Vzorec pre deriváciu funkcie zadanej parametrickým spôsobom. Dôkaz a príklady použitia tohto vzorca. Príklady výpočtu derivácií prvého, druhého a tretieho rádu.

Nech je funkcia špecifikovaná parametrickým spôsobom:
(1)
kde je nejaká premenná nazývaná parameter. A nech funkcie majú derivácie pri určitej hodnote premennej. Okrem toho má funkcia aj inverznú funkciu v určitom okolí bodu. Potom funkcia (1) má v bode deriváciu, ktorá je v parametrickom tvare určená vzorcami:
(2)

Tu a sú deriváty funkcií a vzhľadom na premennú (parameter). Často sú napísané takto:
;
.

Potom môže byť systém (2) napísaný takto:

Dôkaz

Podľa podmienky má funkcia inverznú funkciu. Označme to ako
.
Potom môže byť pôvodná funkcia reprezentovaná ako komplexná funkcia:
.
Nájdite jeho deriváciu pomocou pravidiel pre diferenciáciu komplexných a inverzných funkcií:
.

Pravidlo sa osvedčilo.

Dôkaz druhým spôsobom

Nájdite deriváciu druhým spôsobom na základe definície derivácie funkcie v bode:
.
Predstavme si notáciu:
.
Potom má predchádzajúci vzorec tvar:
.

Využime to, že funkcia má v okolí bodu inverznú funkciu.
Predstavme si nasledujúci zápis:
; ;
; .
Vydeľte čitateľa a menovateľa zlomku takto:
.
O , . Potom
.

Pravidlo sa osvedčilo.

Deriváty vyššieho rádu

Na nájdenie derivátov vyšších rádov je potrebné vykonať diferenciáciu niekoľkokrát. Povedzme, že potrebujeme nájsť deriváciu druhého rádu parametricky definovanej funkcie v nasledujúcom tvare:
(1)

Pomocou vzorca (2) nájdeme prvú deriváciu, ktorá je tiež určená parametricky:
(2)

Označme prvú deriváciu premennou:
.
Potom, aby ste našli druhú deriváciu funkcie vzhľadom na premennú, musíte nájsť prvú deriváciu funkcie vzhľadom na premennú. Závislosť premennej od premennej je tiež špecifikovaná parametrickým spôsobom:
(3)
Porovnaním (3) so vzorcami (1) a (2) zistíme:

Teraz vyjadrime výsledok prostredníctvom funkcií a . Aby sme to dosiahli, nahradíme a použijeme vzorec derivačnej frakcie:
.
Potom
.

Odtiaľ dostaneme druhú deriváciu funkcie vzhľadom na premennú:

Udáva sa aj v parametrickej forme. Všimnite si, že prvý riadok môže byť napísaný aj takto:
.

Pokračujúc v procese môžete získať derivácie funkcií z premennej tretieho a vyššieho rádu.

Všimnite si, že pre deriváciu nemusíme zavádzať zápis. Môžete to napísať takto:
;
.

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie definovanej parametricky:

Riešenie

Nájdeme deriváty vzhľadom na .
Z tabuľky derivátov zistíme:
;
.
Aplikujeme:

.
Tu .

.
Tu .

Požadovaný derivát:
.

Odpoveď

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie vyjadrenú parametrom:

Riešenie

Rozšírme zátvorky pomocou vzorcov pre výkonové funkcie a korene:
.

Nájdenie derivátu:

.

Nájdenie derivátu. Aby sme to dosiahli, zavedieme premennú a použijeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.

.

Nájdeme požadovaný derivát:
.

Odpoveď

Príklad 3

Nájdite derivácie druhého a tretieho rádu funkcie definovanej parametricky v príklade 1:

Riešenie

V príklade 1 sme našli deriváciu prvého poriadku:

Predstavme si označenie. Potom je funkcia derivovaná vzhľadom na . Je špecifikovaný parametricky:

Ak chcete nájsť druhú deriváciu vzhľadom na , musíme nájsť prvú deriváciu vzhľadom na .

Rozlišujme podľa .
.
Našli sme derivát v príklade 1:
.
Derivát druhého rádu vzhľadom na sa rovná derivátu prvého rádu vzhľadom na:
.

Takže sme našli derivát druhého rádu vzhľadom na parametrickú formu:

Teraz nájdeme deriváciu tretieho rádu. Predstavme si označenie. Potom musíme nájsť deriváciu prvého rádu funkcie, ktorá je špecifikovaná parametrickým spôsobom:

Nájdite derivát vzhľadom na . Aby sme to dosiahli, prepíšeme ho do ekvivalentnej formy:
.
Od

.

Derivácia tretieho rádu vzhľadom na sa rovná derivácii prvého rádu vzhľadom na:
.

Komentujte

Nemusíte zadávať premenné a , ktoré sú derivátmi a . Potom to môžete napísať takto:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Odpoveď

V parametrickej reprezentácii má derivát druhého rádu nasledujúci tvar:

Derivát tretieho rádu:

Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne.
Derivácia parametricky danú funkciu

V tomto článku sa pozrieme na ďalšie dve typické úlohy, ktoré sa často vyskytujú testy Autor: vyššia matematika. Aby ste látku úspešne zvládli, musíte byť schopní nájsť deriváty aspoň na strednej úrovni. Nájsť deriváty sa môžete naučiť prakticky od nuly v dvoch základných lekciách a Derivácia komplexnej funkcie. Ak sú vaše rozlišovacie schopnosti v poriadku, poďme na to.

Derivácia funkcie špecifikovanej implicitne

Alebo skrátka derivácia implicitnej funkcie. Čo je to implicitná funkcia? Najprv si spomeňme na samotnú definíciu funkcie jednej premennej:

Funkcia jednej premennej je pravidlo, podľa ktorého každej hodnote nezávislej premennej zodpovedá jedna a len jedna hodnota funkcie.

Premenná sa volá nezávislá premenná alebo argument.
Premenná sa volá závislá premenná alebo funkciu .

Doteraz sme sa zamerali na funkcie definované v explicitné formulár. Čo to znamená? Urobme zhrnutie na konkrétnych príkladoch.

Zvážte funkciu

Vidíme, že vľavo máme osamoteného „hráča“ a vpravo - iba "X". Teda funkcia výslovne vyjadrené prostredníctvom nezávislej premennej.

Pozrime sa na ďalšiu funkciu:

Tu sú premenné zmiešané. Navyše akýmkoľvek spôsobom nemožné vyjadrite „Y“ iba prostredníctvom „X“. Aké sú tieto metódy? Prenášanie pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, ich presúvanie zo zátvoriek, hádzanie faktorov podľa pravidla proporcie atď. Prepíšte rovnosť a pokúste sa explicitne vyjadriť „y“: . Môžete krútiť a otáčať rovnicu celé hodiny, ale neuspejete.

Dovoľte mi predstaviť vám: – príklad implicitná funkcia.

V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že implicitná funkcia existuje(nie však vždy), má graf (rovnako ako „normálna“ funkcia). Implicitná funkcia je úplne rovnaká existuje prvá derivácia, druhá derivácia atď. Ako sa hovorí, všetky práva sexuálnych menšín sú rešpektované.

A v tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť deriváciu funkcie špecifikovanej implicitne. Nie je to také ťažké! Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií zostávajú v platnosti. Rozdiel je v jednom zvláštnom momente, na ktorý sa pozrieme práve teraz.

Áno, a poviem vám dobrú správu - úlohy uvedené nižšie sa vykonávajú podľa pomerne prísneho a jasného algoritmu bez kameňa pred tromi stopami.

Príklad 1

1) V prvej fáze pripojíme ťahy na obe časti:

2) Používame pravidlá linearity derivácie (prvé dve pravidlá lekcie Ako nájsť derivát? Príklady riešení):

3) Priama diferenciácia.
Ako rozlišovať je úplne jasné. Čo robiť, keď sú pod ťahmi „hry“?

- až do hanby, derivácia funkcie sa rovná jej derivácii: .

Ako sa odlíšiť
Tu máme komplexná funkcia. prečo? Zdá sa, že pod sínusom je iba jedno písmeno „Y“. Faktom však je, že existuje iba jedno písmeno „y“ - JE SAMA FUNKCIOU(pozri definíciu na začiatku lekcie). Takže sínus je vonkajšia funkcia, – vnútorná funkcia. Používame pravidlo diferenciácie komplexná funkcia :

Produkt rozlišujeme podľa zaužívaného pravidla :

Upozorňujeme, že – je tiež komplexná funkcia, každá „hra so zvončekmi a píšťalkami“ je komplexná funkcia:

Samotné riešenie by malo vyzerať asi takto:


Ak existujú zátvorky, rozbaľte ich:

4) Na ľavej strane zhromažďujeme výrazy, ktoré obsahujú „Y“ s prvočíslom. IN pravá strana- preniesť všetko ostatné:

5) Na ľavej strane vyberieme deriváciu zo zátvoriek:

6) A podľa pravidla proporcie umiestnime tieto zátvorky do menovateľa pravej strany:

Derivát sa našiel. Pripravený.

Je zaujímavé poznamenať, že každá funkcia môže byť prepísaná implicitne. Napríklad funkcia možno prepísať takto: . A rozlíšiť to pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. V skutočnosti sa frázy „implicitná funkcia“ a „implicitná funkcia“ líšia v jednej sémantickej nuancii. Fráza „implicitne špecifikovaná funkcia“ je všeobecnejšia a správnejšia, – táto funkcia je špecifikovaná implicitne, ale tu môžete vyjadriť „hru“ a prezentovať funkciu explicitne. Fráza „implicitná funkcia“ sa vzťahuje na „klasickú“ implicitnú funkciu, keď „y“ nemožno vyjadriť.

Druhé riešenie

Pozor! S druhou metódou sa môžete zoznámiť iba vtedy, ak viete, ako ju s istotou nájsť parciálne deriváty. Začiatočníci v kalkulácii a figuríny, prosím nečítaj a preskoč tento bod, inak bude vaša hlava úplný chaos.

Nájdite deriváciu implicitnej funkcie pomocou druhej metódy.

Všetky termíny prenášame na ľavá strana:

A zvážte funkciu dvoch premenných:

Potom je možné nájsť našu deriváciu pomocou vzorca
Poďme nájsť parciálne derivácie:

Takto:

Druhé riešenie umožňuje vykonať kontrolu. Neodporúča sa im však vypisovať konečnú verziu zadania, pretože parciálne derivácie sa ovládajú neskôr a študent, ktorý študuje tému „Derivácia funkcie jednej premennej“, by parciálne derivácie ešte nemal poznať.

Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Pridajte ťahy do oboch častí:

Používame pravidlá linearity:

Hľadanie derivátov:

Otvorenie všetkých zátvoriek:

Všetky výrazy s presunieme na ľavú stranu, zvyšok na pravú stranu:

Konečná odpoveď:

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Kompletné riešenie a vzorový dizajn na konci lekcie.

Nie je nezvyčajné, že zlomky vznikajú po diferenciácii. V takýchto prípadoch sa musíte zbaviť zlomkov. Pozrime sa na ďalšie dva príklady.

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Obe časti uzavrieme pod ťahy a použijeme pravidlo linearity:

Diferencujte pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie a pravidlo diferenciácie kvocientov :

Rozšírenie zátvoriek:

Teraz sa musíme zbaviť zlomku. Dá sa to urobiť neskôr, ale racionálnejšie je to urobiť hneď. Menovateľ zlomku obsahuje . Vynásobte na . V detaile to bude vyzerať takto:

Niekedy sa po diferenciácii objavia 2-3 frakcie. Ak by sme mali napríklad ďalší zlomok, potom by bolo potrebné operáciu zopakovať – vynásobiť každý termín každej časti na

Na ľavej strane sme to dali zo zátvoriek:

Konečná odpoveď:

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie danej implicitne

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Jediná vec je, že predtým, ako sa zbavíte zlomku, budete sa musieť najskôr zbaviť trojposchodovej štruktúry samotného zlomku. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Derivácia parametricky definovanej funkcie

Nezaťažujme sa, všetko v tomto odseku je tiež celkom jednoduché. Môžete si zapísať všeobecný vzorec parametricky definovanej funkcie, ale aby to bolo jasné, okamžite napíšem konkrétny príklad. V parametrickom tvare je funkcia daná dvoma rovnicami: . Rovnice sa často nepíšu do zložených zátvoriek, ale postupne: , .

Premenná sa nazýva parameter a môže nadobúdať hodnoty od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvážte napríklad hodnotu a dosaďte ju do oboch rovníc: . Alebo ľudsky: "ak sa x rovná štyrom, potom y sa rovná jednej." Na rovine súradníc môžete označiť bod a tento bod bude zodpovedať hodnote parametra. Podobne môžete nájsť bod pre akúkoľvek hodnotu parametra „te“. Rovnako ako pri „bežnej“ funkcii, napr americkí indiáni parametricky definovanej funkcie sú tiež rešpektované všetky práva: môžete zostaviť graf, nájsť deriváty atď. Mimochodom, ak potrebujete nakresliť graf parametricky definovanej funkcie, môžete použiť môj program.

V najjednoduchších prípadoch je možné funkciu reprezentovať explicitne. Vyjadrime parameter z prvej rovnice: - a dosaďte ho do druhej rovnice: . Výsledkom je obyčajná kubická funkcia.

V „závažnejších“ prípadoch tento trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, pretože existuje vzorec na nájdenie derivácie parametrickej funkcie:

Nájdeme derivát „hry vzhľadom na premennú te“:

Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivátov sú samozrejme platné pre písmeno , teda v procese hľadania derivátov nie je žiadna novinka. Len mentálne nahraďte všetky „X“ v tabuľke písmenom „Te“.

Nájdeme deriváciu „x vzhľadom na premennú te“:

Teraz už zostáva len nahradiť nájdené deriváty do nášho vzorca:

Pripravený. Derivácia, podobne ako samotná funkcia, závisí aj od parametra.

Pokiaľ ide o notáciu, namiesto zápisu do vzorca by sa to dalo jednoducho napísať bez dolného indexu, pretože ide o „bežný“ derivát „vzhľadom na X“. Ale v literatúre je vždy možnosť, takže nebudem vybočovať zo štandardu.

Príklad 6

Používame vzorec

V tomto prípade:

Takto:

Zvláštnosťou hľadania derivácie parametrickej funkcie je fakt, že v každom kroku je výhodné čo najviac zjednodušiť výsledok. Takže v uvažovanom príklade, keď som to našiel, otvoril som zátvorky pod koreňom (aj keď som to možno neurobil). Je veľká šanca, že pri dosadzovaní do vzorca sa veľa vecí dobre zredukuje. Aj keď, samozrejme, existujú príklady s nemotornými odpoveďami.

Príklad 7

Nájdite deriváciu parametricky zadanej funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

V článku Najjednoduchšie typické problémy s derivátmi pozreli sme sa na príklady, v ktorých sme potrebovali nájsť druhú deriváciu funkcie. Pre parametricky definovanú funkciu môžete nájsť aj druhú deriváciu, a to pomocou nasledujúceho vzorca: . Je celkom zrejmé, že ak chcete nájsť druhú deriváciu, musíte najprv nájsť prvú deriváciu.

Príklad 8

Nájdite prvú a druhú deriváciu parametricky zadanej funkcie

Najprv nájdime prvú deriváciu.
Používame vzorec

V tomto prípade:

Nájdené deriváty dosadíme do vzorca. Pre zjednodušenie používame trigonometrický vzorec:

Zvážte definovanie priamky v rovine, v ktorej sú premenné x, y funkciami tretej premennej t (nazývanej parameter):

Pre každú hodnotu t z určitého intervalu zodpovedajú určité hodnoty X A y, a, teda určitý bod M (x, y) roviny. Kedy t prechádza cez všetky hodnoty z daného intervalu, potom bod M (x, y) opisuje nejaký riadok L. Rovnice (2.2) sa nazývajú parametrické priamkové rovnice L.

Ak má funkcia x = φ(t) inverznú hodnotu t = Ф(x), potom dosadením tohto výrazu do rovnice y = g(t) dostaneme y = g(Ф(x)), ktoré určuje r ako funkcia X. V tomto prípade hovoríme, že rovnice (2.2) definujú funkciu r parametricky.

Príklad 1 Nechaj M(x,y)– ľubovoľný bod na kružnici s polomerom R a sústredené v počiatku. Nechaj t– uhol medzi os Vôl a polomer OM(pozri obr. 2.3). Potom x, y sú vyjadrené prostredníctvom t:

Rovnice (2.3) sú parametrické rovnice kruhu. Vylúčme parameter t z rovníc (2.3). Aby sme to urobili, každú rovnicu odmocníme a sčítame, dostaneme: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) alebo x 2 + y 2 = R 2 – rovnica kruhu v karteziáne súradnicový systém. Definuje dve funkcie: Každá z týchto funkcií je daná parametrickými rovnicami (2.3), ale pre prvú funkciu a pre druhú .

Príklad 2. Parametrické rovnice

definujte elipsu s poloosami a, b(obr. 2.4). Vylúčenie parametra z rovníc t dostaneme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 3. Cykloida je priamka opísaná bodom ležiacim na kružnici, ak sa táto kružnica valí bez kĺzania po priamke (obr. 2.5). Uveďme si parametrické rovnice cykloidy. Nech je polomer valivého kruhu a, bodka M, popisujúci cykloidu, sa na začiatku pohybu zhodoval s pôvodom súradníc.

Poďme určiť súradnice X, y bodov M po otočení kruhu o uhol t
(obr. 2.5), t = ÐMCB. Dĺžka oblúka M.B. rovná dĺžke segmentu O.B. keďže sa kruh kotúľa bez pošmyknutia, teda

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – náklady = a(1 – náklady).

Takto sa získajú parametrické rovnice cykloidy:

Pri zmene parametra t od 0 do 2π kružnica sa otočí o jednu otáčku a bod M opisuje jeden oblúk cykloidy. Rovnice (2.5) dávajú r ako funkcia X. Hoci funkcia x = a(t – sint) má inverznú funkciu, ale nie je vyjadrená v termínoch elementárne funkcie, teda funkcia y = f(x) nie je vyjadrená prostredníctvom elementárnych funkcií.

Uvažujme o diferenciácii funkcie definovanej parametricky rovnicami (2.2). Funkcia x = φ(t) na určitom intervale zmeny t má inverznú funkciu t = Ф(x), Potom y = g(Ф(x)). Nechaj x = φ(t), y = g(t) majú deriváty a x"t≠0. Podľa pravidla diferenciácie komplexných funkcií y"x=y"txt"x. Na základe pravidla diferenciácie inverzná funkcia, Preto:

Výsledný vzorec (2.6) umožňuje nájsť deriváciu pre funkciu špecifikovanú parametricky.

Príklad 4. Nechajte funkciu r, záleží na X, je špecifikovaný parametricky:

Riešenie. .
Príklad 5. Nájdite svah k dotyčnica k cykloide v bode M 0 zodpovedajúcom hodnote parametra.
Riešenie. Z cykloidných rovníc: y" t = asint, x" t = a(1 – náklady), Preto

Faktor sklonu dotyčnica v bode M0 rovná hodnote pri t0 = π/4:

DIFERENCIÁLNA FUNKCIA

Nechajte funkciu v bode x 0 má derivát. A-priorita:
teda podľa vlastností limitu (bod 1.8), kde a– nekonečne malý pri Δx → 0. Odtiaľ

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Keďže Δx → 0, druhý člen v rovnosti (2.7) je nekonečne malé číslo vyššieho rádu, v porovnaní s , preto sú Δy a f " (x 0) × Δx ekvivalentné, nekonečne malé (pre f "(x 0) ≠ 0).

Prírastok funkcie Δy teda pozostáva z dvoch členov, z ktorých prvý f "(x 0)×Δx je Hlavná časť prírastok Δy, lineárny vzhľadom na Δx (pre f "(x 0)≠ 0).

Diferenciál funkcia f(x) v bode x 0 sa nazýva hlavná časť prírastku funkcie a označuje sa: D Y alebo df(x0). teda

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Príklad 1 Nájdite diferenciál funkcie D Y a prírastok funkcie Δy pre funkciu y = x 2 pri:
1) svojvoľné X a A X; 2) x 0 = 20, Ax = 0,1.

Riešenie

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ak x 0 = 20, Δx = 0,1, potom Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 x 0,1 = 4.

Napíšme rovnosť (2.7) v tvare:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Prírastok Δy sa líši od diferenciálu D Y na infinitezimálu vyššieho rádu v porovnaní s Δx, preto sa pri približných výpočtoch používa približná rovnosť Δy ≈ dy, ak je Δx dostatočne malá.

Ak vezmeme do úvahy, že Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), dostaneme približný vzorec:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Príklad 2. Vypočítajte približne.

Riešenie. Zvážte:

Pomocou vzorca (2.10) dostaneme:

Takže ≈ 2,025.

Uvažujme geometrický význam diferenciál df(x 0)(obr. 2.6).

Nakreslime dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode M 0 (x0, f(x 0)), nech φ je uhol medzi dotyčnicou KM0 a osou Ox, potom f"( x 0) = tanφ. Od ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ale PN je prírastok tečnovej ordináty, keď sa x mení z x 0 na x 0 + Δx.

V dôsledku toho sa diferenciál funkcie f(x) v bode x 0 rovná prírastku ordináty dotyčnice.

Poďme nájsť diferenciál funkcie
y = x. Keďže (x)" = 1, potom dx = 1×Δx = Δx. Budeme predpokladať, že diferenciál nezávislej premennej x sa rovná jej prírastku, t.j. dx = Δx.

Ak x je ľubovoľné číslo, potom z rovnosti (2.8) dostaneme df(x) = f "(x)dx, odkiaľ .
Derivácia funkcie y = f(x) sa teda rovná pomeru jej diferenciálu k diferenciálu argumentu.

Uvažujme o vlastnostiach diferenciálu funkcie.

Ak sú u(x), v(x) diferencovateľné funkcie, potom sú platné nasledujúce vzorce:

Na dôkaz týchto vzorcov sa používajú derivačné vzorce pre súčet, súčin a kvocient funkcie. Dokážme napríklad vzorec (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Uvažujme diferenciál komplexnej funkcie: y = f(x), x = φ(t), t.j. y = f(φ(t)).

Potom dy = y" t dt, ale y" t = y" x ×x" t, takže dy = y" x x" t dt. berúc do úvahy,

že x" t = dx, dostaneme dy = y" x dx =f "(x)dx.

Diferenciál komplexnej funkcie y = f(x), kde x =φ(t), má teda tvar dy = f "(x)dx, rovnako ako v prípade, že x je nezávislá premenná. Táto vlastnosť sa volá invariantnosť tvaru diferenciálu A.

Funkciu je možné špecifikovať niekoľkými spôsobmi. Závisí to od pravidla, ktoré sa používa na jeho určenie. Explicitná forma špecifikácie funkcie je y = f (x). Sú chvíle, keď je jeho popis nemožný alebo nepohodlný. Ak existuje veľa párov (x; y), ktoré je potrebné vypočítať pre parameter t za interval (a; b). Na vyriešenie systému x = 3 náklady t y = 3 sin t s 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definícia parametrickej funkcie

Odtiaľ máme, že x = φ (t), y = ψ (t) sú definované na hodnote t ∈ (a; b) a majú inverznú funkciu t = Θ (x) pre x = φ (t), potom hovoríme o o špecifikovaní parametrickej rovnice funkcie v tvare y = ψ (Θ (x)).

Sú prípady, keď na štúdium funkcie je potrebné hľadať deriváciu vzhľadom na x. Uvažujme vzorec pre deriváciu parametricky definovanej funkcie tvaru y x " = ψ " (t) φ " (t), hovorme o derivácii 2. a n-tého rádu.

Odvodenie vzorca pre deriváciu parametricky definovanej funkcie

Máme, že x = φ (t), y = ψ (t), definované a diferencovateľné pre t ∈ a; b, kde x t " = φ " (t) ≠ 0 a x = φ (t), potom existuje inverzná funkcia tvaru t = Θ (x).

Na začiatok by ste mali prejsť od parametrickej úlohy k explicitnej. Aby ste to dosiahli, musíte získať komplexnú funkciu tvaru y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kde je argument x.

Na základe pravidla na nájdenie derivácie komplexnej funkcie dostaneme, že y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

To ukazuje, že t = Θ (x) a x = φ (t) sú inverzné funkcie zo vzorca inverznej funkcie Θ " (x) = 1 φ " (t), potom y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ" (t) .

Prejdime k úvahe o riešení niekoľkých príkladov pomocou tabuľky derivácií podľa diferenciačného pravidla.

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie x = t 2 + 1 y = t.

Riešenie

Podľa podmienky máme, že φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, odtiaľ dostaneme, že φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Musíte použiť odvodený vzorec a napísať odpoveď v tvare:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

odpoveď: yx" = 12 t x = t2 + 1.

Pri práci s deriváciou funkcie h parameter t špecifikuje vyjadrenie argumentu x cez rovnaký parameter t, aby sa nestratilo spojenie medzi hodnotami derivácie a parametricky definovanou funkciou s argumentom to ktorým tieto hodnoty zodpovedajú.

Ak chcete určiť deriváciu druhého rádu parametricky danej funkcie, musíte použiť vzorec pre deriváciu prvého rádu na výslednej funkcii, potom dostaneme, že

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Príklad 2

Nájdite derivácie 2. a 2. rádu danej funkcie x = cos (2 t) y = t 2 .

Riešenie

Podľa podmienky zistíme, že φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Potom po transformácii

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Z toho vyplýva, že y x " = ψ " (t) φ" (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Dostaneme, že tvar derivácie 1. rádu je x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Na vyriešenie musíte použiť odvodený vzorec druhého rádu. Dostaneme vyjadrenie formy

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Potom zadanie derivácie 2. rádu pomocou parametrickej funkcie

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Podobné riešenie je možné vyriešiť pomocou inej metódy. Potom

φ " t = (cos (2 t)) " = - hriech (2 t) 2 t " = - 2 hriechy (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 hriechy (2 t) " = - 2 hriechy (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) = 2

Odtiaľ to máme

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = hriech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

odpoveď: y "" x = hriech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Podobným spôsobom sa nachádzajú derivácie vyššieho rádu s parametricky definovanými funkciami.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nezaťažujme sa, všetko v tomto odseku je tiež celkom jednoduché. Všeobecný vzorec pre parametricky definovanú funkciu si môžete zapísať, ale aby bolo jasné, hneď napíšem konkrétny príklad. V parametrickom tvare je funkcia daná dvoma rovnicami: . Rovnice sa často nepíšu do zložených zátvoriek, ale postupne: , .

Premenná sa nazýva parameter a môže nadobúdať hodnoty od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“. Zvážte napríklad hodnotu a dosaďte ju do oboch rovníc: . Alebo ľudsky: "ak sa x rovná štyrom, potom y sa rovná jednej." Na rovine súradníc môžete označiť bod a tento bod bude zodpovedať hodnote parametra. Podobne môžete nájsť bod pre akúkoľvek hodnotu parametra „te“. Pokiaľ ide o „bežnú“ funkciu, pre amerických Indiánov s parametricky definovanou funkciou sú tiež rešpektované všetky práva: môžete zostaviť graf, nájsť deriváty atď. Mimochodom, ak potrebujete nakresliť graf parametricky zadanej funkcie, stiahnite si môj geometrický program na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

V najjednoduchších prípadoch je možné funkciu reprezentovať explicitne. Vyjadrime parameter z prvej rovnice: - a dosaďte ho do druhej rovnice: . Výsledkom je obyčajná kubická funkcia.

V „závažnejších“ prípadoch tento trik nefunguje. Ale na tom nezáleží, pretože existuje vzorec na nájdenie derivácie parametrickej funkcie:

Nájdeme derivát „hry vzhľadom na premennú te“:

Všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivátov sú samozrejme platné pre písmeno , teda v procese hľadania derivátov nie je žiadna novinka. Len mentálne nahraďte všetky „X“ v tabuľke písmenom „Te“.

Nájdeme deriváciu „x vzhľadom na premennú te“:

Teraz už zostáva len nahradiť nájdené deriváty do nášho vzorca:

Pripravený. Derivácia, podobne ako samotná funkcia, závisí aj od parametra.

Pokiaľ ide o notáciu, namiesto zápisu do vzorca by sa to dalo jednoducho napísať bez dolného indexu, pretože ide o „bežný“ derivát „vzhľadom na X“. Ale v literatúre je vždy možnosť, takže nebudem vybočovať zo štandardu.

Príklad 6

Používame vzorec

V tomto prípade:

Takto:

Zvláštnosťou hľadania derivácie parametrickej funkcie je fakt, že v každom kroku je výhodné čo najviac zjednodušiť výsledok. Takže v uvažovanom príklade, keď som to našiel, otvoril som zátvorky pod koreňom (aj keď som to možno neurobil). Je veľká šanca, že pri dosadzovaní do vzorca sa veľa vecí dobre zredukuje. Aj keď, samozrejme, existujú príklady s nemotornými odpoveďami.

Príklad 7

Nájdite deriváciu parametricky zadanej funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

V článku Najjednoduchšie typické problémy s derivátmi pozreli sme sa na príklady, v ktorých sme potrebovali nájsť druhú deriváciu funkcie. Pre parametricky definovanú funkciu môžete nájsť aj druhú deriváciu, a to pomocou nasledujúceho vzorca: . Je celkom zrejmé, že ak chcete nájsť druhú deriváciu, musíte najprv nájsť prvú deriváciu.

Príklad 8

Nájdite prvú a druhú deriváciu parametricky zadanej funkcie

Najprv nájdime prvú deriváciu.
Používame vzorec

V tomto prípade:

Dosadí nájdené deriváty do vzorca. Pre zjednodušenie používame trigonometrický vzorec:

Všimol som si, že pri probléme hľadania derivácie parametrickej funkcie je dosť často pre účely zjednodušenia potrebné použiť trigonometrické vzorce . Zapamätajte si ich alebo ich majte poruke a nenechajte si ujsť príležitosť zjednodušiť každý medzivýsledok a odpovede. Prečo? Teraz musíme vziať derivát , a to je jednoznačne lepšie ako nájsť derivát .

Poďme nájsť druhú deriváciu.
Používame vzorec: .

Pozrime sa na náš vzorec. Menovateľ už bol nájdený v predchádzajúcom kroku. Zostáva nájsť čitateľa - derivát prvého derivátu vzhľadom na premennú „te“:

Zostáva použiť vzorec:

Na posilnenie materiálu vám ponúkam niekoľko ďalších príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami.

Príklad 9

Príklad 10

Nájdite a pre funkciu špecifikovanú parametricky

Prajem ti úspech!

Dúfam, že táto lekcia bola užitočná a teraz môžete ľahko nájsť deriváty funkcií špecifikovaných implicitne a z parametrických funkcií

Riešenia a odpovede:

Príklad 3: Riešenie:






Takto: