Podľa medzi fyzikmi tak rozšírenej ľudovej slovesnosti sa to stalo takto: v roku 1926 vystúpil na vedeckom seminári na univerzite v Zürichu menovaný teoretický fyzik. Hovoril o zvláštnych nových nápadoch vo vzduchu, o tom, ako sa mikroskopické objekty často správajú viac ako vlny než ako častice. Potom sa o slovo prihlásil starší učiteľ a povedal: „Schrödinger, nevidíš, že je to všetko nezmysel? Alebo všetci nevieme, že vlny sú len vlny, ktoré sa dajú opísať vlnovými rovnicami? Schrödinger to bral ako osobnú urážku a rozhodol sa vyvinúť vlnovú rovnicu na opis častíc v rámci kvantovej mechaniky – a s touto úlohou sa popasoval bravúrne.
Tu je potrebné uviesť vysvetlenie. V našom každodennom svete sa energia prenáša dvoma spôsobmi: hmotou pri pohybe z miesta na miesto (napríklad pohybujúca sa lokomotíva alebo vietor) - na takomto prenose energie sa podieľajú častice - alebo vlnami (napríklad rádiové vlny, ktoré sú vysielané výkonnými vysielačmi a zachytené anténami našich televízorov). To znamená, že v makrokozme, kde žijeme vy a ja, sú všetky energetické nosiče striktne rozdelené na dva typy - korpuskulárne (pozostávajúce z hmotných častíc) alebo vlnové. Každá vlna je navyše opísaná špeciálnym typom rovníc - vlnovými rovnicami. Bez výnimky sú všetky vlny – oceánske vlny, seizmické skalné vlny, rádiové vlny zo vzdialených galaxií – opísané rovnakým typom vlnových rovníc. Toto vysvetlenie je potrebné na to, aby bolo jasné, že ak chceme javy subatomárneho sveta znázorniť z hľadiska vĺn rozdelenia pravdepodobnosti (pozri Kvantová mechanika), tieto vlny musia byť tiež opísané príslušnou vlnovou rovnicou.
Schrödinger aplikoval klasickú diferenciálnu rovnicu vlnovej funkcie na koncept pravdepodobnostných vĺn a získal slávnu rovnicu, ktorá nesie jeho meno. Tak ako obvyklá rovnica vlnovej funkcie popisuje šírenie napríklad vlnenia na hladine vody, Schrödingerova rovnica popisuje šírenie vlny pravdepodobnosti nájdenia častice v daný bod priestor. Vrcholy tejto vlny (body maximálnej pravdepodobnosti) ukazujú, kde vo vesmíre častica s najväčšou pravdepodobnosťou skončí. Hoci Schrödingerova rovnica patrí do regiónu vyššia matematika, je taká dôležitá pre pochopenie modernej fyziky, že ju tu predsa len uvediem – v jej najjednoduchšej forme (tzv. „jednorozmerná stacionárna Schrödingerova rovnica“). Vyššie uvedené vlnová funkcia Rozdelenie pravdepodobnosti, označené gréckym písmenom (psi), je riešením nasledujúcej diferenciálnej rovnice (je v poriadku, ak jej nerozumiete; verte, že táto rovnica ukazuje, že pravdepodobnosť sa správa ako vlna):
kde je vzdialenosť, je Planckova konštanta a , a sú hmotnosť, celková energia a potenciálna energia častice.
Obraz kvantových dejov, ktorý nám dáva Schrödingerova rovnica, je taký, že elektróny a iné elementárne častice sa na povrchu oceánu správajú ako vlny. V priebehu času sa vrchol vlny (zodpovedajúci miestu, kde sa s najväčšou pravdepodobnosťou nachádza elektrón) pohybuje v priestore v súlade s rovnicou, ktorá opisuje túto vlnu. To znamená, že to, čo sme tradične považovali za časticu, sa správa podobne ako vlna v kvantovom svete.
Keď Schrödinger prvýkrát zverejnil svoje výsledky, vo svete teoretickej fyziky vypukla búrka v šálke čaju. Faktom je, že takmer v rovnakom čase sa objavilo dielo Schrödingerovho súčasníka Wernera Heisenberga (pozri Heisenbergov princíp neurčitosti), v ktorom autor predložil koncept „maticovej mechaniky“, kde sa riešili rovnaké problémy kvantovej mechaniky. v inej, zložitejšej maticovej forme z matematického hľadiska. Rozruch vyvolal fakt, že vedci sa jednoducho báli, že dva rovnako presvedčivé prístupy k popisu mikrosveta si môžu protirečiť. Obavy boli márne. V tom istom roku sám Schrödinger dokázal úplnú ekvivalenciu oboch teórií – teda maticová rovnica vyplýva z vlnovej rovnice a naopak; výsledky sú identické. Dnes sa používa predovšetkým Schrödingerova verzia (niekedy nazývaná „vlnová mechanika“), pretože jeho rovnica je menej ťažkopádna a ľahšie sa učí.
Nie je však také ľahké predstaviť si a prijať, že niečo ako elektrón sa správa ako vlna. IN Každodenný život zrazíme sa buď s časticou alebo vlnou. Lopta je častica, zvuk je vlna a to je všetko. Vo svete kvantovej mechaniky nie je všetko také jednoduché. V skutočnosti – a experimenty to čoskoro ukázali – v kvantovom svete sa entity líšia od objektov, ktoré poznáme, a majú iné vlastnosti. Svetlo, ktoré považujeme za vlnu, sa niekedy správa ako častica (nazývaná fotón) a častice ako elektróny a protóny sa môžu správať ako vlny (pozri Princíp komplementarity).
Tento problém sa zvyčajne nazýva duálny alebo duálny časticový vlnový charakter kvantových častíc a je charakteristický pre všetky objekty subatomárneho sveta (pozri Bellovu vetu). Musíme pochopiť, že v mikrosvete jednoducho neplatia naše bežné intuitívne predstavy o tom, aké formy môže mať hmota a ako sa môže správať. Samotný fakt, že vlnovú rovnicu používame na opis pohybu toho, čo sme zvyknutí považovať za častice, je toho jasným dôkazom. Ako je uvedené v úvode, nie je v tom žiadny zvláštny rozpor. Koniec koncov, nemáme žiadne presvedčivé dôvody domnievať sa, že to, čo pozorujeme v makrokozme, by sa malo presne reprodukovať na úrovni mikrokozmu. Napriek tomu duálna povaha elementárnych častíc zostáva pre mnohých ľudí jedným z najzáhadnejších a najznepokojujúcejších aspektov kvantovej mechaniky a bez preháňania možno povedať, že všetky problémy začali Erwinom Schrödingerom.
Encyklopédia od Jamesa Trefila „The Nature of Science. 200 zákonov vesmíru."
James Trefil je profesorom fyziky na George Mason University (USA), jedným z najznámejších západných autorov populárno-vedeckých kníh.
| Komentáre: 0 |
K myšlienkam kvantovania energie prišiel Max Planck, jeden zo zakladateľov kvantovej mechaniky, ktorý sa pokúšal teoreticky vysvetliť proces interakcie medzi nedávno objavenými elektromagnetickými vlnami a atómami a tým vyriešiť problém žiarenia čierneho telesa. Uvedomil si, že na vysvetlenie pozorovaného emisného spektra atómov je potrebné brať ako samozrejmosť, že atómy vyžarujú a absorbujú energiu po častiach (ktoré vedec nazval kvantá) a len pri jednotlivých vlnových frekvenciách.
Absolútne čierne telo, ktorý úplne pohltí elektromagnetické žiarenie akejkoľvek frekvencie, pri zahriatí vyžaruje energiu vo forme vĺn rovnomerne rozložených v celom frekvenčnom spektre.
Slovo „quantum“ pochádza z latinského quantum („koľko, koľko“) a anglického quantum („množstvo, porcia, kvantum“). „Mechanika“ sa už dlho nazývala veda o pohybe hmoty. V súlade s tým pojem „kvantová mechanika“ znamená vedu o pohybe hmoty po častiach (alebo v modernom vedeckom jazyku vedu o pohybe kvantovanej hmoty). Termín „kvantový“ zaviedol nemecký fyzik Max Planck, aby opísal interakciu svetla s atómami.
Jedným z faktov subatomárneho sveta je, že jeho objekty – ako sú elektróny alebo fotóny – sa vôbec nepodobajú bežným objektom makrosveta. Nesprávajú sa ani ako častice, ani ako vlny, ale ako úplne špeciálne útvary, ktoré v závislosti od okolností vykazujú vlnové aj korpuskulárne vlastnosti. Jedna vec je urobiť vyhlásenie, ale niečo úplne iné je spojiť vlnové a časticové aspekty správania kvantových častíc a opísať ich presnou rovnicou. To je presne to, čo sa stalo vo vzťahu de Broglie.
V každodennom živote existujú dva spôsoby prenosu energie vo vesmíre – prostredníctvom častíc alebo vĺn. IN každodenný život Medzi týmito dvoma mechanizmami prenosu energie nie sú žiadne viditeľné rozpory. Takže basketbalová lopta je častica a zvuk je vlna a všetko je jasné. V kvantovej mechanike však veci nie sú také jednoduché. Aj z tých najjednoduchších experimentov s kvantovými objektmi je veľmi skoro jasné, že v mikrosvete neplatia nám známe princípy a zákony makrosveta. Svetlo, ktoré sme zvyknutí chápať ako vlnu, sa niekedy správa tak, ako keby pozostávalo z prúdu častíc (fotónov) a elementárne častice, ako je elektrón alebo dokonca masívny protón, často vykazujú vlastnosti vlny.
Einstein predovšetkým protestoval proti potrebe opisovať javy mikrosveta z hľadiska pravdepodobností a vlnových funkcií, a nie z bežnej polohy súradníc a rýchlostí častíc. To myslel tým „hádzanie kockou“. Uvedomil si, že popis pohybu elektrónov z hľadiska ich rýchlostí a súradníc je v rozpore s princípom neurčitosti. Einstein však tvrdil, že musia existovať nejaké ďalšie premenné alebo parametre, berúc do úvahy, ktoré kvantovo-mechanický obraz mikrosveta vráti na cestu integrity a determinizmu. To znamená, tvrdil, len sa nám zdá, že Boh s nami hrá kocky, pretože nerozumieme všetkému. Bol teda prvým, kto sformuloval hypotézu skrytej premennej v rovniciach kvantovej mechaniky. Spočíva v tom, že elektróny majú v skutočnosti pevné súradnice a rýchlosť ako Newtonove biliardové gule a princíp neurčitosti a pravdepodobnostný prístup k ich určovaniu v rámci kvantovej mechaniky sú výsledkom neúplnosti samotnej teórie, ktorá je prečo im to neumožňuje určité definovať.
Júlia Zotová
Dozviete sa: Aké technológie sa nazývajú kvantové a prečo. Aká je výhoda kvantových technológií oproti klasickým? Čo môže a nemôže kvantový počítač. Ako fyzici vyrábajú kvantový počítač. Kedy bude vytvorený.
Francúzsky fyzik Pierre Simon Laplace povedal dôležitá otázka, o tom, či je všetko na svete vopred dané predchádzajúcim stavom sveta, alebo či príčina môže spôsobiť viacero následkov. Ako očakávala filozofická tradícia, sám Laplace vo svojej knihe „Výklad svetového systému“ nekládol žiadne otázky, ale povedal hotovú odpoveď, že áno, všetko na svete je vopred dané, ako sa však vo filozofii často stáva, obraz sveta, ktorý navrhol Laplace, nepresvedčil každého, a preto jeho odpoveď vyvolala diskusiu o tejto otázke, ktorá trvá dodnes. Napriek názoru niektorých filozofov, že kvantová mechanika vyriešila tento problém v prospech pravdepodobnostného prístupu, Laplaceova teória úplného predurčenia, alebo ako sa inak nazýva teória Laplaceovho determinizmu, je dodnes diskutovaná.
Gordey Lesovik
Pred časom sme so skupinou spoluautorov začali odvodzovať druhý termodynamický zákon z pohľadu kvantovej mechaniky. Napríklad v jednej z jeho formulácií, ktorá hovorí, že entropia uzavretého systému sa neznižuje, typicky sa zvyšuje a niekedy zostáva konštantná, ak je systém energeticky izolovaný. Pomocou známych výsledkov z kvantovej teórie informácie sme odvodili niektoré podmienky, za ktorých je toto tvrdenie pravdivé. Nečakane sa ukázalo, že tieto podmienky sa nezhodujú s podmienkou energetickej izolácie systémov.
Profesor fyziky Jim Al-Khalili skúma najpresnejšiu a jednu z najviac mätúcich vedeckých teórií – kvantovú fyziku. Začiatkom 20. storočia vedci skúmali skryté hĺbky hmoty, subatomárne stavebné kamene sveta okolo nás. Objavili javy, ktoré sa líšili od všetkého, čo sme predtým videli. Svet, kde všetko môže byť na mnohých miestach súčasne, kde realita skutočne existuje len vtedy, keď ju pozorujeme. Albert Einstein odolal samotnej myšlienke, že jadrom prírody je náhodnosť. Kvantová fyzika naznačuje, že subatomárne častice môžu interagovať rýchlejšie ako rýchlosť svetla, čo je v rozpore s jeho teóriou relativity.
č. 1 Stacionárna Schrödingerova rovnica má tvar . Táto rovnica je napísaná pre...
Stacionárna Schrödingerova rovnica má vo všeobecnom prípade tvar
, kde je potenciálna energia mikročastice. Pre jednorozmerný prípad. Navyše častica nemôže byť vnútri potenciálovej schránky, ale mimo schránky, pretože jeho steny sú nekonečne vysoké. Preto je táto Schrödingerova rovnica napísaná pre časticu v jednorozmernej krabici s nekonečne vysokými stenami.
Lineárny harmonický oscilátor
ü Častice v jednorozmernej potenciálovej schránke s nekonečne vysokými stenami
Častice v trojrozmernej potenciálovej schránke s nekonečne vysokými stenami
Elektrón v atóme vodíka
Stanovte zhody medzi kvantovými mechanickými problémami a Schrödingerovými rovnicami pre ne.
Všeobecný tvar stacionárnej Schrödingerovej rovnice je:
Potenciálna energia častíc,
Laplaceov operátor. Pre simultánny prípad
Výraz pre potenciálnu energiu harmonického oscilátora, teda častice vykonávajúcej jednorozmerný pohyb pôsobením kvázi-elastickej sily, má tvar U=.
Hodnota potenciálnej energie elektrónu v potenciálovej schránke s nekonečne vysokými stenami je U = 0. Elektrón v atóme podobnom vodíku má potenciálnu energiu Pre atóm vodíka Z = 1.
Pre elektrón v jednorozmernom potenciálovom boxe má teda Schrödingerova rovnica tvar:
Pomocou vlnovej funkcie, ktorá je riešením Schrödingerovej rovnice, môžeme určiť...
Možnosti odpovede: (Uveďte aspoň dve možnosti odpovede)
Priemerné hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich časticu
Pravdepodobnosť, že častica sa nachádza v určitej oblasti priestoru
Dráha častíc
Umiestnenie častíc
Hodnota má význam hustoty pravdepodobnosti (pravdepodobnosti na jednotku objemu), to znamená, že určuje pravdepodobnosť výskytu častice na zodpovedajúcom mieste v priestore. Potom sa pravdepodobnosť W detekcie častice v určitej oblasti priestoru rovná
Schrödingerova rovnica ( konkrétne situácie)
č. 1 Vlastné funkcie elektrónu v jednorozmernej potenciálovej skrinke s nekonečne vysokými stenami majú tvar 
kde je šírka krabice, kvantové číslo znamenajúce číslo úrovne energie. Ak je počet funkčných uzlov na segmente a , potom sa rovná...
Počet uzlov, t.j. počet bodov, v ktorých vlnová funkcia na segmente zaniká, súvisí s počtom energetickej hladiny vzťahom. Potom 
a podľa podmienky sa tento pomer rovná 1,5. Riešením výslednej rovnice pre , zistíme, že
Jadrové reakcie.
№1 V jadrovej reakcii písmeno predstavuje časticu...
Zo zákonov zachovania hmotnostného čísla a nábojového čísla vyplýva, že náboj častice je nulový a hmotnostné číslo je 1. Preto písmeno označuje neutrón.
ü Neutrón
Pozitrón
Electron
Graf na semilogaritmickej stupnici ukazuje závislosť zmeny počtu rádioaktívnych jadier izotopu od času Konštanta rádioaktívneho rozpadu sa rovná ... (odpoveď zaokrúhlite na celé čísla)
Počet rádioaktívnych jadier sa mení v čase podľa zákona - počiatočný počet jadier, - konštanta rádioaktívneho rozpadu. Logaritmovaním tohto výrazu dostaneme
ln 
.Preto 
=0,07
Zákony ochrany pri jadrových reakciách.
Reakcia nemôže pokračovať z dôvodu porušenia zákona o ochrane...
Vo všetkých základných interakciách sú splnené zákony zachovania: energia, hybnosť, moment hybnosti (spin) a všetky náboje (elektrické, baryónové a leptónové). Tieto zákony ochrany nielen obmedzujú dôsledky rôznych interakcií, ale určujú aj všetky možnosti týchto dôsledkov. Ak chcete vybrať správnu odpoveď, musíte skontrolovať, ktorý zákon zachovania zakazuje a ktorý umožňuje danú reakciu vzájomnej premeny elementárnych častíc. Podľa zákona zachovania leptonového náboja v uzavretom systéme pri akomkoľvek procese sa zachováva rozdiel medzi počtom leptónov a antileptónov. Dohodli sme sa na výpočte pre leptóny: . leptónový náboj a pre antileptóny: . leptónový náboj. Pre všetky ostatné elementárne častice sa predpokladá, že leptónové náboje sú nulové. Reakcia nemôže prebehnúť z dôvodu porušenia zákona zachovania náboja leptónu, pretože
ü Leptónový náboj
Baryónový náboj
Spin uhlový moment
Nabíjačka
Reakcia nemôže pokračovať z dôvodu porušenia zákona o ochrane...
Vo všetkých základných interakciách sú splnené zákony zachovania: energia, hybnosť, moment hybnosti (spin) a všetky náboje (elektrický Q, baryón B a leptón L). Tieto zákony zachovania nielen obmedzujú dôsledky rôznych interakcií, ale určujú aj všetky možnosti týchto následkov. Podľa zákona zachovania baryónového náboja B sa pre všetky procesy zahŕňajúce baryóny a antibaryóny zachová celkový baryónový náboj. Baryónom (n, p nukleónom a hyperónom) je priradený baryónový náboj
B = -1 a pre všetky ostatné častice je baryónový náboj B = 0. Reakcia nemôže prebehnúť z dôvodu porušenia zákona baryónového náboja B, pretože (+1)+(+1)
Možnosti odpovede: leptónový náboj, spinový moment hybnosti, elektrický náboj. Q=0, antiprotón (
Pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach je opísaný v rámci nerelativistickej kvantovej mechaniky pomocou Schrödingerovej rovnice, z ktorej vyplývajú experimentálne pozorované vlnové vlastnosti častíc. Táto rovnica, ako všetky základné rovnice fyziky, nie je odvodená, ale postulovaná. Jeho správnosť je potvrdená zhodou výsledkov výpočtu so skúsenosťami. Schrödingerova vlnová rovnica má nasledovné všeobecná forma :
- (ħ 2 / 2 m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)
kde ħ = h / 2π, h = 6,623∙10 -34 J ∙ s - Planckova konštanta;
m je hmotnosť častice;
∆ - Laplaceov operátor (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - požadovaná vlnová funkcia;
U (x, y, z, t) je potenciálna funkcia častice v silovom poli, kde sa pohybuje;
i je pomyselná jednotka.
Táto rovnica má riešenie iba za podmienok kladených na vlnovú funkciu:
- ψ (x, y, z, t) musí byť konečné, jednohodnotové a spojité;
- jeho prvé deriváty musia byť spojité;
- funkcia | ψ | 2 musí byť integrovateľná, čo sa v najjednoduchších prípadoch znižuje na podmienku normalizácie pravdepodobností.
∆ψ + (2 m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
kde ψ = ψ (x, y, z) je vlnová funkcia iba súradníc;
E je parameter rovnice - celková energia častice.
Pre túto rovnicu skutočné fyzický význam majú len riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami ψ (nazývanými vlastné funkcie), ktoré sa vyskytujú len pre určité hodnoty parametra E, nazývaného vlastná hodnota energie. Tieto hodnoty E môžu tvoriť súvislý alebo diskrétny rad, t.j. spojité aj diskrétne energetické spektrum.
Pre akúkoľvek mikročasticu sa v prítomnosti Schrödingerovej rovnice typu (8.2) problém kvantovej mechaniky redukuje na riešenie tejto rovnice, t.j. zistenie hodnôt vlnových funkcií ψ = ψ (x, y, z), zodpovedajúcich spektru vlastných energií E. Ďalej nájdite hustotu pravdepodobnosti | ψ | 2, ktorý v kvantovej mechanike určuje pravdepodobnosť nájdenia častice v jednotkovom objeme v okolí bodu so súradnicami (x, y, z).
Jedným z najjednoduchších prípadov riešenia Schrödingerovej rovnice je problém správania sa častice v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto „diera“ pre časticu pohybujúcu sa iba pozdĺž osi X je opísaná potenciálnou energiou formy
kde l je šírka „diery“ a energia sa meria od jej dna (obr. 8.1).
Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy v prípade jednorozmernej úlohy bude napísaná v tvare:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2 m / ħ 2) ∙ (E - U) ∙ ψ = 0
Vzhľadom na to, že „steny jamy“ sú nekonečne vysoké, častica nepreniká za „jamu“. To vedie k okrajovým podmienkam:
ψ (0) = ψ (l) = 0
V rámci „studne“ (0 ≤ x ≤ l) sa rovnica (8.4) redukuje do tvaru:
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2 m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0
∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0
kde k2 = (2m ∙ E) / ħ 2
Riešenie rovnice (8.7), berúc do úvahy okrajové podmienky (8.5), má v najjednoduchšom prípade tvar:
ψ (x) = A ∙ sin (kx)
kde k = (n ∙ π)/ l
pre celočíselné hodnoty n.
Z výrazov (8.8) a (8.10) vyplýva, že
E n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2 m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ...)
tie. Energia stacionárnych stavov závisí od celého čísla n (nazývaného kvantové číslo) a má špecifické diskrétne hodnoty nazývané energetické hladiny.
V dôsledku toho môže byť mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ len na určitej energetickej úrovni E n, t.j. v diskrétnych kvantových stavoch n.
Dosadením výrazu (8.10) do (8.9) nájdeme vlastné funkcie
ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x
Integračnú konštantu A možno zistiť z podmienky kvantovej mechanickej (pravdepodobnostnej) normalizácie
čo v tomto prípade bude napísané ako:
Odkiaľ v dôsledku integrácie získame A = √ (2 / l) a potom máme
ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ...)
Grafy funkcie ψ n (x) nemajú fyzikálny význam, kým grafy funkcie | ψ n | 2 je znázornené rozdelenie hustoty pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny jamy“ (obr. 8.1). Práve tieto grafy (rovnako ako ψ n (x) - pre porovnanie) sú študované v tejto práci a jasne ukazujú, že predstavy o trajektóriách častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné.
Z výrazu (8.11) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma susednými hladinami je rovný
∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2 m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)
Z toho je zrejmé, že pre mikročastice (napríklad elektróny) pri veľké veľkosti„diery“ (l≈ 10 -1 m), energetické hladiny sú umiestnené tak blízko, že tvoria takmer súvislé spektrum. Tento stav nastáva napríklad pri voľných elektrónoch v kove. Ak sú rozmery „studne“ porovnateľné s atómovými (l ≈ 10 -10 m), získa sa diskrétne energetické spektrum (čiarové spektrum). Tieto typy spektier možno v tejto práci študovať aj pre rôzne mikročastice.
Ďalším prípadom správania sa mikročastíc (ako aj mikrosystémov – kyvadiel), s ktorým sa v praxi často stretávame (a v tejto práci uvažujeme), je problém lineárneho harmonického oscilátora v kvantovej mechanike.
Ako je známe, potenciálna energia jednorozmerného harmonického oscilátora s hmotnosťou m sa rovná
U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2
kde ω 0 je vlastná frekvencia oscilátora oscilátora ω 0 = √ (k / m);
k je koeficient pružnosti oscilátora.
Závislosť (8.17) má tvar paraboly, t.j. „Potencionálna studňa“ je v tomto prípade parabolická (obr. 8.2).
Kvantový harmonický oscilátor je opísaný Schrödingerovou rovnicou (8.2), ktorá berie do úvahy vyjadrenie (8.17) pre potenciálnu energiu. Riešenie tejto rovnice je napísané takto:
ψ n (x) = (N n ∙ e -αx2 / 2) ∙ H n (x)
kde Nn je konštantný normalizačný faktor závislý od celého čísla n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) je polynóm stupňa n, ktorého koeficienty sú vypočítané pomocou opakujúceho sa vzorca pre rôzne celé číslo n.
V teórii diferenciálnych rovníc sa dá dokázať, že Schrödingerova rovnica má riešenie (8.18) len pre vlastné hodnoty energie:
E n = (n + (1 / 2)) ∙ ħ ∙ ω 0
kde n = 0, 1, 2, 3... je kvantové číslo.
To znamená, že energia kvantového oscilátora môže nadobúdať len diskrétne hodnoty, t.j. kvantované. Keď n = 0, prebieha E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2, t.j. energie nulového bodu, ktorá je typická pre kvantové systémy a je priamym dôsledkom vzťahu neurčitosti.
Ako ukazuje podrobné riešenie Schrödingerovej rovnice pre kvantový oscilátor, každá vlastná hodnota energie pre rôzne n zodpovedá svojej vlastnej vlnovej funkcii, pretože konštantný normalizačný faktor závisí od n
a tiež H n (x) - Čebyšev-Hermitov polynóm stupňa n.
Okrem toho sú prvé dva polynómy rovnaké:
H° (x) = 1;
H1 (x) = 2x ∙ √ α
Každý nasledujúci polynóm súvisí s nmi podľa nasledujúceho opakujúceho sa vzorca:
Hn+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)
Vlastné funkcie typu (8.18) nám umožňujú nájsť pre kvantový oscilátor hustotu pravdepodobnosti nájdenia mikročastice ako | ψ n (x) | 2 a študujte jeho správanie na rôznych energetických úrovniach. Riešenie tohto problému je ťažké kvôli potrebe použiť opakujúci sa vzorec. Tento problém je možné úspešne vyriešiť iba pomocou počítača, čo sa v tejto práci robí.
1. Úvod
Kvantová teória sa zrodila v roku 1900, keď Max Planck navrhol teoretický záver o vzťahu medzi teplotou telesa a žiarením vyžarovaným týmto telesom – záver, že na dlhú dobu Podobne ako jeho predchodcovia, Planck navrhol, aby žiarenie vyžarovali atómové oscilátory, ale veril, že energia oscilátorov (a teda aj žiarenie, ktoré vyžarujú) existuje vo forme malých diskrétnych častí, ktoré Einstein nazýval kvantá. Energia každého kvanta je úmerná frekvencii žiarenia. Hoci vzorec odvodený Planckom vzbudil všeobecný obdiv, jeho predpoklady zostali nepochopiteľné, pretože odporovali klasickej fyzike.
V roku 1905 Einstein použil kvantovú teóriu na vysvetlenie niektorých aspektov fotoelektrického efektu – emisie elektrónov z povrchu kovu vystaveného ultrafialovému svetlu. Počas cesty si Einstein všimol zjavný paradox: svetlo, o ktorom bolo dve storočia známe, že sa šíri ako súvislé vlny, sa za určitých okolností môže správať aj ako prúd častíc.
Asi o osem rokov neskôr Niels Bohr rozšíril kvantovú teóriu na atóm a vysvetlil frekvencie vĺn vyžarovaných atómami excitovanými plameňom alebo elektrickým nábojom. Ernest Rutherford ukázal, že hmotnosť atómu je takmer úplne sústredená v centrálnom jadre, ktoré nesie kladný nabíjačka a obklopené v relatívne veľkých vzdialenostiach prenášajúcimi elektrónmi záporný náboj, v dôsledku čoho je atóm ako celok elektricky neutrálny. Bohr navrhol, že elektróny môžu byť iba na určitých diskrétnych dráhach zodpovedajúcich rôznym energetickým hladinám a že „skok“ elektrónu z jednej dráhy na druhú s nižšou energiou je sprevádzaný emisiou fotónu, ktorého energia je rovná rozdielu energií oboch obežných dráh. Frekvencia je podľa Planckovej teórie úmerná energii fotónu. Bohrov model atómu teda vytvoril spojenie medzi rôznymi spektrálnymi čiarami charakteristickými pre látku emitujúcu žiarenie a štruktúrou atómu. Napriek počiatočnému úspechu si Bohrov model atómu čoskoro vyžadoval úpravy, aby sa vyriešili nezrovnalosti medzi teóriou a experimentom. Okrem toho kvantová teória v tomto štádiu ešte neposkytovala systematický postup na riešenie mnohých kvantových problémov.
Významná nová črta kvantovej teórie sa objavila v roku 1924, keď de Broglie predložil radikálnu hypotézu o vlnovej povahe hmoty: ak sa elektromagnetické vlny, ako napríklad svetlo, niekedy správajú ako častice (ako ukázal Einstein), potom častice, ako napr. elektrón, sa môžu za určitých okolností správať ako vlny. V de Broglieho formulácii frekvencia zodpovedajúca častici súvisí s jej energiou, ako v prípade fotónu (častice svetla), ale de Broglieho návrh matematický výraz bol ekvivalentný vzťah medzi vlnovou dĺžkou, hmotnosťou častice a jej rýchlosťou (hybnosťou). Existenciu elektrónových vĺn experimentálne dokázali v roku 1927 Clinton Davisson a Lester Germer v USA a John Paget Thomson v Anglicku.
Pod dojmom Einsteinových komentárov k de Broglieho myšlienkam sa Schrödinger pokúsil aplikovať vlnový popis elektrónov na konštrukciu koherentnej kvantovej teórie, ktorá nesúvisela s Bohrovým neadekvátnym modelom atómu. V určitom zmysle mal v úmysle priblížiť kvantovú teóriu klasickej fyzike, v ktorej sa nahromadilo množstvo príkladov matematických popisov vĺn. Prvý pokus, ktorý urobil Schrödinger v roku 1925, skončil neúspešne.
Rýchlosti elektrónov v Schrödingerovej teórii II boli blízke rýchlosti svetla, čo si vyžadovalo zahrnutie špeciálna teória Einsteinovu teóriu relativity a berúc do úvahy ňou predpovedaný výrazný nárast hmotnosti elektrónov pri veľmi vysokých rýchlostiach.
Jedným z dôvodov Schrödingerovho zlyhania bolo, že nezohľadnil prítomnosť špecifickej vlastnosti elektrónu, dnes známej ako spin (rotácia elektrónu okolo vlastnej osi ako vrchol), o ktorej sa v r. vtedy.
Schrödinger urobil ďalší pokus v roku 1926. Tentoraz boli rýchlosti elektrónov zvolené tak malé, že nebolo potrebné odvolávať sa na teóriu relativity.
Druhý pokus vyústil do odvodenia Schrödingerovej vlnovej rovnice, ktorá poskytuje matematický popis hmoty z hľadiska vlnovej funkcie. Schrödinger nazval svoju teóriu vlnovou mechanikou. Riešenia vlnovej rovnice boli v súlade s experimentálnymi pozorovaniami a mali hlboký vplyv na následný vývoj kvantovej teórie.
Nie dlho predtým Werner Heisenberg, Max Born a Pascual Jordan publikovali ďalšiu verziu kvantovej teórie nazvanú maticová mechanika, ktorá popisovala kvantové javy pomocou tabuliek pozorovateľných veličín. Tieto tabuľky predstavujú určitým spôsobom usporiadané matematické množiny, nazývané matice, na ktorých možno podľa známych pravidiel vykonávať rôzne matematické operácie. Maticová mechanika tiež umožňovala súhlas s pozorovanými experimentálnymi údajmi, ale na rozdiel od vlnovej mechaniky neobsahovala žiadny konkrétny odkaz na priestorové súradnice alebo čas. Heisenberg obzvlášť trval na odmietnutí akýchkoľvek jednoduchých vizuálnych reprezentácií alebo modelov v prospech iba tých vlastností, ktoré bolo možné určiť z experimentu.
Schrödinger ukázal, že vlnová mechanika a maticová mechanika sú matematicky ekvivalentné. Teraz známy pod spoločný názov kvantovej mechaniky, tieto dve teórie poskytli dlho očakávaný všeobecný rámec na opis kvantových javov. Mnoho fyzikov uprednostňovalo vlnovú mechaniku, pretože jej matematika im bola známejšia a jej koncepty sa zdali viac „fyzikálne“; operácie na maticách sú ťažkopádnejšie.
Funkcia Ψ. Normalizácia pravdepodobnosti.
Objav vlnových vlastností mikročastíc naznačil, že klasická mechanika nemôže poskytnúť správny popis správania takýchto častíc. Bolo potrebné vytvoriť mechaniku mikročastíc, ktorá by zohľadňovala aj ich vlnové vlastnosti. Nová mechanika vytvorená Schrödingerom, Heisenbergom, Diracom a ďalšími sa nazývala vlnová alebo kvantová mechanika.
Plane de Broglie vlna
(1)je veľmi špeciálna vlnová formácia zodpovedajúca voľnej rovnomerný pohybčastice v určitom smere a s určitou hybnosťou. Ale častica aj vo voľnom priestore a najmä v silových poliach môže vykonávať aj iné pohyby opísané zložitejšími vlnovými funkciami. V týchto prípadoch Celý popis stav častice v kvantovej mechanike nie je daný rovinou de Broglieho vlny, ale nejakou zložitejšou komplexnou funkciou
v závislosti od súradníc a času. Nazýva sa to vlnová funkcia. V konkrétnom prípade voľného pohybu častice sa vlnová funkcia transformuje na rovinnú de Broglieho vlnu (1). Samotná vlnová funkcia je zavedená ako pomocný symbol a nepatrí medzi priamo pozorovateľné veličiny. Jeho znalosť však umožňuje štatisticky predpovedať hodnoty veličín, ktoré sa získavajú experimentálne, a preto majú skutočný fyzikálny význam.Vlnová funkcia určuje relatívnu pravdepodobnosť detekcie častice na rôznych miestach v priestore. V tomto štádiu, keď sa diskutuje len o pravdepodobnostných vzťahoch, je vlnová funkcia zásadne určená až do ľubovoľného konštantného faktora. Ak sa vo všetkých bodoch v priestore vlnová funkcia vynásobí rovnakým konštantným (všeobecne povedané, komplexným) číslom, odlišným od nuly, získa sa nová vlnová funkcia, ktorá opisuje presne ten istý stav. Nemá zmysel tvrdiť, že Ψ sa rovná nule vo všetkých bodoch v priestore, pretože takáto „vlnová funkcia“ nám nikdy neumožňuje dospieť k záveru o relatívnej pravdepodobnosti detekcie častice na rôznych miestach vo vesmíre. Ale neistotu pri určovaní Ψ možno výrazne zúžiť, ak prejdeme od relatívnej pravdepodobnosti k absolútnej pravdepodobnosti. Zbavme sa neurčitého faktora vo funkcii Ψ tak, že hodnota |Ψ|2dV dáva absolútnu pravdepodobnosť detekcie častice v objemovom prvku priestoru dV. Potom |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* je komplexná konjugovaná funkcia Ψ) bude mať význam hustoty pravdepodobnosti, ktorú treba očakávať pri pokuse o detekciu častice v priestore. V tomto prípade bude Ψ stále určené až do ľubovoľného konštantného komplexného faktora, ktorého modul sa však rovná jednotke. Pri tejto definícii musí byť splnená podmienka normalizácie:
(2)kde integrál preberá celý nekonečný priestor. To znamená, že častica bude s istotou detekovaná v celom priestore. Ak integrál |Ψ|2 prevezmeme určitý objem V1, vypočítame pravdepodobnosť nájdenia častice v priestore objemu V1.
Normalizácia (2) nemusí byť možná, ak sa integrál (2) líši. Bude tomu tak napríklad v prípade roviny de Broglieho vlny, kedy je pravdepodobnosť detekcie častice vo všetkých bodoch priestoru rovnaká. Takéto prípady by sa však mali považovať za idealizáciu reálnej situácie, v ktorej častica nejde do nekonečna, ale je nútená zostať v obmedzená oblasť priestor. Potom normalizácia nie je náročná.
Priamy fyzikálny význam teda nie je spojený so samotnou funkciou Ψ, ale s jej modulom Ψ*Ψ. Prečo v kvantovej teórii operujú s vlnovými funkciami Ψ, a nie priamo s experimentálne pozorovanými veličinami Ψ*Ψ? To je potrebné na interpretáciu vlnových vlastností hmoty - interferencie a difrakcie. Tu je situácia úplne rovnaká ako v akejkoľvek vlnovej teórii. Prijíma (aspoň v lineárnej aproximácii) platnosť princípu superpozície samotných vlnových polí, a nie ich intenzít, a tým dosahuje zahrnutie javov vlnovej interferencie a difrakcie do teórie. Rovnako aj v kvantovej mechanike je princíp superpozície vlnových funkcií akceptovaný ako jeden z hlavných postulátov, ktorý spočíva v nasledujúcom.
Heisenberga priviedli k záveru, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, by mala byť rovnicou, z ktorej by vyplývali experimentálne pozorované vlnové vlastnosti častíc. Riadiaca rovnica musí byť rovnicou pre vlnovú funkciu Ψ (x, y, z, t), pretože je to práve toto, alebo presnejšie množstvo |Ψ| 2, určuje pravdepodobnosť prítomnosti častice v danom čase t v objeme Δ V, teda v oblasti so súradnicami X A x + dx, y A y + dу, z A z+ dz.
Základnú rovnicu nerelativistickej kvantovej mechaniky sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice je potvrdená zhodou so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona.
Všeobecná Schrödingerova rovnica je:
Kde ? =h/(2π), m- hmotnosť častice, Δ - Laplaceov operátor 
, i- pomyselná jednotka, U(x, y, z, t) je potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje, Ψ( x, y, z, t) je požadovaná vlnová funkcia častice.
Rovnica (1) platí pre akúkoľvek časticu (so spinom rovným 0), ktorá sa pohybuje nízkou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. υ "S.
Je doplnená o podmienky, superponované na vlnovú funkciu:
1) vlnová funkcia musí byť konečná, jednoznačná a spojitá;
2) deriváty 
musí byť nepretržitý;
3) funkcia |Ψ| 2 musí byť integrovateľná (táto podmienka sa v najjednoduchších prípadoch redukuje na podmienku normalizácie pravdepodobností).
Rovnica (1) sa nazýva časovo závislá Schrödingerova rovnica.
Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrosvete možno rovnicu (1) zjednodušiť odstránením závislosti Ψ na čase, t.j. nájdite Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy - stavy s pevnými hodnotami energie. Je to možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia U = U(x, y,z) nezávisí výslovne od času a má význam potenciálnej energie. V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice znázornené vo forme
. (2)
rovnica (2) nazývaná Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy.
Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter Ečastice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberajú riešenia, ktoré majú fyzikálny význam. Pre Schrödingerovu rovnicu také podmienky sú podmienky pre pravidelnosť vlnových funkcií: Nové funkcie musia byť konečné, jednoznačné a spojité spolu s ich prvými deriváciami.
Skutočný fyzikálny význam teda majú len tie riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami Ψ. Ale pre žiadne hodnoty parametrov sa neuskutočňujú bežné riešenia E, ale len pre určitý ich súbor, charakteristický pre danú úlohu. Tieto energetické hodnoty sa nazývajú vlastné hodnoty . Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným hodnotám energie, sa nazývajú vlastné funkcie . Vlastné hodnoty E môžu tvoriť buď súvislý alebo diskrétny rad. V prvom prípade hovoria o spojitom alebo pevnom spektre, v druhom o diskrétnom spektre.
Častica v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“s nekonečne vysokými „stenami“
Poďme uskutočniť kvalitatívna analýza riešenia Schrödingerovej rovnice aplikované na časticu v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto „diera“ je opísaná potenciálnou energiou formy (pre jednoduchosť predpokladáme, že častica sa pohybuje pozdĺž osi X)
Kde l je šírka „diery“ a energia sa počíta od jej dna (obr. 2).
Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy v prípade jednorozmernej úlohy bude napísaná v tvare:
. (1)
Podľa podmienok problému (nekonečne vysoké „steny“) častica neprenikne za „dieru“, preto je pravdepodobnosť jej detekcie (a následne aj vlnovej funkcie) mimo „diery“ nulová. Na hraniciach „jamy“ (at X= 0 a x = 1) funkcia spojitej vlny musí tiež zmiznúť.
Preto majú okrajové podmienky v tomto prípade tvar:
Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)
V rámci „jamy“ (0 ≤ X≤ 0) Schrödingerova rovnica (1) sa zredukuje na rovnicu:
alebo 
. (3)
Kde k2 = 2 mE/? 2.(4)
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (3):
Ψ ( X) = A hriech kx + B cos kx.
Keďže podľa (2) Ψ (0) = 0, potom B = 0. Potom
Ψ ( X) = A hriech kx. (5)
Podmienka Ψ ( l) = A hriech kl= 0 (2) sa vykoná len vtedy, keď kl = nπ, Kde n- celé čísla, t.j. je to potrebné
k = nπ/l. (6)
Z výrazov (4) a (6) vyplýva, že:
(n = 1, 2, 3,…), (7)
t.j. stacionárna Schrödingerova rovnica, ktorá opisuje pohyb častice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“, je splnená iba pre vlastné hodnoty. E p, v závislosti od celého čísla P. Preto tá energia E pčastice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ akceptujú len určité diskrétne hodnoty, teda kvantované.
Kvantované energetické hodnoty E p sa volajú energetické hladiny a číslo P, ktorý určuje energetické hladiny častice sa nazýva hlavné kvantové číslo. Mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda môže byť len na určitej energetickej úrovni. E p, alebo, ako sa hovorí, častica je v kvantovom stave P.
Nahradením do (5) hodnoty k z (6) nájdeme vlastné funkcie:
.
Konštanta integrácie A zistíme z normalizačnej podmienky, ktorá sa pre tento prípad zapíše v tvare:
.
V dôsledku integrácie dostaneme a vlastné funkcie budú mať tvar:
(n = 1, 2, 3,…). (8)
Grafy vlastných funkcií (8) zodpovedajúcich energetickým hladinám (7) pri n= 1,2,3, znázornené na obr. 3, A. Na obr. 3, b ukazuje hustotu pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny“ otvoru, ktorá sa rovná Ψ n(X)2 = Ψ n(X)·Ψ n * (X) Pre n = 1, 2 a 3. Z obrázku vyplýva, že napríklad v kvantovom stave s n= 2, častica nemôže byť v strede „diery“, zatiaľ čo rovnako často môže byť v jej ľavom a pravé časti. Toto správanie častice naznačuje, že koncepty trajektórií častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné.
Z výrazu (7) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma susednými úrovňami sa rovná:
Napríklad pre elektrón s rozmermi studne l= 10 -1 m (voľné elektróny v kove) , Δ E n ≈ 10 - 35 · n J ≈ 10-1 6 n eV, t.j. Energetické hladiny sú umiestnené tak blízko, že spektrum možno prakticky považovať za spojité. Ak sú rozmery studne porovnateľné s atómovými ( l ≈ 10 -10 m), potom pre elektrón Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, t.j. Zjavne sa získajú diskrétne energetické hodnoty (čiarové spektrum).
Aplikácia Schrödingerovej rovnice na časticu v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda vedie ku kvantovaným energetickým hodnotám, zatiaľ čo klasická mechanika nekladie na energiu tejto častice žiadne obmedzenia.
Okrem toho kvantovo-mechanické zváženie tohto problému vedie k záveru, že častica „v potenciálovej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ nemôže mať energiu menšiu ako minimálnu energiu rovnajúcu sa π 2 ? 2 /(2t1 2). Prítomnosť nenulovej minimálnej energie nie je náhodná a vyplýva zo vzťahu neurčitosti. Neistota súradníc Δ Xčastice v "jame" širokej l rovná Δ X= l.
Potom podľa vzťahu neistoty impulz nemôže mať presnú, v tomto prípade nulovú hodnotu. Neistota hybnosti Δ R ≈ h/l. Tomuto rozpätiu hodnôt hybnosti zodpovedá Kinetická energia E min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Všetky ostatné úrovne ( p> 1) majú energiu presahujúcu túto minimálnu hodnotu.
Zo vzorcov (9) a (7) vyplýva, že pre veľké kvantové čísla ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P„1, t. j. susedné úrovne sú umiestnené blízko: čím bližšie, tým viac P. Ak P je veľmi veľký, potom môžeme hovoriť o takmer nepretržitom slede úrovní a charakteristický znak kvantové procesy - diskrétnosť - je vyhladená. Tento výsledok je špeciálnym prípadom Bohrovho korešpondenčného princípu (1923), podľa ktorého musia zákony kvantovej mechaniky veľké hodnoty kvantové čísla sa transformujú na zákony klasickej fyziky.
