Čo Hlavným bodom vzorce?
Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Samozrejme, musíte poznať prvý termín 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov si nemôžete zapísať konkrétny postup.
Nestačí si zapamätať (alebo podvádzať) tento vzorec. Je potrebné asimilovať jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. Áno, a nezabudnite v pravý čas, áno ...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám poradím. Pre tých, ktorí zvládnu lekciu až do konca.)
Poďme sa teda zaoberať vzorcom n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Čo je vzorec vo všeobecnosti - predstavíme si.) Čo je to aritmetická postupnosť, číslo člena, rozdiel postupu - je jasne uvedené v predchádzajúcej lekcii. Pozri, ak si to nečítal. Všetko je tam jednoduché. Zostáva prísť na to, čo n-tý termín.
progresia v všeobecný pohľad možno zapísať ako rad čísel:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiaty - od 120.
Ako definovať vo všeobecnosti akýkoľvekčlen aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:
a n
Tak to je n-tý člen aritmetickej postupnosti. Pod písmenom n sú skryté všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.
A čo nám takýto rekord dáva? Len si predstavte, že namiesto čísla napísali písmeno ...
Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickými postupnosťami. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A kopu úloh, ktoré treba postupne riešiť. Ďalej uvidíte.
Vo vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti:
| a n = a1 + (n-1)d |
1- prvý člen aritmetického postupu;
n- členské číslo.
Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d A n. Okolo týchto parametrov sa postupne točia všetky hádanky.
Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Napríklad v probléme možno povedať, že progresia je daná podmienkou:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takýto problém môže dokonca zmiasť ... Neexistuje žiadna séria, žiadny rozdiel ... Ale porovnaním stavu so vzorcom je ľahké zistiť, že v tomto postupe a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.
A môže to byť ešte nahnevanejšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otvorte zatvorky a dajte podobne? Dostávame nový vzorec:
an = 3 + 2n.
Toto Iba nie všeobecné, ale pre konkrétny postup. Práve tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvým členom päťka ... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.
V úlohách na postup je iná notácia - a n+1. Toto je, uhádli ste, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého počet je väčší ako číslo n o jeden. Napríklad, ak v nejakom probléme berieme za a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.
Najčastejšie označenie a n+1 vyskytuje sa v rekurzívnych vzorcoch. Nebojte sa tohto hrozného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia termínu aritmetického postupu cez predchádzajúci. Predpokladajme, že dostaneme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. A ako okamžite počítať, povedzme dvadsiaty termín, 20? Ale v žiadnom prípade!) Zatiaľ čo 19. termín nie je známy, 20. sa nedá započítať. Toto je základný rozdiel medzi rekurzívnym vzorcom a vzorcom n-tého člena. Rekurzívne funguje iba cez predchádzajúcečlen, a vzorec n-tého členu - cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Nepočítajúc celý rad čísel v poradí.
Pri aritmetickej progresii možno rekurzívny vzorec ľahko zmeniť na bežný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec obvyklá forma a pracovať s ňou. V GIA sa takéto úlohy často nachádzajú.
Aplikácia vzorca n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Ak chcete začať, zvážte priama aplikácia vzorce. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridať, áno pridať ... Hodinu alebo dve.)
A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) My rozhodujeme.
Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Uvidí sa čo n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Tu píšeme:
Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Dosaďte všetky čísla vo vzorci a vypočítajte:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je všetko. Rovnako rýchlo sa dal nájsť päťsto desiaty člen a tisíc a tretí akýkoľvek. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a uvažujeme.
Dovoľte mi pripomenúť vám podstatu: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek termín aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Vyriešme problém múdrejšie. Povedzme, že máme nasledujúci problém:
Nájdite prvý člen aritmetickej progresie (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.
Ak máte nejaké ťažkosti, navrhnem prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Ručne napíšte priamo do zošita:
| a n = a1 + (n-1)d |
A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Všetko? Ak si myslíte, že je to všetko, potom nemôžete vyriešiť problém, áno ...
Máme aj číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dve možnosti. Ide o hodnotu sedemnásteho člena (-2) aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „malej veci“, nie hlavy!) sa problém nedá vyriešiť. Aj keď ... a tiež bez hlavy.)
Teraz môžeme len hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, vložíme to:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať. Dostanete odpoveď: a 1 = 6.
Takáto technika – písanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – veľmi pomáha pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte vedieť vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika nedá vôbec študovať ...
Ďalší populárny problém:
Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.
Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)
| a n = a1 + (n-1)d |
Zvážte, čo vieme: ai=2; a15=12; a (špeciálne zvýraznenie!) n=15. Neváhajte nahradiť vo vzorci:
12 = 2 + (15-1) d
Poďme na aritmetiku.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Toto je správna odpoveď.
Takže úlohy a n, a 1 A d rozhodol. Zostáva sa naučiť, ako nájsť číslo:
Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.
Známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n je nejaký člen progresie s číslom n... A tento člen postupu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jeho číslo. n, tak toto číslo treba tiež nájsť. Dosaďte progresívny člen 99 do vzorca:
99 = 12 + (n-1) 3
Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.
A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):
Určite, či číslo 117 bude členom aritmetickej postupnosti (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Opäť napíšeme vzorec. Čo, neexistujú žiadne možnosti? Hm... Prečo potrebujeme oči?) Vidíme prvého člena postupu? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a 1 \u003d -3,6. Rozdiel d dá sa určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Áno, urobili sme najjednoduchšiu vec. Zostáva riešiť neznáme číslo n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme, že ... Ako byť!? No ako byť, ako byť... Zapnúť Tvorivé schopnosti!)
my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno-áno!)) a dosadíme naše čísla:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:
Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver vyvodíme? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi 101. a 102. členom. Ak by sa počet ukázal ako prirodzený, t.j. kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom postupnosti s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: Nie
Úloha založená na skutočnej verzii GIA:
Aritmetický postup dané podmienkou:
a n \u003d -4 + 6,8n
Nájdite prvý a desiaty termín postupu.
Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec ... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.
Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri, sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nič, teraz to nájdeme.)
Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách suplujeme n=1 do tohto vzorca:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!
Podobne hľadáme desiaty výraz:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
To je všetko.
A teraz, pre tých, ktorí sa dočítali až po tieto riadky, sľúbený bonus.)
Predpokladajme, že v ťažkej bojovej situácii GIA alebo Jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec n-tého člena aritmetického postupu. Niečo ma napadá, ale akosi neisto... Či n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?
Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie veľmi striktné, ale určite dosť na dôveru a správne rozhodnutie!) Na záver si postačí zapamätať si základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.
Nakreslíme si číselnú os a označíme na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimnite si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:
Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čomu sa rovná druhý výraz? Po druhé jeden d:
a 2 = a 1 + 1 d
Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.
a 3 = a 1 + 2 d
Máš to? Niektoré slová nedávam tučným písmom pre nič za nič. Dobre, ešte jeden krok.)
Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.
a 4 = a 1 + 3 d
Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, Vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda až do počtu n, počet medzier bude n-1. Takže vzorec bude (žiadne možnosti!):
| a n = a1 + (n-1)d |
Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého členu umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Nemôžeš dať obrázok do rovnice...
Úlohy pre samostatné rozhodovanie.
Na zahriatie:
1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1. Nájdite 3.
Pomôcka: podľa obrázku je problém vyriešený za 20 sekúnd ... Podľa vzorca je to ťažšie. Ale pre zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V § 555 je tento problém riešený obrázkom aj vzorcom. Cítiť rozdiel!)
A toto už nie je zahrievanie.)
2. V aritmetickej postupnosti (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .
Čo, neochota nakresliť obrázok?) Ešte! Lepší vzorec, áno...
3. Aritmetický postup je daný podmienkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.
V tejto úlohe je postup uvedený opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každému sa to podarí.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!
4. Daná aritmetická progresia (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.
5. Podľa podmienky úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.
6. Súčin piateho a dvanásteho člena rastúcej aritmetickej progresie je -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho člena je nula. Nájdite 14.
Nie je to najjednoduchšia úloha, áno ...) Tu metóda "na prstoch" nebude fungovať. Musíte písať vzorce a riešiť rovnice.
Odpovede (v neporiadku):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Stalo? Je to pekné!)
Nevychádza všetko? Stáva sa. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná pozornosť. A logika.
Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v oddiele 555. A fantazijný prvok pre štvrtý a jemný moment pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov pre vzorec n-tého termínu - všetko je vymaľované. Odporúčam.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Aritmetický postup pomenovať postupnosť čísel (členov postupnosti)
V ktorom sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho oceľovým členom, ktorý sa nazýva aj krokový alebo postupový rozdiel.
Takže nastavením kroku progresie a jej prvého členu môžete pomocou vzorca nájsť ktorýkoľvek z jeho prvkov
Vlastnosti aritmetického postupu
1) Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým číslom, je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena postupu
Opak je tiež pravdou. Ak sa aritmetický priemer susedných nepárnych (párnych) členov postupu rovná prvku, ktorý stojí medzi nimi, potom je táto postupnosť čísel aritmetickým postupom. Týmto tvrdením je veľmi ľahké skontrolovať akúkoľvek sekvenciu.
Tiež vďaka vlastnosti aritmetickej progresie možno vyššie uvedený vzorec zovšeobecniť na nasledujúce
Dá sa to ľahko overiť, ak výrazy napíšeme napravo od znamienka rovnosti
V praxi sa často používa na zjednodušenie výpočtov v problémoch.
2) Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca
Dobre si zapamätajte vzorec pre súčet aritmetickej progresie, je nevyhnutný pri výpočtoch a je celkom bežný v jednoduchých životných situáciách.
3) Ak potrebujete nájsť nie celý súčet, ale časť postupnosti od jej k-tého člena, bude sa vám hodiť nasledujúci súčtový vzorec
4) Je praktické nájsť súčet n členov aritmetickej postupnosti od k-tého čísla. Ak to chcete urobiť, použite vzorec
Tu teoretická látka končí a prechádzame k riešeniu problémov, ktoré sú v praxi bežné.
Príklad 1. Nájdite štyridsiaty člen aritmetickej postupnosti 4;7;...
Riešenie:
Podľa stavu máme
Definujte krok postupu
Podľa známeho vzorca nájdeme štyridsiaty člen progresie
Príklad2. Aritmetický postup je daný jeho tretím a siedmym členom. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.
Riešenie:
Dané prvky postupnosti zapisujeme podľa vzorcov
Odčítame prvú rovnicu od druhej rovnice, ako výsledok nájdeme krok postupu
Nájdená hodnota sa dosadí do ktorejkoľvek z rovníc, aby sa našiel prvý člen aritmetickej progresie
Vypočítajte súčet prvých desiatich členov progresie
Bez prihlášky zložité výpočty našli sme všetky požadované hodnoty.
Príklad 3. Aritmetický postup je daný menovateľom a jedným z jeho členov. Nájdite prvý člen postupnosti, súčet jeho 50 termínov od 50 a súčet prvých 100.
Riešenie:
Napíšme vzorec pre stý prvok postupu
a nájsť prvé
Na základe prvého nájdeme 50. termín progresie
Nájdenie súčtu časti progresie
a súčet prvých 100
Súčet postupu je 250.
Príklad 4
Nájdite počet členov aritmetického postupu, ak:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Riešenie:
Rovnice napíšeme z hľadiska prvého člena a kroku postupu a definujeme ich
Získané hodnoty dosadíme do súčtového vzorca, aby sme určili počet členov v súčte
Vykonávanie zjednodušení
a vyriešiť kvadratickú rovnicu
Z dvoch zistených hodnôt je pre stav problému vhodné iba číslo 8. Súčet prvých ôsmich členov progresie je teda 111.
Príklad 5
vyriešiť rovnicu
1+3+5+...+x=307.
Riešenie: Táto rovnica je súčtom aritmetickej progresie. Vypíšeme jeho prvý termín a nájdeme rozdiel v progresii
Súčet aritmetického postupu.
Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom solídne.
Najprv sa pozrime na význam a vzorec súčtu. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je taký jednoduchý ako zníženie. Ak chcete nájsť súčet aritmetického postupu, stačí opatrne pridať všetky jeho členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa ... sčítanie je otravné.) V tomto prípade vzorec šetrí.
Vzorec súčtu je jednoduchý:
Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veľa vyjasní.
S n je súčet aritmetickej progresie. Výsledok sčítania všetkyčlenov, s najprv Autor: posledný. To je dôležité. Zrátajte presne Všetkyčlenov v rade, bez medzier a skokov. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu členov päť až dvadsiaty, bude priame použitie vzorca sklamaním.)
1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.
a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo riadku. Nie veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.
n je číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.
Definujme pojem poslednýčlenom a n. Doplňujúca otázka: aký člen bude posledný, ak je daný nekonečné aritmetický postup?
Pre spoľahlivú odpoveď musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a ... pozorne si prečítajte zadanie!)
V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma proste neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, aký druh progresie je daný: konečný alebo nekonečný. Nezáleží na tom, ako je to dané: radom čísel, alebo vzorcom n-tého člena.
Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti až po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno ... Ale nič, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)
Príklady úloh pre súčet aritmetického postupu.
Po prvé, užitočné informácie:
Hlavnou ťažkosťou úloh pre súčet aritmetického postupu je správna definícia prvky vzorca.
Autori zadaní zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou fantáziou.) Tu ide hlavne o to nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich len dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.
1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet prvých 10 výrazov.
Dobrá práca. Jednoduché.) Na určenie množstva podľa vzorca, čo potrebujeme vedieť? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného termínu n.
Kde získať posledné členské číslo n? Áno, tam, v stave! Hovorí sa nájsť sumu prvých 10 členov. No aké to bude číslo posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n dosadíme do vzorca 10, ale namiesto toho n- desať. Opäť platí, že číslo posledného člena je rovnaké ako počet členov.
Zostáva určiť 1 A 10. Toto sa ľahko vypočíta podľa vzorca n-tého člena, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho - nič.
1= 21 - 3,5 = -1,5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich nahradiť a počítať:
To je všetko. odpoveď: 75.
Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:
2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a 1 \u003d 2.3. Nájdite súčet prvých 15 výrazov.
Okamžite napíšeme vzorec súčtu:
Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Zostáva nahradiť všetky prvky vo vzorci súčtom aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:
Odpoveď: 423.
Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n stačí dosadiť vzorec n-tého člena, dostaneme:
Dáme podobné, dostaneme nový vzorec pre súčet členov aritmetickej progresie:
 |
Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje. a n. V niektorých úlohách tento vzorec veľmi pomáha, áno ... Tento vzorec si môžete zapamätať. A môžete ho jednoducho stiahnuť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen si treba zapamätať v každom smere.)
Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):
3. Nájdite súčet všetkých kladných hodnôt dvojciferné čísla, násobky troch.
Ako! Žiadny prvý člen, žiadny posledný, vôbec žiadny postup... Ako žiť!?
Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť z podmienky všetky prvky súčtu aritmetického postupu. Čo sú to dvojciferné čísla - vieme. Skladajú sa z dvoch čísel.) Aké dvojciferné číslo bude najprv? 10, pravdepodobne.) posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...
Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú rovnomerne deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už môžete napísať sériu podľa stavu problému:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak sa k pojmu pridá 2, alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo sa už nebude deliť 3. Okamžite môžete určiť rozdiel aritmetického postupu na haldu: d = 3. Užitočné!)
Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:
Aké bude číslo n posledný člen? Každý, kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla - vždy idú za sebou a naši členovia preskakujú prvú trojku. Nezhodujú sa.
Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si vymaľovať postupnosť, celý rad čísel a počet členov spočítať prstom.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak vzorec použijeme na náš problém, dostaneme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.
Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:
Pozeráme a radujeme sa.) Vytiahli sme všetko potrebné na výpočet sumy zo stavu problému:
1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Čo zostáva, je elementárna aritmetika. Dosaďte čísla vo vzorci a vypočítajte:
Odpoveď: 1665
Ďalší typ populárnych hádaniek:
4. Uvádza sa aritmetický postup:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Nájdite súčet členov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.
Pozrieme sa na súčtový vzorec a ... sme naštvaní.) Vzorec, dovoľte mi pripomenúť, vypočíta súčet od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.
Môžete samozrejme namaľovať celý postup v rade a dať členov od 20 do 34. Ale ... nejako to dopadne hlúpo a dlho, nie?)
Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - dvadsať až tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to k súčtu členov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
To ukazuje, že nájsť súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začíname?
Z podmienky úlohy extrahujeme parametre postupu:
d = 1,5.
1= -21,5.
Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Počítame ich podľa vzorca n-tého člena, ako v úlohe 2:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nezostalo nič. Odpočítajte súčet 19 termínov od súčtu 34 termínov:
S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odpoveď: 262,5
Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočná funkcia. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme čo, zdá sa, nie je potrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z úplného výsledku. Takáto „finta s ušami“ často zachraňuje zlé hádanky.)
V tejto lekcii sme skúmali problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)
Pri riešení akejkoľvek úlohy na súčet aritmetickej progresie odporúčam hneď vypísať dva hlavné vzorce z tejto témy.
Vzorec n-tého členu:
Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať, akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.
A teraz úlohy na samostatné riešenie.
5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.
V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.
6. Aritmetická progresia je daná podmienkou: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet prvých 24 výrazov.
Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto hádanky sa často nachádzajú v GIA.
7. Vasya našetril peniaze na sviatok. Až 4550 rubľov! A rozhodol som sa darovať najmilovanejšej osobe (sebe) pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako v predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?
Ťažké?) Pomôže doplnkový vzorec z úlohy 2.
Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
IV Jakovlev | Materiály z matematiky | MathUs.ru
Aritmetický postup
Aritmetická progresia je špeciálny druh podsekvencia. Preto pred definovaním aritmetickej (a potom geometrickej) progresie musíme stručne diskutovať o dôležitom koncepte číselnej postupnosti.
Následná sekvencia
Predstavte si zariadenie, na ktorého obrazovke sa postupne zobrazujú niektoré čísla. Povedzme 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Takáto množina čísel je len príkladom postupnosti.
Definícia. Číselná postupnosť je množina čísel, v ktorej možno každému číslu priradiť jedinečné číslo (to znamená dať do súladu s jedným prirodzeným číslom)1. Volá sa číslo s číslom n n-tý člen sekvencie.
Takže vo vyššie uvedenom príklade má prvé číslo číslo 2, čo je prvý člen postupnosti, ktorý možno označiť a1 ; číslo päť má číslo 6, čo je piaty člen postupnosti, ktorý možno označiť a5 . Vo všeobecnosti je n-tý člen sekvencie označený a (alebo bn, cn, atď.).
Veľmi výhodná je situácia, keď n-tý člen postupnosti môže byť špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec an = 2n 3 určuje postupnosť: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Vzorec an = (1)n definuje postupnosť: 1; 1; 1; 1; : : :
Nie každá množina čísel je postupnosť. Takže segment nie je sekvencia; obsahuje ¾príliš veľa¿ čísel na prečíslovanie. Množina R všetkých reálnych čísel tiež nie je postupnosť. Tieto skutočnosti sú dokázané v priebehu matematickej analýzy.
Aritmetická postupnosť: základné definície
Teraz sme pripravení definovať aritmetickú progresiu.
Definícia. Aritmetická progresia je postupnosť, v ktorej každý člen (počnúc od druhého) sa rovná súčtu predchádzajúci člen a nejaké pevné číslo (nazývané rozdiel aritmetickej progresie).
Napríklad sekvencia 2; 5; 8; jedenásť; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 2 a rozdielom 3. Sekvencia 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetická postupnosť s prvým členom 7 a rozdielom 5. Sekvencia 3; 3; 3; : : : je aritmetický postup s nulovým rozdielom.
Ekvivalentná definícia: Postupnosť an sa nazýva aritmetická progresia, ak rozdiel an+1 an je konštantná hodnota (nezávislá od n).
Aritmetická progresia sa nazýva rastúca, ak je jej rozdiel kladný, a klesajúca, ak je jej rozdiel záporný.
1 A tu je stručnejšia definícia: postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzené čísla. Napríklad postupnosť reálnych čísel je funkcia f: N! R.
V predvolenom nastavení sa postupnosti považujú za nekonečné, to znamená, že obsahujú nekonečný počet čísel. Ale nikto sa neobťažuje uvažovať aj o konečných postupnostiach; v skutočnosti môže byť každá konečná množina čísel nazývaná konečnou postupnosťou. Napríklad konečná sekvencia 1; 2; 3; 4; 5 pozostáva z piatich čísel.
Vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti
Je ľahké pochopiť, že aritmetický postup je úplne určený dvoma číslami: prvým členom a rozdielom. Preto vyvstáva otázka: ako, keď poznáme prvý člen a rozdiel, nájsť ľubovoľný člen aritmetickej progresie?
Nie je ťažké získať požadovaný vzorec pre n-tý člen aritmetickej progresie. Nechajte
aritmetická progresia s rozdielom d. Máme: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Predovšetkým píšeme: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (al + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (al + 2d) + d = a1 + 3d; | |
a teraz je jasné, že vzorec pre an je: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Úloha 1. V aritmetickom postupe 2; 5; 8; jedenásť; : : : nájdite vzorec n-tého členu a vypočítajte stý člen.
Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Vlastnosť a znak aritmetického postupu
vlastnosť aritmetickej progresie. V aritmetickej postupnosti a pre ľubovoľné
Inými slovami, každý člen aritmetickej postupnosti (počnúc od druhého) je aritmetickým priemerom susedných členov.
Dôkaz. Máme: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
čo sa vyžadovalo.
Všeobecnejšie povedané, aritmetický postup a spĺňa rovnosť
a n = a n k+ a n+k
pre ľubovoľné n > 2 a ľubovoľné prirodzené k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ukazuje sa, že vzorec (2) je nielen nevyhnutnou, ale aj postačujúcou podmienkou, aby postupnosť bola aritmetickou progresiou.
Znak aritmetického postupu. Ak platí rovnosť (2) pre všetky n > 2, potom postupnosť an je aritmetická postupnosť.
Dôkaz. Prepíšme vzorec (2) takto:
a na n 1= a n+1a n:
To ukazuje, že rozdiel an+1 an nezávisí od n, a to znamená, že postupnosť an je aritmetická progresia.
Vlastnosť a znamienko aritmetickej progresie možno formulovať ako jeden výrok; pre pohodlie to urobíme pre tri čísla (toto je situácia, ktorá sa často vyskytuje pri problémoch).
Charakterizácia aritmetickej progresie. Tri čísla a, b, c tvoria aritmetickú postupnosť práve vtedy, ak 2b = a + c.
Úloha 2. (Moskva štátna univerzita, Ekonomická fakulta, 2007) Tri čísla 8x, 3x2 a 4 v zadanom poradí tvoria klesajúcu aritmetickú postupnosť. Nájdite x a napíšte rozdiel tohto postupu.
Riešenie. Podľa vlastnosti aritmetického postupu máme:
2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Ak x = 1, potom sa získa klesajúca progresia 8, 2, 4 s rozdielom 6. Ak x = 5, potom sa získa rastúca progresia 40, 22, 4; tento prípad nefunguje.
Odpoveď: x = 1, rozdiel je 6.
Súčet prvých n členov aritmetickej progresie
Legenda hovorí, že raz učiteľ povedal deťom, aby našli súčet čísel od 1 do 100 a posadili sa, aby si potichu prečítali noviny. Jeden chlapec však v priebehu niekoľkých minút povedal, že problém vyriešil. Bol to 9-ročný Carl Friedrich Gauss, neskôr jeden z najväčších matematikov histórie.
Nápad malého Gaussa bol takýto. Nechaj
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Napíšme túto sumu v opačnom poradí:
S = 100 + 99 + 98 + : : + 3 + 2 + 1;
a pridajte tieto dva vzorce:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Každý výraz v zátvorkách sa rovná 101 a takýchto výrazov je celkovo 100. Preto
2S = 101100 = 10100;
Túto myšlienku použijeme na odvodenie súčtového vzorca
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Užitočnú modifikáciu vzorca (3) získame dosadením vzorca pre n-tý člen an = a1 + (n 1)d do neho:
2a1 + (n1)d | |||||
Úloha 3. Nájdite súčet všetkých kladných trojciferných čísel deliteľných 13.
Riešenie. Trojciferné čísla, násobky 13, tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom 104 a rozdielom 13; N-tý termín tohto postupu je:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Poďme zistiť, koľko členov obsahuje naša progresia. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť:
6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
V našej progresii je teda 69 členov. Podľa vzorca (4) nájdeme požadované množstvo:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37 674: 2
Alebo aritmetika - ide o typ usporiadanej číselnej postupnosti, ktorej vlastnosti sa študujú v kurze školskej algebry. Tento článok podrobne rozoberá otázku, ako nájsť súčet aritmetickej progresie.
Čo je to za progresiu?
Predtým, ako pristúpime k zváženiu otázky (ako nájsť súčet aritmetickej progresie), stojí za to pochopiť, o čom sa bude diskutovať.
Akákoľvek postupnosť reálnych čísel, ktorá sa získa pripočítaním (odčítaním) nejakej hodnoty od každého predchádzajúceho čísla, sa nazýva algebraická (aritmetická) postupnosť. Táto definícia, preložená do jazyka matematiky, má podobu:
Tu som - sériové číslo prvok radu a i . Ak teda poznáte iba jedno počiatočné číslo, môžete ľahko obnoviť celú sériu. Parameter d vo vzorci sa nazýva progresívny rozdiel.
Dá sa ľahko ukázať, že pre uvažovaný rad čísel platí nasledujúca rovnosť:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
To znamená, že ak chcete nájsť hodnotu n-tého prvku v poradí, pridajte rozdiel d k prvému prvku a 1 n-1 krát.
Aký je súčet aritmetickej progresie: vzorec
Pred uvedením vzorca pre uvedené množstvo stojí za zváženie jednoduché špeciálny prípad. Vzhľadom na postupnosť prirodzených čísel od 1 do 10 musíte nájsť ich súčet. Keďže v postupnosti je málo pojmov (10), je možné problém vyriešiť priamočiaro, teda sčítať všetky prvky v poradí.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Stojí za to zvážiť jednu zaujímavú vec: keďže každý výraz sa líši od nasledujúceho o rovnakú hodnotu d \u003d 1, potom párový súčet prvého s desiatym, druhého s deviatym atď. poskytne rovnaký výsledok. . naozaj:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Ako vidíte, týchto súčtov je len 5, teda presne dvakrát menej ako je počet prvkov v rade. Potom vynásobením počtu súčtov (5) výsledkom každého súčtu (11) sa dostanete k výsledku získanému v prvom príklade.
Ak tieto argumenty zovšeobecníme, môžeme napísať nasledujúci výraz:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Tento výraz ukazuje, že vôbec nie je potrebné sčítať všetky prvky za sebou, stačí poznať hodnotu prvého a 1 a posledného a n , a tiež celkový počet termíny č.
Predpokladá sa, že Gauss prvýkrát myslel na túto rovnosť, keď hľadal riešenie danej rovnice. školský učiteľúloha: zrátajte prvých 100 celých čísel.
Súčet prvkov od m do n: vzorec
Vzorec uvedený v predchádzajúcom odseku odpovedá na otázku, ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti (prvých prvkov), ale často je v úlohách potrebné sčítať sériu čísel v strede postupnosti. Ako to spraviť?
Najjednoduchší spôsob, ako odpovedať na túto otázku, je zvážiť nasledujúci príklad: nech je potrebné nájsť súčet členov od m-tého po n-tý. Na vyriešenie problému by mal byť daný segment od m do n znázornený ako nový číselný rad. V takejto prezentácii mesačný člen a m bude prvé a a n bude očíslované n-(m-1). V tomto prípade použitím štandardného vzorca pre súčet získame nasledujúci výraz:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + an) / 2.
Príklad použitia vzorcov
Keď vieme, ako nájsť súčet aritmetickej progresie, stojí za to zvážiť jednoduchý príklad použitia vyššie uvedených vzorcov.
Nižšie je uvedené číselná postupnosť, mali by ste nájsť súčet jej členov, počnúc 5. a končiac 12.:
Uvedené čísla označujú, že rozdiel d je rovný 3. Pomocou výrazu pre n-tý prvok môžete nájsť hodnoty 5. a 12. člena progresie. Ukázalo sa:
a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Poznanie hodnôt čísel na koncoch uvažovaného algebraická progresia, a tiež vedieť, ktoré čísla v riadku zaberajú, môžete použiť vzorec pre sumu získanú v predchádzajúcom odseku. Získajte:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Stojí za zmienku, že túto hodnotu možno získať inak: najprv nájdite súčet prvých 12 prvkov pomocou štandardného vzorca, potom vypočítajte súčet prvých 4 prvkov pomocou rovnakého vzorca a potom odčítajte druhý od prvého súčtu. .
