Čo hlavným bodom vzorce?

Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Samozrejme, treba poznať aj prvý pojem 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov nemôžete zapísať konkrétny postup.

Zapamätať si (alebo oslniť) tento vzorec nestačí. Musíte pochopiť jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. A tiež nezabudnúť v pravú chvíľu, áno...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám určite poradím. Pre tých, ktorí dokončia lekciu až do konca.)

Pozrime sa teda na vzorec pre n-tý člen aritmetická progresia.

Čo je to vzorec vo všeobecnosti? Mimochodom, pozrite sa, ak ste to nečítali. Všetko je tam jednoduché. Zostáva zistiť, čo to je n-tý termín.

Progresia v všeobecný pohľad možno zapísať ako rad čísel:

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen, a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiate - s 120.

Ako to môžeme definovať všeobecne? akýkoľvek termín aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:

a n

Tak to je n-tý člen aritmetického postupu. Písmeno n skryje všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.

A čo nám takýto rekord dáva? Len si pomyslite, namiesto čísla napísali písmeno...

Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickou progresiou. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A vyriešiť kopu ďalších problémov s progresiou. Ďalej uvidíte sami.

Vo vzorci pre n-tý člen aritmetickej postupnosti:

a n = a1 + (n-1)d

1- prvý člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d A n. Všetky problémy s progresiou sa točia okolo týchto parametrov.

Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Problém môže napríklad povedať, že postup je určený podmienkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takýto problém môže byť slepou uličkou... Neexistuje ani séria, ani rozdiel... Ale pri porovnaní podmienky so vzorcom je ľahké pochopiť, že v tomto postupe ai = 5 a d = 2.

A môže to byť ešte horšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2,Áno, otvoriť zátvorky a priniesť podobné? Dostávame nový vzorec:

a n = 3 + 2n.

Toto Len nie všeobecne, ale pre konkrétny postup. Tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvý termín päť... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.

V problémoch s progresiou existuje iná notácia - a n+1. Toto je, ako ste uhádli, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého číslo je o jednu väčšie ako číslo n. Napríklad, ak v nejakom probléme vezmeme a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.

Najčastejšie označenie a n+1 nachádza vo vzorcoch opakovania. Nebojte sa tohto strašidelného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia člena aritmetického postupu cez predchádzajúci. Povedzme, že máme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. Ako môžeme okamžite počítať, povedzme, dvadsiaty termín? 20? Ale neexistuje!) Kým nezistíme 19. termín, nemôžeme počítať 20. Toto je základný rozdiel medzi opakujúcim sa vzorcom a vzorcom n-tého členu. Opakované funguje iba cez predchádzajúcečlen a vzorec n-tého členu je cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Bez počítania celého radu čísel v poradí.

V aritmetickej progresii je ľahké zmeniť opakujúci sa vzorec na pravidelný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v bežnej forme a pracovať s ňou. S takýmito úlohami sa v Štátnej akadémii vied často stretávame.

Aplikácia vzorca pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Najprv sa pozrime na priama aplikácia vzorce. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:

Je daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridajte a pridajte... Hodinu alebo dve.)

A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) Poďme sa rozhodnúť.

Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: ai = 3, d = 1/6. Zostáva zistiť, čo sa rovná n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Takže píšeme:

Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Toto je zmysel n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Všetky čísla dosadíme do vzorca a vypočítame:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je všetko. Rovnako rýchlo by sa dal nájsť päťsto desiaty výraz a tisíc a tretí ľubovoľný. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a počítame.

Dovoľte mi pripomenúť vám bod: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvekčlen aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Vyriešme problém prefíkanejším spôsobom. Poďme sa stretnúť s nasledujúcim problémom:

Nájdite prvý člen aritmetickej postupnosti (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.

Ak máte nejaké ťažkosti, poviem vám prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Zapíšte si rukami priamo do zošita:

a n = a1 + (n-1)d

A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Je to tak? Ak si myslíš, že je to tak, potom problém nevyriešiš, áno...

Stále máme číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dva parametre. Ide o hodnotu sedemnásteho členu (-2), ako aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „maličkosti“, nie hlavy!) sa problém vyriešiť nedá. Aj keď... a tiež bez hlavy.)

Teraz môžeme jednoducho hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, nahradíme:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať ho. Odpoveď bude: a 1 = 6.

Táto technika – zapisovanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – je skvelým pomocníkom pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte byť schopní vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika vôbec nedá študovať...

Ďalšia populárna hádanka:

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.

Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)

a n = a1 + (n-1)d

Zamyslime sa nad tým, čo vieme: ai=2; a15=12; a (obzvlášť vyzdvihnem!) n=15. Neváhajte to nahradiť do vzorca:

12 = 2 + (15-1) d

Robíme aritmetiku.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správna odpoveď.

Takže úlohy pre a n, a 1 A d rozhodol. Zostáva len naučiť sa nájsť číslo:

Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.

Nám známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n- toto je nejaký člen progresie s číslom n...A tohto člena progresu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jej číslo. n, Takže toto číslo je to, čo potrebujete nájsť. Člen progresie 99 dosadíme do vzorca:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.

A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):

Určte, či číslo 117 je členom aritmetickej postupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Opäť napíšeme vzorec. Čo, nie sú tam žiadne parametre? Hm... Prečo máme oči?) Vidíme prvý termín progresie? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a1 = -3,6. Rozdiel d Poznáte to zo seriálu? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Takže sme urobili najjednoduchšiu vec. Zostáva riešiť neznáme číslo n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme... Čo robiť!? No, čo robiť, čo robiť... Zapnúť Tvorivé schopnosti!)

my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno, áno!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:

Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver môžeme vyvodiť? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi sto prvým a sto druhým termínom. Ak by počet dopadol prirodzene, t.j. je kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom progresie s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: Nie

Úloha založená na skutočnej verzii GIA:

Aritmetická progresia je daná podmienkou:

a n = -4 + 6,8 n

Nájdite prvý a desiaty termín postupu.

Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - tiež vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.

Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nevadí, teraz to nájdeme.)

Rovnako ako v predchádzajúcich problémoch, nahrádzame n=1 do tohto vzorca:

a1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!

Rovnakým spôsobom hľadáme desiaty výraz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je všetko.

A teraz, pre tých, ktorí dočítali tieto riadky, sľúbený bonus.)

Predpokladajme, že v ťažkej bojovej situácii štátnej skúšky alebo jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec pre n-tý termín aritmetického postupu. Niečo si pamätám, ale akosi neisto... Alebo n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?

Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie je to veľmi striktné, ale určite to stačí na dôveru a správne rozhodnutie!) Aby sme urobili záver, stačí si zapamätať základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.

Nakreslite číselnú os a označte na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimneme si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:

Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čo znamená druhý výraz? Po druhé jeden d:

a 2 = a 1 + 1 d

Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.

a 3 = a 1 + 2 d

Máš to? Nie nadarmo niektoré slová zvýrazním tučným písmom. Dobre, ešte jeden krok).

Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.

a 4 = a 1 + 3 d

Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, Vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda do počtu n, počet medzier bude n-1. Vzorec teda bude (bez variácií!):

a n = a1 + (n-1)d

Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého termínu vám umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Do rovnice sa nedá vložiť obrázok...

Úlohy na samostatné riešenie.

Zohriať sa:

1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a5 = 5,1. Nájdite 3.

Pomôcka: podľa obrázku sa dá problém vyriešiť za 20 sekúnd... Podľa vzorca to vychádza ťažšie. Ale na zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V časti 555 je tento problém vyriešený pomocou obrázka aj vzorca. Cítiť rozdiel!)

A toto už nie je zahrievanie.)

2. V aritmetickej progresii (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .

Čo, nechceš nakresliť obrázok?) Samozrejme! Lepšie podľa vzorca, áno...

3. Aritmetický postup je daný podmienkou:ai = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.

V tejto úlohe je postup špecifikovaný opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každý je toho schopný.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!

4. Daná aritmetická progresia (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.

5. Podľa podmienok úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.

6. Súčin piateho a dvanásteho členu rastúcej aritmetickej progresie sa rovná -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho členu sa rovná nule. Nájdite 14.

Nie je to najjednoduchšia úloha, áno...) Metóda „končekov prstov“ tu nebude fungovať. Budete musieť písať vzorce a riešiť rovnice.

Odpovede (v neporiadku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stalo? Je to pekné!)

Nevychádza všetko? Stáva sa. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná opatrnosť. A logika.

Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A prvok fantázie pre štvrtý a jemný bod pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov zahŕňajúcich vzorec n-tého člena - všetko je opísané. Odporúčam.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým výrazom zo sekcií vyššia matematika. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetická postupnosť Keď pochopíte niekoľko základných pojmov, nie je to také ťažké.

Matematická postupnosť čísel

Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota N-té číslo je nejakou funkciou n.

a je hodnota člena číselnej postupnosti;

n - jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké pochopiť prečo číselná postupnosť nazývaný „rastúci“.

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Zadaná hodnota člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Nie vždy je však táto cesta akceptovateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového či osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen sekvencie je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov/km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 r.

číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.

Iný typ číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná vyššou rýchlosťou zmien v porovnaní s aritmetickou progresiou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrický postup má vzorec pre hodnotu ľubovoľného termínu. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Súčet aritmetického postupu.

Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom pevné.

Najprv pochopme význam a vzorec sumy. A potom sa rozhodneme. Pre vlastné potešenie.) Význam sumy je jednoduchý ako buchot. Ak chcete nájsť súčet aritmetickej progresie, stačí opatrne pridať všetky jej členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa... pridávanie je otravné.) V tomto prípade prichádza na pomoc vzorec.

Vzorec na výpočet sumy je jednoduchý:

Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veci veľa vyjasnia.

S n - súčet aritmetického postupu. Výsledok sčítania každýčlenov, s najprv Autor: posledný. To je dôležité. Presne sa sčítajú Všetkyčlenov v rade, bez preskakovania alebo preskakovania. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu piateho až dvadsiateho členu, priame použitie vzorca sklame.)

1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.

a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo série. Nie je to veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.

n - číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.

Definujme pojem poslednýčlenom a n. Záludná otázka: ktorý člen to bude posledný ak je daný nekonečné aritmetický postup?)

Ak chcete s istotou odpovedať, musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a... pozorne si prečítajte úlohu!)

V úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma jednoducho neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, či je daná postupnosť: konečná alebo nekonečná. Nezáleží na tom, ako je to dané: rad čísel alebo vzorec pre n-tý člen.

Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno... Ale nevadí, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)

Príklady úloh na súčte aritmetického postupu.

V prvom rade užitočné informácie:

Hlavná ťažkosť v úlohách zahŕňajúcich súčet aritmetickej progresie spočíva v správnom určení prvkov vzorca.

Autori úloh zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou predstavivosťou.) Hlavná vec je nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich jednoducho dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.

1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet jeho prvých 10 výrazov.

Dobrá práca. Jednoduché.) Čo potrebujeme vedieť, aby sme určili množstvo pomocou vzorca? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného člena n.

Kde získam číslo posledného člena? n? Áno, priamo tam, pod podmienkou! Hovorí: nájdite sumu prvých 10 členov. No a s akým číslom to bude? posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n Dosadíme do vzorca 10 a namiesto toho n- desať. Opakujem, číslo posledného člena sa zhoduje s počtom členov.

Zostáva určiť 1 A 10. Toto sa ľahko vypočíta pomocou vzorca pre n-tý člen, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho to nejde.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10= 2,10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich len nahradiť a spočítať:

To je všetko. odpoveď: 75.

Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:

2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a1 = 2,3. Nájdite súčet jeho prvých 15 výrazov.

Okamžite napíšeme vzorec súčtu:

Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného termínu podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:

a15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Zostáva nahradiť všetky prvky do vzorca pre súčet aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:

Odpoveď: 423.

Mimochodom, ak vo vzorci súčtu namiesto a n Jednoducho dosadíme vzorec za n-tý člen a dostaneme:

Ukážeme si podobné a získame nový vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti:

Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje a n. Pri niektorých problémoch tento vzorec veľmi pomáha, áno... Tento vzorec si môžete zapamätať. Alebo ho môžete jednoducho zobraziť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vždy si musíte zapamätať vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen.)

Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):

3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.

Wow! Ani tvoj prvý člen, ani tvoj posledný, už vôbec nie postup... Ako žiť!?

Budete musieť premýšľať hlavou a vytiahnuť všetky prvky súčtu aritmetického postupu z podmienky. Vieme, čo sú dvojciferné čísla. Pozostávajú z dvoch čísel.) Aké bude dvojciferné číslo najprv? 10, pravdepodobne.) A posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...

Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už si môžete zapísať sériu podľa podmienok problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý termín sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak k termínu pridáte 2 alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo už nie je deliteľné 3. Môžete okamžite určiť rozdiel aritmetického postupu: d = 3. Bude sa to hodiť!)

Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:

Aké to bude číslo? n posledný člen? Kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla idú vždy za sebou, no naši členovia preskakujú tri. Nezhodujú sa.

Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si zapísať postup, celý rad čísel a prstom spočítať počet členov.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak použijeme vzorec na náš problém, zistíme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.

Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:

Pozeráme a radujeme sa.) Z výpisu problému sme vytiahli všetko potrebné na výpočet sumy:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Zostáva len elementárna aritmetika. Dosadíme čísla do vzorca a vypočítame:

Odpoveď: 1665

Ďalší typ populárnej hádanky:

4. Daný aritmetický postup:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nájdite súčet pojmov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.

Pozeráme sa na vzorec sumy a... rozčúlime sa.) Vzorec, pripomínam, vypočíta sumu od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.

Môžete, samozrejme, napísať celý priebeh v sérii a pridať výrazy od 20 do 34. Ale... je to trochu hlúpe a trvá to dlho, však?)

Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - od dvadsať do tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet členov prvej časti S 1-19, pripočítajme to súčtom pojmov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Z toho môžeme vidieť, že nájdite súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začnime?

Extrahujeme parametre progresie z výpisu problému:

d = 1,5.

1= -21,5.

Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Vypočítame ich pomocou vzorca pre n-tý člen, ako v úlohe 2:

19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Nič nezostalo. Od súčtu 34 výrazov odpočítajte súčet 19 výrazov:

S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpoveď: 262,5

Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočný trik. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme niečo, čo sa zdá byť nepotrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z kompletného výsledku. Tento druh „finty s vašimi ušami“ vás často zachráni pred zlými problémami.)

V tejto lekcii sme sa pozreli na problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)

Praktické rady:

Pri riešení akéhokoľvek problému so súčtom aritmetickej progresie odporúčam okamžite napísať dva hlavné vzorce z tejto témy.

Vzorec pre n-tý termín:

Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať a akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.

A teraz úlohy na samostatné riešenie.

5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.

V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.

6. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet jeho prvých 24 výrazov.

Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto problémy sa často vyskytujú v Štátnej akadémii vied.

7. Vasya si našetril peniaze na dovolenku. Až 4550 rubľov! A rozhodla som sa, že svojmu obľúbenému človeku (sebe) doprajem pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?

Je to ťažké?) Doplnkový vzorec z úlohy 2 pomôže.

Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Online kalkulačka.
Riešenie aritmetického postupu.
Dané: a n , d, n
Nájdite: a 1

Tento matematický program nájde \(a_1\) aritmetickú postupnosť založenú na číslach zadaných používateľom \(a_n, d\) a \(n\).
Čísla \(a_n\) a \(d\) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky. Okrem toho je možné zlomkové číslo zadať vo forme desatinného zlomku (\(2,5\)) a vo forme obyčajného zlomku (\(-5\frac(2)(7)\)).

Program nielen dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces hľadania riešenia.

Táto online kalkulačka môže byť užitočná pre stredoškolákov na stredných školách pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou a rodičom na ovládanie riešenia mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania čísel, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie čísel

Čísla \(a_n\) a \(d\) možno zadať nielen ako celé čísla, ale aj ako zlomky.
Číslo \(n\) môže byť iba kladné celé číslo.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky ako 2,5 alebo ako 2,5

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Vstup:
Výsledok: \(-\frac(2)(3)\)

Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup:
Výsledok: \(-1\frac(2)(3)\)

Zadajte čísla a n , d, n

Nájdite 1

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Poradie čísel

V každodennej praxi sa číslovanie rôznych predmetov často používa na označenie poradia, v ktorom sú usporiadané. Napríklad domy na každej ulici sú očíslované. V knižnici sú čitateľské predplatné očíslované a následne usporiadané v poradí pridelených čísel v špeciálnych kartotékach.

V sporiteľni pomocou čísla osobného účtu vkladateľa tento účet ľahko nájdete a zistíte, aký vklad je na ňom uložený. Nech účet č. 1 obsahuje vklad vo výške a1 rubľov, účet č. 2 obsahuje vklad vo výške a2 rubľov atď. číselná postupnosť
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kde N je počet všetkých účtov. Tu je každé prirodzené číslo n od 1 do N spojené s číslom a n.

Študoval aj matematiku nekonečné číselné rady:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Volá sa číslo a 1 prvý člen sekvencie, číslo 2 - druhý člen sekvencie, číslo 3 - tretí člen sekvencie atď.
Volá sa číslo a n n-tý (n-tý) člen postupnosti, a prirodzené číslo n je jeho číslo.

Napríklad v postupnosti druhých mocnín prirodzených čísel 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... a 1 = 1 je prvý člen postupnosti; a n = n2 je n-tý termín sekvencie; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-tý (n plus prvý) člen postupnosti. Postupnosť môže byť často špecifikovaná vzorcom jej n-tého člena. Napríklad vzorec \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definuje postupnosť \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Aritmetický postup

Dĺžka roka je približne 365 dní. Presnejšia hodnota je \(365\frac(1)(4)\) dní, takže každé štyri roky sa nahromadí chyba jedného dňa.

Na započítanie tejto chyby sa ku každému štvrtému roku pridáva deň a predĺžený rok sa nazýva priestupný rok.

Napríklad v treťom tisícročí sú priestupnými rokmi roky 2004, 2008, 2012, 2016, ....

V tejto postupnosti sa každý člen, počnúc druhým, rovná predchádzajúcemu, pripočítanému k rovnakému číslu 4. Takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti.

Definícia.
Nazýva sa číselná postupnosť a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmetická progresia, ak pre všetky prirodzené n rovnosť
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kde d je nejaké číslo.

Z tohto vzorca vyplýva, že a n+1 - a n = d. Číslo d sa nazýva rozdiel aritmetická progresia.

Podľa definície aritmetickej progresie máme:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kde \(n>1 \)

Každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa teda rovná aritmetickému priemeru jeho dvoch susedných členov. To vysvetľuje názov „aritmetická“ progresia.

Všimnite si, že ak sú uvedené a 1 a d, potom zostávajúce členy aritmetickej progresie možno vypočítať pomocou opakujúceho sa vzorca a n+1 = a n + d. Týmto spôsobom nie je ťažké vypočítať niekoľko prvých členov progresie, ale napríklad 100 už bude vyžadovať veľa výpočtov. Zvyčajne sa na to používa vzorec n-tého členu. Podľa definície aritmetického postupu
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
atď.
Vôbec,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
keďže n-tý člen aritmetickej postupnosti sa získa od prvého člena pripočítaním (n-1) násobku čísla d.
Tento vzorec sa nazýva vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Súčet prvých n členov aritmetickej progresie

Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100.
Túto sumu zapíšme dvoma spôsobmi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Pridajme tieto rovnosti termín po termíne:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Táto suma má 100 výrazov
Preto 2S = 101 * 100, teda S = 101 * 50 = 5050.

Uvažujme teraz o ľubovoľnom aritmetickom postupe
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Nech S n je súčet prvých n členov tejto postupnosti:
Sn = a1, a2, a3, ..., a n
Potom súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa rovná
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Pretože \(a_n=a_1+(n-1)d\), nahradením n v tomto vzorci dostaneme ďalší vzorec na nájdenie súčet prvých n členov aritmetickej progresie:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky testy online Hry, hádanky Kreslenie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

Ak pre každé prirodzené číslo n zodpovedať skutočnému číslu a n , potom hovoria, že je to dané číselná postupnosť :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Takže postupnosť čísel je funkciou prirodzeného argumentu.

číslo a 1 volal prvý člen sekvencie , číslo a 2 — druhý člen sekvencie , číslo a 3 — tretí a tak ďalej. číslo a n volal n-tý člen postupnosti a prirodzené číslo n — jeho číslo .

Od dvoch susedných členov a n A a n +1 člen sekvencie a n +1 volal následné (smerom k a n ), A a n — predchádzajúce (smerom k a n +1 ).

Ak chcete definovať postupnosť, musíte zadať metódu, ktorá vám umožní nájsť člena postupnosti s ľubovoľným číslom.

Často sa postupnosť špecifikuje pomocou vzorce n-tého členu , teda vzorec, ktorý umožňuje určiť člen postupnosti podľa jeho čísla.

Napríklad,

postupnosť kladných nepárnych čísel môže byť daná vzorcom

a n= 2n- 1,

a postupnosť striedania 1 A -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Poradie sa dá určiť opakujúci sa vzorec, teda vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým, cez predchádzajúce (jeden alebo viacero) členov.

Napríklad,

Ak a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ak 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potom sa prvých sedem členov číselnej postupnosti stanoví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvencie môžu byť Konečný A nekonečné .

Sekvencia je tzv konečný , ak má konečný počet členov. Sekvencia je tzv nekonečné , ak má nekonečne veľa členov.

Napríklad,

postupnosť dvojciferných prirodzených čísel:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Konečný.

Poradie prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečné. ◄

Sekvencia je tzv zvyšujúci sa , ak je každý z jeho členov, počnúc druhým, väčší ako predchádzajúci.

Sekvencia je tzv klesajúci , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, menší ako predchádzajúci.

Napríklad,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — zvyšovanie poradia;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — klesajúca postupnosť. ◄

Postupnosť, ktorej prvky pri zvyšovaní čísla neklesajú, alebo naopak nerastú, sa nazýva monotónna postupnosť .

Monotónne sekvencie sú najmä rastúce sekvencie a klesajúce sekvencie.

Aritmetický postup

Aritmetický postup je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu, ku ktorému sa pridá rovnaké číslo.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup, ak existuje prirodzené číslo n podmienka je splnená:

a n +1 = a n + d,

Kde d - určitý počet.

Rozdiel medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi členmi danej aritmetickej progresie je teda vždy konštantný:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

číslo d volal rozdiel aritmetického postupu.

Na definovanie aritmetickej progresie stačí uviesť jej prvý člen a rozdiel.

Napríklad,

Ak a 1 = 3, d = 4 , potom nájdeme prvých päť členov postupnosti takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pre aritmetický postup s prvým členom a 1 a rozdiel d jej n

a n = 1 + (n- 1)d.

Napríklad,

nájdite tridsiaty člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potom samozrejme

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

čísla a, b a c sú po sebe idúce členy nejakej aritmetickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa jedno z nich rovná aritmetickému priemeru ostatných dvoch.

Napríklad,

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

teda

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Poznač si to n Termín aritmetického postupu možno nájsť nielen prostredníctvom a 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce a k

a n = a k + (n- k)d.

Napríklad,

Pre a 5 dá sa zapísať

a 5 = 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potom samozrejme

a n=	a n-k + a n+k
	2

ktorýkoľvek člen aritmetickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná polovici súčtu rovnako vzdialených členov tejto aritmetickej postupnosti.

Okrem toho pre každý aritmetický postup platí nasledujúca rovnosť:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Napríklad,

v aritmetickej progresii

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, pretože

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprv n členy aritmetickej progresie sa rovná súčinu polovice súčtu extrémnych členov a počtu členov:

Odtiaľto najmä vyplýva, že ak potrebujete zrátať termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

potom si predchádzajúci vzorec zachová svoju štruktúru:

Napríklad,

v aritmetickej progresii 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ak je daná aritmetická postupnosť, potom množstvá a 1 , a n, d, n AS n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty troch z týchto veličín, zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sa určia z týchto vzorcov, skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Aritmetický postup je monotónna postupnosť. kde:

• Ak d > 0 , potom sa zvyšuje;
• Ak d < 0 , potom sa znižuje;
• Ak d = 0 , potom bude sekvencia nehybná.

Geometrická progresia

Geometrická progresia je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu vynásobenému rovnakým číslom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická postupnosť pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

b n +1 = b n · q,

Kde q ≠ 0 - určitý počet.

Pomer nasledujúceho člena danej geometrickej postupnosti k predchádzajúcemu je teda konštantné číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

číslo q volal menovateľ geometrickej progresie.

Na definovanie geometrickej progresie stačí uviesť jej prvý člen a menovateľ.

Napríklad,

Ak b 1 = 1, q = -3 , potom nájdeme prvých päť členov postupnosti takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a menovateľ q jej n Termín možno nájsť pomocou vzorca:

b n = b 1 · qn -1 .

Napríklad,

nájdite siedmy člen geometrickej postupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potom samozrejme

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná geometrickému priemeru (proporcionálnemu) predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Keďže platí aj opak, platí nasledujúce tvrdenie:

čísla a, b a c sú po sebe nasledujúce členy určitej geometrickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa druhá mocnina jedného z nich rovná súčinu ostatných dvoch, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým priemerom ostatných dvoch.

Napríklad,

Dokážme, že postupnosť daná vzorcom b n= -3 2 n , je geometrický postup. Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

teda

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

čo dokazuje želané tvrdenie. ◄

Poznač si to n Termín geometrickej progresie možno nájsť nielen prostredníctvom b 1 , ale aj ktorýkoľvek predchádzajúci člen b k , na čo stačí použiť vzorec

b n = b k · qn - k.

Napríklad,

Pre b 5 dá sa zapísať

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potom samozrejme

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina ktoréhokoľvek člena geometrickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná súčinu členov tejto postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.

Okrem toho pre akúkoľvek geometrickú postupnosť platí rovnosť:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Napríklad,

v geometrickom postupe

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , pretože

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprv n členy geometrickej postupnosti s menovateľom q ≠ 0 vypočítané podľa vzorca:

A kedy q = 1 - podľa vzorca

S n= nb 1

Všimnite si, že ak potrebujete zhrnúť podmienky

b k, b k +1 , . . . , b n,

potom sa použije vzorec:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Napríklad,

v geometrickom postupe 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ak je daná geometrická postupnosť, potom množstvá b 1 , b n, q, n A S n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty akýchkoľvek troch z týchto veličín, zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sa určia z týchto vzorcov, skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Pre geometrický postup s prvým členom b 1 a menovateľ q prebieha nasledovné vlastnosti monotónnosti :

• progresia sa zvyšuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 A q> 1;

b 1 < 0 A 0 < q< 1;

• Progresia sa znižuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 A 0 < q< 1;

b 1 < 0 A q> 1.

Ak q< 0 , potom sa geometrická postupnosť strieda: jej členy s nepárnymi číslami majú rovnaké znamienko ako jej prvý člen a členy s párnymi číslami majú opačné znamienko. Je jasné, že striedavý geometrický postup nie je monotónny.

Produkt prvého n členy geometrickej progresie možno vypočítať pomocou vzorca:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Napríklad,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečne klesajúca geometrická progresia

Nekonečne klesajúca geometrická progresia nazývaná nekonečná geometrická progresia, ktorej menovateľný modul je menší 1 , teda

|q| < 1 .

Všimnite si, že nekonečne klesajúca geometrická progresia nemusí byť klesajúca postupnosť. Hodí sa k príležitosti

1 < q< 0 .

S takýmto menovateľom sa postupnosť strieda. Napríklad,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie pomenujte číslo, ku ktorému sa súčet prvých bez obmedzenia približuje n členov progresie s neobmedzeným nárastom počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjadrené vzorcom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Napríklad,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Vzťah medzi aritmetickými a geometrickými postupnosťami

Aritmetické a geometrické postupnosti spolu úzko súvisia. Pozrime sa len na dva príklady.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Napríklad,

1, 3, 5, . . . - aritmetický postup s rozdielom 2 A

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrická postupnosť s menovateľom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrická postupnosť s menovateľom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetický postup s rozdielom log aq .

Napríklad,

2, 12, 72, . . . - geometrická postupnosť s menovateľom 6 A

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetický postup s rozdielom lg 6 . ◄