Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0.
Na štvorcovú trojčlennú os 2 + bx + c aplikujeme rovnaké transformácie, aké sme vykonali v § 13, keď sme dokázali vetu, že graf funkcie y \u003d ax 2 + bx + c je parabola.
Máme

Zvyčajne sa výraz b 2 - 4ac označuje písmenom D a nazýva sa diskriminant kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 (alebo diskriminant štvorcovej trojčlenky ax + bx + c).

Teda

Preto je možné kvadratickú rovnicu ax 2 + ich + c \u003d O prepísať ako

Akákoľvek kvadratická rovnica môže byť transformovaná do tvaru (1), čo je vhodné, ako teraz uvidíme, na určenie počtu koreňov kvadratickej rovnice a nájdenie týchto koreňov.

Dôkaz. Ak D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Riešenie. Tu a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Keďže D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dôkaz. Ak D = 0, potom rovnica (1) nadobúda tvar

je jediným koreňom rovnice.

Poznámka 1. Pamätáte si, že x \u003d - je úsečka vrcholu paraboly, ktorá slúži ako graf funkcie y \u003d ax 2 + ux + c? Prečo je toto
hodnota sa ukázala byť jediným koreňom kvadratickej rovnice ax 2 + x + c - 0? „Rakva“ sa otvorí jednoducho: ak D je 0, potom, ako sme už zistili,

Graf rovnakej funkcie je parabola s vrcholom v bode (pozri napr. Obr. 98). Preto sú os vrcholu paraboly a jediný koreň kvadratickej rovnice pre D = 0 rovnaké číslo.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Riešenie. Tu a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Pretože D = 0, potom podľa vety 2 má táto kvadratická rovnica jeden koreň. Tento koreň sa nachádza podľa vzorca

Odpoveď: 2.5.

Poznámka 2. Všimnite si, že 4x2 - 20x +25 je dokonalý štvorec: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Ak by sme si to všimli hneď, vyriešili by sme rovnicu takto: (2x - 5) 2 \u003d 0, čo znamená 2x - 5 \u003d 0, z čoho dostaneme x \u003d 2,5. Vo všeobecnosti, ak D = 0, potom

ax 2 + bx + c = - to sme si všimli skôr v poznámke 1.
Ak D > 0, potom kvadratická rovnica ax 2 + bx + c \u003d 0 má dva korene, ktoré sa nachádzajú pomocou vzorcov

Dôkaz. Kvadratickú rovnicu ax 2 + b x + c = 0 prepíšeme do tvaru (1)

Položme
Podľa predpokladu D > 0, čo znamená, že pravá strana rovnice je kladné číslo. Potom z rovnice (2) dostaneme to

Daná kvadratická rovnica má teda dva korene:

Poznámka 3. V matematike sa málokedy stane, že zavedený pojem nemá, obrazne povedané, každodenné pozadie. Vezmime si nový
koncepcia je diskriminačná. Pamätajte na slovo „diskriminácia“. Čo to znamená? Znamená to ponižovanie jedných a povyšovanie iných, t.j. rozdielne postoje
nie do rôznych pudya. Obidve slová (diskriminačný aj diskriminačný) pochádzajú z latinského diskriminans - „rozlišovať“. Diskriminant rozlišuje kvadratické rovnice podľa počtu koreňov.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Riešenie. Tu a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Pretože D > 0, potom podľa vety 3 má táto kvadratická rovnica dva korene. Tieto korene nájdeme podľa vzorcov (3)

V skutočnosti sme vyvinuli nasledujúce pravidlo:

Pravidlo riešenia rovnice
ax 2 + bx + c = 0

Toto pravidlo je univerzálne, platí pre úplné aj neúplné kvadratické rovnice. Neúplné kvadratické rovnice sa však väčšinou podľa tohto pravidla neriešia, je vhodnejšie ich riešiť tak, ako sme to riešili v predchádzajúcom odseku.

Príklad 4 Riešiť rovnice:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x2-x + 3,5 = 0.

Riešenie. a) Tu a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 – 4ac \u003d Z 2 – 4. 1. (-5) = 9 + 20 = 29.

Pretože D > 0, táto kvadratická rovnica má dva korene. Tieto korene nájdeme podľa vzorcov (3)

B) Ako ukazuje skúsenosť, je vhodnejšie zaoberať sa kvadratickými rovnicami, v ktorých je vodiaci koeficient kladný. Preto najprv vynásobíme obe strany rovnice -1, dostaneme

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tu a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Pretože D = 0, táto kvadratická rovnica má jeden koreň. Tento koreň sa nachádza podľa vzorca x \u003d -. znamená,

Táto rovnica by sa dala vyriešiť aj inak: od r
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, potom dostaneme rovnicu (3x - I) 2 \u003d 0, z ktorej nájdeme Zx - 1 \u003d 0, t.j. x \u003d.

c) Tu a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Keďže D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematici sú praktickí, hospodárni ľudia. Prečo, hovoria, použiť také dlhé pravidlo na riešenie kvadratickej rovnice, je lepšie okamžite napísať všeobecný vzorec:

Ak sa ukáže, že diskriminant D \u003d b 2 - 4ac je záporné číslo, potom napísaný vzorec nedáva zmysel (záporné číslo je pod odmocninou), čo znamená, že neexistujú žiadne korene. Ak sa ukáže, že diskriminant sa rovná nule, dostaneme

To znamená jeden koreň (tiež hovoria, že kvadratická rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene:

Nakoniec, ak sa ukáže, že b 2 - 4ac > 0, potom sa získajú dva korene x 1 a x 2, ktoré sa vypočítajú pomocou rovnakých vzorcov (3), ako je uvedené vyššie.

Samotné číslo je v tomto prípade kladné (ako každá druhá odmocnina kladného čísla) a dvojité znamienko pred ním znamená, že v jednom prípade (pri nájdení x 1) sa toto kladné číslo pripočíta k číslu - b, a v druhom prípade (pri nájdení x 2) je kladné číslo,
čítať od čísla - b.

Máte slobodu voľby. Ak chcete, vyriešte kvadratickú rovnicu podrobne pomocou pravidla formulovaného vyššie; ak chcete, hneď si zapíšte vzorec (4) a použite ho na vyvodenie potrebných záverov.

Príklad 5. Riešiť rovnice:

Riešenie, a) Samozrejme, môžu sa použiť vzorce (4) alebo (3), ak vezmeme do úvahy, že v tomto prípade Prečo však vykonávať operácie so zlomkami, keď je jednoduchšie a hlavne príjemnejšie narábať s celými číslami? Zbavme sa menovateľov. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť obe časti rovnice číslom 12, teda najmenším spoločným menovateľom zlomkov, ktoré slúžia ako koeficienty rovnice. Získajte

preto 8x 2 + 10x - 7 = 0.

A teraz použijeme vzorec (4)

B) Opäť máme rovnicu so zlomkovými koeficientmi: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Vynásobte obe strany rovnice 100, potom dostaneme rovnicu s celočíselnými koeficientmi:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Ďalej použijeme vzorec (4):

Jednoduchý odhad ukazuje, že diskriminant (radikálny výraz) je záporné číslo. Takže rovnica nemá korene.

Príklad 6 vyriešiť rovnicu
Riešenie. Tu je na rozdiel od predchádzajúceho príkladu výhodnejšie konať podľa pravidla a nie podľa redukovaného vzorca (4).

Máme \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Keďže D > 0, kvadratická rovnica má dva korene, ktoré budeme hľadať pomocou vzorcov (3)

Príklad 7 vyriešiť rovnicu
x 2 - (2p + 1)x + (p2 + p-2) = 0

Riešenie. Táto kvadratická rovnica sa líši od všetkých doteraz uvažovaných kvadratických rovníc tým, že koeficienty nie sú konkrétne čísla, ale doslovné výrazy. Takéto rovnice sa nazývajú rovnice s písmenovými koeficientmi alebo rovnice s parametrami. V tomto prípade je parameter (písmeno) p zahrnutý do druhého koeficientu a voľného člena rovnice.
Poďme nájsť diskriminant:

Príklad 8. Vyriešte rovnicu px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Riešenie. Toto je tiež rovnica s parametrom p, ale na rozdiel od predchádzajúceho príkladu ju nemožno vyriešiť okamžite pomocou vzorcov (4) alebo (3). Faktom je, že tieto vzorce sú použiteľné pre kvadratické rovnice, ale o danej rovnici to zatiaľ povedať nemôžeme. Naozaj, čo ak p = 0? Potom
rovnica bude mať tvar 0. x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, t.j. x - 1 \u003d 0, z čoho dostaneme x \u003d 1. Teraz, ak to viete s istotou, môžete použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice:

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Zvážme všetko podrobne: podstatu a zápis kvadratickej rovnice, nastavte sprievodné pojmy, analyzujte schému riešenia neúplných a úplné rovnice, zoznámime sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, nadviažeme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi a samozrejme dáme názorné riešenie praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, Kde X– premenné, a , b a c sú nejaké čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože v skutočnosti je kvadratická rovnica algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, A c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najvyšší koeficient je 6 , druhý koeficient je − 2 , a voľný termín sa rovná − 11 . Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a/alebo c sú negatívne, potom krátka forma záznamy formulára 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ​​ak koeficienty a a/alebo b rovný 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu explicitne podieľať na zaznamenávaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami zaznamenávania uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 − y + 7 = 0 seniorský koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Podľa hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, kde vedúci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu je kvadratická rovnica neredukovaná.

Tu sú príklady: kvadratické rovnice x 2 − 4 x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sú redukované, v každej z nich je vodiaci koeficient 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akúkoľvek neredukovanú kvadratickú rovnicu možno previesť na redukovanú rovnicu vydelením oboch jej častí prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Úvaha prípadová štúdia nám umožní názorne demonštrovať prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Vzhľadom na rovnicu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovanej podoby.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe časti pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6 . Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0 : 3 a toto je to isté ako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Odtiaľ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Prejdime k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme to špecifikovali a ≠ 0. Podobná podmienka je potrebná pre rovnicu a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, od r a = 0 v podstate sa premieňa na lineárna rovnica b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b A c sa rovnajú nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica a x 2 + b x + c \u003d 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b A c(alebo oboje) je nula.

Kompletná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve takéto názvy.

Pre b = 0 má kvadratická rovnica tvar a x 2 + 0 x + c = 0, ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0. O c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0, čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0. O b = 0 A c = 0 rovnica bude mať tvar a x 2 = 0. Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje naraz. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovníc názov - neúplné.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 = 0, koeficienty zodpovedajú takejto rovnici b = 0 a c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 pre b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 pre c = 0 .

Zvážte postupne riešenie každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 \u003d 0

Ako už bolo uvedené vyššie, takáto rovnica zodpovedá koeficientom b A c, rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a, nerovná sa nule. Zjavným faktom je, že koreň rovnice x2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0 . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené vlastnosťami stupňa: pre akékoľvek číslo p , nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá p2 > 0, z ktorého vyplýva, že kedy p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 nikdy nebude dosiahnuté.

Definícia 5

Pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 teda existuje jeden koreň x=0.

Príklad 2

Napríklad vyriešme neúplnú kvadratickú rovnicu − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentná rovnici x2 = 0, jej jediným koreňom je x=0, potom má pôvodná rovnica jediný koreň - nulu.

Riešenie je zhrnuté takto:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c \u003d 0

Ďalšie v poradí je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b \u003d 0, c ≠ 0, teda rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Túto rovnicu transformujeme tak, že prenesieme člen z jednej strany rovnice na druhú, zmeníme znamienko na opačné a obe strany rovnice vydelíme číslom, ktoré sa nerovná nule:

• vydržať c V pravá strana, čo dáva rovnicu a x 2 = − c;
• vydeľte obe strany rovnice a, dostaneme ako výsledok x = - c a .

Naše transformácie sú ekvivalentné, respektíve výsledná rovnica je ekvivalentná aj pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť záver o koreňoch rovnice. Z akých sú hodnoty a A c závisí od hodnoty výrazu - c a: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 A c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = -2 A c=6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nerovná sa nule, pretože c ≠ 0. Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d - c a bude číslo - c a, pretože - c a 2 \u003d - c a. Je ľahké pochopiť, že číslo - - c a - je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a .

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať opačnou metódou. Najprv nastavme zápis koreňov nájdených vyššie ako x 1 A − x 1. Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x2, ktorý sa líši od koreňov x 1 A − x 1. Vieme to dosadením do rovnice namiesto X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 A − x 1 napíšte: x 1 2 = - c a , a pre x2- x 2 2 \u003d - c a. Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jednu skutočnú rovnosť od iného člena po člene, čo nám dá: x 1 2 − x 2 2 = 0. Použite vlastnosti číselných operácií na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z toho, čo bolo povedané, to vyplýva x1 − x2 = 0 a/alebo x1 + x2 = 0, čo je to isté x2 = x1 a/alebo x 2 = − x 1. Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x2 sa líši od x 1 A − x 1. Takže sme dokázali, že rovnica nemá iné korene ako x = - ca a x = - - c a .

Zhrnieme všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a , ktorá:

• nebude mať korene na - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a, keď - c a > 0 .

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť jeho riešenie.

Riešenie

Voľný člen prenesieme na pravú stranu rovnice, potom bude mať rovnica tvar 9 x 2 \u003d - 7.
Obe strany výslednej rovnice vydelíme o 9 , dostaneme sa k x 2 = - 7 9 . Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: daná rovnica nemá korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu − x2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňme sa o 36 na pravú stranu: − x 2 = − 36.
Rozdeľme si obe časti na − 1 , dostaneme x2 = 36. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = -36.
Extrahujeme koreň a napíšeme konečný výsledok: neúplnú kvadratickú rovnicu − x2 + 36 = 0 má dva korene x=6 alebo x = -6.

odpoveď: x=6 alebo x = -6.

Riešenie rovnice a x 2 +b x=0

Analyzujme tretí druh neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0. Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, používame metódu faktorizácie. Rozložme na faktor polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice, pričom spoločný faktor vyjmeme zo zátvoriek X. Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0. A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x=0 A a x + b = 0. Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň: x = − b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x=0 A x = − b a.

Upevnime materiál na príklade.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Riešenie

Vyberieme X mimo zátvorky a získajte rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x=0 a 23x-227 = 0. Teraz by ste mali vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Stručne povedané, riešenie rovnice zapíšeme takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 337.

Diskriminant, vzorec koreňov kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešenia kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 a, kde D = b 2 − 4 a c je takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Zápis x \u003d - b ± D 2 a v podstate znamená, že x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bude užitočné pochopiť, ako bol uvedený vzorec odvodený a ako ho použiť.

Odvodenie vzorca koreňov kvadratickej rovnice

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• vydeľ obe strany rovnice číslom a, odlišné od nuly, získame redukovanú kvadratickú rovnicu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• vyberte celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Potom bude mať rovnica tvar: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• teraz je možné preniesť posledné dva členy na pravú stranu, pričom znamienko zmeníme na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dospeli sme teda k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, ktorá je ekvivalentná pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

O riešení takýchto rovníc sme hovorili v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pre b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 má rovnica tvar x + b 2 · a 2 = 0, potom x + b 2 · a = 0.

Odtiaľto je zrejmý jediný koreň x = - b 2 · a;

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 platí: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , čo je rovnaké ako x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 a c 4 · a 2 napísané na pravej strane. A znak tohto výrazu je daný znakom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladný), teda znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu môžete napísať podstatu diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, koľko koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepíšme to diskriminačným zápisom: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Zopakujme si závery:

Definícia 9

• pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
• pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 rovnica má dva korene: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 alebo x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať ako: x \u003d - b 2 a + D 2 a alebo - b 2 a - D 2 a. A keď otvoríme moduly a zredukujeme zlomky na spoločného menovateľa, dostaneme: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Takže výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b 2 − 4 a c.

Tieto vzorce umožňujú, keď je diskriminant väčší ako nula, určiť oba skutočné korene. Keď je diskriminant nulový, použitie oboch vzorcov poskytne rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, že je diskriminant záporný, pri pokuse použiť vzorec kvadratickej odmocniny budeme čeliť potrebe extrahovať druhú odmocninu zo záporného čísla, čím sa dostaneme za reálne čísla. S negatívnym diskriminantom nebude mať kvadratická rovnica skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžite pomocou koreňového vzorca, ale v zásade sa to robí, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov sa hľadanie zvyčajne nezameriava na komplexné, ale na skutočné korene kvadratickej rovnice. Potom je optimálne pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (inak dôjdeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnotu koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

• podľa vzorca D = b 2 − 4 a c nájsť hodnotu diskriminantu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - b 2 · a ;
• pre D > 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice podľa vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a , dostane rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a .

Zvážte príklady.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uveďme príklad riešenia pre rôzne hodnoty diskriminačný.

Príklad 6

Je potrebné nájsť korene rovnice x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riešenie

Zapisujeme číselné koeficienty kvadratickej rovnice: a \u003d 1, b \u003d 2 a c = - 6. Ďalej konáme podľa algoritmu, t.j. Začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a , b A c do diskriminačného vzorca: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Takže sme dostali D > 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie používame koreňový vzorec x \u003d - b ± D 2 · a a nahradením príslušných hodnôt dostaneme: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Výsledný výraz zjednodušíme odstránením faktora zo znamienka odmocniny a následnou redukciou zlomku:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = -1 + 7, x = -1-7.

Príklad 7

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica len jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

odpoveď: x = 3,5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5 , b = 6 a c = 2 . Na nájdenie diskriminantu použijeme tieto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť komplexné korene, použijeme koreňový vzorec vykonaním operácií s komplexnými číslami:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 alebo x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i alebo x = - 3 5 - 1 5 i.

odpoveď: neexistujú žiadne skutočné korene; komplexné korene sú: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN školské osnovyštandardne neexistuje požiadavka hľadať komplexné korene, preto ak je diskriminant pri riešení určený ako záporný, okamžite sa zaznamená odpoveď, že neexistujú žiadne skutočné korene.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) umožňuje získať iný, kompaktnejší vzorec, ktorý vám umožní nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom na x (alebo s koeficientom tvaru 2 a n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme si, ako je tento vzorec odvodený.

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a potom použijeme koreňový vzorec:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Označme výraz n 2 − a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar:

x \u003d - n ± D 1 a, kde D 1 \u003d n 2 - a c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4 . Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

• nájdite D 1 = n 2 − a c ;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pre D 1 = 0 určte jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - n a ;
• pre D 1 > 0 určte dva skutočné korene pomocou vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môže byť reprezentovaný ako 2 · (− 3) . Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kde a = 5 , n = − 3 a c = − 32 .

Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene. Definujeme ich zodpovedajúcim vzorcom koreňov:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 315 alebo x = -2.

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratická rovnica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 je jednoznačne vhodnejšia na riešenie ako 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením jej oboch častí určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušený záznam rovnice 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, získanej delením oboch jej častí číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú navzájom základné čísla. Potom je bežné deliť obe strany rovnice najväčšou spoločný deliteľ absolútne hodnoty jeho koeficientov.

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definujme gcd absolútnych hodnôt jeho koeficientov: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6. Vydelme obe časti pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne eliminujú zlomkové koeficienty. V tomto prípade vynásobte najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) \u003d 6, potom bude napísaná v jednoduchšom tvare x 2 + 4 x - 18 = 0.

Nakoniec si všimneme, že takmer vždy sa zbavte mínusu pri prvom koeficiente kvadratickej rovnice, pričom sa menia znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch častí − 1. Napríklad z kvadratickej rovnice - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice v zmysle jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca máme možnosť nastaviť ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné sú vzorce Vietovej vety:

x 1 + x 2 \u003d - ba a x 2 \u003d c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhým koeficientom s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad tvarom kvadratickej rovnice 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších vzťahov. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

učiteľ matematiky

s.Kopyevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice v al-Khwarizmi

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace s hľadaním oblastí. pozemkov a so zemnými prácami vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Kvadratické rovnice boli schopné vyriešiť okolo roku 2000 pred Kristom. e. Babylončania.

Ak použijeme modernú algebraickú notáciu, môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu prišli. Takmer všetky doteraz nájdené klinopisné texty uvádzajú len problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia.

Napriek tomu vysoký stupeň vývoj algebry v Babylone, v klinopisných textoch neexistuje pojem záporného čísla a bežné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice.

Diofantova aritmetika neobsahuje systematický výklad algebry, ale obsahuje systematický rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôzneho stupňa.

Pri zostavovaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Úloha 11."Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a ich súčin je 96"

Diophantus argumentuje nasledovne: z podmienky problému vyplýva, že požadované čísla sa nerovnajú, keďže ak by boli rovnaké, ich súčin by nebol 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovica ich suma, t.j. 10+x, druhý je menší, t.j. 10-te roky. Rozdiel medzi nimi 2x .

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 – x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2. Jedným z požadovaných čísel je 12 , iné 8 . Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y(20 - y) = 96,

r 2 - 20 r + 96 = 0. (2)

Je jasné, že Diophantus zjednodušuje riešenie výberom polovičného rozdielu požadovaných čísel ako neznámeho; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Úlohy pre kvadratické rovnice sa už nachádzajú v astronomickom trakte „Aryabhattam“, ktorý v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický učenec, Brahmagupta (7. storočie), vysvetlil všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

ach 2+ b x = c, a > 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem A, môže byť aj negatívny. Brahmaguptove pravidlo sa v podstate zhoduje s naším.

V starovekej Indii boli verejné súťaže v riešení zložitých problémov bežné. V jednej zo starých indiánskych kníh sa o takýchto súťažiach hovorí: „Ako slnko prežiari hviezdy svojím leskom, tak vedec človek zatieniť slávu druhého na verejných stretnutiach, navrhovať a riešiť algebraické problémy. Úlohy sa často obliekali do poetickej podoby.

Tu je jeden z problémov slávneho indického matematika XII. Bhaskara.

Úloha 13.

„Šikovný kŕdeľ opíc a dvanásť viniča...

Keď som jedol silu, bavil som sa. Začali skákať, visieť ...

Ôsma časť z nich vo štvorci Koľko tam bolo opíc,

Zábava na lúke. Povieš mi, v tomto stáde?

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel o dvojhodnotovosti koreňov kvadratických rovníc (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13 je:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara píše pod zámienkou:

x 2 - 64x = -768

a doplniť ľavá strana tejto rovnice na druhú, pridá na obe strany 32 2 , potom získate:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice v al-Khorezmi

Al-Khorezmiho algebraické pojednanie uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc. Autor uvádza 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c = b X.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. ax 2 = s.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ah = s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, t.j. ax 2 + c = b X.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ach 2+ bx = s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c \u003d sekera 2.

Pre al-Khwarizmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc sčítaním, nie odčítaním. V tomto prípade sa zjavne neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor načrtáva metódy riešenia týchto rovníc pomocou metód al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutia sa, samozrejme, úplne nezhodujú s našimi. Nehovoriac o tom, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al-Chorezmi, ako všetci matematici pred 17. storočím, berie do úvahy nulové riešenie, pravdepodobne preto, že v konkrétnom praktické úlohy to je jedno. Pri riešení úplných kvadratických rovníc stanovuje al-Khorezmi pravidlá riešenia a potom geometrické dôkazy pomocou konkrétnych numerických príkladov.

Úloha 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň" (za predpokladu koreňa rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorovo riešenie znie asi takto: vydeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5, od súčinu odčítajte 21, zostáva 4. Vezmite odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5, získajte 3, bude to požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čím získate 7, to je tiež koreň.

Traktát al-Chorezmi je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala, v ktorej je systematicky uvedená klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa modelu al - Khorezmi v Európe boli prvýkrát uvedené v „Knihe počítadla“, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto objemné dielo, ktoré odráža vplyv matematiky v krajinách islamu a Staroveké Grécko, sa líši úplnosťou aj prehľadnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niektoré nové algebraické príklady riešenie problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z Knihy počítadla prešli takmer do všetkých európskych učebníc 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

x 2+ bx = s,

pre všetky možné kombinácie znamienok koeficientov b , s sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Vieta má všeobecnú deriváciu vzorca na riešenie kvadratickej rovnice, ale Vieta rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Zohľadnite okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v XVII storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov získava spôsob riešenia kvadratických rovníc moderný vzhľad.

1.6 O Vietovej vete

Vetu vyjadrujúcu vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, nesúcu meno Vieta, sformuloval prvýkrát v roku 1591 takto: „Ak B + D vynásobeny A - A 2 , rovná sa BD, To A rovná sa IN a rovní D ».

Aby sme porozumeli Viete, musíme si to pamätať A, ako každá samohláska, pre neho znamenalo neznáme (náš X), samohlásky IN, D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená Vietova formulácia znamená: ak

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viet zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. K symbolike Viety je však ešte ďaleko moderný vzhľad. Nepoznal záporné čísla, a preto pri riešení rovníc zvažoval iba prípady, keď sú všetky odmocniny kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva majestátna budova algebry. Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník) až po maturitu.

Niektoré úlohy v matematike vyžadujú schopnosť vypočítať hodnotu druhej odmocniny. Tieto problémy zahŕňajú riešenie rovníc druhého rádu. V tomto článku uvádzame efektívna metóda výpočty odmocniny a použiť ho pri práci so vzorcami koreňov kvadratickej rovnice.

Čo je druhá odmocnina?

V matematike tento pojem zodpovedá symbolu √. Historické údaje hovoria, že prvýkrát sa začala používať okolo prvej polovice 16. storočia v Nemecku (prvá nemecká práca o algebre od Christopha Rudolfa). Vedci sa domnievajú, že tento symbol je premenený latinské písmeno r (radix znamená v latinčine „koreň“).

Odmocnina ľubovoľného čísla sa rovná takej hodnote, ktorej druhá mocnina zodpovedá koreňovému výrazu. V jazyku matematiky bude táto definícia vyzerať takto: √x = y, ak y 2 = x.

Odmocnina kladného čísla (x > 0) je tiež kladné číslo (y > 0), ale ak vezmeme odmocninu zo záporného čísla (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Tu sú dva jednoduché príklady:

√9 = 3, pretože 3 2 = 9; √(-9) = 3i, pretože i 2 = -1.

Heronov iteračný vzorec na nájdenie hodnôt odmocnín

Vyššie uvedené príklady sú veľmi jednoduché a výpočet koreňov v nich nie je ťažký. Ťažkosti sa začínajú objavovať už pri hľadaní hodnôt odmocniny pre akúkoľvek hodnotu, ktorá nemôže byť vyjadrená ako štvorec prirodzené číslo, napríklad √10, √11, √12, √13, nehovoriac o tom, že v praxi je potrebné hľadať korene pre necelé čísla: napríklad √(12.15), √(8.5) a podobne.

Vo všetkých vyššie uvedených prípadoch použite špeciálna metóda výpočet druhej odmocniny. V súčasnosti je známych niekoľko takýchto metód: napríklad expanzia v Taylorovom rade, delenie stĺpcom a niektoré ďalšie. Zo všetkých známych metód je azda najjednoduchšie a najefektívnejšie použitie Heronovho iteračného vzorca, ktorý je známy aj ako babylonská metóda určovania druhých odmocnín (existujú dôkazy, že starí Babylončania ju používali pri svojich praktických výpočtoch).

Nech je potrebné určiť hodnotu √x. Vzorec na nájdenie druhej odmocniny je nasledujúci:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kde lim n->∞ (a n) => x.

Poďme dešifrovať tento matematický zápis. Ak chcete vypočítať √x, mali by ste vziať nejaké číslo a 0 (môže byť ľubovoľné, ale aby ste rýchlo získali výsledok, mali by ste ho zvoliť tak, aby (a 0) 2 bolo čo najbližšie k x. Potom ho dosaďte do zadaného vzorec na výpočet druhej odmocniny a získajte nové číslo a 1, ktoré už bude bližšie k požadovanej hodnote. Potom je potrebné do výrazu dosadiť 1 a dostať 2. Tento postup opakujte, kým sa sa dosiahne požadovaná presnosť.

Príklad použitia Heronovho iteračného vzorca

Pre mnohých môže znieť algoritmus na získanie druhej odmocniny z daného čísla dosť komplikovane a mätúco, ale v skutočnosti sa všetko ukáže oveľa jednoduchšie, pretože tento vzorec veľmi rýchlo konverguje (najmä ak je zvolené dobré číslo a 0).

Uveďme jednoduchý príklad: je potrebné vypočítať √11. Vyberieme 0 \u003d 3, pretože 3 2 \u003d 9, čo je bližšie k 11 ako 4 2 \u003d 16. Nahradením do vzorca dostaneme:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Nemá zmysel pokračovať vo výpočtoch, pretože sme zistili, že 2 a 3 sa začínajú líšiť až na 5. desatinnom mieste. Na výpočet √11 s presnosťou 0,0001 teda stačilo použiť vzorec iba 2-krát.

V súčasnosti sú na výpočet koreňov hojne využívané kalkulačky a počítače, je však vhodné si zapamätať označený vzorec, aby bolo možné manuálne vypočítať ich presnú hodnotu.

Rovnice druhého rádu

Pochopenie toho, čo je druhá odmocnina a schopnosť vypočítať ju, sa využíva pri riešení kvadratických rovníc. Tieto rovnice sú rovnosti s jednou neznámou, všeobecná forma ktorý je znázornený na obrázku nižšie.

Tu c, b a a sú nejaké čísla a a sa nesmú rovnať nule a hodnoty c a b môžu byť úplne ľubovoľné, vrátane nuly.

Akékoľvek hodnoty x, ktoré spĺňajú rovnosť uvedenú na obrázku, sa nazývajú jej korene (tento koncept by sa nemal zamieňať s druhou odmocninou √). Keďže uvažovaná rovnica má 2. rád (x 2), potom pre ňu nemôže byť viac koreňov ako dve čísla. Ďalej v článku zvážime, ako nájsť tieto korene.

Nájdenie koreňov kvadratickej rovnice (vzorec)

Táto metóda riešenia uvažovaného typu rovnosti sa nazýva aj univerzálna alebo metóda cez diskriminant. Dá sa použiť na akékoľvek kvadratické rovnice. Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice je nasledujúci:

Je z nej vidieť, že korene závisia od hodnoty každého z troch koeficientov rovnice. Navyše výpočet x 1 sa líši od výpočtu x 2 iba znamienkom pred druhou odmocninou. Radikálny výraz, ktorý sa rovná b 2 - 4ac, nie je nič iné ako diskriminant uvažovanej rovnosti. Diskriminant vo vzorci pre korene kvadratickej rovnice hrá dôležitú úlohu, pretože určuje počet a typ riešení. Takže, ak je nula, potom bude existovať iba jedno riešenie, ak je kladné, potom rovnica má dva skutočné korene a nakoniec negatívny diskriminant vedie k dvom komplexným koreňom x 1 a x 2.

Vietov teorém alebo niektoré vlastnosti koreňov rovníc druhého rádu

Koncom 16. storočia sa jednému zo zakladateľov modernej algebry, Francúzovi, ktorý študoval rovnice druhého rádu, podarilo získať vlastnosti jej koreňov. Matematicky sa dajú zapísať takto:

xi + x2 = -b/a a xi*x2 = c/a.

Obe rovnosti môže ľahko získať každý, na to stačí vykonať príslušné matematické operácie s koreňmi získanými prostredníctvom vzorca s diskriminantom.

Kombináciu týchto dvoch výrazov možno právom nazvať druhým vzorcom koreňov kvadratickej rovnice, ktorý umožňuje uhádnuť jej riešenia bez použitia diskriminantu. Tu je potrebné poznamenať, že hoci sú obidva výrazy vždy platné, je vhodné ich použiť na riešenie rovnice iba vtedy, ak sa dá faktorizovať.

Úlohou upevniť nadobudnuté vedomosti

Budeme riešiť matematický problém, v ktorom predvedieme všetky techniky diskutované v článku. Podmienky problému sú nasledovné: musíte nájsť dve čísla, pre ktoré je súčin -13 a súčet je 4.

Táto podmienka okamžite pripomína Vietovu vetu, pomocou vzorcov pre súčet odmocnín a ich súčinu píšeme:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Za predpokladu a = 1, potom b = -4 a c = -13. Tieto koeficienty nám umožňujú zostaviť rovnicu druhého rádu:

x 2 - 4 x - 13 = 0.

Používame vzorec s diskriminantom, dostaneme tieto korene:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

To znamená, že úloha bola zredukovaná na nájdenie čísla √68. Všimnite si, že 68 = 4 * 17, potom pomocou vlastnosti druhej odmocniny dostaneme: √68 = 2√17.

Teraz používame uvažovaný vzorec druhej odmocniny: a 0 \u003d 4, potom:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Nie je potrebné počítať 3, pretože nájdené hodnoty sa líšia iba o 0,02. Teda √68 = 8,246. Dosadením do vzorca pre x 1,2 dostaneme:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 a x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Ako vidíte, súčet nájdených čísel sa skutočne rovná 4, ale ak nájdete ich súčin, potom sa bude rovnať -12,999, čo spĺňa podmienku úlohy s presnosťou 0,001.

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". Znamená to, že v rovnici Nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho v rovnici môže byť (alebo nemusí byť!) len x (do prvého stupňa) a len číslo (voľný člen). A nemalo by tam byť x v stupni väčšom ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale A- všetko okrem nuly. Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No, chápete...

V týchto kvadratických rovniciach je vľavo Plný setčlenov. x na druhú s koeficientom A, x na prvú mocninu s koeficientom b A voľný člen

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú kompletný.

A keď b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvom stupni. Stane sa to násobením nulou.) Ukazuje sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom prečo A nemôže byť nula? A namiesto toho nahrádzate A nula.) X v štvorci zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A robí sa to inak...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. na pohľad:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a počítať. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

A =1; b = 3; c= -4. Tu píšeme:

Príklad takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo myslíte, nemôžete sa pokaziť? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena so znakmi hodnôt a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko klesne. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Proste to dopadne správne. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa vyrieši jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Vedeli ste?) Áno! Toto neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Musíte len správne zistiť, čo sa tu rovná a, b a c.

Realizované? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec neexistuje! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly do vzorca dosaďte c, a všetko nám vyjde. Podobne s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvé neúplná rovnica. Čo sa dá robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš? Potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? Niečo...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako všeobecný vzorec. Mimochodom, ktorý X bude prvý a ktorý druhý - je úplne ľahostajné. Jednoduché písanie v poradí x 1- podľa toho, čo je menej x 2- čo je viac.

Druhá rovnica sa dá tiež ľahko vyriešiť. Posúvame 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Získajte:

aj dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vytiahnutím X zo zátvoriek, alebo jednoduchým prenesením čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto metódy. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, a v druhom prípade nie je čo vytiahnuť zo zátvoriek ...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodnite sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na triky od diskriminujúceho! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Diskriminant sa zvyčajne označuje písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také zvláštne? Prečo si zaslúži špeciálne meno? Čo zmysel slova diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci konkrétne nepomenúvajú ... Písmená a písmená.

Ide o to. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej môžete extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, nejde o jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Záporné číslo nemá druhú odmocninu. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, o jednoduché riešenie kvadratických rovníc, pojem diskriminant nie je zvlášť potrebný. Dosadíme hodnoty koeficientov do vzorca a zvážime. Tam sa všetko ukáže samo, a dva korene a jeden, a nie jeden. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a diskriminačný vzorec nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre GIA a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo naučené, čo tiež nie je zlé.) Viete sa správne identifikovať a, b a c. Vieš ako pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - pozorne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré je to potom bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po akejkoľvek transformácii dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať vzorec koreňov! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv x na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x na druhú vás môže poriadne rozladiť. Zabudnúť na to je ľahké... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme celú rovnicu vynásobiť -1. Dostaneme:

A teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Rozhodnite sa sami. Mali by ste skončiť s koreňmi 2 a -1.

Druhý príjem. Skontrolujte svoje korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, ľahko skontrolujte korene. Stačí ich namnožiť. Mali by ste dostať voľný termín, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyšlo, znamená to, že sa už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to vyšlo, musíte zložiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mal by byť pomer b s opak znamenie. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred x, sa rovná -1. Takže, všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude menej.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity". Pri práci so zlomkami sa chyby z nejakého dôvodu šplhajú ...

Mimochodom, sľúbil som zlý príklad s kopou mínusov na zjednodušenie. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je zábava!

Zopakujme si teda tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju Správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient pre ňu je rovný jednej, riešenie sa dá ľahko skontrolovať Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešiť rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Sedí všetko? Skvelé! Kvadratické rovnice nie sú vaše bolesť hlavy. Prvé tri dopadli, ale zvyšok nie? Potom problém nie je v kvadratických rovniciach. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nefunguje? Alebo to nefunguje vôbec? Potom vám pomôže sekcia 555. Tam sú všetky tieto príklady zoradené podľa kostí. Zobrazuje sa Hlavná chyby v riešení. Samozrejme je popísaná aj aplikácia identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.