Rovnica dotyčnice v bode x0. Online kalkulačka. Rovnica priamej dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotyčného bodu menej ako nula.

Ukážte riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Získame sústavu rovníc \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, takže x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Ukážte riešenie

Riešenie

Faktor sklonu priamka ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=-2x+5, čo znamená y"(x_0)=- 2x_0+5. Sklon priamky y=-3x+4 zadanej v podmienke je rovný -3. Rovnobežné čiary majú rovnaké sklony. Preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že =-2x_0 +5=- 3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Ukážte riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox, ktorá je tupá.

Ako je známe, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov dostaneme: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je väčšia ako nula.

Ukážte riešenie

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Získame sústavu rovníc \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, takže x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou y=6.

Ukážte riešenie

Riešenie

Priamka y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Zapnuté tento graf takéto body sú extrémne body (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Ukážte riešenie

Riešenie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y=x^2-4x+9 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=2x-4, čo znamená y"(x_0)= 2x_0-4. Sklon dotyčnice y =4x-7, zadaný v podmienke, je rovný 4. Rovnobežné čiary majú rovnaké uhlové koeficienty. Preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že 2x_0-4 = 4. získať: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s osou x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Ukážte riešenie

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.

Inštrukcie

Určíme uhlový koeficient dotyčnice ku krivke v bode M.
Krivka predstavujúca graf funkcie y = f(x) je spojitá v určitom okolí bodu M (vrátane samotného bodu M).

Ak hodnota f‘(x0) neexistuje, potom buď neexistuje dotyčnica, alebo prebieha vertikálne. Z tohto hľadiska je prítomnosť derivácie funkcie v bode x0 spôsobená existenciou nevertikálnej dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x0, f(x0)). V tomto prípade bude uhlový koeficient dotyčnice rovný f "(x0). Je teda jasné geometrický význam derivácia – výpočet sklonu dotyčnice.

Nájdite hodnotu abscisy dotyčnicového bodu, ktorý je označený písmenom „a“. Ak sa zhoduje s daným dotykovým bodom, potom „a“ bude jeho x-ová súradnica. Určte hodnotu funkcie f(a) dosadením do rovnice funkcie hodnota úsečky.

Určte prvú deriváciu rovnice funkcie f’(x) a dosaďte doň hodnotu bodu „a“.

Vezmite všeobecná rovnica dotyčnicu, ktorá je definovaná ako y = f(a) = f (a)(x – a), a dosaďte do nej nájdené hodnoty a, f(a), f "(a). nájde sa riešenie grafu a dotyčnice.

Vyriešte úlohu iným spôsobom, ak sa daný dotykový bod nezhoduje s dotykovým bodom. V tomto prípade je potrebné namiesto čísel v tangentovej rovnici nahradiť „a“. Potom namiesto písmen „x“ a „y“ dosaďte hodnotu súradníc daného bodu. Vyriešte výslednú rovnicu, v ktorej „a“ je neznáma. Vložte výslednú hodnotu do rovnice dotyčnice.

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu s písmenom „a“, ak problém špecifikuje rovnicu funkcie a rovnicu rovnobežky vzhľadom k požadovanej dotyčnici. Potom potrebujeme deriváciu funkcie, na súradnicu v bode „a“. Dosaďte príslušnú hodnotu do rovnice dotyčnice a vyriešte funkciu.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Zapnuté moderná scéna rozvoj vzdelania, jednou z jeho hlavných úloh je formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov možno rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov výskumnej činnosti. Základom pre uplatnenie tvorivých síl, schopností a talentu študentov sú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je nemenej dôležitý problém vytvorenia systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školského kurzu matematiky. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených interagujúcich prvkov, ktoré majú celistvosť a stabilnú štruktúru.

Uvažujme o technike, ako naučiť študentov písať rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie. V podstate všetky problémy hľadania tangensovej rovnice spočívajú v potrebe vybrať z množiny (zväzku, rodiny) čiar tie, ktoré spĺňajú určitú požiadavku - sú dotyčnicou ku grafu určitej funkcie. V tomto prípade je možné množinu riadkov, z ktorých sa vykonáva výber, určiť dvoma spôsobmi:

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (rovnobežný lúč priamok).

V tomto ohľade sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy problémov:

1) problémy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) problémy na dotyčnici danej jej sklonom.

Školenie v riešení tangenciálnych problémov sa uskutočnilo pomocou algoritmu navrhnutého A.G. Mordkovič. Jej zásadný rozdiel od už známych je v tom, že úsečka dotykového bodu je označená písmenom a (namiesto x0), a preto rovnica dotyčnice nadobúda tvar

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(porovnaj s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Táto metodická technika podľa nášho názoru umožňuje študentom rýchlo a jednoducho pochopiť, kde sú súradnice aktuálneho bodu v všeobecnú tangentovú rovnicu a kde sú body dotyku.

Algoritmus na zostavenie tangensovej rovnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Nájdené čísla a, f(a), f "(a) dosaďte do všeobecnej rovnice dotyčnice y = f(a) = f "(a)(x – a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe nezávislej identifikácie operácií študentov a postupnosti ich implementácie.

Prax ukázala, že postupné riešenie každého z kľúčových problémov pomocou algoritmu vám umožňuje rozvíjať zručnosti zapisovania rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v etapách a kroky algoritmu slúžia ako referenčné body pre akcie. . Tento prístup zodpovedá teórii postupného formovania mentálnych akcií, ktorú vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je dotykový bod, pretože

1. a = 3 – úsečka dotykového bodu.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangentová rovnica.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = – x 2 – 4x + 2 prechádzajúcej bodom M(– 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykový bod, keďže f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f" (a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a = – 2, rovnica dotyčnice má tvar y = 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = x 3 – 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y = 9x + 1.

1. a – úsečka dotykového bodu.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale na druhej strane f "(a) = 9 (podmienka rovnobežnosti). To znamená, že potrebujeme vyriešiť rovnicu 3a 2 – 6a = 9. Jej korene sú a = – 1, a = 3 (obr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f" (– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – tangensová rovnica.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 – 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) = tan 45° zistíme a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – úsečka dotykového bodu.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému spočíva v riešení jedného alebo viacerých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 – 5x – 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka dotykového bodu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a = 3 – úsečka bodu dotyku jednej zo strán pravý uhol.
2. f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – rovnica prvej dotyčnice.

Nech a je uhol sklonu prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Nájdeme

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je rovný .

Ďalšie riešenie sa týka kľúčovej úlohy 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. – úsečka druhého bodu dotyku.
2.
3.
4.
– rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Uhlový koeficient dotyčnice sa dá ľahšie zistiť, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = – 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc ku grafom funkcií

Riešenie. Problém spočíva v nájdení úsečky tečných bodov spoločných dotyčníc, teda pri riešení kľúčového problému 1 v všeobecný pohľad, zostavenie sústavy rovníc a jej následné riešenie (obr. 6).

1. Nech a je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.

Keďže dotyčnice sú všeobecné, potom

Takže y = x + 1 a y = – 3x – 3 sú spoločné dotyčnice.

Hlavným cieľom uvažovaných úloh je pripraviť študentov na samostatné rozpoznanie typu kľúčového problému pri riešení zložitejších problémov, ktoré si vyžadujú určité výskumné zručnosti (schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, predkladať hypotézy atď.). Takéto úlohy zahŕňajú akúkoľvek úlohu, v ktorej je kľúčová úloha zahrnutá ako komponent. Uvažujme ako príklad problém ( inverzný problém 1) nájsť funkciu z rodiny jej dotyčníc.

3. Pre aké b a c sú priamky y = x a y = – 2x dotyčnica ku grafu funkcie y = x 2 + bx + c?

Nech t je úsečka bodu dotyku priamky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka dotykového bodu priamky y = – 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnica dotyčnice y = x bude mať tvar y = (2t + b)x + c – t 2 a rovnica dotyčnice y = – 2x bude mať tvar y = (2p + b)x + c – p 2 .

Zostavme a riešme sústavu rovníc

odpoveď:

V tomto článku analyzujeme všetky typy problémov, ktoré treba nájsť

Spomeňme si geometrický význam derivácie: ak je ku grafu funkcie v bode nakreslená dotyčnica, potom koeficient sklonu dotyčnice (rovnajúci sa dotyčnici uhla medzi dotyčnicou a kladným smerom osi) sa rovná derivácii funkcie. v bode.

Zoberme si ľubovoľný bod na dotyčnici so súradnicami:

A zvážte pravouhlý trojuholník:

V tomto trojuholníku

Odtiaľ

Toto je rovnica dotyčnice nakreslená ku grafu funkcie v bode.

Na napísanie rovnice dotyčnice nám stačí poznať rovnicu funkcie a bod, v ktorom je dotyčnica nakreslená. Potom môžeme nájsť a .

Existujú tri hlavné typy problémov tangenciálnych rovníc.

1. Daný kontaktný bod

2. Je daný koeficient sklonu dotyčnice, teda hodnota derivácie funkcie v bode.

3. Dané sú súradnice bodu, cez ktorý je dotyčnica vedená, ale ktorý nie je dotykovým bodom.

Pozrime sa na každý typ úlohy.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

b) Nájdite hodnotu derivátu v bode . Najprv nájdime deriváciu funkcie

Nájdené hodnoty dosadíme do tangentovej rovnice:

Otvorme zátvorky na pravej strane rovnice. Dostaneme:

odpoveď: .

2. Nájdite úsečku bodov, v ktorých sa funkcie dotýkajú grafu rovnobežne s osou x.

Ak je dotyčnica rovnobežná s osou x, uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi je nulový, preto je dotyčnica uhla dotyčnice nula. To znamená, že hodnota derivácie funkcie v bodoch dotyku je nula.

a) Nájdite deriváciu funkcie .

b) Prirovnajme deriváciu k nule a nájdime hodnoty, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou:

Prirovnaním každého faktora k nule dostaneme:

Odpoveď: 0;3;5

3. Napíšte rovnice pre dotyčnice ku grafu funkcie , paralelný rovno .

Dotyčnica je rovnobežná s priamkou. Sklon tejto čiary je -1. Keďže dotyčnica je rovnobežná s touto priamkou, sklon dotyčnice je tiež -1. Teda poznáme sklon dotyčnice, a tým, derivačná hodnota v bode dotyku.

Toto je druhý typ problému na nájdenie tangentovej rovnice.

Dostaneme teda funkciu a hodnotu derivácie v bode dotyku.

a) Nájdite body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná -1.

Najprv nájdime derivačnú rovnicu.

Prirovnajme deriváciu k číslu -1.

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa podmienok)

b) Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

Nájdite hodnotu funkcie v bode.

(podľa stavu).

Dosadme tieto hodnoty do tangentovej rovnice:

odpoveď:

4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke , prechod cez bod

Najprv skontrolujme, či je bod dotykovým bodom. Ak je bod dotykovým bodom, potom patrí do grafu funkcie a jeho súradnice musia spĺňať rovnicu funkcie. Dosadíme súradnice bodu do rovnice funkcie.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} záporné číslo, rovnosť nie je pravdivá a bod nepatrí do grafu funkcie a nie je styčným bodom.

Toto je posledný typ problému na nájdenie tangentovej rovnice. Prvá vec musíme nájsť úsečku dotykového bodu.

Poďme nájsť hodnotu.

Nech je styčným bodom. Bod patrí dotyčnici ku grafu funkcie. Ak dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice dotyčnice, dostaneme správnu rovnosť: