu spôsobujú polarizáciu a magnetizáciu látky, ktoré sú makroskopicky opísané vektorom polarizácie a vektorom magnetizácie látky a sú spôsobené objavením sa viazaných nábojov a prúdov. V dôsledku toho sa pole v médiu ukáže ako súčet vonkajších polí a polí spôsobených viazanými nábojmi a prúdmi.

Preto vyjadrením vektorov a pomocou , , a , môžeme získať matematicky ekvivalentný systém Maxwellových rovníc:

GHS	SI

Index tu označuje bezplatné poplatky a prúdy. Maxwellove rovnice v tejto forme sú fundamentálne v tom zmysle, že nezávisia od modelu elektromagnetickej štruktúry hmoty. Rozdelenie nábojov a prúdov na voľné a viazané umožňuje „skryť“ sa v , , a potom v a teda v komplexnej mikroskopickej povahe elektromagnetického poľa v médiu.

Materiálové rovnice

Materiálové rovnice vytvárajú spojenie medzi a . V tomto prípade sa berú do úvahy jednotlivé vlastnosti prostredia. V praxi materiálové rovnice zvyčajne používajú experimentálne stanovené koeficienty (v závislosti od frekvencie elektromagnetického poľa), ktoré sú zhromaždené v rôznych referenčných knihách fyzikálnych veličín.

V slabých elektromagnetických poliach, ktoré sa menia relatívne pomaly v priestore a čase, v prípade izotropných, neferomagnetických a neferoelektrických médií platí aproximácia, pri ktorej polarizovateľnosť a magnetizácia lineárne závisia od aplikovaných polí:

GHS	SI

kde sú zavedené bezrozmerné konštanty: - dielektrická susceptibilita a - magnetická susceptibilita látky (v sústave jednotiek SI sú tieto konštanty niekoľkonásobne väčšie ako v Gaussovej sústave CGS). V súlade s tým sú materiálové rovnice pre elektrické a magnetické indukcie napísané v nasledujúcom tvare:

GHS	SI

kde je relatívna dielektrická konštanta, je relatívna magnetická permeabilita. Rozmerové veličiny ε 0 ε (v jednotkách SI - F/m) a μ 0 μ (v jednotkách SI - Gn/m) vznikajúce v sústave SI sa nazývajú absolútna dielektrická konštanta a absolútna magnetická permeabilita.

Vo vodičoch existuje vzťah medzi hustotou prúdu a intenzitou elektrického poľa, vyjadrený Ohmovým zákonom:

kde je merná vodivosť média (v jednotkách SI - Ohm −1 .m −1).

V anizotropnom prostredí sú ε, a tenzory , a . V súradnicovom systéme hlavných osí ich možno popísať pomocou diagonálnych matíc. V tomto prípade má vzťah medzi intenzitou poľa a indukciou rôzne koeficienty pre každú súradnicu.

Napríklad v systéme SI:

Hoci pre širokú triedu látok sa lineárna aproximácia pre slabé polia vykonáva s dobrou presnosťou, vo všeobecnosti môže byť vzťah medzi a nelineárny. V tomto prípade nie sú priepustnosti média konštantné, ale závisia od intenzity poľa v danom bode. Okrem toho ešte viac zložité spojenie medzi a je pozorovaný v médiách s priestorovými alebo časovými disperziami. V prípade priestorového rozptylu prúdy a náboje v danom bode v priestore závisia od intenzity poľa nielen v tom istom bode, ale aj v susedných bodoch. V prípade časovej disperzie nie je polarizácia a magnetizácia média určená len intenzitou poľa v danom čase, ale závisí aj od intenzity poľa v predchádzajúcich časoch. V najvšeobecnejšom prípade nelineárnych a nehomogénnych médií s disperziou majú materiálové rovnice v sústave SI integrálny tvar:

Podobné rovnice získame v Gaussovom systéme SGS (ak formálne stanovíme ε 0 = 1).

Rovnice v izotropných a homogénnych prostrediach bez disperzie

V izotropných a homogénnych médiách bez disperzie majú Maxwellove rovnice nasledujúci tvar:

GHS	SI

V optickom frekvenčnom rozsahu sa namiesto dielektrickej konštanty ε používa index lomu (v závislosti od vlnovej dĺžky), ktorý ukazuje rozdiel medzi rýchlosťou šírenia monochromatickej svetelnej vlny v prostredí a rýchlosťou svetla vo vákuu. . Navyše v optickom rozsahu je dielektrická konštanta zvyčajne výrazne nižšia ako pri nízkych frekvenciách a magnetická permeabilita väčšiny optických médií je prakticky rovná jednotke. Index lomu väčšiny priehľadných materiálov je medzi 1 a 2, u niektorých polovodičov dosahuje 5. Vo vákuu sa dielektrická aj magnetická permeabilita rovnajú jednote: ε = μ = 1.

Keďže Maxwellove rovnice v lineárnom prostredí sú lineárne s ohľadom na polia a voľné náboje a prúdy, platí princíp superpozície:

Ak rozloženia nábojov a prúdov vytvárajú elektromagnetické pole so zložkami a iné rozloženia vytvárajú pole, potom sa celkové pole vytvorené zdrojmi bude rovnať.

Keď sa elektromagnetické polia šíria v lineárnom prostredí bez nábojov a prúdov, súčet všetkých čiastkových riešení rovníc bude spĺňať aj Maxwellove rovnice.

Hraničné podmienky

V mnohých prípadoch môže byť heterogénne médium reprezentované ako súbor po častiach súvislých homogénnych oblastí oddelených nekonečne tenkými hranicami. V tomto prípade je možné vyriešiť Maxwellove rovnice v každej oblasti a výsledné riešenia „šiť“ na hraniciach. Najmä pri úvahách o riešení v konečnom objeme je potrebné brať do úvahy podmienky na hraniciach objemu s okolitým nekonečným priestorom. Okrajové podmienky sa získajú z Maxwellových rovníc prechodom na limitu. Najjednoduchším spôsobom je použiť Maxwellove rovnice v integrálnom tvare.

Výberom integračného obrysu v druhej dvojici rovníc vo forme pravouhlého rámca s nekonečne malou výškou pretínajúceho rozhranie medzi dvoma médiami môžeme získať nasledujúci vzťah medzi zložkami poľa v dvoch oblastiach susediacich s hranicou:

GHS	SI
, ,	, ,

kde je jednotkový normálový vektor k povrchu, nasmerovaný z média 1 do média 2 a má rozmer inverzný k dĺžke, je hustota povrchu zadarmo prúdy pozdĺž hranice (teda nezahŕňa pridružené prúdy magnetizácia, ktorá sa vyvíja na hranici média z mikroskopických molekulárnych a pod. prúdov). Prvú okrajovú podmienku možno interpretovať ako spojitosť na hranici oblastí tangenciálnych zložiek intenzity elektrického poľa (z druhej vyplýva, že tangenciálne zložky intenzity magnetického poľa sú spojité iba v prípade, že na hranici nepôsobia povrchové prúdy). ).