Zapnuté súčasné štádium rozvoj vzdelávania ako jedna z jeho hlavných úloh je formovanie tvorivo mysliacej osobnosti. Schopnosť tvorivosti u žiakov možno rozvíjať len vtedy, ak sa systematicky zapájajú do základov výskumnej činnosti. Základom pre uplatnenie tvorivých síl, schopností a talentu študentov sú plnohodnotné vedomosti a zručnosti. V tomto smere je nemenej dôležitý problém vytvorenia systému základných vedomostí a zručností pre každú tému školského kurzu matematiky. Plnohodnotné zručnosti by zároveň mali byť didaktickým cieľom nie jednotlivých úloh, ale ich dôkladne premysleného systému. V najširšom zmysle je systém chápaný ako súbor vzájomne prepojených prvkov, ktoré majú integritu a stabilnú štruktúru.

Zvážte metodológiu na výučbu študentov, ako zostaviť rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie. V podstate sú všetky úlohy na nájdenie dotyčnicovej rovnice redukované na potrebu vybrať z množiny (zväzku, rodiny) čiar tie z nich, ktoré spĺňajú určitú požiadavku - sú dotyčnicami ku grafu určitej funkcie. V tomto prípade je možné množinu riadkov, z ktorých sa vykonáva výber, určiť dvoma spôsobmi:

a) bod ležiaci v rovine xOy (stredová ceruzka čiar);
b) uhlový koeficient (paralelný zväzok priamok).

V tomto ohľade sme pri štúdiu témy „Dotyčnica ku grafu funkcie“ s cieľom izolovať prvky systému identifikovali dva typy úloh:

1) úlohy na dotyčnici danej bodom, ktorým prechádza;
2) úlohy na dotyčnici danej jej sklonom.

Učenie sa riešiť problémy na dotyčnici sa uskutočnilo pomocou algoritmu navrhnutého A.G. Mordkovič. Jeho zásadný rozdiel od už známych je v tom, že úsečka dotykového bodu sa označuje písmenom a (namiesto x0), v súvislosti s ktorým nadobúda rovnica dotyčnice tvar

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(porovnaj s y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Táto metodická technika podľa nášho názoru umožňuje študentom rýchlo a jednoducho si uvedomiť, kde sú súradnice aktuálneho bodu zapísané vo všeobecnej rovnici dotyčnice a kde sú dotykové body.

Algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x)

1. Označte písmenom a úsečku bodu kontaktu.
2. Nájdite f(a).
3. Nájdite f "(x) a f "(a).
4. Nájdené čísla a, f (a), f "(a) dosaďte do všeobecná rovnica dotyčnica y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

Tento algoritmus je možné zostaviť na základe nezávislého výberu operácií študentmi a postupnosti ich vykonávania.

Prax ukázala, že dôsledné riešenie každej z kľúčových úloh pomocou algoritmu vám umožňuje vytvoriť schopnosť písať rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v etapách a kroky algoritmu slúžia ako silné body pre akcie. Tento prístup zodpovedá teórii postupného formovania mentálnych akcií, ktorú vyvinul P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvom type úloh boli identifikované dve kľúčové úlohy:

• dotyčnica prechádza bodom ležiacim na krivke (úloha 1);
• dotyčnica prechádza bodom, ktorý neleží na krivke (úloha 2).

Úloha 1. Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M(3; – 2).

Riešenie. Bod M(3; – 2) je bod dotyku, pretože

1. a = 3 - úsečka bodu dotyku.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 je rovnica dotyčnice.

Úloha 2. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y = - x 2 - 4x + 2, prechádzajúceho bodom M(- 3; 6).

Riešenie. Bod M(– 3; 6) nie je dotykový bod, keďže f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - rovnica dotyčnice.

Dotyčnica prechádza bodom M(– 3; 6), preto jej súradnice vyhovujú rovnici dotyčnice.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ak a = – 4, potom rovnica dotyčnice je y = 4x + 18.

Ak a \u003d - 2, potom rovnica dotyčnice má tvar y \u003d 6.

V druhom type budú kľúčové úlohy nasledovné:

• dotyčnica je rovnobežná s nejakou priamkou (úloha 3);
• dotyčnica prechádza pod určitým uhlom k danej priamke (úloha 4).

Úloha 3. Napíšte rovnice všetkých dotyčníc ku grafu funkcie y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 rovnobežne s priamkou y \u003d 9x + 1.

1. a - úsečka bodu dotyku.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ale na druhej strane f "(a) \u003d 9 (podmienka paralelnosti). Musíme teda vyriešiť rovnicu 3a 2 - 6a \u003d 9. Jej korene a \u003d - 1, a \u003d 3 (obr. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f" (– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 je rovnica dotyčnice;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 je rovnica dotyčnice.

Úloha 4. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = 0,5x 2 - 3x + 1, prechádzajúcej pod uhlom 45° k priamke y = 0 (obr. 4).

Riešenie. Z podmienky f "(a) \u003d tg 45 ° nájdeme a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - úsečka bodu dotyku.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - rovnica dotyčnice.

Je ľahké ukázať, že riešenie akéhokoľvek iného problému sa redukuje na riešenie jedného alebo niekoľkých kľúčových problémov. Zvážte nasledujúce dva problémy ako príklad.

1. Napíšte rovnice dotyčníc k parabole y = 2x 2 - 5x - 2, ak sa dotyčnice pretínajú v pravom uhle a jedna z nich sa dotýka paraboly v bode s osou 3 (obr. 5).

Riešenie. Keďže je daná úsečka bodu kontaktu, prvá časť riešenia je zredukovaná na kľúčový problém 1.

1. a = 3 - úsečka bodu dotyku jednej zo strán pravý uhol.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - rovnica prvej dotyčnice.

Nech a je sklon prvej dotyčnice. Pretože dotyčnice sú kolmé, potom je uhol sklonu druhej dotyčnice. Z rovnice y = 7x – 20 prvej dotyčnice máme tg a = 7. Nájdite

To znamená, že sklon druhej dotyčnice je .

Ďalšie riešenie je zredukované na kľúčovú úlohu 3.

Nech B(c; f(c)) je dotykový bod druhej priamky

1. - úsečka druhého styčného bodu.
2.
3.
4.
je rovnica druhej dotyčnice.

Poznámka. Uhlový koeficient dotyčnice ľahšie zistíme, ak žiaci poznajú pomer koeficientov kolmých priamok k 1 k 2 = - 1.

2. Napíšte rovnice všetkých spoločných dotyčníc k funkčným grafom

Riešenie. Problém je redukovaný na nájdenie úsečiek spoločných dotyčnicových bodov, teda na vyriešenie kľúčového problému 1 v všeobecný pohľad, zostavenie sústavy rovníc a jej následné riešenie (obr. 6).

1. Nech a je úsečka bodu dotyku ležiaceho na grafe funkcie y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Nech c je úsečka dotykového bodu ležiaceho na grafe funkcie
2.
3. f "(c) = c.
4.

Keďže dotyčnice sú spoločné, teda

Takže y = x + 1 a y = - 3x - 3 sú spoločné dotyčnice.

Hlavným cieľom uvažovaných úloh je pripraviť študentov na sebapoznanie typu kľúčovej úlohy pri riešení zložitejších úloh, ktoré si vyžadujú určité výskumné zručnosti (schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať, predkladať hypotézy atď.). Takéto úlohy zahŕňajú akúkoľvek úlohu, v ktorej je kľúčová úloha zahrnutá ako komponent. Uvažujme ako príklad problém ( inverzný problém 1) nájsť funkciu podľa rodiny jej dotyčníc.

3. Pre čo b a c sú priamky y \u003d x a y \u003d - 2x dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x 2 + bx + c?

Nech t je úsečka bodu dotyku priamky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka bodu dotyku priamky y = - 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnica dotyčnice y = x bude mať tvar y = (2t + b)x + c - t 2 a rovnica dotyčnice y = - 2x bude mať tvar y = (2p + b)x + c - p2.

Zostavte a vyriešte sústavu rovníc

odpoveď:

Tangenta je priamka prechádzajúca bodom krivky a zhodujúca sa s ním v tomto bode až do prvého rádu (obr. 1).

Iná definícia: toto je limitná poloha sečnice v Δ X→0.

Vysvetlenie: Vezmite čiaru, ktorá pretína krivku v dvoch bodoch: A A b(pozri obrázok). Toto je sekta. Otáčame v smere hodinových ručičiek, kým nebude mať len jednu spoločný bod s krivkou. Takže dostaneme tangens.

Presná definícia dotyčnice:

Graf dotyčnice k funkcii f, diferencovateľné v bode XO, je priamka prechádzajúca bodom ( XO; f(XO)) a má sklon f′( XO).

Svah má priamku y=kx +b. Koeficient k a je faktor sklonu túto priamku.

Uhlový koeficient sa rovná dotyčnici ostrý uhol tvorená touto priamkou s osou x:

k = tgα

Tu je uhol α uhol medzi čiarou y=kx +b a kladný (t.j. proti smeru hodinových ručičiek) smer osi x. To sa nazýva uhol sklonu rovný(Obr. 1 a 2).

Ak je uhol sklonu rovný y=kx +b akútna, potom je sklon kladné číslo. Graf sa zväčšuje (obr. 1).

Ak je uhol sklonu rovný y=kx +b tupý, potom je sklon záporné číslo. Graf je klesajúci (obr. 2).

Ak je čiara rovnobežná s osou x, potom je sklon čiary nulový. V tomto prípade je sklon priamky tiež nulový (keďže dotyčnica nuly je nula). Rovnica s priamkou bude vyzerať ako y = b (obr. 3).

Ak je uhol sklonu priamky 90º (π/2), to znamená, že je kolmá na os x, potom je priamka daná rovnosťou x=c, Kde c- nejaké reálne číslo (obr. 4).

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcier = f(X) v bode XO:

Príklad : Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) = X 3 – 2X 2 + 1 v bode s osou 2.

Riešenie .

Postupujeme podľa algoritmu.

1) Dotykový bod XO rovná sa 2. Vypočítajte f(XO):

f(XO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Nájdite f′( X). Na tento účel používame vzorce diferenciácie uvedené v predchádzajúcej časti. Podľa týchto vzorcov, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. znamená:

f′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Teraz použite výslednú hodnotu f′( X), vypočítať f′( XO):

f′( XO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Takže máme všetky potrebné údaje: XO = 2, f(XO) = 1, f ′( XO) = 4. Tieto čísla dosadíme do rovnice dotyčnice a nájdeme konečné riešenie:

y= f(XO) + f′( XO) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Odpoveď: y \u003d 4x - 7.

V tomto článku budeme analyzovať všetky typy problémov na nájdenie

Spomeňme si geometrický význam derivátu: ak je ku grafu funkcie v bode nakreslená dotyčnica, potom sklon dotyčnice (rovnajúci sa dotyčnici uhla medzi dotyčnicou a kladným smerom osi) sa rovná derivácii funkcie v bode.

Vezmite ľubovoľný bod na dotyčnici so súradnicami:

A zvážte správny trojuholník :

V tomto trojuholníku

Odtiaľ

Toto je rovnica dotyčnice nakreslená ku grafu funkcie v bode.

Na napísanie rovnice dotyčnice nám stačí poznať rovnicu funkcie a bod, kde je dotyčnica nakreslená. Potom môžeme nájsť a .

Existujú tri hlavné typy problémov tangenciálnych rovníc.

1. Daný kontaktný bod

2. Daný koeficient sklonu dotyčnice, teda hodnota derivácie funkcie v bode.

3. Dané súradnice bodu, cez ktorý je dotyčnica vedená, ale ktorý nie je dotykovým bodom.

Pozrime sa na každý typ problému.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

.

b) Nájdite hodnotu derivátu v bode . Najprv nájdeme deriváciu funkcie

Dosaďte nájdené hodnoty do tangentovej rovnice:

Otvorme zátvorky na pravej strane rovnice. Dostaneme:

odpoveď: .

2. Nájdite úsečky bodov, v ktorých sa funkcie dotýkajú grafu rovnobežne s osou x.

Ak je dotyčnica rovnobežná s osou x, potom uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi je nula, teda dotyčnica sklonu dotyčnice je nula. Čiže hodnota derivácie funkcie v bodoch dotyku je nula.

a) Nájdite deriváciu funkcie .

b) Prirovnajte deriváciu k nule a nájdite hodnoty, v ktorých je dotyčnica rovnobežná s osou:

Každý faktor prirovnáme k nule a dostaneme:

Odpoveď: 0;3;5

3. Napíšte rovnice dotyčníc ku grafu funkcie , paralelný rovno .

Dotyčnica je rovnobežná s priamkou. Sklon tejto priamky je -1. Keďže dotyčnica je rovnobežná s touto priamkou, sklon dotyčnice je tiež -1. Teda poznáme sklon dotyčnice, a teda hodnota derivátu v bode kontaktu.

Toto je druhý typ úlohy na nájdenie tangentovej rovnice.

Dostaneme teda funkciu a hodnotu derivácie v bode kontaktu.

a) Nájdite body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná -1.

Najprv nájdime derivačnú rovnicu.

Prirovnajme deriváciu k číslu -1.

Nájdite hodnotu funkcie v bode .

(podľa podmienok)

.

b) Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

Nájdite hodnotu funkcie v bode .

(podľa stavu).

Dosaďte tieto hodnoty do rovnice dotyčnice:

.

odpoveď:

4. Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku krivke , prechod cez bod

Najprv skontrolujte, či daný bod nie je dotykovým bodom. Ak je bod dotykovým bodom, potom patrí do grafu funkcie a jeho súradnice musia spĺňať rovnicu funkcie. Dosaďte súradnice bodu v rovnici funkcie.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} záporné číslo, rovnosť nie je pravdivá a bod nepatrí do grafu funkcie a nie je styčným bodom.

Toto je posledný typ úlohy na nájdenie tangentovej rovnice. Prvá vec musíme nájsť úsečku styčného bodu.

Poďme nájsť hodnotu.

Nech je styčným bodom. Bod patrí dotyčnici ku grafu funkcie. Ak dosadíme súradnice tohto bodu do rovnice dotyčnice, dostaneme správnu rovnosť:

.

Hodnota funkcie v bode je .

Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bode .

Najprv nájdime deriváciu funkcie. Toto .

Derivát v bode je .

Dosadíme výrazy za a do rovnice dotyčnice. Dostaneme rovnicu pre:

Poďme vyriešiť túto rovnicu.

Znížte čitateľa a menovateľa zlomku o 2:

Poďme priniesť pravá strana rovníc na spoločného menovateľa. Dostaneme:

Zjednodušte čitateľa zlomku a vynásobte obe časti - tento výraz je striktne väčší ako nula.

Dostaneme rovnicu

Poďme to vyriešiť. Aby sme to urobili, utvoríme obe časti a prejdeme do systému.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ))( )">!}

Poďme vyriešiť prvú rovnicu.

My sa rozhodneme kvadratická rovnica, dostaneme

Druhý koreň nespĺňa podmienku title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Napíšeme rovnicu dotyčnice ku krivke v bode . Aby sme to dosiahli, dosadíme hodnotu v rovnici Už sme to zaznamenali.

odpoveď:
.

Článok poskytuje podrobné vysvetlenie definícií, geometrický význam derivát s grafické označenia. Rovnicu dotyčnice budeme uvažovať na príkladoch, nájdeme rovnice dotyčnice ku krivkám 2. rádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Uhol sklonu priamky y \u003d k x + b sa nazýva uhol α, ktorý sa meria od kladného smeru osi x k priamke y \u003d k x + b v kladnom smere.

Na obrázku je smer ox označený zelenou šípkou a zeleným oblúkom a uhol sklonu červeným oblúkom. Modrá čiara označuje priamku.

Definícia 2

Sklon priamky y \u003d k x + b sa nazýva číselný koeficient k.

Sklon sa rovná sklonu priamky, inými slovami k = t g α .

• Sklon priamky je 0 iba vtedy, keď je o x rovnobežné a sklon sa rovná nule, pretože dotyčnica nuly je 0. Takže tvar rovnice bude y = b.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b ostrý, potom podmienky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение sklon k sa považuje za kladné číslo, pretože hodnota dotyčnice spĺňa podmienku t g α > 0 a v grafe dochádza k nárastu.
• Ak α \u003d π 2, potom je umiestnenie čiary kolmé na x. Rovnosť je určená rovnosťou x = c, pričom hodnota c je reálne číslo.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b tupý, potom zodpovedá podmienkam π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definícia 3

Sečna je priamka, ktorá prechádza 2 bodmi funkcie f (x). Inými slovami, sečna je priamka, ktorá prechádza cez ľubovoľné dva body na grafe danej funkcie.

Obrázok ukazuje, že A B je sečna a f (x) je čierna krivka, α je červený oblúk označujúci uhol sklonu sečny.

Keď sa sklon priamky rovná dotyčnici uhla sklonu, je zrejmé, že dotyčnicu pravouhlého trojuholníka A B C možno nájsť vo vzťahu k protiľahlej vetve k susednej vetve.

Definícia 4

Získame vzorec na nájdenie sekansu formulára:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , kde úsečky bodov A a B sú hodnoty x A, x B a f (x A), f (x B) sú hodnoty funkcie v týchto bodoch.

Je zrejmé, že sklon sečnice je definovaný pomocou rovnosti k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A alebo k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B a rovnica musí byť napísaná ako y \u003d f (x B) - f (x A) x A - x (x A) x A - x
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Secant vizuálne rozdeľuje graf na 3 časti: naľavo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázok nižšie ukazuje, že existujú tri sekanty, ktoré sa považujú za rovnaké, to znamená, že sú nastavené pomocou podobnej rovnice.

Podľa definície je jasné, že čiara a jej sečna sa v tomto prípade zhodujú.

Secant môže pretínať graf danej funkcie viackrát. Ak pre sečnicu existuje rovnica v tvare y \u003d 0, potom je počet priesečníkov so sínusoidom nekonečný.

Definícia 5

Tangenta ku grafu funkcie f (x) v bode x 0 ; f (x 0) sa nazýva priamka prechádzajúca daným bodom x 0; f (x 0) s prítomnosťou segmentu, ktorý má veľa hodnôt x blízkych x 0 .

Príklad 1

Pozrime sa bližšie na príklad nižšie. Potom je možné vidieť, že priamka daná funkciou y = x + 1 sa považuje za dotyčnicu k y = 2 x v bode so súradnicami (1 ; 2) . Pre prehľadnosť je potrebné zvážiť grafy s hodnotami blízkymi (1; 2). Funkcia y = 2 x je označená čiernou farbou, modrá čiara je dotyčnica, červená bodka je priesečník.

Je zrejmé, že y \u003d 2 x sa zlúči s čiarou y \u003d x + 1.

Na určenie dotyčnice je potrebné zvážiť správanie sa dotyčnice A B, keď sa bod B nekonečne približuje k bodu A. Kvôli prehľadnosti uvádzame obrázok.

Sečna A B označená modrou čiarou smeruje k polohe samotnej dotyčnice a uhol sklonu sečny α sa začne približovať k uhlu sklonu samotnej dotyčnice α x.

Definícia 6

Dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode A je limitná poloha sečnice A B v B smerujúcej k A, teda B → A.

Teraz prejdeme k úvahe o geometrickom význame derivácie funkcie v bode.

Prejdime k uvažovaniu sečnice A B pre funkciu f (x), kde A a B so súradnicami x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x sú označené ako prírastok argumentu. Teraz bude mať funkcia tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pre názornosť si uveďme obrázok ako príklad.

Uvažujme výsledný pravouhlý trojuholník A B C. Na riešenie použijeme definíciu dotyčnice, to znamená, že získame pomer ∆ y ∆ x = t g α . Z definície dotyčnice vyplýva, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podľa derivačného pravidla v bode máme, že derivácia f (x) v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, kde ∆ x → 0, potom označíme ako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x.

Z toho vyplýva, že f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označená ako sklon dotyčnice.

To znamená, že dostaneme, že f ' (x) môže existovať v bode x 0 a podobne ako dotyčnica k daný rozvrh funkcia v bode dotyku rovná x 0 , f 0 (x 0) , kde hodnota sklonu dotyčnice v bode sa rovná derivácii v bode x 0 . Potom dostaneme, že k x = f "(x 0) .

Geometrický význam derivácie funkcie v bode je, že je daný pojem existencie dotyčnice ku grafu v tom istom bode.

Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky v rovine je potrebné mať sklon s bodom, ktorým prechádza. Jeho označenie sa berie ako x 0 na križovatke.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x 0, f 0 (x 0) má tvar y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Rozumie sa, že konečná hodnota derivácie f "(x 0) môže určovať polohu dotyčnice, to znamená vertikálne za podmienky lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ alebo vôbec neprítomnosť za podmienky lim x →" x 0 + 0 m x 0 x .

Umiestnenie dotyčnice závisí od hodnoty jej sklonu k x \u003d f "(x 0). Keď je rovnobežná s osou x, dostaneme, že k k \u003d 0, keď je rovnobežná s približne y - k x \u003d ∞, a tvar rovnice dotyčnice x \u003d x 0 sa zväčší, keď k xe3\u klesne< 0 .

Príklad 2

Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bode so súradnicami (1; 3) s definíciou uhla sklonu.

Riešenie

Predpokladom je, že funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla. Dostaneme, že bod so súradnicami určenými podmienkou (1 ; 3) je bod dotyku, potom x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Je potrebné nájsť deriváciu v bode s hodnotou -1. Chápeme to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "1" + 1 = e - 1 - 1 = e - 1 - 1 = e - 1 - 1 + - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f ’ (x) v bode dotyku je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná dotyčnici sklonu.

Potom k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Z toho vyplýva, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

odpoveď: dotyčnica má tvar

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Pre názornosť uvádzame príklad v grafickom znázornení.

Čierna farba je použitá na vykreslenie pôvodnej funkcie, Modrá farba- obraz dotyčnice, červená bodka - bod dotyku. Obrázok vpravo ukazuje zväčšený pohľad.

Príklad 3

Zistite existenciu dotyčnice ku grafu danej funkcie
y = 3 x - 1 5 + 1 v bode so súradnicami (1 ; 1) . Napíšte rovnicu a určte uhol sklonu.

Riešenie

Predpokladom je, že definičným oborom danej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.

Prejdime k hľadaniu derivátu

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ak x 0 = 1, potom f ’ (x) nie je definované, ale limity sú zapísané ako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ a lim x → 5 1 - 3 - 5 = 1 - 3 - 5 ) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , čo znamená existenciu vertikálnej dotyčnice v bode (1 ; 1) .

odpoveď: rovnica bude mať tvar x \u003d 1, kde uhol sklonu bude rovný π 2.

Pre názornosť si to nakreslíme do grafu.

Príklad 4

Nájdite body funkčného grafu y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , kde

1. Tangenta neexistuje;
2. Dotyčnica je rovnobežná s x;
3. Dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 8 5 x + 4 .

Riešenie

Je potrebné venovať pozornosť oblasti definície. Predpokladom je, že funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel. Rozbaľte modul a vyriešte sústavu s intervalmi x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; +∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; +∞)

Funkciu treba odlíšiť. To máme

y" = -115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; +∞)

Keď x = - 2, potom derivácia neexistuje, pretože jednostranné limity nie sú v tomto bode rovnaké:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y" (x ) 5 m x 5 + 2 li x 5 + 2 li = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočítame hodnotu funkcie v bode x \u003d - 2, kde to dostaneme

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, to znamená, že dotyčnica v bode (- 2; - 2) nebude existovať.
2. Dotyčnica je rovnobežná s x, keď je sklon nula. Potom k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To znamená, že je potrebné nájsť hodnoty takého x, keď ho derivácia funkcie zmení na nulu. To znamená hodnoty, kde x bude dotykové body rovnobežné.

Keď x ∈ - ∞ ; - 2 , potom - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pre x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítame zodpovedajúce hodnoty funkcie

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 7) 2 5 - 2 - 5 - 5 - 5 - 2 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 2 4 5 + 3 = 1 15 3 + 2 3 2 4 5 + 3 3 4 3

Preto - 5; 85,-4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 sa považujú za požadované body grafu funkcie.

Zvážte grafický obrázok riešenia.

Čierna čiara je graf funkcie, červené bodky sú dotykové body.

1. Keď sú čiary rovnobežné, sklony sú rovnaké. Potom je potrebné hľadať body grafu funkcie, kde sa sklon bude rovnať hodnote 8 5 . Aby ste to dosiahli, musíte vyriešiť rovnicu v tvare y "(x) \u003d 8 5. Potom, ak x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5, a ak x ∈ (- 2; 0 5) potom x 0 5 - 2 8 5.

Prvá rovnica nemá korene, pretože je diskriminant menej ako nula. Poďme si to zapísať

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ďalšia rovnica má teda dva skutočné korene

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Prejdime k hľadaniu hodnôt funkcie. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 5 5 3 - 5 + 2 15 5 + 5 5 - 2 5 + 5 2 = 83

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 sú body, kde dotyčnice sú rovnobežné s priamkou y = 8 5 x + 4 .

odpoveď:čierna čiara - graf funkcie, červená čiara - graf y \u003d 8 5 x + 4, modrá čiara - dotyčnice v bodoch - 1; 4 15, 5; 8 3.

Existencia nekonečného počtu dotyčníc pre dané funkcie je možná.

Príklad 5

Napíšte rovnice všetkých dostupných dotyčníc funkcie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , ktoré sú kolmé na priamku y = - 2 x + 1 2 .

Riešenie

Na zostavenie tangentovej rovnice je potrebné nájsť koeficient a súradnice bodu dotyku na základe podmienky kolmosti čiar. Definícia znie takto: súčin svahov, ktoré sú kolmé na priamky, sa rovná - 1, to znamená, že je napísaný ako k x · k ⊥ = - 1. Z podmienky máme, že sklon je kolmý na priamku a rovná sa k ⊥ = - 2, potom k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Teraz musíme nájsť súradnice dotykových bodov. Musíte nájsť x, po ktorom je jeho hodnota pre danú funkciu. Všimnite si, že z geometrického významu derivácie v bode
x 0 dostaneme, že k x \u003d y "(x 0) . Z tejto rovnosti nájdeme hodnoty x pre dotykové body.

Chápeme to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 3 "y 2 ⇒ x - x x" 0) ⇔ - 9 2 hriech 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ hriech 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Toto goniometrická rovnica sa použije na výpočet súradníc dotykových bodov.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a rc sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

Našlo sa x styčných bodov. Teraz musíte prejsť na vyhľadávanie hodnôt y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 alebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Odtiaľto dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 sú dotykové body.

odpoveď: potrebné rovnice budú napísané ako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + Z 1 3

Pre vizuálnu reprezentáciu zvážte funkciu a dotyčnicu na súradnicovej čiare.

Obrázok ukazuje, že umiestnenie funkcie je na intervale [-10; 10 ] , kde čierna čiara je grafom funkcie, modré čiary sú dotyčnice, ktoré sú kolmé na danú priamku tvaru y = - 2 x + 1 2 . Červené bodky sú dotykové body.

Kanonické rovnice kriviek 2. rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Tangentové rovnice pre nich sú zostavené podľa známych schém.

Tangenta ku kruhu

Ak chcete nastaviť kruh so stredom v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a polomer R, použije sa vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R2.

Túto rovnosť možno zapísať ako spojenie dvoch funkcií:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prvá funkcia je hore a druhá dole, ako je znázornené na obrázku.

Zostaviť rovnicu kružnice v bode x 0 ; y 0 , ktorý sa nachádza v hornom alebo dolnom polkruhu, mali by ste nájsť rovnicu funkčného grafu tvaru y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r alebo y \u003d - R 2 - x - t + e te 2 bod zadaný .

Keď v bodoch x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R dotyčnice môžu byť dané rovnicami y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodoch x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnobežné s y, potom dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tangenta k elipse

Keď je elipsa vycentrovaná v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b , potom ho možno zadať pomocou rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipsu a kruh možno označiť kombináciou dvoch funkcií, a to hornej a dolnej polelipsy. Potom to dostaneme

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ak sú dotyčnice umiestnené vo vrcholoch elipsy, potom sú rovnobežné okolo x alebo okolo y. Pre prehľadnosť zvážte obrázok nižšie.

Príklad 6

Napíšte rovnicu dotyčnice k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodoch s hodnotami x rovnými x = 2 .

Riešenie

Je potrebné nájsť dotykové body, ktoré zodpovedajú hodnote x = 2. Urobíme substitúciu do existujúcej rovnice elipsy a získame ju

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 sú dotykové body, ktoré patria hornej a dolnej polelipse.

Prejdime k hľadaniu a riešeniu rovnice elipsy vzhľadom na y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 2 4 x - 2 y = 2 4 ± 2 - 5

Je zrejmé, že horná polelipsa je špecifikovaná pomocou funkcie tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a dolná y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Použijeme štandardný algoritmus, aby sme sformulovali rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode. Píšeme, že rovnica pre prvú dotyčnicu v bode 2 ; 5 3 2 + 5 bude vyzerať

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " 2 3 - 2 = y " (2 3) - 2 - 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dostaneme, že rovnica druhej dotyčnice s hodnotou v bode
2; - 5 3 2 + 5 sa stáva

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "== 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y" (x 0) = 2 2 4 - 2 - 2 - 2 - 2 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky sú dotyčnice označené takto:

Tangenta k hyperbole

Keď má hyperbola stred v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - a; y c e n t e r , je daná nerovnosť x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , ak s vrcholmi x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b je potom dané nerovnicou x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola môže byť reprezentovaná ako dve kombinované funkcie formulára

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r alebo y = b a (x - x c e 2) e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvom prípade platí, že dotyčnice sú rovnobežné s y a v druhom sú rovnobežné s x.

Z toho vyplýva, že na nájdenie rovnice dotyčnice k hyperbole je potrebné zistiť, do ktorej funkcie dotyčnicový bod patrí. Aby sme to určili, je potrebné vykonať substitúciu v rovniciach a skontrolovať ich identitu.

Príklad 7

Napíšte rovnicu dotyčnice k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bode 7; - 3 3 - 3 .

Riešenie

Záznam riešenia nájdenia hyperboly je potrebné transformovať pomocou 2 funkcií. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 + 3 2 - 4 = 3 2 x - 3 2 - 3 - 4 = 3 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 r = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je potrebné zistiť, do ktorej funkcie daný bod so súradnicami 7 patrí; - 3 3 - 3 .

Je zrejmé, že na kontrolu prvej funkcie potrebujete y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , potom bod nepatrí do grafu, pretože nie je splnená rovnosť.

Pre druhú funkciu platí, že y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , čo znamená, že bod patrí do daného grafu. Odtiaľ by ste mali nájsť koeficient sklonu.

Chápeme to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 3 - 2 -7 = 4 - 3 2 - 7

odpoveď: tangensová rovnica môže byť reprezentovaná ako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je vizualizovaný nasledovne:

Tangenta k parabole

Ak chcete zostaviť rovnicu pre dotyčnicu k parabole y \u003d a x 2 + b x + c v bode x 0, y (x 0), musíte použiť štandardný algoritmus, potom rovnica nadobudne tvar y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y (x 0) . Taký vrchol je paralelný k x.

Parabola x = a y 2 + b y + c by mala byť definovaná ako spojenie dvoch funkcií. Preto musíme vyriešiť rovnicu pre y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Znázornime to ako:

Ak chcete zistiť, či bod x 0 , y (x 0) patrí funkcii, jemne postupujte podľa štandardného algoritmu. Takáto dotyčnica bude rovnobežná s y vzhľadom na parabolu.

Príklad 8

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, keď máme sklon dotyčnice 150°.

Riešenie

Riešenie začneme reprezentáciou paraboly ako dvoch funkcií. Chápeme to

2 r 2 - 5 r + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 r = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu sa rovná hodnote derivácie v bode x 0 tejto funkcie a rovná sa dotyčnici sklonu.

Dostaneme:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Odtiaľ určíme hodnotu x pre dotykové body.

Prvá funkcia bude napísaná ako

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zrejmé, že neexistujú žiadne skutočné korene, pretože sme dostali zápornú hodnotu. Dospeli sme k záveru, že pre takúto funkciu neexistuje dotyčnica s uhlom 150 °.

Druhá funkcia bude napísaná ako

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ = 3 5 - 4 + 4 = 3 5 - 4 + 4) 4

Máme, že dotykové body - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Znázornime to takto:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter