Tento výraz má iné významy, pozri priemerný význam.

Priemerná(v matematike a štatistike) množiny čísel - súčet všetkých čísel delený ich počtom. Je to jedna z najbežnejších mier centrálnej tendencie.

Navrhli ho (spolu s geometrickým priemerom a harmonickým priemerom) pytagorejci.

Špeciálnymi prípadmi aritmetického priemeru sú priemer (všeobecná populácia) a výberový priemer (vzorka).

Úvod

Označme súbor údajov X = (X 1 , X 2 , …, X n), potom sa priemer vzorky zvyčajne označuje vodorovným pruhom nad premennou (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), vyslovuje sa „ X s čiarou“).

Grécke písmeno μ sa používa na označenie aritmetického priemeru celej populácie. Pre náhodnú premennú, pre ktorú je určená stredná hodnota, je μ pravdepodobnostný priemer alebo matematické očakávanie náhodnej premennej. Ak súprava X je súbor náhodných čísel s pravdepodobnostným priemerom μ, potom pre ľubovoľnú vzorku X i z tejto množiny μ = E( X i) je matematické očakávanie tejto vzorky.

V praxi je rozdiel medzi μ a x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) v tom, že μ je typická premenná, pretože môžete vidieť vzorku a nie celú populáciu. Preto, ak je vzorka reprezentovaná náhodne (z hľadiska teórie pravdepodobnosti), potom x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ale nie μ) možno považovať za náhodnú premennú s rozdelením pravdepodobnosti na vzorke ( pravdepodobnostné rozdelenie priemeru).

Obe tieto množstvá sa vypočítajú rovnakým spôsobom:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ak X je náhodná premenná, potom matematické očakávanie X možno považovať za aritmetický priemer hodnôt pri opakovaných meraniach veličiny X. Toto je prejav zákona veľké čísla. Preto sa na odhad neznámej očakávanej hodnoty používa výberový priemer.

V elementárnej algebre sa dokázalo, že priemer n+ 1 číslo nad priemerom nčísla vtedy a len vtedy, ak je nové číslo väčšie ako starý priemer, menšie vtedy a len vtedy, ak je nové číslo menšie ako priemer, a nemení sa vtedy a len vtedy, ak sa nové číslo rovná priemeru. Viac n, čím menší je rozdiel medzi novým a starým priemerom.

Všimnite si, že je k dispozícii niekoľko ďalších „priemerov“ vrátane mocninového priemeru, Kolmogorovovho priemeru, harmonického priemeru, aritmeticko-geometrického priemeru a rôznych vážených priemerov (napr. vážený aritmetický priemer, vážený geometrický priemer, vážený harmonický priemer).

Príklady

• Pre tri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Pre štyri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Alebo jednoduchšie 5+5=10, 10:2. Pretože sme sčítali 2 čísla, čo znamená, koľko čísel sčítame, vydelíme týmto počtom.

Spojitá náhodná premenná

Pre spojito rozložené množstvo f (x) (\displaystyle f(x)) je aritmetický priemer na intervale [ a ; b ] (\displaystyle ) je určený prostredníctvom určitého integrálu:

F (x) - [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Niektoré problémy pri používaní priemeru

Nedostatok robustnosti

Hlavný článok: Robustnosť v štatistike

Hoci sa aritmetické priemery často používajú ako priemery alebo centrálne tendencie, tento koncept nie je robustnou štatistikou, čo znamená, že aritmetický priemer je silne ovplyvnený „veľkými odchýlkami“. Je pozoruhodné, že pre distribúcie s veľkým koeficientom šikmosti nemusí aritmetický priemer zodpovedať pojmu „priemer“ a hodnoty priemeru z robustných štatistík (napríklad medián) môžu lepšie opisovať stredný tendencia.

Klasickým príkladom je výpočet priemerného príjmu. Aritmetický priemer môže byť nesprávne interpretovaný ako medián, čo môže viesť k záveru, že existuje viac ľudí s vyššími príjmami, ako ich v skutočnosti je. „Priemerný“ príjem sa interpretuje tak, že väčšina ľudí má príjmy okolo tohto čísla. Tento „priemerný“ (v zmysle aritmetického priemeru) príjem je vyšší ako príjem väčšiny ľudí, keďže vysoký príjem s veľkou odchýlkou ​​od priemeru spôsobuje, že aritmetický priemer je značne skreslený (naproti tomu priemerný príjem na mediáne „odoláva“ takémuto zošikmeniu). Tento „priemerný“ príjem však nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti mediánu príjmu (a nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti modálneho príjmu). Ak však pojmy „priemer“ a „väčšina ľudí“ beriete na ľahkú váhu, môžete vyvodiť nesprávny záver, že väčšina ľudí má príjmy vyššie, než v skutočnosti sú. Napríklad správa „priemerného“ čistého príjmu v Medine vo Washingtone, vypočítaného ako aritmetický priemer všetkých ročných čistých príjmov obyvateľov, prekvapivo prinesie veľké číslo kvôli Billovi Gatesovi. Zvážte vzorku (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetický priemer je 3,17, ale päť zo šiestich hodnôt je pod týmto priemerom.

Zložené úročenie

Hlavný článok: Návratnosť investícií

Ak čísla množiť, ale nie zložiť, musíte použiť geometrický priemer, nie aritmetický priemer. Najčastejšie sa tento incident vyskytuje pri výpočte návratnosti investícií do financií.

Ak napríklad akcia klesla o 10 % v prvom roku a vzrástla o 30 % v druhom, potom je nesprávne vypočítať „priemerný“ nárast za tieto dva roky ako aritmetický priemer (-10 % + 30 %) / 2 = 10 %; správny priemer je v tomto prípade daný zloženou ročnou mierou rastu, ktorá dáva ročnú mieru rastu len okolo 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Dôvodom je, že percentá majú zakaždým nový počiatočný bod: 30 % je 30 % z čísla menšieho ako bola cena na začiatku prvého roka: ak akcia začínala na 30 USD a klesla o 10 %, má na začiatku druhého roka hodnotu 27 USD. Ak by akcia vzrástla o 30 %, na konci druhého roka by mala hodnotu 35,1 USD. Aritmetický priemer tohto rastu je 10 %, ale keďže akcie vzrástli len o 5,1 USD za 2 roky, priemerný rast 8,2 % dáva konečný výsledok 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ak použijeme aritmetický priemer 10 % rovnakým spôsobom, nezískame skutočnú hodnotu: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Zložený úrok na konci 2 rokov: 90 % * 130 % = 117 %, to znamená, že celkový nárast je 17 % a priemerný ročný zložený úrok je 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), teda priemerný ročný nárast o 8,2%.

Inštrukcie

Hlavný článok: Štatistiky destinácií

Pri výpočte aritmetického priemeru nejakej premennej, ktorá sa cyklicky mení (napríklad fáza alebo uhol), je potrebné venovať osobitnú pozornosť. Napríklad priemer 1° a 359° by bol 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Toto číslo je nesprávne z dvoch dôvodov.

• Po prvé, uhlové miery sú definované len pre rozsah od 0° do 360° (alebo od 0 do 2π, keď sa meria v radiánoch). Rovnaký pár čísel teda možno zapísať ako (1° a -1°) alebo ako (1° a 719°). Priemerné hodnoty každého páru sa budú líšiť: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ)).
• Po druhé, v tomto prípade bude hodnota 0° (ekvivalent 360°) geometricky lepšou priemernou hodnotou, pretože čísla sa od 0° líšia menej ako od akejkoľvek inej hodnoty (hodnota 0° má najmenší rozptyl). Porovnaj:
  • číslo 1° sa líši od 0° len o 1°;
  • číslo 1° sa od vypočítaného priemeru 180° odchyľuje o 179°.

Priemerná hodnota pre cyklickú premennú vypočítaná pomocou vyššie uvedeného vzorca bude umelo posunutá vzhľadom na skutočný priemer smerom k stredu číselného rozsahu. Z tohto dôvodu sa priemer vypočítava iným spôsobom, konkrétne číslom s najmenším rozptylom ( stredový bod). Namiesto odčítania sa tiež používa modulárna vzdialenosť (t. j. obvodová vzdialenosť). Napríklad modulárna vzdialenosť medzi 1° a 359° je 2°, nie 358° (na kruhu medzi 359° a 360°==0° - jeden stupeň, medzi 0° a 1° - tiež 1°, celkovo -2 °).

4.3. Priemerné hodnoty. Podstata a význam priemerných hodnôt

Priemerná veľkosť v štatistike je všeobecný ukazovateľ, ktorý charakterizuje typickú úroveň javu v špecifických podmienkach miesta a času, odrážajúci hodnotu premenlivej charakteristiky na jednotku kvalitatívne homogénnej populácie. V hospodárskej praxi sa používa široká škála ukazovateľov počítaných ako priemerné hodnoty.

Napríklad všeobecný ukazovateľ príjmu pracovníkov akciová spoločnosť(AK) je priemerný príjem jedného pracovníka určený pomerom mzdového fondu a sociálnych odvodov za sledované obdobie (rok, štvrťrok, mesiac) k počtu pracovníkov v as.

Výpočet priemeru je jednou z bežných techník zovšeobecňovania; priemer odráža to, čo je spoločné (typické) pre všetky jednotky skúmanej populácie, pričom zároveň ignoruje rozdiely jednotlivých jednotiek. V každom fenoméne a jeho vývoji existuje kombinácia nehody A nevyhnutné. Pri výpočte priemerov sa v dôsledku pôsobenia zákona veľkých čísel náhodnosť ruší a vyrovnáva, takže je možné abstrahovať od nedôležitých vlastností javu, od kvantitatívnych hodnôt charakteristiky v každom konkrétnom prípade. . Schopnosť abstrahovať od náhodnosti jednotlivých hodnôt, výkyvov spočíva vo vedeckej hodnote priemerov ako zovšeobecňujúci charakteristiky populácií.

V prípade potreby zovšeobecnenia vedie výpočet takýchto charakteristík k nahradeniu mnohých rôznych individuálnych hodnôt atribútu priemer indikátor, ktorý charakterizuje celý súbor javov, ktorý umožňuje identifikovať vzorce vlastné masovým spoločenským javom, ktoré sú v jednotlivých javoch neviditeľné.

Priemer odráža charakteristickú, typickú, skutočnú úroveň skúmaných javov, charakterizuje tieto úrovne a ich zmeny v čase a priestore.

Priemer je súhrnná charakteristika zákonitostí procesu v podmienkach, v ktorých sa vyskytuje.

4.4. Druhy priemerov a metódy ich výpočtu

Voľba typu priemeru je daná ekonomickým obsahom určitého ukazovateľa a zdrojovými údajmi. V každom konkrétnom prípade sa používa jedna z priemerných hodnôt: aritmetika, garmonické, geometrické, kvadratické, kubické atď. Uvedené priemery patria do triedy upokojiť priemer.

Okrem výkonových priemerov sa v štatistickej praxi používajú štrukturálne priemery, ktoré sa považujú za modus a medián.

Pozrime sa podrobnejšie na priemery výkonu.

Aritmetický priemer

Najbežnejším typom priemeru je priemer aritmetika. Používa sa v prípadoch, keď objem premenlivej charakteristiky pre celú populáciu je súčtom hodnôt charakteristík jej jednotlivých jednotiek. Sociálne javy sú charakterizované aditívnosťou (súhrnom) objemov rôznej charakteristiky, čo určuje rozsah použitia aritmetického priemeru a vysvetľuje jeho prevahu ako všeobecný ukazovateľ, napr.: celkový mzdový fond je súčtom miezd všetkých pracovníkov, hrubá úroda je súčtom produktov vyrobených za celú sezónu výsevu.

Ak chcete vypočítať aritmetický priemer, musíte vydeliť súčet všetkých hodnôt funkcií ich počtom.

Vo formulári sa používa aritmetický priemer jednoduchý priemer a vážený priemer. Počiatočná, definujúca forma je jednoduchý priemer.

Jednoduchý aritmetický priemer rovná sa jednoduchému súčtu jednotlivých hodnôt spriemerovanej charakteristiky, vydelenému celkovým počtom týchto hodnôt (používa sa v prípadoch, keď existujú nezoskupené jednotlivé hodnoty charakteristiky):

Kde
- jednotlivé hodnoty premennej (varianty); m - počet jednotiek v populácii.

Okrem toho sa vo vzorcoch neuvádzajú limity súčtu. Napríklad potrebujete zistiť priemerný výkon jedného pracovníka (mechanika), ak viete, koľko dielov vyrobil každý z 15 pracovníkov, t.j. je uvedený počet jednotlivých hodnôt charakteristiky, ks:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Jednoduchý aritmetický priemer sa vypočíta pomocou vzorca (4.1), 1 ks:

Priemer možností, ktoré sa opakujú rôzne veľakrát, alebo, ako sa hovorí, majú rôznu váhu, sa nazýva vážený. Váhy predstavujú počet jednotiek v rôzne skupiny agregáty (rovnaké možnosti sú spojené do skupiny).

Aritmetický priemer vážený- priemer zoskupených hodnôt, - sa vypočíta podľa vzorca:

, (4.2)

Kde
- hmotnosť (frekvencia opakovania rovnakých znakov);

- súčet súčinov veľkosti znakov a ich frekvencií;

- celkový počet jednotiek obyvateľstva.

Techniku ​​výpočtu aritmetického váženého priemeru ilustrujeme pomocou vyššie uvedeného príkladu. Aby sme to urobili, zoskupíme zdrojové údaje a umiestnime ich do tabuľky. 4.1.

Tabuľka 4.1

Rozdelenie pracovníkov na výrobu dielov

Podľa vzorca (4.2) sa vážený aritmetický priemer rovná, ks:

V niektorých prípadoch môžu byť váhy prezentované nie ako absolútne hodnoty, ale ako relatívne (v percentách alebo zlomkoch jednotky). Potom bude vzorec pre aritmetický vážený priemer vyzerať takto:

Kde
- osobitosť, t.j. podiel každej frekvencie na celkovom súčte všetkých

Ak sa frekvencie počítajú v zlomkoch (koeficientoch), tak
= 1 a vzorec pre aritmeticky vážený priemer má tvar:

Výpočet váženého aritmetického priemeru zo skupinových priemerov vykonávané podľa vzorca:

,

Kde f- počet jednotiek v každej skupine.

Výsledky výpočtu aritmetického priemeru zo skupinových priemerov sú uvedené v tabuľke. 4.2.

Tabuľka 4.2

Rozdelenie pracovníkov podľa priemernej dĺžky služby

V tomto príklade nie sú možnosťami jednotlivé údaje o dĺžke služby jednotlivých pracovníkov, ale priemer za každú dielňu. Váhy f sú počty pracovníkov v obchodoch. Priemerná pracovná skúsenosť pracovníkov v celom podniku bude teda roky:

.

Výpočet aritmetického priemeru v distribučných radoch

Ak sú hodnoty spriemerovanej charakteristiky špecifikované vo forme intervalov („od - do“), t.j. intervalový rad distribúcie, potom pri výpočte aritmetického priemeru sa stredy týchto intervalov berú ako hodnoty charakteristík v skupinách, čo vedie k vytvoreniu diskrétneho radu. Uvažujme o nasledujúcom príklade (tabuľka 4.3).

Presuňme sa od intervalovej série k diskrétnej sérii nahradením intervalových hodnôt ich priemernými hodnotami/(jednoduchý priemer

Tabuľka 4.3

Rozdelenie pracovníkov JSC podľa úrovne mesačnej mzdy

Skupiny pracovníkov	Počet pracovníkov	Stred intervalu
mzdy, rub.	ľudia, f	rub., X
900 alebo viac

hodnoty otvorených intervalov (prvý a posledný) sú podmienene rovnaké ako priľahlé intervaly (druhý a predposledný).

Pri tomto výpočte priemeru je povolená určitá nepresnosť, pretože sa predpokladá rovnomerné rozloženie jednotiek charakteristiky v rámci skupiny. Čím je však interval užší a čím viac jednotiek je v intervale, tým je chyba menšia.

Po nájdení stredných bodov intervalov sa výpočty vykonajú rovnakým spôsobom ako v diskrétnom rade - možnosti sa vynásobia frekvenciami (váhmi) a súčet súčinov sa vydelí súčtom frekvencií (váh) , tisíc rubľov:

.

takže, priemerná úroveň odmena pre pracovníkov JSC je 729 rubľov. za mesiac.

Výpočet aritmetického priemeru často vyžaduje veľa času a práce. V mnohých prípadoch však môže byť postup výpočtu priemeru zjednodušený a uľahčený, ak využijete jeho vlastnosti. Uveďme (bez dôkazu) niektoré základné vlastnosti aritmetického priemeru.

Nehnuteľnosť 1. Ak všetky jednotlivé hodnoty charakteristiky (t.j. všetky možnosti) znížiť alebo zvýšiť ikrát, potom priemerná hodnota nová charakteristika sa zodpovedajúcim spôsobom zníži alebo zvýši iraz.

Nehnuteľnosť 2. Ak sa znížia všetky varianty spriemerovanej charakteristikyšiť alebo zvýšiť o číslo A, potom zodpovedá aritmetický priemersa skutočne zníži alebo zvýši o rovnaké číslo A.

Nehnuteľnosť 3. Ak sa znížia váhy všetkých spriemerovaných možností alebo zvýšiť o Komu krát, potom sa aritmetický priemer nezmení.

Ako priemerné váhy môžete namiesto absolútnych ukazovateľov použiť špecifické váhy v celkovom súčte (podiely alebo percentá). To zjednodušuje výpočty priemeru.

Aby sa zjednodušili výpočty priemeru, sledujú cestu znižovania hodnôt možností a frekvencií. Najväčšie zjednodušenie sa dosiahne, keď ako A hodnota jednej z centrálnych možností, ktorá má najvyššiu frekvenciu, sa vyberie ako / - hodnota intervalu (pre série s rovnakými intervalmi). Veličina A sa nazýva referenčný bod, preto sa tento spôsob výpočtu priemeru nazýva „metóda počítania od podmienenej nuly“, resp. "v spôsobe okamihov."

Predpokladajme, že všetky možnosti X najprv sa znížil o rovnaké číslo A a potom sa znížil o i raz. Získame nový variačný rad distribúcie nových možností .

Potom nové možnosti bude vyjadrené:

,

a ich nový aritmetický priemer , -moment prvej objednávky- vzorec:

.

Rovná sa priemeru pôvodných možností, najskôr znížených o A, a potom dovnútra i raz.

Na získanie skutočného priemeru je potrebný moment prvého rádu m 1 , vynásobte i a pridať A:

.

Táto metóda výpočet aritmetického priemeru z radu variácií sa nazýva "v spôsobe okamihov." Táto metóda sa používa v riadkoch v rovnakých intervaloch.

Výpočet aritmetického priemeru pomocou metódy momentov ilustrujú údaje v tabuľke. 4.4.

Tabuľka 4.4

Rozdelenie malých podnikov v kraji podľa hodnoty fixných výrobných aktív (FPF) v roku 2000.

Skupiny podnikov podľa hodnoty OPF, tisíc rubľov.	Počet podnikov f	Stredy intervalov X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Nájdenie momentu prvej objednávky

.

Potom zoberte A = 19 a viete to i= 2, vypočítajte X, tisíc rubľov.:

Typy priemerných hodnôt a metódy ich výpočtu

V štádiu štatistického spracovania možno nastaviť rôzne výskumné problémy, na riešenie ktorých je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: veličiny, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

• výkonové priemery;
• štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúce konvencie:

množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že sa uskutočňuje priemerovanie jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých charakteristických hodnôt).

Zo všeobecného vzorca priemerného výkonu sú odvodené rôzne priemery:

(5.1)

keď k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery Toto sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každú možnosť vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „stupnice“ sú počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo Priemerná hmotnosť.

Aritmetický priemer- najbežnejší typ priemeru. Používa sa, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, kde potrebujete získať priemerný termín. Aritmetický priemer je priemerná hodnota charakteristiky, po ktorej získaní zostáva celkový objem charakteristiky v súhrne nezmenený.

Vzorec aritmetického priemeru ( jednoduché) má tvar

kde n je veľkosť populácie.

Napríklad priemerná mzda zamestnancov podniku sa vypočíta ako aritmetický priemer:

Určujúcimi ukazovateľmi sú tu mzda každého zamestnanca a počet zamestnancov podniku. Pri výpočte priemeru zostala celková výška miezd rovnaká, ale rovnomerne rozdelená medzi všetkých zamestnancov. Napríklad musíte vypočítať priemer mzdy zamestnanci malej firmy zamestnávajúcej 8 ľudí:

Pri výpočte priemerných hodnôt sa môžu jednotlivé hodnoty spriemerovanej charakteristiky opakovať, takže priemerná hodnota sa vypočíta pomocou zoskupených údajov. V tomto prípade hovoríme o o používaní vážený aritmetický priemer, ktorý má podobu

(5.3)

Potrebujeme teda vypočítať priemernú cenu akcií akciovej spoločnosti pri obchodovaní na burze. Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ak. - 1010 rubľov.

2 - 650 ak. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ak. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcií je pomer celkového množstva transakcií (TVA) k počtu predaných akcií (KPA).

Tento výraz má iné významy, pozri priemerný význam.

Priemerná(v matematike a štatistike) množiny čísel - súčet všetkých čísel delený ich počtom. Je to jedna z najbežnejších mier centrálnej tendencie.

Navrhli ho (spolu s geometrickým priemerom a harmonickým priemerom) pytagorejci.

Špeciálnymi prípadmi aritmetického priemeru sú priemer (všeobecná populácia) a výberový priemer (vzorka).

Úvod

Označme súbor údajov X = (X 1 , X 2 , …, X n), potom sa priemer vzorky zvyčajne označuje vodorovným pruhom nad premennou (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), vyslovuje sa „ X s čiarou“).

Grécke písmeno μ sa používa na označenie aritmetického priemeru celej populácie. Pre náhodnú premennú, pre ktorú je určená stredná hodnota, je μ pravdepodobnostný priemer alebo matematické očakávanie náhodnej premennej. Ak súprava X je súbor náhodných čísel s pravdepodobnostným priemerom μ, potom pre ľubovoľnú vzorku X i z tejto množiny μ = E( X i) je matematické očakávanie tejto vzorky.

V praxi je rozdiel medzi μ a x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) v tom, že μ je typická premenná, pretože môžete vidieť vzorku a nie celú populáciu. Preto, ak je vzorka reprezentovaná náhodne (z hľadiska teórie pravdepodobnosti), potom x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ale nie μ) možno považovať za náhodnú premennú s rozdelením pravdepodobnosti na vzorke ( pravdepodobnostné rozdelenie priemeru).

Obe tieto množstvá sa vypočítajú rovnakým spôsobom:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ak X je náhodná premenná, potom matematické očakávanie X možno považovať za aritmetický priemer hodnôt pri opakovaných meraniach veličiny X. Toto je prejav zákona veľkých čísel. Preto sa na odhad neznámej očakávanej hodnoty používa výberový priemer.

V elementárnej algebre sa dokázalo, že priemer n+ 1 číslo nad priemerom nčísla vtedy a len vtedy, ak je nové číslo väčšie ako starý priemer, menšie vtedy a len vtedy, ak je nové číslo menšie ako priemer, a nemení sa vtedy a len vtedy, ak sa nové číslo rovná priemeru. Viac n, čím menší je rozdiel medzi novým a starým priemerom.

Všimnite si, že je k dispozícii niekoľko ďalších „priemerov“ vrátane mocninového priemeru, Kolmogorovovho priemeru, harmonického priemeru, aritmeticko-geometrického priemeru a rôznych vážených priemerov (napr. vážený aritmetický priemer, vážený geometrický priemer, vážený harmonický priemer).

Príklady

• Pre tri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Pre štyri čísla ich musíte sčítať a vydeliť 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Alebo jednoduchšie 5+5=10, 10:2. Pretože sme sčítali 2 čísla, čo znamená, koľko čísel sčítame, vydelíme týmto počtom.

Spojitá náhodná premenná

Pre spojito rozložené množstvo f (x) (\displaystyle f(x)) je aritmetický priemer na intervale [ a ; b ] (\displaystyle ) je určený prostredníctvom určitého integrálu:

F (x) - [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Niektoré problémy pri používaní priemeru

Nedostatok robustnosti

Hlavný článok: Robustnosť v štatistike

Hoci sa aritmetické priemery často používajú ako priemery alebo centrálne tendencie, tento koncept nie je robustnou štatistikou, čo znamená, že aritmetický priemer je silne ovplyvnený „veľkými odchýlkami“. Je pozoruhodné, že pre distribúcie s veľkým koeficientom šikmosti nemusí aritmetický priemer zodpovedať pojmu „priemer“ a hodnoty priemeru z robustných štatistík (napríklad medián) môžu lepšie opisovať stredný tendencia.

Klasickým príkladom je výpočet priemerného príjmu. Aritmetický priemer môže byť nesprávne interpretovaný ako medián, čo môže viesť k záveru, že existuje viac ľudí s vyššími príjmami, ako ich v skutočnosti je. „Priemerný“ príjem sa interpretuje tak, že väčšina ľudí má príjmy okolo tohto čísla. Tento „priemerný“ (v zmysle aritmetického priemeru) príjem je vyšší ako príjem väčšiny ľudí, keďže vysoký príjem s veľkou odchýlkou ​​od priemeru spôsobuje, že aritmetický priemer je značne skreslený (naproti tomu priemerný príjem na mediáne „odoláva“ takémuto zošikmeniu). Tento „priemerný“ príjem však nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti mediánu príjmu (a nehovorí nič o počte ľudí v blízkosti modálneho príjmu). Ak však pojmy „priemer“ a „väčšina ľudí“ beriete na ľahkú váhu, môžete vyvodiť nesprávny záver, že väčšina ľudí má príjmy vyššie, než v skutočnosti sú. Napríklad správa „priemerného“ čistého príjmu v Medine vo Washingtone, vypočítaného ako aritmetický priemer všetkých ročných čistých príjmov obyvateľov, by priniesla prekvapivo veľké číslo vďaka Billovi Gatesovi. Zvážte vzorku (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetický priemer je 3,17, ale päť zo šiestich hodnôt je pod týmto priemerom.

Zložené úročenie

Hlavný článok: Návratnosť investícií

Ak čísla množiť, ale nie zložiť, musíte použiť geometrický priemer, nie aritmetický priemer. Najčastejšie sa tento incident vyskytuje pri výpočte návratnosti investícií do financií.

Ak napríklad akcia klesla o 10 % v prvom roku a vzrástla o 30 % v druhom, potom je nesprávne vypočítať „priemerný“ nárast za tieto dva roky ako aritmetický priemer (-10 % + 30 %) / 2 = 10 %; správny priemer je v tomto prípade daný zloženou ročnou mierou rastu, ktorá dáva ročnú mieru rastu len okolo 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Dôvodom je, že percentá majú zakaždým nový počiatočný bod: 30 % je 30 % z čísla menšieho ako bola cena na začiatku prvého roka: ak akcia začínala na 30 USD a klesla o 10 %, má na začiatku druhého roka hodnotu 27 USD. Ak by akcia vzrástla o 30 %, na konci druhého roka by mala hodnotu 35,1 USD. Aritmetický priemer tohto rastu je 10 %, ale keďže akcie vzrástli len o 5,1 USD za 2 roky, priemerný rast 8,2 % dáva konečný výsledok 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ak použijeme aritmetický priemer 10 % rovnakým spôsobom, nezískame skutočnú hodnotu: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

Zložený úrok na konci 2 rokov: 90 % * 130 % = 117 %, to znamená, že celkový nárast je 17 % a priemerný ročný zložený úrok je 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), teda priemerný ročný nárast o 8,2%.

Inštrukcie

Hlavný článok: Štatistiky destinácií

Pri výpočte aritmetického priemeru nejakej premennej, ktorá sa cyklicky mení (napríklad fáza alebo uhol), je potrebné venovať osobitnú pozornosť. Napríklad priemer 1° a 359° by bol 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Toto číslo je nesprávne z dvoch dôvodov.

• Po prvé, uhlové miery sú definované len pre rozsah od 0° do 360° (alebo od 0 do 2π, keď sa meria v radiánoch). Rovnaký pár čísel teda možno zapísať ako (1° a -1°) alebo ako (1° a 719°). Priemerné hodnoty každého páru sa budú líšiť: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ)).
• Po druhé, v tomto prípade bude hodnota 0° (ekvivalent 360°) geometricky lepšou priemernou hodnotou, pretože čísla sa od 0° líšia menej ako od akejkoľvek inej hodnoty (hodnota 0° má najmenší rozptyl). Porovnaj:
  • číslo 1° sa líši od 0° len o 1°;
  • číslo 1° sa od vypočítaného priemeru 180° odchyľuje o 179°.

Priemerná hodnota pre cyklickú premennú vypočítaná pomocou vyššie uvedeného vzorca bude umelo posunutá vzhľadom na skutočný priemer smerom k stredu číselného rozsahu. Z tohto dôvodu sa priemer vypočítava iným spôsobom, konkrétne sa ako priemerná hodnota vyberie číslo s najmenším rozptylom (stredný bod). Namiesto odčítania sa tiež používa modulárna vzdialenosť (t. j. obvodová vzdialenosť). Napríklad modulárna vzdialenosť medzi 1° a 359° je 2°, nie 358° (na kruhu medzi 359° a 360°==0° - jeden stupeň, medzi 0° a 1° - tiež 1°, celkovo -2 °).

Typy priemerných hodnôt a metódy ich výpočtu

V štádiu štatistického spracovania možno nastaviť rôzne výskumné problémy, na riešenie ktorých je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: veličiny, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

• výkonové priemery;
• štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúce konvencie:

množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že sa uskutočňuje priemerovanie jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých charakteristických hodnôt).

Zo všeobecného vzorca priemerného výkonu sú odvodené rôzne priemery:

(5.1)

keď k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery Toto sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každú možnosť vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „stupnice“ sú počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo Priemerná hmotnosť.

Aritmetický priemer- najbežnejší typ priemeru. Používa sa, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, kde potrebujete získať priemerný termín. Aritmetický priemer je priemerná hodnota charakteristiky, po ktorej získaní zostáva celkový objem charakteristiky v súhrne nezmenený.

Vzorec aritmetického priemeru ( jednoduché) má tvar

kde n je veľkosť populácie.

Napríklad priemerná mzda zamestnancov podniku sa vypočíta ako aritmetický priemer:

Určujúcimi ukazovateľmi sú tu mzda každého zamestnanca a počet zamestnancov podniku. Pri výpočte priemeru zostala celková výška miezd rovnaká, ale rovnomerne rozdelená medzi všetkých zamestnancov. Napríklad musíte vypočítať priemernú mzdu pracovníkov v malej spoločnosti, ktorá zamestnáva 8 ľudí:

Pri výpočte priemerných hodnôt sa môžu jednotlivé hodnoty spriemerovanej charakteristiky opakovať, takže priemerná hodnota sa vypočíta pomocou zoskupených údajov. V tomto prípade hovoríme o použití vážený aritmetický priemer, ktorý má podobu

(5.3)

Potrebujeme teda vypočítať priemernú cenu akcií akciovej spoločnosti pri obchodovaní na burze. Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ak. - 1010 rubľov.

2 - 650 ak. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ak. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcií je pomer celkového množstva transakcií (TVA) k počtu predaných akcií (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3 550.

V tomto prípade sa priemerná cena akcií rovnala

Je potrebné poznať vlastnosti aritmetického priemeru, čo je veľmi dôležité tak pre jeho použitie, ako aj pre jeho výpočet. Môžeme rozlíšiť tri hlavné vlastnosti, ktoré najviac určovali rozšírené používanie aritmetického priemeru v štatistických a ekonomických výpočtoch.

Nehnuteľnosť jedna (nula): súčet kladných odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od jej priemernej hodnoty sa rovná súčtu záporných odchýlok. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť, pretože ukazuje, že akékoľvek odchýlky (aj + aj -) spôsobené náhodnými príčinami budú vzájomne anulované.

dôkaz:

Nehnuteľnosť dva (minimálne): súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru je menší ako od akéhokoľvek iného čísla (a), t.j. existuje minimálny počet.

Dôkaz.

Zostavme súčet štvorcových odchýlok od premennej a:

(5.4)

Na nájdenie extrému tejto funkcie je potrebné prirovnať jej deriváciu vzhľadom na a k nule:

Odtiaľto dostaneme:

(5.5)

V dôsledku toho sa extrém súčtu kvadrátov odchýlok dosiahne pri . Tento extrém je minimum, pretože funkcia nemôže mať maximum.

Nehnuteľnosť tri: aritmetický priemer konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante: pre a = konšt.

Okrem týchto troch najdôležitejšie vlastnosti aritmetický priemer existujú tzv dizajnové vlastnosti, ktoré používaním elektronickej výpočtovej techniky postupne strácajú svoj význam:

• ak sa individuálna hodnota atribútu každej jednotky vynásobí alebo vydelí konštantným číslom, potom sa aritmetický priemer zvýši alebo zníži o rovnakú hodnotu;
• aritmetický priemer sa nezmení, ak sa váha (frekvencia) každej hodnoty atribútu vydelí konštantným číslom;
• ak sa jednotlivé hodnoty atribútu každej jednotky znížia alebo zvýšia o rovnakú hodnotu, aritmetický priemer sa zníži alebo zvýši o rovnakú hodnotu.

Harmonický priemer. Tento priemer sa nazýva inverzný aritmetický priemer, pretože táto hodnota sa používa, keď k = -1.

Jednoduchý harmonický priemer sa používa, keď sú váhy hodnôt atribútov rovnaké. Jeho vzorec možno odvodiť zo základného vzorca dosadením k = -1:

Napríklad musíme počítať priemerná rýchlosť dve autá, ktoré prešli tú istú dráhu, ale rôznymi rýchlosťami: prvé pri rýchlosti 100 km/h, druhé pri rýchlosti 90 km/h. Pomocou metódy harmonického priemeru vypočítame priemernú rýchlosť:

V štatistickej praxi sa častejšie používa harmonická vážená, ktorej vzorec má tvar

Tento vzorec sa používa v prípadoch, keď váhy (alebo objemy javov) pre každý atribút nie sú rovnaké. V počiatočnom vzťahu na výpočet priemeru je čitateľ známy, no menovateľ nie je známy.

Napríklad pri výpočte priemernej ceny musíme použiť pomer predajnej sumy k počtu predaných kusov. Nepoznáme počet predaných kusov (hovoríme o rôznych produktoch), ale poznáme objemy predaja týchto rôznych produktov. Povedzme, že potrebujete zistiť priemernú cenu predaného tovaru:

Dostaneme

Geometrický priemer. Geometrický priemer najčastejšie nachádza uplatnenie pri určovaní priemerných rýchlostí rastu (priemerných rastových koeficientov), ​​keď sú jednotlivé hodnoty charakteristiky prezentované vo forme relatívnych hodnôt. Používa sa tiež, ak je potrebné nájsť priemer medzi minimálnymi a maximálnymi hodnotami charakteristiky (napríklad medzi 100 a 1000000). Existujú vzorce pre jednoduchý a vážený geometrický priemer.

Pre jednoduchý geometrický priemer

Pre vážený geometrický priemer

Odmocnina so štvorcovou hodnotou. Hlavnou oblasťou jeho použitia je meranie variácie charakteristiky v súhrne (výpočet priemeru štvorcová odchýlka).

Jednoduchý stredný štvorcový vzorec

Vzorec váženého stredného štvorca

(5.11)

V dôsledku toho môžeme povedať, že od správna voľba Typ priemernej hodnoty v každom konkrétnom prípade závisí od úspešného riešenia problémov štatistického výskumu. Výber priemeru zahŕňa nasledujúcu postupnosť:

a) stanovenie všeobecného ukazovateľa populácie;

b) určenie matematického vzťahu veličín pre daný všeobecný ukazovateľ;

c) nahradenie jednotlivých hodnôt priemernými hodnotami;

d) výpočet priemeru pomocou príslušnej rovnice.

Priemery a variácie

priemerná hodnota- ide o všeobecný ukazovateľ, ktorý charakterizuje kvalitatívne homogénnu populáciu podľa určitej kvantitatívnej charakteristiky. Napríklad priemerný vek osôb odsúdených za krádež.

V súdnej štatistike sa priemerné hodnoty používajú na charakterizáciu:

Priemerný čas na posúdenie prípadov tejto kategórie;

Priemerná veľkosť nároku;

Priemerný počet obžalovaných na prípad;

Priemerná škoda;

Priemerná vyťaženosť sudcov a pod.

Priemer je vždy pomenovaná hodnota a má rovnaký rozmer ako charakteristika jednotlivej jednotky populácie. Každá priemerná hodnota charakterizuje študovanú populáciu podľa ktorejkoľvek meniacej sa charakteristiky, preto za každou priemernou hodnotou leží séria rozdelenia jednotiek tejto populácie podľa študovanej charakteristiky. Voľba typu priemeru je daná obsahom ukazovateľa a východiskovým údajom pre výpočet priemernej hodnoty.

Všetky typy priemerov používaných v štatistickom výskume sú rozdelené do dvoch kategórií:

1) priemery výkonu;

2) štrukturálne priemery.

Prvá kategória priemerov zahŕňa: aritmetický priemer, harmonický priemer, geometrický priemer A odmocnina stredná štvorec . Druhá kategória je móda A medián. Okrem toho každý z uvedených typov priemerov výkonu môže mať dve formy: jednoduché A vážený . Jednoduchá forma Priemerná hodnota sa používa na získanie priemernej hodnoty skúmanej charakteristiky, keď sa výpočet vykonáva pomocou nezoskupených štatistických údajov alebo keď sa každá možnosť v súhrne vyskytuje iba raz. Vážené priemery sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každý variant vynásobiť príslušnou frekvenciou. Inými slovami, každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia sa nazýva štatistická váha.

Jednoduchý aritmetický priemer- najbežnejší typ priemeru. Rovná sa súčtu jednotlivých hodnôt atribútu vydelenému celkovým počtom týchto hodnôt:

,

Kde x 1, x 2, …, x N sú jednotlivé hodnoty premennej charakteristiky (varianty) a N je počet jednotiek v populácii.

Aritmetický priemer vážený používa sa v prípadoch, keď sú údaje prezentované vo forme distribučných radov alebo zoskupení. Vypočítava sa ako súčet súčinov opcií a ich zodpovedajúcich frekvencií, vydelený súčtom frekvencií všetkých opcií:

Kde x i- význam i-tý variant charakteristiky; f i– frekvencia i-té možnosti.

Každá hodnota variantu je teda vážená svojou frekvenciou, a preto sa frekvencie niekedy nazývajú štatistické váhy.

Komentujte. Keď hovoríme o aritmetickom priemere bez uvedenia jeho typu, máme na mysli jednoduchý aritmetický priemer.

Tabuľka 12.

Riešenie. Na výpočet používame vzorec váženého aritmetického priemeru:

Na jednu trestnú vec teda pripadajú v priemere dvaja obžalovaní.

Ak sa priemerná hodnota vypočítava pomocou údajov zoskupených vo forme intervalových distribučných radov, musíte najprv určiť stredné hodnoty každého intervalu x"i a potom vypočítať priemerná hodnota podľa vzorca váženého aritmetického priemeru, do ktorého sa namiesto x i dosadí x" i.

Príklad.Údaje o veku zločincov odsúdených za krádež sú uvedené v tabuľke:

Tabuľka 13.

Určte priemerný vek zločincov odsúdených za krádež.

Riešenie. Aby bolo možné určiť priemerný vek zločincov na základe série variácií intervalov, je potrebné najprv nájsť stredné hodnoty intervalov. Keďže nám je daný intervalový rad s najprv otvorte a posledné intervaly, potom sa hodnoty týchto intervalov považujú za rovné hodnotám susedných uzavretých intervalov. V našom prípade sú hodnoty prvého a posledného intervalu rovné 10.

Teraz zistíme priemerný vek zločincov pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru:

Priemerný vek zločincov odsúdených za krádež je teda približne 27 rokov.

Stredná harmonická jednoduchá predstavuje prevrátenú hodnotu aritmetického priemeru prevrátených hodnôt charakteristiky:

kde 1/ x i sú inverzné hodnoty možností a N je počet jednotiek v populácii.

Príklad. Na zistenie priemerného ročného úväzku sudcov okresného súdu pri prejednávaní trestných vecí bola vypracovaná štúdia o zaťaženosti 5 sudcov tohto súdu. Priemerný čas strávený na jednej trestnej veci pre každého z opýtaných sudcov bol rovnaký (v dňoch): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Nájdite priemerné náklady na jednom trestnej veci a priemernej ročnej záťaži sudcov daného okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí.

Riešenie. Na určenie priemerného času stráveného na jednom kriminálnom prípade používame harmonický priemerný vzorec:

Pre zjednodušenie výpočtov uvádzame v príklade počet dní v roku 365 vrátane víkendov (toto nemá vplyv na metodiku výpočtu a pri výpočte podobného ukazovateľa v praxi je potrebné dosadiť počet odprac. dní v konkrétnom roku namiesto 365 dní). Potom priemerná ročná záťaž sudcov daného okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí bude: 365 (dní) : 5,56 ≈ 65,6 (vecií).

Ak by sme použili jednoduchý aritmetický priemerný vzorec na určenie priemerného času stráveného na jednom trestnom prípade, dostali by sme:

365 (dni): 5,64 ≈ 64,7 (prípady), t.j. priemerné pracovné zaťaženie sudcov sa ukázalo byť menšie.

Overme si opodstatnenosť tohto prístupu. Na tento účel použijeme údaje o čase strávenom na jednej trestnej veci pre každého sudcu a vypočítame počet trestných vecí, ktoré každý z nich posudzoval za rok.

Podľa toho dostaneme:

365 (dni): 6 ≈ 61 (prípady), 365 (dni) : 5,6 ≈ 65,2 (prípady), 365 (dni) : 6,3 ≈ 58 (prípady),

365 (dni): 4,9 ≈ 74,5 (prípady), 365 (dni) : 5,4 ≈ 68 (prípady).

Teraz vypočítajme priemerné ročné pracovné zaťaženie sudcov daného okresného súdu pri posudzovaní trestných vecí:

Tie. priemerné ročné zaťaženie je rovnaké ako pri použití harmonického priemeru.

Preto je použitie aritmetického priemeru v tomto prípade nezákonné.

V prípadoch, keď sú známe varianty charakteristiky a ich objemové hodnoty (súčin variantov a frekvencie), ale samotné frekvencie nie sú známe, použije sa vzorec váženého harmonického priemeru:

,

Kde x i sú hodnoty možností atribútov a w i sú objemové hodnoty možností ( w i = x i f i).

Príklad.Údaje o cene jednotky rovnakého druhu výrobku vyrábaného rôznymi inštitúciami trestného systému a o objeme jeho predaja sú uvedené v tabuľke 14.

Tabuľka 14

Zistite priemernú predajnú cenu produktu.

Riešenie. Pri výpočte priemernej ceny musíme použiť pomer predajnej sumy k počtu predaných kusov. Nepoznáme počet predaných kusov, ale poznáme výšku predaja tovaru. Preto na zistenie priemernej ceny predaného tovaru použijeme vzorec váženého harmonického priemeru. Dostaneme

Ak tu použijete aritmetický priemerný vzorec, môžete získať priemernú cenu, ktorá bude nereálna:

Geometrický priemer sa vypočíta extrahovaním koreňa stupňa N zo súčinu všetkých hodnôt variantov atribútu:

Kde x 1, x 2, …, x N– jednotlivé hodnoty premennej charakteristiky (varianty) a

N– počet jednotiek v populácii.

Tento typ priemeru sa používa na výpočet priemerných mier rastu časových radov.

Hlavné námestie sa používa na výpočet štandardnej odchýlky, ktorá je indikátorom variácie, a bude diskutovaná nižšie.

Na určenie štruktúry obyvateľstva sa používajú špeciálne priemerné ukazovatele, ktoré zahŕňajú medián A móda , alebo takzvané štrukturálne priemery. Ak je aritmetický priemer vypočítaný na základe použitia všetkých variantov hodnôt atribútov, potom medián a mód charakterizujú hodnotu variantu, ktorý zaujíma určitú priemernú pozíciu v zoradenej (usporiadanej) sérii. Jednotky štatistickej populácie môžu byť usporiadané vzostupne alebo zostupne podľa variantov skúmanej charakteristiky.

Medián (ja)– toto je hodnota, ktorá zodpovedá možnosti umiestnenej v strede zoradeného radu. Medián je teda tá verzia hodnotenej série, na ktorej oboch stranách by mala byť táto séria rovnaký počet jednotiek obyvateľstva.

Ak chcete nájsť medián, musíte ho najprv určiť sériové číslo v zoradenej sérii podľa vzorca:

kde N je objem série (počet jednotiek v populácii).

Ak séria pozostáva z nepárneho počtu členov, potom sa medián rovná možnosti s číslom N Me. Ak séria pozostáva z párneho počtu členov, potom je medián definovaný ako aritmetický priemer dvoch susedných možností umiestnených v strede.

Príklad. Daná zoradená séria 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Objem série je N = 9, čo znamená N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Preto Me = 6, t.j. piata možnosť. Ak je riadok daný 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, t.j. séria s párnym počtom členov (N = 8), potom N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. To znamená, že medián sa rovná polovici súčtu štvrtej a piatej možnosti, t.j. Me = (9 + 11)/2 = 10.

V sérii diskrétnych variácií je medián určený akumulovanými frekvenciami. Frekvencie možnosti, počnúc od prvej, sa sčítavajú, kým sa neprekročí stredný počet. Hodnota posledných sčítaných opcií bude medián.

Príklad. Nájdite medián počtu obvinených na trestný prípad pomocou údajov v tabuľke 12.

Riešenie. V tomto prípade je objem variačnej série N = 154, teda N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Po sčítaní frekvencií prvej a druhej možnosti dostaneme: 75 + 43 = 118, t.j. prekročili sme stredný počet. Takže ja = 2.

V sérii variácií intervalov distribúcia najskôr udáva interval, v ktorom sa bude nachádzať medián. Volá sa medián . Toto je prvý interval, ktorého akumulovaná frekvencia presahuje polovicu objemu série variácií intervalu. Potom číselná hodnota Medián je určený vzorcom:

Kde x Ja– dolná hranica stredného intervalu; i – hodnota stredného intervalu; S Me-1– akumulovaná frekvencia intervalu, ktorý predchádza mediánu; f Ja– frekvencia stredného intervalu.

Príklad. Nájdite stredný vek páchateľov odsúdených za krádež na základe štatistík uvedených v tabuľke 13.

Riešenie.Štatistické údaje sú prezentované radom intervalových variácií, čo znamená, že najprv určíme stredný interval. Objem populácie je N = 162, teda mediánový interval je interval 18-28, pretože toto je prvý interval, ktorého akumulovaná frekvencia (15 + 90 = 105) presahuje polovicu objemu (162: 2 = 81) série variácií intervalu. Teraz určíme číselnú hodnotu mediánu pomocou vyššie uvedeného vzorca:

Polovica odsúdených za krádež má teda menej ako 25 rokov.

Móda (Po) Nazývajú hodnotu charakteristiky, ktorá sa najčastejšie nachádza v jednotkách populácie. Móda sa používa na identifikáciu hodnoty vlastnosti, ktorá je najrozšírenejšia. Pre diskrétnu sériu bude režim možnosť s najvyššou frekvenciou. Napríklad pre samostatné série uvedené v tabuľke 3 Mo= 1, keďže táto hodnota zodpovedá najvyššej frekvencii - 75. Na určenie režimu intervalového radu najskôr určte modálny interval (interval s najvyššou frekvenciou). Potom sa v tomto intervale nájde hodnota funkcie, ktorou môže byť režim.

Jeho hodnota sa zistí pomocou vzorca:

Kde xMo– spodná hranica modálneho intervalu; i – hodnota modálneho intervalu; f Po– frekvencia modálneho intervalu; f Po-1– frekvencia intervalu predchádzajúceho modálnemu; f Po+1– frekvencia intervalu nasledujúceho po modálnom.

Príklad. Nájdite vek zločincov odsúdených za krádež, údaje o nich sú uvedené v tabuľke 13.

Riešenie. Najvyššia frekvencia zodpovedá intervalu 18-28, preto by mal byť režim v tomto intervale. Jeho hodnota je určená vyššie uvedeným vzorcom:

Najväčší počet odsúdených za krádež má teda 24 rokov.

Priemerná hodnota poskytuje všeobecnú charakteristiku celého skúmaného javu. Dve populácie, ktoré majú rovnaké priemerné hodnoty, sa však môžu navzájom výrazne líšiť v stupni kolísania (variácie) hodnoty študovanej charakteristiky. Napríklad na jednom súde boli uložené tieto tresty odňatia slobody: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 rokov a na inom - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 rokov. V oboch prípadoch je aritmetický priemer 6,7 roka. Tieto populácie sa však navzájom výrazne líšia v rozložení jednotlivých hodnôt prideleného trestu odňatia slobody v porovnaní s priemernou hodnotou.

A na prvom súde, kde je toto rozpätie dosť veľké, priemerná dĺžka trestu odňatia slobody neodráža celú populáciu. Ak sa teda jednotlivé hodnoty charakteristiky od seba líšia len málo, potom bude aritmetický priemer pomerne indikatívnou charakteristikou vlastností danej populácie. V opačnom prípade bude aritmetický priemer nespoľahlivou charakteristikou tejto populácie a jeho použitie v praxi bude neúčinné. Preto je potrebné vziať do úvahy odchýlky v hodnotách skúmanej charakteristiky.

Variácia- ide o rozdiely v hodnotách akejkoľvek charakteristiky medzi rôznymi jednotkami danej populácie v rovnakom období alebo časovom bode. Pojem „variácia“ je latinského pôvodu – variatio, čo znamená rozdiel, zmena, kolísanie. Vzniká v dôsledku skutočnosti, že jednotlivé hodnoty charakteristiky sa tvoria pod kombinovaným vplyvom rôznych faktorov (podmienok), ktoré sa v každom jednotlivom prípade kombinujú odlišne. Na meranie variácie charakteristiky sa používajú rôzne absolútne a relatívne ukazovatele.

Medzi hlavné ukazovatele variácie patria:

1) rozsah zmeny;

2) priemerná lineárna odchýlka;

3) disperzia;

4) štandardná odchýlka;

5) variačný koeficient.

Pozrime sa v krátkosti na každú z nich.

Rozsah variácií R je najdostupnejší absolútny ukazovateľ z hľadiska jednoduchosti výpočtu, ktorý je definovaný ako rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou charakteristiky pre jednotky danej populácie:

Rozsah variácie (rozsah kolísania) – dôležitý ukazovateľ variabilitu znaku, ale umožňuje vidieť len extrémne odchýlky, čo obmedzuje rozsah jeho použitia. Na presnejšiu charakteristiku variácie vlastnosti na základe jej variability sa používajú ďalšie ukazovatele.

Priemerná lineárna odchýlka predstavuje aritmetický priemer absolútnych hodnôt odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od priemeru a je určený vzorcami:

1) Pre nezoskupené údaje

2) Pre variačná séria

Najpoužívanejším meradlom variácie je však disperzia . Charakterizuje mieru rozptylu hodnôt študovanej charakteristiky vzhľadom na jej priemernú hodnotu. Disperzia je definovaná ako priemer druhej mocniny odchýlok.

Jednoduchá variácia pre nezoskupené údaje:

.

Odchýlka vážená pre sériu variácií:

Komentujte. V praxi je na výpočet rozptylu lepšie použiť nasledujúce vzorce:

Pre jednoduchú variáciu

.

Pre vážený rozptyl

Smerodajná odchýlka je druhá odmocnina z rozptylu:

Smerodajná odchýlka je mierou spoľahlivosti priemeru. Čím je štandardná odchýlka menšia, tým je populácia homogénnejšia a tým lepšie aritmetický priemer odráža celú populáciu.

Miery disperzie diskutované vyššie (rozsah variácie, disperzia, štandardná odchýlka) sú v absolútnom vyjadrení, podľa ktorých nie je vždy možné posúdiť mieru variability charakteristiky. V niektorých úlohách je potrebné použiť relatívne indexy rozptylu, z ktorých jeden je variačný koeficient.

Variačný koeficient– pomer štandardnej odchýlky k aritmetickému priemeru vyjadrený v percentách:

Variačný koeficient sa používa nielen na porovnávacie hodnotenie variácií rôznych vlastností alebo rovnakej charakteristiky v rôznych populáciách, ale aj na charakterizáciu homogenity populácie. Štatistická populácia sa považuje za kvantitatívne homogénnu, ak variačný koeficient nepresahuje 33 % (pre distribúcie blízke normálnemu rozdeleniu).

Príklad. O trvaní trestu odňatia slobody 50 odsúdených odovzdaných na výkon trestu uloženého súdom v nápravnovýchovnom ústave trestného poriadku sú k dispozícii tieto údaje: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Zostavte sériu distribúcií podľa trestov odňatia slobody.

2. Nájdite priemer, rozptyl a smerodajnú odchýlku.

3. Vypočítajte variačný koeficient a urobte záver o homogenite alebo heterogenite skúmanej populácie.

Riešenie. Na zostavenie diskrétneho distribučného radu je potrebné určiť možnosti a frekvencie. Možnosťou v tomto probléme je doba odňatia slobody a frekvencia je počet jednotlivých možností. Po vypočítaní frekvencií získame nasledujúce diskrétne distribučné rady:

Poďme nájsť priemer a rozptyl. Keďže štatistické údaje sú reprezentované diskrétnymi variačnými radmi, na ich výpočet použijeme vzorce pre vážený aritmetický priemer a rozptyl. Dostaneme:

= = 4,1;

= 5,21.

Teraz vypočítame smerodajnú odchýlku:

Nájdenie variačného koeficientu:

V dôsledku toho je štatistická populácia kvantitatívne heterogénna.

Jednoduchý aritmetický priemer

Priemerné hodnoty

Priemerné hodnoty sú široko používané v štatistike.

priemerná hodnota- ide o všeobecný ukazovateľ, v ktorom sú vyjadrené účinky všeobecných podmienok a zákonitostí vývoja skúmaného javu.

Štatistické priemery sú vypočítané na základe hromadných údajov z riadne štatisticky organizovaného pozorovania (kontinuálneho a selektívneho). Štatistický priemer však bude objektívny a typický, ak sa vypočíta z hromadných údajov pre kvalitatívne homogénnu populáciu (masové javy). Ak napríklad vypočítate priemernú mzdu v akciových spoločnostiach a štátnych podnikoch a výsledok rozšírite na celú populáciu, potom je priemer fiktívny, pretože sa počíta pre heterogénnu populáciu a takýto priemer stratí všetky význam.

Pomocou priemeru sa vyrovnávajú rozdiely v hodnote charakteristiky, ktoré vznikajú z toho či onoho dôvodu v jednotlivých jednotkách pozorovania.

Napríklad priemerný výkon jednotlivého predajcu závisí od mnohých dôvodov: kvalifikácia, dĺžka služby, vek, forma služby, zdravotný stav atď. Priemerný výkon odráža všeobecné charakteristiky celú sadu.

Priemerná hodnota sa meria v rovnakých jednotkách ako samotný atribút.

Každá priemerná hodnota charakterizuje skúmanú populáciu podľa ktorejkoľvek charakteristiky. Aby sme získali úplný a komplexný obraz o skúmanej populácii na základe množstva základných charakteristík, je potrebné mať systém priemerných hodnôt, ktorý dokáže opísať jav z rôznych uhlov pohľadu.

Existovať rôzne druhy médium:

aritmetický priemer;

harmonický priemer;

geometrický priemer;

hlavné námestie;

priemerný kubický.

Priemery všetkých vyššie uvedených typov sa zase delia na jednoduché (nevážené) a vážené.

Pozrime sa na typy priemerov, ktoré sa používajú v štatistike.

Jednoduchý aritmetický priemer (nevážený) sa rovná súčtu jednotlivých hodnôt atribútu vydelenému počtom týchto hodnôt.

Jednotlivé hodnoty charakteristiky sa nazývajú varianty a označujú sa x i (
); počet jednotiek obyvateľstva sa označí n, priemerná hodnota charakteristiky sa označí . Preto sa aritmetický jednoduchý priemer rovná:

alebo

Príklad 1 stôl 1

Údaje o robotníckej výrobe produktu A za zmenu

V tomto príklade je premenným atribútom výroba produktov za zmenu.

Číselné hodnoty atribútu (16, 17 atď.) sa nazývajú opcie. Určme priemerný výkon pracovníkov tejto skupiny:

PC.

Jednoduchý aritmetický priemer sa používa v prípadoch, keď existujú samostatné hodnoty charakteristiky, t.j. údaje nie sú zoskupené. Ak sú údaje prezentované vo forme distribučných radov alebo zoskupení, potom sa priemer vypočítava inak.

Aritmetický priemer vážený

Aritmetický vážený priemer sa rovná súčtu súčinov každej jednotlivej hodnoty atribútu (variantu) zodpovedajúcou frekvenciou, vydelenému súčtom všetkých frekvencií.

Počet identických hodnôt charakteristiky v distribučných radoch sa nazýva frekvencia alebo váha a označuje sa f i.

V súlade s tým vážený aritmetický priemer vyzerá takto:

alebo

Zo vzorca je zrejmé, že priemer nezávisí len od hodnôt atribútu, ale aj od ich frekvencií, t.j. na zložení kameniva, na jeho štruktúre.

Príklad 2 tabuľka 2

Údaje o mzdách pracovníkov

Podľa údajov z diskrétnych distribučných radov je zrejmé, že rovnaké charakteristické hodnoty (varianty) sa opakujú niekoľkokrát. Možnosť x 1 sa teda vyskytuje celkovo 2-krát a možnosť x 2 - 6-krát atď.

Vypočítajme priemernú mzdu jedného pracovníka:

Mzdový fond pre každú skupinu pracovníkov sa rovná súčinu možností a frekvencie (
) a súčet týchto produktov dáva celkový mzdový fond všetkých pracovníkov (
).

Ak by sa výpočet vykonal pomocou jednoduchého vzorca aritmetického priemeru, priemerný zárobok by sa rovnalo 3 000 rubľov. (). Pri porovnaní získaného výsledku s počiatočnými údajmi je zrejmé, že priemerná mzda by mala byť výrazne vyššia (viac ako polovica pracovníkov dostáva mzdy nad 3 000 rubľov). Preto bude výpočet pomocou jednoduchého aritmetického priemeru v takýchto prípadoch chybný.

Výsledkom spracovania je, že štatistický materiál môže byť prezentovaný nielen vo forme diskrétnych distribučných radov, ale aj vo forme intervalových variačných radov s uzavretými alebo otvorenými intervalmi.

Uvažujme o výpočte aritmetického priemeru pre takéto série.

Priemer je:

Priemerná hodnota

Priemerná hodnota - číselná charakteristika súbory čísel alebo funkcií; - určitý počet medzi najmenšou a najväčšou ich hodnotou.

1 Základné informácie 2 Hierarchia priemerov v matematike 3 V teórii pravdepodobnosti a štatistike 4 Pozri tiež 5 Poznámky

Základné informácie

Východiskom pre rozvoj teórie priemerov bolo štúdium proporcií Pythagorovou školou. Zároveň sa prísne nerozlišovalo medzi pojmami priemerná veľkosť a proporcia. Významný impulz k rozvoju teórie proporcií z aritmetického hľadiska dali grécki matematici – Nikomachus z Gerasu (koniec 1. – začiatok 2. storočia n. l.) a Pappus z Alexandrie (3. storočie n. l.). Prvým štádiom vývoja pojmu priemer je štádium, keď sa priemer začal považovať za ústredný člen spojitej proporcie. Koncept priemeru ako centrálnej hodnoty progresie však neumožňuje odvodiť pojem priemeru vo vzťahu k postupnosti n členov, bez ohľadu na poradie, v ktorom za sebou nasledujú. Na tento účel je potrebné uchýliť sa k formálnemu zovšeobecneniu priemerov. Ďalšou fázou je prechod od spojitých proporcií k postupnostiam – aritmetickým, geometrickým a harmonickým.

V histórii štatistiky sa po prvý raz rozšírené používanie priemerov spája s menom anglického vedca W. Pettyho. W. Petty bol jedným z prvých, ktorí sa pokúsili uviesť priemernú hodnotu štatistický význam, ktorá ho spája s ekonomickými kategóriami. Petty však pojem priemernej veľkosti neopísal ani ho neizoloval. A. Quetelet je považovaný za zakladateľa teórie priemerov. Bol jedným z prvých, ktorý dôsledne rozvíjal teóriu priemerov a snažil sa pre ňu poskytnúť matematický základ. A. Quetelet rozlíšil dva typy priemerov – skutočné priemery a aritmetické priemery. V skutočnosti priemer predstavuje vec, číslo, ktoré skutočne existuje. V skutočnosti by priemery alebo štatistické priemery mali byť odvodené od javov rovnakej kvality, identických vo svojom vnútornom význame. Aritmetické priemery sú čísla, ktoré poskytujú najbližšiu možnú predstavu o mnohých číslach, rôznych, hoci homogénnych.

Každý typ priemeru sa môže objaviť buď vo forme jednoduchého alebo vo forme váženého priemeru. Správna voľba strednej formy vyplýva z materiálnej podstaty predmetu štúdia. Jednoduché priemerné vzorce sa použijú, ak sa jednotlivé hodnoty spriemerovanej charakteristiky neopakujú. Keď sa v praktickom výskume jednotlivé hodnoty študovanej charakteristiky vyskytujú niekoľkokrát v jednotkách skúmanej populácie, potom je frekvencia opakovaní jednotlivých hodnôt charakteristiky prítomná vo výpočtových vzorcoch výkonových priemerov. V tomto prípade sa nazývajú vzorce váženého priemeru.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Téma 5. Priemerné hodnoty ako štatistické ukazovatele

Koncept priemernej hodnoty. Rozsah priemerov v štatistickom výskume

Priemerné hodnoty sa používajú vo fáze spracovania a sumarizácie získaných primárnych štatistických údajov. Potreba určiť priemerné hodnoty je spôsobená skutočnosťou, že jednotlivé hodnoty rovnakej charakteristiky pre rôzne jednotky študovaných populácií spravidla nie sú rovnaké.

Priemerná veľkosť nazývaný indikátor, ktorý charakterizuje zovšeobecnenú hodnotu charakteristiky alebo skupiny charakteristík v skúmanej populácii.

Ak sa študuje populácia s kvalitatívne homogénnymi charakteristikami, potom priemerná hodnota tu pôsobí ako typický priemer. Napríklad pre skupiny pracovníkov v určitom odvetví s fixnou úrovňou príjmu sa zisťujú typické priemerné výdavky na základné životné potreby, t.j. typický priemer zovšeobecňuje kvalitatívne homogénne hodnoty atribútu v danej populácii, čo je podiel výdavkov pracovníkov tejto skupiny na základné tovary.

Pri štúdiu populácie s kvalitatívne heterogénnymi charakteristikami môže vystúpiť do popredia atypickosť priemerných ukazovateľov. Ide napríklad o priemerné ukazovatele vyprodukovaného národného dôchodku na obyvateľa (rôzne vekových skupín), priemerné výnosy obilia v celom Rusku (regióny rôznych klimatických zón a rôznych obilnín), priemerná pôrodnosť pre všetky regióny krajiny, priemerné teploty pre určité obdobie atď. Priemerné hodnoty tu zovšeobecňujú kvalitatívne heterogénne hodnoty charakteristík alebo systémových priestorových agregátov (medzinárodné spoločenstvo, kontinent, štát, región, región atď.) alebo dynamické agregáty predĺžené v čase (storočie, desaťročie, rok, sezóna atď.). ). Takéto priemerné hodnoty sa nazývajú systémové priemery.

Význam priemerných hodnôt teda spočíva v ich zovšeobecňujúcej funkcii. Priemerná hodnota nahrádza veľký počet individuálnych hodnôt atribútu a odhaľuje spoločné vlastnosti, ktoré sú vlastné všetkým jednotkám populácie. To nám zase umožňuje vyhnúť sa náhodným príčinám a identifikovať všeobecné vzorce v dôsledku bežných príčin.

Typy priemerných hodnôt a metódy ich výpočtu

V štádiu štatistického spracovania možno nastaviť rôzne výskumné problémy, na riešenie ktorých je potrebné zvoliť vhodný priemer. V tomto prípade je potrebné riadiť sa nasledujúcim pravidlom: veličiny, ktoré predstavujú čitateľa a menovateľa priemeru, musia spolu logicky súvisieť.

výkonové priemery;

štrukturálne priemery.

Predstavme si nasledujúce konvencie:

množstvá, pre ktoré sa vypočítava priemer;

Priemer, kde stĺpec vyššie naznačuje, že sa uskutočňuje priemerovanie jednotlivých hodnôt;

Frekvencia (opakovateľnosť jednotlivých charakteristických hodnôt).

Zo všeobecného vzorca priemerného výkonu sú odvodené rôzne priemery:

(5.1)

keď k = 1 - aritmetický priemer; k = -1 - harmonický priemer; k = 0 - geometrický priemer; k = -2 - stredná odmocnina.

Priemerné hodnoty môžu byť jednoduché alebo vážené. Vážené priemery Toto sú hodnoty, ktoré berú do úvahy, že niektoré varianty hodnôt atribútov môžu mať rôzne čísla, a preto je potrebné každú možnosť vynásobiť týmto číslom. Inými slovami, „stupnice“ sú počty agregovaných jednotiek v rôznych skupinách, t.j. Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou. Frekvencia f sa nazýva štatistická váha alebo priemerná hmotnosť.

Aritmetický priemer- najbežnejší typ priemeru. Používa sa, keď sa výpočet vykonáva na nezoskupených štatistických údajoch, kde potrebujete získať priemerný termín. Aritmetický priemer je priemerná hodnota charakteristiky, po ktorej získaní zostáva celkový objem charakteristiky v súhrne nezmenený.

Vzorec pre aritmetický priemer (jednoduchý) má tvar

kde n je veľkosť populácie.

Napríklad priemerná mzda zamestnancov podniku sa vypočíta ako aritmetický priemer:

Určujúcimi ukazovateľmi sú tu mzda každého zamestnanca a počet zamestnancov podniku. Pri výpočte priemeru zostala celková výška miezd rovnaká, ale rovnomerne rozdelená medzi všetkých zamestnancov. Napríklad musíte vypočítať priemernú mzdu pracovníkov v malej spoločnosti, ktorá zamestnáva 8 ľudí:

Pri výpočte priemerných hodnôt sa môžu jednotlivé hodnoty spriemerovanej charakteristiky opakovať, takže priemerná hodnota sa vypočíta pomocou zoskupených údajov. V tomto prípade hovoríme o použití vážený aritmetický priemer, ktorý má podobu

(5.3)

Potrebujeme teda vypočítať priemernú cenu akcií akciovej spoločnosti pri obchodovaní na burze. Je známe, že transakcie sa uskutočnili do 5 dní (5 transakcií), počet akcií predaných za predajný kurz bol rozdelený takto:

1 - 800 ak. - 1010 rubľov.

2 - 650 ak. - 990 rubľov.

3 - 700 ak. - 1015 rubľov.

4 - 550 ak. - 900 rubľov.

5 - 850 ak. - 1150 rubľov.

Počiatočný pomer na určenie priemernej ceny akcií je pomer celkového množstva transakcií (TVA) k počtu predaných akcií (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

KPA = 800 + 650 + 700 + 550 + 850 = 3 550.

V tomto prípade sa priemerná cena akcií rovnala

Je potrebné poznať vlastnosti aritmetického priemeru, čo je veľmi dôležité tak pre jeho použitie, ako aj pre jeho výpočet. Môžeme rozlíšiť tri hlavné vlastnosti, ktoré najviac určovali rozšírené používanie aritmetického priemeru v štatistických a ekonomických výpočtoch.

Vlastnosť jedna (nula): súčet kladných odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od jej priemernej hodnoty sa rovná súčtu záporných odchýlok. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť, pretože ukazuje, že akékoľvek odchýlky (aj + aj -) spôsobené náhodnými príčinami budú vzájomne anulované.

dôkaz:

Vlastnosť dva (minimum): súčet štvorcových odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od aritmetického priemeru je menší ako od akéhokoľvek iného čísla (a), t.j. existuje minimálny počet.

Dôkaz.

Zostavme súčet štvorcových odchýlok od premennej a:

(5.4)

Na nájdenie extrému tejto funkcie je potrebné prirovnať jej deriváciu vzhľadom na a k nule:

Odtiaľto dostaneme:

(5.5)

V dôsledku toho sa extrém súčtu kvadrátov odchýlok dosiahne pri . Tento extrém je minimum, pretože funkcia nemôže mať maximum.

Vlastnosť tri: aritmetický priemer konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštante: pre a = konšt.

Okrem týchto troch najdôležitejších vlastností aritmetického priemeru existujú tzv dizajnové vlastnosti, ktoré používaním elektronickej výpočtovej techniky postupne strácajú svoj význam:

ak sa individuálna hodnota atribútu každej jednotky vynásobí alebo vydelí konštantným číslom, potom sa aritmetický priemer zvýši alebo zníži o rovnakú hodnotu;

aritmetický priemer sa nezmení, ak sa váha (frekvencia) každej hodnoty atribútu vydelí konštantným číslom;

ak sa jednotlivé hodnoty atribútu každej jednotky znížia alebo zvýšia o rovnakú hodnotu, aritmetický priemer sa zníži alebo zvýši o rovnakú hodnotu.

Harmonický priemer. Tento priemer sa nazýva inverzný aritmetický priemer, pretože táto hodnota sa používa, keď k = -1.

Jednoduchý harmonický priemer sa používa, keď sú váhy hodnôt atribútov rovnaké. Jeho vzorec možno odvodiť zo základného vzorca dosadením k = -1:

Potrebujeme napríklad vypočítať priemernú rýchlosť dvoch áut, ktoré prešli tú istú cestu, ale rôznymi rýchlosťami: prvé pri rýchlosti 100 km/h, druhé pri rýchlosti 90 km/h. Pomocou metódy harmonického priemeru vypočítame priemernú rýchlosť:

V štatistickej praxi sa častejšie používa harmonická vážená, ktorej vzorec má tvar

Tento vzorec sa používa v prípadoch, keď váhy (alebo objemy javov) pre každý atribút nie sú rovnaké. V počiatočnom vzťahu na výpočet priemeru je čitateľ známy, no menovateľ nie je známy.

Každý človek v modernom svete, ktorý si plánuje vziať pôžičku alebo zásobiť sa zeleninou na zimu, sa pravidelne stretáva s pojmom „priemer“. Poďme zistiť: čo to je, aké typy a triedy existujú a prečo sa používa v štatistike a iných disciplínach.

Priemerná hodnota - čo to je?

Podobný názov (SV) je zovšeobecnená charakteristika súboru homogénnych javov, určená jednou kvantitatívnou premennou charakteristikou.

Avšak ľudia, ktorí majú ďaleko od takýchto nejasných definícií, chápu tento pojem ako priemerné množstvo niečoho. Napríklad pracovník banky pred čerpaním úveru určite požiada potenciálneho klienta o poskytnutie údajov o priemernom príjme za rok, teda o celkovej sume, ktorú človek zarobí. Vypočíta sa tak, že sa spočítajú zárobky za celý rok a vydelia sa počtom mesiacov. Banka tak bude vedieť určiť, či jej klient bude schopný splatiť dlh načas.

Prečo sa používa?

Priemerné hodnoty sa spravidla široko používajú na poskytnutie súhrnného opisu určitých spoločenských javov masovej povahy. Môžu sa použiť aj na výpočty menšieho rozsahu, ako v prípade pôžičky v príklade vyššie.

Najčastejšie sa však priemerné hodnoty stále používajú na globálne účely. Príkladom jednej z nich je výpočet množstva elektriny spotrebovanej občanmi počas jednej kalendárny mesiac. Na základe získaných údajov sú následne stanovené maximálne štandardy pre kategórie obyvateľstva požívajúce dávky od štátu.

Taktiež pomocou priemerných hodnôt sa vyvíja záručná životnosť niektorých domácich spotrebičov, áut, budov a pod.. Na základe takto zozbieraných údajov boli kedysi vyvinuté moderné štandardy prácu a odpočinok.

Prakticky akýkoľvek fenomén moderný život, ktorý má masový charakter, je tak či onak nevyhnutne spojený s uvažovaným pojmom.

Oblasti použitia

Tento jav je široko používaný takmer vo všetkých exaktných vedách, najmä v tých, ktoré majú experimentálny charakter.

Hľadanie priemeru má veľký význam v medicíne, strojárstve, varení, ekonomike, politike atď.

Na základe údajov získaných z takýchto zovšeobecnení sa vyvíjajú liečivé prípravky, vzdelávacie programy, stanovovať minimálne životné mzdy a platy, zostavovať vzdelávacie plány, vyrábať nábytok, odevy a obuv, hygienické potreby a mnoho ďalšieho.

V matematike sa tento termín nazýva „priemerná hodnota“ a používa sa na riešenie rôznych príkladov a problémov. Najjednoduchšie z nich sú sčítanie a odčítanie s obyčajné zlomky. Koniec koncov, ako viete, na vyriešenie takýchto príkladov je potrebné priviesť oba zlomky k spoločnému menovateľovi.

Aj v kráľovnej exaktných vied sa často používa termín „priemerná hodnota náhodnej premennej“, ktorý má podobný význam. Pre väčšinu je známejšia ako „matematické očakávanie“, ktoré sa častejšie považuje za teóriu pravdepodobnosti. Stojí za zmienku, že podobný jav platí aj pri vykonávaní štatistických výpočtov.

Priemerná hodnota v štatistike

Najčastejšie sa však skúmaný koncept používa v štatistike. Ako je známe, táto veda sa špecializuje na výpočet a analýzu kvantitatívnych charakteristík masových spoločenských javov. Preto sa priemerná hodnota v štatistike používa ako špecializovaná metóda na dosiahnutie jej hlavných cieľov - zberu a analýzy informácií.

Podstatou tejto štatistickej metódy je nahradiť jednotlivé jedinečné hodnoty posudzovanej charakteristiky určitou vyváženou priemernou hodnotou.

Príkladom je známy vtip o jedle. Takže v istej továrni v utorok na obed jej šéfovia zvyčajne jedia mäsový kastról a bežní robotníci jedia dusenú kapustu. Na základe týchto údajov môžeme usúdiť, že v priemere personál závodu v utorok obeduje kapustnicu.

Tento príklad je síce mierne prehnaný, ale ilustruje hlavný nedostatok metódy hľadania priemernej hodnoty – vyrovnávanie individuálnych vlastností predmetov či osobností.

V priemerných hodnotách sa používajú nielen na analýzu zhromaždených informácií, ale aj na plánovanie a predpovedanie ďalších akcií.

Slúži aj na vyhodnotenie dosiahnutých výsledkov (napríklad plnenie plánu pestovania a zberu pšenice na sezónu jar-leto).

Ako správne vypočítať

Hoci v závislosti od typu SV existujú rôzne vzorce na jeho výpočet, vo všeobecnej teórii štatistiky sa spravidla používa iba jeden spôsob výpočtu priemernej hodnoty charakteristiky. Aby ste to dosiahli, musíte najprv sčítať hodnoty všetkých javov a potom rozdeliť výsledný súčet ich počtom.

Pri takýchto výpočtoch je potrebné pamätať na to, že priemerná hodnota má vždy rovnaký rozmer (alebo jednotky) ako jednotlivá jednotka populácie.

Podmienky pre správny výpočet

Vyššie diskutovaný vzorec je veľmi jednoduchý a univerzálny, takže je takmer nemožné urobiť s ním chybu. Vždy sa však oplatí zvážiť dva aspekty, inak získané údaje nebudú odrážať skutočný stav.

triedy SV

Po nájdení odpovedí na základné otázky: "Aká je priemerná hodnota?", "Kde sa používa?" a „Ako to môžete vypočítať?“, stojí za to zistiť, aké triedy a typy SV existujú.

V prvom rade je tento jav rozdelený do 2 tried. Ide o štrukturálne a výkonové priemery.

Typy výkonových SV

Každá z vyššie uvedených tried je zase rozdelená do typov. Sedačková trieda má štyri.

• Aritmetický priemer je najbežnejším typom SV. Je to priemerný člen, ktorý určuje, ktorý celkový objem uvažovanej charakteristiky v súbore údajov je rovnomerne rozdelený medzi všetky jednotky tohto súboru.

  Tento typ sa delí na podtypy: jednoduchý a vážený aritmetický SV.

• Harmonický priemer je ukazovateľ, ktorý je inverznou hodnotou jednoduchého aritmetického priemeru, vypočítaného z recipročných hodnôt posudzovanej charakteristiky.

  Používa sa v prípadoch, keď sú známe jednotlivé hodnoty atribútu a produktu, ale nie sú známe údaje o frekvencii.

• Geometrický priemer sa najčastejšie používa pri analýze temp rastu ekonomických javov. Umožňuje zachovať nezmenený súčin jednotlivých hodnôt danej veličiny a nie súčet.

  Môže byť aj jednoduchý a vyvážený.

• Stredná štvorcová hodnota sa používa pri výpočte jednotlivých ukazovateľov, ako je variačný koeficient, charakterizujúci rytmus výstupu produktu atď.

  Používa sa tiež na výpočet priemerných priemerov rúr, kolies, priemerných strán štvorca a podobných čísel.

  Rovnako ako všetky ostatné typy priemerov môže byť stredná odmocnina jednoduchá a vážená.

Typy štruktúrnych veličín

Okrem priemerných SV sa v štatistike často používajú štrukturálne typy. Sú vhodnejšie na výpočet relatívnych charakteristík hodnôt rôznych charakteristík a vnútorná štruktúra distribučné riadky.

Existujú dva takéto typy.

Na účely analýzy a získania štatistických záverov na základe výsledkov zhrnutia a zoskupenia sa vypočítajú zovšeobecňujúce ukazovatele - priemerné a relatívne hodnoty.

Problém s priemermi – charakterizovať všetky jednotky štatistického súboru jednou charakteristickou hodnotou.

Priemerné hodnoty charakterizujú ukazovatele kvality podnikateľskú činnosť: distribučné náklady, zisk, ziskovosť atď.

priemerná hodnota- ide o zovšeobecňujúcu charakteristiku jednotiek populácie podľa nejakej meniacej sa charakteristiky.

Priemerné hodnoty vám umožňujú porovnať úrovne rovnakej vlastnosti v rôznych populáciách a nájsť dôvody týchto nezrovnalostí.

Pri analýze skúmaných javov je úloha priemerných hodnôt obrovská. Anglický ekonóm W. Petty (1623-1687) široko používal priemerné hodnoty. V. Petty chcel použiť priemerné hodnoty ako mieru nákladov na priemernú dennú stravu jedného pracovníka. Stabilita priemernej hodnoty je odrazom zákonitosti skúmaných procesov. Veril, že informácie sa dajú transformovať, aj keď nie je dostatok pôvodných údajov.

Anglický vedec G. King (1648-1712) pri analýze údajov o populácii Anglicka použil priemerné a relatívne hodnoty.

Teoretický vývoj belgického štatistika A. Queteleta (1796-1874) je založený na protirečivej povahe spoločenských javov – vysoko stabilných v masách, ale čisto individuálnych.

Podľa A. Queteleta trvalé dôvody pôsobia rovnako na každý skúmaný jav a robia tieto javy navzájom podobnými, čím vytvárajú vzorce spoločné pre všetky z nich.

Dôsledkom učenia A. Queteleta bola identifikácia priemerných hodnôt ako hlavnej techniky štatistickej analýzy. Povedal, že štatistické priemery nepredstavujú kategóriu objektívnej reality.

A. Quetelet vyjadril svoje názory na priemer vo svojej teórii priemerného človeka. Priemerný človek je človek, ktorý má všetky vlastnosti priemernej veľkosti (priemerná úmrtnosť alebo pôrodnosť, priemerná výška a hmotnosť, priemerná rýchlosť behu, priemerné sklony k manželstvu a samovražde, k dobrým skutkom atď.). Pre A. Queteleta je ideálnym človekom priemerný človek. Nekonzistentnosť teórie priemerného človeka A. Queteleta bola dokázaná v ruskej štatistickej literatúre na konci 19.-20.

Slávny ruský štatistik Yu.E. Yanson (1835-1893) napísal, že A. Quetelet predpokladá existenciu v prírode typu priemerného človeka ako niečoho daného, ​​od čoho sa život odklonil od priemerných ľudí danej spoločnosti a danej doby. , a to ho vedie k úplne mechanickému pohľadu a k zákonitostiam pohybu sociálny život: pohyb je postupné zvyšovanie priemerných vlastností človeka, postupná obnova typu; následne taká nivelizácia všetkých prejavov života spoločenského tela, za ktorou je každý pohyb vpred zastaví.

Podstata tejto teórie našla svoj ďalší rozvoj v prácach množstva štatistických teoretikov ako teória skutočných veličín. A. Quetelet mal nasledovníkov - nemeckého ekonóma a štatistika V. Lexisa (1837-1914), ktorý preniesol teóriu skutočných hodnôt do ekonomických javov verejný život. Jeho teória je známa ako teória stability. Ďalšia verzia idealistickej teórie priemerov je založená na filozofii

Jej zakladateľom je anglický štatistik A. Bowley (1869–1957) – jeden z najvýznamnejších teoretikov poslednej doby v oblasti teórie priemerov. Jeho koncepcia priemerov je načrtnutá v jeho knihe Elements of Statistics.

A. Boley zvažuje priemerné hodnoty len z kvantitatívnej stránky, čím oddeľuje kvantitu od kvality. Pri určovaní významu priemerných hodnôt (alebo „ich funkcie“) A. Boley predkladá Machovský princíp myslenia. A. Boley napísal, že funkcia priemerných hodnôt by mala vyjadrovať komplexnú skupinu

s pomocou niekoľkých základné čísla. Štatistické údaje by sa mali zjednodušiť, zoskupiť a zredukovať na priemery Tieto názory: zdieľali R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) atď.

V 30-tych rokoch XX storočia a nasledujúcich rokoch sa priemerná hodnota považuje za sociálne významná charakteristika, ktorých informačný obsah závisí od homogenity údajov.

Najvýznamnejší predstavitelia talianskej školy R. Benini (1862-1956) a C. Gini (1884-1965), považujúci štatistiku za odvetvie logiky, rozšírili rozsah aplikácie štatistickej indukcie, ale spojili kognitívne princípy logiky a štatistiky s charakterom skúmaných javov, nadväzujúc na tradície sociologickej interpretácie štatistík.

V dielach K. Marxa a V. I. Lenina majú priemerné hodnoty osobitnú úlohu.

K. Marx tvrdil, že v priemernej hodnote zanikajú jednotlivé odchýlky od všeobecnej úrovne a priemerná úroveň sa stáva všeobecnou charakteristikou hromadného javu. Priemerná hodnota sa stáva takouto charakteristikou hromadného javu len vtedy, ak sa odoberie významný počet jednotiek a tieto jednotky sú kvalitatívne homogénne. Marx napísal, že zistená priemerná hodnota by mala byť priemerom „...veľa rôznych individuálnych hodnôt rovnakého druhu“.

Priemerná hodnota nadobúda v podmienkach osobitný význam trhové hospodárstvo. Pomáha určiť nevyhnutnú a všeobecnú tendenciu vzoru ekonomický vývoj priamo cez jednotné a náhodné.

Priemerné hodnoty sú zovšeobecňujúce ukazovatele, v ktorých sa vyjadruje pôsobenie všeobecných podmienok a vzor skúmaného javu.

Štatistické priemery sa vypočítavajú na základe údajov o hmotnosti zo štatisticky správne organizovaného pozorovania hmotnosti. Ak sa štatistický priemer vypočíta z hromadných údajov pre kvalitatívne homogénnu populáciu (masové javy), tak bude objektívny.

Priemerná hodnota je abstraktná, keďže charakterizuje hodnotu abstraktnej jednotky.

Priemer je abstrahovaný z rôznorodosti vlastnosti v jednotlivých objektoch. Abstrakcia je krok vedecký výskum. V priemernej hodnote sa realizuje dialektická jednota jednotlivca a všeobecného.

Priemerné hodnoty by sa mali používať na základe dialektického chápania kategórií jednotlivca a všeobecného, ​​individuálneho a hromadného.

Stredný zobrazuje niečo spoločné, čo je obsiahnuté v konkrétnom jedinom objekte.

Na identifikáciu vzorcov v masových sociálnych procesoch má veľký význam priemerná hodnota.

Odchýlka jednotlivca od všeobecného je prejavom vývinového procesu.

Priemerná hodnota odráža charakteristickú, typickú, skutočnú úroveň skúmaných javov. Úlohou priemerných hodnôt je charakterizovať tieto úrovne a ich zmeny v čase a priestore.

Priemer je bežná hodnota, pretože sa tvorí v normálnom, prirodzenom, všeobecné podmienky existencia špecifického masového javu posudzovaného ako celok.

Objektívna vlastnosť štatistického procesu alebo javu sa odráža v priemernej hodnote.

Jednotlivé hodnoty študovaného štatistického atribútu sú pre každú jednotku populácie odlišné. Priemerná hodnota jednotlivých hodnôt jedného druhu je produktom nutnosti, ktorý je výsledkom spoločného pôsobenia všetkých jednotiek obyvateľstva, prejavujúceho sa v množstve opakujúcich sa nehôd.

Niektoré jednotlivé javy majú vlastnosti, ktoré existujú vo všetkých javoch, ale v rôznych množstvách - ide o výšku alebo vek človeka. Ostatné znaky jednotlivého javu sú pri rôznych javoch kvalitatívne odlišné, to znamená, že u niektorých sú prítomné a u iných nepozorované (z muža sa nestane žena). Priemerná hodnota je vypočítaná pre charakteristiky, ktoré sú kvalitatívne homogénne a líšia sa len kvantitatívne, ktoré sú vlastné všetkým javom v danom súbore.

Priemerná hodnota je odrazom hodnôt študovanej charakteristiky a meria sa v rovnakej dimenzii ako táto charakteristika.

Teória dialektického materializmu učí, že všetko na svete sa mení a vyvíja. A tiež vlastnosti, ktoré sa vyznačujú priemernými hodnotami, sa menia, a teda aj samotné priemery.

V živote je neustály proces vytvárania niečoho nového. Nositeľom novej kvality sú jednotlivé objekty, potom sa počet týchto objektov zvyšuje a nové sa stáva masovým, typickým.

Priemerná hodnota charakterizuje skúmanú populáciu len podľa jednej charakteristiky. Pre úplné a komplexné zastúpenie študovanej populácie podľa množstva špecifických charakteristík je potrebné mať systém priemerných hodnôt, ktorý dokáže opísať jav z rôznych uhlov pohľadu.

2. Typy priemerov

IN štatistické spracovanie materiálu, existujú rôzne problémy, ktoré je potrebné riešiť, a preto sa v štatistickej praxi používajú rôzne priemerné hodnoty. Matematická štatistika používa rôzne priemery, ako napríklad: aritmetický priemer; geometrický priemer; harmonický priemer; hlavné námestie.

Aby bolo možné použiť jeden z vyššie uvedených typov priemeru, je potrebné analyzovať skúmanú populáciu, určiť vecný obsah skúmaného javu, to všetko sa robí na základe záverov vyvodených z princípu zmysluplnosti výsledkov, keď váženie alebo sčítanie.

Pri štúdiu priemerov sa používajú nasledujúce ukazovatele a zápisy.

Znamienko, podľa ktorého sa zistí priemer, sa nazýva spriemerovaná charakteristika a označuje sa x; nazýva sa hodnota spriemerovanej charakteristiky pre ktorúkoľvek jednotku štatistickej populácie jeho individuálny význam, alebo možnosti, a označované ako X 1 , X 2 , X 3 ,… X P ; frekvencia je opakovateľnosť jednotlivých hodnôt charakteristiky, označená písmenom f.

Aritmetický priemer

Jedným z najbežnejších typov médií je aritmetický priemer, ktorý sa vypočíta, keď sa objem spriemerovanej charakteristiky vytvorí ako súčet jej hodnôt v jednotlivých jednotkách študovanej štatistickej populácie.

Na výpočet aritmetického priemeru sa súčet všetkých úrovní atribútu vydelí ich počtom.

Ak sa niektoré možnosti vyskytnú viackrát, súčet úrovní atribútu možno získať vynásobením každej úrovne zodpovedajúcim počtom jednotiek v populácii a následným sčítaním výsledných produktov; takto vypočítaný aritmetický priemer sa nazýva vážený aritmetický priemer.

Vzorec pre vážený aritmetický priemer je nasledujúci:

kde х ja sú možnosti,

f i – frekvencie alebo váhy.

Vážený priemer by sa mal použiť vo všetkých prípadoch, keď majú možnosti rôzne čísla.

Aritmetický priemer akoby rovnomerne rozdeľuje medzi jednotlivé objekty celkovú hodnotu atribútu, ktorá sa v skutočnosti pre každý z nich líši.

Výpočet priemerných hodnôt sa vykonáva pomocou údajov zoskupených vo forme intervalových distribučných radov, keď sú varianty charakteristiky, z ktorej sa vypočítava priemer, prezentované vo forme intervalov (od - do).

Vlastnosti aritmetického priemeru:

1) priemer aritmetický súčet premenlivé množstvá sa rovnajú súčtu aritmetických priemerov: Ak x i = y i + z i, potom

Táto vlastnosť ukazuje, v ktorých prípadoch je možné zhrnúť priemerné hodnoty.

2) algebraický súčet odchýlky jednotlivých hodnôt meniacej sa charakteristiky od priemeru sú rovné nule, pretože súčet odchýlok v jednom smere je kompenzovaný súčtom odchýlok v druhom smere:

Toto pravidlo ukazuje, že priemer je výsledok.

3) ak sa všetky možnosti v sérii zvýšia alebo znížia o rovnaké číslo?, zvýši sa alebo zníži priemer o rovnaké číslo?:

4) ak sa všetky varianty série zvýšia alebo znížia o A-krát, potom sa priemerný tiež zvýši alebo zníži o A-krát:

5) piata vlastnosť priemeru nám ukazuje, že nezávisí od veľkosti škál, ale závisí od vzťahu medzi nimi. Za váhy možno považovať nielen relatívne, ale aj absolútne hodnoty.

Ak sú všetky frekvencie série rozdelené alebo vynásobené rovnakým číslom d, potom sa priemer nezmení.

Harmonický priemer. Na určenie aritmetického priemeru je potrebné mať niekoľko možností a frekvencií, t.j. X A f.

Predpokladajme, že jednotlivé hodnoty charakteristiky sú známe X a funguje X/, a frekvencie f sú neznáme, potom na výpočet priemeru označíme súčin = X/; kde:

Priemer v tejto forme sa nazýva harmonický vážený priemer a označuje sa x poškodiť. hore

Harmonický priemer je teda identický s aritmetickým priemerom. Použije sa, keď skutočné hmotnosti nie sú známe f, a práca je známa fx = z

Keď práce fx rovnaké alebo rovnaké jednotky (m = 1), použije sa jednoduchý harmonický priemer vypočítaný podľa vzorca:

Kde X– samostatné možnosti;

n- číslo.

Geometrický priemer

Ak existuje n rastových koeficientov, potom vzorec pre priemerný koeficient je:

Toto je geometrický priemerný vzorec.

Geometrický priemer sa rovná odmocnine mocniny n zo súčinu rastových koeficientov charakterizujúcich pomer hodnoty každého nasledujúceho obdobia k hodnote predchádzajúceho.

Ak sú hodnoty vyjadrené vo forme kvadratických funkcií spriemerované, použije sa stredný štvorec. Napríklad pomocou odmocniny môžete určiť priemery rúr, kolies atď.

Stredná odmocnina sa určí extrakciou odmocnina z podielu delenia súčtu druhých mocnín jednotlivých hodnôt atribútu ich počtom.

Vážená stredná štvorec sa rovná:

3. Štrukturálne priemery. Režim a medián

Na charakterizáciu štruktúry štatistickej populácie sa používajú ukazovatele, ktoré sú tzv štrukturálne priemery. Patria sem režim a medián.

Móda (M O ) - najbežnejšia možnosť. Móda je hodnota atribútu, ktorá zodpovedá maximálnemu bodu krivky teoretického rozdelenia.

Móda predstavuje najčastejšie sa vyskytujúci alebo typický význam.

Móda sa používa v komerčnej praxi na štúdium spotrebiteľského dopytu a rekordných cien.

V diskrétnej sérii je režim variantom s najvyššou frekvenciou. V intervalovom variačnom rade sa mód považuje za centrálny variant intervalu, ktorý má najvyššiu frekvenciu (špecifickosť).

V rámci intervalu musíte nájsť hodnotu atribútu, ktorým je režim.

Kde X O– spodná hranica modálneho intervalu;

h– hodnotu modálneho intervalu;

f m– frekvencia modálneho intervalu;

f t-1 – frekvencia intervalu predchádzajúceho modálnemu;

f m+1 – frekvencia intervalu nasledujúceho po modálnom.

Režim závisí od veľkosti skupín a presnej polohy hraníc skupiny.

Móda– počet, ktorý sa v skutočnosti vyskytuje najčastejšie (je určitá hodnota), v praxi má najširšie uplatnenie (najčastejší typ kupujúceho).

Medián (M e je veličina, ktorá rozdeľuje počet usporiadaných variačných sérií na dve rovnaké časti: jedna časť má hodnoty meniacej sa charakteristiky, ktoré sú menšie ako priemerný variant, a druhá časť má väčšie hodnoty.

Medián je prvok, ktorý je väčší alebo rovný a zároveň menší alebo rovný polovici zostávajúcich prvkov distribučného radu.

Vlastnosťou mediánu je, že súčet absolútnych odchýlok hodnôt atribútu od mediánu je menší ako od akejkoľvek inej hodnoty.

Použitie mediánu vám umožňuje získať presnejšie výsledky ako použitie iných foriem priemerov.

Poradie hľadania mediánu v intervalovom variačnom rade je nasledovné: zoradíme jednotlivé hodnoty charakteristiky podľa poradia; určíme akumulované frekvencie pre daný zoradený rad; Pomocou nahromadených údajov o frekvencii nájdeme stredný interval:

Kde x ja– dolná hranica stredného intervalu;

i ja– hodnotu stredného intervalu;

f/2– polovičný súčet frekvencií série;

S ja-1 – súčet akumulovaných frekvencií predchádzajúcich intervalu mediánu;

f ja– frekvencia stredného intervalu.

Medián delí počet sérií na polovicu, preto je to tam, kde akumulovaná frekvencia je polovica alebo viac ako polovica celkového súčtu frekvencií a predchádzajúca (akumulovaná) frekvencia je menšia ako polovica počtu populácie.