Alebo aritmetika je typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sa študujú v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne rozoberá otázku, ako nájsť sumu aritmetická progresia.

Čo je to za progresiu?

Predtým, ako prejdeme k otázke (ako nájsť súčet aritmetickej progresie), stojí za to pochopiť, o čom hovoríme.

Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa pripočítaním (odčítaním) nejakej hodnoty od každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraická (aritmetická) postupnosť. Táto definícia, keď je preložená do matematického jazyka, má podobu:

Tu som - sériové číslo prvok radu a i . Ak teda poznáte iba jedno štartovné číslo, môžete ľahko obnoviť celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva progresívny rozdiel.

Dá sa ľahko ukázať, že pre uvažovaný rad čísel platí nasledujúca rovnosť:

a n = ai + d* (n - 1).

To znamená, že ak chcete nájsť hodnotu n-tého prvku v poradí, mali by ste pridať rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1 krát.

Aký je súčet aritmetickej progresie: vzorec

Pred uvedením vzorca pre uvedené množstvo stojí za zváženie jednoduché špeciálny prípad. Progresia je daná prirodzené čísla od 1 do 10, musíte nájsť ich súčet. Keďže v postupnosti je málo pojmov (10), je možné problém vyriešiť priamočiaro, teda sčítať všetky prvky v poradí.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Stojí za to zvážiť jednu zaujímavosť: keďže sa každý člen líši od nasledujúceho o rovnakú hodnotu d = 1, potom párovým sčítaním prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. dostaneme rovnaký výsledok. naozaj:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ako vidíte, týchto súčtov je len 5, teda presne dvakrát menej ako je počet prvkov série. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každého súčtu (11) sa dostanete k výsledku získanému v prvom príklade.

Ak tieto argumenty zovšeobecníme, môžeme napísať nasledujúci výraz:

Sn = n* (a 1 + a n) / 2.

Tento výraz ukazuje, že vôbec nie je potrebné sčítať všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n , ako aj celkový počet n podmienok.

Predpokladá sa, že Gauss ako prvý na túto rovnosť myslel, keď hľadal riešenie daného problému. školský učiteľúloha: zrátajte prvých 100 celých čísel.

Súčet prvkov od m do n: vzorec

Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku odpovedá na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvé prvky), ale často je v problémoch potrebné sčítať sériu čísel v strede postupnosti. Ako to spraviť?

Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet členov od m-tej do n-tej. Na vyriešenie problému by ste mali prezentovať daný segment od m do n postupu vo forme nového číselného radu. V takej m-tá reprezentáciačlen a m bude prvý a a n bude očíslované n-(m-1). V tomto prípade použitím štandardného vzorca pre súčet získame nasledujúci výraz:

Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Príklad použitia vzorcov

Keď vieme, ako nájsť súčet aritmetickej progresie, stojí za to zvážiť jednoduchý príklad použitia vyššie uvedených vzorcov.

Nižšie je uvedené číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jeho členov, počnúc 5. a končiac 12.:

Uvedené čísla naznačujú, že rozdiel d je rovný 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok môžete nájsť hodnoty 5. a 12. člena progresie. Ukázalo sa:

a5 = ai + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznanie hodnôt čísel na koncoch daného algebraická progresia, a tiež vedieť, aké čísla v riadku zaberajú, môžete použiť vzorec pre sumu získanú v predchádzajúcom odseku. Ukáže sa:

S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Stojí za zmienku, že túto hodnotu možno získať inak: najprv nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odpočítajte druhý od prvého súčtu.

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, uvažujme, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálny prípad postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je množina čísel, ktorej každý prvok má svoje poradové číslo. Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Sériové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- „n-tý“ prvok postupnosti, t.j. prvok „stojaci v rade“ pri čísle n.

Existuje vzťah medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, môžeme to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné nastaviť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol pre osobný manažment času a na začiatok spočíta, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zaznamenaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky označuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a to znamená v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého členu.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo vo forme vzorca.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca n-tého člena.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Hodnotu argumentu dosadíme do rovnice funkcie:

Ak napr. , To

Dovoľte mi ešte raz poznamenať, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné zadať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty čísla sekvenčného člena n od hodnôt predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že zakaždým, aby sme našli hodnotu n-tého člena postupnosti, sa vrátime k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob určenia sekvencie sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup je číselná postupnosť, ktorej každý člen od druhého sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetickej progresie môže byť kladný, záporný alebo rovný nule.

Ak title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; 8; jedenásť;...

Ak je , potom je každý člen aritmetickej postupnosti menší ako predchádzajúci a postupnosť je klesajúci.

Napríklad 2; -1; -4; -7;...

Ak , potom sa všetky členy progresie rovnajú rovnakému číslu a progresia je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetického postupu:

Pozrime sa na výkres.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľme obe strany rovnosti 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, To

, a preto

Každý člen aritmetického postupu počnúc title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Vzorec tého členu.

Vidíme, že členy aritmetickej progresie spĺňajú nasledujúce vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a. Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktorýkoľvek z jeho výrazov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty členov, ktoré sú rovnako vzdialené od extrémnych, navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Zoraďme podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Pridajme do párov:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Uvažujme riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je do tohto postupu zahrnuté číslo 41.

A) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen našej postupnosti.

Všeobecne

V našom prípade , Preto

Dostaneme:

b) Predpokladajme, že číslo 41 je členom postupnosti. Poďme nájsť jeho číslo. Aby sme to dosiahli, vyriešme rovnicu:

Dostali sme prirodzenú hodnotu n, preto áno, číslo 41 je členom progresie. Ak by nájdená hodnota n nebola prirodzeným číslom, potom by sme odpovedali, že číslo 41 NIE JE členom progresie.

3 . a) Medzi čísla 2 a 8 vložte 4 čísla tak, aby spolu s týmito číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

b) Nájdite súčet členov výslednej progresie.

A) Vložme štyri čísla medzi čísla 2 a 8:

Dostali sme aritmetický postup so 6 členmi.

Poďme nájsť rozdiel tohto postupu. Na tento účel použijeme vzorec pre n-tý člen:

Teraz je ľahké nájsť významy čísel:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Odpoveď: a) áno; b) 30

4. Nákladné auto prepraví náklad drveného kameňa s hmotnosťou 240 ton, čím zvyšuje rýchlosť prepravy o rovnaký počet ton každý deň. Je známe, že v prvý deň sa prepravili 2 tony drveného kameňa. Určte, koľko ton drveného kameňa sa prepravilo na dvanásty deň, ak sa všetky práce dokončili za 15 dní.

Podľa stavu problému sa množstvo drveného kameňa, ktoré kamión odvezie, zvyšuje každý deň o rovnaké číslo. Preto máme čo do činenia s aritmetickým postupom.

Sformulujme tento problém z hľadiska aritmetickej progresie.

Počas prvého dňa sa previezli 2 tony drveného kameňa: a_1=2.

Všetky práce boli dokončené za 15 dní: .

Nákladné auto prepravuje dávku drveného kameňa s hmotnosťou 240 ton:

Musíme nájsť.

Najprv nájdime rozdiel v postupe. Použime vzorec pre súčet n členov progresie.

V našom prípade:

Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :)

Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný overovací dôkaz hovorí, že ešte neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj (nie, takto: TÁÁáááá!) to chcete vedieť. Nebudem vás preto trápiť dlhými úvodmi a prejdem rovno k veci.

Najprv pár príkladov. Pozrime sa na niekoľko skupín čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.

Veď posúďte sami. Prvá množina sú jednoducho po sebe idúce čísla, pričom každé ďalšie je o jedno viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už päť, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade sú korene úplne. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ a $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. a v tomto prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nebojte sa, že toto číslo je iracionálne).

Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:

Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.

A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia objednal poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nie je možné preskupovať ani zamieňať.

Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to už je nekonečný progres. Elipsa za štvorkou akoby naznačovala, že nás čaká ešte niekoľko čísel. Napríklad nekonečne veľa. :)

Chcel by som tiež poznamenať, že progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobre, dobre: ​​posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:

Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:

1. zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
2. klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.

Okrem toho existujú takzvané „stacionárne“ sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).

Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:

1. Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
2. Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
3. Nakoniec je tu prípad $d=0$ - v tomto prípade je celá postupnosť redukovaná na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.

Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy uvedené vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ako vidíme, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sú progresie opísané a aké vlastnosti majú.

Podmienky progresie a vzorec opakovania

Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]

Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členy progresie. Sú označené číslom: prvý člen, druhý člen atď.

Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Tento vzorec sa nazýva rekurentný, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo iba tým, že poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje prefíkanejší vzorec, ktorý znižuje akékoľvek výpočty na prvý výraz a rozdiel:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to uvádzajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a kníh riešení. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.

Odporúčam vám však trochu trénovať.

Úloha č.1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riešenie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a rozdiel progresie $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: (8; 3; −2)

To je všetko! Poznámka: náš postup sa znižuje.

Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz je nám už známy. Nahradením jednoty sme sa však presvedčili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.

Úloha č.2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak sa jej siedmy člen rovná -40 a sedemnásty člen sa rovná -50.

Riešenie. Napíšme problémový stav známymi výrazmi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]

Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. Teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú od druhej rovnice (máme na to právo, keďže máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]

Takto ľahko sa dá nájsť rozdiel v postupe! Zostáva len dosadiť nájdené číslo do ktorejkoľvek z rovníc sústavy. Napríklad v prvom:

\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]

Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]

Pripravený! Problém je vyriešený.

Odpoveď: (-34; -35; -36)

Všimnite si zaujímavú vlastnosť progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odpočítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduché ale veľmi užitočný majetok, ktorý určite potrebujete vedieť – s jeho pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je jasný príklad:

Úloha č.3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.

Riešenie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15)))$, všimneme si nasledovné:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]

Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, teda $5d=6$, z čoho máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: 20.4

To je všetko! Nepotrebovali sme vytvárať žiadne systémy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel - všetko bolo vyriešené v niekoľkých riadkoch.

Teraz sa pozrime na iný typ problému – hľadanie negatívnych a pozitívnych pojmov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje a jej prvý termín je negatívny, skôr či neskôr sa v ňom objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.

Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „hlavou“ postupným prechádzaním prvkov. Často sú úlohy písané tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov papiera – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsme tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.

Úloha č.4. Koľko záporných členov je v aritmetickej progresii −38,5; -35,8; ...?

Riešenie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odkiaľ okamžite nájdeme rozdiel:

Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.

Skúsme zistiť, ako dlho (t. j. do akého prirodzeného čísla $n$) pretrváva negativita pojmov:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]

Posledný riadok si vyžaduje vysvetlenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane sa uspokojíme len s celočíselnými hodnotami čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je práve $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16 .

Úloha č.5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.

Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupnosti:

Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen cez prvý a rozdiel pomocou štandardného vzorca:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz pokračujeme analogicky s predchádzajúcou úlohou. Poďme zistiť, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]

Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.

Poznámka: v poslednej úlohe to všetko padlo prísna nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.

Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv si však preštudujme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)

Aritmetický priemer a rovnaké zarážky

Uvažujme niekoľko po sebe nasledujúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:

Podmienky aritmetického postupu na číselnej osi

Konkrétne som označil ľubovoľné výrazy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie nejaké $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, o ktorom vám teraz poviem, funguje rovnako pre všetky „segmenty“.

A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si opakujúci sa vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]

Tieto rovnosti však možno prepísať inak:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]

No a čo? A skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ v rovnakej vzdialenosti rovnajúcej sa $2d$. Môžeme pokračovať donekonečna, ale význam je dobre znázornený na obrázku

Podmienky progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu

Čo to pre nás znamená? To znamená, že $((a)_(n))$ možno nájsť, ak sú známe susedné čísla:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Odvodili sme vynikajúce tvrdenie: každý člen aritmetickej postupnosti sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Navyše: od nášho $((a)_(n))) môžeme ustúpiť doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a vzorec bude stále správny:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa problémov špeciálne prispôsobených na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:

Úloha č.6. Nájdite všetky hodnoty $x$, pre ktoré sú čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ po sebe idúce výrazy aritmetický postup (v uvedenom poradí).

Riešenie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre ne splnená: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Ukázalo sa to klasicky kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.

Odpoveď: −3; 2.

Úloha č.7. Nájdite hodnoty $$, pre ktoré čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvoria aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).

Riešenie. Vyjadrime opäť stredný člen aritmetickým priemerom susedných členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Opäť kvadratická rovnica. A opäť sú tu dva korene: $x=6$ a $x=1$.

Odpoveď: 1; 6.

Ak v procese riešenia problému prídete na nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje úžasná technika, ktorá vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?

Povedzme, že v úlohe č. 6 sme dostali odpovede −3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré musia tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradime $x=-3$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $ x = 2 $:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha bola teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhý problém, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.

Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalší zaujímavý fakt, čo je tiež potrebné pripomenúť:

Ak sú tri čísla také, že druhé je stred najprv aritmetika a nakoniec tieto čísla tvoria aritmetický postup.

Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe podmienok problému. Ale skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už diskutovaného.

Zoskupovanie a sčítanie prvkov

Vráťme sa opäť na číselnú os. Všimnime si tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými možno. stojí za veľa ďalších členov:

Na číselnej osi je označených 6 prvkov

Skúsme vyjadriť „ľavý chvost“ cez $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ cez $((a)_(k))$ a $d$. Je to veľmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednoducho povedané, ak vezmeme do úvahy ako začiatok dva prvky postupu, ktoré sa celkovo rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme z týchto prvkov vychádzať do protiľahlé strany(smerom k sebe alebo naopak vzdialiť sa), potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S$. Najjasnejšie to možno znázorniť graficky:

Rovnaké zarážky dávajú rovnaké množstvá

Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti ako tie, ktoré sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:

Úloha č.8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.

Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Nepoznáme teda progresívny rozdiel $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pre tých v nádrži: Z druhej zátvorky som vybral celkový násobiteľ 11. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak rozbalíme zátvorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ako vidíte, koeficient najvyššieho člena je 11 - to je kladné číslo, takže máme skutočne do činenia s parabolou s vetvami nahor:

harmonogram kvadratickej funkcie- parabola

Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať pomocou štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie poznamenať že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, preto je bod $((d)_(0))$ rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d \vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]

Preto som sa s otváraním zátvoriek nijak zvlášť neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná strednej hodnote aritmetické čísla-66 a -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Čo nám nájdené číslo dáva? S ním požadovaný produkt trvá najmenšia hodnota(mimochodom, nikdy sme nepočítali $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom pôvodnej progresie, t.j. našli sme odpoveď. :)

Odpoveď: -36

Úloha č.9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s týmito číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

Riešenie. V podstate musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označme premennými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimnite si, že číslo $y$ je „stred“ našej postupnosti – je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme získať $y$ z čísel $x$ a $z$, potom je situácia s koncami progresie iná. Pripomeňme si aritmetický priemer:

Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zvyšné čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi číslami $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$, ktoré sme práve našli. Preto

Použitím podobnej úvahy nájdeme zostávajúce číslo:

Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Napíšme ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.

Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úloha č.10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s týmito číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak viete, že súčet prvého, druhého a posledného z vložených čísel je 56.

Riešenie. Ešte zložitejší problém, ktorý sa však rieši podľa rovnakej schémy ako predchádzajúce - aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne, koľko čísel treba vložiť. Predpokladajme teda s určitosťou, že po vložení všetkého bude presne $n$ čísel, pričom prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaná aritmetická postupnosť vyjadrená v tvare:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 na hranách o krok k sebe, t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale potom výraz napísaný vyššie možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]

Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v progresii:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]

Zostáva len nájsť zostávajúce výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]

Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Slovné úlohy s postupmi

Na záver by som rád zvážil pár relatívne jednoduché úlohy. No, ako to je jednoduché: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, sa tieto problémy môžu zdať ťažké. Napriek tomu sú to typy problémov, ktoré sa vyskytujú v OGE a Jednotnej štátnej skúške z matematiky, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.

Úloha č.11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a v každom nasledujúcom mesiaci vyrobili o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko dielov tím vyrobil v novembri?

Riešenie. Je zrejmé, že počet častí uvedených podľa mesiacov bude predstavovať rastúci aritmetický postup. Navyše:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.

Úloha č.12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý ďalší mesiac zviazala o 4 knihy viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?

Riešenie. Všetky rovnaké:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.

Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Môžete bezpečne prejsť na ďalšiu lekciu, kde budeme študovať vzorec pre súčet progresie, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z toho.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.

Táto téma sa často zdá zložitá a nezrozumiteľná. Listové indexy n-tý termín progresie, progresívne rozdiely - to všetko je akosi mätúce, áno... Poďme prísť na význam aritmetickej progresie a všetko bude hneď lepšie.)

Pojem aritmetická progresia.

Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. Máte nejaké pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.

Napíšem nedokončenú sériu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Môžete predĺžiť túto sériu? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý... ehm..., skrátka každý si uvedomí, že na rad prídu čísla 6, 7, 8, 9 atď.

Skomplikujme si úlohu. Dám vám nedokončenú sériu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Budete môcť zachytiť vzor, ​​predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?

Ak ste si uvedomili, že toto číslo je 20, gratulujeme! Nielenže ste cítili Kľúčové body aritmetická progresia, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak ste na to neprišli, čítajte ďalej.

Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)

Prvý kľúčový bod.

Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Zvykli sme si na riešenie rovníc, kreslenie grafov a to všetko... Ale tu rad rozširujeme, nájdeme číslo radu...

Je to v poriadku. Ide len o to, že pokroky sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Série" a pracuje špecificky so sériami čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)

Druhý kľúčový bod.

V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.

V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhej - tri. Akékoľvek číslo je o tri viac ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť pochopiť vzorec a vypočítať nasledujúce čísla.

Tretí kľúčový bod.

Tento moment nie je nápadný, áno... Ale je veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: Každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak ich náhodne zmiešate, vzor zmizne. Zmizne aj aritmetický postup. To, čo zostalo, je len séria čísel.

To je celá podstata.

Samozrejme, v Nová téma objavia sa nové termíny a označenia. Treba ich poznať. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, budete sa musieť rozhodnúť niečo ako:

Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Inšpirujúce?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a označení. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.

Termíny a označenia.

Aritmetický postup je rad čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.

Toto množstvo sa nazýva . Pozrime sa na tento koncept podrobnejšie.

Rozdiel aritmetického postupu.

Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac predchádzajúci.

Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že každé číslo postupu je pridaním rozdiel aritmetického postupu oproti predchádzajúcemu číslu.

Na výpočet, povedzme druhýčísla série, musíte najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať Komu štvrtý, dobre, atď.

Rozdiel aritmetického postupu Možno pozitívne, potom sa každé číslo v sérii ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu sa získa každé číslo pridaním kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.

Rozdiel môže byť negatívny, potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.

Napríklad:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tu sa tiež získa každé číslo pridaním k predchádzajúcemu, ale už záporné číslo, -5.

Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi to pomáha orientovať sa v rozhodnutí, rozpoznať svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude príliš neskoro.

Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.

Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla v rade predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva "rozdiel".)

Definujme napr. d na zvýšenie aritmetického postupu:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Zoberieme ľubovoľné číslo v rade, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame od neho predchádzajúce číslo tie. 8:

Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.

Môžete si to vziať akékoľvek postupové číslo, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Jednoducho preto, že úplne prvé číslo žiadna predchádzajúca.)

Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pripočítajme 3 – dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pripočítame tri, dostaneme siedme číslo – dvadsať.

Poďme definovať d pre zostupný aritmetický postup:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvoľte ľubovoľné číslo postupu, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné číslo.

Iné termíny a označenia.

Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.

Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý termín, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne čokoľvek, celé, zlomkové, negatívne, čokoľvek, ale číslovanie čísel- prísne v poriadku!

Ako napísať progresiu vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa zvyčajne používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Termíny píšeme oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- toto je prvé číslo, a 3- tretí atď. Nič vymyslené. Táto séria sa dá stručne napísať takto: (a n).

Dejú sa pokroky konečný a nekonečný.

Ultimate postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.

Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)

Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetky výrazy a bodka na konci:

1, 2, 3, 4, 5.

Alebo takto, ak je veľa členov:

1, 2, ... 14, 15.

V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:

(a n), n = 20

Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.

Teraz môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.

Príklady úloh na aritmetický postup.

Pozrime sa podrobne na vyššie uvedenú úlohu:

1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Úlohu prenášame na jasný jazyk. Je daný nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Rozdiel v postupe je známy: d = -2,5. Musíme nájsť prvý, tretí, štvrtý, piaty a šiesty termín tohto postupu.

Pre prehľadnosť zapíšem sériu podľa podmienok problému. Prvých šesť termínov, kde druhý termín je päť:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Nahradiť vo výraze a 2 = 5 A d = -2,5. Nezabudnite na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretí termín sa ukázal byť menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnota, čo znamená, že samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Počítame štvrtý termín našej série:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Vypočítali sa teda termíny od tretieho do šiesteho. Výsledkom sú nasledujúce série:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Takže rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, A zobrať:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všetko. Odpoveď na zadanie:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na okraj by som rád poznamenal, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie podľa predchádzajúceho (susedného) čísla. Na ďalšie spôsoby práce s progresiou sa pozrieme nižšie.

Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.

Pamätajte:

Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej progresie, môžeme nájsť ľubovoľný člen tejto progresie.

Pamätáš si? Tento jednoduchý záver vám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetky.

Samozrejme, všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú spojené s postupnosťou. ale podľa samotnej progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.

Ako príklad sa pozrime na niektoré obľúbené úlohy na túto tému.

2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako rad, ak n = 5, d = 0,4 a a 1 = 3,6.

Všetko je tu jednoduché. Všetko už bolo dané. Musíte si zapamätať, ako sa počítajú členy aritmetického postupu, spočítajte ich a zapíšte si ich. V podmienkach úlohy je vhodné nevynechať slová: „konečná“ a „ n=5". Aby ste to nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:

a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a3 = a2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zostáva napísať odpoveď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ďalšia úloha:

3. Určte, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto vie? Ako niečo určiť?

Ako-ako... Zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či tam bude sedmička alebo nie! Počítame:

a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a3 = a2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička nespadla do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.

odpoveď: nie.

A tu je problém založený na skutočnej verzii GIA:

4. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov aritmetického postupu:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tu je séria napísaná bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo je možné vedieť z tejto série? Aké sú tri hlavné parametre?

Čísla členov? Nie je tu ani jedno číslo.

Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "konzistentný" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, mám! Toto je 9 a 6. Preto môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítajte od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:

Zostávajú len maličkosti. Aké číslo bude predchádzajúce pre X? Pätnásť. To znamená, že X možno ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. Pridajte rozdiel aritmetickej progresie na 15:

To je všetko. odpoveď: x=12

Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto problémy nie sú založené na vzorcoch. Čisto preto, aby sme pochopili význam aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel a písmen, pozrieme sa a prídeme na to.

5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.

7. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 4; a 5 = 15,1. Nájdite 3.

8. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov aritmetického postupu:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Nájdite člen progresie označený písmenom x.

9. Vlak sa začal pohybovať zo stanice a rovnomerne zvýšil rýchlosť o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/hod.

10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a6 = -5. Nájdite 1.

Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Všetko vyšlo? Úžasný! Môžete ovládať aritmetický postup na viac vysoký stupeň, v nasledujúcich lekciách.

Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej sekcii 555 sú všetky tieto problémy vytriedené kúsok po kúsku.) A samozrejme je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite jasne, zreteľne, na prvý pohľad zvýrazní riešenie takýchto úloh!

Mimochodom, v skladačke vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často zakopnú. Jedna je čisto z hľadiska postupu a druhá je všeobecná pre akékoľvek problémy v matematike a fyzike. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.

V tejto lekcii sme sa pozreli na základný význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíš sériu, všetko sa vyrieši.

Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kúsky v rade, ako v príkladoch v tomto návode. Ak je séria dlhšia, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak v probléme 9 v otázke nahradíme "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém sa výrazne zhorší.)

A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov absurdné, napríklad:

Je daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tak čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Môžete sa zabiť!?

Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Prvá úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Poradie čísel

Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, ​​čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Poradie čísel
Napríklad pre našu postupnosť:

Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Táto postupnosť čísel sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius ešte v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorú študovali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

Mám to? Porovnajme naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého členu. Existuje dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

Číslo progresie môžeme pripočítať k predchádzajúcej hodnote, kým nedosiahneme tý člen postupu. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Čiže tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám zabralo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nemýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom nie je potrebné pripočítať k predchádzajúcej hodnote rozdiel aritmickej progresie. Pozrite sa bližšie na nakreslený obrázok... Určite ste si už všimli istý vzor, ​​a to:

Pozrime sa napríklad, z čoho pozostáva hodnota druhého člena tejto aritmetickej progresie:


Inými slovami:

Skúste sami takto nájsť hodnotu člena danej aritmetickej postupnosti.

Počítal si? Porovnajte svoje poznámky s odpoveďou:

Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pridali podmienky aritmetickej progresie.
Pokúsme sa „odosobniť“ tento vzorec – vnesme ho do neho všeobecná forma a dostaneme:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Overme si to v praxi.
Dostali sme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké bude te číslo tejto aritmetickej postupnosti, ak na jej výpočet použijeme náš vzorec:

Odvtedy:

Preto sme presvedčení, že vzorec funguje v klesajúcom aj rastúcom aritmetickom postupe.
Pokúste sa sami nájsť th a th term tohto aritmetického postupu.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Zkomplikujme problém – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Povedzme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Jednoducho, poviete a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Nechaj, ah, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť urobiť chybu vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite nad tým, či je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno, a to sa teraz pokúsime ukázať.

Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože vzorec na jeho nájdenie je nám známy - ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, Potom:

• predchádzajúci termín postupu je:
• ďalší termín postupu je:

Zhrňme si predchádzajúce a nasledujúce podmienky postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, ak chcete nájsť hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, musíte ich pridať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Zabezpečme materiál. Vypočítajte si hodnotu progresie sami, nie je to vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Karl Gauss...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce študentov v iných triedach, zadal v triede nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od do (podľa iných zdrojov po) vrátane.“ Predstavte si prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (to bol Karl Gauss) o minútu neskôr dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok...

Mladý Carl Gauss si všimol istý vzor, ​​ktorý si môžete ľahko všimnúť aj vy.
Povedzme, že máme aritmetickú progresiu pozostávajúcu z -tých členov: Potrebujeme nájsť súčet týchto členov aritmetickej progresie. Samozrejme, všetky hodnoty môžeme sčítať manuálne, ale čo ak úloha vyžaduje nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Predstavme si pokrok, ktorý nám bol daný. Pozrite sa bližšie na zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.


Skúšali ste to? čo si si všimol? Správny! Ich sumy sú rovnaké

Teraz mi povedzte, koľko takýchto párov je celkovo v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobné dvojice sú rovnaké, dostaneme, že celkový súčet sa rovná:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme rozdiel v progresii. Pokúste sa nahradiť vzorec tého členu do súčtového vzorca.
Čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý bol položený Carlovi Gaussovi: vypočítajte si sami, čomu sa rovná súčet čísel začínajúcich od th a súčtu čísel začínajúcich od th.

Koľko ste dostali?
Gauss zistil, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Rozhodli ste sa tak?

V skutočnosti vzorec na súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal už v 3. storočí staroveký grécky vedec Diophantus a počas tejto doby vtipní ľudia naplno využívali vlastnosti aritmetického postupu.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčší stavebný projekt tej doby - stavba pyramídy... Na obrázku je jedna jej strana.

Kde je tu progres, hovoríte? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.


Prečo nie aritmetický postup? Vypočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené na základni. Dúfam, že nebudete počítať pri pohybe prstom po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

V tomto prípade priebeh vyzerá takto: .
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov vypočítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete vypočítať na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Mám to? Výborne, zvládli ste súčet n-tých členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si vypočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:

Školenie

Úlohy:

1. Máša sa dostáva do letnej formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát urobí Máša drepy za týždeň, ak na prvom tréningu urobila drepy?
2. Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
3. Pri ukladaní guľatiny ich drevorubači naskladajú tak, že každá vrchná vrstva obsahuje o jeden denník menej ako predchádzajúci. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny?

Odpovede:

1. Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
   (týždne = dni).

   odpoveď: Za dva týždne by Masha mala robiť drepy raz denne.

2. Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
   Rozdiel aritmetického postupu.
   Počet nepárnych čísel je polovičný, skontrolujme však túto skutočnosť pomocou vzorca na nájdenie tého člena aritmetickej postupnosti:

   Čísla obsahujú nepárne čísla.
   Nahraďte dostupné údaje do vzorca:

   odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v je rovnaký.

3. Spomeňme si na problém o pyramídach. V našom prípade a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, tak celkovo existuje veľa vrstiev, tj.
   Dosadíme údaje do vzorca:

   odpoveď: V murive sú guľatiny.

Poďme si to zhrnúť

1. - číselný rad, v ktorom je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Môže sa zvyšovať alebo znižovať.
2. Hľadanie vzorcaČlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
3. Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupnosti.
4. Súčet členov aritmetickej progresie možno nájsť dvoma spôsobmi:
   
   , kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Poradie čísel

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy môžeme povedať, ktorý je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to jedinečným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi výhodné, ak môže byť tý člen postupnosti špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel je). Alebo (rozdiel).

vzorec n-tého členu

Vzorec nazývame rekurentný, v ktorom na zistenie tého výrazu potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou tohto vzorca, budeme musieť vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad, nechajte to. potom:

Je už jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Ktorý? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz je to oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickej postupnosti nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

Riešenie:

Prvý termín je rovnaký. V čom je rozdiel? Tu je čo:

(Preto sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec:

Potom sa stý člen rovná:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy túto sumu vypočítal veľký matematik Carl Gauss ako 9-ročný chlapec za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca rovnaký atď. Koľko takýchto párov je celkovo? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takže,

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferné čísla, násobky.

Riešenie:

Prvé takéto číslo je toto. Každé nasledujúce číslo sa získa pripočítaním k predchádzajúcemu číslu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom a rozdielom.

Vzorec pre tento postup:

Koľko výrazov je v postupe, ak všetky musia byť dvojciferné?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Každý deň prebehne športovec viac metrov ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov celkovo nabehá za týždeň, ak prvý deň zabehol km m?
2. Cyklista prejde každý deň viac kilometrov ako predchádzajúci deň. Prvý deň precestoval km. Koľko dní potrebuje na cestu, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde počas posledného dňa svojej cesty?
3. Cena chladničky v obchode každým rokom klesá o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

Odpovede:

1. Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
   .
   odpoveď:
2. Tu je uvedené: , musí sa nájsť.
   Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Koreň zjavne nesedí, takže odpoveď je.
   Vypočítajme cestu prejdenú za posledný deň pomocou vzorca tého členu:
   (km).
   odpoveď:

3. Dané: . Nájsť: .
   Jednoduchšie to už nemôže byť:
   (drhnúť).
   odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Ide o číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup môže byť rastúci () a klesajúci ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje vzorcom, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Umožňuje vám ľahko nájsť člen postupu, ak sú známe jeho susedné členy - kde je počet čísel v postupnosti.

Súčet členov aritmetickej progresie

Sumu možno zistiť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Kde je počet hodnôt.