Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo - rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi - je konštantné a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zlatý klinec:

• Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Alebo aritmetika je typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sa študujú v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne rozoberá otázku, ako nájsť súčet aritmetickej progresie.

Čo je to za progresiu?

Predtým, ako prejdeme k otázke (ako nájsť súčet aritmetickej progresie), stojí za to pochopiť, o čom hovoríme.

Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa pripočítaním (odčítaním) nejakej hodnoty od každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraická (aritmetická) postupnosť. Táto definícia, keď je preložená do matematického jazyka, má podobu:

Tu som - sériové číslo prvok radu a i . Ak teda poznáte iba jedno štartovné číslo, môžete ľahko obnoviť celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva progresívny rozdiel.

Dá sa ľahko ukázať, že pre uvažovaný rad čísel platí nasledujúca rovnosť:

a n = ai + d* (n - 1).

To znamená, že ak chcete nájsť hodnotu n-tého prvku v poradí, mali by ste pridať rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1 krát.

Aký je súčet aritmetickej progresie: vzorec

Pred uvedením vzorca pre uvedené množstvo stojí za zváženie jednoduché špeciálny prípad. Vzhľadom na postupnosť prirodzených čísel od 1 do 10 musíte nájsť ich súčet. Keďže v postupnosti je málo pojmov (10), je možné problém vyriešiť priamočiaro, teda sčítať všetky prvky v poradí.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Stojí za to zvážiť jednu zaujímavosť: keďže sa každý člen líši od nasledujúceho o rovnakú hodnotu d = 1, potom párovým sčítaním prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. dostaneme rovnaký výsledok. naozaj:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ako vidíte, týchto súčtov je len 5, teda presne dvakrát menej ako je počet prvkov série. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každého súčtu (11) sa dostanete k výsledku získanému v prvom príklade.

Ak tieto argumenty zovšeobecníme, môžeme napísať nasledujúci výraz:

Sn = n* (a 1 + a n) / 2.

Tento výraz ukazuje, že vôbec nie je potrebné sčítať všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n , ako aj celkový počet n podmienok.

Predpokladá sa, že Gauss ako prvý na túto rovnosť myslel, keď hľadal riešenie daného problému. školský učiteľúloha: zrátajte prvých 100 celých čísel.

Súčet prvkov od m do n: vzorec

Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku odpovedá na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvé prvky), ale často je v problémoch potrebné sčítať sériu čísel v strede postupnosti. Ako to spraviť?

Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet členov od m-tej do n-tej. Na vyriešenie problému by ste mali prezentovať daný segment od m do n postupu vo forme nového číselného radu. V takej m-tá reprezentáciačlen a m bude prvý a a n bude očíslované n-(m-1). V tomto prípade použitím štandardného vzorca pre súčet získame nasledujúci výraz:

Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2.

Príklad použitia vzorcov

Keď vieme, ako nájsť súčet aritmetickej progresie, stojí za to zvážiť jednoduchý príklad použitia vyššie uvedených vzorcov.

Nižšie je uvedené číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jeho členov, počnúc 5. a končiac 12.:

Uvedené čísla naznačujú, že rozdiel d je rovný 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok môžete nájsť hodnoty 5. a 12. člena progresie. Ukázalo sa:

a5 = ai + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznanie hodnôt čísel na koncoch daného algebraická progresia, a tiež vedieť, aké čísla v riadku zaberajú, môžete použiť vzorec pre sumu získanú v predchádzajúcom odseku. Ukáže sa:

S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Stojí za zmienku, že túto hodnotu možno získať inak: najprv nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odčítajte druhý od prvého súčtu.

Áno áno: aritmetická progresia- to nie sú hračky pre teba :)

Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný overovací dôkaz hovorí, že ešte neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj (nie, takto: TÁÁáááá!) to chcete vedieť. Nebudem vás preto trápiť dlhými úvodmi a prejdem rovno k veci.

Najprv pár príkladov. Pozrime sa na niekoľko skupín čísel:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.

Veď posúďte sami. Prvá množina sú jednoducho po sebe idúce čísla, pričom každé ďalšie je o jedno viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už päť, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade sú korene úplne. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ a $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. a v tomto prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nebojte sa, že toto číslo je iracionálne).

Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:

Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.

A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia objednal poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nie je možné preskupovať ani zamieňať.

Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to už je nekonečný progres. Elipsa za štvorkou akoby naznačovala, že nás čaká ešte niekoľko čísel. Napríklad nekonečne veľa. :)

Chcel by som tiež poznamenať, že progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobre, dobre: ​​posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:

Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:

1. zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
2. klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.

Okrem toho existujú takzvané „stacionárne“ sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).

Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:

1. Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
2. Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
3. Nakoniec je tu prípad $d=0$ - v tomto prípade je celá postupnosť redukovaná na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.

Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy uvedené vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ako vidíme, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sú progresie opísané a aké vlastnosti majú.

Podmienky progresie a vzorec opakovania

Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \správny\)\]

Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členy progresie. Sú označené číslom: prvý člen, druhý člen atď.

Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Tento vzorec sa nazýva rekurentný, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo iba tým, že poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje prefíkanejší vzorec, ktorý znižuje akékoľvek výpočty na prvý výraz a rozdiel:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to uvádzajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a kníh riešení. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.

Odporúčam vám však trochu trénovať.

Úloha č.1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riešenie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a rozdiel progresie $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: (8; 3; −2)

To je všetko! Poznámka: náš postup sa znižuje.

Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz je nám už známy. Nahradením jednoty sme sa však presvedčili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.

Úloha č.2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak sa jej siedmy člen rovná -40 a sedemnásty člen sa rovná -50.

Riešenie. Napíšme problémový stav známymi výrazmi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správny.\]

Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. Teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú od druhej rovnice (máme na to právo, keďže máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]

Takto ľahko sa dá nájsť rozdiel v postupe! Zostáva len dosadiť nájdené číslo do ktorejkoľvek z rovníc sústavy. Napríklad v prvom:

\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]

Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]

Pripravený! Problém je vyriešený.

Odpoveď: (-34; -35; -36)

Všimnite si zaujímavú vlastnosť progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odpočítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduché ale veľmi užitočný majetok, ktorý určite potrebujete vedieť – s jeho pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je jasný príklad:

Úloha č.3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.

Riešenie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15)))$, všimneme si nasledovné:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]

Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, teda $5d=6$, z čoho máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: 20.4

To je všetko! Nepotrebovali sme vytvárať žiadne systémy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel - všetko bolo vyriešené v niekoľkých riadkoch.

Teraz sa pozrime na iný typ problému – hľadanie negatívnych a pozitívnych pojmov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje a jej prvý termín je negatívny, skôr či neskôr sa v ňom objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.

Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „hlavou“ postupným prechádzaním prvkov. Často sú úlohy napísané tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov papiera – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsme tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.

Úloha č.4. Koľko záporných členov je v aritmetickej progresii −38,5; -35,8; ...?

Riešenie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odkiaľ okamžite nájdeme rozdiel:

Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.

Skúsme zistiť: dokedy (t.j. do čoho prirodzené číslo$n$) negatívnosť výrazov je zachovaná:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]

Posledný riadok si vyžaduje vysvetlenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane sa uspokojíme len s celočíselnými hodnotami čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je práve $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16 .

Úloha č.5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.

Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupnosti:

Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen cez prvý a rozdiel pomocou štandardného vzorca:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz pokračujeme analogicky s predchádzajúcou úlohou. Poďme zistiť, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]

Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.

Poznámka: v poslednej úlohe to všetko padlo prísna nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.

Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv si však preštudujme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovnakých buniek. :)

Aritmetický priemer a rovnaké zarážky

Uvažujme niekoľko po sebe nasledujúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:

Podmienky aritmetického postupu na číselnej osi

Konkrétne som označil ľubovoľné výrazy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie nejaké $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, o ktorom vám teraz poviem, funguje rovnako pre všetky „segmenty“.

A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si opakujúci sa vzorec a zapíšme si ho pre všetky označené výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]

Tieto rovnosti však možno prepísať inak:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]

No a čo? A skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ v rovnakej vzdialenosti rovnajúcej sa $2d$. Môžeme pokračovať donekonečna, ale význam je dobre znázornený na obrázku

Podmienky progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu

Čo to pre nás znamená? To znamená, že $((a)_(n))$ možno nájsť, ak sú známe susedné čísla:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Odvodili sme vynikajúce tvrdenie: každý člen aritmetickej postupnosti sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Navyše: od nášho $((a)_(n))) môžeme ustúpiť doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a vzorec bude stále správny:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa problémov špeciálne prispôsobených na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:

Úloha č.6. Nájdite všetky hodnoty $x$, pre ktoré sú čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ po sebe idúce výrazy aritmetický postup (v uvedenom poradí).

Riešenie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre ne splnená: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Ukázalo sa to klasicky kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.

Odpoveď: −3; 2.

Úloha č.7. Nájdite hodnoty $$, pre ktoré čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvoria aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).

Riešenie. Vyjadrime opäť stredný člen aritmetickým priemerom susedných členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Opäť kvadratická rovnica. A opäť sú tu dva korene: $x=6$ a $x=1$.

Odpoveď: 1; 6.

Ak v procese riešenia problému prídete na nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje úžasná technika, ktorá vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?

Povedzme, že v úlohe č. 6 sme dostali odpovede −3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré musia tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradime $x=-3$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $ x = 2 $:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha bola teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhý problém, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.

Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalší zaujímavý fakt, čo je tiež potrebné pripomenúť:

Ak sú tri čísla také, že druhé je stred najprv aritmetika a nakoniec tieto čísla tvoria aritmetický postup.

Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe podmienok problému. Ale skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už diskutovaného.

Zoskupovanie a sčítanie prvkov

Vráťme sa opäť na číselnú os. Všimnime si tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými možno. stojí za veľa ďalších členov:

Na číselnej osi je označených 6 prvkov

Skúsme vyjadriť „ľavý chvost“ cez $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ cez $((a)_(k))$ a $d$. Je to veľmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednoducho povedané, ak vezmeme do úvahy ako začiatok dva prvky postupu, ktoré sa celkovo rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme z týchto prvkov vychádzať do protiľahlé strany(smerom k sebe alebo naopak vzdialiť sa), potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S$. Najjasnejšie to možno znázorniť graficky:

Rovnaké zarážky dávajú rovnaké množstvá

Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne viac vysoký stupeňťažkosti ako tie, o ktorých sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:

Úloha č.8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.

Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Nepoznáme teda progresívny rozdiel $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pre tých v nádrži: Z druhej zátvorky som vybral celkový násobiteľ 11. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak rozbalíme zátvorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ako vidíte, koeficient najvyššieho člena je 11 - to je kladné číslo, takže máme skutočne do činenia s parabolou s vetvami nahor:

harmonogram kvadratickej funkcie- parabola

Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať pomocou štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie poznamenať že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, preto je bod $((d)_(0))$ rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d \vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]

Preto som sa s otváraním zátvoriek nijak zvlášť neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná strednej hodnote aritmetické čísla-66 a -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Čo nám nájdené číslo dáva? S ním požadovaný produkt trvá najmenšia hodnota(mimochodom, nikdy sme nepočítali $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom pôvodnej progresie, t.j. našli sme odpoveď. :)

Odpoveď: -36

Úloha č.9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s týmito číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

Riešenie. V podstate musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označme premennými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimnite si, že číslo $y$ je „stred“ našej postupnosti – je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme získať $y$ z čísel $x$ a $z$, potom je situácia s koncami progresie iná. Pripomeňme si aritmetický priemer:

Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zvyšné čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi číslami $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$, ktoré sme práve našli. Preto

Použitím podobnej úvahy nájdeme zostávajúce číslo:

Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Napíšme ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.

Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úloha č.10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s týmito číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak viete, že súčet prvého, druhého a posledného z vložených čísel je 56.

Riešenie. Ešte zložitejší problém, ktorý sa však rieši podľa rovnakej schémy ako predchádzajúce - aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne, koľko čísel treba vložiť. Predpokladajme teda s určitosťou, že po vložení všetkého bude presne $n$ čísel, pričom prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaná aritmetická postupnosť vyjadrená v tvare:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 na hranách o krok k sebe, t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale potom výraz napísaný vyššie možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]

Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v progresii:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]

Zostáva len nájsť zostávajúce výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]

Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Slovné úlohy s postupmi

Na záver by som rád zvážil pár relatívne jednoduché úlohy. No, ako to je jednoduché: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, sa tieto problémy môžu zdať ťažké. Napriek tomu sú to typy problémov, ktoré sa vyskytujú v OGE a Jednotnej štátnej skúške z matematiky, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.

Úloha č.11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a v každom nasledujúcom mesiaci vyrobili o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko dielov tím vyrobil v novembri?

Riešenie. Je zrejmé, že počet častí uvedených podľa mesiacov bude predstavovať rastúci aritmetický postup. Navyše:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.

Úloha č.12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý ďalší mesiac zviazala o 4 knihy viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?

Riešenie. Všetky rovnaké:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.

Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Môžete bezpečne prejsť na ďalšiu lekciu, kde budeme študovať vzorec pre súčet progresie, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z toho.

Súčet aritmetického postupu.

Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom pevné.

Najprv pochopme význam a vzorec sumy. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je jednoduchý ako buchot. Ak chcete nájsť súčet aritmetickej progresie, stačí opatrne pridať všetky jej členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa... pridávanie je otravné.) V tomto prípade prichádza na pomoc vzorec.

Vzorec na výpočet sumy je jednoduchý:

Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veci veľa vyjasnia.

S n - súčet aritmetického postupu. Výsledok sčítania každýčlenov, s najprv Autor: posledný. To je dôležité. Presne sa sčítajú Všetkyčlenov v rade, bez preskakovania alebo preskakovania. A presne od začiatku najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu členov od piateho do dvadsiateho - priama aplikácia vzorce sklamú.)

1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.

a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo série. Nie je to veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.

n - číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.

Definujme pojem poslednýčlenom a n. Záludná otázka: ktorý člen to bude posledný ak je daný nekonečné aritmetický postup?)

Ak chcete s istotou odpovedať, musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a... pozorne si prečítajte úlohu!)

V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma jednoducho neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, či je daná postupnosť: konečná alebo nekonečná. Nezáleží na tom, ako je to dané: rad čísel alebo vzorec pre n-tý člen.

Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno... Ale nevadí, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)

Príklady úloh na súčte aritmetického postupu.

Po prvé, užitočné informácie:

Hlavným problémom v úlohách zahŕňajúcich súčet aritmetického postupu je správna definícia prvky vzorca.

Autori úloh zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou predstavivosťou.) Hlavná vec je nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich jednoducho dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.

1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet jeho prvých 10 výrazov.

Dobrá práca. Jednoduché.) Čo potrebujeme vedieť, aby sme určili množstvo pomocou vzorca? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného člena n.

Kde získam číslo posledného člena? n? Áno, priamo tam, pod podmienkou! Hovorí: nájdite sumu prvých 10 členov. No a s akým číslom to bude? posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n Dosadíme do vzorca 10 a namiesto toho n- desať. Opakujem, číslo posledného člena sa zhoduje s počtom členov.

Zostáva určiť 1 A 10. Toto sa ľahko vypočíta pomocou vzorca pre n-tý člen, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho to nejde.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10= 2,10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich len nahradiť a spočítať:

To je všetko. odpoveď: 75.

Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:

2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a1 = 2,3. Nájdite súčet jeho prvých 15 výrazov.

Okamžite napíšeme vzorec súčtu:

Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného termínu podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:

a15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Zostáva nahradiť všetky prvky do vzorca pre súčet aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:

Odpoveď: 423.

Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n Jednoducho dosadíme vzorec za n-tý člen a dostaneme:

Ukážeme si podobné a získame nový vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti:

Ako vidíte, tu sa to nevyžaduje n-tý termín a n. Pri niektorých problémoch tento vzorec veľmi pomáha, áno... Tento vzorec si môžete zapamätať. Alebo ho môžete jednoducho zobraziť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vždy si musíte zapamätať vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen.)

Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):

3. Nájdite súčet všetkých kladných hodnôt dvojciferné čísla, násobky troch.

Wow! Ani tvoj prvý člen, ani tvoj posledný, už vôbec nie postup... Ako žiť!?

Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť všetky prvky súčtu aritmetického postupu z podmienky. Vieme, čo sú dvojciferné čísla. Pozostávajú z dvoch čísel.) Aké bude dvojciferné číslo najprv? 10, pravdepodobne.) A posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...

Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už si môžete zapísať sériu podľa podmienok problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak k termínu pridáte 2 alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo už nie je deliteľné 3. Môžete okamžite určiť rozdiel aritmetického postupu: d = 3. Bude sa to hodiť!)

Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:

Aké to bude číslo? n posledný člen? Kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla idú vždy za sebou, no naši členovia preskakujú tri. Nezhodujú sa.

Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si zapísať postup, celý rad čísel a prstom spočítať počet členov.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak použijeme vzorec na náš problém, zistíme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.

Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:

Pozeráme a radujeme sa.) Z výpisu problému sme vytiahli všetko potrebné na výpočet sumy:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Zostáva len elementárna aritmetika. Dosadíme čísla do vzorca a vypočítame:

Odpoveď: 1665

Ďalší typ populárnej hádanky:

4. Daný aritmetický postup:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nájdite súčet pojmov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.

Pozeráme sa na vzorec sumy a... rozčúlime sa.) Vzorec, pripomínam, vypočíta sumu od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.

Môžete, samozrejme, napísať celý priebeh v sérii a pridať výrazy od 20 do 34. Ale... je to trochu hlúpe a trvá to dlho, však?)

Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - od dvadsať do tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to súčtom pojmov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Z toho môžeme vidieť, že nájdite súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začnime?

Extrahujeme parametre progresie z výpisu problému:

d = 1,5.

1= -21,5.

Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Vypočítame ich pomocou vzorca pre n-tý člen, ako v úlohe 2:

19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Nič nezostalo. Od súčtu 34 výrazov odpočítajte súčet 19 výrazov:

S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpoveď: 262,5

Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočný trik. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme niečo, čo sa zdá byť nepotrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z kompletného výsledku. Tento druh „finty s vašimi ušami“ vás často zachráni pred zlými problémami.)

V tejto lekcii sme sa zamerali na problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)

Praktické rady:

Pri riešení akéhokoľvek problému so súčtom aritmetickej progresie odporúčam okamžite napísať dva hlavné vzorce z tejto témy.

Vzorec pre n-tý termín:

Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať a akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.

A teraz úlohy na samostatné riešenie.

5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.

V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.

6. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet jeho prvých 24 výrazov.

Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto problémy sa často vyskytujú v Štátnej akadémii vied.

7. Vasya si našetril peniaze na dovolenku. Až 4550 rubľov! A rozhodla som sa, že svojmu obľúbenému človeku (sebe) doprajem pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?

Je to ťažké?) Pomôže to? doplnkový vzorec z úlohy 2.

Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým výrazom zo sekcií vyššia matematika. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetická postupnosť Keď pochopíte niekoľko základných pojmov, nie je to také ťažké.

Matematická postupnosť čísel

Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota N-té číslo je nejakou funkciou n.

a je hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké vidieť, prečo sa postupnosť čísel nazýva „rastúca“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Zadaná hodnota člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového či osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen sekvencie je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov/km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 r.

číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.

Iný typ číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná vyššou rýchlosťou zmien v porovnaní s aritmetickou progresiou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280