rohu medzi čiarami v priestore budeme volať ktorýkoľvek z nich priľahlé rohy, tvorený dvoma rovnými čiarami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.

Nech sú v priestore dané dve rovné čiary:

Je zrejmé, že uhol φ medzi čiarami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a . Vzhľadom k tomu, potom podľa vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok sú ekvivalentné podmienkam rovnobežnosti a kolmosti ich smerových vektorov a:

Dve rovno sú paralelné vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty pomerné, t.j. l 1 rovnobežka l 2 vtedy a len vtedy, ak sú rovnobežné .

Dve rovno kolmý práve vtedy, ak súčet súčinov príslušných koeficientov je rovný nule: .

o cieľ medzi čiarou a rovinou

Nechajte linku d- nie je kolmá na rovinu θ;
d′− projekcia priamky d k rovine θ;
Najmenší z uhlov medzi priamymi čiarami d A d"zavoláme uhol medzi čiarou a rovinou.
Označme to ako φ=( d,θ)
Ak d⊥θ , potom ( d,0) = π/2

Oi→j→k→− pravouhlý súradnicový systém.
Rovinná rovnica:

θ: Ax+Autor:+cz+D=0

Uvažujeme, že priamka je daná bodom a smerovým vektorom: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Potom zostáva zistiť uhol medzi vektormi n→ a p→, označte to ako γ=( n→,p→).

Ak je uhol γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ak je uhol γ>π/2 , potom požadovaný uhol φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

potom uhol medzi čiarou a rovinou možno vypočítať pomocou vzorca:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Otázka 29. Pojem kvadratickej formy. Znaková určitosť kvadratických foriem.

Kvadratický tvar j (x 1, x 2, ..., x n) n reálnych premenných x 1, x 2, ..., x n sa nazýva súčet tvaru
, (1)

Kde aij niektoré čísla sa nazývajú koeficienty. Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať aij = a ji.

Kvadratická forma je tzv platný, Ak aij О GR. Matica kvadratického tvaru sa nazýva matica zložená z jej koeficientov. Kvadratická forma (1) zodpovedá jedinej symetrickej matici
t.j. A T = A. Preto kvadratickú formu (1) možno zapísať v maticovom tvare j ( X) = x T Ah, Kde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

A naopak, každá symetrická matica (2) zodpovedá jedinej kvadratickej forme až po zápis premenných.

Hodnosť kvadratickej formy sa nazýva hodnosť jeho matice. Kvadratická forma je tzv nedegenerovaný, ak je jeho matica nejednotná A. (pripomeňme, že matica A sa nazýva nedegenerovaný, ak je jeho determinant nenulový). V opačnom prípade je kvadratická forma degenerovaná.

kladné definitívne(alebo striktne pozitívne), ak

j ( X) > 0 , pre hocikoho X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).

Matrix A pozitívne definitná kvadratická forma j ( X) sa nazýva aj pozitívne definitíva. Pozitívne definitná kvadratická forma teda zodpovedá jedinečnej pozitívne definitívnej matici a naopak.

Kvadratická forma (1) sa nazýva negatívny definitívny(alebo striktne negatívne), ak

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).

Podobne ako vyššie, záporne definitná kvadratická matica sa tiež nazýva záporne definitná.

Preto je pozitívne (negatívne) určitá kvadratická forma j ( X) dosiahne minimálnu (maximálnu) hodnotu j ( X*) = 0 pre X* = (0, 0, …, 0).

Poznač si to väčšina z nich kvadratické formy nie sú znamienkovo ​​určité, to znamená, že nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Takéto kvadratické formy zanikajú nielen v počiatku súradnicového systému, ale aj v iných bodoch.

Kedy n> 2, sú potrebné špeciálne kritériá na kontrolu znamienkovej určitosti kvadratickej formy. Zvážme ich.

Hlavne maloletí kvadratické formy sa nazývajú maloletí:

to znamená, že ide o maloletých 1., 2., ..., n matice A, umiestnený v ľavom hornom rohu, posledný z nich sa zhoduje s determinantom matice A.

Kritérium pozitívnej jednoznačnosti (Sylvesterovo kritérium)

X) = x T Ah je kladne definitivne, je potrebne a postacujuce, aby vsetci hlavni neplnoletí matice A boli pozitívne, teda: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kritérium negatívnej istoty Aby kvadratická forma j ( X) = x T Ah je záporne určitý, je potrebné a postačujúce, aby jeho hlavné minority párneho rádu boli kladné a tie nepárneho rádu boli záporné, t.j.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Ach-och-och-och-och ... no je to plechové, ako keby ste si tú vetu prečítali sami =) Vtedy však pomôže relax, hlavne, že som si dnes kúpila vhodné doplnky. Preto prejdime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Prípad, keď sála spieva v zbore. Môžu byť dva riadky:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : prosím zapamätaj si matematický znak križovatke, bude sa vyskytovať veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, teda je tam také číslo "lambda", že tie rovnosti

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , Ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že az druhej rovnice: , teda, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

IN praktické úlohy ah, môžete použiť práve zvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, o ktorom sme uvažovali v lekcii. Pojem lineárnej (ne)závislosti vektorov. Vektorový základ. Existuje však civilizovanejší balík:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočí kameň a pokračuje priamo ku Kašcheiovi Smrťujúcemu =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Faktor proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť uvažovaný problém slovne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť do geometrického základu ešte jednu dôležitú tehlu:

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Pre neznalosť tohto najjednoduchšia úloha prísne potrestá slávika zbojníka.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, tak je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať verbálne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie veľmi racionálny spôsob riešenia. Väčšina skratka- na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa čiar je málo zaujímavý, preto zvážte problém, ktorý je vám dobre známy školské osnovy:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický zmysel dva lineárne rovnice s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme zvažovali grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Niektoré čiary sa navyše nedajú tak ľahko zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo hárku zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytická metóda. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti lekcie:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili postaviť priamku rovnobežnú s danou a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

Odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu Nájsť .

Nebude zbytočné kontrolovať, či sa vzdialenosť rovná aj 2,2 jednotkám.

Ťažkosti tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Radil som mnohokrát a budem odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Malá nápoveda: spôsobov riešenia je nekonečne veľa. Zhrnutie na konci hodiny, ale radšej si to skúste uhádnuť sami, myslím, že sa vám podarilo dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma čiarami

Akýkoľvek roh, potom zárubňa:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované karmínový roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary dané rovnicami v všeobecný pohľad:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:

Ak , potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Používaním inverzná funkciaľahké nájsť samotný roh. V tomto prípade použijeme nepárnosť arkus tangenty (pozri obr. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uveďte presná hodnota, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch) vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť priame čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , potom ostrý roh medzi týmito riadkami budú definované ako

Dve priamky sú rovnobežné, ak k 1 = k 2 . Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2 .

Veta. Priamky Ax + Vy + C \u003d 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB úmerné. Ak aj С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica prechádzajúcej priamky daný bod

Kolmo na túto čiaru

Definícia.Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y \u003d kx + b je reprezentovaná rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C \u003d 0 definovaná ako

.

Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej cez daný bod M 0 je kolmá na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.

Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3r + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Uhol medzi dvoma čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) píše sa takto:

Sklon priamky prechádzajúcej cez dva dané body je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve čiary dané rovnicami sklonu

r = k 1 X + B 1 ,

r = k 2 X + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvej priamky odpočítava od sklonu druhej priamky.

Ak sú rovnice priamky uvedené vo všeobecnom tvare

A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) so ​​sklonom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich sklonov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch čiar:

a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) so ​​sklonom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich sklony boli veľkosťou vzájomné a opačného znamienka, t.j.

Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), tak podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy

1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.

Tento materiál je venovaný takej koncepcii, ako je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami. V prvom odseku si vysvetlíme, čo to je a ukážeme to na ilustráciách. Potom analyzujeme, ako môžete nájsť sínus, kosínus tohto uhla a samotný uhol (samostatne zvážime prípady s rovinou a trojrozmerným priestorom), dáme potrebné vzorce a na príkladoch ukážeme, ako presne sa používajú v praxi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby sme pochopili, čo je uhol vytvorený priesečníkom dvoch priamok, musíme si pripomenúť samotnú definíciu uhla, kolmosti a priesečníka.

Definícia 1

Dve čiary, ktoré sa pretínajú, nazývame, ak majú jednu spoločný bod. Tento bod sa nazýva priesečník dvoch čiar.

Každá čiara je rozdelená priesečníkom na lúče. V tomto prípade obe čiary zvierajú 4 uhly, z ktorých dva sú vertikálne a dva susedia. Ak poznáme mieru jedného z nich, potom môžeme určiť ostatné zostávajúce.

Povedzme, že vieme, že jeden z uhlov sa rovná α. V takom prípade bude uhol, ktorý je k nej zvislý, tiež rovný α. Aby sme našli zostávajúce uhly, musíme vypočítať rozdiel 180 ° - α . Ak sa α rovná 90 stupňom, všetky uhly budú správne. Priamky pretínajúce sa v pravom uhle sa nazývajú kolmé (pojmu kolmosti je venovaný samostatný článok).

Pozrite sa na obrázok:

Poďme k formulácii hlavnej definície.

Definícia 2

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami je mierou menšieho zo 4 uhlov, ktoré tvoria tieto dve čiary.

Z definície treba vyvodiť dôležitý záver: veľkosť uhla v tomto prípade bude vyjadrená ľubovoľným reálnym číslom v intervale (0 , 90 ] . Ak sú priamky kolmé, potom uhol medzi nimi bude v každom prípade rovných 90 stupňov.

Schopnosť nájsť mieru uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami je užitočná pri riešení mnohých praktických problémov. Spôsob riešenia je možné vybrať z niekoľkých možností.

Na začiatok môžeme použiť geometrické metódy. Ak vieme niečo o ďalších uhloch, potom ich môžeme spojiť s uhlom, ktorý potrebujeme, pomocou vlastností rovnakých alebo podobných tvarov. Ak napríklad poznáme strany trojuholníka a potrebujeme vypočítať uhol medzi priamkami, na ktorých sa tieto strany nachádzajú, potom je na riešenie vhodná kosínusová veta. Ak máme v podmienke správny trojuholník, potom na výpočty budeme potrebovať aj znalosť sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Súradnicová metóda je tiež veľmi vhodná na riešenie problémov tohto typu. Poďme si vysvetliť, ako ho správne používať.

Máme pravouhlý (karteziánsky) súradnicový systém O x y s dvoma priamkami. Označme ich písmenami a a b. V tomto prípade môžu byť priame čiary opísané pomocou akýchkoľvek rovníc. Pôvodné čiary majú priesečník M . Ako určiť požadovaný uhol (označme ho α) medzi týmito čiarami?

Začnime formuláciou základného princípu hľadania uhla za daných podmienok.

Vieme, že také pojmy ako smerovanie a normálový vektor úzko súvisia s pojmom priamka. Ak máme rovnicu nejakej priamky, môžeme z nej prevziať súradnice týchto vektorov. Môžeme to urobiť pre dve pretínajúce sa čiary naraz.

Uhol tvorený dvoma pretínajúcimi sa čiarami možno nájsť pomocou:

• uhol medzi smerovými vektormi;
• uhol medzi normálovými vektormi;
• uhol medzi normálovým vektorom jednej priamky a smerovým vektorom druhej.

Teraz sa pozrime na každú metódu samostatne.

1. Predpokladajme, že máme priamku a so smerovým vektorom a → = (a x , a y) a priamku b so smerovým vektorom b → (b x , b y) . Teraz si odložme dva vektory a → a b → z priesečníka. Potom uvidíme, že každý bude umiestnený na svojej vlastnej linke. Potom pre nich máme štyri možnosti relatívnu polohu. Pozri ilustráciu:

Ak uhol medzi dvoma vektormi nie je tupý, potom to bude uhol, ktorý potrebujeme medzi pretínajúcimi sa čiarami a a b. Ak je tupý, potom sa požadovaný uhol bude rovnať uhlu susediacemu s uhlom a → , b → ^ . Teda α = a → , b → ^ , ak a → , b → ^ ≤ 90 ° , a α = 180 ° - a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .

Od kosínusov rovnaké uhly sú rovnaké, môžeme výsledné rovnosti prepísať takto: cos α = cos a → , b → ^ ak a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ak a → , b → ^ > 90 ° .

V druhom prípade boli použité redukčné vzorce. teda

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Posledný vzorec napíšme slovami:

Definícia 3

Kosínus uhla vytvoreného dvoma pretínajúcimi sa priamkami sa bude rovnať modulu kosínusu uhla medzi jeho smerovými vektormi.

Všeobecná forma vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi a → = (a x, a y) a b → = (b x, b y) vyzerá takto:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z toho môžeme odvodiť vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma danými priamkami:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Samotný uhol potom možno nájsť pomocou nasledujúceho vzorca:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tu a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) sú smerové vektory daných čiar.

Uveďme príklad riešenia problému.

Príklad 1

V pravouhlom súradnicovom systéme sú v rovine dané dve pretínajúce sa priamky a a b. Možno ich opísať parametrickými rovnicami x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3 . Vypočítajte uhol medzi týmito čiarami.

Riešenie

V podmienke máme parametrickú rovnicu, čo znamená, že pre túto priamku si môžeme okamžite zapísať súradnice jej smerového vektora. Aby sme to dosiahli, musíme vziať hodnoty koeficientov v parametri, t.j. priamka x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mať smerový vektor a → = (4 , 1) .

Druhá priamka je opísaná pomocou kanonickej rovnice x 5 = y - 6 - 3 . Tu môžeme prevziať súradnice z menovateľov. Táto priamka má teda smerový vektor b → = (5 , - 3) .

Ďalej pokračujeme priamo k hľadaniu uhla. Ak to chcete urobiť, jednoducho dosaďte dostupné súradnice dvoch vektorov do vyššie uvedeného vzorca α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Získame nasledovné:

α = arc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45°

Odpoveď: Tieto čiary zvierajú uhol 45 stupňov.

Podobný problém môžeme vyriešiť nájdením uhla medzi normálovými vektormi. Ak máme priamku a s normálnym vektorom n a → = (n a x , n a y) a priamku b s normálovým vektorom n b → = (n b x , n b y) , potom sa uhol medzi nimi bude rovnať uhlu medzi n a → a n b → alebo uhol, ktorý bude susediť s n a → , n b → ^ . Táto metóda je znázornená na obrázku:

Vzorce na výpočet kosínusu uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami a samotným uhlom pomocou súradníc normálnych vektorov vyzerajú takto:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 n b y 2

Tu n a → a n b → označujú normálové vektory dvoch daných čiar.

Príklad 2

Dve priamky sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovníc 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0 . Nájdite sínus, kosínus uhla medzi nimi a veľkosť samotného uhla.

Riešenie

Pôvodné priamky sú dané pomocou rovníc normálnej priamky v tvare A x + B y + C = 0 . Označme normálový vektor n → = (A , B) . Nájdite súradnice prvého normálového vektora pre jednu priamku a zapíšme si ich: n a → = (3 , 5) . Pre druhý riadok x + 4 y - 17 = 0 bude mať normálový vektor súradnice n b → = (1 , 4) . Teraz pridajte získané hodnoty do vzorca a vypočítajte súčet:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ak poznáme kosínus uhla, potom môžeme vypočítať jeho sínus pomocou zákl trigonometrická identita. Pretože uhol α tvorený priamkami nie je tupý, potom sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tomto prípade α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34 .

Odpoveď: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

Rozoberme si posledný prípad – nájdenie uhla medzi priamkami, ak poznáme súradnice smerového vektora jednej priamky a normálového vektora druhej.

Predpokladajme, že priamka a má smerový vektor a → = (ax, ay) a priamka b má normálový vektor nb → = (nbx, nb y) . Musíme tieto vektory odložiť z priesečníka a zvážiť všetky možnosti ich relatívnej polohy. Pozri obrázok:

Ak uhol medzi danými vektormi nie je väčší ako 90 stupňov, ukáže sa, že doplní uhol medzi a a b do pravého uhla.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ak a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ak je menej ako 90 stupňov, dostaneme nasledovné:

a → , n b → ^ > 90 ° , potom a → , n b → ^ = 90 ° + α

Pomocou pravidla rovnosti kosínusov s rovnakými uhlami píšeme:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pre a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

teda

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformulujme záver.

Definícia 4

Ak chcete nájsť sínus uhla medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v rovine, musíte vypočítať modul kosínusu uhla medzi smerovým vektorom prvého riadku a normálovým vektorom druhého.

Zapíšme si potrebné vzorce. Nájdenie sínusu uhla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nájdenie samotného rohu:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Tu a → je smerový vektor prvého riadku a n b → je normálový vektor druhého.

Príklad 3

Dve pretínajúce sa priamky sú dané rovnicami x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0 . Nájdite uhol priesečníka.

Riešenie

Súradnice smerového a normálového vektora berieme z daných rovníc. Ukazuje sa a → = (- 5, 3) ​​an → b = (1, 4) . Zoberieme vzorec α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a zvážime:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Všimnite si, že sme prevzali rovnice z predchádzajúceho problému a dostali sme presne rovnaký výsledok, ale iným spôsobom.

odpoveď:α = a rc sin 7 2 34

Tu je ďalší spôsob, ako nájsť požadovaný uhol pomocou koeficientov sklonu daných čiar.

Máme priamku a , ktorá je definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme pomocou rovnice y = k 1 · x + b 1 , a priamku b , definovanú ako y = k 2 · x + b 2 . Sú to rovnice priamok so sklonom. Ak chcete nájsť uhol priesečníka, použite vzorec:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 sú faktory sklonu dané riadky. Na získanie tohto záznamu boli použité vzorce na určenie uhla cez súradnice normálových vektorov.

Príklad 4

V rovine sa pretínajú dve priamky dané rovnicami y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4 . Vypočítajte uhol priesečníka.

Riešenie

Sklony našich čiar sa rovnajú k 1 = - 3 5 ak 2 = - 1 4 . Pridajme ich do vzorca α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítajme:

α = arc cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 17 16 = a rc cos 23 2 34

odpoveď:α = a rc cos 23 2 34

V záveroch tohto odseku treba poznamenať, že tu uvedené vzorce na nájdenie uhla sa netreba učiť naspamäť. K tomu stačí poznať súradnice vodítok a/alebo normálových vektorov daných čiar a vedieť ich určiť z odlišné typy rovnice. Ale vzorce na výpočet kosínusu uhla je lepšie si zapamätať alebo zapísať.

Ako vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami v priestore

Výpočet takéhoto uhla možno zredukovať na výpočet súradníc smerových vektorov a určenie veľkosti uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Pre takéto príklady používame rovnakú úvahu, ktorú sme uviedli predtým.

Povedzme, že máme pravouhlý súradnicový systém umiestnený v 3D priestore. Obsahuje dve priamky a a b s priesečníkom M . Na výpočet súradníc smerových vektorov potrebujeme poznať rovnice týchto priamok. Označme smerové vektory a → = (a x, a y, a z) a b → = (b x, b y, b z) . Na výpočet kosínusu uhla medzi nimi použijeme vzorec:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby sme našli samotný uhol, potrebujeme tento vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Príklad 5

Máme priamku definovanú v 3D priestore pomocou rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Je známe, že sa pretína s osou O z. Vypočítajte uhol priesečníka a kosínus tohto uhla.

Riešenie

Označme uhol, ktorý sa má vypočítať, písmenom α. Zapíšme si súradnice smerového vektora pre prvú priamku - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pre aplikačnú os môžeme ako vodítko použiť súradnicový vektor k → = (0 , 0 , 1). Dostali sme potrebné údaje a môžeme ich pridať do požadovaného vzorca:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

V dôsledku toho sme dostali, že uhol, ktorý potrebujeme, sa bude rovnať a r c cos 1 2 = 45 °.

odpoveď: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pre každého študenta, ktorý sa pripravuje na skúšku z matematiky, bude užitočné zopakovať si tému „Hľadanie uhla medzi čiarami“. Ako ukazujú štatistiky, pri absolvovaní certifikačného testu spôsobujú úlohy v tejto časti stereometrie ťažkosti Vysoké čísloštudentov. Úlohy vyžadujúce zistenie uhla medzi priamkami sa zároveň nachádzajú v USE na základnej aj profilovej úrovni. To znamená, že by ich mal vedieť vyriešiť každý.

Základné momenty

Existujú 4 typy vzájomného usporiadania čiar v priestore. Môžu sa zhodovať, pretínať, byť rovnobežné alebo pretínajúce sa. Uhol medzi nimi môže byť ostrý alebo rovný.

Na nájdenie uhla medzi čiarami v Jednotnej štátnej skúške alebo napríklad v riešení môžu školáci v Moskve a iných mestách použiť niekoľko metód na riešenie problémov v tejto časti stereometrie. Úlohu môžete dokončiť klasickými konštrukciami. Aby ste to dosiahli, stojí za to naučiť sa základné axiómy a teorémy stereometrie. Študent musí byť schopný logicky budovať úvahy a vytvárať kresby, aby priviedol úlohu k planimetrickému problému.

Môžete tiež použiť metódu vektorových súradníc pomocou jednoduchých vzorcov, pravidiel a algoritmov. Hlavná vec v tomto prípade je správne vykonať všetky výpočty. Vzdelávací projekt Shkolkovo vám pomôže zdokonaliť vaše zručnosti pri riešení problémov v stereometrii a iných častiach školského kurzu.