Keď začnú hovoriť o priemerných hodnotách, najčastejšie si pamätajú, ako absolvovali školu a vstúpili do vzdelávacej inštitúcie. Potom sa podľa vysvedčenia vypočítalo priemerné skóre: všetky známky (dobré aj nie veľmi dobré) sa spočítali, výsledná suma sa vydelila ich počtom. Takto sa vypočíta najjednoduchší typ priemeru, ktorý sa nazýva jednoduchý aritmetický priemer. V praxi sa používa štatistika rôzne druhy priemery: aritmetické, harmonické, geometrické, kvadratické, štruktúrne priemery. Používa sa jeden alebo druhý ich typ v závislosti od povahy údajov a cieľov štúdie.

priemerná hodnota je najbežnejším štatistickým ukazovateľom, pomocou ktorého je daná zovšeobecňujúca charakteristika súhrnu toho istého typu javov podľa jedného z rôznych znakov. Zobrazuje úroveň atribútu na jednotku populácie. Pomocou priemerných hodnôt sa porovnávajú rôzne agregáty podľa rôznych charakteristík a študujú sa zákonitosti vývoja javov a procesov spoločenského života.

V štatistike sa používajú dve triedy priemerov: mocenské (analytické) a štrukturálne. Posledne menované sa používajú na charakterizáciu štruktúry variačných radov a budú diskutované ďalej v kap. 8.

Do skupiny mocninových prostriedkov patria aritmetické, harmonické, geometrické, kvadratické. Jednotlivé vzorce na ich výpočet je možné zredukovať do podoby spoločnej pre všetky výkonové priemery, a to

kde m je exponent mocninového priemeru: s m = 1 dostaneme vzorec na výpočet aritmetického priemeru, kde m = 0 - geometrický priemer, m = -1 - harmonický priemer, s m = 2 - stredná kvadratická hodnota ;

x i - možnosti (hodnoty, ktoré atribút nadobúda);

fi - frekvencie.

Hlavnou podmienkou použitia mocenských prostriedkov v štatistickej analýze je homogenita populácie, ktorá by nemala obsahovať počiatočné údaje, ktoré sa výrazne líšia svojou kvantitatívnou hodnotou (v literatúre sa nazývajú anomálne pozorovania).

Ukážme dôležitosť tejto podmienky na nasledujúcom príklade.

Príklad 6.1. Vypočítajte priemer mzdy zamestnanci malých podnikov.

Tabuľka 6.1. Mzdy zamestnancov

č. p / p	Plat, rub.	č. p / p	Plat, rub.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Na výpočet priemernej mzdy je potrebné spočítať mzdy všetkých zamestnancov podniku (t.j. nájsť mzdový fond) a vydeliť počtom zamestnancov:

A teraz pridajme k našej totalite iba jednu osobu (riaditeľa tohto podniku), ale s platom 50 000 rubľov. V tomto prípade bude vypočítaný priemer úplne odlišný:

Ako vidíte, presahuje 7 000 rubľov atď. je väčšia ako všetky hodnoty funkcie, s výnimkou jedného pozorovania.

Aby k takýmto prípadom v praxi nedochádzalo a priemer by nestratil zmysel (v príklade 6.1 už nehrá rolu zovšeobecňujúcej charakteristiky populácie, ktorou by mal byť), pri výpočte priemeru, anomálny, napr. odľahlé pozorovania by sa mali buď vylúčiť z analýzy a potom urobiť populáciu homogénnou, alebo rozdeliť populáciu do homogénnych skupín a vypočítať priemerné hodnoty pre každú skupinu a analyzovať nie celkový priemer, ale priemery skupiny.

6.1. Aritmetický priemer a jeho vlastnosti

Aritmetický priemer sa vypočíta buď ako jednoduchá hodnota, alebo ako vážená hodnota.

Pri výpočte priemernej mzdy podľa tabuľky príkladu 6.1 sme spočítali všetky hodnoty atribútu a vydelili ich číslom. Priebeh našich výpočtov zapisujeme vo forme vzorca pre aritmetický priemer jednoduchého

kde x i - možnosti (jednotlivé hodnoty prvku);

n je počet jednotiek v populácii.

Príklad 6.2. Teraz zoskupme naše údaje z tabuľky v príklade 6.1 atď. zostrojme si diskrétny variačný rad rozdelenia pracovníkov podľa výšky miezd. Výsledky zoskupenia sú uvedené v tabuľke.

Výraz pre výpočet úrovne priemernej mzdy napíšme v kompaktnejšej podobe:

V príklade 6.2 sa použil vzorec váženého aritmetického priemeru

kde f i - frekvencie ukazujúce, koľkokrát sa hodnota znaku x i y vyskytuje v jednotkách populácie.

Výpočet aritmetického váženého priemeru sa pohodlne vykoná v tabuľke, ako je uvedené nižšie (tabuľka 6.3):

Tabuľka 6.3. Výpočet aritmetického priemeru v diskrétnom rade

Počiatočné údaje	Odhadovaný ukazovateľ
plat, rub.	počet zamestnancov, ľudí	mzdový fond, rub.
x i	fi	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Celkom	20	132 080

Treba poznamenať, že jednoduchý aritmetický priemer sa používa v prípadoch, keď údaje nie sú zoskupené alebo zoskupené, ale všetky frekvencie sú si navzájom rovné.

Výsledky pozorovania sú často prezentované ako intervalové distribučné série (pozri tabuľku v príklade 6.4). Potom sa pri výpočte priemeru stredy intervalov berú ako x i. Ak sú prvý a posledný interval otvorené (nemajú jednu z hraníc), potom sú podmienečne „uzavreté“, pričom hodnotu priľahlého intervalu považujú za hodnoty daného intervalu atď. prvý je uzavretý na základe hodnoty druhého a posledný - na základe hodnoty predposledného.

Príklad 6.3. Na základe výsledkov výberového prieskumu jednej zo skupín obyvateľstva vypočítame veľkosť priemerného peňažného príjmu na obyvateľa.

Vo vyššie uvedenej tabuľke je stred prvého intervalu 500. Hodnota druhého intervalu je skutočne 1000 (2000-1000); potom je spodná hranica prvého 0 (1000-1000) a jeho stred je 500. To isté urobíme s posledným intervalom. Za jeho stred berieme 25 000: hodnota predposledného intervalu je 10 000 (20 000 – 10 000), jeho horná hranica je potom 30 000 (20 000 + 10 000) a stred je 25 000.

Tabuľka 6.4. Výpočet aritmetického priemeru v intervalovom rade

Priemerný peňažný príjem na obyvateľa, rub. za mesiac	Celkový počet obyvateľov, % f i	Stredy intervalov x i	x i f i
Až 1 000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 a viac	10,4	25 000	260 000
Celkom	100,0	-	892 850

Potom bude priemerný mesačný príjem na obyvateľa

Teraz si pohovorme o ako počítať priemerná hodnota .
Vo svojej klasickej podobe nám všeobecná teória štatistiky ponúka jednu verziu pravidiel pre výber priemernej hodnoty.
Najprv musíte urobiť správny logický vzorec na výpočet priemernej hodnoty (LFS). Pre každú priemernú hodnotu existuje vždy len jeden logický vzorec na jej výpočet, takže tu sa ťažko môžeme pomýliť. Vždy si však musíte pamätať, že v čitateli (to je to, čo je na vrchu zlomku) je súčet všetkých javov a v menovateli (to, čo je na konci zlomku) Celkom prvkov.

Po zostavení logického vzorca môžete použiť pravidlá (pre ľahšie pochopenie ich zjednodušíme a zredukujeme):
1. Ak je menovateľ logického vzorca uvedený v počiatočných údajoch (určených frekvenciou), potom sa výpočet vykoná podľa vzorca váženého aritmetického priemeru.
2. Ak je v počiatočných údajoch uvedený čitateľ logického vzorca, potom sa výpočet vykoná podľa vzorca harmonického váženého priemeru.
3. Ak je v úlohe súčasne čitateľ aj menovateľ logického vzorca (toto sa stáva len zriedka), výpočet sa vykoná pomocou tohto vzorca alebo pomocou jednoduchého vzorca aritmetického priemeru.
Toto je klasická myšlienka výberu správneho vzorca na výpočet priemernej hodnoty. Ďalej uvádzame postupnosť akcií pri riešení problémov na výpočet priemernej hodnoty.

Algoritmus na riešenie problémov na výpočet priemernej hodnoty

A. Určite metódu výpočtu priemernej hodnoty - jednoduché alebo vážené . Ak sú údaje prezentované v tabuľke, potom použijeme váženú metódu, ak sú údaje prezentované jednoduchým enumeráciou, potom použijeme jednoduchú metódu výpočtu.

B. Definujte alebo usporiadajte dohovorov – X - možnosť, f – frekvencia . Variant je jav, pre ktorý chcete zistiť priemernú hodnotu. Zvyšok údajov v tabuľke bude frekvencia.

B. Určíme formu na výpočet priemernej hodnoty - aritmetický alebo harmonický . Definícia sa vykonáva v stĺpci frekvencie. Aritmetický tvar sa používa, ak sú frekvencie dané explicitným číslom (podmienečne ich môžete nahradiť slovom kusy, počet prvkov "kusy"). Harmonická forma sa používa, ak frekvencie nie sú dané explicitným číslom, ale komplexným ukazovateľom (súčin priemernej hodnoty a frekvencie).

Najťažšie je uhádnuť, kde a koľko sa dáva, najmä pre študenta, ktorý je v takýchto veciach neskúsený. V takejto situácii môžete použiť jednu z nasledujúcich metód. Pre niektoré úlohy (ekonomické) je vhodný výrok vypracovaný rokmi praxe (bod B.1). V iných situáciách budete musieť použiť odsek B.2.

C.1 Ak je frekvencia nastavená v peňažných jednotkách (v rubľoch), potom sa na výpočet používa harmonický priemer, takéto tvrdenie je vždy pravdivé, ak je zistená frekvencia nastavená v peniazoch, v iných situáciách toto pravidlo neplatí.

B.2 Použite pravidlá pre výber priemernej hodnoty uvedené vyššie v tomto článku. Ak je frekvencia daná menovateľom logického vzorca na výpočet priemernej hodnoty, počítame podľa tvaru aritmetického priemeru, ak je frekvencia daná čitateľom logického vzorca na výpočet priemernej hodnoty, počítame podľa tvaru harmonický stredný tvar.

Zvážte príklady použitia tohto algoritmu.

Odpoveď: Keďže údaje sú uvedené v rade, používame jednoduchú metódu výpočtu.

B. V. Máme len údaje o výške dôchodkov a tie budú našou verziou – x. Údaje sú prezentované ako jednoduché číslo (12 osôb), na výpočet používame jednoduchý aritmetický priemer.

Priemerný dôchodok dôchodcu je 9208,3 rubľov.

B. Keďže je potrebné zistiť priemernú výšku platby na dieťa, možnosti sú v prvom stĺpci, tam dáme označenie x, druhý stĺpec sa automaticky stáva frekvenciou f.

C. Frekvencia (počet detí) je daná jednoznačným číslom (môžete nahradiť slovné časti detí, z pohľadu ruského jazyka je fráza nesprávna, ale v skutočnosti je veľmi vhodné kontrola), čo znamená, že na výpočet sa použije aritmetický vážený priemer.

Je módne vyriešiť ten istý problém nie vzorovým spôsobom, ale tabuľkovo, to znamená zadať všetky údaje medzivýpočtov do tabuľky.

Výsledkom je, že všetko, čo teraz musíte urobiť, je oddeliť dva súčty v správnom poradí.

Priemerná platba na dieťa za mesiac bola 1 910 rubľov.

A. Keďže údaje sú uvedené v tabuľke, na výpočet používame váženú formu.

B. Frekvencia (náklady na výstup) je nastavená implicitnou veličinou (frekvencia je nastavená v rubľov Položka algoritmu B1), čo znamená, že na výpočet sa použije harmonický vážený priemer. Vo všeobecnosti sú výrobné náklady v skutočnosti komplexným ukazovateľom, ktorý sa získa vynásobením nákladov na jednotku výrobku počtom takýchto výrobkov, čo je podstatou priemernej harmonickej hodnoty.

Aby sa tento problém vyriešil pomocou vzorca aritmetického priemeru, je potrebné, aby namiesto výrobných nákladov existoval počet výrobkov s príslušnými nákladmi.

Upozorňujeme, že suma v menovateli získaná po výpočtoch 410 (120 + 80 + 210) je celkový počet vyrobených produktov.

Priemerné jednotkové náklady na výrobok boli 314,4 rubľov.

A. Keďže údaje sú uvedené v tabuľke, na výpočet používame váženú formu.

B. Keďže je potrebné zistiť priemerné jednotkové náklady, možnosti sú v prvom stĺpci, tam dáme označenie x, druhý stĺpec sa automaticky stáva frekvenciou f.

B. Frekvencia (celkový počet medzier) je daná implicitným číslom (je súčinom dvoch ukazovateľov počtu medzier a počtu žiakov s takýmto počtom medzier), čo znamená, že harmonický vážený priemer je použité na výpočet. Použijeme bod algoritmu B2.

Aby sa tento problém dal vyriešiť pomocou vzorca aritmetického priemeru, je potrebné, aby namiesto celkový počet preukazov bol počet študentov.

Zostavíme logický vzorec na výpočet priemerného počtu absolvovaných študentov.

Frekvencia podľa stavu problému Celkový počet prechodov. V logickom vzorci je tento ukazovateľ v čitateli, čo znamená, že používame vzorec harmonického priemeru.

Upozorňujeme, že súčet v menovateli po výpočte 31 (18+8+5) je celkový počet študentov.

Priemerný počet absencií na študenta je 13,8 dňa.

Téma aritmetický a geometrický priemer je zaradená do matematického programu pre 6. – 7. ročník. Keďže je odsek celkom jednoduchý na pochopenie, rýchlo sa míňa a do konca školského roka ho žiaci zabudnú. Na to sú však potrebné znalosti základných štatistík absolvovanie skúšky, ako aj pre medzinárodné skúšky SAT. Áno a pre Každodenný život rozvinuté analytické myslenie nikdy neuškodí.

Ako vypočítať aritmetický a geometrický priemer čísel

Predpokladajme, že existuje séria čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický priemer je súčet všetkých čísel vydelený počtom daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 11, 4, 3 bude odpoveď 6. Ako sa získa 6?

Riešenie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Menovateľ musí obsahovať číslo, ktoré sa rovná počtu čísel, ktorých priemer sa má nájsť. Súčet je deliteľný 3, keďže existujú tri členy.

Teraz sa musíme zaoberať geometrickým priemerom. Povedzme, že existuje séria čísel: 4, 2 a 8.

Geometrický priemer je súčin všetkých daných čísel, ktorý je pod odmocninou so stupňom rovným počtu daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 4, 2 a 8 je odpoveď 4. Tu je návod, ako sa to stalo :

Riešenie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

V oboch možnostiach boli získané celé odpovede, pretože ako príklad boli brané špeciálne čísla. Nie vždy je to tak. Vo väčšine prípadov musí byť odpoveď zaokrúhlená alebo ponechaná pri koreni. Napríklad pre čísla 11, 7 a 20 je aritmetický priemer ≈ 12,67 a geometrický priemer je ∛1540. A pre čísla 6 a 5 budú odpovede 5,5 a √30.

Môže sa stať, že sa aritmetický priemer rovná geometrickému priemeru?

Samozrejme, že môže. Ale len v dvoch prípadoch. Ak existuje séria čísel pozostávajúca iba z jednotiek alebo núl. Je tiež pozoruhodné, že odpoveď nezávisí od ich počtu.

Dôkaz s jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický priemer).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický priemer).

Dôkaz s nulami: (0 + 0) / 2 = 0 (aritmetický priemer).

√(0 × 0) = 0 (geometrický priemer).

Iná možnosť nie je a ani nemôže byť.

Tento výraz má iné významy, pozri priemerný význam.

Priemerná(v matematike a štatistike) množiny čísel - súčet všetkých čísel delený ich počtom. Je to jedna z najbežnejších mier centrálnej tendencie.

Navrhli ho (spolu s geometrickým priemerom a harmonickým priemerom) pytagorejci.

Špeciálnymi prípadmi aritmetického priemeru sú priemer (všeobecnej populácie) a výberový priemer (vzoriek).

Úvod

Označte súbor údajov X = (X 1 , X 2 , …, X n), potom sa priemerná hodnota vzorky zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad premennou (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , vyslovuje sa „ X s pomlčkou“).

Grécke písmeno μ sa používa na označenie aritmetického priemeru celej populácie. Pre náhodnú premennú, pre ktorú je definovaná stredná hodnota, je μ pravdepodobnostný priemer alebo matematické očakávanie náhodnej premennej. Ak súprava X je súbor náhodných čísel s priemerom pravdepodobnosti μ, potom pre ľubovoľnú vzorku X i z tejto kolekcie μ = E( X i) je očakávanie tejto vzorky.

V praxi je rozdiel medzi μ a x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) v tom, že μ je typická premenná, pretože môžete vidieť vzorku a nie celú populáciu. Preto, ak je vzorka reprezentovaná náhodne (z hľadiska teórie pravdepodobnosti), potom x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ale nie μ) možno považovať za náhodnú premennú s rozdelením pravdepodobnosti na vzorke ( pravdepodobnostné rozdelenie priemeru).

Obe tieto množstvá sa vypočítajú rovnakým spôsobom:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ak X je náhodná premenná, potom matematické očakávanie X možno považovať za aritmetický priemer hodnôt pri opakovaných meraniach veličiny X. Toto je prejav zákona veľké čísla. Preto sa na odhad neznámeho matematického očakávania používa výberový priemer.

V elementárnej algebre je dokázané, že stred n+ 1 číslo nad priemerom nčísla vtedy a len vtedy, ak je nové číslo väčšie ako starý priemer, menšie vtedy a len vtedy, ak je nové číslo menšie ako priemer, a nemení sa vtedy a len vtedy, ak sa nové číslo rovná priemeru. Viac n, čím menší je rozdiel medzi novým a starým priemerom.

Všimnite si, že je k dispozícii niekoľko ďalších „priemerov“ vrátane mocninového priemeru, Kolmogorovovho priemeru, harmonického priemeru, aritmeticko-geometrického priemeru a rôznych vážených priemerov (napr. aritmeticky vážený priemer, geometricky vážený priemer, harmonický vážený priemer) .

Príklady

• Pre tri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Pre štyri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Alebo jednoduchšie 5+5=10, 10:2. Pretože sme pridali 2 čísla, čo znamená, že koľko čísel sčítame, toľko vydelíme.

Spojitá náhodná premenná

Pre spojito rozloženú hodnotu f (x) (\displaystyle f(x)) je aritmetický priemer na intervale [ a ; b ] (\displaystyle ) je definovaný prostredníctvom určitého integrálu:

F (x) - [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Niektoré problémy pri používaní priemeru

Nedostatok robustnosti

Hlavný článok: Robustnosť v štatistike

Aj keď sa aritmetický priemer často používa ako priemer alebo centrálne trendy, tento koncept sa nevzťahuje na robustnú štatistiku, čo znamená, že aritmetický priemer je výrazne ovplyvnený „veľkými odchýlkami“. Je pozoruhodné, že pre distribúcie s veľkou šikmosťou nemusí aritmetický priemer zodpovedať pojmu „priemer“ a hodnoty priemeru z robustných štatistík (napríklad medián) môžu lepšie popisovať centrálny trend.

Klasickým príkladom je výpočet priemerného príjmu. Aritmetický priemer môže byť nesprávne interpretovaný ako medián, čo môže viesť k záveru, že existuje viac ľudí s vyšším príjmom, ako v skutočnosti je. „Priemerný“ príjem sa interpretuje tak, že príjmy väčšiny ľudí sa k tomuto číslu približujú. Tento „priemerný“ (v zmysle aritmetického priemeru) príjem je vyšší ako príjem väčšiny ľudí, keďže vysoký príjem s veľkou odchýlkou ​​od priemeru výrazne skresľuje aritmetický priemer (naproti tomu medián príjmu „vzdoruje“ taká šikmosť). Tento „priemerný“ príjem však nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti mediánu príjmu (a nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti modálneho príjmu). Ak sa však pojmy „priemer“ a „väčšina“ vezmú na ľahkú váhu, potom možno nesprávne vyvodiť záver, že väčšina ľudí má príjmy vyššie, ako v skutočnosti sú. Napríklad správa o „priemernom“ čistom príjme v Medine vo Washingtone, vypočítanom ako aritmetický priemer všetkých ročných čistých príjmov obyvateľov, poskytne prekvapivo vysoké číslo kvôli Billovi Gatesovi. Zvážte vzorku (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetický priemer je 3,17, ale päť zo šiestich hodnôt je pod týmto priemerom.

Zložené úročenie

Hlavný článok: ROI

Ak čísla množiť, ale nie zložiť, musíte použiť geometrický priemer, nie aritmetický priemer. Najčastejšie sa tento incident stáva pri výpočte návratnosti investície do financií.

Napríklad, ak akcie klesli o 10 % v prvom roku a vzrástli o 30 % v druhom roku, potom je nesprávne vypočítať „priemerný“ nárast za tieto dva roky ako aritmetický priemer (-10 % + 30 %) / 2 = 10 %; správny priemer je v tomto prípade daný zloženou ročnou mierou rastu, z ktorej je ročný rast len ​​cca 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Dôvodom je, že percentá majú zakaždým nový počiatočný bod: 30 % je 30 % z čísla menšieho ako bola cena na začiatku prvého roka: ak akcia začínala na 30 dolároch a klesla o 10 %, na začiatku druhého roka má hodnotu 27 dolárov. Ak akcie vzrástli o 30 %, na konci druhého roka majú hodnotu 35,1 USD. Aritmetický priemer tohto rastu je 10 %, ale keďže akcie vzrástli len o 5,1 USD za 2 roky, priemerný nárast o 8,2 % dáva konečný výsledok 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ak použijeme priemer rovnakým spôsobom aritmetická hodnota 10 %, nedostaneme skutočnú hodnotu: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Zložený úrok na konci roka 2: 90 % * 130 % = 117 % , t. j. celkový nárast o 17 % a priemerný ročný zložený úrok je 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \cca 108,2\%), čo znamená priemerný ročný nárast o 8,2%.

Inštrukcie

Hlavný článok: Štatistiky destinácií

Pri výpočte aritmetického priemeru nejakej premennej, ktorá sa cyklicky mení (napríklad fáza alebo uhol), je potrebné venovať osobitnú pozornosť. Napríklad priemer 1° a 359° by bol 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Toto číslo je nesprávne z dvoch dôvodov.

• Po prvé, uhlové miery sú definované len pre rozsah od 0° do 360° (alebo od 0 do 2π, keď sa meria v radiánoch). Rovnaký pár čísel teda možno zapísať ako (1° a -1°) alebo ako (1° a 719°). Priemery každého páru sa budú líšiť: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Po druhé, v tomto prípade by hodnota 0° (ekvivalent 360°) bola geometricky najlepším priemerom, pretože čísla sa od 0° odchyľujú menej ako od akejkoľvek inej hodnoty (hodnota 0° má najmenší rozptyl). Porovnaj:
  • číslo 1° sa líši od 0° len o 1°;
  • číslo 1° sa od vypočítaného priemeru 180° odchyľuje o 179°.

Priemerná hodnota pre cyklickú premennú vypočítaná podľa vyššie uvedeného vzorca bude umelo posunutá vzhľadom na skutočný priemer do stredu číselného rozsahu. Z tohto dôvodu sa priemer vypočítava iným spôsobom, konkrétne číslo s najmenším rozptylom sa vyberie ako priemerná hodnota ( centrálny bod). Tiež namiesto odčítania sa používa modulo vzdialenosť (t.j. obvodová vzdialenosť). Napríklad modulárna vzdialenosť medzi 1° a 359° je 2°, nie 358° (na kruhu medzi 359° a 360°==0° - jeden stupeň, medzi 0° a 1° - tiež 1°, celkovo -2 °).

4.3. Priemerné hodnoty. Podstata a význam priemerov

Priemerná hodnota v štatistike sa nazýva zovšeobecňujúci ukazovateľ charakterizujúci typickú úroveň javu v špecifických podmienkach miesta a času, odrážajúci veľkosť rôzneho atribútu na jednotku kvalitatívne homogénnej populácie. V hospodárskej praxi sa používa široká škála ukazovateľov počítaných ako priemery.

Napríklad zovšeobecňujúci ukazovateľ príjmu pracujúcich akciová spoločnosť(AK) je priemerný príjem jedného pracovníka určený pomerom mzdového fondu a sociálnych odvodov za sledované obdobie (rok, štvrťrok, mesiac) k počtu pracovníkov v as.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemerný ukazovateľ odráža všeobecný, ktorý je typický (typický) pre všetky jednotky skúmanej populácie, pričom zároveň ignoruje rozdiely medzi jednotlivými jednotkami. V každom fenoméne a jeho vývoji existuje kombinácia šancu A potrebu. Pri výpočte priemerov sa v dôsledku fungovania zákona veľkých čísel náhodnosť navzájom ruší, vyrovnáva, preto je možné abstrahovať od nepodstatných čŕt javu, od kvantitatívnych hodnôt atribútu v každom konkrétnom prípad. V schopnosti abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt, kolísaní spočíva vedecká hodnota priemerov ako sumarizovanie agregátne charakteristiky.

Tam, kde je potrebné zovšeobecnenie, vedie výpočet takýchto charakteristík k nahradeniu mnohých rôznych individuálnych hodnôt atribútu stredná ukazovateľ, ktorý charakterizuje súhrn javov, ktorý umožňuje identifikovať vzorce vlastné masovým spoločenským javom, nepostrehnuteľné v jednotlivých javoch.

Priemer odráža charakteristickú, typickú, reálnu úroveň skúmaných javov, charakterizuje tieto úrovne a ich zmeny v čase a priestore.

Priemer je súhrnná charakteristika zákonitostí procesu v podmienkach, v ktorých prebieha.

4.4. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Výber typu priemeru je určený ekonomickým obsahom určitého ukazovateľa a východiskovými údajmi. V každom prípade sa použije jedna z priemerných hodnôt: aritmetika, garmonické, geometrické, kvadratické, kubické atď. Uvedené priemery patria do triedy moc stredná.

Okrem mocninových priemerov sa v štatistickej praxi používajú štrukturálne priemery, ktoré sa považujú za modus a medián.

Pozrime sa podrobnejšie na mocenské prostriedky.

Aritmetický priemer

Najbežnejším typom priemeru je priemer aritmetika. Používa sa v prípadoch, keď objem premenného atribútu pre celú populáciu je súčtom hodnôt atribútov jeho jednotlivých jednotiek. Sociálne javy sú charakterizované aditivitou (sčítaním) objemov rôzneho atribútu, čo určuje rozsah aritmetického priemeru a vysvetľuje jeho prevahu ako zovšeobecňujúci ukazovateľ, napr.: celkový mzdový fond je súčtom miezd všetkých pracovníkov , hrubá úroda je súčet produkcie z celej osevnej plochy.

Ak chcete vypočítať aritmetický priemer, musíte vydeliť súčet všetkých hodnôt funkcií ich počtom.

Vo formulári sa použije aritmetický priemer jednoduchý priemer a vážený priemer. Jednoduchý priemer slúži ako počiatočná, definujúca forma.

jednoduchý aritmetický priemer sa rovná jednoduchému súčtu jednotlivých hodnôt spriemerovaného prvku vydelenému celkovým počtom týchto hodnôt (používa sa v prípadoch, keď existujú nezoskupené jednotlivé hodnoty prvku):

Kde
- jednotlivé hodnoty premennej (možnosti); m - počet jednotiek obyvateľstva.

Ďalšie sčítacie limity vo vzorcoch nebudú uvedené. Napríklad je potrebné zistiť priemerný výkon jedného pracovníka (zámočníka), ak je známe, koľko dielov vyrobil každý z 15 pracovníkov, t.j. daný počet individuálnych hodnôt vlastnosti, ks:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednoduchý aritmetický priemer sa vypočíta podľa vzorca (4.1), 1 ks:

Priemer možností, ktoré sa opakujú rôzny počet krát alebo o ktorých sa hovorí, že majú rôznu váhu, sa nazýva tzv vážený. Váhy predstavujú počet jednotiek v rôzne skupiny agregáty (rovnaké možnosti sú spojené do skupiny).

Aritmetický vážený priemer- priemerné zoskupené hodnoty, - sa vypočíta podľa vzorca:

, (4.2)

Kde
- váhy (frekvencia opakovania rovnakých znakov);

- súčet súčinov veľkosti znakov podľa ich frekvencií;

- celkový počet jednotiek obyvateľstva.

Techniku ​​výpočtu aritmetického váženého priemeru ilustrujeme na príklade diskutovanom vyššie. Za týmto účelom zoskupíme počiatočné údaje a umiestnime ich do tabuľky. 4.1.

Tabuľka 4.1

Rozdelenie pracovníkov na vývoj dielov

Podľa vzorca (4.2) je aritmetický vážený priemer rovný, kusy:

V niektorých prípadoch môžu byť váhy reprezentované nie absolútnymi hodnotami, ale relatívnymi (v percentách alebo zlomkoch jednotky). Potom bude vzorec pre aritmetický vážený priemer vyzerať takto:

Kde
- konkrétne, t.j. podiel každej frekvencie na celkovom súčte všetkých

Ak sa frekvencie počítajú v zlomkoch (koeficientoch), tak
= 1 a vzorec pre aritmeticky vážený priemer je:

Výpočet aritmetického váženého priemeru zo skupinových priemerov vykonávané podľa vzorca:

,

Kde f- počet jednotiek v každej skupine.

Výsledky výpočtu aritmetického priemeru skupinových priemerov sú uvedené v tabuľke. 4.2.

Tabuľka 4.2

Rozdelenie pracovníkov podľa priemernej dĺžky služby

V tomto príklade nie sú možnosťami jednotlivé údaje o dĺžke služby jednotlivých pracovníkov, ale priemery pre každú dielňu. váhy f sú počty pracovníkov v obchodoch. Priemerná pracovná skúsenosť pracovníkov v celom podniku bude teda roky:

.

Výpočet aritmetického priemeru v distribučnom rade

Ak sú hodnoty spriemerovaného atribútu uvedené ako intervaly („od - do“), t.j. intervalová distribučná séria, potom pri výpočte aritmetickej strednej hodnoty sa stredy týchto intervalov berú ako hodnoty vlastností v skupinách, v dôsledku čoho sa vytvorí diskrétna séria. Uvažujme o nasledujúcom príklade (tabuľka 4.3).

Prejdime z intervalového radu k diskrétnemu nahradením intervalových hodnôt ich priemernými hodnotami / (jednoduchý priemer

Tabuľka 4.3

Rozdelenie pracovníkov AO podľa výšky mesačných miezd

Skupiny pracovníkov pre	Počet pracovníkov	Stred intervalu
mzdy, rub.	os., f	rub., X
900 a viac

hodnoty otvorených intervalov (prvý a posledný) sú podmienene rovnaké ako priľahlé intervaly (druhý a predposledný).

Pri takomto výpočte priemeru je povolená určitá nepresnosť, pretože sa predpokladá rovnomerné rozloženie jednotiek atribútu v rámci skupiny. Chyba však bude tým menšia, čím užší je interval a čím viac jednotiek v intervale.

Po nájdení stredných bodov intervalov sa výpočty vykonajú rovnakým spôsobom ako v diskrétnom rade - možnosti sa vynásobia frekvenciami (váhmi) a súčet súčinov sa vydelí súčtom frekvencií (váh) , tisíc rubľov:

.

takže, priemerná úroveň odmena pracovníkov akciovej spoločnosti je 729 rubľov. za mesiac.

Výpočet aritmetického priemeru je často spojený s veľkými výdavkami času a práce. V niektorých prípadoch však možno postup výpočtu priemeru zjednodušiť a uľahčiť využitím jeho vlastností. Uveďme (bez dôkazu) niektoré základné vlastnosti aritmetického priemeru.

Nehnuteľnosť 1. Ak všetky jednotlivé charakteristické hodnoty (t.j. všetky možnosti) znížiť alebo zvýšiť ikrát, potom priemerná hodnota novej funkcie sa zodpovedajúcim spôsobom zníži alebo zvýši iraz.

Nehnuteľnosť 2. Ak sa znížia všetky varianty spriemerovanej funkciešiť alebo zvýšiť o číslo A, potom aritmetický priemervýrazne znížiť alebo zvýšiť o rovnaké číslo A.

Nehnuteľnosť 3. Ak sa znížia váhy všetkých spriemerovaných možností alebo zvýšiť na Komu krát sa aritmetický priemer nezmení.

Ako priemerné váhy môžete namiesto absolútnych ukazovateľov použiť špecifické váhy v súčte (podiely alebo percentá). To zjednodušuje výpočet priemeru.

Aby sa zjednodušili výpočty priemeru, sledujú cestu znižovania hodnôt možností a frekvencií. Najväčšie zjednodušenie sa dosiahne vtedy, keď A hodnota jednej z centrálnych možností s najvyššou frekvenciou sa vyberie ako / - hodnota intervalu (pre riadky s rovnakými intervalmi). Hodnota L sa nazýva pôvod, preto sa tento spôsob výpočtu priemeru nazýva „metóda počítania od podmienenej nuly“ resp. „metóda momentov“.

Predpokladajme, že všetky možnosti X najprv sa zníži o rovnaké číslo A a potom sa zníži i raz. Dostávame nový variačný distribučný rad nových variantov .

Potom nové možnosti bude vyjadrené:

,

a ich nový aritmetický priemer , -moment prvého poriadku- vzorec:

.

Rovná sa priemeru pôvodných možností, najskôr znížených o A, a potom dovnútra i raz.

Na získanie skutočného priemeru potrebujete moment prvého rádu m 1 , vynásobte i a pridať A:

.

Táto metóda sa nazýva výpočet aritmetického priemeru z variačného radu „metóda momentov“. Táto metóda sa používa v radoch s rovnakými intervalmi.

Výpočet aritmetického priemeru metódou momentov ilustrujú údaje v tabuľke. 4.4.

Tabuľka 4.4

Rozdelenie malých podnikov v kraji podľa hodnoty fixných výrobných aktív (OPF) v roku 2000

Skupiny podnikov podľa nákladov na OPF, tisíc rubľov	Počet podnikov f	stredné intervaly, X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Nájdenie momentu prvej objednávky

.

Potom za predpokladu, že A = 19 a viete to i= 2, vypočítajte X, tisíc rubľov.:

Typy priemerných hodnôt a metódy ich výpočtu

Na javisku štatistické spracovanie Dá sa nastaviť celý rad výskumných problémov, na riešenie ktorých je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: hodnoty, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

• výkonové priemery;
• štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúci zápis:

Hodnoty, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde vyššie uvedený riadok naznačuje, že dochádza k spriemerovaniu jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť hodnôt jednotlivých znakov).

Zo všeobecného vzorca mocninného priemeru sú odvodené rôzne priemery:

(5.1)

pre k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemery sú jednoduché alebo vážené. vážené priemery sa nazývajú veličiny, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútu môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každý variant vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „váhy“ sú počty populačných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo vážený priemer.

Aritmetický priemer- najbežnejší typ média. Používa sa, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, kde chcete získať priemerný súčet. Aritmetický priemer je taká priemerná hodnota znaku, po prijatí ktorej zostáva celkový objem znaku v populácii nezmenený.

Vzorec aritmetického priemeru ( jednoduché) má tvar

kde n je veľkosť populácie.

Napríklad priemerná mzda zamestnancov podniku sa vypočíta ako aritmetický priemer:

Určujúcimi ukazovateľmi sú tu mzdy každého zamestnanca a počet zamestnancov podniku. Pri výpočte priemeru zostala celková výška miezd rovnaká, ale akoby rovnomerne rozdelená medzi všetkých pracovníkov. Napríklad je potrebné vypočítať priemernú mzdu zamestnancov malej spoločnosti, kde je zamestnaných 8 ľudí:

Pri výpočte priemerov sa jednotlivé hodnoty spriemerovaného atribútu môžu opakovať, takže priemer sa počíta pomocou zoskupených údajov. V tomto prípade rozprávame sa o používaní vážený aritmetický priemer, ktorý vyzerá

(5.3)

Potrebujeme teda vypočítať priemernú cenu akcií akciovej spoločnosti na burze. Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ac. - 1010 rubľov

2 - 650 ac. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ac. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcie je pomer celkového množstva transakcií (OSS) k počtu predaných akcií (KPA).

5.1. Koncept priemeru

Priemerná hodnota - ide o zovšeobecňujúci ukazovateľ, ktorý charakterizuje typickú úroveň javu. Vyjadruje hodnotu atribútu, vzťahujúcu sa na jednotku populácie.

Priemer vždy zovšeobecňuje kvantitatívnu variáciu znaku, t.j. v priemeroch sa rušia jednotlivé rozdiely v jednotkách populácie spôsobené náhodnými okolnosťami. Na rozdiel od priemeru absolútna hodnota, ktorá charakterizuje úroveň znaku jednotlivej jednotky populácie, neumožňuje porovnávať hodnoty znaku pre jednotky patriace do rôznych populácií. Ak teda potrebujete porovnať úrovne odmeňovania pracovníkov v dvoch podnikoch, nemôžete porovnávať podľa danú vlastnosť dvaja pracovníci z rôznych spoločností. Mzdy pracovníkov vybraných na porovnanie nemusia byť typické pre tieto podniky. Ak porovnáme veľkosť mzdových prostriedkov v posudzovaných podnikoch, tak sa neberie do úvahy počet zamestnancov, a preto nie je možné určiť, kde je úroveň miezd vyššia. V konečnom dôsledku sa dajú porovnávať len priemery, t.j. Koľko v priemere zarobí jeden pracovník v každej spoločnosti? Preto je potrebné vypočítať priemernú hodnotu ako zovšeobecňujúcu charakteristiku populácie.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemerný ukazovateľ popiera všeobecné, ktoré je typické (typické) pre všetky jednotky skúmanej populácie, zároveň ignoruje rozdiely medzi jednotlivými jednotkami. V každom fenoméne a jeho vývoji je spojenie náhody a nevyhnutnosti. Pri výpočte priemerov sa v dôsledku fungovania zákona veľkých čísel náhodnosť navzájom ruší, vyrovnáva, preto je možné abstrahovať od nepodstatných čŕt javu, od kvantitatívnych hodnôt atribútu v každom konkrétnom prípad. V schopnosti abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt, fluktuácií, spočíva vedecká hodnota priemerov ako zovšeobecňujúcich charakteristík agregátov.

Aby bol priemer skutočne typizujúci, musí byť vypočítaný s ohľadom na určité zásady.

Pri niektorých sa zastavíme všeobecné zásady použitie priemerov.
1. Priemer by sa mal určiť pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek.
2. Priemer by sa mal vypočítať pre populáciu pozostávajúcu z dostatku Vysoké číslo Jednotky.
3. Priemer by sa mal vypočítať pre populáciu, ktorej jednotky sú v normálnom, prirodzenom stave.
4. Priemer by sa mal vypočítať s prihliadnutím na ekonomický obsah skúmaného ukazovateľa.

5.2. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Pozrime sa teraz na typy priemerov, vlastnosti ich výpočtu a oblasti použitia. Priemerné hodnoty sú rozdelené do dvoch veľkých tried: priemery výkonu, štrukturálne priemery.

TO mocenský priemer zahŕňajú najznámejšie a bežne používané typy ako geometrický priemer, aritmetický priemer a stredný štvorec.

Ako štrukturálne priemery zohľadňuje sa režim a medián.

Zastavme sa pri výkonových priemeroch. Výkonové priemery v závislosti od prezentácie počiatočných údajov môžu byť jednoduché a vážené. jednoduchý priemer sa vypočítava z nezoskupených údajov a má tento všeobecný tvar:

kde Xi je variant (hodnota) spriemerovaného znaku;

n je počet možností.

Vážený priemer sa vypočítava podľa zoskupených údajov a má všeobecnú formu

,

kde X i je variant (hodnota) spriemerovaného znaku alebo stredná hodnota intervalu, v ktorom sa variant meria;
m je exponent priemeru;
f i - frekvencia ukazujúca, koľkokrát sa vyskytuje i-tá hodnota priemerné znamenie.

Uveďme ako príklad výpočet priemerného veku študentov v skupine 20 ľudí:

Priemerný vek vypočítame pomocou jednoduchého priemerného vzorca:

Zoskupme zdrojové údaje. Získame nasledujúce distribučné série:

V dôsledku zoskupovania dostávame nový ukazovateľ – frekvenciu, označujúci počet žiakov vo veku X rokov. Preto sa priemerný vek študentov v skupine vypočíta pomocou vzorca váženého priemeru:

Všeobecné vzorce na výpočet exponenciálnych priemerov majú exponent (m). V závislosti od toho, akú hodnotu má, sa rozlišujú tieto typy priemerov výkonu:
harmonický priemer, ak m = -1;
geometrický priemer, ak m –> 0;
aritmetický priemer, ak m = 1;
odmocnina, ak m = 2;
stredná kubická hodnota, ak m = 3.

Vzorce pre stredné hodnoty sú uvedené v tabuľke. 4.4.

Ak vypočítame všetky typy priemerov pre rovnaké počiatočné údaje, ich hodnoty nebudú rovnaké. Tu platí pravidlo majority priemerov: so zvýšením exponentu m sa zvyšuje aj zodpovedajúca priemerná hodnota:

V štatistickej praxi sa častejšie ako iné typy vážených priemerov používajú aritmetické a harmonické vážené priemery.

Tabuľka 5.1

Typy energetických prostriedkov

Typ napájania stred	Index stupne (m)	Vzorec na výpočet
		Jednoduché	vážený
harmonický	-1
Geometrické	0
Aritmetika	1
kvadratický	2
kubický	3

Harmonický priemer má viac komplexná štruktúra ako aritmetický priemer. Harmonický priemer sa používa na výpočty, keď váhami nie sú jednotky populácie - nositelia vlastnosti, ale súčin týchto jednotiek a hodnoty vlastnosti (t.j. m = Xf). Priemerný harmonický prestoj by sa mal použiť v prípadoch, keď sa zisťujú napríklad priemerné náklady na prácu, čas, materiály na jednotku výroby, na diel pre dva (tri, štyri atď.) podniky, pracovníkov zaoberajúcich sa výrobou rovnaký typ produktu, rovnaký diel, produkt.

Hlavnou požiadavkou na vzorec na výpočet priemernej hodnoty je, aby všetky fázy výpočtu mali skutočné zmysluplné opodstatnenie; výsledná priemerná hodnota by mala nahradiť jednotlivé hodnoty atribútu pre každý objekt bez prerušenia spojenia medzi jednotlivými a súhrnnými ukazovateľmi. Inými slovami, priemerná hodnota by sa mala počítať tak, aby pri nahradení každej jednotlivej hodnoty spriemerovaného ukazovateľa jej priemernou hodnotou zostal nejaký výsledný sumárny ukazovateľ, tak či onak spojený s priemerom, nezmenený. Tento výsledok sa nazýva určujúci pretože povaha jeho vzťahu s jednotlivými hodnotami určuje špecifický vzorec na výpočet priemernej hodnoty. Ukážme si toto pravidlo na príklade geometrického priemeru.

Vzorec geometrického priemeru

najčastejšie sa používa pri výpočte priemernej hodnoty jednotlivých relatívnych hodnôt dynamiky.

Geometrický priemer sa používa, ak je uvedená postupnosť reťazových relatívnych hodnôt dynamiky označujúca napríklad nárast produkcie v porovnaní s úrovňou predchádzajúceho roka: i 1 , i 2 , i 3 ,..., ja n Je jasné, že objem výroby minulý rok je určená jeho počiatočnou úrovňou (q 0) a následným rastom v priebehu rokov:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Ak vezmeme q n ako definujúci ukazovateľ a nahradíme jednotlivé hodnoty ukazovateľov dynamiky priemernými, dostaneme sa k vzťahu

Odtiaľ

5.3. Štrukturálne priemery

Na štúdium sa používa špeciálny typ priemerov - štruktúrne priemery vnútorná štruktúra distribučný rad charakteristických hodnôt, ako aj na odhad priemernej hodnoty (mocninového typu), ak podľa dostupných štatistických údajov nie je možné vykonať jeho výpočet (napr. ak v uvažovanom príklade neboli údaje o oboch objem výroby a výška nákladov podľa skupín podnikov) .

Ukazovatele sa najčastejšie používajú ako štrukturálne priemery. móda - najčastejšie opakovaná hodnota funkcie - a medián - hodnota funkcie, ktorá rozdeľuje usporiadanú postupnosť svojich hodnôt na dve časti rovnakého počtu. Výsledkom je, že v jednej polovici jednotiek populácie hodnota atribútu nepresahuje strednú úroveň a v druhej polovici nie je nižšia ako ona.

Ak má študovaný prvok diskrétne hodnoty, potom pri výpočte režimu a mediánu nie sú žiadne zvláštne ťažkosti. Ak sú údaje o hodnotách atribútu X prezentované vo forme usporiadaných intervalov jeho zmeny (intervalový rad), výpočet režimu a mediánu sa trochu skomplikuje. Keďže stredná hodnota rozdeľuje celú populáciu na dve rovnaké časti, skončí v jednom z intervalov prvku X. Pomocou interpolácie sa stredná hodnota nájde v tomto strednom intervale:

,

kde X Me je spodná hranica stredného intervalu;
h Ja je jeho hodnota;
(Sum m) / 2 - polovica celkového počtu pozorovaní alebo polovica objemu ukazovateľa, ktorý sa používa ako váha vo vzorcoch na výpočet priemernej hodnoty (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);
S Me-1 je súčet pozorovaní (alebo objem váhového prvku) nazhromaždených pred začiatkom stredného intervalu;
m Me je počet pozorovaní alebo objem váhového prvku v strednom intervale (tiež v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení).

V našom príklade je možné získať aj tri stredné hodnoty - na základe znakov počtu podnikov, objemu výroby a celkovej výšky výrobných nákladov:

Pre polovicu podnikov teda náklady na jednotku výroby presahujú 125,19 tisíc rubľov, polovica z celkového objemu výroby sa vyrába s úrovňou nákladov na výrobok viac ako 124,79 tisíc rubľov. a 50% celkových nákladov sa tvorí na úrovni nákladov na jeden výrobok nad 125,07 tisíc rubľov. Poznamenávame tiež, že existuje určitý stúpajúci trend v nákladoch, pretože Me 2 = 124,79 tisíc rubľov a priemerná úroveň je 123,15 tisíc rubľov.

Pri výpočte modálnej hodnoty prvku podľa údajov série intervalov je potrebné venovať pozornosť skutočnosti, že intervaly sú rovnaké, pretože od toho závisí ukazovateľ frekvencie hodnôt funkcie X. intervalový rad s rovnakými intervalmi, hodnota režimu je určená ako

kde X Mo je nižšia hodnota modálneho intervalu;
m Mo je počet pozorovaní alebo objem váhového prvku v modálnom intervale (v absolútnom alebo relatívnom vyjadrení);
m Mo -1 - to isté pre interval predchádzajúci modálnemu;
m Mo+1 - to isté pre interval nasledujúci po modáli;
h je hodnota intervalu zmeny znaku v skupinách.

Pre náš príklad je možné vypočítať tri modálne hodnoty na základe znakov počtu podnikov, objemu výroby a výšky nákladov. Vo všetkých troch prípadoch je modálny interval rovnaký, pretože v tom istom intervale je najväčší počet podnikov, objem výroby a celková výška výrobných nákladov:

Najčastejšie sa teda vyskytujú podniky s úrovňou nákladov 126,75 tisíc rubľov, najčastejšie sa vyrábajú výrobky s úrovňou nákladov 126,69 tisíc rubľov a výrobné náklady sa najčastejšie vysvetľujú úrovňou nákladov 123,73 tisíc rubľov.

5.4. Variačné ukazovatele

Špecifické podmienky, v ktorých sa každý zo skúmaných objektov nachádza, ako aj črty ich vlastného vývoja (sociálneho, ekonomického a pod.) vyjadrujú zodpovedajúce číselné úrovne štatistických ukazovateľov. teda variácia, tie. nesúlad medzi úrovňami toho istého ukazovateľa v rôznych objektoch je objektívny a pomáha pochopiť podstatu skúmaného javu.

Existuje niekoľko spôsobov, ako merať odchýlky v štatistikách.

Najjednoduchší je výpočet ukazovateľa variácia rozpätia H ako rozdiel medzi maximálnymi (X max) a minimálnymi (X min) pozorovanými hodnotami funkcie:

H = X max - X min.

Rozsah variácií však ukazuje iba extrémne hodnoty vlastnosti. Opakovateľnosť stredných hodnôt sa tu neberie do úvahy.

Prísnejšie charakteristiky sú indikátory kolísania vo vzťahu k priemernej úrovni atribútu. Najjednoduchším ukazovateľom tohto typu je stredná lineárna odchýlka L ako aritmetický priemer absolútnych odchýlok vlastnosti od jej priemernej úrovne:

Pri opakovaní jednotlivých hodnôt X sa používa vzorec váženého aritmetického priemeru:

(Pripomeňme si to algebraický súčet odchýlka od priemeru je nulová.)

Ukazovateľ priemernej lineárnej odchýlky našiel v praxi široké uplatnenie. S jeho pomocou sa analyzuje napríklad zloženie pracovníkov, rytmus výroby, rovnomernosť dodávok materiálov, rozvíjajú sa systémy materiálnych stimulov. Bohužiaľ, tento ukazovateľ komplikuje výpočty pravdepodobnostného typu, sťažuje použitie metód matematickej štatistiky. Preto v štatistike vedecký výskum Najčastejšie používanou mierou variácie je disperzia.

Rozptyl vlastností (s 2) je určený na základe kvadratického mocninného priemeru:

.

Volá sa exponent s rovný stredná smerodajná odchýlka.

Vo všeobecnej teórii štatistiky je rozptylový indikátor odhadom rovnomenného indikátora teórie pravdepodobnosti a (ako súčet štvorcových odchýlok) odhadom rozptylu v matematickej štatistike, ktorý umožňuje využiť ustanovenia týchto teoretických disciplín na analyzovať sociálno-ekonomické procesy.

Ak sa variácia odhadne z malého počtu pozorovaní získaných z neobmedzenej všeobecnej populácie, potom sa priemerná hodnota vlastnosti určí s určitou chybou. Zdá sa, že vypočítaná hodnota rozptylu je posunutá nadol. Na získanie nestranného odhadu sa musí rozptyl vzorky získaný z vyššie uvedených vzorcov vynásobiť n / (n - 1). Výsledkom je, že s malým počtom pozorovaní (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Zvyčajne už pri n > (15÷20) sa rozdiel medzi skreslenými a nezaujatými odhadmi stáva nevýznamným. Z rovnakého dôvodu sa vo vzorci na sčítanie odchýlok zvyčajne neberie do úvahy odchýlka.

Ak sa odoberie niekoľko vzoriek z bežnej populácie a zakaždým sa určí priemerná hodnota atribútu, potom nastáva problém odhadu variability priemerov. Odhad rozptylu stredná hodnota môže byť tiež založené len na jednom pozorovaní vzorky podľa vzorca

,

kde n je veľkosť vzorky; s 2 je rozptyl funkcie vypočítaný zo vzorových údajov.

Hodnota sa volá stredná vzorkovacia chyba a je charakteristikou odchýlky priemernej hodnoty vzorky znaku X od jeho skutočnej strednej hodnoty. Indikátor priemernej chyby sa používa pri hodnotení spoľahlivosti výsledkov pozorovania vzorky.

Indikátory relatívneho rozptylu. Na charakterizáciu miery fluktuácie študovaného znaku sa ukazovatele fluktuácie vypočítajú v relatívnom vyjadrení. Umožňujú porovnať povahu rozptylu v rôznych distribúciách (rôzne jednotky pozorovania toho istého znaku v dvoch populáciách, s rôzne hodnoty priemery pri porovnávaní heterogénnych populácií). Výpočet ukazovateľov miery relatívneho rozptylu sa vykonáva ako pomer absolútny ukazovateľ rozptyl na aritmetický priemer, vynásobený 100 %.

1. Oscilačný koeficient odráža relatívne kolísanie extrémnych hodnôt vlastnosti okolo priemeru

.

2. Relatívna lineárna odstávka charakterizuje podiel priemernej hodnoty znamienka absolútnych odchýlok od priemernej hodnoty

.

3. Variačný koeficient:

je najbežnejšou mierou rozptylu používanou na hodnotenie typickosti priemerov.

V štatistike sa populácie s variačným koeficientom vyšším ako 30–35 % považujú za heterogénne.

Tento spôsob odhadu variácie má tiež významnú nevýhodu. Vezmime si totiž napríklad počiatočnú populáciu pracovníkov s priemernou dĺžkou služby 15 rokov, so smerodajnou odchýlkou ​​s = 10 rokov, „zostarnúcich“ o ďalších 15 rokov. Teraz = 30 rokov a smerodajná odchýlka je stále 10. Predtým heterogénna populácia (10/15 × 100 = 66,7 %), sa teda časom ukazuje ako celkom homogénna (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Teoretický výskum štatistiky: So. Vedecké Zborník - M .: Štatistika, 1974. s. 19–57.

Predchádzajúce