Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie je najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt spojitých funkcií je založené na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v určitom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má len jeden extrém a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na nejakom intervale, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšia hodnota. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty v segmente, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie f max a najmenšie f max.

Pri riešení aplikovaných úloh, najmä optimalizačných, sú dôležité úlohy hľadania najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X. Na riešenie takýchto úloh by sa malo na základe podmienky , vyberte nezávislú premennú a prostredníctvom tejto premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienok úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorý môže byť konečný alebo nekonečný.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar otvoreného vrchu pravouhlého rovnobežnostena so štvorcovým dnom, musí byť vo vnútri pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, ak je jej kapacita 108 litrov? vody, aby náklady na jej pocínovanie boli minimálne?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú minimálne, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm stranu základne, b dm výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah stanovuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Preskúmajme funkciu S pre extrém. Poďme nájsť prvú deriváciu, prirovnať ju k nule a vyriešiť výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.

Riešenie: Daná funkcia je súvislá pozdĺž celej číselnej osi. Derivácia funkcie

Derivát pre a pre . Vypočítajme funkčné hodnoty v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sú rovnaké. Preto sa najväčšia hodnota funkcie rovná at , najmenšia hodnota funkcie sa rovná at .

Samotestovacie otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo na odhaľovanie neurčitostí formy. Uveďte rôzne typy neistôt, na vyriešenie ktorých možno použiť L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcej a klesajúcej funkcie.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutnú podmienku existencie extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (ktoré body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky.

9. Čo sa nazýva inflexný bod grafu funkcie? Uveďte spôsob nájdenia týchto bodov.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkcie?

12. Obrys všeobecná schéma skúmanie funkcie a vytváranie jej grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom intervale.

Z praktického hľadiska je najväčší záujem použiť deriváciu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života musíme riešiť problémy s optimalizáciou niektorých parametrov. A to sú úlohy nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Je potrebné poznamenať, že najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie sa zvyčajne hľadajú na určitom intervale X, ktorý je buď celým oborom funkcie, alebo časťou oblasti definície. Samotný interval X môže byť segment, otvorený interval , nekonečný interval.

V tomto článku budeme hovoriť o tom, ako explicitne nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty danú funkciu jedna premenná y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Pozrime sa stručne na hlavné definície.

Najväčšia hodnota funkcie že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota na uvažovanom intervale na vodorovnej osi.

Stacionárne body– toto sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa derivácia funkcie stáva nulou.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať svoje najväčšie a najmenšie hodnoty v bodoch, v ktorých prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a funkcia samotná je definovaná.

Okamžite odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvedieme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a mnohé bude jasnejšie.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňme segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia v bode s úsečkou zodpovedajúcou pravá hranica interval.

Na obrázku 3 sú hraničné body segmentu [-3;2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Na otvorenom intervale

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri otvoreného intervalu (-6;6).

O intervale nemožno vyvodiť žiadne závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade uvedenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

V priebehu intervalu funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď sa x=2 blíži sprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (priama čiara x=2 je vertikálna asymptota), a keďže úsečka smeruje k plus nekonečnu, hodnoty funkcie sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu definície funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (spravidla sa takéto body nachádzajú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocenské funkcie so zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určíme všetky stacionárne body spadajúce do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší bod.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, v ktorých prvá derivácia neexistuje (ak existuje), ako aj v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus na riešenie príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na segmente [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel, teda s výnimkou nuly. Oba segmenty spadajú do definičnej domény.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1].

Z rovnice určíme stacionárne body. Jediný skutočný koreň je x=2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote - pri x=2.

V druhom prípade vypočítame funkčné hodnoty iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

Niekedy v problémoch B15 existujú „zlé“ funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým sa to dialo iba počas vzorových testov, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na skutočnú Jednotnú štátnu skúšku.

V tomto prípade fungujú iné techniky, z ktorých jedna je monotónna.

O funkcii f (x) sa hovorí, že je monotónne rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tohto segmentu platí:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

O funkcii f (x) sa hovorí, že je na úsečke monotónne klesajúca, ak pre ľubovoľné body x 1 a x 2 tejto úsečky platí:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie x, tým väčšie f(x). Pre klesajúcu funkciu platí opak: čím väčšie x, tým menej f(x).

Napríklad logaritmus rastie monotónne, ak základ a > 1, a monotónne klesá, ak je 0< a < 1. Не забывайте про область prijateľné hodnoty logaritmus: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetická druhá mocnina (nielen druhá odmocnina) rastie monotónne v celej oblasti definície:

Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: zvyšuje sa pre a > 1 a klesá pre 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, exponenciálna funkcia definované pre všetky čísla, nielen x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Nakoniec stupne so záporným exponentom. Môžete ich napísať ako zlomok. Majú bod zlomu, kde je monotónnosť narušená.

Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú v čistej forme. Pridávajú polynómy, zlomky a iné nezmysly, čo sťažuje výpočet derivácie. Pozrime sa, čo sa stane v tomto prípade.

Súradnice vrcholov paraboly

Najčastejšie sa argument funkcie nahrádza výrazom kvadratická trojčlenka tvaru y = ax 2 + bx + c. Jeho graf je štandardná parabola, ktorá nás zaujíma:

1. Vetvy paraboly môžu ísť hore (pre a > 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Vrchol paraboly je extrémnym bodom kvadratickej funkcie, v ktorom táto funkcia nadobúda svoje minimum (pre a > 0) alebo maximum (a< 0) значение.

Najväčším záujmom je vrchol paraboly, ktorého úsečka sa vypočíta podľa vzorca:

Takže sme našli extrémny bod kvadratickej funkcie. Ak je však pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 bude pre ňu tiež extrémnym bodom. Sformulujme teda kľúčové pravidlo:

Extrémne body kvadratického trinomu a komplexná funkcia, do ktorých je zahrnutá, sa zhodujú. Preto môžete hľadať x 0 pre kvadratický trinom a zabudnúť na funkciu.

Z vyššie uvedeného uvažovania zostáva nejasné, ktorý bod dostaneme: maximum alebo minimum. Úlohy sú však špeciálne navrhnuté tak, aby to nevadilo. Veď posúďte sami:

1. Vo vyhlásení o probléme nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f(a) a f(b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
2. Ale taký bod je len jeden – ide o vrchol paraboly x 0, ktorého súradnice sú vypočítané doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.

Riešenie problému je teda značne zjednodušené a pozostáva len z dvoch krokov:

1. Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol pomocou vzorca: x 0 = −b /2a ;
2. Nájdite hodnotu pôvodnej funkcie v tomto bode: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, toto bude odpoveď.

Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho zdôvodnenie môže zdať komplikované. Zámerne neuverejňujem „holú“ schému riešenia, pretože nepremyslené uplatňovanie takýchto pravidiel je plné chýb.

Pozrime sa na skutočné problémy z skúšobná jednotná štátna skúška v matematike – tu sa táto technika vyskytuje najčastejšie. Zároveň sa postaráme o to, aby sa týmto spôsobom mnohé problémy B15 stali takmer ústnymi.

Pod koreňom stojí kvadratickej funkcie y = x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, keďže koeficient a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

Keďže vetvy paraboly smerujú nahor, v bode x 0 = −3 nadobudne funkcia y = x 2 + 6x + 13 svoju minimálnu hodnotu.

Odmocnina rastie monotónne, čo znamená, že x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1 > 0.

Vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

Takže v bode x 0 = −1 nadobudne kvadratická funkcia svoju minimálnu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, takže:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponent obsahuje kvadratickú funkciu y = 1 − 4x − x 2 . Prepíšme to do normálneho tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.

Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola, ktorá sa vetví nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:

Pozorný čitateľ si pravdepodobne všimne, že sme nezapísali rozsah prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. Nebolo to však potrebné: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy pozitívne.

Dôsledky z oblasti funkcie

Niekedy len nájdenie vrcholu paraboly nestačí na vyriešenie problému B15. Hodnota, ktorú hľadáte, môže klamať na konci segmentu a už vôbec nie v extrémnom bode. Ak problém vôbec nenaznačuje segment, pozrite sa na rozsah prijateľných hodnôt pôvodná funkcia. menovite:

Upozorňujeme ešte raz: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateli zlomku. Pozrime sa, ako to funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:

Pod odmocninou je opäť kvadratická funkcia: y = 3 − 2x − x 2 . Jeho graf je parabola, ale vetví sa nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Odmocnina záporného čísla neexistuje.

Vypíšeme rozsah povolených hodnôt (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Teraz nájdime vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz vypočítame hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:

y(-3) = y(1) = 0

Dostali sme teda čísla 2 a 0. Žiadame, aby sme našli najväčšie - toto je číslo 2.

Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Vo vnútri logaritmu je kvadratická funkcia y = 6x − x 2 − 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale v logaritme nemôže byť záporné čísla, tak vypisujeme ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Pozor: nerovnosť je prísna, preto konce nepatria do ODZ. Tým sa logaritmus líši od koreňa, kde nám konce segmentu celkom vyhovujú.

Hľadáme vrchol paraboly:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Vrchol paraboly sedí podľa ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale keďže nás nezaujímajú konce segmentu, vypočítame hodnotu funkcie iba v bode x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Drobná a pekná jednoduchá úloha z kategórie tých, ktoré slúžia ako životabudič pre plávajúceho študenta. V prírode je polovica júla, takže je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno začal hrať slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku črepiny skla. V tejto súvislosti vám odporúčam, aby ste svedomito zvážili niekoľko príkladov na tejto stránke. Na riešenie praktických problémov musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá v intervale, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

V druhom odseku sme hovorili o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definovaniu, ale ja sa budem držať riadku, ktorý som začal skôr:

Funkcia je v bode spojitá napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavostranná hranica rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú klince, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do svojich rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené– hore plot, dole plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na intervale je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a prísne dokázaný. Prvá Weierstrassova veta....Mnohým vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol na oblohu za hranicu viditeľnosti graf, tento bol vložený. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ozaj, ako vieš, čo nás čaká za horizontom? Veď Zem bola kedysi považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa Druhá Weierstrassova veta, súvislé v segmentefunkcia dosiahne svoje presná horná hranica a tvoj presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a sú označené , a číslo je minimálna hodnota funkcie na segmente označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú nahrávky bežné .

Zhruba povedané, najväčšia hodnota je tam, kde je najviac vysoký bod grafika a najmenší je tam, kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo zdôraznené v článku o extrémy funkcie, najväčšia funkčná hodnota A najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, Čo maximálna funkcia A minimálna funkcia. Takže v uvažovanom príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Áno, aj povodeň, v kontexte uvažovaného problému nás toto vôbec nezaujíma. Úloha zahŕňa iba nájdenie dvoch čísel a je to!

Navyše je riešenie čisto analytické nie je potrebné robiť výkres!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Zachyťte ďalší bonus: tu nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako sme práve ukázali, prítomnosť minima alebo maxima ešte nezaručuje, aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na segmente. Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda vyskytne.

V prvom kroku je teda rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či sú v nich extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Spomedzi funkčných hodnôt nájdených v 1. a 2. odseku vyberte najmenšiu a najväčšiu veľké číslo, zapíšte si odpoveď.

Sadneme si na breh modré more a udrieme do plytkej vody pätami:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente

Riešenie:
1) Vypočítajme hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponentmi a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítajme približné hodnoty, pričom nezabudnime, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente

Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém?

Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie.

Predpoklad Maximum a minimum (extrémum) funkcie sú nasledovné: ak má funkcia f(x) extrém v bode x = a, tak v tomto bode je derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo neexistuje.

Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivácia v bode x = a môže ísť k nule, nekonečnu alebo nemusí existovať bez toho, aby funkcia mala v tomto bode extrém.

Aká je dostatočná podmienka pre extrém funkcie (maximum alebo minimum)?

Prvá podmienka:

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) kladná vľavo od a a záporná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) maximálne

Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) záporná vľavo od a a kladná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) minimálne za predpokladu, že funkcia f(x) je tu spojitá.

Namiesto toho môžete použiť druhú dostatočnú podmienku pre extrém funkcie:

Nech v bode x = a prvá derivácia f?(x) zmizne; ak je druhá derivácia f??(a) záporná, tak funkcia f(x) má maximum v bode x = a, ak je kladná, tak má minimum.

Aký je kritický bod funkcie a ako ho nájsť?

Toto je hodnota argumentu funkcie, pri ktorej má funkcia extrém (t. j. maximum alebo minimum). Aby ste to našli, potrebujete nájsť derivát funkcia f?(x) a prirovnať ju k nule, vyriešiť rovnicu f?(x) = 0. Korene tejto rovnice, ako aj tie body, v ktorých derivácia tejto funkcie neexistuje, sú kritické body, t. j. hodnoty argumentu, v ktorých môže byť extrém. Dajú sa ľahko identifikovať pohľadom derivačný graf: zaujímajú nás tie hodnoty argumentu, pri ktorých graf funkcie pretína os x (os Ox) a tie, pri ktorých má graf nespojitosť.

Napríklad nájdime extrém paraboly.

Funkcia y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivácia funkcie: y?(x) = 6x + 2

Vyriešte rovnicu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tomto prípade je kritický bod x0=-1/3. Funkcia má práve túto hodnotu argumentu extrém. Jemu Nájsť, nahraďte nájdené číslo vo výraze za funkciu namiesto „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Ako určiť maximum a minimum funkcie, t.j. jeho najväčšie a najmenšie hodnoty?

Ak sa znamienko derivácie pri prechode cez kritický bod x0 zmení z „plus“ na „mínus“, potom x0 je maximálny bod; ak sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom x0 je minimálny bod; ak sa znamienko nemení, tak v bode x0 nie je ani maximum, ani minimum.

Pre uvažovaný príklad:

Vezmite ľubovoľnú hodnotu argumentu naľavo od kritický bod: x = -1

Pri x = -1 bude hodnota derivácie y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. j. znamienko je „mínus“).

Teraz vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pri x = 1 bude hodnota derivácie y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.j. znamienko je „plus“).

Ako vidíte, derivácia zmenila znamienko z mínus na plus pri prechode cez kritický bod. To znamená, že pri kritickej hodnote x0 máme minimálny bod.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale(na segmente) sa nachádzajú rovnakým postupom, len s prihliadnutím na skutočnosť, že možno nie všetky kritické body budú ležať v špecifikovanom intervale. Kritické body, ktoré sú mimo intervalu, musia byť vylúčené z úvahy. Ak je v intervale iba jeden kritický bod, bude mať buď maximum alebo minimum. V tomto prípade, aby sme určili najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, berieme do úvahy aj hodnoty funkcie na koncoch intervalu.

Napríklad nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

v intervaloch:

Takže derivácia funkcie je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Riešime rovnicu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body nájdeme na intervale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nie je zahrnuté v intervale)

Hodnoty funkcie nájdeme pri kritických hodnotách argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidieť, že na intervale [-9; 9] funkcia má najväčšiu hodnotu pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmenší - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervale [-6; -3] máme len jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkcie pri x = -4,88 sa rovná y = 5,398.

Nájdite hodnotu funkcie na koncoch intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervale [-6; -3] máme najväčšiu hodnotu funkcie

y = 5,398 pri x = -4,88

najmenšia hodnota -

y = 1,077 pri x = -3

Ako nájsť inflexné body funkčného grafu a určiť konvexnú a konkávnu stranu?

Ak chcete nájsť všetky inflexné body priamky y = f(x), musíte nájsť druhú deriváciu, prirovnať ju k nule (vyriešiť rovnicu) a otestovať všetky tie hodnoty x, pre ktoré je druhá derivácia nula, nekonečné alebo neexistuje. Ak pri prechode cez jednu z týchto hodnôt druhá derivácia zmení znamienko, potom má graf funkcie v tomto bode inflexiu. Ak sa to nezmení, potom nie je žiadny ohyb.

Korene rovnice f? (x) = 0, ako aj možné body diskontinuity funkcie a druhá derivácia rozdeľujú definičný obor funkcie na množstvo intervalov. Konvexnosť na každom z ich intervalov je určená znamienkom druhej derivácie. Ak je druhá derivácia v bode skúmaného intervalu kladná, potom je priamka y = f(x) konkávna smerom nahor a ak je záporná, potom smerom nadol.

Ako nájsť extrémy funkcie dvoch premenných?

Ak chcete nájsť extrémy funkcie f(x,y), diferencovateľné v oblasti jej špecifikácie, potrebujete:

1) nájdite kritické body, a preto vyriešte systém rovníc

fх? (x,y) = 0, fу? (x, y) = 0

2) pre každý kritický bod P0(a;b) skontrolujte, či znamienko rozdielu zostáva nezmenené

pre všetky body (x;y) dostatočne blízko k P0. Ak rozdiel zostane kladný, tak v bode P0 máme minimum, ak záporný, tak máme maximum. Ak si rozdiel nezachová svoje znamienko, potom v bode P0 neexistuje extrém.

Extrémy funkcie sú určené podobne pre viac argumenty.