trojuholníky

trojuholník Postava sa nazýva postava, ktorá pozostáva z troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke, a troch segmentov spájajúcich tieto body v pároch. Body sú tzv vrcholov trojuholník, a segmenty - jeho strany.

Druhy trojuholníkov

Trojuholník sa nazýva rovnoramenné ak sú jeho dve strany rovnaké. Tieto rovnaké strany sa nazývajú strany, a volá sa tretia strana základ trojuholník.

Trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké, sa nazýva rovnostranný alebo správne.

Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak má pravý uhol, potom je uhol 90°. Strana pravouhlého trojuholníka oproti pravému uhlu sa nazýva hypotenzia ostatné dve strany sú tzv nohy.

Trojuholník sa nazýva ostrý uhlový ak sú všetky tri jeho uhly ostré, to znamená menej ako 90°.

Trojuholník sa nazýva tupý, ak je jeden z jeho uhlov tupý, t.j. väčší ako 90°.

Hlavné čiary trojuholníka

Medián

Medián trojuholník je úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany tohto trojuholníka.

Vlastnosti trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej oblasti.

Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc zhora. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

Sektor uhla je lúč, ktorý vychádza z jeho vrcholu, prechádza medzi jeho stranami a pretína daný uhol. Stred trojuholníkaÚsek osi uhla trojuholníka spájajúceho vrchol s bodom na opačnej strane trojuholníka sa nazýva.

Vlastnosti osy trojuholníka

Výška

Výška trojuholník sa nazýva kolmica vedená z vrcholu trojuholníka k čiare obsahujúcej opačnú stranu tohto trojuholníka.

Vlastnosti výšky trojuholníka

IN správny trojuholník výška nakreslená od vrcholu pravého uhla ho rozdeľuje na dva trojuholníky, podobný originálny.

IN ostrý trojuholník jeho dve výšky sú od neho odrezané podobný trojuholníky.

Stredná kolmá

Nazýva sa priamka prechádzajúca stredom úsečky, ktorá je na ňu kolmá kolmica do segmentu .

Vlastnosti odvesníc trojuholníka

Každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od koncov tejto úsečky. Platí aj opačné tvrdenie: každý bod rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici k nemu.

Priesečník nakreslených kolmic strany trojuholníka, je centrom kruh opísaný okolo tohto trojuholníka.

stredná čiara

Stredná čiara trojuholníka Nazýva sa úsečka spájajúca stredy dvoch jej strán.

Vlastnosť strednej čiary trojuholníka

Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s jednou z jeho strán a rovná sa polovici tejto strany.

Vzorce a pomery

Znaky rovnosti trojuholníkov

Dva trojuholníky sú zhodné, ak sú zhodné:

dve strany a uhol medzi nimi;

dva rohy a k nim priľahlá strana;

tri strany.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

Dva správny trojuholník sú rovnaké, ak sa navzájom rovnajú:

hypotenzia a ostrý uhol

nohu a opačný roh;

nohu a susedný uhol;

dva nohu;

hypotenzia A nohu.

podobnosť trojuholníkov

Dva trojuholníky sú podobné ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok, tzv znaky podobnosti:

dva uhly jedného trojuholníka sa rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka;

dve strany jedného trojuholníka sú úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly, ktoré tieto strany zvierajú, sú rovnaké;

tri strany jedného trojuholníka sú úmerné trom stranám druhého trojuholníka.

V podobných trojuholníkoch zodpovedajúce čiary ( výšky, mediány, osy atď.) sú proporcionálne.

Sínusová veta

Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov a koeficient úmernosti je priemer kruh opísaný okolo trojuholníka:

Kosínusová veta

Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán krát kosínus uhla medzi nimi:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Vzorce oblasti trojuholníka

Ľubovoľný trojuholník

a, b, c - strany; - uhol medzi stranami a A b- poloobvod; R- polomer opísanej kružnice; r- polomer vpísanej kružnice; S- námestie; h a - výška na stranu a.

Úlohy:

1. Zoznámte žiakov s odlišné typy trojuholníky v závislosti od typu uhlov (obdĺžnikové, ostré, tupé). Naučte sa nájsť trojuholníky a ich typy na výkresoch. Opraviť základné geometrické pojmy a ich vlastnosti: priamka, segment, lúč, uhol.

2. Rozvoj myslenia, predstavivosti, matematickej reči.

3. Výchova pozornosti, aktivity.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Koľko potrebujeme chlapov?
Pre naše šikovné ruky?
Nakreslite dva štvorce
A majú veľký kruh.
A potom ďalšie kruhy
Trojuholníkový uzáver.
Takže to vyšlo veľmi, veľmi
Veselý Divný.

II. Oznámenie témy vyučovacej hodiny.

Dnes si v lekcii urobíme výlet po meste Geometry a navštívime mikrodištrikt Triangles (to znamená, že sa zoznámime s rôznymi typmi trojuholníkov v závislosti od ich uhlov, naučíme sa tieto trojuholníky nájsť na výkresoch.) Uskutočníme lekciu vo forme „súťažnej hry“ tímov.

1 tím - „Segment“.

2 tím - "Ray".

Tím 3 - "Roh".

A hostia budú zastupovať porotu.

Porota nás bude sprevádzať

A neodíde bez pozornosti. (Hodnotiť bodmi 5,4,3,...).

A na čom budeme cestovať po meste Geometry? Pamätajte si, aké druhy osobnej dopravy sú v meste? Je nás toľko, koho si vyberieme? (Autobus).

Autobus. Jasné, krátko. Začína sa nástup.

Urobme si pohodlie a začnime našu cestu. Kapitáni tímov dostanú lístky.

Ale tieto lístky nie sú jednoduché a lístky sú „úlohy“.

III. Opakovanie preberanej látky.

Prvá zastávka"Opakovať."

Otázka pre všetky tímy.

Nájdite na výkrese priamku a pomenujte jej vlastnosti.

Bez konca a okraja je čiara rovná!
Prejde najmenej sto rokov,
Koniec cesty nenájdeš!

• Priamka nemá začiatok ani koniec – je nekonečná, preto sa nedá zmerať.

Začnime našu súťaž.

Ochrana názvov vašich tímov.

(Všetky tímy si prečítajú prvé otázky a diskutujú. Kapitáni tímov prečítajú otázky, 1 tím číta 1 otázku).

1. Ukážte segment na výkrese. Čo sa nazýva rez. Pomenujte jeho vlastnosti.

• Časť priamky ohraničená dvoma bodmi sa nazýva úsečka. Úsečka má začiatok a koniec, takže ju možno merať pomocou pravítka.

(Tím 2 číta 1 otázku).

1. Ukážte trám na výkrese. Čo sa nazýva lúč. Pomenujte jeho vlastnosti.

• Ak označíte bod a nakreslíte z neho časť priamky, získate obraz lúča. Bod, z ktorého je nakreslená časť priamky, sa nazýva začiatok lúča.

Lúč nemá koniec, takže sa nedá zmerať.

(Tím 3 číta 1 otázku).

1. Ukážte uhol na výkrese. Čo sa nazýva uhol. Pomenujte jeho vlastnosti.

• Nakreslením dvoch lúčov z jedného bodu sa získa geometrický útvar, ktorý sa nazýva uhol. Uhol má vrchol a samotné lúče sa nazývajú strany uhla. Uhly sa merajú v stupňoch pomocou uhlomeru.

Fizkultminutka (na hudbu).

IV. Príprava na štúdium nového materiálu.

Druhá zastávka"Úžasné".

Na prechádzke sa ceruzka stretla s rôznymi uhlami pohľadu. Chcel som ich pozdraviť, ale zabudol som meno každého z nich. Pomôcť bude musieť ceruzka.

(Uhly štúdie sa kontrolujú pomocou modelu pravého uhla).

Priradenie do tímov. Prečítajte si otázky #2 a diskutujte.

Tím 1 číta otázku 2.

2. Nájdite pravý uhol, uveďte definíciu.

• Uhol 90° sa nazýva pravý uhol.

Tím 2 číta otázku 2.

2. Nájdite ostrý uhol, uveďte definíciu.

• Uhol menší ako pravý sa nazýva ostrý uhol.

Tím 3 číta otázku 2.

2. Nájdite tupý uhol, uveďte definíciu.

Uhol väčší ako pravý sa nazýva tupý.

V mikroštvrti, kde sa Pencil rád prechádzal, sa všetky kúty líšili od ostatných obyvateľov tým, že sme vždy chodili všetci traja, pili spolu čaj, chodili spolu do kina. A ceruzka nedokázala pochopiť, aký druh geometrického útvaru tvoria tri uhly dohromady?

Báseň vám napovie.

Ty na mňa, ty na neho
Pozrite sa na nás všetkých.
Máme všetko, máme všetko
Máme len tri!

O akom tvare sa hovorí?

• O trojuholníku.

Aký tvar sa nazýva trojuholník?

• Trojuholník je geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy, tri uhly a tri strany.

(Žiaci ukážu na výkrese trojuholník, pomenujú vrcholy, uhly a strany).

Vrcholy: A, B, C (body)

Uhly: BAC, ABC, BCA.

Strany: AB, BC, CA (segmenty).

V. Telesná výchova:

dupni nohou 8-krát,
Zatlieskajte rukami 9-krát
budeme drepovať 10 krát,
a 6-krát sa prehnite
skočíme rovno
toľko (trojuholníkový displej)
Hej, áno, počítaj! Hra a ďalšie!

VI. Učenie sa nového materiálu.

Čoskoro sa kútiky spriatelili a stali sa neoddeliteľnými.

A teraz budeme mikrodištrikt nazývať: mikroobvod Triangles.

Treťou zastávkou je „Znayka“.

Ako sa volajú tieto trojuholníky?

Dajme im mená. A skúsme si definíciu sformulovať sami.

2. Nájdite trojuholníky rôznych typov

1 tím nájde a ukáže tupé trojuholníky.

2 príkaz nájde a zobrazí pravouhlé trojuholníky.

3 príkaz nájde a zobrazí ostré trojuholníky.

VIII. Ďalšou zastávkou je myslenie.

Pridelenie všetkým tímom.

Po posunutí 6 tyčiniek vytvorte z lampáša 4 rovnaké trojuholníky.

Aké uhly sú trojuholníky? (Ostrý uhol).

IX. Zhrnutie lekcie.

Akú štvrť sme navštívili?

Aké typy trojuholníkov poznáte?

Najjednoduchší polygón, ktorý sa študuje v škole, je trojuholník. Pre študentov je zrozumiteľnejšia a stretáva sa s menšími ťažkosťami. Napriek tomu, že existujú rôzne druhy trojuholníky, ktoré majú špeciálne vlastnosti.

Aký tvar sa nazýva trojuholník?

Tvoria ho tri body a úsečky. Prvé sa nazývajú vrcholy, druhé sa nazývajú strany. Okrem toho musia byť všetky tri segmenty spojené tak, aby sa medzi nimi vytvorili rohy. Odtiaľ pochádza názov postavy „trojuholník“.

Rozdiely v názvoch v rohoch

Keďže môžu byť ostré, tupé a rovné, typy trojuholníkov sú určené týmito názvami. Podľa toho existujú tri skupiny takýchto čísel.

• Najprv. Ak sú všetky uhly trojuholníka ostré, potom sa bude nazývať ostrý trojuholník. Všetko je logické.

• Po druhé. Jeden z uhlov je tupý, takže trojuholník je tupý. Jednoduchšie nikde.

• Po tretie. Existuje uhol rovný 90 stupňom, ktorý sa nazýva pravý uhol. Trojuholník sa stáva obdĺžnikovým.

Rozdiely v menách na stranách

V závislosti od vlastností strán sa rozlišujú tieto typy trojuholníkov:

všeobecný prípad je všestranný, v ktorom majú všetky strany ľubovoľnú dĺžku;

rovnoramenné, ktorých dve strany majú rovnaké číselné hodnoty;

rovnostranný, dĺžky všetkých jeho strán sú rovnaké.

Ak úloha nie je špecifikovaná špecifický pohľad trojuholník, potom musíte nakresliť ľubovoľný. V ktorých sú všetky uhly ostré a strany majú rôzne dĺžky.

Vlastnosti spoločné pre všetky trojuholníky

1. Ak spočítate všetky uhly trojuholníka, dostanete číslo rovnajúce sa 180º. A je jedno, o aký druh ide. Toto pravidlo platí vždy.
2. Číselná hodnota ktorejkoľvek strany trojuholníka je menšia ako hodnota ostatných dvoch sčítaných spolu. Navyše je väčší ako ich rozdiel.
3. Každý vonkajší roh má hodnotu, ktorá sa získa pridaním dvoch vnútorných rohov, ktoré s ním nesusedia. Navyše je vždy väčšia ako susedná vnútorná.
4. Najmenšia strana trojuholníka je vždy oproti najmenšiemu uhlu. Naopak, ak je strana veľká, potom bude uhol najväčší.

Tieto vlastnosti sú vždy platné, bez ohľadu na to, aké typy trojuholníkov sa berú do úvahy v úlohách. Všetko ostatné vyplýva zo špecifických vlastností.

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka

• Uhly susediace so základňou sú rovnaké.
• Výška, ktorá je nakreslená k základni, je tiež mediánom a osou.
• Výšky, stredy a osi, ktoré sú postavené na stranách trojuholníka, sú navzájom rovnaké.

Vlastnosti rovnostranného trojuholníka

Ak existuje takýto údaj, potom všetky vlastnosti opísané trochu vyššie budú pravdivé. Pretože rovnostranný bude vždy rovnoramenný. Ale nie naopak, rovnoramenný trojuholník nemusí byť nevyhnutne rovnostranný.

• Všetky jeho uhly sú si navzájom rovné a majú hodnotu 60º.
• Akýkoľvek medián rovnostranného trojuholníka je jeho výška a stred. A všetci sú si navzájom rovní. Na určenie ich hodnôt existuje vzorec, ktorý pozostáva zo súčinu strany a druhej odmocniny z 3 delenej 2.

Vlastnosti pravouhlého trojuholníka

• Dva ostré uhly tvoria spolu 90º.
• Dĺžka prepony je vždy väčšia ako dĺžka ktorejkoľvek z nôh.
• Číselná hodnota mediánu k prepone sa rovná jej polovici.
• Noha sa rovná rovnakej hodnote, ak leží oproti uhlu 30°.
• Výška, ktorá je nakreslená zhora s hodnotou 90º, má určitú matematickú závislosť od nôh: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / v 2. Tu: a, c - nohy, n - výška.

Problémy s rôznymi typmi trojuholníkov

č. 1. Daný rovnoramenný trojuholník. Jeho obvod je známy a rovná sa 90 cm.Je potrebné poznať jeho strany. Ako ďalšia podmienka: bočná strana je 1,2-krát menšia ako základňa.

Hodnota obvodu priamo závisí od veličín, ktoré je potrebné nájsť. Súčet všetkých troch strán dá 90 cm.Teraz si treba zapamätať znamienko trojuholníka, podľa ktorého je rovnoramenný. To znamená, že obe strany sú rovnaké. Môžete vytvoriť rovnicu s dvoma neznámymi: 2a + b \u003d 90. Tu a je strana, b je základňa.

Je čas na dodatočnú podmienku. Potom sa získa druhá rovnica: b \u003d 1,2a. Tento výraz môžete nahradiť prvým. Ukazuje sa: 2a + 1,2a \u003d 90. Po transformáciách: 3,2a \u003d 90. Preto a \u003d 28,125 (cm). Teraz je ľahké zistiť dôvod. Najlepšie je to urobiť od druhej podmienky: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Na kontrolu môžete pridať tri hodnoty: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Dobre.

Odpoveď: strany trojuholníka sú 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

č. 2. Strana rovnostranného trojuholníka je 12 cm.Je potrebné vypočítať jej výšku.

Riešenie. Na hľadanie odpovede sa stačí vrátiť do momentu, kde boli opísané vlastnosti trojuholníka. Toto je vzorec na zistenie výšky, mediánu a osi rovnostranného trojuholníka.

n \u003d a * √3 / 2, kde n je výška, a je strana.

Substitúcia a výpočet dávajú nasledujúci výsledok: n = 6 √3 (cm).

Tento vzorec sa netreba učiť naspamäť. Stačí pripomenúť, že výška rozdeľuje trojuholník na dva pravouhlé. Navyše sa ukáže, že ide o nohu a prepona v nej je strana pôvodnej, druhá noha je polovica známej strany. Teraz si musíte zapísať Pytagorovu vetu a odvodiť vzorec pre výšku.

Odpoveď: výška je 6 √3 cm.

č. 3. Je daný MKR - trojuholník, 90 stupňov, v ktorom zviera uhol K. Strany MP a KR sú známe, sú rovné 30 a 15 cm, musíte zistiť hodnotu uhla P.

Riešenie. Ak urobíte kresbu, je jasné, že MP je prepona. Navyše je dvakrát väčší ako noha CD. Opäť sa treba obrátiť na vlastnosti. Jeden z nich súvisí práve s rohmi. Z toho je zrejmé, že uhol KMR je 30º. Takže požadovaný uhol P bude rovný 60º. Vyplýva to z ďalšej vlastnosti, ktorá uvádza, že súčet dvoch ostré rohy by mal byť 90º.

Odpoveď: uhol R je 60º.

č. 4. Musíte nájsť všetky uhly rovnoramenného trojuholníka. Je o ňom známe, že vonkajší uhol od uhla pri základni je 110º.

Riešenie. Keďže je daný iba vonkajší roh, mal by sa použiť. Tvorí sa s rozvinutým vnútorným uhlom. Súčet teda tvorí 180º. To znamená, že uhol pri základni trojuholníka bude rovný 70º. Keďže je rovnoramenný, druhý uhol má rovnakú hodnotu. Zostáva vypočítať tretí uhol. Podľa vlastnosti spoločnej pre všetky trojuholníky je súčet uhlov 180º. Takže tretí je definovaný ako 180º - 70º - 70º = 40º.

Odpoveď: uhly sú 70º, 70º, 40º.

č. 5. Je známe, že v rovnoramennom trojuholníku je uhol oproti základni 90°. Na základni je vyznačená bodka. Segment spájajúci ho s pravým uhlom ho rozdeľuje v pomere 1 ku 4. Musíte poznať všetky uhly menšieho trojuholníka.

Riešenie. Jeden z rohov je možné určiť okamžite. Keďže trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný, tie, ktoré ležia na jeho základni, budú mať uhol 45º, teda 90º / 2.

Druhý z nich pomôže nájsť vzťah známy v stave. Keďže sa rovná 1 až 4, potom častí, na ktoré je rozdelený, je len 5. Takže na zistenie menšieho uhla trojuholníka potrebujete 90º / 5 = 18º. Zostáva zistiť tretí. Aby ste to dosiahli, musíte od 180º (súčet všetkých uhlov trojuholníka) odpočítať 45º a 18º. Výpočty sú jednoduché a ukazuje sa: 117º.

Spravidla sa dva trojuholníky považujú za podobné, ak majú rovnaký tvar, aj keď sú rôzne veľké, otočené alebo dokonca obrátene.

Matematické znázornenie dvoch podobných trojuholníkov A 1 B 1 C 1 a A 2 B 2 C 2 znázornených na obrázku je napísané takto:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Dva trojuholníky sú podobné, ak:

1. Každý uhol jedného trojuholníka sa rovná zodpovedajúcemu uhlu iného trojuholníka:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2 A ∠C1 = ∠C2

2. Pomery strán jedného trojuholníka k zodpovedajúcim stranám iného trojuholníka sú navzájom rovnaké:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Vzťahy dve strany jedného trojuholníka k zodpovedajúcim stranám iného trojuholníka sú si navzájom rovné a súčasne
uhly medzi týmito stranami sú rovnaké:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ a $\uhol A_1 = \uhol A_2$
alebo
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ a $\uhol B_1 = \uhol B_2$
alebo
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ a $\uhol C_1 = \uhol C_2$

Podobné trojuholníky by sa nemali zamieňať s rovnakými trojuholníkmi. Zhodné trojuholníky majú zodpovedajúce dĺžky strán. Takže pre rovnaké trojuholníky:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Z toho vyplýva, že všetky rovnaké trojuholníky sú podobné. Nie všetky podobné trojuholníky sú však rovnaké.

Hoci vyššie uvedený zápis ukazuje, že na to, aby sme zistili, či sú dva trojuholníky podobné alebo nie, musíme poznať hodnoty troch uhlov alebo dĺžky troch strán každého trojuholníka, na vyriešenie problémov s podobnými trojuholníkmi stačí poznať akékoľvek tri vyššie uvedené hodnoty pre každý trojuholník. Tieto hodnoty môžu byť v rôznych kombináciách:

1) tri uhly každého trojuholníka (dĺžky strán trojuholníkov nemusia byť známe).

Alebo aspoň 2 uhly jedného trojuholníka sa musia rovnať 2 uhlom iného trojuholníka.
Pretože ak sú 2 uhly rovnaké, bude rovnaký aj tretí uhol. (Hodnota tretieho uhla je 180 - uhol1 - uhol2)

2) dĺžky strán každého trojuholníka (netreba poznať uhly);

3) dĺžky dvoch strán a uhol medzi nimi.

Ďalej uvažujeme o riešení niektorých problémov s podobnými trojuholníkmi. Najprv sa pozrieme na problémy, ktoré možno vyriešiť priamym použitím vyššie uvedených pravidiel, a potom si niektoré rozoberieme praktické úlohy, ktoré sú riešené metódou podobných trojuholníkov.

Praktické úlohy s podobnými trojuholníkmi

Príklad č. 1: Ukážte, že dva trojuholníky na obrázku nižšie sú podobné.

Riešenie:
Keďže dĺžky strán oboch trojuholníkov sú známe, možno tu použiť druhé pravidlo:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC)=\frac(15)(5)=3$

Príklad č. 2: Ukážte, že dva dané trojuholníky sú podobné a nájdite dĺžky strán PQ A PR.

Riešenie:
∠A = ∠P A ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(pretože ∠C = 180 - ∠A - ∠B a ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Z toho vyplýva, že trojuholníky ∆ABC a ∆PQR sú podobné. Preto:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Šípka doprava PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ a
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Pravá šípka PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Príklad č. 3: Určte dĺžku AB v tomto trojuholníku.

Riešenie:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED A ∠A spoločné => trojuholníky ΔABC A ΔADE sú podobné.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \šípka doprava 2\krát AB = AB + 4 \šípka doprava AB = 4$

Príklad č. 4: Určite dĺžku AD(x) geometrický obrazec na obrázku.

Trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné, pretože AB || DE a majú spoločný horný roh C.
Vidíme, že jeden trojuholník je zmenšenou verziou druhého. Musíme to však dokázať matematicky.

AB || DE, CD || AC a BC || EÚ
∠BAC = ∠EDC a ∠ABC = ∠DEC

Na základe vyššie uvedeného a pri zohľadnení prítomnosti spoločného uhla C, môžeme konštatovať, že trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné.

Preto:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Šípka doprava CA = \frac(15 \times 11)(7) = 23,57 $
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktické príklady

Príklad č. 5: Továreň používa naklonený dopravný pás na prepravu produktov z úrovne 1 do úrovne 2, čo je 3 metre nad úrovňou 1, ako je znázornené na obrázku. Šikmý dopravník sa obsluhuje z jedného konca na úroveň 1 az druhého konca na pracovisko umiestnené vo vzdialenosti 8 metrov od prevádzkového bodu úrovne 1.

Továreň chce vylepšiť dopravník, aby sa dostal na novú úroveň, ktorá je 9 metrov nad úrovňou 1, pri zachovaní uhla dopravníka.

Určite vzdialenosť, na ktorú potrebujete nastaviť novú pracovnú stanicu, aby ste umožnili prevádzku dopravníka na svojom novom konci na úrovni 2. Vypočítajte tiež dodatočnú vzdialenosť, ktorú produkt prejde, keď sa presunie na novú úroveň.

Riešenie:

Najprv označme každý priesečník konkrétnym písmenom, ako je znázornené na obrázku.

Na základe úvah uvedených vyššie v predchádzajúcich príkladoch môžeme konštatovať, že trojuholníky ∆ABC a ∆ADE sú podobné. teda

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Šípka doprava AB = \frac(8 \krát 9)(3) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Preto musí byť nový bod inštalovaný vo vzdialenosti 16 metrov od existujúceho bodu.

A keďže sa štruktúra skladá z pravouhlých trojuholníkov, môžeme vypočítať vzdialenosť produktu takto:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Podobne $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
čo je vzdialenosť, ktorú produkt prejde v momente, keď dosiahne existujúcu úroveň.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Toto je ďalšia vzdialenosť, ktorú musí produkt prejsť, aby dosiahol novú úroveň.

Príklad č. 6: Steve chce navštíviť svojho priateľa, ktorý sa nedávno presťahoval nový dom. Cestná mapa, ako sa dostať do domu Steva a jeho priateľa, spolu so vzdialenosťami, ktoré Steve pozná, je zobrazená na obrázku. Pomôž Stevovi dostať sa do domu jeho priateľa najkratšou cestou.

Riešenie:

Cestovnú mapu možno znázorniť geometricky v nasledujúcej forme, ako je znázornené na obrázku.

Vidíme, že trojuholníky ∆ABC a ∆CDE sú podobné, preto:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Vo vyhlásení o úlohe sa uvádza, že:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km a DE = 5 km

Pomocou týchto informácií môžeme vypočítať nasledujúce vzdialenosti:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \krát CD)(BC) = \frac(13,13 \krát 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve sa môže dostať do domu svojho priateľa pomocou nasledujúcich trás:

A -> B -> C -> E -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, celková vzdialenosť je 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Preto je cesta č. 3 najkratšia a môže byť ponúknutá Stevovi.

Príklad 7:
Trisha chce zmerať výšku domu, no nemá vhodné nástroje. Všimla si, že pred domom rastie strom a rozhodla sa využiť svoju vynaliezavosť a znalosti z geometrie získané v škole na určenie výšky budovy. Zmerala vzdialenosť od stromu k domu, výsledok bol 30 m. Potom sa postavila pred strom a začala cúvať až do r. horný okraj budovy boli viditeľné nad vrcholom stromu. Trisha označila miesto a zmerala vzdialenosť od neho k stromu. Táto vzdialenosť bola 5 m.

Výška stromu je 2,8 m a výška Trishiných očí je 1,6 m. Pomôžte Trishe určiť výšku budovy.

Riešenie:

Geometrické znázornenie problému je znázornené na obrázku.

Najprv použijeme podobnosť trojuholníkov ∆ABC a ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1,6)(2,8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Šípka doprava 2,8 \krát AC = 1,6 \krát (5 + AC) = 8 + 1,6 \krát AC$

$(2,8 – 1,6) \krát AC = 8 \Šípka doprava AC = \frac(8)(1,2) = 6,67 $

Potom môžeme použiť trojuholníkovú podobnosť ΔACB a ΔAFG alebo ΔADE a ΔAFG. Vyberme si prvú možnosť.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \Vpravo H = \frac(1,6)(0,16) = 10 m$