Domov

Spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu.

G. Glaser,
Akademik Ruskej akadémie vzdelávania v Moskve

O Pytagorovej vete a ako ju dokázať

Plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách...

Toto je jedna z najznámejších geometrických teorémov staroveku, nazývaná Pytagorova veta. Dodnes ju pozná takmer každý, kto kedy študoval planimetriu. Zdá sa mi, že ak chceme dať vedieť mimozemské civilizácie o existencii inteligentného života na Zemi, potom by sa mal do vesmíru poslať obraz pytagorejskej postavy. Myslím si, že ak mysliace bytosti dokážu prijať túto informáciu, pochopia bez zložitého dekódovania signálu, že na Zemi existuje dosť rozvinutá civilizácia.

Slávny grécky filozof a matematik Pytagoras zo Samosu, po ktorom je veta pomenovaná, žil asi pred 2,5 tisíc rokmi. Životopisné informácie o Pytagorasovi, ktoré sa k nám dostali, sú kusé a zďaleka nie spoľahlivé. S jeho menom sa spája množstvo legiend. Je autenticky známe, že Pytagoras veľa cestoval po krajinách východu, navštívil Egypt a Babylon. V jednej z gréckych kolónií Južné Taliansko založil slávnu „pytagorovskú školu“, ktorá zohrala významnú úlohu vo vedeckej a politický život staroveké Grécko. Práve Pytagoras sa zaslúžil o dôkaz známej geometrickej vety. Na základe legiend, ktoré šírili slávni matematici (Proclus, Plutarchos atď.), dlho Verilo sa, že pred Pytagorom nebola táto veta známa, odtiaľ názov - Pytagorova veta.

Niet však pochýb, že táto veta bola známa už mnoho rokov pred Pytagorasom. Takže 1500 rokov pred Pytagorasom starí Egypťania vedeli, že trojuholník so stranami 3, 4 a 5 je pravouhlý a túto vlastnosť používali (t. j. vetu, konverzná veta Pytagoras) na vytváranie pravých uhlov pri plánovaní pozemkov a stavebné konštrukcie. A aj dnes vidiecki stavitelia a tesári, ktorí kladú základy chaty, robia jej detaily, nakreslia tento trojuholník, aby získali pravý uhol. To isté sa dialo pred tisíckami rokov pri stavbe veľkolepých chrámov v Egypte, Babylone, Číne a pravdepodobne aj v Mexiku. V najstaršom čínskom matematickom a astronomickom diele, ktoré sa k nám dostalo, Zhou-bi, napísanom asi 600 rokov pred Pytagorasom, je okrem iných viet súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom obsiahnutá aj Pytagorova veta. Ešte skôr bola táto veta známa hinduistom. Pytagoras teda túto vlastnosť pravouhlého trojuholníka neobjavil, bol pravdepodobne prvý, kto ju zovšeobecnil a dokázal, čím ju preniesol z oblasti praxe do oblasti vedy. Nevieme, ako to urobil. Niektorí historici matematiky predpokladajú, že Pytagorasov dôkaz však nebol zásadný, ale iba potvrdenie, overenie tejto vlastnosti na množstve konkrétnych typov trojuholníkov, počnúc rovnoramenným pravouhlým trojuholníkom, pre ktorý to samozrejme vyplýva z obr. 1.

S Od staroveku matematici nachádzali stále viac dôkazov Pytagorovej vety, stále viac nápadov na jej dôkazy. Je známych viac ako jeden a pol sto takýchto dôkazov – viac či menej prísnych, viac či menej vizuálnych –, ale túžba zvýšiť ich počet zostala zachovaná. Myslím si, že samostatné „objavenie“ dôkazov Pytagorovej vety bude pre moderných školákov užitočné.

Uvažujme o niekoľkých príkladoch dôkazov, ktoré môžu naznačovať smer takýchto hľadaní.

Dôkaz Pytagoras

"Štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho nohách." Najjednoduchší dôkaz vety získame v najjednoduchšom prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Pravdepodobne sa veta začala s ním. Skutočne, stačí sa len pozrieť na usporiadanie rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, aby sme zistili, že veta je pravdivá. Napríklad pre DABC: štvorec postavený na prepone AU, obsahuje 4 počiatočné trojuholníky a štvorce postavené na nohách po dvoch. Veta bola dokázaná.

Dôkazy založené na použití konceptu rovnakej oblasti čísel.

Zároveň môžeme uvažovať o dôkaze, že štvorec postavený na prepone daného pravouhlého trojuholníka je „zložený“ z rovnakých obrazcov ako štvorce postavené na nohách. Môžeme uvažovať aj o takých dôkazoch, v ktorých sa používa permutácia pojmov obrazcov a zohľadňuje sa množstvo nových myšlienok.

Na obr. 2 sú znázornené dva rovnaké štvorce. Dĺžka strán každého štvorca je a + b. Každý zo štvorcov je rozdelený na časti pozostávajúce zo štvorcov a pravouhlých trojuholníkov. Je jasné, že ak od plochy štvorca odpočítame štvornásobnú plochu pravouhlého trojuholníka s nohami a, b, potom rovnaké oblasti, t.j. c 2 \u003d a 2 + b 2. Starovekí hinduisti, ktorým táto úvaha patrí, ju však zvyčajne nezapisovali, ale sprevádzali kresbu iba jedným slovom: „pozri! Je celkom možné, že rovnaký dôkaz ponúkol aj Pytagoras.

aditívny dôkaz.

Tieto dôkazy sú založené na rozklade štvorcov postavených na nohách na figúry, z ktorých je možné pridať štvorec postavený na prepone.

Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Dokážte sami párovú rovnosť trojuholníkov získaných rozdelením štvorcov postavených na nohách a prepone.

Dokážte vetu pomocou tohto oddielu.

 Na základe dôkazu al-Nairiziya bol urobený ďalší rozklad štvorcov na párovo rovnaké útvary (obr. 5, tu ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C).

 Ďalší dôkaz metódou rozkladu štvorcov na rovnaké časti, nazývaný „koleso s lopatkami“, je na obr. 6. Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C; O - stred štvorca postaveného na veľkej nohe; prerušované čiary prechádzajúce bodom O sú kolmé alebo rovnobežné s preponou.

 Tento rozklad štvorcov je zaujímavý tým, že ich párovo rovnaké štvoruholníky je možné na seba zmapovať paralelným prekladom. Mnoho ďalších dôkazov Pytagorovej vety možno ponúknuť pomocou rozkladu štvorcov na čísla.

Dôkazy metódou rozšírenia.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že k štvorcom postaveným na nohách a k štvorcu postavenému na prepone sa pripájajú rovnaké čísla tak, aby sa získali rovnaké čísla.

Platnosť Pytagorovej vety vyplýva z rovnakej veľkosti šesťuholníkov AEDFPB a ACBNMQ. Tu CEP, čiara EP rozdeľuje šesťuholník AEDFPB na dva štvoruholníky s rovnakou plochou, čiara CM rozdeľuje šesťuholník ACBNMQ na dva štvoruholníky s rovnakou plochou; 90° rotácia roviny okolo stredu A mapuje štvoruholník AEPB na štvoruholník ACMQ.

Na obr. 8 Pytagorova figúrka je dotvorená do obdĺžnika, ktorého strany sú rovnobežné so zodpovedajúcimi stranami štvorcov postavených na nohách. Rozdeľme tento obdĺžnik na trojuholníky a obdĺžniky. Od výsledného obdĺžnika najskôr odčítame všetky polygóny 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a na prepone zostane štvorec. Potom z toho istého obdĺžnika odčítame obdĺžniky 5, 6, 7 a tieňované obdĺžniky, dostaneme štvorce postavené na nohách.

Teraz dokážme, že čísla odčítané v prvom prípade sa rovnajú veľkosti číslam odčítaným v druhom prípade.

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

teda c2 = a2 + b2.

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2.

Algebraická metóda dôkazu.

	Ryža. 12 ilustruje dôkaz veľkého indického matematika Bhaskariho (slávneho autora Lilavati, X. 2. storočie). Kresbu sprevádzalo len jedno slovo: POZRITE SA! Medzi dôkazy Pytagorovej vety algebraická metóda na prvom mieste (možno najstarší) je dôkaz pomocou podobnosti.
	Predstavme si v modernom podaní jeden z takýchto dôkazov, ktorý patrí Pytagoriovi.

H a obr. 13 ABC - pravouhlý, C - pravý uhol, CMAB, b 1 - priemet ramena b na preponu, a 1 - priemet ramena a na preponu, h - výška trojuholníka ťahaného do prepony.

Z toho, že ABC je podobný ACM, vyplýva

b 2 \u003d cb 1; (1)

vyplýva zo skutočnosti, že ABC je podobný BCM

a2 = cca 1. (2)

Sčítaním rovnosti (1) a (2) člen po člene dostaneme a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Ak Pytagoras skutočne ponúkol takýto dôkaz, potom poznal aj množstvo dôležitých geometrických teorém, ktoré moderní historici matematiky zvyčajne pripisujú Euklidovi.

Möllmannov dôkaz (obr. 14). Plocha tohto pravouhlého trojuholníka je na jednej strane rovnaká na druhej strane, kde p je semiperimeter trojuholníka, r je polomer kruhu, ktorý je do neho vpísaný Máme:

z čoho vyplýva, že c 2 =a 2 +b 2 .

v druhom

Porovnaním týchto výrazov dostaneme Pytagorovu vetu.

Kombinovaná metóda

Rovnosť trojuholníkov

c2 = a2 + b2. (3)

Porovnaním vzťahov (3) a (4) dostaneme to

c 1 2 = c 2 alebo c 1 = c.

Teda trojuholníky – dané a postavené – sú si rovné, keďže majú tri, resp rovnaké strany. Uhol C 1 je pravý, takže uhol C tohto trojuholníka je tiež pravý.

Staroveké indické dôkazy.

Matematici starovekej Indie si všimli, že na dokázanie Pytagorovej vety stačí použiť vnútorná časť starodávna čínska kresba. V pojednaní „Siddhanta Shiromani“ („Koruna poznania“) napísanom na palmových listoch najväčším indickým matematikom 20. storočia. Bha-skara umiestnil kresbu (obr. 4)

charakteristické pre indické dôkazy l slovo "pozri sa!". Ako vidíte, pravouhlé trojuholníky sú tu naukladané tak, aby ich prepona smerovala von a štvorec s 2 presedlal na "kreslo nevesty-lo" s 2 -b 2 . Všimnite si, že špeciálne prípady Pytagorovej vety (napríklad konštrukcia štvorca, ktorého plocha je dvakrát väčšia obr.4 oblasť tohto námestia) sa nachádzajú v staroindickom pojednaní „Sulva“

Vyriešili pravouhlý trojuholník a štvorce postavené na jeho nohách, alebo inak povedané figúrky zložené zo 16 rovnakých rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, ktoré sa teda zmestia do štvorca. To je ľalia. malý zlomok bohatstva ukrytého v perle starovekej matematiky – Pytagorovej vete.

Staroveké čínske dôkazy.

Matematické pojednania Staroveká Čína k nám prišli vo vydaní 1. storočia. BC. Faktom je, že v roku 213 pred Kr. Čínsky cisár Shi Huang-di, ktorý sa snažil odstrániť staré tradície, nariadil spáliť všetky staré knihy. V P c. BC. papier bol vynájdený v Číne a zároveň sa začala rekonštrukcia starých kníh. Kľúč k tomuto dôkazu nie je ťažké nájsť. V starovekej čínskej kresbe sú skutočne štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky s katétrami a, b a preponou s naukladané G) tak, že ich vonkajší obrys tvorí na obr. 2 štvorec so stranami a + b, a vnútorný je štvorec so stranou c, postavený na prepone (obr. 2, b). Ak štvorec so stranou c vystrihneme a zvyšné 4 tieňované trojuholníky umiestnime do dvoch obdĺžnikov (obr. 2, V), je jasné, že výsledná prázdnota sa na jednej strane rovná S 2 , a na druhej strane - s 2 +b 2 , tie. c 2 \u003d  2 + b 2. Veta bola dokázaná. Všimnite si, že pri takomto dôkaze sa nepoužívajú konštrukcie vo vnútri štvorca na prepone, ktoré vidíme na staročínskej kresbe (obr. 2, a). Starovekí čínski matematici mali zjavne iný dôkaz. Presne ak do štvorca so stranou s dva tieňované trojuholníky (obr. 2, b) odrežte a pripevnite prepony k ďalším dvom preponám (obr. 2, G), je ľahké to nájsť

Výsledný obrazec, niekedy označovaný ako „stolička nevesty“, pozostáva z dvoch štvorcov so stranami A A b, tie. c 2 == a 2 +b 2 .

H Obrázok 3 reprodukuje kresbu z pojednania "Zhou-bi ...". Tu sa uvažuje Pytagorova veta pre egyptský trojuholník s nohami 3, 4 a preponou 5 jednotiek. Štvorec na prepone obsahuje 25 buniek a štvorec do nej vpísaný na väčšej nohe obsahuje 16. Je jasné, že zvyšná časť obsahuje 9 buniek. Toto bude štvorec na menšej nohe.

Potenciál pre kreativitu sa zvyčajne pripisuje humanitné vedy, prirodzene vedecká opúšťajúca analýzu, praktický prístup a suchý jazyk vzorcov a čísel. Matematika do humanitárne predmety vobec to neznesies. Ale bez kreativity v "kráľovnej všetkých vied" ďaleko nezájdete - ľudia o tom vedia už dlho. Od čias Pytagorasa napr.

Školské učebnice, žiaľ, väčšinou nevysvetľujú, že v matematike je dôležité nielen vtesnať vety, axiómy a vzorce. Je dôležité pochopiť a cítiť jeho základné princípy. A zároveň sa snažte oslobodiť svoju myseľ od klišé a elementárnych právd – len v takýchto podmienkach sa rodia všetky veľké objavy.

Medzi takéto objavy patrí aj ten, ktorý dnes poznáme ako Pytagorovu vetu. S jej pomocou sa pokúsime ukázať, že matematika nielenže môže, ale má byť zábavná. A že toto dobrodružstvo je vhodné nielen pre nerdov v hrubých okuliaroch, ale pre všetkých, ktorí sú silní v mysli a silní v duchu.

Z histórie problému

Presne povedané, hoci sa veta nazýva „Pytagorova veta“, sám Pytagoras ju neobjavil. Pravý trojuholník a jeho špeciálne vlastnosti boli študované dávno pred ním. Na túto otázku existujú dva polárne uhly pohľadu. Podľa jednej verzie bol Pytagoras prvý, kto našiel úplný dôkaz vety. Podľa iného dôkaz nepatrí k autorstvu Pytagoras.

Dnes už nemôžete kontrolovať, kto má pravdu a kto nie. Je známe len to, že dôkaz Pytagoras, ak vôbec existoval, sa nezachoval. Existujú však návrhy, že slávny dôkaz z Euklidových prvkov môže patriť Pytagorasovi a Euklides ho iba zaznamenal.

Dnes je tiež známe, že problémy o pravouhlom trojuholníku sa nachádzajú v egyptských prameňoch z čias faraóna Amenemheta I., na babylonských hlinených doskách z obdobia vlády kráľa Hammurabiho, v staroindickom pojednaní Sulva Sutra a starom čínskom diele Zhou-bi suan jin.

Ako vidíte, Pytagorova veta zamestnávala mysle matematikov už od staroveku. Ako potvrdenie slúži približne 367 rôznych dôkazov, ktoré dnes existujú. Žiadna iná veta jej v tomto smere nemôže konkurovať. Medzi významných autorov dôkazov patria Leonardo da Vinci a 20. prezident Spojených štátov James Garfield. To všetko hovorí o mimoriadnom význame tejto vety pre matematiku: väčšina geometrických teorémov je z nej odvodená alebo s ňou tak či onak spojená.

Dôkazy Pytagorovej vety

Školské učebnice väčšinou poskytujú algebraické dôkazy. Ale podstata vety je v geometrii, takže najprv zvážime tie dôkazy slávnej vety, ktoré sú založené na tejto vede.

Dôkaz 1

Pre najjednoduchší dôkaz Pytagorovej vety pre pravouhlý trojuholník je potrebné nastaviť ideálne podmienky: nech je trojuholník nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Existuje dôvod domnievať sa, že to bol taký trojuholník, ktorý pôvodne uvažovali starovekí matematici.

Vyhlásenie "štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho nohách" možno znázorniť na nasledujúcom obrázku:

Pozrite sa na rovnoramenný obdĺžnik trojuholník ABC: Na prepone AC môžete postaviť štvorec pozostávajúci zo štyroch trojuholníkov rovnajúcich sa pôvodnej ABC. A na nohách AB a BC postavené na štvorci, z ktorých každý obsahuje dva podobné trojuholníky.

Mimochodom, táto kresba tvorila základ mnohých anekdot a karikatúr venovaných Pytagorovej vete. Azda najznámejší je "Pythagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch":

Dôkaz 2

Táto metóda spája algebru a geometriu a možno ju považovať za variant staroindického dôkazu matematika Bhaskariho.

Zostrojte pravouhlý trojuholník so stranami a, b a c(obr. 1). Potom postavte dva štvorce so stranami rovnými súčtu dĺžok dvoch nôh - (a+b). V každom zo štvorcov vytvorte konštrukcie ako na obrázkoch 2 a 3.

V prvom štvorci postavte štyri rovnaké trojuholníky ako na obrázku 1. Výsledkom sú dva štvorce: jeden so stranou a, druhý so stranou b.

V druhom štvorci tvoria štyri zostrojené analogické trojuholníky štvorec so stranami rovná prepone c.

Súčet plôch zostrojených štvorcov na obr. 2 sa rovná ploche štvorca, ktorú sme zostrojili so stranou c na obr. 3. To sa dá ľahko overiť výpočtom plôch štvorcov na obr. 2 podľa vzorca. A plocha vpísaného štvorca na obrázku 3. odčítaním plôch štyroch rovnakých pravouhlých trojuholníkov vpísaných do štvorca od plochy veľkého štvorca so stranou (a+b).

Keď toto všetko dáme dole, máme: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Rozbaľte zátvorky, urobte všetky potrebné algebraické výpočty a získajte to a2 + b2 = a2 + b2. Zároveň plocha zapísaná na obr.3. štvorec možno vypočítať aj pomocou tradičného vzorca S=c2. Tie. a2+b2=c2 Dokázali ste Pytagorovu vetu.

Dôkaz 3

Rovnaký staroindický dôkaz je opísaný v 12. storočí v pojednaní „Koruna poznania“ („Siddhanta Shiromani“) a ako hlavný argument autor používa výzvu adresovanú matematickým talentom a pozorovacím schopnostiam študentov a nasledovníkov: „Pozri!“.

Tento dôkaz však rozoberieme podrobnejšie:

Vo vnútri štvorca postavte štyri pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku. Označuje sa strana veľkého štvorca, ktorá je zároveň preponou s. Nazvime nohy trojuholníka A A b. Strana vnútorného štvorca je podľa nákresu (a-b).

Použite vzorec štvorcovej oblasti S=c2 na výpočet plochy vonkajšieho štvorca. A súčasne vypočítajte rovnakú hodnotu pridaním plochy vnútorného štvorca a plochy gule štyroch pravouhlých trojuholníkov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Na výpočet plochy štvorca môžete použiť obe možnosti, aby ste sa uistili, že dávajú rovnaký výsledok. A to vám dáva právo si to zapísať c2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. Výsledkom riešenia bude vzorec Pytagorovej vety c2=a2+b2. Veta bola dokázaná.

Dôkaz 4

Tento kuriózny staroveký čínsky dôkaz sa nazýval „stolička nevesty“ – kvôli postave podobnej stoličke, ktorá je výsledkom všetkých konštrukcií:

Používa kresbu, ktorú sme už videli na obrázku 3 v druhom dôkaze. A vnútorný štvorec so stranou c je skonštruovaný rovnakým spôsobom ako v staroindickom dôkaze uvedenom vyššie.

Ak ste v duchu odrezali dva zelené pravouhlé trojuholníky z výkresu na obr. 1, presuňte ich na protiľahlé strany pripevnite štvorec so stranou c a preponami k preponám fialových trojuholníkov, dostanete postavu nazývanú „stolička nevesty“ (obr. 2). Pre prehľadnosť môžete urobiť to isté s papierovými štvorcami a trojuholníkmi. Uvidíte, že "kreslo nevesty" je tvorené dvoma štvorcami: malými so stranou b a veľký s bokom a.

Tieto konštrukcie umožnili starým čínskym matematikom a nám, ktorí ich nasledovali, dospieť k záveru c2=a2+b2.

Dôkaz 5

Toto je ďalší spôsob, ako nájsť riešenie Pytagorovej vety na základe geometrie. Nazýva sa to Garfieldova metóda.

Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC. Musíme to dokázať BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Ak to chcete urobiť, pokračujte v nohe AC a vybudovať segment CD, čo sa rovná nohe AB. Dolná kolmica ADúsečka ED. Segmenty ED A AC sú si rovné. spojte body E A IN, a E A S a získajte kresbu ako na obrázku nižšie:

Aby sme dokázali vežu, opäť sa uchýlime k metóde, ktorú sme už testovali: nájdeme plochu výslednej postavy dvoma spôsobmi a prirovnáme výrazy k sebe.

Nájdite oblasť polygónu POSTEĽ možno vykonať pridaním oblastí troch trojuholníkov, ktoré ho tvoria. A jeden z nich ERU, je nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Na to tiež nezabúdajme AB = CD, AC=ED A BC = CE- to nám umožní zjednodušiť nahrávanie a nepreťažiť ho. takže, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2 BC 2.

Zároveň je zrejmé, že POSTEĽ je lichobežník. Preto vypočítame jeho plochu pomocou vzorca: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pre naše výpočty je pohodlnejšie a prehľadnejšie reprezentovať segment AD ako súčet segmentov AC A CD.

Napíšme oba spôsoby, ako vypočítať plochu obrazca tak, že medzi ne vložíme znamienko rovnosti: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Na zjednodušenie používame rovnosť segmentov, ktoré sú nám už známe a popísané vyššie pravá strana položky: AB*AC+1/2BC2=1/2(AB+AC) 2. A teraz otvoríme zátvorky a transformujeme rovnosť: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Po dokončení všetkých transformácií dostaneme presne to, čo potrebujeme: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Dokázali sme vetu.

Samozrejme, tento zoznam dôkazov nie je ani zďaleka úplný. Pytagorovu vetu je možné dokázať aj pomocou vektorov, komplexných čísel, diferenciálnych rovníc, stereometrie atď. A dokonca aj fyzici: ak sa napríklad kvapalina naleje do štvorcových a trojuholníkových objemov podobných tým, ktoré sú znázornené na výkresoch. Naliatím kvapaliny je možné dokázať rovnosť plôch a ako výsledok samotnú vetu.

Pár slov o pytagorejských trojiciach

Táto problematika je v školských osnovách preštudovaná málo alebo vôbec. Medzitým je to veľmi zaujímavé a má veľký význam v geometrii. Pytagorove trojice sa používajú na riešenie mnohých matematických problémov. Ich myšlienka môže byť pre vás užitočná pri ďalšom vzdelávaní.

Čo sú teda pytagorejské trojčatá? Tak sa hovorí celé čísla, zhromaždené v trojiciach, pričom súčet štvorcov dvoch z nich sa rovná tretiemu číslu v štvorci.

Pytagorejské trojky môžu byť:

• primitívne (všetky tri čísla sú relatívne prvočísla);
• neprimitívne (ak je každé číslo trojky vynásobené rovnakým číslom, dostanete novú trojicu, ktorá nie je primitívna).

Už pred naším letopočtom fascinovala starých Egypťanov mánia po počtoch pytagorejských trojíc: v úlohách uvažovali o pravouhlom trojuholníku so stranami 3,4 a 5 jednotiek. Mimochodom, každý trojuholník, ktorého strany sa rovnajú číslam z pytagorejskej trojky, je štandardne pravouhlý.

Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 5, 20), (12, 16, 5, 20), 0, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40, 40), 9, 4, 4 8, 50), (30, 40, 50) a ďalšie.

Praktická aplikácia vety

Pytagorova veta nachádza uplatnenie nielen v matematike, ale aj v architektúre a konštrukcii, astronómii a dokonca aj v literatúre.

Po prvé, o konštrukcii: Pytagorova veta je v nej široko používaná v problémoch rôznych úrovní zložitosti. Pozrite sa napríklad na románske okno:

Označme šírku okna ako b, potom polomer veľkého polkruhu možno označiť ako R a vyjadrovať sa prostredníctvom b: R=b/2. Polomer menších polkruhov možno vyjadriť aj pomocou b: r=b/4. V tomto probléme nás zaujíma polomer vnútorného kruhu okna (nazvime to p).

Pytagorova veta sa práve hodí na výpočet R. Na to používame pravouhlý trojuholník, ktorý je na obrázku označený bodkovanou čiarou. Prepona trojuholníka pozostáva z dvoch polomerov: b/4+p. Jedna noha je polomer b/4, ďalší b/2-p. Pomocou Pytagorovej vety píšeme: (b/4+p)2 = (b/4)2 +(b/2-p) 2. Ďalej otvoríme zátvorky a dostaneme b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Transformujme tento výraz na bp/2=b2/4-bp. A potom rozdelíme všetky pojmy na b, dávame podobné dostať 3/2*p=b/4. A nakoniec to zistíme p=b/6- čo sme potrebovali.

Pomocou vety môžete vypočítať dĺžku krokiev pre sedlovú strechu. Určte výšku veže mobilnej komunikácie potrebné na to, aby signál dosiahol určitú lokalite. A dokonca stabilne nainštalovať vianočný stromček na mestskom námestí. Ako vidíte, táto veta žije nielen na stránkach učebníc, ale je často užitočná aj v reálnom živote.

Pokiaľ ide o literatúru, Pytagorova veta inšpirovala spisovateľov už od staroveku a inšpiruje ju dodnes. Napríklad nemecký spisovateľ z devätnásteho storočia Adelbert von Chamisso sa ňou inšpiroval k napísaniu sonetu:

Svetlo pravdy sa tak skoro nerozplynie,
Ale keď svietil, je nepravdepodobné, že by sa rozplynul
A ako pred tisíckami rokov,
Nespôsobí pochybnosti a spory.

Najmúdrejší, keď sa dotkne oka
Svetlo pravdy, vďaka bohom;
A sto býkov, bodnutých, lož -
Opätovný dar šťastného Pytagora.

Odvtedy býci zúfalo bučia:
Navždy prebudil býčí kmeň
tu spomínaná udalosť.

Myslia si, že už bolo načase
A opäť budú obetovaní
Nejaká veľká teoréma.

(preklad Viktor Toporov)

A v dvadsiatom storočí sovietsky spisovateľ Jevgenij Veltistov vo svojej knihe „Dobrodružstvá elektroniky“ venoval celú kapitolu dôkazom Pytagorovej vety. A polovica kapitoly príbehu o dvojrozmernom svete, ktorý by mohol existovať, keby sa Pytagorova veta stala základným zákonom a dokonca náboženstvom pre jeden svet. Žilo by sa v ňom oveľa ľahšie, ale aj oveľa nudnejšie: nikto tam napríklad nerozumie významu slov „okrúhly“ a „nadýchaný“.

A v knihe „The Adventures of Electronics“ autor ústami učiteľa matematiky Taratary hovorí: „Hlavnou vecou v matematike je pohyb myslenia, nové myšlienky.“ Je to tento kreatívny myšlienkový let, ktorý generuje Pytagorovu vetu – nie nadarmo má toľko rôznych dôkazov. Pomáha ísť nad rámec zvyčajného a pozerať sa na známe veci novým spôsobom.

Záver

Tento článok bol vytvorený, aby ste sa mohli pozrieť ďalej školské osnovy v matematike a naučiť sa nielen tie dôkazy Pytagorovej vety, ktoré sú uvedené v učebniciach "Geometria 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) a "Geometria 7-11" (A.V. Pogorelov), ale aj iné kuriózne spôsoby, ako dokázať slávnu vetu. A tiež si pozrite príklady, ako sa dá Pytagorova veta aplikovať v každodennom živote.

Po prvé, tieto informácie vám umožnia získať vyššie skóre na hodinách matematiky – informácie o tejto téme z dodatočných zdrojov sú vždy vysoko cenené.

Po druhé, chceli sme vám pomôcť získať pocit, ako funguje matematika zaujímavá veda. Uistite sa, že na konkrétne príkladyže vždy je priestor pre kreativitu. Dúfame, že Pytagorova veta a tento článok vás inšpirujú k vlastnému výskumu a vzrušujúcim objavom v matematike a iných vedách.

Povedzte nám v komentároch, či vás dôkazy uvedené v článku zaujali. Pomohli vám tieto informácie pri štúdiu? Dajte nám vedieť, čo si myslíte o Pytagorovej vete a o tomto článku – toto všetko s vami radi prediskutujeme.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Pytagorova veta je najdôležitejším výrokom geometrie. Veta je formulovaná takto: plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách.

Zvyčajne sa objav tohto tvrdenia pripisuje starogrécky filozof a matematik Pytagoras (VI. storočie pred Kristom). Štúdium babylonských klinových tabuliek a starých čínskych rukopisov (kópie ešte starších rukopisov) však ukázalo, že tento výrok bol známy dávno pred Pytagorasom, možno tisícročie pred ním. Prednosťou Pytagora bolo, že objavil dôkaz tejto vety.

Pravdepodobne skutočnosť uvedená v Pytagorovej vete bola prvýkrát stanovená pre rovnoramenné pravouhlé trojuholníky. Stačí sa pozrieť na mozaiku čiernych a svetlých trojuholníkov znázornenú na obr. 1 na overenie platnosti vety o trojuholníku: štvorec postavený na prepone obsahuje 4 trojuholníky a štvorec obsahujúci 2 trojuholníky je postavený na každej vetve. Na preukázanie všeobecného prípadu v starovekej Indii mali dve metódy: do štvorca so stranou boli znázornené štyri pravouhlé trojuholníky s dlhými nohami (obr. 2, a a 2, b), po ktorých napísali jedno slovo „Pozri sa!“. A skutočne, pri pohľade na tieto obrázky vidíme, že vľavo je obrázok bez trojuholníkov, ktorý pozostáva z dvoch štvorcov so stranami, respektíve ich plocha je rovnaká, a vpravo - štvorec so stranou - je jej plocha rovnaká. Preto, , čo je výrok Pytagorovej vety.

Po dve tisícročia sa však nepoužíval tento vizuálny dôkaz, ale komplexnejší dôkaz vynájdený Euklidom, ktorý je umiestnený v jeho slávnej knihe „Počiatky“ (pozri Euklides a jeho „Začiatky“), Euklides znížil výšku zhora pravý uhol na prepone a dokázal, že jej pokračovanie rozdeľuje štvorec postavený na prepone na dva obdĺžniky, ktorých plochy sa rovnajú plochám zodpovedajúcich štvorcov postavených na nohách (obr. 3). Nákres použitý v dôkaze tejto vety sa žartom nazýva „Pytagorove nohavice“. Dlho bol považovaný za jeden zo symbolov matematickej vedy.

Dnes je známych niekoľko desiatok rôznych dôkazov Pytagorovej vety. Niektoré z nich sú založené na delení štvorcov, v ktorom štvorec postavený na prepone pozostáva z častí zahrnutých do priečok štvorcov postavených na nohách; ostatné - na doplnenie rovnakých čísel; tretí - na skutočnosti, že výška znížená od vrcholu pravého uhla k prepone rozdeľuje pravý trojuholník na dva podobné trojuholníky.

Pytagorova veta je základom väčšiny geometrických výpočtov. Dokonca aj v starovekom Babylone sa používal na výpočet dĺžky výšky rovnoramenného trojuholníka dĺžkou základne a strany, šípky segmentu priemerom kruhu a dĺžkou tetivy a na stanovenie vzťahu medzi prvkami niektorých pravidelných mnohouholníkov. Pomocou Pytagorovej vety je dokázané jej zovšeobecnenie, ktoré umožňuje vypočítať dĺžku strany ležiacej oproti ostrému alebo tupému uhlu:

Z tohto zovšeobecnenia vyplýva, že prítomnosť pravého uhla v je nielen postačujúca, ale aj nevyhnutná podmienka pre splnenie rovnosti . Vzorec (1) implikuje vzťah medzi dĺžkami uhlopriečok a strán rovnobežníka, pomocou ktorého sa dá ľahko zistiť dĺžka mediánu trojuholníka z dĺžok jeho strán.

Na základe Pytagorovej vety je odvodený aj vzorec, ktorý vyjadruje obsah akéhokoľvek trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho strán (pozri Heronov vzorec). Samozrejme, Pytagorova veta sa používala aj na riešenie rôznych praktických problémov.

Namiesto štvorcov na stranách pravouhlého trojuholníka môžete postaviť ľubovoľné navzájom podobné tvary (rovnostranné trojuholníky, polkruhy atď.). V tomto prípade sa plocha figúry postavenej na prepone rovná súčtu plôch figúrok postavených na nohách. Ďalšie zovšeobecnenie súvisí s prechodom z roviny do priestoru. Je formulovaný takto: štvorec dĺžky uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtuštvorce jeho rozmerov (dĺžka, šírka a výška). Podobná veta platí aj vo viacrozmerných a dokonca nekonečne rozmerných prípadoch.

Pytagorova veta existuje iba v euklidovskej geometrii. Neprebieha ani v Lobačevského geometrii, ani v iných neeuklidovských geometriách. Ani na gule neexistuje obdoba Pytagorovej vety. Dva poludníky zvierajúce uhol 90° a rovník ohraničujú guľu rovnostranný sférický trojuholník, pričom všetky tri sú pravé uhly. Pre neho nie ako v lietadle.

Pomocou Pytagorovej vety sa vzdialenosť medzi bodmi a súradnicovou rovinou vypočíta podľa vzorca

.

Po objavení Pytagorovej vety vyvstala otázka, ako nájsť všetky trojice prirodzených čísel, ktoré môžu byť stranami pravouhlého trojuholníka (pozri veľkú Fermatovu vetu). Objavili ich Pytagorejci, ale niektoré všeobecné metódy na nájdenie takýchto trojíc čísel poznali aj Babylončania. Jedna z klinových tabliet obsahuje 15 trojíc. Medzi nimi sú trojčatá pozostávajúce z tzv veľké číslaže o ich nájdení výberom nemôže byť ani reči.

HIPPOKRATESKÉ PEKLÁ

Hippokratove mesiace sú obrazce ohraničené oblúkmi dvoch kružníc a navyše také, že pomocou polomerov a dĺžky spoločnej tetivy týchto kružníc, pomocou kružidla a pravítka, môžete postaviť štvorce rovnakej veľkosti.

Zo zovšeobecnenia Pytagorovej vety na polkruhy vyplýva, že súčet plôch ružových dier zobrazených na obrázku vľavo sa rovná ploche modrého trojuholníka. Preto, ak vezmeme rovnoramenný pravouhlý trojuholník, dostaneme dve diery, z ktorých plocha každej sa bude rovnať polovici plochy trojuholníka. Staroveký grécky matematik Hippokrates (5. storočie pred n. l.) pri pokuse vyriešiť problém kvadratúry kruhu (pozri Klasické problémy staroveku) našiel niekoľko ďalších dier, ktorých plochy sú vyjadrené plochami priamočiarych útvarov.

Úplný zoznam hippomarginálnych dier bol získaný až v 19.-20. pomocou metód Galoisovej teórie.

Uistite sa, že trojuholník, ktorý ste dostali, je pravouhlý, pretože Pytagorova veta platí len pre pravouhlé trojuholníky. V pravouhlých trojuholníkoch má jeden z troch uhlov vždy 90 stupňov.

• Pravý uhol v pravouhlom trojuholníku je označený štvorcom namiesto krivky, ktorá predstavuje nepravé uhly.

Označte strany trojuholníka. Označte nohy ako "a" a "b" (nohy sú strany, ktoré sa pretínajú v pravom uhle) a preponu ako "c" (prepona je najväčšia strana pravouhlého trojuholníka, ktorá leží oproti pravému uhlu).

Určite, ktorú stranu trojuholníka chcete nájsť. Pytagorova veta vám umožňuje nájsť ľubovoľnú stranu pravouhlého trojuholníka (ak sú známe ďalšie dve strany). Určte, ktorú stranu (a, b, c) treba nájsť.

• Napríklad za predpokladu, že prepona sa rovná 5 a noha sa rovná 3. V tomto prípade musíte nájsť druhú vetvu. K tomuto príkladu sa vrátime neskôr.
• Ak sú ďalšie dve strany neznáme, je potrebné nájsť dĺžku jednej z neznámych strán, aby bolo možné aplikovať Pytagorovu vetu. Ak to chcete urobiť, použite základnú goniometrické funkcie(ak dostanete hodnotu jedného z nepravých uhlov).

Vo vzorci a 2 + b 2 \u003d c 2 nahraďte hodnoty, ktoré vám boli pridelené (alebo hodnoty, ktoré ste našli). Pamätajte, že a a b sú nohy a c je prepona.

• V našom príklade napíšte: 3² + b² = 5².

Štvorte každú známu stranu. Alebo nechajte stupne - čísla môžete odmocniť neskôr.

• V našom príklade napíšte: 9 + b² = 25.

Izolujte neznámu stranu na jednej strane rovnice. Ak to chcete urobiť, presuňte sa známe hodnoty na druhú stranu rovnice. Ak nájdete preponu, potom v Pytagorovej vete je už izolovaná na jednej strane rovnice (takže nie je potrebné nič robiť).

• V našom príklade presuňte 9 na pravá strana rovnice na izoláciu neznámej b². Dostanete b² = 16.

Extrakt Odmocnina z oboch strán rovnice potom, čo je na jednej strane rovnice prítomná neznáma (druhá mocnina) a na druhej strane je prítomný voľný člen (číslo).

• V našom príklade je b² = 16. Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice a získajte b = 4. Takže druhá časť je 4.

Použite Pytagorovu vetu Každodenný život, pretože sa dá použiť v veľké čísla praktické situácie. Aby ste to dosiahli, naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v každodennom živote - v akejkoľvek situácii, v ktorej sa dva objekty (alebo čiary) pretínajú v pravom uhle a tretí objekt (alebo čiara) spája (diagonálne) vrcholy prvých dvoch objektov (alebo čiar), môžete použiť Pytagorovu vetu na nájdenie neznámej strany (ak sú ostatné dve strany známe).

• Príklad: Daný rebrík opretý o budovu. Spodná časť schodiska je 5 metrov od základne steny. Vrchná časť schodisko sa nachádza 20 metrov od zeme (po stene). Aká je dĺžka rebríka?
  • „5 metrov od základne steny“ znamená, že a = 5; „je 20 metrov od zeme“ znamená, že b = 20 (to znamená, že máte dve nohy pravouhlého trojuholníka, pretože stena budovy a povrch Zeme sa pretínajú v pravom uhle). Dĺžka rebríka je dĺžka prepony, ktorá nie je známa.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Približná dĺžka schodiska je teda 20,6 metra.

MERANIE PLOCHY GEOMETRICKÝCH ÚDAJOV.

§ 58. PYTAGOREJSKÁ VETA 1 .

__________
1 Pytagoras je grécky vedec, ktorý žil asi pred 2500 rokmi (564-473 pred Kristom).
_________

Nech je daný pravouhlý trojuholník, ktorého strany A, b A s(dev. 267).

Po jej stranách postavíme štvorce. Plochy týchto štvorcov sú resp A 2 , b 2 a s 2. Dokážme to s 2 = a 2 +b 2 .

Postavme dva štvorce MKOR a M"K"O"R" (obr. 268, 269), pričom za stranu každého z nich vezmeme úsečku rovnajúcu sa súčtu ramien pravouhlého trojuholníka ABC.

Po dokončení konštrukcií znázornených na výkresoch 268 a 269 v týchto štvorcoch uvidíme, že štvorec MKOR je rozdelený na dva štvorce s plochami A 2 a b 2 a štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý sa rovná pravouhlému trojuholníku ABC. Štvorec M"K"O"R" je rozdelený na štvoruholník (na obrázku 269 je vytieňovaný) a štyri pravouhlé trojuholníky, z ktorých každý sa tiež rovná trojuholníku ABC. Vytieňovaný štvoruholník je štvorec, pretože jeho strany sú rovnaké (každá sa rovná prepone trojuholníka ABC, t.j. s) a uhly sú správne / 1 + / 2 = 90°, odkiaľ / 3 = 90°).

Súčet plôch štvorcov postavených na nohách (na výkrese 268 sú tieto štvorce vytieňované) sa teda rovná ploche štvorca MKOR bez súčtu plôch štyroch rovnakých trojuholníkov a plocha štvorca postaveného na prepone (na výkrese 269 je tento štvorec tiež vytieňovaný) sa rovná ploche štvorca M "K" O "R", MK sa rovná súčtu plôch trojuholníka OR, MK. Preto sa plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách.

Dostaneme vzorec s 2 = a 2 +b 2, kde s- prepona, A A b- nohy pravouhlého trojuholníka.

Pytagorova veta sa dá zhrnúť takto:

Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Zo vzorca s 2 = a 2 +b 2 môžete získať nasledujúce vzorce:

A 2 = s 2 - b 2 ;
b 2 = s 2 - A 2 .

Tieto vzorce sa dajú použiť na nájdenie neznámej strany pravouhlého trojuholníka s dvomi jeho stranami.
Napríklad:

a) ak sú dané nohy A= 4 cm, b\u003d 3 cm, potom môžete nájsť preponu ( s):
s 2 = a 2 +b 2, t.j. s 2 = 42 + 32; s 2 = 25, odkiaľ s= √25 = 5 (cm);

b) ak je daná prepona s= 17 cm a noha A= 8 cm, potom môžete nájsť ďalšiu nohu ( b):

b 2 = s 2 - A 2, t.j. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, odkiaľ b= √225 = 15 (cm).

Dôsledok: Ak v dvoch pravouhlých trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 prepona s A s 1 sú rovnaké, a noha b trojuholník ABC je väčší ako noha b 1 trojuholník A 1 B 1 C 1,
potom nohu A trojuholník ABC menej ako noha A 1 trojuholník A 1 B 1 C 1 . (Urobte nákres znázorňujúci tento dôsledok.)

Na základe Pytagorovej vety skutočne dostaneme:

A 2 = s 2 - b 2 ,
A 1 2 = s 1 2 - b 1 2

V písaných vzorcoch sú mínusové body rovnaké a subtrahend v prvom vzorci je väčší ako subtrahend v druhom vzorci, preto je prvý rozdiel menší ako druhý,
t.j. A 2 < A 12. Kde A< A 1 .

Cvičenia.

1. Pomocou nákresu 270 dokážte Pytagorovu vetu pre rovnoramenný pravouhlý trojuholník.

2. Jedna vetva pravouhlého trojuholníka má 12 cm, druhá 5 cm Vypočítajte dĺžku prepony tohto trojuholníka.

3. Prepona pravouhlého trojuholníka je 10 cm, jedna vetva je 8 cm Vypočítajte dĺžku druhej vetvy tohto trojuholníka.

4. Prepona pravouhlého trojuholníka je 37 cm, jedna vetva je 35 cm Vypočítajte dĺžku druhej vetvy tohto trojuholníka.

5. Zostroj štvorec, ktorý má dvojnásobok plochy daného štvorca.

6. Zostrojte štvorec s dvojnásobkom plochy daného štvorca. Inštrukcia. Do tohto štvorca nakreslite uhlopriečky. Požadované budú štvorce postavené na poloviciach týchto uhlopriečok.

7. Ramená pravouhlého trojuholníka sú 12 cm a 15 cm Vypočítajte dĺžku prepony tohto trojuholníka s presnosťou na 0,1 cm.

8. Prepona pravouhlého trojuholníka je 20 cm, jedna vetva je 15 cm.Dĺžku druhej vetvy vypočítajte s presnosťou na 0,1 cm.

9. Aký dlhý by mal byť rebrík, aby sa dal pripevniť na okno umiestnené vo výške 6 m, ak má byť spodný koniec rebríka 2,5 m od budovy? (Sakra. 271.)