Skrátené výrazové vzorce sa v praxi používajú veľmi často, preto je vhodné naučiť sa ich všetky naspamäť. Do tejto chvíle nám bude verne slúžiť, čo odporúčame vytlačiť a mať stále na očiach:
Prvé štyri vzorce zo zostavenej tabuľky skrátených vzorcov na násobenie vám umožňujú odmocniť súčet alebo rozdiel dvoch výrazov. Piaty je určený na krátke vynásobenie rozdielu a súčtu dvoch výrazov. A šiesty a siedmy vzorec sa používa na vynásobenie súčtu dvoch výrazov a a b ich neúplnou druhou mocninou rozdielu (tak sa nazýva výraz tvaru a 2 −a b+b 2) a rozdielom dvoch výrazy a a b o neúplnú druhú mocninu ich súčtu (a 2 + a b+b 2 ).
Samostatne stojí za zmienku, že každá rovnosť v tabuľke je identita. To vysvetľuje, prečo sa skrátené násobiace vzorce nazývajú aj skrátené násobiace identity.
Pri riešení príkladov, najmä v ktorých je polynóm faktorizovaný, sa FSU často používa vo forme s prehodenou ľavou a pravou stranou:
Posledné tri identity v tabuľke majú svoje mená. Nazýva sa vzorec a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). rozdiel štvorcov vzorca, a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -a b + b 2) - vzorec súčtu kociek, A a 3 −b 3 = (a−b) (a 2 +a b+b 2) - vzorec rozdielu kocky. Upozorňujeme, že sme nepomenovali zodpovedajúce vzorce s preskupenými časťami z predchádzajúcej tabuľky.
Dodatočné vzorce
Nebolo by na škodu pridať do tabuľky skrátených vzorcov násobenia niekoľko ďalších identít.
Oblasti použitia vzorcov skráteného násobenia (FSU) a príkladov
Hlavný účel skrátených vzorcov násobenia (fsu) je vysvetlený ich názvom, to znamená, že spočíva v krátkom násobení výrazov. Rozsah použitia FSU je však oveľa širší a nie je obmedzený na krátke násobenie. Uveďme hlavné smery.
Centrálna aplikácia skráteného násobilkového vzorca sa nepochybne našla pri vykonávaní identických transformácií výrazov. Najčastejšie sa tieto vzorce používajú v procese výrazové zjednodušenia.
Príklad.
Zjednodušte výraz 9·y−(1+3·y) 2 .
Riešenie.
V tomto výraze môže byť kvadratúra vykonaná skrátene, máme 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Zostáva len otvoriť zátvorky a uviesť podobné výrazy: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
Uvažujme teraz o druhej mocnine binomu a z aritmetického hľadiska budeme hovoriť o druhej mocnine súčtu, t.j. (a + b)², a druhej mocnine rozdielu dvoch čísel, t.j. (a – b)².
Keďže (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
potom nájdeme: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², t.j.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Je užitočné zapamätať si tento výsledok ako vo forme vyššie opísanej rovnosti, tak aj slovami: druhá mocnina súčtu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla plus súčinu dvoch prvého a druhého čísla. číslo plus druhá mocnina druhého čísla.
Keď poznáme tento výsledok, môžeme okamžite napísať napríklad:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Pozrime sa na druhý z týchto príkladov. Potrebujeme odmocniť súčet dvoch čísel: prvé číslo je 3ab, druhé 1. Výsledok by mal byť: 1) druhá mocnina prvého čísla, t.j. (3ab)², čo sa rovná 9a²b²; 2) súčin dvoch prvým a druhým číslom, t.j. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) druhá mocnina 2. čísla, t.j. 1² = 1 – všetky tieto tri pojmy treba spočítať.
Získame tiež vzorec na umocnenie rozdielu dvoch čísel, t. j. pre (a – b)²:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
t.j. druhá mocnina rozdielu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla mínus súčin dvoch prvým a druhým číslom plus druhá mocnina druhého čísla.
Keď poznáme tento výsledok, môžeme okamžite vykonať kvadratúru dvojčlenov, ktoré z aritmetického hľadiska predstavujú rozdiel dvoch čísel.
(m – n)² = m² – 2 mil. + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 atď.
Vysvetlime si 2. príklad. Tu máme v zátvorkách rozdiel dvoch čísel: prvé číslo je 5ab 3 a druhé číslo je 3a 2 b. Výsledok by mal byť: 1) druhá mocnina prvého čísla, t.j. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) súčin dvoch 1. a 2. číslom, t.j. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 a 3) druhá mocnina druhého čísla, t. j. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Prvý a tretí výraz treba brať s plusom a druhý s mínusom, dostaneme 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Na vysvetlenie 4. príkladu si len všimneme, že 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... exponent je potrebné vynásobiť 2 a 2) súčin dvoch 1. číslom a 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Ak vezmeme hľadisko algebry, potom obe rovnosti: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² a 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² vyjadrujú to isté, a to: druhá mocnina dvojčlenu sa rovná druhej mocnine prvého člena plus súčin čísla (+2) prvého a druhého člena plus druhá mocnina druhého člena. Je to jasné, pretože naše rovnosti možno prepísať takto:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
V niektorých prípadoch je vhodné interpretovať výsledné rovnosti týmto spôsobom:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Tu odmocníme dvojčlen, ktorého prvý člen = –4a a druhý = –3b. Ďalej dostaneme (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² a nakoniec:
(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Bolo by tiež možné získať a zapamätať si vzorec na umocnenie trinómu, kvadrinomu alebo akéhokoľvek polynómu vo všeobecnosti. To však neurobíme, pretože tieto vzorce potrebujeme používať len zriedka, a ak potrebujeme odmocniť akýkoľvek polynóm (okrem binomu), zredukujeme záležitosť na násobenie. Napríklad:
31. Aplikujme získané 3 rovnosti, a to:
(a + b) (a - b) = a2 - b2
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
na aritmetiku.
Nech je 41 ∙ 39. Potom to môžeme znázorniť vo forme (40 + 1) (40 – 1) a zredukovať hmotu na prvú rovnosť – dostaneme 40² – 1 alebo 1600 – 1 = 1599. Vďaka tomu je ľahké vykonávať násobenia ako 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 atď.
Nech je to 41 ∙ 41; je to rovnaké ako 41² alebo (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Tiež 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ak potrebujete 37, 37 potom sa to rovná (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Podobné násobenia (alebo druhá mocnina dvojciferné čísla) je ľahké vykonať s určitou zručnosťou v mysli.
Skrátené vzorce násobenia (FMF) sa používajú na umocňovanie a násobenie čísel a výrazov. Tieto vzorce vám často umožňujú robiť výpočty kompaktnejšie a rýchlejšie.
V tomto článku uvedieme základné vzorce pre skrátené násobenie, zoskupíme ich do tabuľky, zvážime príklady použitia týchto vzorcov a tiež sa zameriame na princípy dôkazu vzorcov pre skrátené násobenie.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prvýkrát je téma FSU preberaná v rámci kurzu Algebra pre 7. ročník. Nižšie je uvedených 7 základných vzorcov.
Skrátené vzorce násobenia
- vzorec pre druhú mocninu súčtu: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- vzorec štvorcového rozdielu: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- vzorec súčtu kocky: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- vzorec rozdielovej kocky: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- vzorec štvorcového rozdielu: a 2 - b 2 = a - b a + b
- vzorec pre súčet kociek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- vzorec pre rozdiel kociek: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Písmená a, b, c v týchto výrazoch môžu byť ľubovoľné čísla, premenné alebo výrazy. Pre jednoduchosť používania je lepšie naučiť sa sedem základných vzorcov naspamäť. Umiestnime ich do tabuľky a prezentujme ich nižšie, pričom ich ohraničíme rámom.
Prvé štyri vzorce vám umožňujú vypočítať druhú mocninu alebo druhú mocninu súčtu alebo rozdielu dvoch výrazov.
Piaty vzorec vypočíta rozdiel medzi štvorcami výrazov vynásobením ich súčtu a rozdielu.
Šiesty a siedmy vzorec sú násobením súčtu a rozdielu výrazov neúplnou druhou mocninou rozdielu a neúplnou druhou mocninou súčtu.
Skrátený vzorec násobenia sa niekedy nazýva aj skrátené identity násobenia. To nie je prekvapujúce, pretože každá rovnosť je identita.
Pri rozhodovaní praktické príkladyčasto používajú skrátené vzorce násobenia s prehodenou ľavou a pravou stranou. Toto je obzvlášť výhodné pri faktorizácii polynómu.
Ďalšie skrátené vzorce násobenia
Neobmedzujme sa len na kurz algebry 7. ročníka a pridajme do našej tabuľky FSU ešte niekoľko vzorcov.
Najprv sa pozrime na Newtonov binomický vzorec.
a + b n = Cn0 · a n + Cn 1 · a n - 1 · b + Cn 2 · an - 2 · b2 +. . + C n - 1 · a · b n - 1 + C n · b n
Tu Cn k sú binomické koeficienty, ktoré sa objavujú v riadku číslo n v Pascalovom trojuholníku. Binomické koeficienty sa vypočítajú podľa vzorca:
C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !
Ako vidíte, FSU pre druhú a druhú mocninu rozdielu a súčtu je špeciálny prípad Newtonove binomické vzorce pre n=2 a n=3.
Ale čo ak sú v súčte viac ako dva termíny, ktoré treba povýšiť na moc? Užitočný bude vzorec pre druhú mocninu súčtu troch, štyroch alebo viacerých členov.
a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ďalší vzorec, ktorý môže byť užitočný, je vzorec pre rozdiel medzi n-tou mocninou dvoch výrazov.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Tento vzorec sa zvyčajne delí na dva vzorce - pre párne a nepárne mocniny.
Pre párne exponenty 2 m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
Pre nepárne exponenty 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b2 +. . + b 2 m
Vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdielu kociek, uhádli ste, sú špeciálnymi prípadmi tohto vzorca pre n = 2 a n = 3. Pre rozdiel kociek sa b tiež nahrádza - b.
Ako čítať skrátené vzorce násobenia?
Ku každému vzorcu uvedieme zodpovedajúce formulácie, najskôr sa však budeme zaoberať princípom čítania vzorcov. Najpohodlnejší spôsob, ako to urobiť, je použiť príklad. Zoberme si úplne prvý vzorec pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel.
a + b2 = a2 + 2 a b + b2.
Hovorí sa: druhá mocnina súčtu dvoch výrazov a a b rovná súčtu druhá mocnina prvého výrazu, dvojitý súčin výrazov a druhá mocnina druhého výrazu.
Všetky ostatné vzorce sa čítajú podobne. Pre druhú mocninu rozdielu a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 píšeme:
druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhých mocnín týchto výrazov mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu.
Prečítajme si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu kociek týchto výrazov, trojnásobku súčinu druhej mocniny prvého a druhého výrazu a trojnásobku súčinu druhej mocniny druhého výrazu. a prvý výraz.
Prejdime k čítaniu vzorca pre rozdiel kociek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka rozdielu medzi dvoma výrazmi a a b sa rovná tretej mocnine prvého výrazu mínus trojitý súčin druhej mocniny prvého a druhého výrazu plus trojnásobný súčin druhej mocniny druhého výrazu a prvého výrazu , mínus kocka druhého výrazu.
Piaty vzorec a 2 - b 2 = a - b a + b (rozdiel druhých mocnín) znie takto: rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu oboch výrazov.
Pre zjednodušenie sa výrazy ako a 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 nazývajú neúplná druhá mocnina súčtu a neúplná druhá mocnina rozdielu.
Ak to vezmeme do úvahy, vzorce pre súčet a rozdiel kociek možno čítať takto:
Súčet kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu súčtu týchto výrazov a parciálnej druhej mocniny ich rozdielu.
Rozdiel medzi kockami dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu medzi týmito výrazmi a parciálnej druhej mocniny ich súčtu.
Dôkaz o FSU
Dokázanie FSU je celkom jednoduché. Na základe vlastností násobenia budeme násobiť časti vzorcov v zátvorkách.
Zvážte napríklad vzorec pre druhú mocninu rozdielu.
a-b2 = a2-2 ab + b2.
Ak chcete zvýšiť výraz na druhú mocninu, musíte tento výraz vynásobiť.
a - b 2 = a - b a - b.
Rozšírime zátvorky:
a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b2.
Vzorec je osvedčený. Zvyšné FSU sú preukázané podobne.
Príklady aplikácie FSU
Účelom používania skrátených vzorcov na násobenie je rýchle a výstižné násobenie a povýšenie výrazov na mocniny. Toto však nie je celý rozsah pôsobnosti FSU. Sú široko používané pri redukcii výrazov, redukcii zlomkov a faktoringu polynómov. Uveďme príklady.
Príklad 1. FSU
Zjednodušme výraz 9 y - (1 + 3 y) 2.
Použime vzorec súčtu štvorcov a získame:
9 rokov - (1 + 3 roky) 2 = 9 rokov - (1 + 6 rokov + 9 rokov 2) = 9 rokov - 1 - 6 rokov - 9 rokov 2 = 3 roky - 1 - 9 rokov 2
Príklad 2. FSU
Zmenšime zlomok 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Poznamenávame, že výraz v čitateli je rozdiel kociek a v menovateli je rozdiel štvorcov.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Znížime a získame:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU tiež pomáhajú vypočítať hodnoty výrazov. Hlavná vec je vedieť si všimnúť, kde použiť vzorec. Ukážme si to na príklade.
Odmocnime číslo 79. Namiesto ťažkopádnych výpočtov napíšme:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Zdalo by sa, zložitý výpočet vykonaná rýchlo len pomocou skrátených vzorcov násobenia a tabuliek násobenia.
Ďalší dôležitý bod- určenie druhej mocniny dvojčlenu. Výraz 4 x 2 + 4 x - 3 možno previesť na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takéto transformácie sú široko používané v integrácii.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Kľúčové slová:
druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu, kocka súčtu, kocka rozdielu, rozdiel druhých mocnín, súčet kociek, rozdiel kociek
- Štvorcový rozdiel dve veličiny sa rovná druhej mocnine prvého mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého. (a-b)2=a2-2ab+b 2
- Súčin súčtu dvoch veličín a ich rozdielu sa rovná rozdiel ich štvorcov. (a+b)(a-b)=a2-b 2
- TOdec dve veličiny sa rovná tretej mocnine prvej veličiny plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého a druhého plus trojnásobok prvého súčinom štvorca druhého plus kocky druhého.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3
- TOrozdiel dec dve veličiny sa rovná kocke prvej mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého a druhého plus trojnásobok súčinu prvého a štvorca druhého mínus súčin druhej mocniny.
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b 3
- Súčin súčtu dvoch veličín a neúplnej druhej mocniny rozdielu je súčet ich kociek. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
- Súčin rozdielu dvoch veličín neúplnou druhou mocninou súčtu je rozdiely ich kociek.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
Štvorec súčtu dve veličiny sa rovná druhej mocnine prvého plus dvojnásobku súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého množstva. (a+b)2=a2+2ab+b 2
Prevedenie polynómu do štandardného tvaru sa veľmi často dá vykonať pomocou skrátených vzorcov násobenia. Všetky sa dajú dokázať priamym otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov. Skrátené vzorce násobenia je potrebné poznať naspamäť:
Príklad. Dokážme vzorec a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2).
Máme: (a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 – b 3
Vidíme to pri kombinácii podobných pojmov
(a + b)(a 2 – ab + b 2) = a 3 + b 3, ktorý dokazuje požadovaný vzorec.
Podobne je dokázané, že (a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 – b 3Nestačí len vedieť naspamäť vzorce na skrátené násobenie. Musíme sa tiež naučiť vidieť v konkrétnom algebraický výraz tento vzorec.
Napríklad:
49 m 2 - 42 mn + 9n 2 = (7 m - 3n) 2
Alebo iný príklad, zložitejší:
Tu 3x2 možno si predstaviť ako ( √ 3x) 2Je tiež užitočné vedieť, ako zvýšiť dvojčlen na mocninu väčšiu ako 3. Vzorec, ktorý vám umožňuje zapísať rozšírenie algebraického súčtu dvoch členov ľubovoľného stupňa, prvýkrát navrhol Newton v rokoch 1664–1665 a bol nazývaný Newtonov binom. Koeficienty vzorca sa nazývajú binomické koeficienty. Ak je n kladné celé číslo, potom koeficienty zaniknú pre ľubovoľné k > n, takže rozšírenie obsahuje iba konečný počet členov. Vo všetkých ostatných prípadoch je expanzia nekonečným (binomickým) radom. (Podmienky konvergencie binomického radu prvýkrát stanovil na začiatku 19. storočia N. Abel.) Takéto špeciálne prípady ako napr.
(a+b)2=a2+2ab+b 2 A (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3boli známe dávno pred Newtonom. Ak n je kladné celé číslo, potom binomický koeficient pre a n-kb k v binomickom vzorci je počet kombinácií n až k, označený ako C k n. Pre malé hodnoty n možno koeficienty nájsť z Pascalovho trojuholníka:
Pri výpočte algebraických polynómov na zjednodušenie výpočtov použite skrátené vzorce násobenia . Celkovo existuje sedem takýchto vzorcov. Musíte ich poznať všetky naspamäť.
Malo by sa tiež pamätať na to, že namiesto a a b vo vzorcoch môžu byť čísla alebo akékoľvek iné algebraické polynómy.
Rozdiel štvorcov
Rozdiel druhých mocnín dvoch čísel sa rovná súčinu rozdielu týchto čísel a ich súčtu.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
Štvorec súčtu
Druhá mocnina súčtu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla plus dvojnásobku súčinu prvého čísla a druhého plus druhej mocniny druhého čísla.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Všimnite si, že s týmto zníženým vzorcom násobenia je to ľahké nájsť štvorce veľké čísla bez použitia kalkulačky alebo dlhého násobenia. Vysvetlime si to na príklade:
Nájdite 112 2.
Rozložme 112 na súčet čísel, ktorých druhé mocniny si dobre pamätáme.2
112 = 100 + 1
Do zátvoriek napíšte súčet čísel a nad zátvorky umiestnite štvorec.
112 2 = (100 + 12) 2
Použime vzorec pre druhú mocninu súčtu:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Pamätajte, že vzorec štvorcového súčtu je platný aj pre všetky algebraické polynómy.
(8a + c)2 = 64a2 + 16ac + c2
POZOR!!!
(a + b) 2 nerovná sa a 2 + b 2
Štvorcový rozdiel
Druhá mocnina rozdielu dvoch čísel sa rovná druhej mocnine prvého čísla mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého čísla.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Je tiež potrebné pripomenúť si veľmi užitočnú transformáciu:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Vyššie uvedený vzorec možno dokázať jednoduchým otvorením zátvoriek:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
Kocka súčtu
Kocka súčtu dvoch čísel sa rovná kocke prvého čísla plus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého čísla a druhého plus trojnásobku súčinu prvého druhou mocninou druhého plus kocka druhého .
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Je celkom ľahké si zapamätať tento „strašidelný“ vzorec.
Zistite, že na začiatku je 3.
Dva polynómy v strede majú koeficienty 3.
INpamätajte, že každé číslo s nulovou mocninou je 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Je ľahké vidieť, že vo vzorci je zníženie stupňa a a zvýšenie stupňa b. Môžete si to overiť:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
POZOR!!!
(a + b) 3 nerovná sa a 3 + b 3
Rozdielová kocka
Kocka rozdielu dvoch čísel sa rovná tretej mocnine prvého čísla mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého čísla a druhého plus trojnásobku súčinu prvého čísla a druhej mocniny druhého mínus kocka z druhého.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Tento vzorec sa zapamätá ako predchádzajúci, ale berie do úvahy iba striedanie znakov „+“ a „-“. Pred prvým členom 3 sa uvádza „+“ (podľa pravidiel matematiky to nepíšeme). To znamená, že pred ďalším členom bude „-“, potom opäť „+“ atď.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Súčet kociek ( Nezamieňať s kockou súčtu!)
Súčet kociek sa rovná súčinu súčtu dvoch čísel a neúplnej druhej mocniny rozdielu.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
Súčet kociek je súčinom dvoch zátvoriek.
Prvá zátvorka je súčet dvoch čísel.
Druhá zátvorka je neúplná druhá mocnina rozdielu čísel. Neúplný štvorec rozdielu sa nazýva výraz:
A 2 - ab + b 2
Tento štvorec je neúplný, pretože v strede je namiesto dvojitého súčinu obvyklý súčin čísel.
Cube Difference (Nezamieňať s Difference Cube!!!)
Rozdiel kociek sa rovná súčinu rozdielu dvoch čísel a čiastočného štvorca súčtu.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Buďte opatrní pri písaní znakov.Malo by sa pamätať na to, že všetky vyššie uvedené vzorce sa tiež používajú sprava doľava.
Jednoduchý spôsob, ako si zapamätať skrátené vzorce na násobenie, alebo... Pascalov trojuholník.
Je ťažké zapamätať si vzorce skráteného násobenia? Príčinou je ľahké pomôcť. Musíte si len pamätať, ako je znázornená taká jednoduchá vec, ako je Pascalov trojuholník. Potom si tieto vzorce budete pamätať vždy a všade, alebo skôr, nepamätať, ale obnoviť.
Čo je Pascalov trojuholník? Tento trojuholník pozostáva z koeficientov, ktoré vstupujú do rozšírenia ľubovoľného stupňa dvojčlenu tvaru na polynóm.
Rozšírime napríklad:
V tomto zázname je ľahké si zapamätať, že kocka prvého čísla je na začiatku a kocka druhého čísla je na konci. Ale to, čo je v strede, je ťažké si zapamätať. A dokonca aj skutočnosť, že v každom nasledujúcom období sa stupeň jedného faktora neustále znižuje a druhý zvyšuje - nie je ťažké si to všimnúť a zapamätať si; situácia je ťažšia pri zapamätaní si koeficientov a znamienok (je to plus alebo mínus ?).
Takže po prvé, šance. Netreba sa ich učiť naspamäť! Rýchlo nakreslíme Pascalov trojuholník na okraje poznámkového bloku a tu sú - koeficienty, ktoré už máme pred sebou. Začneme kresliť s tromi jednotkami, jedna navrchu, dve pod ňou, doprava a doľava - áno, je to už trojuholník:
Prvý riadok s jednou 1 je nula. Potom príde prvý, druhý, tretí a tak ďalej. Ak chcete získať druhý riadok, musíte znova priradiť jedničky k okrajom a do stredu zapísať číslo získané pridaním dvoch čísel nad ním:
Napíšeme tretí riadok: opäť pozdĺž okrajov jednotky a znova, aby sme získali ďalšie číslo v novom riadku, pridáme čísla nad ním do predchádzajúceho:
Ako ste možno uhádli, v každom riadku dostaneme koeficienty z rozšírenia dvojčlenu na mnohočlen:
No, ešte jednoduchšie je zapamätať si znamienka: prvé je rovnaké ako v rozšírenom binome (rozšírime súčet - to znamená plus, rozdiel - to znamená mínus) a potom sa znamienka striedajú!
Toto je taká užitočná vec - Pascalov trojuholník. Použi to!
