drobná a pekná jednoduchá úloha z kategórie tých, ktoré slúžia ako záchranné lano pre plávajúceho študenta. V prírode, ospalá ríša polovice júla, a tak je čas usadiť sa s notebookom na pláži. Skoro ráno zahral slnečný lúč teórie, aby sa čoskoro zameral na prax, ktorá napriek deklarovanej ľahkosti obsahuje v piesku úlomky skla. V tejto súvislosti odporúčam svedomito zvážiť niekoľko príkladov tejto stránky. Na riešenie praktických úloh musíte byť schopní nájsť deriváty a porozumieť obsahu článku Intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.

Najprv stručne o hlavnej veci. V lekcii o kontinuita funkcie Uviedol som definíciu spojitosti v bode a spojitosti v intervale. Podobným spôsobom je formulované aj príkladné správanie funkcie na segmente. Funkcia je spojitá na segmente, ak:

1) je spojitá na intervale;
2) súvislý v bode napravo a na mieste vľavo.

Druhý odsek pojednáva o tzv jednostranná kontinuita funguje v určitom bode. Existuje niekoľko prístupov k jeho definícii, ale ja sa budem držať skôr začatej línie:

Funkcia je spojitá v bode napravo, ak je definovaný v danom bode a jeho pravá hranica sa zhoduje s hodnotou funkcie v danom bode: . V bode je spojitá vľavo, ak je definovaný v danom bode a jeho ľavá hranica sa rovná hodnote v tomto bode:

Predstavte si, že zelené bodky sú nechty, na ktorých je pripevnená magická gumička:

V duchu vezmite červenú čiaru do svojich rúk. Je zrejmé, že bez ohľadu na to, ako ďaleko natiahneme graf nahor a nadol (pozdĺž osi), funkcia stále zostane obmedzené- hore živý plot, dole živý plot a náš produkt sa pasie vo výbehu. teda funkcia spojitá na segmente je na ňom ohraničená. V priebehu matematickej analýzy je tento zdanlivo jednoduchý fakt konštatovaný a dôsledne dokázaný Prvá Weierstrassova veta.... Mnohým ľuďom vadí, že elementárne tvrdenia sú v matematike zdĺhavo podložené, no má to dôležitý význam. Predpokladajme, že istý obyvateľ terryho stredoveku vytiahol graf na oblohu za hranice viditeľnosti, toto bolo vložené. Pred vynálezom ďalekohľadu nebola obmedzená funkcia vo vesmíre vôbec zrejmá! Ako viete, čo nás čaká za horizontom? Veď kedysi bola Zem považovaná za plochú, takže dnes aj obyčajná teleportácia vyžaduje dôkaz =)

Podľa druhá Weierstrassova veta, kontinuálne na segmentefunkcia dosiahne svoje presný horný okraj a jeho presný spodný okraj .

Číslo sa tiež volá maximálna hodnota funkcie na segmente a označené a číslom - minimálna hodnota funkcie na intervale označené .

V našom prípade:

Poznámka : teoreticky sú záznamy bežné .

Zhruba povedané, najvyššia hodnota sa nachádza tam, kde vysoký bod grafika, a najmenší - kde je najnižší bod.

Dôležité! Ako už bolo uvedené v článku o extrémy funkcie, najväčšia hodnota funkcie A najmenšia funkčná hodnota – NIE SÚ ROVNAKÉ, Čo maximálna funkcia A funkčné minimum. Takže v tomto príklade je číslo minimom funkcie, ale nie minimálnou hodnotou.

Mimochodom, čo sa deje mimo segmentu? Áno, aj potopa, v kontexte zvažovaného problému nás toto vôbec nezaujíma. Úlohou je nájsť iba dve čísla a je to!

Navyše, riešenie je čisto analytické, preto netreba kresliť!

Algoritmus leží na povrchu a naznačuje sa z vyššie uvedeného obrázku:

1) Nájdite hodnoty funkcií v kritických bodov, ktoré patria do tohto segmentu.

Chyťte ešte jednu dobrotu: nie je potrebné kontrolovať dostatočnú podmienku pre extrém, pretože, ako sme práve ukázali, prítomnosť minima alebo maxima ešte nie je zaručené aká je minimálna alebo maximálna hodnota. Demonštračná funkcia dosahuje maximum a z vôle osudu je rovnaké číslo najväčšou hodnotou funkcie na intervale . Ale, samozrejme, nie vždy sa takáto náhoda odohrá.

Takže v prvom kroku je rýchlejšie a jednoduchšie vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do segmentu bez toho, aby ste sa obťažovali, či majú extrémy alebo nie.

2) Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu.

3) Spomedzi hodnôt funkcie nájdených v 1. a 2. odseku vyberieme najmenšiu a najviac veľké číslo, zapíšte si odpoveď.

Sadneme si na breh modré more a naraziť na päty v plytkej vode:

Príklad 1

Nájdite najväčšie a najmenšia hodnota funkcie na intervale

Riešenie:
1) Vypočítajte hodnoty funkcie v kritických bodoch patriacich do tohto segmentu:

Vypočítajme hodnotu funkcie v druhom kritickom bode:

2) Vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu:

3) „Tučné“ výsledky boli získané s exponenciálami a logaritmami, čo značne komplikuje ich porovnanie. Z tohto dôvodu sa vyzbrojíme kalkulačkou alebo Excelom a vypočítame približné hodnoty, pričom nezabudneme, že:

Teraz je všetko jasné.

Odpoveď:

Zlomkovo-racionálna inštancia pre nezávislé riešenie:

Príklad 6

Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie v segmente

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie sa nazýva najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojité funkcie je založená na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v nejakom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má iba jeden extrém, a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie. v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na niektorom segmente, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšie hodnoty na tomto segmente. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt v segmente sa odporúča použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, kde =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšiu f max a najmenšiu f min.

Pri riešení aplikovaných úloh, najmä optimalizačných úloh, sú dôležité úlohy hľadania najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X. Na riešenie takýchto úloh by sa malo na základe podmienky , vyberte nezávislú premennú a pomocou premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú maximálnu alebo minimálnu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienky úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorá môže byť konečná alebo nekonečná.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar pravouhlého rovnobežnostenu so štvorcovým dnom, hore otvoreným, treba zvnútra pocínovať. Aké by mali byť rozmery nádrže s objemom 108 litrov. vody, aby náklady na jej pocínovanie boli čo najmenšie?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú najnižšie, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm - stranu základne, b dm - výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah určuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Skúmame funkciu S pre extrém. Nájdite prvú deriváciu, prirovnajte ju k nule a vyriešte výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie medzi.

Riešenie: Nastaviť funkciu priebežne na celom číselnom rade. Derivácia funkcie

Derivát v a v . Vypočítajme hodnoty funkcie v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sa rovnajú . Preto je najväčšia hodnota funkcie at , najmenšia hodnota funkcie je at .

Otázky na samovyšetrenie

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo pre zverejnenie neistôt formulára. Uveďte rôzne typy neistôt, pre ktoré možno použiť L'Hospitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcej a klesajúcej funkcie.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutná podmienka existencia extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (aké body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie pre extrém pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie pre extrém pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť, konkávnosť krivky.

9. Aký je inflexný bod funkčného grafu? Uveďte, ako nájsť tieto body.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty funkčného grafu?

12. Štát všeobecná schémaštúdium funkcie a konštrukcie jeho grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom segmente.

Proces hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie na segmente pripomína fascinujúci let okolo objektu (graf funkcie) na helikoptére s streľbou z diaľkového kanóna v určitých bodoch a výberom z tieto body sú veľmi špeciálne body pre kontrolné strely. Body sa vyberajú určitým spôsobom a podľa toho určité pravidlá. Podľa akých pravidiel? Budeme o tom hovoriť ďalej.

Ak funkcia r = f(X) nepretržite v intervale [ a, b], potom dosiahne tento segment najmenej A najvyššie hodnoty . To sa môže stať buď v extrémne body alebo na koncoch segmentu. Preto nájsť najmenej A najväčšie hodnoty funkcie , súvislé na intervale [ a, b], musíte vypočítať všetky jeho hodnoty kritických bodov a na koncoch segmentu a potom vyberte najmenší a najväčší z nich.

Nech je napríklad potrebné určiť maximálnu hodnotu funkcie f(X) na segmente [ a, b]. Ak to chcete urobiť, nájdite všetky jeho kritické body ležiace na [ a, b] .

kritický bod sa nazýva bod, v ktorom funkcia definovaná, a jej derivát je buď nula, alebo neexistuje. Potom by ste mali vypočítať hodnoty funkcie v kritických bodoch. A nakoniec je potrebné porovnať hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu ( f(a) A f(b)). Najväčšie z týchto čísel bude najväčšia hodnota funkcie na intervale [a, b] .

Problém nájsť najmenšie hodnoty funkcie .

Spoločne hľadáme najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie

Príklad 1. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 2] .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie. Prirovnajte deriváciu k nule () a získajte dva kritické body: a . Na nájdenie najmenších a najväčších hodnôt funkcie na danom segmente stačí vypočítať jej hodnoty na koncoch segmentu a v bode , keďže bod nepatrí do segmentu [-1, 2]. Tieto funkčné hodnoty sú nasledovné: , , . Z toho vyplýva najmenšia funkčná hodnota(označené červenou farbou na grafe nižšie), rovné -7, sa dosiahne na pravom konci segmentu - v bode , a najväčší(na grafe aj červená), sa rovná 9, - v kritickom bode .

Ak je funkcia spojitá v určitom intervale a tento interval nie je segmentom (ale je napr. intervalom; rozdiel medzi intervalom a segmentom: hraničné body intervalu nie sú zahrnuté v intervale, ale hraničné body segmentu sú zahrnuté v segmente), potom medzi hodnotami funkcie nemusia byť najmenšie a najväčšie. Takže napríklad funkcia zobrazená na obrázku nižšie je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá najväčšiu hodnotu.

Avšak pre akýkoľvek interval (uzavretý, otvorený alebo nekonečný) platí nasledujúca vlastnosť spojitých funkcií.

Príklad 4. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente [-1, 3] .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako deriváciu kvocientu:

.

Deriváciu prirovnáme k nule, čím dostaneme jednotku kritický bod: . Patrí do intervalu [-1, 3] . Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Porovnajme tieto hodnoty. Záver: rovný -5/13, v bode a najväčšiu hodnotu rovná 1 v bode .

Pokračujeme v spoločnom hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcie

Sú učitelia, ktorí na tému hľadania najmenších a najväčších hodnôt funkcie nedávajú žiakom zložitejšie príklady ako tie, ktoré sú práve uvažované, teda také, v ktorých je funkciou polynóm alebo zlomok, čitateľ. a menovateľom ktorých sú polynómy. Neobmedzíme sa však na takéto príklady, pretože medzi učiteľmi sú milovníci toho, aby študenti premýšľali v plnom rozsahu (tabuľka derivátov). Preto sa použije logaritmus a goniometrické funkcie.

Príklad 6. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Deriváciu tejto funkcie nájdeme ako derivát produktu :

Deriváciu prirovnáme k nule, čo dáva jeden kritický bod: . Patrí do segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Výsledok všetkých akcií: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný 0, v bode a v bode a najväčšiu hodnotu rovná e² , v bode .

Príklad 7. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na segmente .

Riešenie. Nájdeme deriváciu tejto funkcie:

Prirovnajte deriváciu k nule:

Jediný kritický bod patrí segmentu. Aby sme našli najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v danom segmente, nájdeme jej hodnoty na koncoch segmentu a v nájdenom kritickom bode:

Záver: funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu, rovný , v bode a najväčšiu hodnotu, rovná sa , v bode .

V aplikovaných extrémnych problémoch sa hľadanie najmenších (najväčších) funkčných hodnôt spravidla redukuje na nájdenie minima (maxima). Väčší praktický význam však nemajú samotné minimá alebo maximá, ale hodnoty argumentu, pri ktorých sa dosahujú. Pri riešení aplikovaných problémov vzniká ďalší problém - zostavovanie funkcií, ktoré popisujú uvažovaný jav alebo proces.

Príklad 8 Nádrž s objemom 4, ktorá má tvar kvádra so štvorcovým dnom a je otvorená hore, musí byť pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, aby bola pokrytá čo najmenším množstvom materiálu?

Riešenie. Nechaj X- základná strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, V- jeho objem. Plocha nádrže je vyjadrená vzorcom, t.j. je funkciou dvoch premenných. Vyjadriť S ako funkciu jednej premennej používame skutočnosť, že , odkiaľ . Nahradenie nájdeného výrazu h do vzorca pre S:

Preskúmajme túto funkciu pre extrém. Je definovaný a diferencovateľný všade v ]0, +∞[ , a

.

Deriváciu prirovnáme k nule () a nájdeme kritický bod. Okrem toho v , derivát neexistuje, ale táto hodnota nie je zahrnutá v doméne definície, a preto nemôže byť extrémnym bodom. Takže - jediný kritický bod. Skontrolujme to na prítomnosť extrému pomocou druhého dostatočného znaku. Poďme nájsť druhú deriváciu. Keď je druhá derivácia väčšia ako nula (). To znamená, že keď funkcia dosiahne minimum . Pretože toto minimum - jediný extrém tejto funkcie, je to jej najmenšia hodnota. Takže strana základne nádrže by sa mala rovnať 2 m a jej výška.

Príklad 9 Z odseku A, ktorý sa nachádza na železničnej trati, do bodu S, vo vzdialenosti od neho l, tovar je potrebné prepraviť. Náklady na prepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdialenosti po železnici sa rovnajú , po diaľnici sa rovnajú . Do akého bodu M linky železnice diaľnica by mala byť postavená tak, aby preprava tovaru z A V S bola najhospodárnejšia AB predpokladá sa, že železnica je rovná)?

Ako nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente?

Pre to postupujeme podľa známeho algoritmu:

1 . Nájdeme funkcie ODZ.

2 . Hľadanie derivácie funkcie

3 . Prirovnajte deriváciu k nule

4 . Nájdeme intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko, a z nich určíme intervaly nárastu a poklesu funkcie:

Ak je na intervale I derivácia funkcie 0" title="f^(prvočíslo)(x)>0">, то функция !} sa v tomto intervale zvyšuje.

Ak je na intervale I derivácia funkcie , potom funkcia v tomto intervale klesá.

5 . nachádzame maximálne a minimálne body funkcie.

IN maximálny bod funkcie, derivácia zmení znamienko z "+" na "-".

IN minimálny bod funkciederivácia zmení znamienko z „-“ na „+“.

6 . Nájdeme hodnotu funkcie na koncoch segmentu,

• potom porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v maximálnych bodoch a vyberte najväčšiu z nich, ak potrebujete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie
• alebo porovnáme hodnotu funkcie na koncoch segmentu a v minimálnych bodoch a vyberte najmenšiu z nich, ak potrebujete nájsť najmenšiu hodnotu funkcie

Avšak v závislosti od toho, ako sa funkcia správa na intervale, môže byť tento algoritmus výrazne zredukovaný.

Zvážte funkciu . Graf tejto funkcie vyzerá takto:

Zoberme si niekoľko príkladov riešenia problémov z Open Task Bank pre

1. Úloha B15 (#26695)

Na reze.

1. Funkcia je definovaná pre všetky reálne hodnoty x

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia a derivácia je kladná pre všetky hodnoty x. Preto funkcia rastie a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, teda pri x=0.

odpoveď: 5.

2 . Úloha B15 (č. 26702)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente.

1.Funkcia ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Derivácia je nula v , avšak v týchto bodoch nemení znamienko:

Preto title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} sa zvyšuje a nadobúda najväčšiu hodnotu na pravom konci intervalu, pri .

Aby bolo jasné, prečo derivácia nemení znamienko, transformujeme výraz pre deriváciu takto:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

odpoveď: 5.

3. Úloha B15 (#26708)

Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie na intervale .

1. Funkcie ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Umiestnime korene tejto rovnice na trigonometrický kruh.

Interval obsahuje dve čísla: a

Umiestnime znamenia. Aby sme to dosiahli, určíme znamienko derivácie v bode x=0: . Pri prechode bodmi a deriváciou sa zmení znamienko.

Znázornime zmenu znamienok derivácie funkcie na súradnicovej čiare:

Je zrejmé, že bod je minimálny bod (kde derivácia mení znamienko z „-“ na „+“), a aby ste našli najmenšiu hodnotu funkcie na intervale, musíte porovnať hodnoty funkcie. v minimálnom bode a na ľavom konci segmentu, .

Štandardný algoritmus na riešenie takýchto úloh zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v nájdených bodoch maxima (alebo minima) a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.

Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? Napísali o tom.

Navrhujem vyriešiť takéto úlohy nasledovne:

1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do daného intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov bodu 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedáme na položenú otázku).

V priebehu riešenia prezentovaných príkladov nebolo riešenie detailne uvažované. kvadratické rovnice, mali by ste to zvládnuť. Mali by tiež vedieť.

Zvážte príklady:

77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch –2, –1 a 0:

Najväčšia hodnota funkcie je 6.

odpoveď: 6

77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 2 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Vypočítame funkčné hodnoty v bodoch 1, 2 a 4:

Najmenšia hodnota funkcie je -2.

odpoveď: -2

77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 6x 2 na segmente [-3; 3].

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 0 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:

Najmenšia hodnota funkcie je 0.

odpoveď: 0

77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Dostaneme korene: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.

Iba x = 1 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 1 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 na segmente [- 4; -1].

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň х = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:

Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 na segmente.

Nájdite deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie, vyriešte kvadratickú rovnicu:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň x = 4 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch 0 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je -109.

Odpoveď: -109

Zvážte metódu na určenie najväčších a najmenších hodnôt funkcií bez derivácie. Tento prístup možno použiť, ak máte definíciu derivátu veľké problémy. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).

77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d 7 + 12x - x 3 na segmente [-2; 2].

Nahrádzame body od -2 do 2: Zobraziť riešenie

77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 na segmente [-2; 0].

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.