Téma aritmetický a geometrický priemer je zaradená do matematického programu pre 6. – 7. ročník. Keďže je odsek celkom jednoduchý na pochopenie, rýchlo sa míňa a do konca školského roka ho žiaci zabudnú. Na to sú však potrebné znalosti základných štatistík absolvovanie skúšky, ako aj pre medzinárodné skúšky SAT. Áno a pre Každodenný život rozvinuté analytické myslenie nikdy neuškodí.

Ako vypočítať aritmetický a geometrický priemer čísel

Predpokladajme, že existuje séria čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický priemer je súčet všetkých čísel vydelený počtom daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 11, 4, 3 bude odpoveď 6. Ako sa získa 6?

Riešenie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Menovateľ musí obsahovať číslo, ktoré sa rovná počtu čísel, ktorých priemer sa má nájsť. Súčet je deliteľný 3, keďže existujú tri členy.

Teraz sa musíme zaoberať geometrickým priemerom. Povedzme, že existuje séria čísel: 4, 2 a 8.

Geometrický priemer je súčin všetkých daných čísel, ktorý je pod odmocninou so stupňom rovným počtu daných čísel. To znamená, že v prípade čísel 4, 2 a 8 je odpoveď 4. Tu je návod, ako sa to stalo :

Riešenie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

V oboch možnostiach boli získané celé odpovede, pretože ako príklad boli brané špeciálne čísla. Nie vždy je to tak. Vo väčšine prípadov musí byť odpoveď zaokrúhlená alebo ponechaná pri koreni. Napríklad pre čísla 11, 7 a 20 je aritmetický priemer ≈ 12,67 a geometrický priemer je ∛1540. A pre čísla 6 a 5 budú odpovede 5,5 a √30.

Môže sa stať, že sa aritmetický priemer rovná geometrickému priemeru?

Samozrejme, že môže. Ale len v dvoch prípadoch. Ak existuje séria čísel pozostávajúca iba z jednotiek alebo núl. Je tiež pozoruhodné, že odpoveď nezávisí od ich počtu.

Dôkaz s jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický priemer).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický priemer).

Dôkaz s nulami: (0 + 0) / 2 = 0 (aritmetický priemer).

√(0 × 0) = 0 (geometrický priemer).

Iná možnosť nie je a ani nemôže byť.

priemerná hodnota- ide o zovšeobecňujúci ukazovateľ, ktorý charakterizuje kvalitatívne homogénnu populáciu podľa určitého kvantitatívneho atribútu. Napríklad priemerný vek osôb odsúdených za krádež.

V súdnej štatistike sa priemery používajú na charakterizáciu:

Priemerné podmienky posudzovania prípadov tejto kategórie;

Stredne veľký nárok;

Priemerný počet obžalovaných na prípad;

Priemerná výška škody;

Priemerná vyťaženosť sudcov a pod.

Priemerná hodnota je vždy pomenovaná a má rovnaký rozmer ako atribút samostatnej jednotky populácie. Každá priemerná hodnota charakterizuje študovanú populáciu podľa ľubovoľného premenlivého atribútu, preto za každým priemerom je séria rozdelenia jednotiek tejto populácie podľa študovaného atribútu. Výber typu priemeru je určený obsahom ukazovateľa a východiskovými údajmi pre výpočet stredná veľkosť.

Všetky typy priemerov používaných v štatistické štúdie sú rozdelené do dvoch kategórií:

1) priemery výkonu;

2) štrukturálne priemery.

Prvá kategória priemerov zahŕňa: aritmetický priemer, harmonický priemer, geometrický priemer A odmocnina stredná štvorec . Druhá kategória je móda A medián. Okrem toho každý z uvedených typov priemerov výkonu môže mať dve formy: jednoduché A vážený . jednoduchá forma stredná hodnota sa používa na získanie priemernej hodnoty študovaného znaku, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, alebo keď sa každý variant v populácii vyskytuje iba raz. Vážené priemery sa nazývajú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že možnosti pre hodnoty funkcie môžu mať rôzne čísla, a preto sa každá možnosť musí vynásobiť príslušnou frekvenciou. Inými slovami, každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia sa nazýva štatistická váha.

jednoduchý aritmetický priemer- najbežnejší typ média. Rovná sa súčtu jednotlivých charakteristických hodnôt vydelených celkový počet tieto hodnoty:

Kde x 1, x 2, …, x N- jednotlivé hodnoty atribútu premennej (možnosti) a N - počet jednotiek populácie.

Aritmetický vážený priemer používa sa, keď sú údaje prezentované vo forme distribučných radov alebo zoskupení. Vypočítava sa ako súčet súčinov opcií a ich zodpovedajúcich frekvencií vydelený súčtom frekvencií všetkých opcií:

Kde x i- význam i-té varianty znaku; fi- frekvencia i možnosti.

Každá hodnota variantu je teda vážená svojou frekvenciou, a preto sa frekvencie niekedy nazývajú štatistické váhy.

Komentujte. Kedy rozprávame sa o aritmetickom priemere bez uvedenia jeho druhu sa myslí jednoduchý aritmetický priemer.

Tabuľka 12

Riešenie. Na výpočet používame vzorec aritmetického váženého priemeru:

Na jednu trestnú vec teda pripadajú v priemere dvaja obžalovaní.

Ak sa výpočet priemernej hodnoty vykonáva podľa údajov zoskupených vo forme intervalových distribučných sérií, potom musíte najprv určiť stredné hodnoty každého intervalu x "i, potom vypočítať priemernú hodnotu pomocou váženého vzorec aritmetického priemeru, v ktorom je x" i nahradené namiesto x i.

Príklad.Údaje o veku zločincov odsúdených za krádež sú uvedené v tabuľke:

Tabuľka 13

Určte priemerný vek zločincov odsúdených za krádež.

Riešenie. Ak chcete určiť priemerný vek zločincov na základe série variácií intervalov, musíte najprv nájsť stredné hodnoty intervalov. Keďže nám je daný intervalový rad s najprv otvorte a posledné intervaly, potom sa hodnoty týchto intervalov považujú za rovné hodnotám susedných uzavretých intervalov. V našom prípade je hodnota prvého a posledného intervalu 10.

Teraz zistíme priemerný vek zločincov pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru:

Priemerný vek páchateľov odsúdených za krádež je teda približne 27 rokov.

Priemerná harmonická jednoduchá je prevrátená hodnota aritmetického priemeru recipročných hodnôt atribútu:

kde 1/ x i sú prevrátené hodnoty možností a N je počet jednotiek populácie.

Príklad. Za účelom zistenia priemerného ročného úväzku sudcov okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí bol vykonaný prieskum o zaťaženosti 5 sudcov tohto súdu. Priemerný čas strávený na jednej trestnej veci pre každého z opýtaných sudcov bol rovnaký (v dňoch): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Zistite priemerné náklady na jedného sudcu trestnej veci a priemernej ročnej záťaži sudcov tohto okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí.

Riešenie. Na určenie priemerného času stráveného na jednom kriminálnom prípade používame harmonický jednoduchý vzorec:

Pre zjednodušenie výpočtov v príklade vezmime počet dní v roku rovný 365 vrátane víkendov (toto nemá vplyv na spôsob výpočtu a pri výpočte podobného ukazovateľa v praxi je potrebné dosadiť počet odprac. dní v konkrétnom roku namiesto 365 dní). Potom priemerné ročné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí bude: 365 (dní): 5,56 ≈ 65,6 (vecií).

Ak by sme použili jednoduchý vzorec aritmetického priemeru na určenie priemerného času stráveného na jednom trestnom prípade, dostali by sme:

365 (dni): 5,64 ≈ 64,7 (prípady), t.j. priemerná pracovná záťaž sudcov bola nižšia.

Overme si opodstatnenosť tohto prístupu. Na tento účel používame údaje o čase strávenom na jednej trestnej veci pre každého sudcu a vypočítame počet trestných vecí, ktoré každý z nich posudzoval za rok.

Podľa toho dostaneme:

365 (dni): 6 ≈ 61 (prípad), 365 (dni) : 5,6 ≈ 65,2 (prípad), 365 (dni) : 6,3 ≈ 58 (prípad),

365 (dni): 4,9 ≈ 74,5 (prípady), 365 (dni) : 5,4 ≈ 68 (prípady).

Teraz vypočítame priemerné ročné pracovné zaťaženie sudcov tohto okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí:

Tie. priemerné ročné zaťaženie je rovnaké ako pri použití harmonického priemeru.

Preto je použitie aritmetického priemeru v tomto prípade nezákonné.

V prípadoch, keď sú známe varianty prvku, ich objemové hodnoty (súčin variantov podľa frekvencie), ale samotné frekvencie nie sú známe, použije sa vzorec harmonického váženého priemeru:

,

Kde x i sú hodnoty možností vlastností a w i sú objemové hodnoty možností ( w i = x i f i).

Príklad.Údaje o cene jednotky rovnakého druhu tovaru vyrobeného rôznymi inštitúciami väzenského systému a o objeme jeho implementácie sú uvedené v tabuľke 14.

Tabuľka 14

Zistite priemernú predajnú cenu produktu.

Riešenie. Pri výpočte priemernej ceny musíme použiť pomer predaného množstva k počtu predaných kusov. Nepoznáme počet predaných kusov, ale poznáme výšku predaja tovaru. Preto na zistenie priemernej ceny predaného tovaru používame vzorec harmonického váženého priemeru. Dostaneme

Ak tu použijete vzorec aritmetického priemeru, môžete získať priemernú cenu, ktorá bude nereálna:

Geometrický priemer sa vypočíta extrahovaním koreňa stupňa N zo súčinu všetkých hodnôt variantov prvkov:

,

Kde x 1, x 2, …, x N- individuálne hodnoty premennej vlastnosti (možnosti) a

N- počet jednotiek obyvateľstva.

Tento typ priemeru sa používa na výpočet priemerných mier rastu časových radov.

odmocnina stredná štvorec používa sa na výpočet priemeru smerodajná odchýlka, ktorý je indikátorom variácie a bude diskutovaný nižšie.

Na určenie štruktúry obyvateľstva sa používajú špeciálne priemery, medzi ktoré patrí medián A móda , alebo takzvané štrukturálne priemery. Ak je aritmetický priemer vypočítaný na základe použitia všetkých variantov hodnôt atribútov, potom medián a mód charakterizujú hodnotu variantu, ktorý zaberá určitú priemernú pozíciu v zoradenej (usporiadanej) sérii. Zoradenie jednotiek štatistickej populácie sa môže uskutočniť vzostupne alebo zostupne podľa variantov študovaného znaku.

Medián (ja) je hodnota, ktorá zodpovedá variantu v strede zoradeného radu. Medián je teda ten variant hodnotenej série, na ktorej oboch stranách by mala byť táto séria rovnaký počet agregátne jednotky.

Ak chcete nájsť medián, musíte ho najprv určiť. sériové číslo v zoradenom riadku podľa vzorca:

kde N je objem série (počet jednotiek populácie).

Ak rad pozostáva z nepárneho počtu členov, potom sa medián rovná variantu s číslom N Me . Ak séria pozostáva z párneho počtu členov, potom je medián definovaný ako aritmetický priemer dvoch susedných možností umiestnených v strede.

Príklad. Daná zoradená séria 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Objem série je N = 9, čo znamená N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Preto Me = 6, t.j. piata možnosť. Ak je v riadku uvedené 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, t.j. séria s párnym počtom členov (N = 8), potom N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Takže medián sa rovná polovici súčtu štvrtej a piatej možnosti, t.j. Me = (9 + 11)/2 = 10.

V sérii diskrétnych variácií je medián určený akumulovanými frekvenciami. Variantné frekvencie, počnúc prvou, sa sčítavajú, kým sa neprekročí stredný počet. Hodnota posledných sčítaných opcií bude medián.

Príklad. Nájdite priemerný počet obžalovaných na trestný prípad pomocou údajov v tabuľke 12.

Riešenie. V tomto prípade je objem variačnej série N = 154, teda N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Sčítaním frekvencií prvej a druhej možnosti dostaneme: 75 + 43 = 118, t.j. prekročili sme stredný počet. Takže ja = 2.

V intervalovom variačnom rade distribúcie najprv uveďte interval, v ktorom sa bude nachádzať medián. Volá sa medián . Toto je prvý interval, ktorého kumulatívna frekvencia presahuje polovicu objemu série variácií intervalu. Potom číselná hodnota medián je určený vzorcom:

Kde x Ja- spodná hranica stredného intervalu; i - hodnota stredného intervalu; S Me-1- akumulovaná frekvencia intervalu, ktorý predchádza mediánu; f Ja- frekvencia stredného intervalu.

Príklad. Nájdite stredný vek páchateľov odsúdených za krádež na základe štatistík uvedených v tabuľke 13.

Riešenie.Štatistické údaje sú reprezentované intervalovým variačným radom, čo znamená, že najskôr určíme medián intervalu. Objem populácie N = 162, teda mediánový interval je interval 18-28, pretože toto je prvý interval, ktorého akumulovaná frekvencia (15 + 90 = 105) presahuje polovicu objemu (162: 2 = 81) série variácií intervalu. Teraz je číselná hodnota mediánu určená vyššie uvedeným vzorcom:

Polovica odsúdených za krádež má teda menej ako 25 rokov.

Móda (Po) pomenujte hodnotu atribútu, ktorá sa najčastejšie nachádza v jednotkách populácie. Móda sa používa na identifikáciu hodnoty vlastnosti, ktorá má najväčšiu distribúciu. Pre diskrétnu sériu bude režimom variant s najvyššou frekvenciou. Napríklad pre samostatné série uvedené v tabuľke 3 Mo= 1, keďže táto hodnota možností zodpovedá najvyššej frekvencii - 75. Na určenie režimu intervalového radu najskôr určte modálny interval (interval s najvyššou frekvenciou). Potom sa v tomto intervale nájde hodnota funkcie, ktorou môže byť režim.

Jeho hodnota sa zistí podľa vzorca:

Kde x Po- spodná hranica modálneho intervalu; i - hodnota modálneho intervalu; f Po- frekvencia modálnych intervalov; f Po-1- frekvencia intervalu pred modálom; f Po+1- frekvencia intervalu nasledujúceho po spôsobe.

Príklad. Nájdite vekový režim zločincov odsúdených za krádež, údaje o nich sú uvedené v tabuľke 13.

Riešenie. Najvyššia frekvencia zodpovedá intervalu 18-28, preto musí byť režim v tomto intervale. Jeho hodnota je určená vyššie uvedeným vzorcom:

teda najväčší počet páchateľ odsúdený za krádež má 24 rokov.

Priemerná hodnota dáva zovšeobecňujúcu charakteristiku celkového skúmaného javu. Dve populácie s rovnakými strednými hodnotami sa však môžu navzájom výrazne líšiť, pokiaľ ide o stupeň fluktuácie (variácie) hodnoty študovaného znaku. Napríklad na jednom súde boli vymenovaní ďalšie termíny trest odňatia slobody: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 rokov a v ďalšom - 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8 rokov. V oboch prípadoch je aritmetický priemer 6,7 roka. Tieto agregáty sa však navzájom výrazne líšia v rozptyle jednotlivých hodnôt prideleného trestu odňatia slobody vo vzťahu k priemernej hodnote.

A pre prvý súd, kde je táto odchýlka dosť veľká, priemerná dĺžka trestu odňatia slobody dobre neodráža celú populáciu. Ak sa teda jednotlivé hodnoty atribútu navzájom málo líšia, potom bude aritmetický priemer pomerne indikatívnou charakteristikou vlastností tejto populácie. V opačnom prípade bude aritmetický priemer nespoľahlivou charakteristikou tejto populácie a jeho aplikácia v praxi je neúčinná. Preto je potrebné vziať do úvahy kolísanie hodnôt študovaného znaku.

Variácia- ide o rozdiely v hodnotách charakteristiky v rôznych jednotkách danej populácie v rovnakom období alebo časovom bode. Pojem „variácia“ je latinského pôvodu – variatio, čo znamená rozdiel, zmena, kolísanie. Vzniká v dôsledku skutočnosti, že jednotlivé hodnoty atribútu sa tvoria pod kombinovaným vplyvom rôznych faktorov (podmienok), ktoré sa v každom jednotlivom prípade kombinujú rôznymi spôsobmi. Na meranie variácie vlastnosti, rôznych absolútnych a relatívny výkon.

Medzi hlavné ukazovatele variácie patria:

1) rozsah variácií;

2) priemerná lineárna odchýlka;

3) disperzia;

4) štandardná odchýlka;

5) variačný koeficient.

V krátkosti sa zastavíme pri každom z nich.

Variácia rozpätia R je najdostupnejší absolútny ukazovateľ z hľadiska jednoduchosti výpočtu, ktorý je definovaný ako rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou atribútu pre jednotky tejto populácie:

Rozsah variácie (rozsah kolísania) - dôležitý ukazovateľ výkyvy vlastností, ale umožňuje vidieť len extrémne odchýlky, čo obmedzuje rozsah jeho použitia. Na presnejšiu charakterizáciu variácie znaku na základe jeho kolísania sa používajú iné ukazovatele.

Priemerná lineárna odchýlka je aritmetický priemer absolútne hodnoty odchýlky jednotlivých hodnôt atribútu od priemeru a je určená vzorcami:

1) Pre nezoskupené údaje

2) Pre variačná séria

Najpoužívanejším meradlom variácie je však disperzia . Charakterizuje mieru šírenia hodnôt študovaného znaku vo vzťahu k jeho priemernej hodnote. Rozptyl je definovaný ako priemer druhej mocniny odchýlok.

jednoduchý rozptyl pre nezoskupené údaje:

.

Vážený rozptyl pre sériu variácií:

Komentujte. V praxi je na výpočet rozptylu lepšie použiť nasledujúce vzorce:

Pre jednoduchú variáciu

.

Pre vážený rozptyl

Smerodajná odchýlka je druhá odmocnina z rozptylu:

Smerodajná odchýlka je mierou spoľahlivosti priemeru. Čím je štandardná odchýlka menšia, tým je populácia homogénnejšia a tým lepšie aritmetický priemer odráža celú populáciu.

Miery rozptylu uvedené vyššie (rozsah variácie, rozptyl, štandardná odchýlka) sú absolútne ukazovatele, podľa ktorého nie je vždy možné posúdiť mieru kolísania vlastnosti. V niektorých problémoch je potrebné použiť relatívne indexy rozptylu, z ktorých jeden je variačný koeficient.

Variačný koeficient- vyjadrené ako percento pomeru štandardnej odchýlky k aritmetickému priemeru:

Variačný koeficient sa používa nielen na porovnávacie hodnotenie variácií rôznych znakov alebo rovnakého znaku v rôznych populáciách, ale aj na charakterizáciu homogenity populácie. Štatistická populácia sa považuje za kvantitatívne homogénnu, ak variačný koeficient nepresiahne 33 % (pre distribúcie blízke normálnemu rozdeleniu).

Príklad. O trvaní trestu odňatia slobody 50 odsúdeným odovzdaným na výkon trestu uloženého súdom v ústave na výkon trestu odňatia slobody sú tieto údaje: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Zostavte distribučnú sériu podľa trestov odňatia slobody.

2. Nájdite priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

3. Vypočítajte variačný koeficient a urobte záver o homogenite alebo heterogenite skúmanej populácie.

Riešenie. Na zostavenie diskrétneho distribučného radu je potrebné určiť varianty a frekvencie. Variantom v tomto probléme je doba odňatia slobody a frekvencia je počet jednotlivých variantov. Po vypočítaní frekvencií získame nasledujúce diskrétne distribučné rady:

Nájdite priemer a rozptyl. Keďže štatistické údaje sú reprezentované diskrétnymi variačnými radmi, na ich výpočet použijeme vzorce aritmetického váženého priemeru a rozptylu. Dostaneme:

= = 4,1;

= 5,21.

Teraz vypočítame smerodajnú odchýlku:

Nájdeme variačný koeficient:

V dôsledku toho je štatistická populácia kvantitatívne heterogénna.

Priemer v matematike aritmetická hodnotačísla (alebo len priemer) je súčet všetkých čísel v danej množine vydelený ich počtom. Toto je najvšeobecnejší a najrozšírenejší koncept priemernej hodnoty. Ako ste už pochopili, na nájdenie musíte zrátať všetky čísla, ktoré vám boli dané, a výsledok vydeliť počtom výrazov.

Aký je aritmetický priemer?

Pozrime sa na príklad.

Príklad 1. Uvádzajú sa čísla: 6, 7, 11. Musíte nájsť ich priemernú hodnotu.

Riešenie.

Najprv nájdime súčet všetkých daných čísel.

Teraz výsledný súčet vydelíme počtom členov. Keďže máme tri pojmy, vydelíme tromi.

Preto je priemer 6, 7 a 11 8. Prečo 8? Áno, pretože súčet 6, 7 a 11 bude rovnaký ako tri osmičky. To je jasne vidieť na obrázku.

Priemerná hodnota trochu pripomína „zarovnanie“ radu čísel. Ako vidíte, hromady ceruziek sa stali jednou úrovňou.

Zvážte ďalší príklad na upevnenie získaných vedomostí.

Príklad 2 Uvádzajú sa čísla: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Musíte nájsť ich aritmetický priemer.

Riešenie.

Nájdeme súčet.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Vydeľte počtom termínov (v tomto prípade 15).

Preto je priemerná hodnota tohto radu čísel 22.

Teraz zvážte záporné čísla. Pripomeňme si, ako ich zhrnúť. Napríklad máte dve čísla 1 a -4. Poďme nájsť ich súčet.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Keď to viete, zvážte ďalší príklad.

Príklad 3 Nájdite priemernú hodnotu radu čísel: 3, -7, 5, 13, -2.

Riešenie.

Nájdenie súčtu čísel.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Keďže existuje 5 členov, výsledný súčet vydelíme 5.

Preto je aritmetický priemer čísel 3, -7, 5, 13, -2 2,4.

V našej dobe technologického pokroku je oveľa pohodlnejšie použiť na zistenie priemernej hodnoty počítačové programy. Microsoft Office Excel je jedným z nich. Nájdenie priemeru v Exceli je rýchle a jednoduché. Tento program je navyše súčasťou softvérového balíka od Microsoft Office. Uvažujme o krátkej inštrukcii, hodnote pomocou tohto programu.

Ak chcete vypočítať priemernú hodnotu série čísel, musíte použiť funkciu AVERAGE. Syntax tejto funkcie je:
=Priemer (argument1, argument2, ... argument255)
kde argument1, argument2, ... argument255 sú buď čísla alebo odkazy na bunky (bunky znamenajú rozsahy a polia).

Aby to bolo jasnejšie, otestujme si získané vedomosti.

1. Do buniek C1 - C6 zadajte čísla 11, 12, 13, 14, 15, 16.
2. Vyberte bunku C7 kliknutím na ňu. V tejto bunke zobrazíme priemernú hodnotu.
3. Kliknite na kartu "Vzorce".
4. Otvorte výberom položky Ďalšie funkcie > Štatistika
5. Vyberte PRIEMER. Potom by sa malo otvoriť dialógové okno.
6. Vyberte a potiahnite bunky C1-C6, aby ste nastavili rozsah v dialógovom okne.
7. Potvrďte svoje akcie tlačidlom "OK".
8. Ak ste urobili všetko správne, v bunke C7 by ste mali mať odpoveď - 13.7. Po kliknutí na bunku C7 sa v riadku vzorcov zobrazí funkcia (=Priemer (C1:C6)).

Túto funkciu je veľmi užitočné využiť pri účtovníctve, faktúrach alebo keď potrebujete len zistiť priemer z veľmi dlhého rozsahu čísel. Preto sa často používa v kanceláriách a veľkých spoločnostiach. To vám umožní udržiavať záznamy v poriadku a umožňuje rýchlo niečo vypočítať (napríklad priemerný príjem za mesiac). Tiež s pomocou Excelu môžete nájsť strednú hodnotu funkcie.

Najbežnejším typom priemeru je aritmetický priemer.

jednoduchý aritmetický priemer

Jednoduchý aritmetický priemer je priemerný člen, ktorý určuje celkový objem toto znamenie v údajoch je rovnomerne rozdelená medzi všetky jednotky zahrnuté v danom súbore. Priemerný ročný výrobný výkon na pracovníka je teda taká hodnota objemu výroby, ktorá by pripadla na každého zamestnanca, ak by sa celý objem výkonu rovnomerne rozdelil medzi všetkých zamestnancov organizácie. Jednoduchá aritmetická stredná hodnota sa vypočíta podľa vzorca:

jednoduchý aritmetický priemer— Rovná sa pomeru súčtu jednotlivých hodnôt prvku k počtu prvkov v súhrne

Príklad 1 . Tím 6 pracovníkov dostáva 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisíc rubľov mesačne.

Nájdite priemernú mzdu
Riešenie: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisíc rubľov.

Aritmetický vážený priemer

Ak je objem súboru údajov veľký a predstavuje distribučný rad, vypočíta sa vážený aritmetický priemer. Takto sa určí vážená priemerná cena za jednotku produkcie: celkové výrobné náklady (súčet produktov jej množstva a ceny jednotky produkcie) sa vydelí celkovým množstvom produkcie.

Predstavujeme to vo forme nasledujúceho vzorca:

Vážený aritmetický priemer- sa rovná pomeru (súčet súčinov hodnoty atribútu k frekvencii opakovania tohto atribútu) k (súčet frekvencií všetkých atribútov) Používa sa vtedy, keď sa varianty skúmanej populácie vyskytujú nerovnako. koľkokrát.

Príklad 2 . Zistite priemernú mzdu pracovníkov obchodu za mesiac

Priemernú mzdu možno získať vydelením celkovej mzdy celkovým počtom pracovníkov:

Odpoveď: 3,35 tisíc rubľov.

Aritmetický priemer pre intervalový rad

Pri výpočte aritmetického priemeru pre sériu zmien intervalu sa priemer pre každý interval najprv určí ako polovičný súčet hornej a dolnej hranice a potom sa určí priemer celého radu. V prípade otvorených intervalov je hodnota dolného alebo horného intervalu určená hodnotou intervalov susediacich s nimi.

Priemery vypočítané z intervalových radov sú približné.

Príklad 3. Určte priemerný vek žiakov večerného oddelenia.

Priemery vypočítané z intervalových radov sú približné. Miera ich priblíženia závisí od toho, do akej miery sa skutočné rozloženie jednotiek obyvateľstva v rámci intervalu približuje rovnomernému.

Pri výpočte priemerov sa ako váhy môžu použiť nielen absolútne, ale aj relatívne hodnoty (frekvencia):

Aritmetický priemer má množstvo vlastností, ktoré úplnejšie odhaľujú jeho podstatu a zjednodušujú výpočet:

1. Súčin priemeru a súčtu početností sa vždy rovná súčtu súčinov variantu a početností, t.j.

2.Stredné aritmetický súčet meniace sa hodnoty sa rovnajú súčtu aritmetických priemerov týchto hodnôt:

3. Algebraický súčet odchýlok jednotlivých hodnôt atribútu od priemeru je nula:

4. Súčet štvorcových odchýlok možností od priemeru je menší ako súčet druhých mocnín odchýlok od akejkoľvek inej ľubovoľnej hodnoty, t.j.

Jednoduchý aritmetický priemer je priemerný člen, ktorý určuje, v ktorom je celkový objem daného atribútu agregátovúdaje sú rovnomerne rozdelené medzi všetky jednotky zahrnuté v tomto súbore. Priemerná ročná produkcia na pracovníka je teda množstvo výstupu, ktoré by pripadlo na každého zamestnanca, ak by bol celý objem produkcie rovnomerne rozdelený medzi všetkých zamestnancov organizácie. Jednoduchá aritmetická stredná hodnota sa vypočíta podľa vzorca:

jednoduchý aritmetický priemer- Rovná sa pomeru súčtu jednotlivých hodnôt atribútu k počtu atribútov v súhrne

Príklad 1. Tím 6 pracovníkov dostáva 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisíc rubľov mesačne.

Nájdite priemernú mzdu Riešenie: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisíc rubľov.

Aritmetický vážený priemer

Ak je objem súboru údajov veľký a predstavuje distribučný rad, vypočíta sa vážený aritmetický priemer. Takto sa určí vážená priemerná cena za jednotku produkcie: celkové výrobné náklady (súčet produktov jej množstva a ceny jednotky produkcie) sa vydelí celkovým množstvom produkcie.

Predstavujeme to vo forme nasledujúceho vzorca:

Vážený aritmetický priemer- sa rovná pomeru (súčet súčinov hodnoty atribútu k frekvencii opakovania tohto atribútu) k (súčet frekvencií všetkých atribútov) Používa sa vtedy, keď sa varianty skúmanej populácie vyskytujú nerovnako. koľkokrát.

Príklad 2. Zistite priemernú mzdu pracovníkov obchodu za mesiac

Plat jedného pracovníka tisíc rubľov; X	Počet pracovníkov F

Priemernú mzdu možno získať vydelením celkovej mzdy celkovým počtom pracovníkov:

Odpoveď: 3,35 tisíc rubľov.

Aritmetický priemer pre intervalový rad

Pri výpočte aritmetického priemeru pre sériu variácií intervalov najprv určte priemer pre každý interval ako polovičný súčet hornej a dolnej hranice a potom priemer celého radu. V prípade otvorených intervalov je hodnota dolného alebo horného intervalu určená hodnotou intervalov susediacich s nimi.

Priemery vypočítané z intervalových radov sú približné.

Príklad 3. Určte priemerný vek žiakov večerného oddelenia.

Vek v rokoch!!x??	Počet študentov	Priemer intervalu	Súčin stredu intervalu (vek) a počtu žiakov
		(18 + 20) / 2 =19 18 v tomto prípade hranica dolného intervalu. Vypočítané ako 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 alebo viac		(30 + 34) / 2 = 32

Priemery vypočítané z intervalových radov sú približné. Miera ich priblíženia závisí od toho, do akej miery sa skutočné rozloženie jednotiek obyvateľstva v rámci intervalu približuje rovnomernému.

Pri výpočte priemerov možno ako váhy použiť nielen absolútne, ale aj relatívne hodnoty (frekvenciu).