I. V. Jakovlev | Matematické materiály | MathUs.ru

Aritmetický postup

Aritmetická progresia je špeciálny typ podsekvencia. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať o dôležitom koncepte číselnej postupnosti.

Následná sekvencia

Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú určité čísla. Povedzme 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Táto množina čísel je presným príkladom postupnosti.

Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorej možno každému číslu priradiť jedinečné číslo (to znamená spojené s jedným prirodzeným číslom)1. Volá sa číslo s číslom n n-tý termín sekvencie.

Takže vo vyššie uvedenom príklade je prvé číslo 2, toto je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1; číslo päť má číslo 6 je piaty člen postupnosti, ktorý možno označiť a5. Vôbec, n-tý termín sekvencie sú označené a (alebo bn, cn, atď.).

Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 určuje postupnosť: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Vzorec an = (1)n určuje postupnosť: 1; 1; 1; 1; : : :

Nie každá množina čísel je postupnosť. Segment teda nie je sekvencia; obsahuje „príliš veľa“ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.

Aritmetická postupnosť: základné definície

Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.

Definícia. Aritmetická progresia je postupnosť, v ktorej každý člen (počnúc od druhého) rovná súčtu predchádzajúci člen a nejaké pevné číslo (nazývané rozdiel aritmetickej progresie).

Napríklad sekvencia 2; 5; 8; jedenásť; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Sekvencia 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Sekvencia 3; 3; 3; : : : je aritmetický postup s rozdielom rovným nule.

Ekvivalentná definícia: postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an+1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).

Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.

1 Tu je stručnejšia definícia: sekvencia je funkcia definovaná na množine prirodzené čísla. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N ! R.

V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto nás neobťažuje uvažovať o konečných postupnostiach; v skutočnosti môže byť každá konečná množina čísel nazývaná konečnou postupnosťou. Napríklad koncová postupnosť je 1; 2; 3; 4; 5 pozostáva z piatich čísel.

Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti

Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako, keď poznáme prvý člen a rozdiel, nájsť ľubovoľný člen aritmetickej progresie?

Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. Nechajte

aritmetická progresia s rozdielom d. Máme:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Predovšetkým píšeme:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (al + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = a1 + 3d;
a teraz je jasné, že vzorec pre an je:
an = a1 + (n 1)d:

Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; 8; jedenásť; : : : nájdite vzorec pre n-tý člen a vypočítajte stý člen.

Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Vlastnosť a znak aritmetického postupu

Vlastnosť aritmetickej progresie. V aritmetickej postupnosti a pre ľubovoľné

Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (začínajúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.

	Dôkaz. Máme:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

čo sa vyžadovalo.

Všeobecnejšie povedané, aritmetický postup a spĺňa rovnosť

a n = a n k+ a n+k

pre ľubovoľné n > 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ukazuje sa, že vzorec (2) slúži nielen ako nevyhnutná, ale aj postačujúca podmienka na to, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.

Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n > 2, potom postupnosť an je aritmetická postupnosť.

Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:

a na n 1= a n+1a n:

Z toho vidíme, že rozdiel an+1 an nezávisí od n, a to presne znamená, že postupnosť an je aritmetická postupnosť.

Vlastnosť a znamienko aritmetickej progresie možno formulovať vo forme jedného výroku; Pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).

Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.

Úloha 2. (MSU, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v naznačenom poradí tvoria klesajúci aritmetický postup. Nájdite x a označte rozdiel tohto postupu.

Riešenie. Vlastnosťou aritmetickej progresie máme:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ak x = 1, potom dostaneme klesajúcu progresiu 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, potom dostaneme rastúcu progresiu 40, 22, 4; tento prípad nie je vhodný.

Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Legenda hovorí, že jedného dňa učiteľ povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100, a potichu sa posadili a čítali noviny. Jeden chlapec však v priebehu niekoľkých minút povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Carl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov v histórii.

Myšlienka malého Gaussa bola nasledovná. Nechaj

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Napíšme túto sumu v opačnom poradí:

S = 100 + 99 + 98 + : : + 3 + 2 + 1;

a pridajte tieto dva vzorce:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101 a takýchto výrazov je celkovo 100. Preto

2S = 101100 = 10100;

Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame, ak doň dosadíme vzorec n-tého člena an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n1)d

Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.

Riešenie. Trojciferné čísla, násobky 13, tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom 104 a rozdielom 13; N-tý člen tohto postupu má tvar:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Poďme zistiť, koľko výrazov obsahuje náš postup. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

V našej progresii je teda 69 členov. Pomocou vzorca (4) nájdeme požadované množstvo:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2

Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zlatý klinec:

• Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Prvá úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Poradie čísel

Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, ​​čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Poradie čísel
Napríklad pre našu postupnosť:

Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselná postupnosť, v ktorom je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný.
Napríklad:

atď.
Táto postupnosť čísel sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius ešte v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorú študovali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

Mám to? Porovnajme naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého členu. Existuje dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

Číslo progresie môžeme pripočítať k predchádzajúcej hodnote, kým nedosiahneme tý člen postupu. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Čiže tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám zabralo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nemýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom nie je potrebné pripočítať k predchádzajúcej hodnote rozdiel aritmickej progresie. Pozrite sa bližšie na nakreslený obrázok... Určite ste si už všimli istý vzor, ​​a to:

Pozrime sa napríklad, z čoho pozostáva hodnota druhého člena tejto aritmetickej progresie:


Inými slovami:

Skúste sami takto nájsť hodnotu člena danej aritmetickej postupnosti.

Počítal si? Porovnajte svoje poznámky s odpoveďou:

Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pridali podmienky aritmetickej progresie.
Pokúsme sa „odosobniť“ tento vzorec – vnesme ho do neho všeobecná forma a dostaneme:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Overme si to v praxi.
Dostali sme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké bude te číslo tejto aritmetickej postupnosti, ak na jej výpočet použijeme náš vzorec:

Odvtedy:

Preto sme presvedčení, že vzorec funguje v klesajúcom aj rastúcom aritmetickom postupe.
Pokúste sa sami nájsť th a th term tohto aritmetického postupu.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Zkomplikujme problém – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Povedzme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Jednoducho, poviete a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Nechaj, ah, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť urobiť chybu vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite nad tým, či je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno, a to sa teraz pokúsime ukázať.

Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože vzorec na jeho nájdenie je nám známy - ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, Potom:

• predchádzajúci termín postupu je:
• ďalší termín postupu je:

Zhrňme si predchádzajúce a nasledujúce podmienky postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, ak chcete nájsť hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, musíte ich pridať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Zabezpečme materiál. Vypočítajte si hodnotu progresie sami, nie je to vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce študentov v iných triedach, zadal v triede nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od do (podľa iných zdrojov po) vrátane.“ Predstavte si prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (to bol Karl Gauss) o minútu neskôr dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok...

Mladý Carl Gauss si všimol istý vzor, ​​ktorý si môžete ľahko všimnúť aj vy.
Povedzme, že máme aritmetickú progresiu pozostávajúcu z -tých členov: Potrebujeme nájsť súčet týchto členov aritmetickej progresie. Samozrejme, všetky hodnoty môžeme sčítať manuálne, ale čo ak úloha vyžaduje nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Predstavme si pokrok, ktorý nám bol daný. Pozrite sa bližšie na zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.


Skúšali ste to? čo si si všimol? Správny! Ich sumy sú rovnaké

Teraz mi povedzte, koľko takýchto párov je celkovo v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobné dvojice sú rovnaké, dostaneme, že celkový súčet sa rovná:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme rozdiel v progresii. Pokúste sa nahradiť vzorec tého členu do súčtového vzorca.
Čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý bol položený Carlovi Gaussovi: vypočítajte si sami, čomu sa rovná súčet čísel začínajúcich od th a súčtu čísel začínajúcich od th.

Koľko ste dostali?
Gauss zistil, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Rozhodli ste sa tak?

V skutočnosti vzorec na súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal už v 3. storočí staroveký grécky vedec Diophantus a počas tejto doby vtipní ľudia naplno využívali vlastnosti aritmetického postupu.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčší stavebný projekt tej doby - stavba pyramídy... Na obrázku je jedna jej strana.

Kde je tu progres, hovoríte? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.


Prečo nie aritmetický postup? Vypočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené na základni. Dúfam, že nebudete počítať pri pohybe prstom po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

V tomto prípade priebeh vyzerá takto: .
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov vypočítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete vypočítať na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Mám to? Výborne, zvládli ste súčet n-tých členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si vypočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:

Školenie

Úlohy:

1. Máša sa dostáva do letnej formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát urobí Máša drepy za týždeň, ak na prvom tréningu urobila drepy?
2. Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
3. Pri ukladaní guľatiny ich drevorubači naskladajú tak, že každá vrchná vrstva obsahuje o jeden denník menej ako predchádzajúci. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny?

Odpovede:

1. Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
   (týždne = dni).

   odpoveď: Za dva týždne by Masha mala robiť drepy raz denne.

2. Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
   Rozdiel aritmetického postupu.
   Počet nepárnych čísel je polovičný, skontrolujme však túto skutočnosť pomocou vzorca na nájdenie tého člena aritmetickej postupnosti:

   Čísla obsahujú nepárne čísla.
   Nahraďte dostupné údaje do vzorca:

   odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v je rovnaký.

3. Spomeňme si na problém o pyramídach. V našom prípade a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, tak celkovo existuje veľa vrstiev, tj.
   Dosadíme údaje do vzorca:

   odpoveď: V murive sú guľatiny.

Poďme si to zhrnúť

1. - číselný rad, v ktorom je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Môže sa zvyšovať alebo znižovať.
2. Hľadanie vzorcaČlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
3. Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupnosti.
4. Súčet členov aritmetickej progresie možno nájsť dvoma spôsobmi:
   
   , kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Poradie čísel

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy môžeme povedať, ktorý je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to jedinečným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi výhodné, ak môže byť tý člen postupnosti špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel je). Alebo (rozdiel).

vzorec n-tého členu

Vzorec nazývame rekurentný, v ktorom na zistenie tého výrazu potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou tohto vzorca, budeme musieť vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad, nechajte to. potom:

Je už jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Ktorý? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz je to oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickej postupnosti nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

Riešenie:

Prvý termín je rovnaký. V čom je rozdiel? Tu je čo:

(Preto sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec:

Potom sa stý člen rovná:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy túto sumu vypočítal veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca je rovnaký atď. Koľko takýchto párov je celkovo? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takže,

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferné čísla, násobky.

Riešenie:

Prvé takéto číslo je toto. Každé nasledujúce číslo sa získa pripočítaním k predchádzajúcemu číslu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom a rozdielom.

Vzorec druhého členu pre túto postupnosť:

Koľko výrazov je v postupe, ak všetky musia byť dvojciferné?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Každý deň prebehne športovec viac metrov ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov celkovo nabehá za týždeň, ak prvý deň zabehol km m?
2. Cyklista prejde každý deň viac kilometrov ako predchádzajúci deň. Prvý deň precestoval km. Koľko dní potrebuje na cestu, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde počas posledného dňa svojej cesty?
3. Cena chladničky v obchode každým rokom klesá o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

Odpovede:

1. Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
   .
   odpoveď:
2. Tu je uvedené: , musí sa nájsť.
   Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Koreň zjavne nesedí, takže odpoveď je.
   Vypočítajme cestu prejdenú za posledný deň pomocou vzorca tého členu:
   (km).
   odpoveď:

3. Dané: . Nájsť: .
   Jednoduchšie to už nemôže byť:
   (drhnúť).
   odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Ide o číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup môže byť rastúci () a klesajúci ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje vzorcom, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Umožňuje vám ľahko nájsť člen postupu, ak sú známe jeho susedné členy - kde je počet čísel v postupnosti.

Súčet členov aritmetickej progresie

Sumu možno zistiť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Kde je počet hodnôt.

Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(8\); \(jedenásť\); \(14\)... je aritmetický postup, pretože každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tejto postupnosti je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

Môže však byť aj \(d\). záporné číslo. Napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šiestim.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria postupnosť, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetická postupnosť \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie problémov aritmetického postupu

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickou progresiou (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie.
Riešenie:

	Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od svojho suseda rovnakým číslom. Poďme zistiť, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k (prvému negatívnemu) prvku, ktorý potrebujeme.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Zadaných niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(…5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
Riešenie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, progresívny rozdiel. Nájdeme to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz môžeme ľahko nájsť to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je definovaný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty jednu po druhej pomocou toho, čo je nám dané: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadované množstvo bolo nájdené.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
Riešenie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce pre aritmetický postup

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý nasledujúci prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu ( rozdiel v progresii).

Niekedy však existujú situácie, keď je rozhodovanie „hlavou“ veľmi nepohodlné. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Mali by sme pridať štyri \(385\) krát? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Budeš unavený z počítania...

Preto v takýchto prípadoch neriešia veci „hlavou“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec \(n\)-teho členu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) – člen postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aj tristotý alebo miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je určený podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) – posledný sčítaný termín;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
Riešenie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich členov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho členu. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (podrobnejšie pozri). Vypočítajme prvý prvok dosadením jedného za \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		No a teraz si už ľahko vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) – prvý sčítaný člen;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) – celkový počet prvkov.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Riešenie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetko potrebné informácie na riešenie takmer akéhokoľvek aritmetického postupu. Dokončite tému zvážením problémov, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riešenie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť to isté: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by som chcel dosadiť \(d\) do vzorca pre súčet... a tu sa objavuje malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? Zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď dosiahneme prvý pozitívny prvok. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. Ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo \(n\) sa to stane.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Poďme počítať...
\(n>65 333…\)		...a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný záporný znak \(n=65\). Pre každý prípad si to skontrolujme.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Musíme teda pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-teho do \(42\) prvku vrátane.
Riešenie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Pre takýto prípad nemáme vzorec. Ako sa rozhodnúť? Je to jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-teho do \(42\)-ého, musíte najskôr nájsť súčet od \(1\)-teho do \(42\)-ého a potom odpočítať z toho súčet od prvej po \(25\)-tu (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon je to štvorka, ktorú pridáme k predchádzajúcemu prvku, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-y prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\) prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetickú progresiu existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, uvažujme, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálny prípadčíselná postupnosť.

Číselná postupnosť je množina čísel, ktorej každý prvok má svoj vlastný sériové číslo . Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Sériové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- „n-tý“ prvok postupnosti, t.j. prvok „stojaci v rade“ pri čísle n.

Existuje vzťah medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, môžeme to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné nastaviť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol pre osobný manažment času a na začiatok spočíta, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zaznamenaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky označuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a to znamená v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého členu.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo vo forme vzorca.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca n-tého člena.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Hodnotu argumentu dosadíme do rovnice funkcie:

Ak napr. , To

Dovoľte mi ešte raz poznamenať, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné zadať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty čísla sekvenčného člena n od hodnôt predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že zakaždým, aby sme našli hodnotu n-tého člena postupnosti, sa vrátime k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob určenia sekvencie sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup je číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetickej progresie môže byť kladný, záporný alebo rovný nule.

Ak title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; 8; jedenásť;...

Ak je , potom je každý člen aritmetickej postupnosti menší ako predchádzajúci a postupnosť je klesajúci.

Napríklad 2; -1; -4; -7;...

Ak , potom sa všetky členy progresie rovnajú rovnakému číslu a progresia je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetického postupu:

Pozrime sa na výkres.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľme obe strany rovnosti 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, To

, a preto

Každý člen aritmetického postupu počnúc title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Vzorec tého členu.

Vidíme, že členy aritmetickej progresie spĺňajú nasledujúce vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a. Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktorýkoľvek z jeho výrazov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty členov, ktoré sú rovnako vzdialené od extrémnych, navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Zoraďme podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Pridajme do párov:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Uvažujme riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je do tohto postupu zahrnuté číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen našej postupnosti.

Všeobecne

V našom prípade , Preto